一元二次方程应用教学反思（推荐15篇）
洪泉中学
刘德成
新课程要求培养学生应用数学的意识与能力，作为数学教师，我们要充分利用已有的生活经验，把所学的数学知识用到现实中去，体会数学在现实中应用价值。
这节课是“列一元二次方程解应用题（1）”，讲授在几何问题中以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题。这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运。既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用。
通过本节课的教学,总体感觉调动了学生的积极性，能够充分发挥学生的主体作用，以现实生活情境问题入手，激发了学生思维的火花，具体我以为有以下几个特点：
一、本节课第一个例题，是面积问题中的一个典型例题，我在引导学生解决此题之后，总结了解一元二次应用题的步骤。不仅关注结果更关注过程，让学生养成良好的解题习惯。
二、练习1是例题1的变式与提高，练习2是例题2的变式与提高。通过变式训练，让学生由浅入深，由易到难，也让学生解决问题的能力逐级上升，这是这节课中的一大亮点。在讲完例题的基础上，将更多教学时间留给学生，这样学生感到成功机会增加，从而有一种
积极的学习态度，同时学生在学习中相互交流、相互学习，共同提高。
三、在课堂中始终贯彻数学源于生活又用于生活的数学观念，同时用方程来解决问题，使学生树立一种数学建模的思想。
四、课堂上多给学生展示的机会，比如我所设计练习题可用不同方法去求解，让学生走上讲台，向同学们展示自己的聪明才智。同时在这个过程中，更有利于发现学生分析问题与解决问题独到见解及思维误区，以便指导今后教学。总之，通过各种启发、激励的教学手段，帮助学生形成积极主动求知态度，课堂收效大。
五、需改进的方面：
一、课堂教学简录
引入:关于x的方程x2+ax-1=0,x∈[1,2]上有解,求实数a的取值范围.
老师:非常好.学生1把此题貌似与函数不相关的问题用函数思想把a看成关于x的函数,从表象看到问题本质,从函数值域入手解决开阔了视野,沟通已知与未知的关系,找到解决问题的思路.学生2把一元二次方程在某区间有解问题转化为根的分布问题,思维开阔缜密.两个同学各自从不同角度阐述了这类问题的解答,说明同学思想有一定的深度,能挖掘问题的本质,进而找到问题的切入口,纵观这类问题,a=f(x)在x∈D上有解,则a的取值范围即f(x)的值域(x∈D),从一个侧面说明函数与方程是解决数学问题的重要思维线索.
变式1关于x的不等式x2+ax-1<0,x∈[1,2]上有解,求实数a的取值范围.
变式2关于x的不等式x2+ax-1<0,x∈[1,2]上恒成立,求实数a的取值范围.
感悟反思:不同的切入点将我们带入数学多角度解题的宽径,在多种方法中比较最优化的方法,感受数学美之魅力所在.
总结:a>f(x)有解a>f(x)恒成立.
二、教学设计反思
1.本文以最简单的题目形式呈现,以变式题目展示不同背景,凸显函数的图像、值域等性质在解题中的作用,采用分离参变量、数形结合、一元二次方程根的分布知识或思想方法.通过这节课的教学,学生充分感受到数学符号语言的丰富内涵.
2.不足或改进:课时紧,容量有限,应该把二次背景(方程、函数)拓展为非二次背景.
数学教学应着重多种变式教学,精心挑选问题,重组问题,演变问题,使数学各分支有效系统地重组,达到知识融会贯通.本文引导学生有效理解了以不变应万变的常规解题途径和思维优化的方法,提高高三复习课学生的思维品质,增强学好数学的信心.
三、感悟
教学目标：
1. 使学生理解和掌握等式与方程的意义，明确方程与等式的关系，会用方程表示生活情境中简单的数量关系。
2. 通过学生观察思考，探讨交流，培养学生抽象、归纳和概括的能力。经历从生活情境到方程概念的建构过程，感受方程思想。
3. 感受方程与生活的密切联系，培养进一步探究方程知识的乐趣和欲望。
教学重、难点：理解和掌握方程的意义，会用方程表示生活情境中简单的数量关系，解决实际问题时能根据等量关系列出方程。
教学流程：
一、谈话交流，激趣导入
师：这节课我们共同来学习方程。你听说过方程吗？你都想学习关于方程的哪些知识呢？
生：我想知道什么是方程，学方程有什么用，为什么叫方程……
师：看来我们班同学不但能提出问题，还能提出值得研究有意义的数学问题，值得表扬！那么我们就共同在课堂中寻找答案吧！
【设计意图：在学生提出问题的基础上，教师和学生一起对问题进行梳理，并把梳理的问题当作教学的主线。这样充分发挥学生的主体地位，学生的学习状态就会变得积极主动，从而培养学生的主动学习能力、增强问题意识。】
二、自主合作，探究新知
（课件出示一些方程。）
师：刚才有的同学问什么是方程。看！这些都是方程。请你仔细观察，看看它们有什么共同点。
1.学生先自己观察，独立思考。
2.小组交流。
3.指名回答。
生：我发现方程里都有字母。以前学的算式里没有字母。比如2+3=5。
师：观察得真仔细，果然，每个方程里面都有字母。字母具体表示的是多少，我们知道吗？我们就给它起个名字叫未知数。（板书。）
生：我还发现这些算式都有“=”。
师：你的这个发现太重要了。对于这个数学符号我们经常使用它，你觉得“=”的作用是什么呢？
生：计算结果表示得数时用等号连接。
师：等号还可以连接什么呢？
生：还可以连接两个相等的算式，比如2+3=1+4。
师：看来等号不仅可以连接算式和果，还可以连接两个相等的算式。
师：它表示谁和谁相等呢？
生：等号左右两边相等。
师：说得很好，表示等号的左右两边相等。（用手势表示。）
4.通过游戏，深入感受等量关系。
师：说到两边相等让你联想到生活中的什么现象了呢？
生：天平，跷跷板，秤……（出示课件。）
师：果然，你们的想法和我不谋而合。
（课件出示天平。）
师：图中的天平是一种什么状态？
生：天平平衡了。
师：你能用算式表示出来吗？
生：23+30=53。
师：像这种用等号连接表示相等关系的算式叫做等式。
师：大家还想到了跷跷板，你们都玩过吗？接下来我想找同学和我一起玩一个跷跷板的游戏。
（1） 一名学生和一名老师。
老师的体重是100斤，学生的体重是68斤。请问我们两个分别坐在跷跷板的两端，会出现什么状况呢？（倾斜。）
你能用数学语言描述此时跷跷板的关系吗？
100>68 两个数比较大小。
（2）两名同学和一名老师。
学生不甘示弱，又来一名，体重x斤。
生：68+x>100 。 （板书。）
师：刚才我们说用等号连接的算式是等式，那像这样不是用等号连接的算式叫什么呢？
生：不等式。
师：真聪明，它们被称作不等式。
师：我们观察这个不等式，你觉得这里的x应该是多少呢？
生：只要比32大就可以。
师：看来这里的x只能表示一定范围的数，不能表示具体某一个数。
（3）如果上来的这个同学恰巧让跷跷板平衡了，又怎样用算式表示呢？
生：68+x=100。 （板书。）
师：这时这个同学的体重是多少斤呢？
生：32斤。
师：你发现等式有什么作用呢？
生：等式能够帮助我们求出这个未知数x。
师：是啊，等式的作用可真大啊！
师：刚才的同学说方程都有“=”，实际上是说方程都是（等式）。
师：请你思考，方程为什么是等式呢？不等式为什么不能称作方程呢？
生：因为不等式里的未知数求不出准确的结果，而等式能求出具体的数。
师：说得很好，我们通过等式能够求出未知数的值，这才是用方程解决问题的目的啊！
【设计意图：让学生通过自己观察和同学的讨论，发现方程的特点，并创设老师和同学玩跷跷板这一具体的生活情境，使学生通过观察，体会由不平衡到平衡，不等到相等，重点理解了方程为什么是一个等式，为后面根据数量关系列方程打下基础。】
师：现在你知道什么是方程了吗？你能试着试着给它下个定义吗？
生：含有未知数的等式叫方程。
师：是啊，说得多准确，像x+3=9，16x=48……这样含有未知数的等式都是方程。endprint
师：你能自己试着列一个方程吗？然后同桌交换检查。
师：请你当小老师出一道式子，让大家来判断是不是方程。
老师黑板上写一个方程，大家判断。x+20=43。
师：你能像我这样赋予这个方程实际的意义吗？五年三班有x个女生，20个男生，总人数一共是43人。（生：有鸭梨x千克，苹果20千克，总重量是43千克。）同桌互相说说自己刚才写的方程的实际意义。
师：方程一定是等式吗？等式一定是方程吗？如果用集合方式表示它俩的关系应该是怎样的呢？
（指名写到黑板上。）
【设计意图：学生自己写方程和让其他学生判断方程这一过程，数学资源都来自于学生，生生互动、师生交流这样才更好地实现教学目标。赋予方程生活实际含义又让方程回归生活，感受方程与日常生活的联系，体会方程用数学符号抽象地表达了等量关系，让抽象的直观起来，让枯燥的生动起来，把孤立的联系起来！对方程的认识从表面趋向本质，不仅教学高度有提升，同时也体现了数学服务于生活的教学理念。另外，学生在比较思考中理清了等式与方程的关系。】
三、巩固训练，应用提升
师：关于什么是方程，你们清楚了吗？我们共同解决了这个问题。
师：这个问题大家通过自己的观察、比较最后知道了什么是方程，能写方程，判断是不是方程，并且还能赋予它实际的意义，更重要的是我们还理清了方程和等式之间的关系，你们真了不起！
师：有同学问“学习方程有什么用”，对于这个问题你是怎么看的呢？
生：学习方程是为了解题更简单。
生：学习方程是为了解决生活中的问题。
师：好，既然你说方程能帮我们解决问题，我们就一起来试试吧！
1.基础题：给出未知数x，你能用方程表示图中的数量关系吗？
100+x=50×3 x+73=166 12+x=20
如果学生能运用多种方法，给予肯定。
2.你能根据描述的数量关系列方程吗？
（1）爸爸40岁，小明x岁，他们相差28岁。
（2）张华从家到学校有500米，他每分钟走60米，走了x分钟，离学校还有80米。
观察思考：原来列方程就是找到等量关系后，按照叙述的顺序把算式写下来。
3.提升题。
没有未知数，你怎么列方程？（课件图。）
抽象概括：自己设一个x，找相等量关系。
4.结合生活实际综合运用。
妈妈去文具店买了3支笔，每支1.5元，2块橡皮，一共付给售货员10元，找回3.5元，每块橡皮多少钱？
5.甲杯子里250毫升水，乙杯子里有200毫升水，怎样才能使两个杯子里的水一样多，你能用方程表示吗？
【设计意图：习题设计难度的逐步提升，看图列式从含有未知数x，到没有x，自己寻找未知数，创设开放的发挥空间，并寻找不同的等量关系而列出多种方法。最后一题的设计中，让学生深刻感受到方程的方法比算术方法计算起来要简便得多，体现用方程解题的好处，进而激发学生学习方程的兴趣。】
6.课件介绍方程的知识。
师：方程真的能帮我们解决不少生活中的问题呢。其实早在3600多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了。请看资料袋。
【设计意图：让学生在第一次接触方程时，就能理清方程和算术是不同的数学思想，是两种不同的解题方法。】
总结：方程的用处这么大，我们会在接下来的数学课中继续去研究它，希望它能帮你攻克一个又一个的难题！
板书设计：
方程的意义
“=”等式 不等式
含有未知数的等式叫方程。
68+x=100 x+19=43 68+x>100
等式
方程
反思：
“方程的意义”是在学生掌握了用字母表示数的基础上进行教学的，也是今后学习运用方程解决整数、小数、分数问题的重要基础。“方程的意义”是代数知识的起始，也是学生从算术思维飞跃到代数思维的重要载体。为此我思考这样三个问题：如何从形式定义的教学过渡到研究概念内涵的教学？能辨认方程的样子就是认识方程了吗？能顺利地说出方程的定义就是理解方程了吗？因此，在设计教学时我关注了以下几点：endprint
一、设计游戏，突出重点，深入理解方程含义
理解和掌握方程的意义，用方程表示生活情境中简单的数量关系，这是教学的重点，也是学生学习的难点。在教学“方程的意义”时，利用教师和学生玩跷跷板这一具体的生活情境，通过观察，体会由不平衡到平衡、不等到相等，重点理解了方程是一个等式，为后面根据数量关系列方程打下基础。学生总结方程概念后，再次强化方程必须包含两点，引导学生用这两点列方程，其他学生判定，这样学生对方程的概念由抽象到具体。教学中我引导学生通过自己观察、小组讨论，发现方程的特点，又通过玩跷跷板进一步理解等式的意义，进而让自己总结出方程的概念。并且让学生说说自己写的方程的实际意义，让方程回归生活，感受方程与日常生活的联系，体会方程用数学符号抽象地表达了等量关系，让抽象的直观起来，让枯燥的生动起来，把孤立的联系起来！
二、充分发挥学生的主体作用，促进有效教学的落实
在开门见山揭示课题后，教师直接问学生，你听说过方程吗？你都想学习关于方程的哪些知识呢？让学生依据自己的经验提出研究的具体问题。在学生提出问题的基础上，教师和学生一起对问题进行梳理，并把梳理的问题当作教学的主线。这样充分发挥学生的主体地位，学生的学习状态就会变得积极主动。如果教师坚持这样做，学生的主动学习能力、问题意识就会增强。课堂上教师讲得少听得多，充分地鼓励学生探索、讨论、创造，学生积极性高、参与度广。
三、练习设计梯度提升，开放习题空间使学生的思维得以发展
在列方程的巩固应用中，习题设计难度的逐步提升，看图列式从含有未知数x，到没有x，自己寻找未知数，创设开放的发挥空间，并肯定多种列法，让学生在文具店买文具同一种数学情境中，寻找不同的等量关系，用相同的方程x+20=43解释不同的数学情境。通过怎样使两杯水同样多，同一题可以找到不同的等量关系，方法不同，未知数表示的意义在变，但最终等量关系不变，学生思维充分发散开来，设计太巧妙了！练习题中，教师力求理解方程在左右两边所表示的量的具体含义以及它们的相互关系，使学生在一种思辨的状态中体验到方程是表达等量关系的数学模型。
当然本节课也存在不足之处：
比如在最后练习设计上，我还是课前没有预设充分，认为学生肯定会按照自己的想法发展，结果一些学生把问题想复杂了，绞尽脑汁去想该如何列这个方程，我也陷入了这个环节，想尽量给他们少数人的想法解释清楚，于是在这个环节浪费了很多时间。这也说明了课前备课不够充分。看来，想要上好一节课，一定要把课备充分，备教材、备学生、备学情一样都不能少。
（作者单位：哈尔滨市铁岭小学）
2、在解答应用题中，学生对分析问题、寻找数量关系的能力较差。在这节课中，我把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法。特别是用列表格的方法帮助学生理清题目中的数量关系，找到等量关系。
3、但学生在学习的过程中，却不能很好地掌握这一要领，会经常出现一些意想不到的错误。诸如，数量之间的相等关系找得不清;列方程忽视了解设的步骤等。我在上课的过程中忽视了学生能力的培养，没有培养学生良好的思维表达习惯。对于我来说，如何让学生改变这种不良的学习习惯，能够正确的理解和掌握解题的方法是我应该不断研究的思路和改进教学方法的.关键。
解一元一次方程的应用---工作问题教学建议：
1、教学流程的设计方面：对于我所任教的班级来说，基础比较薄弱，引入的问题对他们而言有一定的难度，再加上两种不同解法，不符合由易到难的认知规律。不妨可以把学生在小学就已有一定接触的相遇和追击问题中的基础题型作为引入，这样既让学生复习已经学过的有关行程问题的知识，又能为本节课的主要例题(环形跑道)作了铺垫。
2、反馈练习方面：对于基础较弱的班级来说，课堂上的反馈练习是一个能及时反映学生接受的情况及提高课堂效率的有效手段，但习题难度不易过高，题量不易过大，因此预设的题目可作适当的调整。
在列方程解决实际问题的教学过程中，教师教的重点和学生学的重点，不在于解，而在于学解。注重的是解决问题的过程。也就是说，要让学生经历寻找实际问题中数量之间的相等关系并列方程解答的全过程。
1、本节课的教学设计，无论是学生对各种解题方法的探索和理解，还是让学生感受列方程解应用题的优越性，都尽量让学生主动参与，亲身体验，学生通过分析、比较、交流、讨论等活动，充分展示他们的思维过程，发展思维能力。
2、应用题的教学难点就是：如何引导学生理解题意，列出需要的数量关系式或等量关系式。在这个过程中，重要的并不是展示学生的方法如何多，因为解决办法是可以举一反三的，重要的应该是引导学生如何通过分析，找出等量关系式的过程。同时，在分析过程中，让学生掌握多种办法来分析。如通过抓关键句、关键词、关键字列等量关系式；通过画线段图理解题意；通过画示意图来理解题意。学生才会更加积极地思考不同的方法来解决问题，如：本节课中呈现的画线段图、画示意图、抓关键字或词来理解和分析应用题。体现学生的主体地位，让学生在情境中通过自主探究、感悟、理解、掌握新知识。
3、注重练习形式的多样化。本节课的练习安排了三个层次，一是巩固练习，重点让学生说一说等量关系，促进对列方程解应用题的掌握；二是开放性练习，融知识性、趣味性、活动性于一体，学生学习兴趣高，主动性强。三是通过独立作业，检验学生解决问题的能力。
反思二：列方程解应用题教学反思
本节课的教学内容是列方程解应用题的例3。让学生在已有列方程解应用题的经验基础上，在解答较复杂的应用题中，探索解题思路。现对于本节课谈一些自己的感想。
一．利用实物帮助解题。
教师在依托教材进行教学的同时，要结合学生的学习程度学会对数学教材进行适当的加工，这样更有利于提高教学质量。例如，这节课在教学例3时，我改变了直接看应用题列方程的做法，而是让学生带来了家里的水费帐单，这样做有两点好处：一是分散了解应用题的难点，让学生根据帐单说应用题的解题思路，从而逐步渗透到等量关系；二是为后面的变式应用题打下基础，让学生潜移默化通过例3感受到在解答较复杂应用题时，如何根据所给条件正确找出等量关系相等，从内心上接受用列方程的方法解此类应用题的优势所在。
二．合理组织安排教材。
教材中的教学内容是通过例题、模仿变式练习题和综合练习题（练一练、试一试）所呈现的。其呈现的内容不是在同一个背景下，而是以独立的形式逐一呈现，这样的分割呈现方式不利于学生进一步提炼解此类应用题的一般解题思路。因此，设想改变教材内容的呈现方式，在学生已有的生活经验与数学学习经验基础上创设情景，让学生解决实际问题。由于要解决的问题以递进的方式呈现在学生面前，其内容又处在同一背景下，学生就能更好地理解几个问题间的联系和差异，使学生明此类应用题的一般特征，根据特征有利于学生在各种关系的比较中寻找解答此类应用题的共同方法，便于学生进一步提炼解此类应用题一般解题思路。
三．教师要关注学生的学习方式。
自主探索是小学生学习数学的重要方式，五年级的学生已有丰富的生活经验和知识的积累，有一定的认知水平和解题策略。因此，教师要努力为学生创造民主的学习氛围，把学习的自主权和评价的自主权还给学生，让所有学生都参与到数学学习中。如在这节课的教学中，学生通过亲身经历看水费帐单说等量关系、小组讨论、尝试解方程、相互评价，学生的自主性得到了充分的发挥，学生在评价中学习的热情很高，充分体验自主探索获取成功的喜悦。
应用题教学有利于学生灵活地综合应用已有的数学知识和技能解决数学实际问题，教师要善于培养学生观察、发现、概括和综合解决问题的能力，提炼数学方法，形成正确的价值观。
反思三：列方程解应用题教学反思
列方程解含有两个未知数的应用题，人教版九年义务教育五年制第八册33页例６。
列方程解应用题是在第八册学习列出含有未知数的等式解一步计算应用题的基础上进行教学的。例６的内容，在算术中称为和倍和差倍问题，由于是逆向思考题，解法特殊，不易掌握，现在用方程来解，不仅思路较简单，而且这两类问题的思路统一，解法一致，既可减轻学生负担又提高了解应用题的能力，是今后小学学习分数等应
本节课的教学目标是使学生初步掌握含有两个未知数的应用题的解题思路和方法，会解含有两个未知数的应用题；会用把两个未知数的值代入已知条件看是否符合的方法进行验算；在教学解题思路的同时培养学生初步的分析、综合、比较的能力；在解题过程中进一步培养初步的类推和迁移的能力及养成独立思考的良好习惯。
本节课的重点是正确设未知数和列出方程，关键要找出等量关系，列方程也是教学的难点。创设情境，蔡利琦同学和周旭同学两个人互相询问对方的的钱数并说出两个人之间的倍数关系，来猜测两个人各有多少钱？
由于小学生仍处在从形象思维向抽象思维过渡的关键时刻，所以要考虑怎样做好这个过渡，在教学中采用画线段图帮助分析数量关系。线段图能使数量关系明显地呈现出来，有助于帮助学生用算术方法解这道题，还有利于设未知数，找等量关系和列出方程。
之后引导学生想不同的解题思路，列出不同的方程，就是教学生如何从不同角度思考问题的方法。这些方法对今后继续学习数学是十分必要的。
之后进行检验。虽不要求写在本子上或卷子上，但这是不可忽视的重要步骤，长期要求下去，就可使学生养成良好的检验习惯，增强责任心和自信心，那种做完题不知对错的做法是后患无穷的。首先从方程的角度来检验，然后再让这两个同学把钱拿出来让大家看一下，果真，结果正如我们预料，同学们感到非常有趣，而且兴奋异常，获得了成功的喜悦。
再想一想，还可以怎样叙述两个人的关系呢？有的同学说，我们还可以告诉大家蔡利琦是周旭的5倍，比周旭多8元钱，那么该怎样解答呢？
同学们积极思考，想出了好多的解题方法，并进行比较概括找出自己喜欢的解法。达到了很好的教学效果。然后进行适时的练习，达到巩固教学效果的目的。
本堂课，在对学生的及时评价反馈上，和环节的处理上还有待于进一步的加强，也恳请领导和各位老师能够帮助我，使我能够在今后的教学中，逐渐加强，能够熟练的驾御课堂。
反思四：列方程解应用题教学反思
数学知识体系成网络状结构，知识之间既有横向的联系又有纵向的联系，应用题的教学也是如此，它贯穿于小学数学教学的整个过程之中，是综合培养学生思维，提高解题能力的重要途径。其中，列方程解应用题在整个小学数学体系中占有重要的地位，它为学生解答应用题开辟了一个新的途径，开拓了学生的思路，丰富了学生的解题方法，提高了学生解应用题的能力。因此，在小学阶段，学生必须掌握好列方程解应用题的知识，为今后进一步学习数学打下良好的基础。
一、温故知新，培养学生有条理、有根据地进行分析思考
前段时间笔者用素描的方式上了一节公开课, 内容是“直线与方程 ( 单元复习课) ”. 本文围绕这节课的教学设计以及反思过程, 谈谈复习课教学的一点体会.
一、教学内容分析
平面解析几何联系着“代数学”和“几何学”, 学生通过本章的学习达到基本了解平面解析几何的理论基础, 掌握直线与方程的联系, 并学会利用直线的方程解决相关几何问题的目的.
在解析几何中, 直线是最简单的曲线, 方程的形式也较为简单, 相关的位置关系也是学生在初中已经获得的认知, 因此, 在本章节的学习过程中, 主要应以理论依据为基石, 熟悉方法为目的, 使学生获得快速有效的发现问题本质并熟练解决问题的能力.
二、教学目标
知识技能: ( 1) 通过对本章知识的整合, 对直线与方程的相关问题进行梳理, 明确知识点间的内在联系, 进一步提高分析和解决问题的能力. ( 2) 通过几个具体题目的分析与解答, 锻炼学生自己构造题目, 体验数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.
问题解决: 教师引导, 学生讨论.
情感态度: 锻炼学生归纳整合的能力, 进一步激发学生学习数学的兴趣.
三、教学重难点
重点: ( 1) 数学概念的深刻理解与清楚辨析; ( 2) 熟练运用各种数学思想方法解决数学问题.
难点: 根据题设合理选择适当的方法.
四、教学设计思路
直线与方程是解析几何中较为重要和基础的内容, 笔者在设计这节课时主要是想尽量以学生为主体, 发挥学生的主动性, 让学生自己添加条件, 逐渐丰满题目, 用素描的方式渐渐完成一节课的主要内容复习. 因此采取了如下的教学设计思路:一道开放性问题开路→温故知新→师生讨论→借助三角形模型找点的轨迹→三角形中两条直线位置关系→平行四边形模型→一道综合题及其变式. 主要采用探究式教学和变式教学.
五、教学过程
1. 一道开放性问题开路 ( 直线方程的各种形式)
师: 前面我们学习了直线与方程这一章, 请问过一个定点可以作多少条直线?
生: 无数条.
师: 平面上一个点不能确定一条直线, 那需要什么条件才能确定一条直线呢?
教师活动: 展现几何画板上的题目.
设计意图: 引出直线方程.
问题1: “已知点A ( 5, - 1) , ______, 请你加一个条件, 确定一条过点A的直线, 并求此直线方程”.
稍后请学生回答.
设计意图: 由一道开放性问题开路, 通过问题情景的创设, 激发学生已有的知识联想. 开放性问题自由空间很大, 可以由学生自己利用已有的知识点提出问题再解决问题, 解答过程中熟练公式. 一个问题融合了直线方程的四种特殊形式和一般形式的相互转化, 在解题过程中教师及时点拨提醒四种特殊形式的适用范围. 学以致用, 让学生体味知识的应用.
生1: 加一个点B ( 1, 1) , 利用两点式写直线方程.
生2: 加条件直线AB斜率等于2, 利用点斜式写直线方程.
生3: 加条件直线AB纵截距为3, 利用截距式写直线方程.
师: 大家提到了直线方程的三种形式.
师: 若加条件“在x轴、y轴上截距相等”, 请解答.
设计意图: 有学生会遗忘横纵截距为0的情况, 强调直线方程这几种特殊形式的适用范围. 师: 还可以转化为斜截式y = kx+ b ( k存在) . 四种特殊形式殊途同归, 转化为直线方程的一般式Ax + By + C = 0 ( A, B不同时为0) .
设计意图: 形式转化过程中复习过两点P ( x1, y1) , P ( x2, y2) , ( x1≠x2) 的直线的斜率公式———
2. 一题多问找点的轨迹 ( 直线的位置关系)
问题2: “已知点A ( 5, - 1) , B ( 1, 1) , 请你找一个点C, ( 1) 使A、B、C三点构成三角形, ( 2) 使A、B、C三点构成直角三角形, ( 3) 使A、B、C三点构成等腰三角形, ( 4) 使A、B、C三点构成等腰直角三角形”.
设计意图: 应用学生自己添加的条件, 逐渐丰富题目, 串联知识点. 复习两条直线的位置关系———垂直及两点间距离公式和简单的圆的方程作图找轨迹方程. 鼓励学生完成富有挑战性的任务, 体验成功的经验, 激发学生学习的兴趣和自信心. 让学生自己尝试画图, 利用已有知识将自己的想法通过作图实践.
问题 ( 2) 应用分类讨论思想及复习直线的位置关系———垂直. 问题 ( 3) 应用分类讨论思想及复习两点间的距离公式. 问题 ( 4) 应用转化与化归思想. 并且, 后三问均可应用数形结合思想.
教师活动: 利用几何画板操作类按钮使每一个小问题逐一呈现, 给学生思考的空间.
生1: 根据三角形三顶点不共线, ( 1) 点C为“直线AB外的任何一点”.
问题 ( 2) 学生回答时忽略了三个点都有可能为直角顶点的分类讨论: 以A为直角顶点时, C点是过A点且与直线AB垂直的直线 ( 除点A外) ; 以B为直角顶点时, C点是过B点且与直线AB垂直的直线 ( 除点B外) ; 以C为直角顶点时, C点是以AB为直径的圆 ( 除点A、B外) . 师生讨论, 板书应用到的知识点两条直线的位置关系———垂直. 几何画板演示如图1.
问题 ( 3) 三个点都有可能为等腰三角形顶点进行分类讨论: 以A为顶点时, C点是以点A为圆心, 以| AB |长为半径的圆除直线AB与圆交点外; 以B为顶点时, C点是以点B为圆心, 以| AB|长为半径的圆除直线AB与圆交点外; 以C为顶点时, C点是在AB的垂直平分线上除线段AB中点外. 师生讨论, 板书求| AB|长应用到的知识点两点间的距离公式. 几何画板演示如图2.
问题 ( 4) 在问题 ( 2) ( 3) 的基础上, 学生观察出有6个点C, 分别为 ( 2) ( 3) 图形中的交点. 几何画板演示如图3.
3. 在多边形 中应用直 线方程 ( 深化数形结合思想)
问题3: “在上述一个三角形中, 求 ( 1) AB边上的高所在的直线方程; ( 2) AB边上的中线所在的直线方程; ( 3) AB边上的垂直平分线所在的直线方程. ”
设计意图: 让学生通过简单练习熟练掌握两条直线的位置关系及中点公式.
教师活动: 不妨找三点A ( 5, - 1) , B ( 1, 1) , C ( 2, 4) , 利用几何画板操作类按钮使每一个小问题逐一呈现, 让学生快速练习.
问题4: “已知三点A ( 5, - 1) , B ( 1, 1) , C ( 2, 4) , 求点D的坐标, 使四边形ABCD为平行四边形, 并求此平行四边形的面积. ”
设计意图:“构造平行四边形”利用两条直线的位置关系———平行及两条直线的交点和中点坐标公式求点坐标. 利用点到直线的距离等价于两条平行线间的距离, 说明直线方程一般式的必要.
求点D时有两种解法: 法1: 利用平行四边形对边平形的性质, AD∥BC, 直线AD的斜率与直线BC的斜率相等, 利用点斜式求出直线AD的方程, 同理求出直线CD的方程, 两条直线的交点为D. 法2: 利用平行四边形对角线互相平分的性质, 线段AC的中点为线段BD的中点, 利用中点坐标公式求出点D的坐标. 求面积时利用两条平行线间的距离公式或点到线的距离公式转化.
4. 综合演练, 自我实践
练习“已知三角形ABC的顶点A ( 3, - 1) , AB边上的中线所在的直线方程为6x + 10y - 59 = 0, AC边上的中线所在的直线方程为x - 4y + 10 = 0, 求BC边所在的直线方程. ”
变式1: “已知三角形ABC的顶点A ( 3, - 1) , AB边上的中线所在的直线方程为6x + 10y - 59 = 0, 角B的平分线所在的直线方程为x - 4y + 10 = 0, 求BC边所在的直线方程. ”
变式2: “已知三角形ABC的顶点A ( 3, - 1) , AB边上的垂直平分线所在的直线方程为6x + 10y - 59 = 0, AC边上的垂直平分线所在的直线方程为x - 4y + 10 = 0, 求BC边所在的直线方程. ”
设计意图: “综合练习”加强学生的综合应用能力, 变式训练减少运算量, 增大思维量, 加深对问题的理解, 巩固本节课复习的知识点.
略解: 设点B ( x, y) , AB中点M ( (x + 3) /2, (y - 1) /2) , 点M在AB边上的中线所在的直线方程6x + 10y - 59 = 0上, 即6 (x + 3) /2+ 10 (y - 1) /2- 59 = 0 ( 1) , 点B在AC边上的中线所在的直线方程x - 4y+ 10 = 0上, 即x - 4y + 10 = 0 ( 2) , 由 ( 1) ( 2) 得点B ( 10, 5 ) . 同理得点C ( - 1, 221/34) . 所以BC边所在的直线方程为3x + 22y -140 = 0.
变式1略解: 求点B ( 10, 5) 同上. 法1: 设BC边所在的直线方程为y - 5 = k ( x - 10) ( k存在) , 利用角平分线上任一点到角两边距离相等, 角B的平分线所在的直线方程x - 4y + 10 = 0上任取一点N ( 2, 3) , 点N到直线AB:|, 从而解出k = -2/9或6/7, 当k =6/7时直线BC与直线AB重合, 所以舍去. 所以k = -2/9, 所以BC边所在的直线方程为2x + 9y - 65 = 0. 法2: 利用两点关于直线的对称. 点A ( 3, - 1) 关于角B的平分线所在的直线的对称点A' ( 1, 7) 在直线BC上. 直线BA': 2x + 9y - 65 = 0就是BC边所在的直线方程.
变式2略解: 利用两点关于直线的对称. 求点BC同变式1中的法2.
5. 回顾反思, 尝试小结
师: 请大家自己总结这节课的主要内容.
生: ( 1) 直线方程的四种特殊形式及一般形式; ( 2) 平面内两条直线的位置关系; ( 3) 点到直线的距离公式及两条平行间的距离公式.
师生: 一起完成知识体系图如图4.
设计意图:“课堂小结”是将本节课的主要内容、主要思想进行总结、提炼、升华, 从而对知识有一个整体的把握. 通过引导学生对本章知识点进行复习与整合, 进一步将所学知识系统化, 帮助学生站在全局立场掌控本章各个知识点间的联系.
6. 课后作业, 巩固提高
整理、总结这节课所学的内容, 完成下列练习.
练习: 已知△ABC中, B ( 1, 2) , BC边上的高线AD所在的直线方程为x - 2y + 1 = 0 , 角A平分线方程y = 0, 求AC, BC边所在直线方程.
设计意图: “课后作业”目的在于培养学生的自主总结的能力, 巩固课堂所学知识.
六、教学反思
在解析几何的内容中, 直线是相对简单的曲线, 但却是学生正式接触解析几何方法的开始, 因此, 对于概念的辨析与巩固是复习小结课的重中之重. 本节课的关键是利用直线的方程解决相关问题, 考虑到学生现有的知识水平, 笔者基本上采取例———练紧密结合的教学步骤, 先将问题抛出, 由学生自己在编题过程中归纳知识点, 再经由师生共同分析题目、教师板演解题的规范过程, 然后紧接着给出练习, 加强学生的动手能力, 培养学生分析问题、解决问题的能力. 在师生的双向交流中, 让学生自己考查自己, 从而了解学生对知识的理解与掌握程度, 灵活调整教学进度, 以达到最佳教学效果. 整个课堂过程就如美术上素描一般, 让学生自己添加条件, 一点点丰富内容, 最后画出整个知识点的脉络结构.
这节复习课把知识的运用放在前面、通过问题情境实现知识的回顾过程. 在设计例题时, 有目的性地选择学生易错的知识点, 设些“问题陷阱”, 让学生犯有价值的错误, 通过认识错误的过程更深刻的理解概念. 在练习的设置上, 根据学生的现状, 在解决较为灵活和综合的题目时, 不妨先设置一些小题目进行铺垫, 再加以适当的变式, 充分调动学生的学习思维. 这节课根据新课标的精神去设计, 去进行教学, 以“问题”贯穿整个教学过程, 努力改进自己的教学方法, 让学生的接受式学习中融入问题解决的成份, 把讲授式与活动式教学有机整合, 希望在学生巩固基础知识的同时, 能够发展学生的创新精神和实践能力.
七、对复习课的几点体会
在复习阶段, 有的老师十分注重习题, 一上课就是习题, 一节课下来从头到尾都是练习, 学生练得累, 老师评讲也累; 有的老师别出心裁, 用一部分时间测试, 一部分时间讲评, 美其名曰: “现炒现卖”, 以考促学; 有的老师很注重例题, 一节课都在评点例题, 讲得眉飞色舞, 口干舌燥, 学生在讲台下听得昏昏欲睡, 然后布置很多作业让学生课后完成, 搞题海战术.
笔者认为应该做好以下几方面:
1. 串联旧知, 形成系统
高中数学有五个必修模块, 文科至少有三个选修模块, 理科至少有四个选修模块. 每一模块的学习各有侧重, 但模块与模块之间也是有联系的, 或是原有知识点的拓展, 或是知识点专题的深化. 在复习时, 教师要把握好这些知识点的联系, 帮助学生形成知识点系统, 形成的系统框架以一些有趣的直观的图象构成, 可使学生更加牢固地记忆与理解必须的概念、定理、公理、公式等.
2. 例题作“桥”, 应用转化
如何把知识点应用到解题中去, 转化为能力, 这本身就是一道难题. 因为是复习, 学生已经掌握了一些基本的解题方法, 所以要注意选取典型例题. 在评点完例题后, 改变题目条件、数据、问题等, 以及引申出一些新的题型, 或探究, 或推理. 以例题为“桥”, 把学生从单纯的记忆知识此岸“送”到能应用知识的彼岸去. 多让学生提问, 尽量让学生自行讨论解决. 使学生多方面多角度去思考, 点拨学生思路, 开发学生的潜能, 重要的不是学生记住了多少解题方法, 而是学生的应用知识解决问题能力得到了多大的提高. 例题可用变式训练: 针对典型例题解决过程中出现的有共性的问题, 紧扣典型例题, 通过条件变形、结论变形、设问角度变形、考查方式变形等手段进行再训练, 从而达到一题多解、一题多变、举一反三、多题一解、熟练掌握通性通法、灵活运用知识、提升学科能力的目的.
3. 换位体验, 讲解评价
适量的练习与评讲必不可少. 在处理习题时, 若学生做了练习不评讲, 这样的练习没有效果; 如果全部都评讲, 讲评的速度快了, 学生掌握不了; 慢了, 时间不够. 所以, 在评讲练习题时, 要注意从整体上把握, 把大量的练习分门别类, 针对教学大纲的重难点加以讲解. 在评讲练习时, 学生往往忙于理解和记录, 课堂气氛通常比较压抑. 要让学生成为学习的主人, 笔者是这样处理的: 在把习题分类后, 对每一类的题目, 只评讲其中几道, 然后, 让学生走上讲台, 像老师一样讲解自己的解题思路与步骤, 提议其他同学找问题, 作评价. 这样做的好处在于: 一是台上的学生小心谨慎, 台下的学生认真思索. 即使课堂十分安静, 亦可感受到其间思维快速运转的无形紧张. 在这样的氛围下, 不管是讲的学生还是听的学生, 对知识点的应用与解题方法印象更加深刻; 二是使得生生之间、师生之间形成良好的互动, 学生在互动过程中, 取长补短, 各有所获, 效果自然更好.
案例背景
近年来，笔者所在学校对以往教学模式进行了改变，让学生对自己做错的习题进行归纳总结，再积累到错题本上。这样，初步建立了整理错题和错题反思的习惯培养机制，把学生对错题的反思当成重要课题来进行研究。通过一个阶段的实践，已初显成效；然而，在实施过程中还有一些问题值得继续思考和探索。
比如，教师在安排学生对解一元一次方程的应用题的一些错题进行反思时，学生往往认为自己的错误只是应用题列法上，而不会将已经学过的一元一次方程在计算上的错误与其他同学进行交流，这样就造成了学生在解应用题的过程中主要问题解决了，而一些细枝末节却错误不断。也正说明学生在反思错题的过程中，容易忽略对已学知识的回顾与梳理。在今后的研究过程中，教师们要不断地进行深入实践、反思和改进，充分发挥小组合作的作用，调动学生在错题反思中，积极主动地对已学知识串联，使学生们在反思错题中养成温故知新、相互补充、共同完善的良好习惯。
案例描述
以笔者所教的一个班级第五小组的学生为例。在一次一元一次方程应用题的习题课上，学生已经将如何列储蓄问题的一元一次方程进行了相互讲解，于是，笔者要求每个小组都要对错题进行反思。同学们列举了自己在做储蓄问题时容易犯的错误：对利率的不理解；对计算利息时公式的遗忘；对利息税与利息之间关系的模糊。每位同学就自己错题的原因及教训进行了组内反思交流，然后把一元一次方程应用题中的储蓄问题进行了归纳和订正，最后整理到错题本上。笔者再从学生做错的题中抽取两道题进行小测，反馈后发现各小组的反思效果并不好，第五小组6人中竟有2人出现了列方程正确、而计算错误的现象。那么，学生经过整理、反思，为何反馈效果还是如此不尽如人意呢？
案例分析
从以上案例可以看出，学生已经意识到：错题反思是对自己数学学习活动过程的再思考、再审视。学生由以往的不注重对反馈结果的巩固发展到小组成员都把自己在解一元一次方程应用题中的做错原因与其他同学进行交流。这样，在组内就形成了相互提醒、相互督促的良好习惯，有效地杜绝了今后在这类应用题上的错误，因此，小组合作对错题进行反思的作用就变得尤为重要。
当习题课临近结束时，笔者通过第五组的小测所反馈回来的情况看出来：学生在反思错题时忽略了对一元一次方程计算的反思。原因是之前学生已经学习了如何解一元一次方程，并且做了很多的练习，而在进一步学习一元一次方程应用题的时候，学生就要根据应用题的题意先列出方程，然后再把方程解出来。学生出现错误的原因，大多是对应用题题意的不理解而造成他们无法正确列出应用题的方程，所以，学生在反思错误时，自然把着重点落在分析应用题的题意上，而忽略了对已学知识解方程的错误情况的反思。这些问题，表现了学生们在小组合作进行错题反思的时候常常就题论题，没有养成“根据已经学过的知识构建知识体系进行反思从而解决新问题”的习惯，导致了后来检测的错误。
案例对策与反思
通过本节课所出现的问题分析，笔者体会到利用小组合作来反思错题的重要性，也认识到反思错题中学生易忽略的问题。因此，笔者对习题课又进行了重新设计：课程的前半部分，笔者通过适时运用小组合作组织了积极的师生互动和生生互动。比如在小组进行反思时，通过“这个组反思的问题非常全面”等鼓励性评价语言和学校建立的课堂评价机制，对反思全面准确的小组进行鼓励性星级评价，以调动他们参与小组合作反思的积极性，鼓励他们采用把习题分类处理、运用小组合作等形式多样的办法参与合作。学生在笔者的引导下，学习兴趣大增。把解一元一次方程应用题的错误形式分成简单错误和复杂错误两类。学生在反思这两种错误类型的同时，相互合作的形式也变成一对一解决简单的错题，一对二、二对二解决复杂的错题，让小组成员真正知道：简单问题和复杂问题分别错在哪里，为什么错，以后该注意什么。在让学生反思的过程中，教师要根据学生的认知特点，合理选择和设计例题与练习，告诉学生要把列方程与解方程都当作错题反思的重点，在错题反思的学习中有意识地培养学生一起回顾、主动梳理、反思学过知识的习惯。经过对错题反思的习惯的培养，本课笔者留出5分钟时间，抽两道题测试学生已订正过的题，第五小组反思效果明显提升，抽测的试题全部做对。
课后反思本节课的教学过程，我总结以下几点：
一、本节课的复习重点在于找准数量关系式，在课堂上大量提问了学生应用题的数量关系式是什么，并进行了专项训练，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解掌握解题的基本思路和方法，但学生在学习的过程中还是不能很好地掌握这一要领，这也是学生解答应用题的一个突出弱点，还是出现了许多错误，如找等量关系中的第5题，有的学生两根铁丝做了两个正方形，没有重点理解“分别”两个字，我在反馈时虽然说到不可以学生自己增加条件，没有深入地帮助指出错误的根源。同样的.，在只列方程的这道练习中第3题很多学生没有仔细审题，3.5倍变成了3.5(有十来个同学是这样错的)有的学生就直接变成整个积的3.5倍，没有抓住重点的字，是“它的3.5倍”，课堂中强调了“它”指的就是“一个数”也就是“这个数”，如果把三者再拎出来强调三个量其实是同一个量，可能效果会更好一些。
很多学生的等量关系是 6×瓶数+14=总朵数，或是8×瓶数=总朵数，两个数量关系都没有错，但在这道题中并没有告诉我们总的朵数，我通过两个错例的对比让学生去发现总朵数是一样的，可以作为一个中间量把两个算式连接起来即6×瓶数+14=8×瓶数，这样的过渡让学生感到不会那么突然，分析时讲清不变的是花的总朵数，只是在分的时候采用了不同的方法。不过讲过之后还有几个学生还不是很明白。在进行列方程时，只满足了让学生说出数量关系式是什么，应该让中下学生再说说关键句是什么，是根据哪句话找出来的，要让他们知道怎样去找，这样学生可能更有的放矢。
二、在本课中，我注重练习的设计，充分体现练习的针对性、层次性、综合性。如在找等量关系这一专项训练中，我设计了五道基本类型的问题，使学生较系统地掌握找等量关系的几种方法，又突出了本节课的重点。紧接着，安排了两道综合型练习。通过这环节的训练，切实提高学生的综合应用能力。在学生解答的过程中，我及时捕捉学生的解法，允许学生出错，并利用学生生成的错误资源，引发学生积极思考，在相互交流、相互评价的过程中，学生的潜能得以充分地挖掘，使不同的学生得到不同的发展。
本节课的教学重点是要学生们建立分式方程应用题的思维模型，会根据题中的条件找出等量关系，同时列出分式方程，并解答。我根据晚上学生们做的学案的情况，对本节课采取了老师引导学生展示相结合的方法进行教学，我首先从审、找、设、列、解、验、答几个步骤对第一道应用题进行了详细的讲解和板演。让学生们对解分式方程应用题的步骤和思路有一个清晰而深刻的认识，同时也对书写的过程有准确的概念，之后开始让学生们展示。通过本节课的教学我感觉到有几点值得肯定，也暴露了很多不足之处：
一、学生们对于检验的过程总是容易丢失，说明还是对检验这个必要的步骤理解的不是很深刻，所以会出现易遗忘的现象。
二、对于等量关系的寻找，还有很多学生有困难，尤其是对题中条件比较多，或是等量关系比较隐含的应用题，在寻找等量关系的时候感到无从下手，或者出现了顾此失彼的现象。
关键词：转化；变形；实现化归；解决数学问题
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）10-189-01
一、用化归思想正确引导解题思路
数学是探求、认识和刻划自然规律的重要工具。在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于习题的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出习题解答为止的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某些已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。这就是在数学方法论中我们学习到的一种新的思维方法--化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，“化归”方法在中学数学教材中是普遍存在，到处可见，与中学数学教学密切相关。初中数学教学广泛应用了化归思想进行数学教学，其中，在一元一次方程和二元一次方程的教学中化归思想的应用是非常明显的。在人教版七年级上册在引导学生利用等式的性质解方程时，必须要有以下的分析过程：要使方程x+6=26转化为x=a（常数）的形式，要去掉方程左边的6，必须两边要减6，这实际上是以最简方程x=a作为解一元一次方程的化归目标。在讲解过程中，必须让学生明确解一元一次方程的最终目标是将一元一次方程化为x=a（常数）的形式，有了这种化归思想方法的指引，学生在解方程的过程中就会寻找所给方程与目标方程的差异，想办法消除差异，达到化归目标，从而简化方程。
二、巧用化归思想简化解题过程
“化归”方法很多，有分割法，映射法，恒等变形法，换元变形法，参数法，数形结合法等等，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。因此“化归”的方向应是由未知到已知，由难到易，由繁到简，由一般到特殊。而“化归”的思想实质就在于不应以静止的眼光，而应以运动、变化、发展以及事物间的相互联系和制约的观点去看待问题。即应当善于对所要解决的问题进行变形和转化，这实际上也是在数学教学中辨证唯物主义观点的生动体现。转化与化归思想方法是数学中最基本的思想方法。数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，数形结合思想方法体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数方程、不等式间的相互转化。目标简单化、和谐统一性、目标具体化、标准形式化和低层次化都是化归的原则；各映射法、分割法和变形法都是转化的策略；一般化与特殊化的转化、正与反的转化、实际问题数学化、常量与变量的转化等都是化归的基本策略。实现化归的方法是多种多样的。因此，与前面所举的具体方法相比，更重要的就是应掌握化归的中心思想。这就是说，我们不应以静止的眼光而应以可变的观点去看待问题，应用巧妙的化归思想简化数学问题。化归的基本思想是化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易。在初中阶段，解方程（组）使用的方法“消元”“降次”“有理数”“整式”等，都是为了将方程（组）化为一元一次方程，这就是人们在化归思想的指导下创设这些方法的。由化归思想作为指导解方程（组），将问题由复杂变简单的过程，即在教学时，将二元一次方程（组）作为化归对象，一元一次方程作为化归目标，在这种化归思想的指导下，学生在解方程组就会想到“消元”，教师在教学过程中通过创设恰当的问题情境，使代入消元法和加减消元法呼之欲出，将问题由复杂变简单。
三、以化归思想为主多种思想为辅
在应用化归思想解决方程问题的过程中，还会应用到其他许多的数学思想。例如：等量代换，数形结合，分类，归纳，转换，配方法，换元法，分解与组合，变量与不变量等等多种数学思想。解决数学问题时，需要用到许多必要的数学基础知识和基本的数学方法，但更重要的是如何把数学基本方法有机地联系起来，因此，化归思想就成为解决数学问题的最重要的数学思想方法。例如：有些方程问题又可以借助量与量之间的变化来实现。这就是在化归思想指导下，借助了等量代换等思想。因此，在应用化归思想解决数学问题的同时，渗透了许多的其他数学思想，从而将复杂的问题简单化，将陌生的问题熟悉化，达到解决问题的目的。总之，当前对化归定义、化归方法、化归原则的研究都有一定的理论深度,但是对化归思想方法教学的研究相对比较薄弱,还没有形成较为成熟的研究模式或理论体系,与此有关的研究大多是结合具体内容进行化归原则或是化归方法的罗列。另外还想补充一下内容：化归思想方法的教学原则包含:化隐为显原则、螺旋上升原则、系统教学原则、启发诱导原则。这些原则在方程的教学中得到广泛应用。当然，本人只是将划归思想在方程教学中的应用做了一点肤浅的见解，望教师们能够科学的、广泛的应用它。
参考资料
为了更好的适应新一轮课程改革, 从课堂教学技能到理论素养全面提升我校教师业务水平, 我校和浙江师范大学教师教育学院结对, 开展为期一年的教师培训, 培训的主要形式是理论讲座和听课、评课、再备课、再讲、再评.抛物线的定义及其标准方程是这次活动中由L老师开设的一堂课.
1 课堂实录
1.1 情景引入
一片果园中有一口小井, 果园旁边有一条水渠, 现要给果树浇水, 就取水路程远近这一角度而言, 应如何选择取水地点?——为该区域画一条合理的取水分界线 (供取水时参考) .
生1:分界线应为到小井的距离与到水渠距离相等的点轨迹.
师:能把实际问题抽象成数学问题吗?
生2:水渠抽象成一条直线, 小井抽象成一个点, 问题是:到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹.
1.2 动画演示, 形成定义
教师用几何画板演示, 改变定点F与定直线之间的距离, 学生观察曲线形状变化 (如图1) .
师:当点F到直线距离改变了, 曲线的形状如何变化?
生3:当点F到直线的距离越近, 曲线开口越小, 反之越大.
师:当点F在直线上时, 曲线的形状如何呢?
生4:是一条过F且垂直于定直线的直线.
师:回答得很对, 我们把到定直线与到定点 (点不在线上) 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.当点在线上时, 抛物线退化成一条直线, 椭圆的退化图形是一条线段, 双曲线的退化图形是两条射线, 定点F叫抛物线焦点, 定直线叫抛物线的准线, 定点到定直线的距离叫焦准距, 通常用p表示.
1.3 理性分析, 合理建系师:如何推导抛物线的方程?
生5:先建立直角坐标系, 再把几何关系转化为代数关系……
师:坐标系怎么建?
学生提出了3种建系方案, 如图2.
师:建立坐标系从本质上讲是人为的, 你想怎样建就怎样建, 但是不同的建系, 得到的方程繁简程度不一样, 我们肯定要挑简单的建, 请大家思考, 选择哪种建法得到的方程最简单?为什么?
思考1分钟后.
生6:我认为按照丙建立坐标系是最简单的, 因为在二次函数中, 顶点在坐标原点的抛物线方程最简单.
生7:我也认为丙最简单, 抛物线过原点, 不含常数项, 另外两个肯定含有常数项.
师:上面两个同学, 一个根据经验, 一个凭借对特殊点的分析都得出方案丙最简单, 的确是丙推出的方程最简单, 大家动手推导方程吧.
学生动手推导方程, 教师巡视指导.
两分钟后, 学生推导出抛物线标准方程y2=2px (p>0) .
1.4 类比拓展, 归纳提升
师:y2=2px (p>0) 是焦点在x轴正半轴上的抛物线标准方程, 当焦点分别在x负半轴、y轴的正半轴、y轴负半轴上的抛物线方程及其焦点坐标和准线方程是什么呢?请完成上表 (包括抛物线的4种标准方程、图像、对应的焦点坐标及准线方程) .
教师问, 学生答, 完成表格的填写.
师:同学们, 抛物线的标准方程左边是平方, 右边是一次式, 仅含一个参数p, 一个参数也就意味着只需要一个条件就能够决定抛物线的形状, 求出抛物线的标准方程.上面给出的甲、乙两种建系方案得到的方程不是标准方程, 请写出在甲、乙坐标系下抛物线的方程.
生8:在甲中相当于将抛物线向右平移了
师:回答得很好, 坐标轴的平移相当于曲线往相反方向的移动.
1.5 精选例题, 夯实基础
教师讲解例题:求抛物线y2=6x的焦点坐标及准线方程后, 学生口答y=6x2和y+6x2=0的焦点坐标和准线方程, 教师着重讲解解题的规范性, 强调先想图形再答题.
演板练习:求下列抛物线的标准方程:
(1) 焦点坐标是F (0, -2) ;
(2) 抛物线的准线方程为x=1;
(3) 过点A (3, 2) .
师:二次曲线y=ax2 (a≠0) 也是抛物线, 它的焦点坐标和准线方程分别是什么?
生9:由y=ax2得
生10:不对, a<0, 焦点在y轴负半轴上, 多了个负号, 准线在x轴上方, 应该少了一个负号.
师:说得很好, 形如x2=my (m≠0) 的抛物线, 焦点坐标为
1.6 引导学生编题, 深化对定义的认识
师:P是抛物线y2=8x上一点, P到直线x=-2的距离记为d, 到点F (2, 0) 的距离记为|PF|, d与|PF|之间有什么关系?
生11:相等, 抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.
师:把直线x=-2改为直线x=-1呢?
生12:|PF|=d+1, 直线x=-1实际上是把直线x=-2向右平移了一个单位, d减小了1.
师:请大家根据生11的回答自编一道求抛物线方程的问题.
学生编的问题基本上是与求到定点F (2, 0) 的距离比到直线x=-1的距离大1的曲线方程属同一类型.
1.7 学生小结, 教师补充略.
2 教后反思
数学课堂教学从本质上说, 是以知识为载体, 以问题为核心, 师生借助教材、多媒体等, 在课堂上的交互活动, 在这个活动过程中通过对知识的学习, 发展学生的思维能力.
2.1 通过对知识的归纳整理促进学生能力生成
教师对教材的处理从某种程度上来说是“用适度的非形式化处理的方法, 将数学的学术形态转化为教育形态, 展现数学的魅力, 激起学生学习数学的热情”, 但教师的教学不能停留在知识的教育形态上, 还需要引导学生从逻辑上对知识进行建构, 实现从教育形态到学术形态的转化, 形成具有良好结构的认知, 将知识学习内化为能力生成.抛物线方程不同于椭圆、双曲线方程的最显著特征是只含有一个参数——焦准距p, 一个参数决定了抛物线的形状, 一个条件就可以求出参数p, 基本思想在教师的小结中凸显出来;抛物线的退化图形是一条直线, 椭圆的退化图形是一条线段, 双曲线的退化图形是两条射线, 知识网络在教师简练的小结中编织而成, 学生的能力在潜移默化中生成.
2.2 通过对过程的反思促进学生能力生成
数学知识的发生发展过程是数学学习活动的依据, 自我监控对数学学习起定向、控制和调节的作用, 是数学学习的“向导”和“监察官”.自我监控能力的高低直接决定数学学习质量, 并进而决定数学学习能力, 反思包括对过程的反思、对结果的反思、对方法的反思、对学习过程的优化.怎样建立坐标系是抛物线标准方程教学中的一个难点, 3种建系的方法学生都能够想到, 但是哪种建系求出的方程最简单呢?常规的做法有两种:其一是让学生把3种坐标系下的方程求出来做一比较, 其二是教师说明, 前种方法费时长, 后种方法难以让学生信服, L老师另辟蹊径, 让学生提出建系方案, 然后对3种方案进行分析, 再求抛物线方程, 最后还利用平移的知识说出另外两种建系下的抛物线方程, 用后面的结果再次印证前面的分析, 在这个过程中学生不仅对“如何建系?”进行了思考, 还对自己思考的过程“究竟哪种建系方程最简单?”进行反思, 促进学生数学学习能力的生成.
2.3 通过变式促进学生能力的生成
变式的作用主要是通过学生在变化的数学情景中进行技能训练, 使活动方式能够在直觉水平上得到概括, 从而形成关于活动的表象, 有利于对数学技能的掌握, 并为自动化创造条件, 由抛物线方程求出准线方程、焦点坐标, 由一个独立的条件求出抛物线标准方程是这一节课的基本技能要求, 在例习题的设计上L老师精选了3个在结构上具有相似性的抛物线方程, 求准线和焦点以及知道准线、焦点和抛物线上一点求抛物线方程, 使学生对各种不同的模式 (方程和独立条件) 进行辨别性分析, 进而把这些模式与抛物线联系起来, 形成了稳固的知识结构, 最后提炼出形如x2=my (m≠0) 抛物线焦点坐标和准线方程表达式, 形成规律性的认识;在编题过程中, 由抛物线定义出发, 从相等关系和不等关系两个方面加深了对抛物线定义的理解, 培养学生辨证看问题的意识, 爱因斯坦曾经说过“学生提出一个问题往往比解决一个问题更重要”, 虽然学生提出的问题单一, 对每个学生而言都是一个新的尝试, 新的收获, 新的感悟.
参考文献
[1]陈永明.陈永明评议数学课[M].上海:上海科技教育出版社.2008.
[2]江建国.引导自学, 问题探究[J].数学教学研究, 2006, (10) .
总的来说，虽然课堂上同学们总结错误点总结的不错，但学生对解方程的掌握仍浮于表面，练习少了，课后作业中的问题也就出来了；第一，解题中部分同学仍采用原来的等式性质进行；第二，移项时符号还是一个大问题；所以总的说来，这课堂效率不高，没有完成基本的课堂任务；学生一节课下来还是少了练习的机会，看来对求解的题目，课堂上需要更多的练习，从题目中去反馈会显得更加适合。在新教材的讲解中，有时还是要借鉴老教材的一些好的方法。
这节课的教学目标为理解一元二次方程的概念及其解,认识一元二次方程的一般形式,并会熟练地把一元二次方程化为一般形式.
这节课以有关于“动物园”的几个小问题,让学生列出方程(有一元一次和一元两次方程),讨论这些方程的异同,引出课题---一元二次方程.教师引导下学生概括出一元二次方程的定义以及二元一次方程的解的概念后,从内涵到外延来加强学生对这些的概念的理解和把握.学生的学习效果都非常好.接下来的重要环节就是归纳出一元二次方程的`一般形式,了解二次项,一次项,常数项以及二次项系数,一次项系数等.学生练习板书反映比较好.时间充足给出一个思考题进行能力的提高,在教师的引导下大部分学生都能顺利的求解出来,最后进行课堂小结,学生自由发言,非常积极.
传统的教学法比较偏重理论的系统性, 往往对线性代数在其他领域的应用重视不够; 现行教材多重理论, 轻应用, 重公式推导, 轻数值计算, 教材大多忽略了概念, 原理和模型的实际意义. 往往学生学完线性代数这门课程后, 只会套用解题, 即“算数学”, 并不知道线性代数在哪些领域应用, 如何应用, 即“用数学”. 导致学生学习目的不明确, 为了应付考试而学习, 这不利于激发学生学习兴趣, 不利于培养学生创新能力和实践能力.
线性方程组是线性代数的核心, 行列式、矩阵、向量空间等都是为研究线性方程组创造的工具. 线性方程组广泛的应用于商业、经济学、社会学、生态学、人口统计学、遗传学、电子学、工程学以及物理学等领域, 大量实际问题都可以转换成线性方程组求解问题.
根据线性方程组的解的理论, 通常可用克莱默法则; 矩阵的逆以及更一般的将增广矩阵进行初等行变换的方法 ( 即高斯消元法) 求解. 本文将通过这几个方面给出线性方程组课堂教学的几个典型应用案例.
一、利用克莱默法则求解的应用案例案例1 “鸡兔同笼”问题
案例1“鸡兔同笼”问题
这是我国古代著名趣题之一, 记载于《孙子算经》之中.
问题设有若干只鸡和兔子, 它们共有88 个头, 244 只脚, 问鸡和兔各有多少只?
解设鸡和兔子各有x, y只,
案例2 在空间解析几何中的应用问题[1]
在解析几何中, 我们知道: 平面中建立了坐标系后, 一个二元一次方程就表示平面上的一条直线. 空间中建立了一个坐标系后, 三元一次方程表示一个平面. 因此线性方程组的理论在解析几何中有着重要的应用.
问题求通过空间不在同一直线上三点A ( x1, y1, z1) , B ( x2, y2, z2) , C ( x3, y3, z3) 的平面方程.
解设所求平面的方程为:
将上述三点坐标代入方程, 并和 ( 1) 合并得方程组:
( 2) 这是一个关于a, b, c, d的齐次线性方程组, 由于a, b, c, d不全为零, 即
方程组 ( 2) 有非零解, 故
( 3) 这就是通过空间不在同一直线上三点A ( x1, y1, z1) , B ( x2, y2, z2) , C ( x3, y3, z3) 的平面方程.
二、利用矩阵的逆求解的应用案例
案例3减肥食谱问题[2]
这是一种在20 世纪80 年代很流行的食谱, 是由Alan H. Howard博士领导的科学家团队经过八年对过度肥胖病人的临床研究, 在剑桥完成的, 称为剑桥食谱. 这种低热量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维生物、矿物质、微量元素和电解质. 近年来, 数百万人应用这一食谱实现了快速和有效的减肥.
设三种食物脱脂牛奶、大豆粉和乳清每100 克中蛋白质、碳水化合和脂肪的含量如下表.
问题如果用这三种食物作为每天的主要食物, 它们的用量应各取多少, 才能全面准确地实现这个营养要求?
解设x, y, z分别表示这些实物的数量 ( 以100 克为单位) , 则它们的组合所具有的营养应达到减肥所要求的每日营养量, 故
将对应的方程组的增广矩阵进行初等行变换得:
这样就能保证所需的综合营养量.
案例4生产总值问题[1]
一个城市有三个重要的企业: 一个煤矿, 一个发电厂和一条地方铁路. 开采一元钱的煤, 煤矿必须支付0. 25 元的电费来驱动它的设备和照明, 还需支付0. 25 元的运输费.而生产一元钱的电力, 发电厂需支付0. 65 元的煤作燃料, 自己亦需支付0. 05 元的电费来驱动辅助设备及支付0. 05元的运输费. 而提供一元钱的运输费, 铁路需支付0. 55 元的煤作燃料, 0. 10 元的电费驱动它的辅助设备. 某个星期内, 煤矿从外面接到50000 元钱煤的订货, 发电厂从外面接到25000 元电力的订货, 外界对地方铁路没有要求. 问这三个企业在那一个星期内生产总值多少时才能精确地满足它们本身的要求和外界的要求?
解对于一个星期的周期
x1表示煤矿的总产值; x2表示电厂的总产值; x3表示铁路的总产值.
根据题意, 得
则上式写为: X - CX = d即 ( I - C) X = d,
因为系数矩阵行列式I - C = 0. 62875≠0, 根据克莱默法则, 此方程组有唯一解, 其解为:
得煤矿总产值为102087 元, 发电厂总产值为56163 元, 铁路总产值为28330 元.
这是宏观经济学中投入—产出模型中的开式模型. 投入—产出模型是哈佛大学教授瓦西里·列昂惕夫 ( Wassily Leontief, 1906 - 1999) 于1949 年夏末提出的. 并由此诞生了研究宏观经济学的投入- 产出法, 它是列昂惕夫的杰出创作, 编制投入- 产出表、建立相应的线性代数方程体系, 就能综合分析和确定国民经济各部门之间错综复杂的联系, 分析重要的宏观经济比例关系及产业结构等基本问题. 总之, 投入- 产出模型就是用数学形式体现投入产出表所反映的经济内容的线性代数方程组. 列昂惕夫由于从事“投入产出分析”, 于1973 年获得第五届诺贝尔经济学奖, 他的一生研究是数学在经济领域里应用的最好典范.
三、利用高斯消元法求解的应用案例
案例5百鸡问题
该问题记载于我国古代算书《张邱建算经》中. 百鸡问题是中国古代解一次不定方程的整数解一种方法, 导致三元不定方程组, 其重要之处在于开创“一问多答”的先例, 这是过去中国古算书中所没有的.
问题: 今有鸡翁一, 值钱伍; 鸡母一, 值钱三; 鸡刍鸟三, 值钱一. 凡百钱买鸡百只, 问鸡翁、母、刍鸟各几何? 答曰: 鸡翁四, 值钱二十; 鸡母十八, 值钱五十四; 鸡刍鸟七十八, 值钱二十六. 又答: 鸡翁八, 值钱四十; 鸡母十一, 值钱三十三, 鸡刍鸟八十一, 值钱二十七. 又答: 鸡翁十二, 值钱六十; 鸡母四, 值钱十二; 鸡刍鸟八十四, 值钱二十八.
解设公鸡、母鸡、小鸡分别为x, y, z只, 由题意得:
可求得符合题意的四组不同的整数解:
如果不考虑问题的实际背景, 由于这个三元一次方程组中有两个方程、三个未知数, 那么它有无穷多组解.
案例6 交通流量问题[3]
某城市有两组单行道, 构成了一个包含四个节点ABCD的十字路口, 如图1, 在每个进出口都记录有单位时间内进出该路段的流量 ( 每小时的车流数) . 试问每两个节点之间路段上的交通流量是多少?
解决此问题可假设: 每两个节点之间路段上的交通流量为:
D→A: x1, A→B: x2, B→C: x3, C→D: x4.
且假设针对每个节点, 进入和离开的车流数相等, 则由已知条件可建立四个节点的流通线性方程组:
上面线性方程组有无穷多个解:
此时方程组有无穷多组解, 表明: 如果有一些车围绕十字路D→A→B→C绕行, 流量x1, x2, x3, x4都会增加, 但并不影响出入十字路口的流量, 仍然满足方程组.
案例7 化学方程式配平问题[2]
化学方程式描述了化学反应的物质消耗和生产的数量. 例如, 当丙烷气体燃烧时, 丙烷 ( C3H8) 与氧 ( O2) 结合生成二氧化碳 ( CO2) 和水 ( H2O) , 按照如下形式的一个方程式:
为了“配平”这个方程式, 需要适当的选择其中的x1, x2, x3, x4, 使得方程式两边的碳、氢和氧原子的数量分别相等 ( 因为在化学反应中原子既不会被破坏, 也不会被创造) .
配平化学方程式的一个系统方法是建立描述一个化学反应中每一种类型的原子的数目的一个向量方程. 由于方程式包含三种类型的原子 ( 碳、氢、氧) , 给上式的每一种反应物和生成物构造一个属于R3的向量, 列出每个分子的组成原子的数目如下:
要配平方程式, x1, x2, x3, x4的系数必须满足:
将右边项移到等式左边 ( 修改第三和第四个向量的符号) 得到:
将方程组的增广矩阵进行初等行变换得到通解:
因为化学方程式的系数应为整数, 取x4= 4, 则x1= 1, x2= 5, x3= 3, 配平的方程式为:
如果方程式中的每个系数乘两倍的话, 该方程式也是配平的. 然而在一般情况下, 人们更倾向于使用全体系数尽可能小的数来配平方程式.
总之, 线性方程组的应用非常广泛, 小到“鸡兔同笼”问题, 大到国民经济“投入产出”问题, 从“减肥食谱”问题到“化学方程式配平”问题等等. 教师在讲授线性方程组理论时, 可从实际问题出发, 通过对实际问题的分析引入线性方程组, 再从解决实际问题的需要, 运用矩阵相关理论, 可使用数学软件解决实际问题. 这样, 一方面能让学生认识到学习线性方程组理论的重要性和必要性, 另一方面能让学生了解运用数学知识解决实际问题的基本过程, 培养学生应用数学知识解决实际问题的能力. 当他们了解到现实中许许多多实际问题与复杂线性方程组的联系时, 就能认识到学习线性代数的必要性.
摘要：线性方程组是线性代数的核心, 但是传统的教学法重理论、轻应用, 不利于激发学生学习兴趣.本文从求解线性方程组的不同方法入手介绍线性方程组课堂教学的几个典型应用案例, 培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力.
关键词：线性方程组,克莱默法则,矩阵的逆,高斯消元法
参考文献
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[2]David C.Lay.线性代数及其应用[M].刘深泉等译.北京:机械工业出版社, 2005.
[3]白梅花.线性方程组若干应用实例举例[J].科技资讯, 2011 (27) 200.
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[5]李尚志.从问题出发引入线性代数概念[J].高等数学研究, 2008 (9) 6-15.
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