数列极限说课稿

数列极限说课稿（精选9篇）

数列极限说课稿 篇1

袁勋

这次我说课的内容是由盛祥耀主编的《高等数学》（上册）第一章第二节极限概念中的数列极限。这部分内容在课本第18页至20页。

下面我把对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简单认识作一个说明。

一、关于教学目的的确定：

众所周知，对极限这个概念的理解是高等数学的学习基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。

1．在知识上，使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；

2．在能力上，培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。体验‚从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊‛的认识过程；

3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。

二、关于教学过程的设计：

为了达到以上教学目的，根据两节。在具体教学中，根据‚循序渐进原则‛，我把这次课分为三个阶段：‚概念探索阶段‛ ；‚概念建立阶段‛ ；‚概念巩固阶段‛。下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。

（一）‚概念探索阶段‛ 1.这一阶段要解决的主要问题

在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：

①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；

②使学生形成对数列极限的初步认识； ③使学生了解学习数列极限概念的必要性。2．本阶段教学安排

我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。① 温故知新

由于研究数列极限首先应对数列知识有一个清晰的了解，因此在具体教学中通过对教案中5个具体数列通项公式的思考让学生对数列通项公式这个概念产生回忆，指出以前研究数列都是研究的有限项的问题，现在开始研究无限项的问题。然后引导学生回忆数列是自变量为自然数的函数，通项公式就是以n为自变量的、定义域为自然数集的函数an的解析式。再引导学生回忆研究函数，实际上研究的就是自变量变化过程

1中，函数值变化的情况和变化的趋势，并以第[2]的数列an为例说

2明：当n=2、3、4、5 时，对应的an1、1、1、1 就说明自变量由

242168增加到5时，对应的函数值就由1减小到1这种变化情况。若问自然数n

216n1一直增加下去，函数an应怎样变化下去，这就是研究变化的趋势。

这样利用通项公式就可把数列变化趋势问题与函数值变化趋势问题有机地结合起来，引导学生从函数值变化趋势的角度来看待例题中五个数列的变换趋势。通过这种讨论，在对变化趋势这个概念的理解上发挥心理学上所提‚无意注意‛的作用，使学生对进一步讨论的数列变换趋势问题不至于太陌生。

② 推陈出新

在对5个数列变化趋势的分析过程中，通过引导，由学生讨论得到数列（2）、（3）、（5）的共同特征，近而向学生说明：‚具有类似于数列（2）、（3）、（5）共性的数列称为有极限的数列，共性中的‚趋近于一个确定的常数‛称它为有极限数列的极限‛。并进一步和学生讨论如何给数列的极限下定义，此时我根据学生情况给予提示，给出数列极限概念的描述性说明：当项数无限增加时，数列的项无限趋近于某一个确定的常数的数列称为有极限的数列，这个确定的常数称为数列极限。

③ 刘徽及其《割圆术》的介绍

学生对数列极限概念有了一定的认识，为了使学生认识到这个概念并不是突然产生的，是和他们已有的知识结构密切相关的，为此在第一阶段我设计了这一部分教学。

我一方面介绍了我国古代数学家对数列极限思想所做的贡献，如‚在世界数学史上，刘徽是最早运用这种数列极限的思想解决数学问题的大 数学家。用这种指导思想计算圆面积的方法，就称为刘徽割圆术.用类似刘徽割圆术的方法求出圆周率的近似值，虽然在公元前3世纪的古希腊数学家阿基米德也算出过，但所用的方法却比刘徽所用的方法繁杂的多。‛

在另一方面重点结合计算机模拟刘徽割圆术，介绍这种算法的指导思想：‚割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣‛。通过课件动态演示，进一步在‚无意注意‛作用的发挥上下文章，加深学生对‚变化趋势‛、‚趋近于‛、‚极限‛等概念的认识，为下一阶段极限概念的教学提供对这个概念感性认识的基础。

（二）‚概念建立阶段‛ 1． 这一阶段要解决的任务

由于数列极限概念及其定义的数学语言表述具有高度的概括性、抽象性，学生初次接触很困难。具体讲，在-N语言中，学生搞不清的两重性——绝对的任意性、相对的确定性；学生搞不清‚N‛，不太理解N的实质是表示项数n无限增大过程中的某一时刻，从这一时刻起，所有an(n>N)，都聚集在以极限值A为中心，为半径的邻域中，N是否存在是证明数列极限存在的关键。

因此在这一阶段的教学中，我采取‚启发式谈话法‛与‚启发式讲解法‛，注意不‚一次到位‛，这样在本阶段我设计解决的几个主要问题是：

①建立、理解数列极限的定义；

②认识定义中反映出的静与动的辨证关系； ③初步学习论证数列极限的方法。2． 本阶段教学安排

本阶段教学安排分三个步骤进行。① 问题的提出

在教学安排上，我根据学生形成对数列极限的初步认识，以数列

‚1,2,3,4,,n,‛

2345n1为例，提出一个学生形成极限概念时不好回答的问题：根据数列极限定义直观描述，这个数列的极限是1，即当项数n无限增大时，这个数列的项无限地趋近于1，问题是为什么不说这个数列的项无限地趋近于1.1，从而使学生发现问题在于自己已获得的数列极限概念中‚无限趋近于‛这一描述，这种描述比较含混，感到有必要对极限定义做进一步精 确描述。

② 问题的解决

具体讲，由于数轴上两点的距离及其解析表示对学生来说是很熟悉的，故我在教学中利用数轴引导学生先得出结论：‚趋近于‛是距离概念，距离的解析表示是绝对值，‚无限趋近于‛就可用距离要多小有多小来表示。即数列项与确定常数差的绝对值要多小有多小。

然后让学生通过具体计算如：‚思考已知数列中是否有到1.1的距离为0.01的项？‛使学生知道已知数列的项不能与1.1的距离要多小有多小，即1.1不是已知数列的极限，从而使学生对‚要多小有多小‛这一概念有了进一步认识，并为量化|an-1|当项数无限增加时要多小有多小打下基础。

③数列极限定义的得出

在‚检验‘1’是否满足：已知数列的项与1的差的绝对值是否要多小有多小‛的教学过程中，我采取‚给距离找项数‛的方法。

具体讲让学生考虑已知数列中有哪些项与1的差的绝对值小于0.1、0.05、0.0011、0.0001，让学生把用计算器计算的结果在黑板上列表写出并解释所得的结果，如提示学生得出结论：‚已知数列中第908项以后各项与1的差的绝对值小于0.0011。‛这种讨论的目的是使学生感受到‚N‛是项数n 无限增大的过程中的一个标志，进而说明对于给定的每一个正数，可找到N，当n>N时，|an-1|小于这个正数。进而让学生注意无论表示距离的正数取的多么小，也不能说成‚要多小有多小‛，而把具体值改为后即可解决这个问题。

这样通过讨论，在我的引导下，使学生得到结论：‚数列： 1,22,33,42,34,,53,4n, n1n, n1当项数无限增大时，它的项越来越趋近于1‛，也就是数列： 1,24,,5的极限为1，并进一步让学生总结出一般数列的极限的准确定义。

（三）‚概念巩固阶段‛

1． 本阶段的教学计划

在这一阶段的教学中我计划做两件事情：

①说明N、、|an-A |<在讨论数列极限时所起的作用;②是习题训练。

2． 本阶段的教学过程 根据上述说明，这一阶段分为两个步骤。① 定义说明

除了对极限概念予以说明外为了加深学生对数列极限概念中N、、|an-A |<的认识，我让学生讨论问题‚任意有极限的无穷数列能否使极限值为数列中的项‛及‚常数列是否有极限‛，当学生有困难时，可通过举数列

‚1,0,1,0,1,,1sinn,‛

4162n12并提示其根据定义考虑问题。这样使学生进一步体会由特殊到一般再到特殊的认识规律。

②习题训练

在学生对数列极限定义的初步掌握的基础上，为巩固学生所学，我让学生作课本例1，练习这道题目的在于总结上一阶段得到数列极限的过程，同时让学生熟悉数列极限定义的应用步骤；在此基础上结合北大附中学生的特点我安排了例2，让学生作这道题目的在于通过对这道题的证明与讨论可让学生对等比数列{1，q，q2，…qn，…}收敛、发散性有一个清楚的了解。在例2的处理手法上我让学生先各抒己见，然后采用几何画板演示，验证同学猜想，从而激发学生的求知欲望。由于{1，q，q2，…qn，…}和{1,1,1,1,}是今后学习过程中的常用数列，因此我觉得23n学生对例

1、例2的掌握的好坏将对后面的学习产生直接影响。

③ 补充说明

对于较好的班级，还可考虑用直角坐标系来代替数轴。由于数列是以自然数集子集为定义域的特殊函数，其图象是离散的点.这使得数列的项与点(n,f(n))，即点(n,an)对应起来.当数列{an}有极限A时，在直角坐标平面内的几何意义为：任给正数，存在一个以直线y=A+和y=A-为边界的条形区域，存在一个N，当n>N时，所有的点（n, an）都落在这个条形区域内。换句话说数列的项在坐标平面内对应的点，只有有限个点落在条形区域外。利用这种方式教授这节课，形象直观，并为今后函数极限的教学打下基础。

三、关于教学用具的说明：

这节课的教学目的之一是使学生通过对极限概念形成过程的了解，较为自然地接受极限的定义，以利于加深对概念的理解和掌握。因此在本节课中主要使用的是计算器和计算机课件演示。计算器的作用在于使学生理解 ‚‛和‚N‛内在关系； 计算机课件演示目的有三：其一是通过史料的简单介绍对学生进行爱国主义教育；其二是在概念形成阶段，为学生提供感性认识的基础；其三可对学生所得的结论验证、完善，加深对问题的理解，巩固所学的概念。总之‚恰当使用现代化教学手段，充分发挥其快捷、生动、形象的辅助作用，最大限度地使学生获得并掌握所学的知识，‛是我选择和使用教学用具的根据。

四、结束语：

数列极限说课稿 篇2

数列向来是中职教材中代数部分的重要内容之一, 它不仅有着广泛的实际应用, 而且起着承前启后的作用, 一方面, 数列作为一种特殊的函数, 与函数思想密不可分, 另一方面, 学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上, 对数列知识的进一步深入和拓广, 同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

二、学情分析

对于大部分中职生而言, 数学基础比较薄弱, 学习自信心不足, 一部分学生是在被动学习, 缺少学习兴趣。针对学生这一特点, 我在授课时尽量由实际问题出发, 提高学生的学习兴趣, 并注重引导、启发, 研究和探讨以符合学生的心理发展特点, 从而促进思维能力和演绎推理能力的进一步发展。

三、教法分析

针对中职生的特殊思维特点和心理特征, 本节课我采用启发式、讨论式, 以及讲练结合的教学方法, 通过问题激发学生求知欲, 使学生主动参与数学实践活动, 以独立思考和相互交流的形式, 在教师的指导下发现、分析和解决问题。

四、学法分析

我在引导分析时, 留出学生的思考空间, 让学生去联想、探索, 同时鼓励学生大胆质疑, 围绕问题各抒己见, 把思路方法和需要解决的问题弄清。

五、目标分析

根据布卢姆提出的认知、能力和情感三大教育目标, 结合教学大纲的要求和学生的实际认知水平, 我确定了本次课的教学目标。

(一) 认知目标

理解并掌握等差数列的概念;了解等差数列的通项公式的推导过程及思想;初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。

(二) 能力目标

培养学生观察、分析、归纳、推理的能力;在领会函数与数列关系的前提下, 把研究函数的方法迁移来研究数列, 培养学生的知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习, 提高学生分析问题和解决问题的能力。

(三) 情感目标

通过对等差数列的研究, 培养学生主动探索、勇于发现的求知精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

六、教学程序

本节课的教学过程我分为以下六个教学环节。

(一) 复习引入

练习1.从函数观点看, 数列可看作是定义域为______对应的一列函数值, 从而数列的通项公式也就是相应函数的______。 (N+, 解析式)

通过练习1复习上节内容, 为本节课用函数思想研究数列问题做准备。

引例1:小明目前会100个单词, 他打算从今天起不再背单词了, 结果不知不觉地每天忘掉2个单词, 那么在今后的5天内他的单词量逐日依次递减为:100, 98, 96, 94, 92。

引例2:小芳只会5个单词, 她决定从今天起每天背记10个单词, 那么在今后的5天内她的单词量逐日依次递增为:5, 15, 25, 35, 45。

我通过引例1和引例2引出两个具体的等差数列, 使学生初步认识等差数列的特征, 为后面的概念学习建立基础, 为学习新知识创设问题情境, 激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点, 归纳总结出等差数列的概念, 这样既对问题进行了总结, 又培养了学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。

(二) 新课探究

1. 由引入自然地给出等差数列的概念。

如果一个数列, 从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一个常数, 这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差, 通常用字母d来表示。强调:

①“从第二项起”满足条件;

②公差d一定是由后项减前项所得;

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数 (强调“同一个常数”) 。

在理解概念的基础上, 我引导学生将等差数列的文字语言转化为数学语言, 归纳出数学表达式:an+1-an=d (n≥1) 。

同时为了配合概念的理解, 我找了5组数列, 由学生判断是否为等差数列, 是等差数列的求出公差:

其中第一个数列公差d<0, 第二个数列公差d>0, 第三个数列公差d=0, 由此强调:公差可以是正数、负数, 也可以是0。

2. 第二个重点部分为等差数列的通项公式。

在归纳等差数列通项公式中, 我采用讨论式的教学方法。给出等差数列{an}的首项a1, 公差d, 由学生研究分组讨论a4的表达式。通过观察、总结a4的表达式再引导学生猜想a40的表达式, 进而归纳an的通项公式。

若一等差数列{an}的首项是a1, 公差是d, 则据其定义可得:

猜想:a40=a1+39d。

进而归纳出等差数列的通项公式:

此时我指出:这种求通项公式的办法叫不完全归纳法。整个导出过程由学生完成, 通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。

接着举例说明:若一个等差数列{an}的首项是1, 公差是2, 得出这个数列的通项公式是:an=1+2 (n-1) , 即an=2n-1, 以此来巩固等差数列通项公式的运用。同时要求画出该数列图像, 由此说明等差数列是关于正整数n的一次函数, 其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列, 使数列的性质显现得更加清楚。通过这个具体的题目和图像, 学生能更直观地掌握数列与函数的关系。

(三) 应用举例

这一环节是使学生通过例题和练习, 增强对通项公式含义的理解和对通项公式的运用, 提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明:要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1, d, n, an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时, 可根据该公式求出另一部分量。

例1: (1) 求等差数列8, 5, 2, …的第20项, 第30项, 第40项。

(2) -401是不是等差数列-5, -9, -13, …的项?如果是, 是第几项?

在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式;第二问实际上是求正整数解的问题, 而关键是求出数列的通项公式an。

例2:在等差数列{an}中, 已知a5=10, a12=31, 求首项a1与公差d。

在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固。

例3:是一个实际建模问题:建造房屋时要设计楼梯, 已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米, 第3层离地面5.8米, 若楼梯设计为等高的16级台阶, 问每级台阶高为多少米?

这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法, 启发学生注意每级台阶“等高”, 使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列, 引导学生将该实际问题转化为数学模型——等差数列。 (学生讨论分析, 分别板演, 教师评析问题。问题可能出现在:项数学生认为是16, 应明确a1为第2层的楼底离地面的高度, a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级台阶离地面高度为a17, 可用课件展示实际楼梯图以化解难点。)

设置此题的目的:1.加强学生对应用题的综合分析能力;2. 通过数学实际问题引出等差数列问题, 激发学生的兴趣;3.通过数学实例展示了从实际问题出发经抽象概括建立数学模型, 最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法。

(四) 反馈练习

1. 小结后课内练习中的第1题和第2题 (要求学生在规定时间内完成) 。

目的:使学生熟悉通项公式, 对学生进行基本技能训练。

2. (书上课内练习4) 梯子的最高一级宽33cm, 最低一级宽110cm, 中间还有10级, 各级的宽度成等差数列, 计算中间各级的宽度。

目的:对学生加强建模思想训练。

3. 若数列{an}是等差数列, 若bn=kan (k为常数) , 试证明:数列{bn}是等差数列。

此题是对学生进行数列问题提高训练, 学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。

(五) 归纳小结 (由学生总结这节课的收获)

1. 等差数列的概念及数学表达式 (强调关键字:从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数) 。

2. 等差数列的通项公式:an=a1+ (n-1) d, 会知三求一。

3. 用“数学建模”思想方法解决实际问题。

(六) 布置作业

1. 必做题:学习指导用书§11.2。

2. 选做题:已知等差数列{an}的首项a1=-24, 从第10项开始为正数, 求公差d的取值范围。

目的:通过分层作业, 提高学生的求知欲和满足不同层次的学生需求。

七、板书设计

等比数列的前n项和说课稿 篇3

各位老师，大家好，今天我要说课的内容是人教版高中数学必修5第二章第五节的《等比数列的前n项和》.我的说课主要分为下面六个过程来进行：教学理念、教材内容分析、教学目标及学情分析、教学的重难点分析、教学方法的分析、教学过程的设计.一、教学理念

新的课程标准明确指出 “数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质．”其含义就是：我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值．

因此，创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．本节课力图打破常规，充分体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念、教学方式、学习方式的转变．

二、教材内容分析

在学习《等比数列前n项和公式》之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础.本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点.从高中数学的整体内容来看，《数列》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着决定性的作用.首先：数列有着广泛的实际应用.例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等.其次：数列有着承前启后的作用.数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础.再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材.学习数列要经常观察、分析、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高.三、教学目标及学情分析

作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识.以下是我的教学目标分析和学情分析：

1、教学目标分析

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，依据《课标》我制定了如下的教学目标：

［知识与技能］

理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．

［过程与方法］

通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等 1 数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．

［情感态度与价值观］

通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点；培养学生学习数学的积极性，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神.2、学情分析

学情分析主要通过以下两方面来展开：

［知识基础］

学生在学习本节内容之前已经学习等差数列，知道等差数列的前n项和的公式由来；熟悉等比数列的通项公式，知道等比性质.［思维水平］

学生具备一定的数学思想方法，能够与等差数列的求和公式的推导过程联系，形成类比迁移，而且在情感上也具备了学习新知识的渴求.但是学生对等比数列的前n项和的推导方法---错位相减法比较陌生，学习思维上存在障碍.并且学生考虑事情缺乏全面性，在推导过程中容易忽略公比q1的情形.四、教学的重难点分析

结合前面的教材分析、三维目标的确定以及学情分析，我总结了总结课的重难点：

教学重点是等比数列前n项和的公式的推导过程以及应用.教学难点是等比数列前n项和的推导过程中“错位相减法”的发现以及运用；不同推导过程所蕴含的思想方法的理解.五、教学方法分析

1、教法

数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此在教学中不仅要让学生“知其然”，还要“知其所以然”，为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进和启发式教学原则，我进行这样的教学设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放式问题的设置来启发学生进行思考，在思考中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想，使之获得内心感受.本节课将借助计算机多媒体辅助教学，采用“多媒体优化组合—激励—发现”式教学模式进行教学.该模式能够将教学过程中的各要素，如教师、学生、教材、教法等进行积极的整合，使其融为一体，创造最佳的教学氛围.主要包括启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价.2、学法

数学作为基础教育的核心学科之一，转变学生的数学学习方式，变学生被动接受式学习为主动参与式学习，不仅有利于提高学生的整体数学素养，也有利于促进学生整体学习方式的转变.在课堂结构上我根据学生的认知层次，设计了(1)创设情景、(2)观察归纳、(3)讨论研究、(4)即时训练、(5)总结反思、(6)任务延续，六个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目的.自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流.3、教学手段

利用多媒体和POWERPOINT软件进行辅助教学.六、教学过程分析

1、创设情境，提出问题

西游记后传之猪八戒的高老庄——话说猪八戒自从西天取经之后，就回到了高老庄，成立了高老庄集团，自己也摇身一变成了总经理，但是好景不长，他的公司因为经营不善出现了资金短缺，于是他便想向师兄孙悟空借钱.孙悟空：没问题！我每天给你投资100万元，连续一个月（30天）猪八戒：师兄你太好了，那„„我何时还你钱？

孙悟空：咱俩谁跟谁呀！我给你投资的钱就不用还了，你就意思意思，第一天给我1元，第二天给我2元，第三天给我4元，„„以后就每天给我的钱是前一天的两倍，一直给我30天，我们就算两清了，你看如何？

猪八戒：第一天1元换100万元，第二天2元换100万元，„„哇，发财了！猪八戒：猴哥，你可别反悔呀！

孙悟空：那„我们可以签一个合同嘛！说着就起草了一份合同.猪八戒正想签字，可转念一想，发现不对劲了，这猴哥本来就精明，做了生意之后就更精了，他会不会又在耍我？

设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．故事内容紧扣本节课的主题与重点．

此时我问：同学们，如果你是猪八戒的参谋，你认为他签不签这个合同呢？

设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做，有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处，学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔.这样引入课题有以下几个好处：

(1)利用学生求知好奇心理，以一个实际问题为切入点，便于调动学生学习本节课的趣味性和积极性.(2)在实际情况下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中.(3)问题内容紧扣本节课教学内容的主题与重点.(4)有利于知识的迁移，使学生明确知识的现实应用性.在我的诱导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起等比数列的数学模型，写

7出猪八戒应付的钱的总数1+2+2+22，并与1001000030=3.010进行比较.2329带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定．

当学生跃跃欲试要求这个数列的和的时候，课题的引入已经水到渠成.我再由特殊到一般、具体到抽象的启示，正式引入课题.2、师生互动，探究问题 2329、2、2、2、、2是什么数列？有何特征？ 在肯定他们的思路后，我接着问：1应归结为什么数学问题呢？

探讨1：设S30=1+2+22+23229，记为(1)式，注意观察每一项的特征，有何联系？(学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探讨2： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，(1)式两边同乘以2则有，2S30=2+22+23229+230，记为(2)式．比较(1)、(2)两式，你有什么发现？

设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机．

经过比较、研究，学生发现：(1)、(2)两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：S302301．老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么(1)式两边要同乘以2呢？

设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心．

3、类比联想，解决问题

这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列an的首项为a，公比为q，如何求Sn？这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导．

设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感．

a1a1qn在学生自己探究完成后，我再问：由1qSna1a1q得Sn，这样子对

1qn不对？这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q1时是什么数列？此时）Sn?（这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础．再次追问：结合等比数列的通项公式ana1q，如何把Sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）

设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用．

4、讨论交流，延伸拓展

在此基础上，我提出：探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？ 我们知道，Sn=a1+a1q+a1q2++a1qn1=a1+q(a1+a1q++a1qn2)那么我们能否利用这个关系而求出Sn呢？

再根据等比数列的定义，能否联想到等比性质

aa2a3a4nq从而求出a1a2a3an1Sn呢？

设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.以上两种方法都可以化归到Sna1qSn1, 这其实就是关于Sn的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.5、变式训练,深化认识

例

1(1)求等比数列1111，，„的前8项和； 24816111163(2)等比数列，，„的前多少项和是？

24816641111(3)求等比数列，，„的第5项到第10项的和；

248161111(4)求等比数列，，„的第2n项中所有偶数项的和；

24816首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结．

设计意图：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．

6、例题讲解，形成技能

例2 求和Sn1aa2a3an1.设计意图：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想．

7、总结归纳，加深理解

以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结．

设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力．

8、故事结束，首尾呼应 最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出两种方式猪八戒应付的钱分步为3.010和1.0710，显然猪八戒不该签这个合同．

97设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维．

9、课后作业，分层练习

必做： P129练习1、2、3、4； 选做(思考题)：

(1)求和Snx2x23x3nxn.(2)“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？

设计意图：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间．

10专题十数列极限与函数极限 篇4

华中师大一附中孟昭奎

专题十数列极限与函数极限

一、选择题

(1x)mab，则a·b=（）1．（2008年高考·湖北卷）已知m∈N, a、b∈R，若lim n0x

A．-mB．mC．-1D．1 *

2．lim(n1

4A．1 111)的值为（）464684682n1111B．C．418D．11 24

x32xa2(x1)3．若函数f(x)15a在点x=1处连续，则实数a=（）(x1)3x

1A．4B．-14C．4或-14 D．1或-4 4

4．下列命题：①发果f(x)=1，那么limf(x)=0；②如果f(x)=x1，那么f(x)=0；③如xx

x22xx,x0果f(x)=，那么limf(x)不存在；④如果f(x)，那么limf(x)=0，其中真x2x0x2x1,x0

命题是（）

A．①②B．①②③C．③④D．①②④

ax2bx3cx3bxccxa1，则lim5．设abc≠0，lim的值等于（），limxaxbxbx3cx2a3xbx2c4

419 A．4B．C．D． 944

an1abn126．设正数a, b满足lim(x+ax-b)=4，则lim等于（）nax22b11 A．0B．C．D．1 4

27．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则lim等于（）

A．2an1na1n14B．12C．1D．2

二、填空题

8．已知数列的通项an=-5n+2，其前n项和为Sn，则lim

9．lim(x2Sn=________． nn241)=________． x24x

2专题十数列极限与函数极限

2012年高考复习资料—第二轮复习专题练习题

华中师大一附中孟昭奎

10．（2008年高考·安徽卷）在数列{an}中，an=4n-5, a1+a2+…+an=an2+bn, n∈N*，其中a, b2

anbn

为常数，则limn的值为__________． nabn

ex1,(x0)11．关于函数f(x)(a是常数且a>0)．下列表述正确的是_________．（将你2ax,(x0)

认为正确的答案的序号都填上）

①它的最小值是0

②它在每一点处都连续

③它在每一点处都可导

④它在R上是增函数

⑤它具有反函数

12．如图所示，如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_______条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_______;f(n)=_______．（答案用数字或n的解析式表示）

三、解答题

1x(x0),13．已知f(x) xabx(x0).

（1）求f(-x)；（2）求常数a的值，使f(x)在区间(-∞, +∞)内处处连续．

14．已知{an}, {bn}都是公差不为0的等差数列，且limanaa2an2，求lim1的值． nbnnbn2n

15．已知数列{an}中a1=2, an+1=(2-1)(an+2), n=1, 2, 3, …．

（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}中b1=2, bn+1=3bn4, n=1, 2, 3, …．

数列极限的计算 篇5

数列极限的计算

极限概念有着深刻的思想性,它包含了事物的无限运动变化过程和无限逼近思想,体现了由有限到无限,近似到精确、量变到质变的`辩证思想,曾对教学发展和促进人类文明发挥过十分重要的作用.极限方法是辩证法在数学上的应用,是初等教学所没有的一套崭新的方法,它解决了“直与曲”,“近似与精确”的矛盾,是客观世界中由量变到质变的一种反映.数列极限是高等数学的重要组成部分,求数列极限的方法很多.本文总结出十余种类型的数列极限方法,讨论的内容涉及数列知识,Stolz定理,子序列的极限与函数的极限的关系,级数理论,上下极限,定积分理论,柯西收敛准则,泰朝展式,黎曼引理等,力求对数列极限的计算做一个总结.

作 者：卜宪敏 作者单位：日照广播电视大学,山东日照,276826刊 名：中国科教创新导刊英文刊名：CHINA EDUCATION INNOVATION HERALD年，卷(期)：“”(5)分类号：G623.5关键词：极限概念 极限方法 Stolz定理 子列理论

高等数学中数列极限的应用 篇6

关键词：数列极限,高等数学,微积分

极限思想是微积分的基本思想, 在微积分学中, 导数是处理均匀量的除法在处理相应非均匀量中的发展, 实现这种发展的基础是极限;定积分是处理均匀量的乘法在处理相应非均匀量中的发展, 实现这种发展的基础也是极限。在日常生活、经济建设以及科学研究中, 极限有着非常广泛的应用。早在公元3世纪, 我国古代数学家刘徽利用蕴含极限思想的割圆术推出了圆面积的计算公式。数列极限作为极限的基础, 本文从知识应用的角度对其作一概述。

一、数列极限的定义

定义:如果数列{xn}与常数a有下列关系:对于任意给定的正数ε (无论它怎么小) , 总存在正整数N, 使得对于n>N时的一切xn, 不等式|xn-a|<ε都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收敛于a, 记为。

二、数列极限的应用

(一) 数列极限在经济中的应用。

1.银行复利问题。例1设银行某种定期储蓄的年利率是r, 本金是N0元, 如果以年为单位计算复利 (即每年计息一次, 并把利息加入下年的本金, 重复计息) , 那么t年后, 本利和应为Nt=N0 (1+r) t元。若以月为单位计算复利, 那么t年后, 本利和应为多少?

(二) 数列极限在工程中的应用。瓦斯爆炸是酿成煤矿事故的主要原因。瓦斯是一种无色无味的气体, 平时靠瓦斯检测仪检测。矿井中含有瓦斯的空气被吸入盛有瓦斯吸收剂的圆柱形过滤检测仪后, 出来的空气浓度会降低, 且这种检测仪吸收的瓦斯量与矿井中瓦斯的浓度及吸收层厚度成正比。

例3对于一个具有特定厚度的检测仪, 若进口处的瓦斯浓度较高, 则其出口出的浓度也会相对较高。假设现有瓦斯含量为8%的空气, 通过厚度为10厘米的吸收层后, 其瓦斯的含量为2%。问: (1) 若吸收层厚度为30厘米, 出口处空气中的瓦斯含量是多少? (2) 若要使出口处空气中瓦斯含量为1%, 其吸收层厚度应为多少?

解:设吸收层厚度为m厘米, 将吸收层分成n小段, 每小段的厚度为m/n厘米。

(1) 根据已知条件m=30, 则出口出处瓦斯的含量为:

(三) 数列极限在数学建模中的应用。例4设有一对幼鼠, 从第二个月成年并具有繁殖能力, 第三个月生下幼鼠一对, 以后每月生下幼鼠一对。而所生的幼鼠亦在第二个月成年, 第三个月生产另一对幼鼠。假定每生产一对幼鼠例必为一雄一雌, 且均无死亡, 试问一年后共有成年与未成年老鼠多少对?二年以后又有多少对?……, t年以后呢?

解:上述老鼠生产繁殖的过程, 即构成金字塔结构:一月份共有老鼠一对;二月份仍有老鼠一对, 从三月份开始, 每月的老鼠总数恰好等于前两个月的老鼠总数之和, 即数列:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …, 可见一年后共有233对老鼠。

用数学归纳法和极限理论可以证明, 当项数很大时, 其通项为:

t年以后, n=12t, 成年与未成年的老鼠总和为:

当t=2时, a24≈0.447× (1.61825-0.61825) ≈74950

三、结语

习题课1—数列极限2009 篇7

第一次习题课（数列极限）

一、内容提要

2n2121.数列极限定义，验证limn3n22n13.2.极限性质（唯一性、有界性、保号性、保不等式）.3.极限四则运算.求limn1nn

2n(n)，limn(1nn2)

4.收敛准则（迫敛准则、单调有界准则、柯西收敛准则）.二、客观题

1.设f(x)1,x

1x1，则ff(x)___________.0,2.若数列{xx

n}与{yn}发散，问数列{xnyn}，{xnyn}，{n

y}是否一定发散？

n

3.若数列xn收敛，列yn发散，则数列xnyn是否存在？

4、若单调数列{an}含有一个收敛的子数列，则数列{an}必收敛（）.5、若数列{an}发散，则{an}必为无界数列（）.6.当（）时，有lim(k

n1n)ne.三、计算题

1.一些重要结论：

lim(n1n

nn)e，limn(n1n)ne1，limnqn0,(|q|1)，limna1,(a0)，limnn21.2.计算下列极限

（1）limsinn

nn0（M）.（2）lim

1n(2n1n2n2n2)2（求和法）.（3）lim(1

nn21

2n2n

2n2n)（夹逼）.（4）limn(113n1nn2)，（4）limn(1n2).（5）.设f(x)axa0,a1，求lim1

nn2lnf(1)f(2)f(n).1limnn1，《数学分析I》第1次习题课教案 xn1ann!（6）设xn，求极限.limnnnxn

四、证明题

1.已知limana，证明极限limn[nan]a.nn1

cos1cos2cosn2n,（n1,2,，）是收敛数列.2222..应用柯西收敛准则，证明an

3.设x1a0，xn112(xn)，证明：数列{xn}收敛并求其极限（单调有界原理）.2xn

n4.按数列极限的N定义证明limn22n210.anbnn1,2,,试证明数列{an}，bn1anbn，25.给定两个正数a1与b1(a1b1)，我们令an1

与{bn}的极限皆存在，并且limanlimbn.nn

数列极限说课稿 篇8

2018考研数学：数列极限方法总结归纳

极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。下面凯程考研就分享一下数列极限方法，大家注意学习。

极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键，极限的运算法则必须遵从，两个极限都存在才可以进行极限的运算，如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下：

极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。

四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效;夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。

为学生引路，为学员服务

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为学生引路，为学员服务

压缩映射原理在数列极限中的应用 篇9

1.基本概念和定理

为了结构的完整和叙述的方便, 我们给出文献中的几个概念和定理.

定义1.1设(X,ρ)为一个度量空间,T是X到X的映射,若存在0<α<1,使得坌x,y∈X,有ρ(Tx,Ty)≤αρ(x,y),则称T是X到X的一个压缩映射.

定理1.2(压缩映射原理 )设 (X,ρ)为一个完 备的距离 空间,T是X到X的一个压缩映射, 则T在X上存在唯一的不动点即存在唯一的x∈X,使得Tx=x.

事实上 ,这两个结 果在一般 的实数R上也成立 ,有如下结果.

定义1.3设函数f在区间I上有定义且f(I)奂I,若存在常数0<k<1,使得坌x,y∈I,都有|f(x)-f(y)|≤k|x-y|,则称函数f为区间I上的一个压缩函数,正常数k称为压缩系数.

定理1.4设f为区间I上的一个压缩函数,则f在I上存在唯一的不动点x∈I,使得f(x)=x.特别地,若数列{xn}∈I,且满足xn+1=f(xn),n=0,1,2…,则数列{xn}收敛 ,且有

注:显然压缩函数一定是连续函数.可以证明定理1.4中的迭代数列{xn}是一个柯西列 , 从而数列收敛 , 再根据函数的连续性由xn+1=f(xn)得f(x)=x.这里笔者就不再给出证明 ,可以参考文献.

这里我们主要利用定理1.4解决递推数列或可以化为递推数列的极限问题.应用的关键在于两个方面:首先,研究的数列{xn}满足迭代xn+1=f(xn)条件 ;其次 ,验证函数f(x)是个压缩函数. 下面我们结合典型的例题具体探讨压缩映射在解决数列极限中的优越性.

2.应用

类型一:直接应用定理型

这类题的主要特征是已知数列{xn}是迭代数列xn+1=f(xn) 那么解决问题的关键在于验证函数f(x)是否是一个压缩函数通常情况,我们考察函数f(x)的可微性,从而利用微分中值定理判别它是否是压缩函数,关键是要求导函数|f′(x)|<1,从而得出压缩系数.许多教材及教辅资料中,在解决递推数列极限问题时大多数是通过单调有界定理解决问题. 利用单调有界定理主要验证递推数列的单调性和有界性,目标很明确,但往往总有一个条件的验证,是很复杂或者无法解决的.事实上这时尝试换个思路考虑压缩映射原理,效果或许会事半功倍.

例1:已知数列{an}满足条件 :

分析:这个题目条件很简练,若考虑利用单调有界定理来完成,其有界性显然成立,但单调性验证起来比较麻烦.事实这个题符合迭代数列的形式, 只需我们考 查函数f (x)=2+是否为压缩函数,易得.下面一个关键问题在于函数f的定义域的确定, 由已知条件知我们可以让f定义在[2,+∞),从而由微分中值定理得x,y>2, 都存在一个δ介 于x和y之间 , 有故函数f为压缩映射 ,从而数列{an}收敛.不妨设再利用函数f连续性得对两边取极限得,不难解得a的有效数值.

下面我们看一道竞赛试题.

例2:证明数列{an}, 其中)的极限存在 ,并求极限.

分析:这个问题若尝试用单调有界定理去做,可能很难得到正确的解答,而用压缩映射原理则比较简单,只需要考查函数是压缩映 射即可 . 不难求得.后面的做法类似例1即可得到正解.

由于压缩映射原理在许多教材中没有给出, 但其实用性很强,因此在教学过程可以补充给出,让学有余力的学生自己查阅相关文献.这类题目常见于考研试题和竞赛试题,只要出现迭代数列形式,就可以尝试利用压缩映射原理来考虑,问题的关键是确定函数是否为压缩函数, 同时一定要注意函数的定义域.我们可以把这类问题归结为如下形式.

结论:设数列{xn} 满足迭代条件xn+1=f (xn),x1满足一定条件,函数f(x)是连续可微且|f′(x)|<k,0<k<1,则数列{xn}必收敛 , 其极限为函数f(x)的不动点.

类型二:先转化再应用型

这类问题中的条件相对含蓄些, 需要我们进行适当的变形或转化才能得到类型一的情形, 这里解决问题的主要突破口是对已知数列{xn}构造出迭代条件xn+1=f(xn).

例3:(Fibonacci数列)设,证明:数列{xn}收敛 ,并求极限

分析:这里若用单调有界定理做比较繁琐,但应用压缩映射原理就比较简单,当然需要读者能先找出迭代数列.

这类问题中虽然没有明显的迭代条件,但可以先考虑通常的方法,如单调有界定理、柯西收敛逐准则及夹逼定理等,也可以尝试往压缩映射原理条件上去凑,或许有意外的收获. 以上几个例子都是数列极限中常见的典型例题, 但几乎所有的教学参考书籍都没有提及利用压缩映射原理解决该问题, 事实上,利用该方法解决上述例题更简洁.数学分析中很多问题的解 决都得益 于把已知 条件往解 决方法原 理的条件 上“凑”,这种“凑”是一种技巧、策略 ,它是解决数学分析中问题的常见策略,初学者需要仔细体会.

数列极限的求解方法多种多样, 每种方法都有其条件要求和适用范围,需要灵活运用.压缩映射原理也不例外,在应用是时一定要注意条件的验证,同时要注意其使用范围.

摘要：压缩映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通过对考研中数列极限的典型例题的解析,归纳总结出适合压缩映射原理求极限数列的一般形式,展示压缩映射原理在解决递推数学列极限中的优越性.