《三角形面积计算》的教学反思
这节课，是在学生学习了平行四边形面积计算，初步了解了转化与平移的数学思想的基础上进行学习的。教学中，我重视让学生动手操作，鼓励、引导学生以小组合作的形式，通过操作、讨论、交流等方式，探索三角形面积的计算方法，得出计算公式，学生在师生、生生及小组间的互动中解决了问题，获得了知识，体验了成功。课堂教学取得了良好的效果。
《三角形面积的计算》，对于十岁左右的儿童来说，空间观念是从经验活动的过程中逐步建立起来的。鉴于此，这节课我采用了通过实践操作组织教学，通过大胆放手，让学生在猜、剪、拼、想、议中学习数学，在学生动口、动手、动脑中研究数学，在自主、自由中“发展”数学。
1、激发求知需要
创设情景，通过由长方形花坛面积过渡到三角形花坛的面积，让学生猜想三角形花坛的面积如何计算，唤起了学生的求知欲，引发学生的学习兴趣，这不仅符合学生的认知需要，发展了个性，而且让学生怀着好奇心进入自主的对新知识的探索活动中去。
2、培养合作交流的合作意识
这节课一系列活动的设计给了学生对新知探讨充足的合作交流的时间和空间，让学生通过实际操作和小组讨论尽情地表现、发展自己，充分体现了教师是课堂教学的指导者、合作者的作用。我提供了多次学生交流的机会：把学具三角形转化成学过的平面图形、讨论转化成的图形与原三角形的关系等。学生通过互相帮助、分工合作、互相激励来促进彼此的学习，形成面对面的促进性互动，学生学会了交流，充分发扬了教学民主。
3、培养实践能力
一位教育家说过：“儿童的智慧就在他的手指尖上。” 因此，课堂教学必须为学生提供更广阔的创新舞台和时空，顺着学生的思路，让学生在亲身实践的过程中感悟知识。动手操作的过程，是学生手、眼、脑等多种感官协同活动的过程，让学生多种感官参与学习活动，不仅能使学生学得生动活泼，而且对所学知识能理解得更深刻，记忆得更牢固，还有利于发展学生的思维，培养学生的创新精神和实践能力。如果把推导三角形面积公式这一环节照本宣科，学生也能理解，但只是按部就班，谈不上对学生创新精神和实践能力的培养，因此本节课在教学思路上重视对学生的学法指导，淡化教师教的痕迹，突出学生学的过程。让学生自己去发现和概括三角形的面积公式，使学生在拼剪的过程中体验学习的乐趣。为了达到这一目的，先让学生独立操作，分组合作探究，从不同的角度进一步验证得出结论，初步概括出三角形的面积公式，这样采用了剪剪拼拼、操作讨论的方法，找到了三角形如何转换成长方形、平行四边形的方法，为图形之间的关系架设了桥梁，使知识融会贯通。
4、鼓励自主探索
本课在进入新授时没有按照传统的方法灌输给学生三角形的面积公式，而是学生在实践操作后，自主得出结论，由学习中的问题，产生了思维火花的碰撞，通过不同的剪拼方法，殊途同归都能达到推导出三角形面积计算公式的目的，深化了数学知识的理解，这里较好地渗透了归纳、概括等数学思想。学生从自己的“数学现实”出发，在教师的启发诱导下自己动手、动脑“做数学”，用操作、观察等，获得体验，并作类比、分析、归纳，逐步达到数学化、严格化和形式化。
5、不足之处
但我觉得，整节课还存在很多有待改进的地方：如在摆拼转化图形时没有出示一些没有完全相同的三角形让学生摆拼；量度红领巾时没有充分让学生去量度。另外，在课本的练习中，有这样的一道题：
已知三角形的面积是36平方厘米，底是8厘米，它的高是多少厘米？ 在作业时学生答案五花八门：36÷2÷8、36-8÷2、16×2÷8 „„，甚至有学生对此题束手无策。这可能与未处理好教学目标与学生探究能力之间的关系有关，部分学生对三角形与转化后平行四边形之间的联系浮于表面，还没有更深入的理解。要解决好这样的问题，在今后的课堂教学中还有待于我不断地思考和探索。
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《三角形面积的计算》教案
义东学校
谢艳红
教学目标：
1．知识与技能：使学生理解并掌握三角形面积的计算公式，并学会运用公式计算三角形的面积。2．过程与方法：
（1）通过动手操作使学生经历计算公式的推导过程，培养学生的分析推理能力及动手操作能力。
（2）运用面积计算公式，使学生运用所学知识解决实际问题，提高学生解决问题的能力。
3．情感、态度与价值观：
（1）引导学生运用转化的方法探索知识的变化规律，培养学生分析问题和解决问题的能力。
（2）通过演示和操作使学生感悟数学知识内存联系的逻辑之美，显示对美的领略。
教学重点：理解并掌握三角形面积计算公式。教学难点：理解三角形面积计算公式的推导过程。教学过程：
一、创设情境，导入新课
师：同学们，红领巾是什么形状的？关于三角形你们知道哪些？那么三角形的面积你们会算吗？这节课我们一起研究、探索这个问题。（板书：三角形面积的计算）
二、探索交流、归纳新知 1．寻找思路：
师：关于面积你们会求哪些图形的面积？ 长方形的面积=长×宽平行四边形的面积=底×高
师：记得平行四边形的面积公式是怎么得来的吗？（演示平行四边形面积计算公式的推导过程）
师：在推导平行四边形的面积计算公式时，是将平行四边形利用割补法转化成学过的长方形的，通过求长方形的面积推导出平行四边形面积的计算公式的。
思考：求三角形的面积时，能不能也将三角形转化成我们所学过的图形呢？ 师:怎样将三角形转化成所学过的图形呢? 师:两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,也就是说一个平行四边形可以分成两个完全一样的三角形.2尝试操作
（1 将三角形转化成学过的什么图形？（2）每个三角形与转化后的图形有什么关系？
让学生自己找到新旧知识间的联系，使旧知识成为新知识的铺垫。] 2．分组实验，合作学习。（1）提出操作和探究要求。
让学生拿出课前准备的三种类型三角形小组合作动手拼一拼、摆一摆或剪拼。
屏幕出示讨论提纲：①用两个完全一样的三角形摆拼，能拼出什么图形？ ②拼出的图形与原来三角形有什么联系？
（2）学生以小组为单位进行操作和讨论。
教师巡视，及时了解学生在操作和讨论中存在的问题，并针对性地进行指导学困生：你是怎样拼的？能说一说你的拼法吗？
②课件演示：用旋转平移的方法将三角形转化成各种已学过的图形。师：通过实验，你们发现了什么？
引导学生得出：只要是两个完全一样的三角形都能拼成一个平行四边形 3．归纳公式（1）讨论：
1、三角形的底和高与平行四边形的底和高有什么关系？
2、怎样求三角形的面积？
3、你能根据实验结果，写出三角形的面积计算公式吗？ 板书：
三 角 形 面 积=底×高÷2
S=ah÷2
4、进行爱国教育
请同学们课后把85页的“你知道吗”。
三、应用新知，解决问题
五、回顾总结，深化提高：渗透数学方法
《三角形的面积》评课记录
1、教师的教学素质比较高，语言优美动听。
2、教学思路清晰，重点突出，充分利用转化的方法让学生理解三角形的面积。
3、充分发挥小组合作的力量，将新知识让小组同学在交流探索中转化成自己的知识。通过小组的合作、交流，可以提高学生的数学思维能力，学生的情感和态度也可以得到发展。
4、让学生在探索知识的过程中，注重思维方法的养成，归纳出三角形面积公式，课堂节奏有紧有松，收放适当，达到了很好的教学效果。
5、因材施教，因人施导，注重学法指导，突出培养能力，突出启发创新思维，学生参与面大，积极性高，学习兴趣浓厚，教学紧扣目标，教学效率高。
不足：
片段一:口答直角三角形面积, 初步积累活动经验
生:1平方厘米.
师:你是怎样想的?
生:把上面的部分移到下面, 变成一格. (课件演示)
师:不错的想法, 还有和他不一样的想法吗?
生:再补上一个直角三角形拼成长方形, 长方形的面积是2平方厘米, 所以三角形的面积是1平方厘米.
师:思路很清晰.看来, 通过“移”和“补”都能算出这个直角三角形的面积. (出示:底是6厘米, 高是4厘米的直角三角形) 老师这里还有一个大一点的直角三角形, 它的面积你知道吗?
生:12平方厘米.
师:你怎么这么快就算出来的?
生:我给它补上一个三角形, 变成一个长方形, 长方形的面积是24平方厘米, 所以那个三角形的面积是12平方厘米. (课件演示)
师:和他想法一样的举举手.还有不同的想法吗?
生:也可以移动变成一个长方形.
师:面对两种方法, 大家自然会在心中琢磨, 哪种方法更方便呢?
生:补上一个同样的三角形.
师:其实那么多同学选择“补”的方法说明大家已经意识到这一点.接着请大家来看一个更大的直角三角形. (出示:底是12厘米, 高是10厘米的直角三角形) 它的面积是多少?谁愿意说说你的想法?
生:面积是60平方厘米, 我也是先补上一个三角形算出长方形的面积是120平方厘米, 再除以2.
师:你的表达简洁明了.回顾一下我们刚才的学习, 想要算出一个直角三角形的面积, 我们可以怎么办?
生:补上一个直角三角形, 变成一个长方形. (实物演示)
师:既然两个完全相同的直角三角形能拼成一个长方形, 那么如果给我们两个完全相同的锐角三角形、钝角三角形是不是也可以拼成一个长方形呢?
生:不能!
师:这只是大家的直觉, 我们手上正好有这样的材料, 不妨试试看.
学生活动, 汇报交流.
研究新的数学问题, 需要有明确的方向和清晰的思路, 否则, 所谓的探究也只是毫无目的的盲动.这一片段的教学, 我在方格图中依次呈现大小不同的直角三角形, 学生凭借方格图通过“移”或“补”, 轻松求出三个三角形的面积, 在不经意间已经生成了“拼一个同样的三角形”求三角形面积这一方法, 初步积累了基本的数学活动经验, 最后由直角三角形推广到任意三角形, 自然切入新课, 在此基础上, 学生自主探索三角形面积计算方法便水到渠成.
片段二:自主探索, 逐步顿悟三角形面积的计算方法
师:让我们一起拿出1号三角形纸片, 谁来说说, 这是一个怎样的三角形纸片?
生:底是6厘米, 高是3厘米的三角形.
师:它的面积是多少呢?同学之间交流一下你的方法.
生:可以用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形, 再算出一个三角形的面积.
师:可我们每人只有一个三角形啊, 怎么办?
生:同桌两人合作.
师:那就请和同桌一起拼一下.
(学生活动)
师:看着你桌面上拼成的平行四边形, 你会算每个三角形的面积吗?
生:9平方厘米.
师:怎么算的?
生:先算平行四边形的面积是18平方厘米, 三角形面积是9平方厘米. (课件出示)
师:借助已有的经验, 我们轻松算出了1号三角形纸片的面积.我们桌面上还有一张长方形纸片, 在这张纸片上有一个2号三角形, 你还能像刚才的1号三角形纸片那样拼吗?
生:不好拼!
师:这下我们可以怎么办呢?同桌可以交流一下
生:可以在三角形边上画出一个一样的三角形.
师:大家一起试一试.
(学生画, 展示)
师:现在, 看着画成的平行四边形, 你能算出2号三角形的面积吗?
生:平行四边形面积是20平方厘米, 那么三角形的面积是10平方厘米.
师:我们用拼的方法算出了1号三角形的面积, 用画的方法算出了2号三角形的面积.那如果我们面对的是这样一个三角形又该怎么办呢? (大屏幕出示一个三角形) 先想一想, 在作业本上写出来.
师:你算的面积是多少?
生:2平方厘米
师:你是怎样想的?
生:我可以想成一个平行四边形, 发现三角形的底等于平行四边形的底, 三角形的高等于平行四边形的高, 因为平行四边形的面积等于底乘高, 所以一个三角形的面积等于底乘高, 再除以2.
师:想成了一个平行四边形, 你能指一指吗?
(指名学生指)
师:大家闭上眼睛, 想象一下这个平行四边形.
(课件出示)
师:再闭上眼睛, 想象一下这个平行四边形.
师:现在谁来说说, 三角形的面积可以怎样计算?生:底×高÷2. (板书)
生:底×高÷2. (板书)
师:这里底乘高求出的是什么?
生:两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积.
从“三角形纸片”到“作业纸上的三角形”再到“屏幕上的三角形”, 三种不同情境中的三角形恰到好处地引发学生一次次自觉修正自己的方法, 最终顿悟出根本“不用拼”, 可以直接想出一个平行四边形进行计算.从中我们不难感受到孩子们的灵性和智慧, 这是学生自主探究的结果, 更是一个自悟自得的过程.
一、操作:为学生积累大量的表象
布鲁纳认为, 动作———表象———符号是儿童认知发展的程序, 也是学生学习过程的认知序列.由动作而积累表象是小学生进行数学学习的重要一环.如何不断积累图形表象, 特别是积累大量图形变式的表象, 一种非常重要的途径就是经历与图形有关的各种操作活动.
回首有限的教学时空, 采用的仍是司空见惯的教学形式———拼、算, 但其根本立场和视角已然发生改变:从学生看方格图中的直角三角形说面积到算任意三角形的面积, 其间, 没有引人入胜的情境、光彩夺目的课件、丝丝入扣的推理, 只是朴素地组织学生在操作中逐步摸索未知图形的面积计算方法.细细琢磨学生的三次操作, 那是层次不同的三次“拼、算”, 从我提供的材料上便可见端倪, 学生每“拼”一次并成功算出三角形纸片的面积都促其思维不断拔节.在此, 学生的收获不只是有形的公式, 更多的是积累了无形的探索平面图形面积的鲜活经验.
有关脑科学的研究表明, 在学习活动中如果大脑左右两个半球都能被激活, 学习效果将大为增强.在数学学习过程中融入动手操作, 有助于同时激活大脑的左右半球, 从而使学生对在操作过程中获得的认知体验更为深刻.上述教学过程不仅通过操作活动让抽象的结论在具体感知中自然得出, 而且引导学生经历了比较、分析、抽象、概括等一系列思维活动, 拓展了学生参与学习的广度和深度, 学生由此获得的体验无疑是深刻的.
二、顿悟:让学生享受学习的美妙
本课教学中, 在学生自主探索, 深入探究时, 我一次次的追问不经意间创设了一种情境, 给了学生自悟的空间, 使一部分学生在和同伴的竞争与合作中顿悟出三角形面积计算的方法, 进而带动大部分学生.这样学生得来的知识不会突兀, 因为从提出问题到解决问题, 其间有个渐悟的心路历程, 而这段路是学生自己走过来的, 解决问题的方法也是他们自己摸索出来的, 远比教师空洞地说教来得扎实, 学生在学习中培养起来的这种自悟素质也会令其享用一生.其实备课初我曾保守地设想, 倘若学生此时仍不能顿悟出一般方法, 那么我将给予更多的三角形纸片, 继续组织学生比赛算面积.我坚信, 当学生经历足够多的操作后, 顿悟一定会自然形成, 好在实践已不争地支持了我的预设.
[关键词]面积 操作活动 探究 反思
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）08-042
教学片断一：
师：请同学们先拿出两个完全一样的锐角三角形拼一拼、摆一摆，看看能拼成我们学过的哪种图形。
生1：能拼成我们学过的平行四边形。
师：那同学们能不能根据平行四边形的面积推导出三角形的面积呢？
生2：能。因为平行四边形的面积=底×高，所以三角形的面积=底×高÷2。
师：请大家再拿出两个完全一样的直角三角形摆一摆、拼一拼，看看能拼成我们学过的哪种图形。
生3：可以拼成长方形、正方形、平行四边形。
师：大家能不能根据这些图形的面积推导出三角形的面积？
生4：能。因为这些图形的面积=底×高，所以三角形的面积=底×高÷2
师：请大家再拿出两个完全一样的钝角三角形，看看能拼成学过的哪种图形。
生5：能拼成学过的平行四边形。
……
师（出示判断题）：两个大小相等的三角形可以拼成一个平行四边形。（全班一半学生判断此题对）
……
教学片断二：
师：同学们昨天准备了很多的三角形，今天请大家拿出学具，想怎么摆就怎么摆，但要求必须摆成我们已经学过的规则图形。先拼摆，再说说自己发现了什么，最后看能不能根据拼成的图形，推导出三角形的面积。
生1：我先拿出一个锐角三角形，然后拿出多个三角形拼摆，最后发现只有两个完全一样的锐角三角形才能拼摆成我们学过的平行四边形。因为平行四边形的面积=底×高，所以三角形的面积=底×高÷2。
生2：我费了好大的功夫，最后发现只有两个完全一样的直角三角形才可以拼成长方形、正方形、平行四边形，因为平行四边形的面积=底×高，所以三角形的面积=底×高÷2。
生3：我先挑了一个钝角三角形，然后挑出多个三角形试拼，好不容易才拼摆出已学过的平行四边形。我发现只有两个完全一样的钝角三角形才可以拼摆成平行四边形，因为平行四边形的面积=底×高，所以三角形的面积底×高÷2。
师（出示判断题）：两个大小相等的三角形可以拼成一个平行四边形。（全班学生都判断此题错）
……
反思：
上述两个教学片断，反映了教师两种不同的教学理念，前者理念陈旧，后者理念新颖，虽然都有学生的操作活动，但存在着本质的区别。
教学片断一中的操作活动是教师发出的指令，学生犹如一台机器机械地进行操作活动，学生并不清楚为什么要拿出两个完全一样的三角形进行拼摆。这里，学生的操作是机械的，没有思维含量，既不能培养学生动手操作的能力，又严重阻碍了学生思维的发展。由于学生得到的知识是教师教给的，自己没有经历知识的产生、形成过程，势必造成学生对所学知识的模糊和不理解。练习中出示的判断题“两个大小相等的三角形可以拼成一个平行四边形”，全班一半学生判断是对的，究其原因就在于教师的教学设计中没有学生的自主探究。
教学片断二中，教师敢于“该放手时就放手”，为学生提供了自主实践探究的机会。这里，学生操作的目标是明确的，活动是自由的，思维是发展的。教师的一句“想怎么摆就怎么摆”，学生听了非常高兴，因为学生最不喜欢受教师的严格束缚和限制，极大地满足了学生的心理需求。而且，教师提出的目标是明确的——必须拼摆成我们学过的图形，这样学生心中就有一个明确的指向灯，纷纷跃跃欲试，形成了“要学生做”变成“学生要做”的教学氛围和环境。学生在拼摆过程中要不断调控自己的操作活动，在调控操作的同时要反思什么样的三角形才能拼成平行四边形，由于学生经历了知识产生、发展和形成的过程，所以清晰的数学概念就自然形成了。这样教学，真正做到了操作活动自主化，增加了操作中的思维含量，最大限度地满足了学生自主发展的需要，使学生在操作中学习、在主动中发展、在探究中思考，发展了学生的思维。当练习出现教学片断一中的判断题时，全班学生无一人答错，因为他们亲身经历了知识的形成过程。这样一节课下来，学生人人都有收获，人人都有发展，人人都有喜悦，正是“你有，我有，全都有”。
这节课是围绕着“通过学生发现三角形面积与已学图形面积之间的联系，自主探究三角形面积计算公式的推导过程，激发学生学习数学的兴趣，不断体验和感悟学习数学的方法，使学生学会学习”这个教学重点展开的。
在教学过程中注意从每一个细微之处着手关心和爱护每一个孩子。如揭示课题后，我便对学生进行调查：哪些同学知道三角形面积的计算公式；哪些同学不知道三角形面积的计算公式；再有就是有哪些同学不但知道三角形面积的计算公式，而且还知道公式是怎样推导出来的，目的是为了了解学生的知识基础，从而帮助他更好地完成学习的过程。总之，让不同的孩子尽自己的所能学不同的数学。
在教学过程中注重多媒体课件的应用。如在学生自主探索的过程中，将两个完全一样的三角形（直角三角形、锐角三角形和钝角三角形）通过平移、旋转拼成我们学过的正方形、长方形和平行四边形的过程中采用多媒体课件的直观演示，让学生在脑海中形成直观表象，能让学生进一步理解三角形的面积等于拼成的平行四边形的面积的一半。对学生自主推导三角形的面积公式起到了事半功倍的效果。
1.动手操作形象教学。在教学中，让学生操作分别将三组完全一样的三角形拼成一个平行四边形，并比较每个三角形与平成的平行四边形各部分的联系，使学生体验和感知三角形面积公式的推导过程。同时在操作中向学生渗透旋转、平移的方法，让学生体验和感知三角形面积公式的推导过程。课堂上，学生表现出浓厚的兴趣，学习积极性很高，每个人都积极动手操作，这样极大地调动学生的思维，学生也真正投入到学习当中，成为学习的主人。
2.引导学生思考，培养探究精神。在这节课教学过程中，学生们面对平行四边形面积公式与三角形面积公式有什么不同?三角形面积公式中的“除以2”是怎么来的?这些问题，采取小组讨论的方式，通过思考，互相讨论，认真探究，得到结论。在三角形的面积计算公式推导出来以后，要鼓励学生继续去探索，以培养学生科学的态度和探究的能力。为此，我顺势引导，深入质疑：用底×高÷2这个计算公式来计算三角形面积是否可靠呢?三角形有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，用底×高÷2这个公式是否适用于所有三角形面积的计算呢?从而将学生的思维活动推向一个新的高潮。学生通过自己动手操作，动脑思索，小组讨论分析，然后各自发表自己的见解，这样学到的不只是公式本身，而是科学的态度和探究的能力。
3.让学生学会应用所学知识解决实际问题。本节课充分让学生学会应用所学的知识去生活当中的实际问题，例如：求交通标志的面积和红领巾的面积。让学生体验数学知识在实际生活中的重要性。
广西师范学院初等教育学院 07本2班 杨美超 0731010225 教学内容：人教版 五年级 《三角形面积的计算》 教学目标：
1、让学生利用学具，在动手操作推导三角形面积公式的过程中，充分理解并掌握三角形的面积的计算方法，能正确计算三角形的面积。
2、通过操作、观察、比较、运用等，让学生在推导和验证三角形面积公式的过程中，充分体验转化的数学思想，发挥学生初步的逻辑思维能力和空间观念。教学重点：掌握三角形的面积计算公式，并能正确运用。
教学难点：把三角形转化成平行四边形的关系，推导出三角形面积计算公式。教具、学具准备：教师准备教学课件
学生准备同样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形各两个 教学课时：2课时 教学过程：
一、情境导入，尝试计算
1、昨天老师接到一个任务，想请同学们一起解决，你们愿意吗？学校的运动会马上就要开始了，为了给我们班加油助威，我决定给我们班制作五面不同颜色的彩旗。同学们说老师该买多少布呢（面积）？必须知道什么（条件）？（情景导入，引出计算三角形的面积）
课件出示五面不同颜色的三角形彩旗
2、三角形面积的计算方法我们还没有接触过，那这节课我们共同来解决这个问题。（板书题目）
通过情景导入，激起学生探索的欲望，解决生活中的数学问题，并积极主动参与探究活动。
二、探究新知，转化图形。
（一）猜想探究，感受新知。
1、三角形的面积可以怎样求呢？（出示有小方格的三角形图，引导学生用可以用数方格的方法数出三角形的面积）
2、用数方格的方法求三角形的面积可以用来求很小的三角形，如果要计算一块很大面积的三角形呢？我们用数小方格的方法求就会非常麻烦，那我们还可以用什么方法来求呢？（引导数方格的方法的局限性，激起学生思考其他的办法解决）
（二）自主探究，合作交流。
1、复习近平行四边形面积是怎样推导出来的。
2、三角形面积公式的推导
请同学们拿出课前发下去的三角形，仿照我们推导平行四边形面积的方法，着拼一拼，看能不能推导出三角形的面积公式。操作前，老师提醒大家注意一下几个问题：
（1）选择两个一样的三角形拼图，看能拼出什么图形？（2）尝试着计算拼出的图形的面积。
拼出的图形与原来的三角形有什么联系？（屏幕出示）（3）学生分小组进行操作实践活动，老师到座位上指导巡查。（4）小组汇报交流操作结果
（请小组代表将自己的拼图贴于黑板上，按照自己的拼图进行汇报交流，同时跟其他小组进行交流。（教师根据学生的汇报出示相应的课件）
展示一：用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形，三角形的一条直角边（底）相当于长方形的长，另一条直角边（高）相当于长方形的宽，长方形的面积相当于三角形面积的两倍，因为长方形的面积=长×宽，所以，三角形的面积=底×高÷2。
展示二：两个完全一样的锐角三角形、两个完全一样的钝角三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于三角形的底，平行四边形的高相当于三角形的高，平行四边形的面积相当于三角形的2倍，平行四边形的面积=底×高，所以三角形的面积=底×高÷2。
展示三：两个完全一样的等腰直角三角形可拼成一个正方形。
小结：通过动手操作我们发现，两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形（或长方形或正方形）这个平行四边形的底相当于三角形的底，平行四边形的高相当于三角形的高，因为每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，所以，推出：
平行四边形的面积
= 底
×
高
↓↓
三角形的面积
= 底
×
高 ÷2 学生在平行四边形面积推导的基础上，运用转化的数学思想，通过动手操作，推导出三角形的面积公式。在操作过程中，教师把自主学习的权利还给了学生，使学生学得积极主动。在操作、观察、分析、推理、概括的过程中，培养学生的合作能力、动手能力、解决问题的能力。
3、用剪拼的方法推导三角形面积的计算。
除了刚才我们用的拼凑三角形面积公式推导方法外，下面请同学们再用剪拼的方法进行推导。要求：
（1）小组进行讨论：怎样剪拼可以推导出三角形的面积公式？（2）交流汇报（请学生展示剪拼过程）设想情况：沿着中线剪，随便沿一条线剪 得出：
平行四边形的面积
= 底
×
高
↓↓
（三角形的面积）（三角形的底）（三角形高的一半）
三角形的面积
= 底
×
高
÷4、老师再介绍其他的推导方法。
让学生体会到解决问题方法的多样性。这对有潜力的学生是一种提高，进一步培养了学生的创新意识，开阔了学生的思维，使学生也体会到了学习数学的乐趣。
小结：我们用拼图法、剪拼法等方法把三角形转化成学过的图形，推导出了三角形的面积公式。那么，如果用字母a表示三角形的底，h表示三角形的高，S表示三角形的面积，你能用字母表示三角形的面积公式吗？ 教师板书：
S=ah÷2
5、巩固概念，加深印象
判断题：（1）如果两个三角形的面积相等，那么底和高一定相等。
（2）三角形的面积是平行四边形面积的一半。
（3）两个三角形能拼成一个平行四边形。
6、公式运用，练习巩固
我们学校计划建一个三角形的花圃，底为8米，高为5米，这个三角形的面积是多少平方米呢？
四、小结。
英国哲学家、文学家培根说:“习惯是一种顽强而巨大的力量,它可以主宰人生。”
俄国教育家乌申斯基说:“好习惯是人在神经系统中存放的资本,这个资本会不断增长,一个人毕生都可以享用它的利息;而坏习惯是道德上无法偿清的债务,这种债务以不断增长的利息折磨人,使他最好的创举失败,并把他引到道德破产的地步。”
我国教育家陈鹤琴说:“习惯养得好,终生受其益;习惯养不好,终生受其累。”
我国文学家、教育家叶圣陶说:“教育是什么?往简单里说,只需一句话,就是要养成良好习惯。”
大师们的这些观点启示我们:习惯培养意义重大,是教师从事教育教学活动时必须重视和应当努力完成好的重大职责。
在我国,不论哪个时期的数学课程标准或大纲,都不同程度地体现了培养数学学习习惯的重要性。《义务教育数学课程标准》(2011年版)在基本理念中就明确提出:“数学教学活动,特别是课堂教学应激发学生兴趣,调动学生积极性,引发学生的数学思考,鼓励学生的创造性思维;要注重培养学生良好的数学学习习惯,使学生掌握恰当的数学学习方法。”这段话体现了要通过数学教学培养学生的数学思维和良好数学学习习惯的基本理念。特别是,新课标在课程总目标“情感态度”部分鲜明地提出了要“养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯”。
但实事求是地说,对一线数学教师而言,认识到培养学习习惯的重要性并不难,难的是如何让这些学习习惯的培养真正落地生根。何谓“落地”?笔者认为,就是要将数学学习习惯的培养真正融于日常的数学教学活动中,课堂教学活动成为学生习惯养成的重要“土地”。何谓“生根”?就是在习惯养成的过程中,学生持续获得来自日常数学教学活动的不断滋养,习惯的“根系”更具活力、更加强健,良好的数学学习习惯成为学生核心素养结构中不可或缺的一部分。
如何让数学学习习惯的培养真正在课堂教学中落地生根呢?笔者结合淄川区教研室翟静老师执教的“三角形面积的计算”一课,与老师们探讨相关的教学策略。
1.提出问题,唤醒知识,激活思维
师:(双手举起一条红领巾)我们熟悉的红领巾是什么形状?
生(齐答):三角形!
师:你知道做一条这样的红领巾需要多大的布吗?
生:老师,这得求三角形的面积,还没学呢。我不知道!
其他学生纷纷附和。
师:没学,是实情。但,没学过就没办法知道吗?想不想知道?
生(齐答):想!太想了!
师:怎么知道呢?我认为应该充分利用已经学过的知识和已有的经验。想想,哪些知识和经验对今天的学习会有帮助?
生1:我们刚学过了平行四边形面积的计算,肯定对今天学习三角形的面积有帮助。
生2:三角形的特征、分类肯定也会有帮助。
师:具体说说,学习平行四边形面积时的哪些经验对研究三角形面积有帮助?
生:(手拿一张平行四边形纸片,边操作边说)研究平行四边形面积的时候,一开始根本不知道怎么办。后来,在和长方形比较时,发现如果沿着平行四边形的高剪开,平移后就能拼成一个长方形,它们的面积是不变的。长方形的面积早就会了,利用长方形不就可以求出平行四边形的面积了吗?再后来,我们观察后分析发现,平行四边形的底、高和长方形的长、宽居然是一样的!最后,我们得到公式:平行四边形的面积=底×高。
师:说得好!做得好!有说有做,结合得更好!我曾经提过,这种“把新问题变成以前学过的旧知识”来解决问题的办法体现了一种数学思想,就叫———
生(齐答):转化!(师作相应板书)
师:三角形的特征、分类,大家掌握得怎么样?
从同学们的回答看,掌握得很不错。
师:看来大家已经做好准备了。让我们借助以前的旧知来解决三角形面积这个新问题,开始一次新的“转化”之旅吧!
2.提前谋划,打开思路,做好准备
师:问题来了,要把三角形转化成平行四边形该怎么办呢?(有几名同学刚要发言,老师示意先别说)先自己静静地想一会儿。
多数同学盯着自己手中的三角形、平行四边形纸片,有的还拿起剪刀试着剪了剪,似乎很为难。
师:有什么困难?
生:老师,要把这个三角形变成平行四边形,我不知道怎么办。
师:看来,一开始就遇到麻烦了。一个三角形,要把它变成一个平行四边形,的确有点难。(再拿起一张平行四边形纸片)看看它俩,想想……有没有什么新思路?看不出来的,动手画画、剪剪,多试试啊!
大约过了一分钟,有不少同学举手。
师:看来有思路了!谁想和大家分享?
生:我在看平行四边形时,突然想到,要是把对着的两个角的顶点连起来,平行四边形就变成了两个三角形,反过来想,两个三角形拼起来就能拼成一个平行四边形!
师:这个发现很重要!不过,我想问问:是随便两个三角形都行吗?好像说得还不够严谨啊。
生1:我补充,得是两个完全一样的三角形!
生2:你怎么知道这两个三角形完全一样?
生3:一看就看出来了!
生4:光看好像不可靠。证据不足!
生5:这……对了,你看我做一个动作(把两个三角形重合在一起),这总该行了吧?
生6:行了!
师:刚才这两名同学的对话很精彩!学数学一定要严谨,严谨些,没毛病!回到把三角形转化成平行四边形这件事上来,究竟该怎么做呢?课前我让大家自己准备一些三角形纸片,你准备了几个?都什么样的?你现在觉得应该准备几个三角形合适呢?自己先想想,然后小组内说说。
很快,学生达成如下共识:1.锐角三角形、钝角三角形、直角三角形这三类都应该有,这样探究时才能做到全面,结论才更有说服力;2.每类三角形各需要准备完全相同的两个,这样既便于拼摆操作,又便于发现拼摆前后的关系,对推导、发现公式很有帮助。为节省时间,同学们选择小组合作的方式共同剪制还欠缺的三角形,检查妥当后,小组探究活动开始。
3.自主探究,交流完善,建构新知
师:下面请各小组进行自主探究活动,注意做好分工,相互配合,并把探究的过程和主要结论记录在报告单里。
学生分组活动,操作、交流、记录相结合,教师点拨指导。
师:从同学们高兴的表情中,老师看到了探究的收获。哪个小组先来交流、展示你们探究的过程和结论?
第三小组将转化后的图形贴在黑板上,再依次汇报。
生1:用两个完全一样的锐角三角形拼成一个平行四边形,每个三角形的面积等于平行四边形面积的一半。
生2:用两个完全一样的直角三角形能拼成一个平行四边形,也能拼成一个长方形,每个三角形的面积等于平行四边形或长方形面积的一半。
生3:用两个完全一样的钝角三角形拼成一个平行四边形,每个三角形的面积等于平行四边形面积的一半。
师:弄明白这三种摆法和说法了吗?大家得到了哪些启发?
生1:两个完全一样的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都可以拼成一个平行四边形,每个三角形的面积等于平行四边形面积的一半。
生2:原三角形的底、高和拼成的平行四边形的底、高是一样的。
生3:这说明,先用三角形的“底乘高”求出与它等底等高的“虚拟”的平行四边形的面积,然后除以2就能求出了原三角形的面积了。
师:这位同学的发言好在哪里?
生1:她说得很有条理。
生2:她抓住了转化的关键条件“等底等高”。
生3:“虚拟”这个词用得好,我看着一个三角形就想象出了用两个拼成的平行四边形的样子。
师:大家听得很认真,听出了门道,还很会欣赏别人的优点。仿照她刚才的发言,小组内互相说说。
学生小组活动。
师:经过这番热烈交流,现在我们能推导出三角形面积的计算公式吗?
根据学生回答,教师板书:三角形的面积=底×高÷2。
教师设问:(1)“底×高”表示什么?(2)为什么要除以2?(3)如果用S表示三角形面积,用a和h分别表示它的底和高,那么你能用字母写出三角形的面积计算公式吗?
结合学生回答,教师板书S=ah÷2。
4.学以致用,巩固新知,发展思维
师:要想真正掌握三角形面积的计算方法,练习是必不可少的。用得越多,越熟练,越能掌握里边的窍门。(出示红领巾)现在你能求出做这条红领巾需要多大的布吗?
生:可以了,但需要先测量出红领巾的底和高。
师:同桌合作,认真测量出需要的数据,然后各自独立完成计算,自查之后再互查。
同桌配合默契,计算、检查有条不紊地进行。反馈时,老师组织学生重点交流解题时的注意事项,同学们从“测量高的方法”“别忘了除以2”“注意单位”等方面作了相互提醒。
接下来的两道练习题都来自课本,老师让学生循着“(1)审好题,弄准条件和问题→(2)列好式,用对公式写对数→(3)认真算,步骤清楚计算准→(4)认真检查,对照题意细细查”的解题步骤独立完成。其中第二道题中有多余条件,绝大多数学生并未上当,第一次就顺利闯关。出错的那几个,也在检查时发现了,并用红色笔改了过来。看来,同学们的解题习惯已经是训练有素!集体反馈时,老师组织几名学生分享了各自的解题经验。
5.回顾梳理,反思质疑,拓展延伸
围绕着“今天你有哪些收获和大家分享”这个问题,同学们从知识与技能、学习方法两个方面畅所欲言。老师还特别肯定了同学们在学习习惯方面的表现,并从认真勤奋、独立思考、合作交流等方面表扬了几名表现突出的同学。
师:针对今天的学习你还有什么问题?
生:记得以前我们是把一个平行四边形通过剪拼转化成了长方形,今天却是用两个三角形拼成了平行四边形,能不能只用一个三角形来剪拼成平行四边形呢?
师:好问题!这节课一开始我们就发现只用一个三角形操作起来有难度,但这并不代表这种方法行不通,建议大家课后再试试。
生:刚才我听有名同学说,要想知道三角形的面积,必须知道它的底和高。我认为这句话不够严谨。大家想想,有时候即使没告诉你一个三角形的底和高是多少,但告诉了和它等底等高的平行四边形的面积,直接除以2就行了。
师:这名同学很会听啊!刚才老师都没注意到这个细节。向你学习!
生:我想知道,如果知道了一个三角形的面积和高,怎么求底是多少呢?
师:又是一个好问题!课本上有道这样的题目,大家可以课后试试。
师:(出示一个梯形)我也有一个问题:如果我想求这个梯形的面积,你会怎样做?大家课后研究研究。今天我们是从一个问题开始学习的,最后又提出了这么多的新问题,真是收获多多啊!
二、落实数学学习习惯培养的基本教学策略
1.重整体把握
新课标中提到“养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯”时有个“等”字,至少包含两层意思:一是这四种学习习惯是教师在数学教学活动中应当重点培养的;二是这四种学习习惯不是良好数学学习习惯的全部,还有其他未曾提及的方面。作为教师,应当首先整体把握这四种学习习惯之间的关系,唯有如此,才能长远谋划培养目标、有序设计培养路径、合理调配教学资源、整合多方培养力量,学生的学习习惯才会得以整体优化、协同发展。笔者认为,不同的学习习惯之间不是孤立存在的,而是你中有我、我中有你的“合金”关系,相互依存、相互转化、相辅相成,从形成过程来看,它们之间也不是单向的决定与被决定的关系,而是交互选择、相互适应、协同决定的关系,彼此间保持着适度的张力。在和翟老师多次研讨后,我们构建了一幅“新课程标准数学学习习惯结构图”(如下图),供大家参考。
这四种学习习惯中,“认真勤奋”属于传统学习习惯,是我国数学教学一直比较重视的一种,它可以视作是整个学习习惯系统的底座,渗透在其他学习习惯中;“独立思考”和“合作交流”是整个学习习惯系统的推进器,决定着整个学习习惯系统的发展状态和运行质量;“反思质疑”是整个学习习惯系统的优化装置,决定着整个学习习惯系统所能达到的发展层次,是决定学生能否成为自我学习习惯养成主体的关键一环。这启示我们,培养学生的数学学习习惯不能等一种习惯培养好了再接着培养下一种,而应该走综合培养、整体推进的路子。换言之,我们应该把每一节数学课都作为培养学生各种良好习惯的载体,挖掘各种可能的资源和机会,逐步地、整体地提升学生各种学习习惯的水平。当然,不同阶段在习惯培养上会各有侧重,有层次差异,但基本态势是综合推进的。
2.重目标设计
新课标虽然提及了数学学习习惯的重要性和基本类型,但并没有详细阐述各类学习习惯的行为表现、水平差异、培养路径以及具体的教学主题等。所以,教师虽然意识到了培养数学学习习惯的重要性,却往往不清楚每节课具体要培养哪些习惯、做到什么程度、怎么去做,这导致相关的目标设计十分空洞,明显缺乏针对性、实效性和可操作性。翟老师说:“我上每节课之前,必定结合这节课的教学内容、学生实际反复斟酌,写出具体的、能落实的数学学习习惯培养目标,这样上起课来自己才能真正做到有的放矢,做没做,做得如何,十分清晰。目标明晰了,一旦教学中出现了偏差,自己也很容易对照目标找出问题,为后续的培养活动提供参考。如‘三角形面积的计算’这节课,关于‘认真’,我就细分为认真倾听、认真准备学习材料、认真审题、认真书写、认真计算、认真检查、认真改错等多个方面,具体的培养标准、培养时机也做到了心知肚明。关于‘独立思考’,我就细分为合作前先有自己的想法、能提出自己的问题、能自主探究、有自己的主张和理由等几方面,并预设了相关的活动设计和检测标准。总之,目标设计做到具体分明,教学中才能做到有意识地体现,想方设法地实现它。”
3.重活动体验
调研中我们发现,有不少教师在培养学生学习习惯时,主要运用“语言强调”的方式。实际上,这样做效果并不好。因为一种习惯的养成,仅靠认识上的引导是不够的,还必须有实实在在的活动体验。实际上,这里的“体验”至少包括两个层面,一是学生亲身经历的行为体验,二是在行为体验的基础上所发生的心理变化过程即内心体验,两者相互作用才会对学生的习惯养成发挥积极的作用。在翟老师这节课中,对学生各种学习习惯的培养都是通过一个个具体的学习活动来实现的。如对“独立思考”习惯的培养,都是结合具体问题,让学生通过先自己想一想、做一做、探一探等活动来实施的。在巩固练习阶段,学生在完成课本上的练习题时,是循着“(1)审好题,弄准条件和问题→(2)列好式,用对公式写对数→(3)认真算,步骤清楚计算准→(4)认真检查,对照题意细细查”的解题步骤独立完成的……
4.重评价引领
习惯培养的效果怎样,学生往往难以自知,这既容易导致习惯培养方向、方式上的迷茫和混乱,也容易导致学生习惯养成主体性的弱化甚至缺失。要化解这个问题,就必须充分发挥教学评价的功能。在课堂上,翟老师对学生的习惯表现总是给予适时、适度的评价。有时是运用评价诊断学生的习惯表现,有时是运用评价激励学生习惯养成的自觉性,有时是运用评价指出习惯养成的方向或方法,有时是运用评价反馈调节学生的习惯养成方式。借助评价的有效引领,培养学生的学习习惯做到了有规可依、有据可查、有法可用。
5.重持续积累
菱形、正方形是这类四边形的特殊情况.高一学习钝角的三角函数及诱导公式后，对角线夹角为θ的四边形面积也可求：
作者简介岳昌庆，男，河南人，1967年10月生，硕士，副编审.中学数学教学研究.已在30余种报刊发文50余篇.曾任北师大附中教师、《数学通报》编辑等.
初中数学教学中，经常会遇到直角坐标系中的三角形、四边形的面积问题.我们有：对角线互相垂直的四边形的面积等于这两条对角线乘积的一半.（证明略）
菱形、正方形是这类四边形的特殊情况.高一学习钝角的三角函数及诱导公式后，对角线夹角为θ的四边形面积也可求：
作者简介岳昌庆，男，河南人，1967年10月生，硕士，副编审.中学数学教学研究.已在30余种报刊发文50余篇.曾任北师大附中教师、《数学通报》编辑等.
初中数学教学中，经常会遇到直角坐标系中的三角形、四边形的面积问题.我们有：对角线互相垂直的四边形的面积等于这两条对角线乘积的一半.（证明略）
菱形、正方形是这类四边形的特殊情况.高一学习钝角的三角函数及诱导公式后，对角线夹角为θ的四边形面积也可求：
本节课主要是引导学生通过三角形面积公式的推导去理解和掌握三角形面积计算公式，并能运用三角形的面积公式，计算相关图形的面积，解决实际问题。根据新课程新理念的要求，教学应该由原来教师单纯的教转变为引导学生学会学习。因此，在教学中我创设实践操作情境，营造自主探索的学习氛围，激发学生课堂探索的欲望。
在教学中我力求突破传统教学的模式，充分体现以“学生发展为本”的教学理念，在获取新知的过程中大胆放手，让学生有足够的时间，以小组为单位对三角形的面积进行探索和交流。小组讨论交流后，我请各小组代表到黑板前进行汇报并说说他们的想法。学生从不同的角度、不同的手段、不同的方法达到一个目的──发现并推导出三角形面积公式。在练习设计中，让学生观察、比较两个三角形的面积是否相等，然后把其中一个三角形的顶点在平行线上移动，使学生清楚地看出，等底等高的三角形形状不同，但是面积都相等。
教材简析：
本节课在本册教材的第二单元，学生已经学习了平行四边形、三角形与梯形的面积，在此基础上学习组合图形的面积。一方面可以巩固已学的基本图形，另一方面则能将所学的知识进行综合，提高学生的综合学习能力。我在教学中既拓展使用教材，又遵循教材的内容，采用观察七巧板拼图、动手操作、合作交流等方式，引导学生在活动中从多角度思考解决组合图形面积的计算问题，发展学生空间观念，并获得良好的情感体验。
学情分析：
5年级的学生在第二单元的教学中已经掌握了平行四边形、三角形与梯形面积的计算方法，并能运用计算的方法解决生活中一些简单的实际问题。本节课教学使学生对学过的图形进行巩固，同时将所学的知识进行综合运用，提高学生综合能力，符合学生的年龄特征和认知规律。通过动手拼摆激发学生的学习兴趣，也在学习活动中体会转化的思想，将不规则的平面图形转化成已学的规则平面图形来解决问题，学生可能在分割与添补的方法的运用中有困难，我就将学生生活中熟悉的七巧板引入课堂，在具体操作中发展学生的空间观念。
教学目标：
1.在探索活动中，归纳组合图形面积的计算方法。
2.能正确计算组合图形的面积，并能解决相应的实际问题。
教学重、难点：从多角度思考解决组合图形面积的计算问题。在有效的情境中渗透转化的数学思想，将所学的知识进行综合运用，提高学生综合能力。
教学过程：
一、激发兴趣，感知策略
师：今天，老师为同学们准备了一份小礼物——七巧板拼图送给你们，想看吗？那一起来猜猜我拼的是什么吧。（师动手拼鱼、兔子、猫。）
师：喜欢吗？那同学们来观察一下这两幅拼图，有什么共同特征吗？
生：都是由七巧板拼成的。
生：面积相等。
生：都是由几个图形拼成的。
师：也就是说都是由几个简单图形组合而成，那你能给这样的图形起个名字吗？
生：七巧板拼图、动物拼图、组合图形。
师：这样的图形就是组合图形。如果让你求这些组合图形的面积，你还会吗？这节课我们就一起来探究组合图形的面积。（板书：组合图形面积。）
【设计意图：将原来简单的复习平面图形改由七巧板拼图引入，既是结合学生的心理特点，激发学生兴趣，让学生感到新奇、好玩，让教学更生动，同时也是让学生初步感受到什么是组合图形，为下一步的学习做铺垫。】
二、动手实践，引入策略
1.通过学生动手拼图，初步感受简单几何图形可以拼成组合图形
师：在桌上，老师为大家准备了一些简单的平面图形，你能选择其中的几个也来拼成一个喜欢的组合图形吗？现在请同学们动手拼摆，将拼好后的图形固定在卡纸上。老师要选拼得漂亮的作品到黑板上展示。
（生动手拼图，师找出3幅组合图形及一幅叠加图形到黑板上展示。）
师：组合好的同学和你的同桌交流一下你用了哪些图形。组合成了什么图案？怎样来求它的面积？
师：拼完了吗？举起来互相欣赏一下。好，一起再来欣赏一下这几位同学的作品。来，和大家交流一下，这个组合图形是由哪些图形拼成的？怎样来求它的面积？
生1：我是用两个三角形和一个长方形拼成了一个帆船，用两个三角形的面积再加上长方形的面积就可以了。
生2：我用一个三角形和一个长方形组合成了一个笔筒，用三角形的面积加上长方形的面积就能求出这个组合图形的面积了。
生3：我是用3个三角形和一个正方形拼成了一个圣诞树，用3个三角形的面积加上正方形的面积就是这个图形的面积了。
师追问：仔细观察一下，你同意这位同学的说法吗？说说理由。
生：我不同意他的说法。因为虽然用的是3个三角形。但在拼图形的时候另外两个三角形被上面的图形挡住了，所以不能将3个三角形的面积相加，应该用一个三角形面积+两个梯形面积+一个正方形面积才是这个组合图形的面积。
师：你真是一个善于观察，爱动脑筋的孩子。的确，我们在组合图形的时候一定要注意这种叠加现象，如果出现这种叠加情况，其实就改变了原来图形面积的大小。
师：同学们，通过刚才这几名同学的发言，我们知道了，求组合图形的面积可以用什么方法？
生：相加方法。
师：你真是一个善于倾听的孩子。将几个简单图形的面积相加可以求出组合图形的面积。你们太棒了。不仅拼得好，而且很善于总结方法。为了奖励你们，老师就把这些美丽的图案作为礼物送给大家了。好，现在请先将它收好，放到书桌的左侧。
【设计意图：这一环节通过学生动手拼组合图形——交流过程——研究面积——总结方法这一过程，让学生感受组合图形面积与简单图形面积的关系，体会组合图形是由简单图形组合而成的。这样的活动使得学生学习由简到难、层层递进，学生在观察、思考、交流、感受中体会知识的本质。也为分割法、添补法的学习做好铺垫。】
2.探索求不规则图形面积的多种方法
师：刚才，同学们通过动手操作、独立思考,知道了用相加的方法求出组合图形的面积。老师这里还带来了一个组合图形，同学们来看看，这个组合图形你还能求出它的面积吗？（课件出示教材例题图。）
师：请同学们拿出书桌内的学具卡片，动脑想一想，你怎样求这个组合图形的面积。咱们比一比，看一看谁的方法既简便又与众不同。
（生动手研究例题图。动笔画、剪刀剪、动手折……把具有代表性的方法在黑板上展示。）
师：同学们想出了这么多的办法，你们太了不起了，那现在把你的方法和同桌交流一下。
生1：我将这个组合图形分成了两个长方形，用两个长方形的面积相加就求出这个组合图形的面积。
师：你是将这个图形转成了我们熟悉的长方形。你真是太聪明了，是啊，我们既可以把简单图形拼成一个组合图形，也可以把一个组合图形分成学过的简单图形。那你能给你的这种方法起个名字吗？
生：折分法。
生：分割法。
师：那我们可以准确地把这种方法叫做分割法。
生2：我也是用分割法将这个图形分成了一个长方形和一个正方形。
生3：我也是用分割法将这个组合图形分成了两个梯形。
生4：我和他们的不同，我是添补上一个正方形后变成一个长方形，然后再减去添补的面积就求出这个组合图形的面积。我把这种方法叫做添补法。
师：这位同学的思维很独特，是运用的添补的方法。
生5：我将组合图形分成多个三角形。再将这几个三角形的面积相加求出组合图形的面积。
师追问：那同学们觉得这种方法怎么样？
小结：我们在分割的时候一定要注意，分割的简单图形越少，其解题方法也将越简单。
师：咱们同学真是太聪明了。通过动手操作、自主探究找到了求组合图形的面积还可以用分割的方法、添补的方法。都是将组合图形转化成我们学过的简单图形。这种转化的思想也是一种有效的解题策略。
3.运用方法，出示数据计算，解决例题
师：刚才所研究的这个组合图形就是小华新家的客厅平面图。（课件出示例题。）
师：这几天他想在客厅铺地板，所以特意将测量的数据带来，想让咱们同学帮他算一算，你愿意帮他吗？好，一起来看看他都给我们带来了哪些数据。（学生审题）。请你选择其中一种方法计算出它的面积。
（指名板前演算，反馈汇报。）
师：经过同学们的帮忙，相信小华一定能买到合适的地板。
【设计意图：这一环节的设计既尊重教材，让学生感受数学来源于生活，用数学知识解决生活中的问题，激发学生的学习兴趣，拓展思维，也让学生进一步体会到组合图形可以分成简单图形，简单图形可以拼成组合图形。这样的设计环环相扣，突破知识的重难点，实现“由简单出发，向本质迈进”这一教学设想，使学生真正成为学习的主人。】
三、拓展延伸，应用实践
1.同学们已经会用所学的知识来解决生活中的问题，那现在我们来做几道练习，敢接受挑战吗？好，我们来看教材76页练一练第一题：你能将下面的图形分成哪些我们学过的图形？
学生交流、汇报。小结：同学们可真聪明，找出了这么多简捷的分割方案，看来解决问题时要根据实际情况适当分割成简单图形来计算。
2.教材76页第二题，这道题请同学们独立完成。
3.你能巧算阴影部分的面积吗？
【设计意图：练习的设计为学生呈现了这样一道须要翻转填补的提高题，意在练习有梯度，激发探究欲望。同时促进他们的问题解决能力的发展。】
四、总结全课
师：这节课，同学们充分运用转化的思想，在探索活动中归纳出了分割法、添补法来计算组合图形面积，并且运用了多种策略解决相应的实际问题，真是太了不起了。其实，在我们的生活中组合图形处处可见、应用广泛。只要我们细心观察、动脑思考，就会掌握其中的规律。
反思：
《数学课程标准》中指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。”为此，本节课的教学围绕这一思想主要突出了以下几方面：
1.在充分的观察和感知活动中，理解和建立组合图形面积的概念
传统的教学往往是教师通过几个简单的图形组合欣赏，告诉学生组合图形的概念。而本节课的教学从生活中的七巧板引入，既吸引学生的注意力，同时也让学生感受数学源于生活。七巧板拼图让学生通过观察共同的特征，初步感受什么是组合图形。这一感受是源自学生主体的。
2.在充分的操作与合作交流中，体会组合图形与简单图形之间的关系
让学生动手拼一拼的活动，使学生进一步体会到组合图形可以分成简单图形，简单图形可以拼成组合图形，这样学生在充分的感知、实践、领悟中学习新知、建立良好的数学模型，为后面的分割法、添补法的学习做好铺垫。学生在任意的拼摆中，叠加情况的研讨，又激发了学生进一步探索面积方法的强烈愿望。教师很好地抓住这一时机，因势利导，组织学生观察、交流的活动，这一系列的探索、交流的学习活动，有利于学生知识的形成和建构，培养了学生探索意识和合作能力。
3.渗透了转化的教学思想，鼓励学生多种解题策略
本节课注重对学生学习方法的引导，通过例题图的研究环节，使学生借助已经建立的知识体系，在不断探索、交流中寻找多种解题策略。教学中充分尊重学生，发扬教学的民主性，以学生为探究主体，充分运用转化的思想将复杂的图形简单化，使学生的思维过程尽可能地显露。这样层层深入，环环相扣的教学符合学生的认知探索规律，实现了教学设计初的“从简单出发，向本质迈进”的主旨，让学生成为学习的真正主人。
总之，本节课的设计紧密联系学生的生活实际，在学生认知的基础上展开探索性学习，注重了学习过程的探索性，渗透了多种解题策略及转化的思想，很好地体现了学生的主体性、教师的引导性，有利于学生在具体情景中培养自己的学习能力、解决问题的能力，重视了学生知识的形成过程，符合新课程标准的教育理念。
（作者单位：佳木斯市第十一小学）
如果仅以知识技能的掌握为目的,这样的操作活动是直观的,也是有效的。但从思维经验积累和思维能力发展的角度看,如果三节课的活动设计始终停留在动手操作层面,则体现出一定的局限性。我们有必要逐步加强数学活动的思维介入,让学生在更富挑战性的问题引领下积极主动地展开思维活动,为汲取“思维经验”创造更有利的条件。基于这样的考虑,在本节课的教学中我们在学习材料和活动形式上进行了调整,力图给予学生更大的探索和思考的空间。
一、思考需要直观基础
【教学片段】
在下图长方形和平行四边形中分别画一个面积最大的三角形。
反馈(如图2):
讨论中,多数学生认为长方形中(1)号三角形是最大的,(2)号与(3)号存在争议;而平行四边形中则认为(4)号、(5)号都是面积最大的三角形。
师:既然(2)号和(3)号的画法有争议,我们暂时不讨论。请看其他三幅图,这些三角形的面积与原图有什么关系?
生:这些图中的三角形面积正好是原图的一半,因为两个三角形(阴影部分与空白部分)一样大。
【思考】
从反馈的情况看,绝大多数学生都能画出正确的图形。但我们必须认识到这些只是学生未经逻辑分析的直观判断,其中学生在面积学习过程中所获得的经验(对平面图形大小的直观感悟)起着很重要的作用。换句话说,学生知道这样画出来的三角形面积是最大的,但并不知道为什么。这从随后的课堂争论中可见一斑,很多学生并不认同(2)号和(3)号三角形是长方形中面积最大的三角形。即便如此,这里的猜想和操作还是很有价值的。一方面它充分暴露了学情,便于我们把握教学的起点;另一方面则为进一步探索三角形面积计算积累了方法和经验。
二、思考需要问题驱动
【教学片段】
能否求出下面各三角形的面积?试一试。
反馈一(如图3.1~3.2):
生:把(1)号三角形中间剪开,拼成一个长方形(图3.1)。长方形的长是6cm,宽是高的一半,面积是6×2=12(cm2)。三角形与它的面积相等,也是12cm2。
生2:画一条底边的垂线,得到一个大长方形(图3.2),面积是6×4=24(cm2)。三角形面积正好是长方形的一半,24÷2=12(cm2)。
反馈二(如图4.1~4.2):
生:在(2)号三角形左右两边各画一条底边的垂线,就得到一个长方形(图4.1),面积是24cm2。三角形的面积是它的一半,6×4÷2=12(cm2)。
师:三角形的面积是这个长方形的一半吗?
生:是的。把它看成两个小长方形,左边三角形占了一半,右边也是一半,合起来三角形面积正好是大长方形面积的一半。
生:先画一条平行线,这样就得到一个平行四边形(图4.2),它的底和高和三角形是一样的,面积是6×4=24(cm2)。而三角形的面积是平行四边形的一半,24÷2=12(cm2)。
反馈三(如图5):
生:这两种方法是一样的,都是先画一条平行线,得到一个平行四边形,面积是6×4=24(cm2)。三角形的面积为24÷2=12(cm2)。
师:回顾刚才的思考过程,我们用什么办法算出了三角形的面积?
生:把三角形先看成长方形或者平行四边形。
师:长方形是特殊的平行四边形。平行四边形与原三角形有什么关系?
生:它们的底相等,高也相等,平行四边形面积是原三角形的2倍。
师:谁能概括一下三角形的面积计算方法?
生:三角形面积=底×高÷2。
师:这里的“底×高”算出的是谁的面积?
生:与这个三角形底相等,高也相等的平行四边形的面积。
【思考】
教学中,有效的问题设计决定了学生思维的开阔性与深刻性。“呈现三类不同的三角形并计算它们的面积”,这样的问题不仅指向明确,而且颇具挑战性。但从反馈的情况看,大多数学生都能积极主动地展开思考并顺利解决了问题。其主要原因在于学生在前面操作活动中所获得的直观感知为这里的思考奠定了坚实的基础。正因为学生建立了三角形与长方形、平行四边形之间的联系,使得这里的“化归”自然而然(事实上是作了逆向思考,即将三角形还原成长方形或平行四边形)。当然,在这个过程中学习材料的呈现方式也起到了减缓坡度、指引思考方向的作用,如“将三个三角形置于一组平行线内”“三类三角形先后次序的安排”等。值得注意的是,有了问题的驱动,“化归”已不再是操作活动的目的,而仅仅是解决问题的一种手段。
三、思考需要互动交流
【教学片段】
1.“三角形面积=底×高÷2”是否适用于计算任意三角形的面积?
生:我觉得可以。三角形按角分类只有三种情况:直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。这里的三个三角形包括了所有情况。
生:不管怎样的三角形,都可以画两条平行线使它变成一个平行四边形,所以三角形的面积都可以这样计算。
生:我发现画两条平行线其实就是画了一个一模一样的倒着放的三角形,两个三角形拼成了一个平行四边形。所以“底×高”算出来的就是两个三角形的面积,再除以2就行了。
【思考】
尽管学生已经初步掌握了三角形面积计算的方法,但前面所讨论的仅仅是个例。由个例到一般,需要运用归纳思维展开合情推理。因而,这里的讨论是必要的。更重要的是,结合问题的讨论引发空间想象,进而完善公式推导过程,这使得学生的思维更为深刻,体验也更为充分。
【教学片段】
2. 图中的三角形(见前文图2)是不是长方形内最大的三角形?
师:刚才同学们对图(2)和图(3)有争议,现在再来看一看它们是图中最大的三角形吗?
生:图(2)和图(3)也是长方形中最大的三角形,它们的面积跟图(1)是一样的,都是长方形面积的一半。
生:也可以这样看,因为三角形的面积与它的底和高有关,这里几幅图中三角形的底和高都已经是最大的了,所以虽然形状不一样,但是面积肯定都是最大的。
师:那么除了这里的几种画法,还可以怎么画?
生:只要选一条边作三角形的底,另一个顶点在对边,这样的三角形面积就是最大的。
【思考】
这个问题的讨论是利用现场生成的资源展开的。学生之前对图(2)和图(3)是不是长方形内面积最大的三角形存在质疑,是因为这个结果是“看”出来的。在掌握了三角形面积计算的方法之后再次讨论这个问题,就不再是一种直观判断,而是一种逻辑思考。教学中展开这样的思辨活动有助于将学生的思考引向深入。
【教学片段】
3. 右图是一个梯形,你能在图中找到几对面积相等的三角形?
生:三角形ABC和BCD的面积相等,因为它们的底都是BC,高也相等,所以面积相等。
师:我们可以说这是两个“等底等高”的三角形,所以它们面积相等。还有吗?
生:三角形ABD和三角形ACD的面积也是相等的,它们也是“等底等高”。
生:我感觉三角形ABO和三角形CDO的面积也是相等的。
师:这两个三角形也是“等底等高”吗?
生:它们不是“等底等高”,但是因为三角形ABD和三角形ACD的面积相等,只要它们同时减去三角形AOD的面积,剩下的面积就相等了。
师:有没有听明白他的意思?还有什么方法也能证明这两个三角形是相等的?
生:用三角形ABC和三角形BCD也能证明,它们都减去三角形BOC的面积,余下的面积相等。
【思考】
这个问题具有一定的拓展性。在问题的讨论中涉及两个层次:第一层次主要是利用“等底等高”来判断面积相等的三角形;第二层次(梯形蝴蝶定理)则要用到几何推理。找到面积相等的三角形并说明面积相等的理由,这是一个思维水平不断深入的过程。结合教学内容适当引入合适的学习材料加以拓展,对于积累“思维经验”而言也不失为是一条有效的途径。
4. 这节课你学了什么?你是怎么学的?
生:今天学习了三角形的面积计算方法,三角形的面积=底×高÷2。
师:回忆一下,我们是通过什么办法得到了这个计算公式的?
生:画两条平行线把三角形转化成一个“等底等高”的平行四边形,平行四边形的面积除以2就得到了三角形的面积。
师:那我们再回忆一下前面平行四边形的面积公式又是怎么得到的?
生:把平行四边形转化成长方形。
师:是的,“转化”是一种很重要的数学思想。但同样是“转化”,它们有什么区别吗?
生:平行四边形转化成长方形面积是不变的,但三角形转化成平行四边形,面积要扩大2倍。
师:三角形转化成平行四边形,其面积一定要扩大2倍吗?
生:也可以不变的。但是面积不变的话,那么底或者高就要缩小到原来的一半。
学习过程的回顾与反思对于“思维经验”的积累是极其重要的。“经验”是需要交流和分享的,而交流的过程恰恰是“经验”积累的“固化”过程。也就是说,在学习活动中所获得的感性层面的体验需要借助语言的描述逐步积淀下来成为相对稳定的认知状态,这就是“经验”的积累。与此同时,从上述讨论中我们还可以看到通过联系与比较,前后获得的“经验”还可以链接、整合,融会贯通。因此,对于课堂小结我们绝不能走过场,也不能仅仅停留在“学了什么”,而更应关注“怎么学的”。
综上,由于“思维经验”具有综合性、内隐性的特征,使得我们难以像知识技能那样分门别类地展开教学。但正如史宁中教授所说,“如果能设计出好的教学方案,一定能够成为‘帮助学生积累数学思维经验’的有效载体”。这就需要我们在课堂上坚持以生为本、以学为本,尽可能创造条件引导学生主动参与学习、积极展开思考,从而获得更为丰富的感悟与体验。并且,这绝非一朝一夕之功,而是一个长期的累积过程。
摘要：数学是思维的科学,数学活动经验很大程度上体现为“思维的经验”。“三角形的面积”一课的教学实践指出,有效的思考需要直观基础,需要问题驱动,更需要互动交流。教学中,拓展问题思考的空间有助于引导学生积极主动地展开思维活动,从而为获得“思维经验”创造更有利的条件。
关键词：问题空间,思维经验,三角形的面积
参考文献
[1]史宁中.基本概念与运算法则[M].北京:高等教育出版社,2013(5).
[2]张奠宙,等.小学数学研究[M].北京:高等教育出版社,2009(1).
响水县黄圩中心小学 郁丽萍
[教学内容]：九年义务教育六年制小学数学教科书第九册第二单元“多边形面积的计算”中的第二节。
[教材简析]：三角形面积的计算，是在学生掌握三角形的特征及长方形、平行四边形面积计算的基础上进行教学的。通过对这部分知识的教学，使学生掌握三角形面积的计算公式，学会运用公式正确计算三角形的面积；同时加深与长方形、平行四边形之间的内在联系，培养学生的实际操作能力和思维能力，进一步发展学生的空间观念，提高学生的数学素质。根据教学内容的有关特点及学生的学习习惯、认知基础和接受能力；充分发挥学具和教具的作用；遵循教学的规律和原则；本节课特可采用讲解法、谈话法、实验法和激趣法等教学方法进行教学；以体现“精讲、善导、激趣、引思”的课堂教学“八字”要求；达到以教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学指导思想。促进素质教育的发展。
.[教学目标]：
(1)掌握三角形面积的计算公式，学会运用公式正确计算；
(2)学会动手实验操作，渗透旋转、平移的数学思想和方法，培养学生分析、比较、抽象、归纳的能力，进一步发展空间观念；
(3)理解三角形面积计算公式的推导过程，渗透辩证唯物主义的思想，使学生初步懂得用运动变化的观点去观察事物
[教学重点]：掌握三角形面积的计算公式，并能运用公式正确计算。[教学难点]：理解公式的推导过程。
[教学关键]：通过实验操作和采用多媒体辅助手段，帮助学生掌握本节课的教学重点，突破难点，达成目标。
[教学过程]：
一： 复习旧知，作好铺垫
1、提问：
① 长方形、平行四边形、三角形分别有什么特征？
②平行四边形的面积计算公式是怎样的？
2.计算有关图形的面积。
【设计说明；教育心理学表明：教学就是根据学生原有的基础上进行的。为此，这三道复习题都是选取与新知识有密切联系的，能为学习新知识起铺垫作用。
2.、设置悬念，引入新课
如果把复习题中第2题的三个图形从对角线剪开得出三个三角形，那么三角形的面积该怎样计算呢？这就是我们本节课要研究的内容“三角形面积的计算”板书课题。
二、动手动脑，探索新知
1、数方格求面积
指导学生看教科书15页，引导学生用数方格的方法求三角形的面积，同桌对答案。
教师放投影显示方格图，指名回答。
小结：刚才我们数方格时，不满整格的可以算半格。
启发：刚才大家用数方格的方法求三角形的面积，既费时又费力，并不容易求得准确，我们能不能象学习习近平行四边形面积一样把三角形转化成已学过的图形再求面积呢？
2、指导实验，观察、归纳三角形的面积公式。
根据学生准备的学具，要求学生拿出其中的两个完全一样的直角三角形。提问：①两个完全一样的直角三角形可以拼成什么图形？
②每个直角三角形的面积和拼成的平行四边形的面积有什么关系？ ③三角形的底和高分别与平行四边形的底和高有什么关系？ 让学生带着问题逐个动手操作实验——观察——总结。
3.小组合作：用两个完全一样的锐角三角形、钝角三角形进行拼摆。讨论上面三个问题。
交流汇报，教师投影显示拼摆过程边讲边演示。（两个锐角三角形重叠位置，接着旋转、平移，就出现一个平行四边形）。
归纳求三角形面积的计算公式
【设计说明：这个教学环节生动、具体形象，感染力强，帮助学生加深对公式来源的理解。学生带着问题通过主动的动手操作，实验—观察—总结，使学生非常容易掌握本课的教学重点，突破难点。】 4：课堂检测：
① 两个完全一样的三角形都可以拼成一个（）；这个平行四边形的底等于（）；这个平行四边形的高等于（）；
② 每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的（）；
③ 三角形的面积=（）；
④ 如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那么三角形的面积计算公式可以写成（）。
板书：三角形的面积=底×高÷2，字母公式：S=ah÷2，学生齐读
4.教学“试一试”。要求学生读题、看图、解题。然后指名回答，集体纠正，教师板演解题过程。最后，质疑问题，提出：为什么要除以2？突出重点，深化理解。
三、巩固训练，深化理解(1)基本性练习：
根据下面每个三角形的底和高，分别计算出它们的面积。
回应复习题3中的设疑，通过这节课的学习你能求它们的面积吗？(2)趣味性练习：
2判断题，用手势表示对的打“√”错的打“×”。
①两个完全相等的直角三角形可以拼成一个三角形、长方形、平行四边形。（）
②两个三角形可以拼成平行四边形。（）
③三角形的底边为6厘米，高为3厘米，它的面积是18平方厘米。（）
④三角形的面积是平行四边形面积的一半。（）（3）对比性练习：
给出三角形或平行四边形的底和高。算出每个图形的面积，填在空格里。
4）发展性练习，课本17页第5、6题。
【设计说明：以上四类形式不同的练习题为检查教学效果，根据教学目标，题目由浅入深，由易到难，有坡度；既突出重点，又分散难点，使不同层次水平的学生都有所提高，既巩固所获得的知识，又深化了知识间的联系和区别；既加强了学生动手操作的能力，又激发了学生学习的兴趣；既体现了知识的形成过程，又体现了能力的培养。符合素质教育的思想。】
6、课堂总结：
通过本节课的学习，你有什么收获，还有什么疑问？
[资料链接]：1:2000多年前，我国的数学名著《九章算术》中记载着有关土地面积计算的内容，具体介绍了各种图形的面积计算方法。如三角形面积的计算方法是“半广 3
以乘正从”（“广”指三角形的底，“从”指三角形的高）。著名数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方法加以证明，并配有生动形象的图。
【《三角形面积计算》的教学反思】推荐阅读：
三角形面积计算案例07-04
三角形面积计算专题10-05
三角形的面积公式推导09-20
三角形面积教案文档05-29
三角形面积公式大全11-04
三角形面积导学案05-25
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