圆的面积教学反思（精选11篇）
通过对圆的研究，使学生认识到研究曲线图形的基本方法，同时渗透了曲线图形与直线图形的关系。这样不仅扩展了学生的知识面，而且从空间观念来说，进入了一个新的领域。因此，通过对圆有关知识学习，不仅加深学生对周围事物的理解，激发学习数学的兴趣，也为以后学习圆柱，圆锥打下基础。
一、不拘泥与教材，体现新课标“以人的发展为本”的理念。学生学习数学的过程是一种“再创造“的过程，在这一过程中，学生要通过自己的研究、探索，自主发现，合理建构数学知识体系。本堂课上，我没有局限于书本上现成的方法，而是对教材作了大胆处理，突出圆的面积公式的探索与推导。教师为学生搭建了自由探究的平台，给学生充足的探索时空，引导学生从多方位去思考问题，让学生操作、思考，自主探究，自主发现，从而从不同的角度推导出圆的面积计算公式，既培养了学生思维的灵活性、多向性，又使学生亲身经历了数学知识的形成过程，并从中体验到数学思想和方法，同时也培养了学生的实践能力、探索精神和创新意识，发展了学生的个性。
二、注重学生的个性差异，构建开放的、富有挑战性的课堂教学模式。
课堂教学是一个群体教育，学生的数学学习存在着差异，因此必须从“为少数学生的教学”转变到“为一切学生的教学”这一目标上来。为此，本堂课上，我不仅重视自己“导”的设计，更重视学生“学”的经验，根据学生学习上的个性差异设计不同层次的教学，让学生主动参与，自主探索，找到解决问题的各种途径，让不同的学生表现出不同的思维过程，让不同思维特点的学生都有机会表达出自己的探究过程，真正使不同层次的学生得到不同程度的发展，使“学”的过程成为激活思维灵活的、开放的过程，学生真正成为探索者、发现者，他们不仅获得了知识，更重要的是学到了科学探究的方法。
三、倡导了“自主探究”、“合作交流”、“实践创新”的崭新的数学学习方式。
《数学课程标准》指出：“有效的数学活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。本课的设计具有探索性和开放性，教学中，我从学生已有的知识背景出发，给予学生充分的自主探索，自觉思考研究，领悟深化，并让学生将个体化结论小组交流并汇报，给学生提供充足的交流机会，整个教学过程始终让学生沉浸在一个自主探索、合作交流、充分发表自己个性化的感受和见解的过程之中，不仅完善了学生的整体知识结构，也使学生获得了广泛的数学活动经验。
四、分层练习，体验运用价值
结合课本中的例题，我设计了基础练习、提高练习两个层次，从两个不同的层面对学生的学习情况进行检测。第一，基础练习巩固计算公式的运用，强调规范的书写格式；第二，提高练习收集了身边的实际内容，让这节课所学的内容联系生活，得到灵活运用。在每一道练习题的设置上，都有不同的目的性，我注重了每个练习的指导侧重点。但在整个练习过程中我没能做到充分发挥主导作用，体现学生的主体地位，引导学生自觉地参与解决问题的过程中来。今后教学中应关注学生的参与程度，知识的掌握程度，促进学生主动发展，提高课堂教学效果。
这是一节关于“圆的面积”计算的练习课, 在基本练习之后, 教师依次出示一组练习题课件。
1.一张正方形纸的边长是10厘米, 把这张纸剪成一个最大的圆, 这个圆的面积是多少平方厘米? (如下图所示)
2.一张正方形纸的面积是144平方厘米, 把这张纸剪成一个最大的圆, 这个圆的面积是多少平方厘米?
3.一张正方形纸的面积是80平方厘米, 把这张纸剪成一个最大的圆, 这个圆的面积是多少平方厘米?
学生对第1题都能用常规的方法解答。
师:谁能说说第1题的解题思路与方法?
生:这个圆的面积是 (平方厘米) 。我是这样想的:要求圆的面积必须知道圆的半径, 正方形的边长与圆的直径相等, 先用正方形的边长除以2算出圆的半径, 然后再运用公式算出圆的面积。
第2题按照一般的解法, 需要知道正方形的边长, 可是题目中提供的是正方形的面积。虽然144是一个完全平方数, 但是对于学生来说却也不容易凑出, 学生的思维受阻。这时, 教师进行了提示。
师:正方形的面积是144平方厘米, 你能算出它的边长吗?
生:正方形的面积是144平方厘米, 144等于一个数的平方。
生:也就是144是两个相同数的乘积。
生:我用了凑数法, 10×10=100, 11×11=121, 12×12=144, 所以这个正方形的边长是12厘米。
生:我用了分解质因数法:144=2×2×2×2×3×3, 所以144=12×12, 这个正方形的边长是12厘米。
有了正方形的边长, 学生很快地解决了第二个问题, 圆的面积是 (平方厘米) 。
有了第2题的解题经验, 学生认为第3题只要根据正方形的面积找出正方形的边长就可以了。可是80并不是一个完全平方数, 用凑的方法是凑不出正方形的边长了, 学生陷入了思维的困境。
这时教师适时点拨:是啊, 80不是一个完全平方数, 用我们现有的方法求不出正方形的边长是多少。那么如果不求出正方形的边长, 能求出圆的面积吗?
经小组讨论交流, 学生渐渐有了自己的想法。
师:你们两个小组真棒, 用字母表示正方形的边长和圆的半径, 找出了它们与面积之间的关系, 也就能求出圆的面积。如果正方形的面积是200平方厘米, 你能算出圆的面积吗?正方形的面积是a平方厘米, 圆的面积是多少呢?
学生发现, 这里的圆的面积其实就是正方形面积的
【反思】
小学生学习数学和解决数学问题的过程, 是思维活动的过程, 更是促进其思维发展的过程。在上述片段里, 层层递进的题组设计, 不断打破平衡的思维冲突, 在教师的点拨下不断提升了学生的思维品质。
一、打破平衡, 激活学生的数学思维
在进行了一定量的常规练习后, 学生对圆周长的计算方法已基本掌握并形成了一定的技能, 如果再继续做一些常规性的练习, 其作用也只能是机械重复, 学生的思维只能停留在原有的认知层面上, 甚至对练习失去兴趣。因此只有打破学生已有的平衡, 让学生在对富有挑战性的问题的思考中不断建立平衡。
第一个问题无疑是基本的问题, 学生根据已有的圆的面积公式就能较容易地求出, 此时虽然圆的半径没有直接给出, 但是示意图中的正方形的边长是学生寻求平衡的拐杖;第二个问题出现时, 打破了学生已有的平衡, 根据第1题的经验, 要先求出正方形的边长, 学生根据正方形的面积是144平方厘米, 运用列举、分解质因数等方法求出正方形的面积, 实现了平衡;对于第三个问题, 学生根据已有的知识不能求出正方形的边长, 又一次打破了平衡。这时圆的面积该怎样求呢?学生在分组讨论、交流中, 借助字母再次实现了平衡, 发现根据正方形与圆的面积关系同样可以求出圆的面积。
这三个问题的层次是不一样的, 在层层深入的思考中, 不断激发学生的思考热情, 激活了学生的思维。
二、建构模型, 提升学生的思维品质
练习的终极目标不是就题讲题, 学生会做题不一定就完成了教学任务。数学练习的关键是看学生的思维品质是否得到提升。上述片段中, 教师不满足于解题, 还渗透着数学模型的思想, 帮助学生在解题过程中实现知识模型的建构。
教师借助题组训练, 改动题中数据, 从特殊 (完全平方数) 到一般 (非完全平方数) , 让学生通过观察、分析发现了圆面积与正方形面积之间的关系, 成功建立起数学模型。在建立数学模型后, 教师又在此基础上稍作修改, 促使学生运用数学模型解决实际问题, 此举大大提高了学生建立数学模型、应用数学模型的自觉性和主动性, 从而发展了学生的数学思维, 提高了学生的数学能力。
纵观整个学习过程, 学生经历了从简单到复杂的学习过程, 经历了逐层抽象, 运用列举、推理等方法建立了数学模型, 利用模型解决问题的过程, 在解题过程中提升了思维品质。
三、适时启发, 引领思维向纵深发展
由于学生的知识水平和阅历都有限, 在多数情况下学生的思维不可能自发地得到提升和完善。在他们学习困惑处, 似懂非懂、欲言难言时, 恰恰最需要教师的启发。
在上述片段中, 第1题, 无疑是解决圆的面积的基础, 然而在第2题出现时, 学生出现了困惑, 教师给出了提示:“你能算出正方形的边长吗?”在第3题学生无法找寻出正方形的边长时, 教师适时提示:“那么如果不求出正方形的边长, 可以求出圆的面积吗?”随着条件的变化, 在学生越来越觉得根据正方形的面积求不出边长时, 教师适当的点拨, 激起了学生强烈的探究欲望。在学生用字母假设正方形的边长或圆的半径后, 发现了这类问题中圆的面积与正方形面积之间的关系。
关键词：数学教学 课堂
中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）05-147-01
一、创设情境，引出问题
课件演示：（牛吃草）看到这个画面，你能获得哪些数学信息？那牛吃到草的面积是多少你知道吗？这节课我们大家就一起来探讨圆的面积。）（板书课题）
二、回顾旧知，孕育新知
在研究圆面积前我们先来做个思维训练，回顾以前学过的关于圆的知识。请同学们拿出圆纸片，找到你了解的知识，并用字母表示它们的名称。（课件演示）
以前我们推导平面图形面积公式时都用到一种数学方法---转化法，就是让新知识转化为旧知识，利用已有的知识来研究新知识。回顾平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导。多媒体课件演示推导过程。
三、研究新知，加深理解
（1）课本上就用这种转化法来推导圆面积公式的。大家仔细阅读一下课文，看看你们小组能学到什么，还有什么问题需要大家一起来帮你解决呢？（强调分成偶数等份）
出示自学提纲：
1）什么叫圆的面积？
2）书上是怎样推导圆面积的？
3）为什么是近似的平行四边形？
（2）小组合作学习：同学们已经有了自己的研究方法，可以利用一些学具开始探究。可以独立研究，也可以和有相同想法的同学自由合作。研究的过程可能会有困难，老师相信你们，一定不怕困难勇于探索，遇到问题也可以向老师寻求帮助。
（3）哪个小组愿意把你们的研究成果给大家展示一下？
请大家关注同学们的发言，从中你一定会受到启发或发现问题。
小组汇报：①分成4份。②分成8份 ③分成16份（学生叙述拼的过程，教师板书推导公式）
（4）我们回忆一下圆的面积公式是怎样推导出来的？ （指生叙述）
如果给你一个圆，你能求出它的面积吗？（举起一个圆）谁能求出这个圆的面积？那如果给你具体数据，你们想要什么具体数呀？都要几个？（你的贪心还不小呢！幸好没要面积，那样就不用计算了。如果让你随便挑，你要哪个数据？）能说说要半径的理由吗？（你还真会找捷径）那如果老师只给你周长怎么办啊？（根据周长公式求半径）看来，求圆面积的关键条件是什么？（半径）那我们再来读一遍公式好吗？
好，同学们还记得课前那头正在吃草的小牛吗？让我们一起来算一算它最多能吃多少草好吗？（课件演示）
四、发散思维，拓展知识（出示多媒体课件上的“四两拨千斤”）
小组合作学习中还有一个问题是吧？好，哪个小组拼出了和大家不同的图形？（可以拼出近似三角形、平行四边形、梯形。将学生的研究结论贴在黑板上）真不错，拼成的这些图形同样可以推导出圆面积的计算公式，这个问题我们留到数学活动课再去进一步探讨好吗？
五、总结反思，课外延伸
（1）让学生回忆一下以前学过的平面图形的面积公式的推导方法，利用多媒体课件直观再现推导过程，学生在回顾旧知识的过程中领悟到这些平面图形面积的推导都是通过拼摆的方法，把要学的图形转化成已经学过的图形来推导的，从而渗透转化的思想，并为后面自主探究推导圆的面积作好铺垫。
（2）引导学生主动探究。学生以小组为单位，通过合作拼摆，把圆转化成学过的图形，并且在操作过程中，学生要边操作边思考找出新图形与拼摆成图形之间的联系，然后得出：圆的面积=圆周长的一半×半径，当得出结论后，我没有直接告诉学生用字母怎么表示圆的面积公式，而是引导学生自己逐步完善公式。在整个公式的推导过程中，学生始终参与到如何把圆转化成其它图形的探索活动中来，学生的思维空间被打开，想象被激活，每个学生的创造个性都得到了充分自由的发展，亲身经历知识的形成过程，体验成功的喜悦。
“圆的周长与面积”学完后，我进行了一次“圆的周长与 面积”的单元测试，总体成绩还算比较满意，但从试卷上和平时的作业上来看反 应出来的问题还是比较多，下面就这一单元近来的教学作以如下思考:
一、存在的问题
1、学生对有关圆的概念认识不深刻。(1)圆周率是圆的周长与直径的关系，学生写成周长与面积或其它的关系，认 识不清;圆的周长除以它的直径，所得的商是()。有的学生填写的是一个固 定的数，还有的同学填的是3.14，准确答案应是圆周率或∏。(2)半圆的周长总容易理解成圆的周长的一半，其实是圆周长的一半加上它的 一条直径或两条半径。(3)对圆的周长和面积公式有点混淆。明明知道是求面积，可是却去求周长，自己还不知道错了。
2、学生对有关圆的生活实际不熟悉。(1)在实际生活运用中不知道“自动旋转喷灌装置”是什么样的，不能把实际 生活与所学知识联系起来。射程40 米，20 米，10 米，是指喷灌面的半径，不是 直径。安装的位置，是指圆心。(2)不知道钟面上的分针是圆的半径，常常理解成直径，造成解题错误。
3、学生对组合图形的周长认识不到。(1)“周长”是指图形一周所有线的长度，小学六年级阶段所认识的“线”只 有两种可以计算长度的线，一是线段，二是圆形的曲线。学生往往会把不在一周 上的线段计入周长，也会不计凹进图形的线，或者减去凹进图形的线的长度。(2)长方形和其内切圆之间的关系不清楚，看不出长方形的宽就是圆的直径，找不出长方形的长宽与圆的直径和半径之间的对应关系，求不出长和宽各是多 少，求长方形的周长就无从下手。
4、学生对组合图形的面积掌握情况。(1)由于学生对图形的平移和旋转比较感兴趣，所以对组合图形的面积掌握较 好，大部分同学都能找到比较简洁的计算方法。(2)在求半圆的面积时，有些学生总是在求得圆的面积后，忘记乘二分之一或 除以2.5、学生不愿意动手操作或操作能力不高。对于没有图形的解答环形面积的应用题，学生不愿动手画草图 来分析，因此找不对两个圆的半径。对动手操作题目不知道怎样下 手，如右图画图形的所有对称轴或多画或少画。
6、两个圆的半径、直径、周长、面积之间的比的关系 两个圆的半径、直径、周长的比是一致的，如果半径比是3:1,则直径和周 长的比都是3:1,也就是长度单位的比相同;两个圆的面积的的倍数关系，是长 度单位的平方倍，长度单位是3 倍，则面积就是9 倍。
7、有关计算方面出现的问题。(1)有的同学在计算某数的平方时，如3 的平方，应该是3 乘3，可总有同学 却成3 乘2.(2)学生在计算碰到3.14 时，不能灵活计算，一般把3.14 放到最后去乘，比 较容易计算，而不灵活的同学不管那一套，3.14 写在哪里就乘哪，计算花费时 间比较多，也容易出错。(3)有的同学在解答这部分知识时，列出综合算式，但是解答时步骤省略或没 有计算结束就不计算了，出现问题也比较突出。
二、解决办法: 发现了问题，我赶紧要想出方法进行补救，不能让这种状态持续下去，我是 这样做的:
1、重视公式的推导过程，加强公式的记忆，强化不同公式的区别，先从公式上 打好基础。
2、在解决问题时，先把公式写上，然后再根据公式列式，这样的好处是让学生 好好思考到底需要哪个公式，避免出错误。
3、整理出这个单元的所有概念及公式，粘贴在书上，便于学生早读时记忆和做 作业时查找相应信息。
4、让学生记住3.14 的倍数的结果，这样能提高计算的速度和质量。
5、让学生在列式解答时，计算步骤不能省略，一步一步算出结果，这样还能避 免学生出错。
6、从学生的实际生活入手，如出示了圆形花坛的图片，设计了在花坛周围铺一 条小路求小路的面积这样的问题，创设与学生十分贴近的生活情景，这样充分调 动学生学习兴趣。增强学生学好数学的信心。
7、在教学过程中，把对知识梳理过程的主动权交给学生，让学生小组交流，培 养学生的合作意识，同时给学生相互学习提供一个机会，照顾到每一个学生，不 放弃每一个学生。
8、恰当的运用多媒体技术，以形象直观的课件演示，如“圆的面积”一课帮助 学生理解圆的面积的推导过程。特别是圆周长的一半转化成长方形的长，半径就 是长方形的宽这一教学环节，恰当的运用课件演示弥补了语言描述的不足，而且 学生通过观察更容易理解和掌握。
9、分层练习，照顾全面学生。
郧县鲍峡镇花园小学
罗波
教学内容:义务教育课程标准实验教科书第十一册P67-68
教学目标：
1、引导学生推导出圆面积的计算公式，能运用公式灵活的计算，已知圆的半径、直径，求圆的面积。
2、在圆面积公式的推导过程中，通过猜测、观察、对比、发现、尝试等数学方法，探索圆面积的计算公式，培养学生迁移、分析、合作和创新的能力,发展学生的空间观念。
3、使学生感受圆的面积的奥秘，培养学生学习数学的兴趣，并将所学知识运用于生活实际。
教学过程：
一、创设情境，导入新课。
课件演示：在草地的一个木桩上拴着一只羊，想一想这只羊能吃到草的最大范围在哪里？ 师：现在你想提什么数学问题?——揭示课题：圆的面积
二、探索合作，推导公式。
1、认识圆的面积
师出示一个圆片：圆的面积在哪里？请同学们拿出圆片，用手摸一摸，感受一下圆的面积,你想说什么?
出示结语：圆所占平面的大小叫做圆的面积
[设计意图：通过多媒体演示圆的面积让学生在充分直观感知圆面积的基础上，概括出圆面积的意义。]
1、估算圆的面积
师:圆的面积有多大呢?我们先来估计一下吧.如图所示:以这个圆的半径r为边画一 个小正方形。
提问：小正方形的面积怎样表示？（板书：r2）大正方形的面积又怎样表示？如果用 r来表示大正方形的面积又如何表示？（4 r2）那么，认真观察一下，与大正方形比，圆的面积与大正方形有什么关系？（老师把学生答案写在黑板上。）师：很显然，这个圆的面积小于＜4 r2.这个估计只能是个大概，要准确地求出圆的面积还必须找到科学的方法。
[设计意图:巧设估算圆的面积这个环节 ,使学生对圆面积与r2的倍数关系,获得十分鲜明的表象, 让学生带着悬念去探索推导公式,与后面得出圆面积计算公式后的验证前后呼应,加深学生对圆面积的计算公式的理解和记忆。]
3、积极动脑,讨论推导方法
回忆一下:我们以前学平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式时都是用什么方法推导出来的? ——引导转化
[设计意图：创设问题情境，启发学生回忆平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的推导过程。激起学生用旧知探索新知的兴趣,并明确用转化的数学思想方法。]
4、小组合作,推导公式
师:那圆可转化为哪一个学过的图形呢?小组可以剪一剪、拼一拼，试试看！哪怕是近似的图形也可以。小组讨论，设计方案。展示在投影仪上并汇报。
师：比较一下，你更喜欢哪一种？为什么？你们是沿着什么来剪的？为什么要沿着半径来剪呢?(圆的面积与半径有关)。
师:这种思路给了我们很大的启发！按照这种思路拼成的近似的平行四边形你们都很满意了吗？那么有没有什么办法让它的边变得更直呢?再剪几份，你是说把它分得更多份些，是吗？(可以把它分得更多份些)师:请拿出手中的圆片试着折一折,展开来,看看你折成了几等份?(学生展示并汇报)如果再折下去可以吗?现在老师就把你们折的这几种方案输入电脑。八等份、十六等份、三十二等份。（课件演示八分法、十六分法、三十二分法的展开图）
师：观察这三种分法，比较一下，同样大小的圆平均分的份数不同，拼出来的图形有什么变化？—— 发现：平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
［设计意图：通过小组汇报、采访小组等不同形式，来调动学生的多种感官参与学习，发挥学生的主体作用，培养学生主动探究、互助合作的精神，并通过电脑验证，使学生进一步明确圆可以拼成的近似的长方形，渗透化曲为直的方法。］
三、转化成长方形，研究推出圆面积公式——解决问题
1、设疑：我们沿着半径把圆切开，巧妙地把圆拼成了近似的长方形，现在我们可以利用长方形的面积公式来推导圆的面积公式。今天，我们就把圆进行十六等分来研究。请四人组拿出十六等份的圆和讨论提纲，小组合作探究，动手摆一摆，边观察、边讨论、边记录、边推导，看哪组合作得最快最好！
课件出现以下问题：（1）长方形的长相当于圆的（）？（2）长方形的宽相当于圆的（）？（3）长方形的面积相当于圆的（）？（4）因为长方形的面积=（）。
所以圆的面积=（）*（）
2、小组四人带讨论提纲汇报拼的过程并演示，媒体演示公式推导过程
3、揭示字母公式，验证猜想
4、小结：可见要求圆的面积只要知道什么就行？（半径r）
［设计意图：通过分组讨论汇报、试写面积公式等不同形式.再借助电脑课件的演示，生动形象地展示了化曲为直的剪拼过程。使学生进一步明确拼成的长方形与圆之间的对应关系，有效地突破了本课的难点。]
四、应用知识，解决问题
1、师：现在我再回到羊吃草的问题上来看看，告诉你们拴着羊的绳子长是3米，你 能运用所学的知识解决羊吃草的问题吗？（学生运用公式直接做,独立解决，集体订正。）
2、完成P69做一做第一题一个圆形茶几桌面的直径是1M,它的面积是多少?
3、出示喷灌装置图，师：瞧，这是一种自动旋转喷灌装置。认真观察一下，这里隐藏着什么样的数学问题 呢？公园草地上一种自动旋转喷灌装置的射程是15米。它能喷灌的面积有多少平方米？
提示：射程相当于圆的半径，灌溉面大约相当于圆的面积，4.要求一张圆形纸片的面积,需测量哪些有关数据?比比看谁先做完,谁想的办法多? [设计意图：学生已经掌握了圆面积的计算公式，可大胆放手让学生尝试解答，从而促进了理论与实践的结合，培养了学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力。]
五、课堂总结，渗透学法（略）
设计思路:
一、创设生活情境和问题情境,激发学习兴趣.通过课件演示,先创设羊吃草的情境,引出求圆的面积的问题,再通过课件演示圆片的上色过程,让学生感知并认识圆的面积。在学习新知之前，通过正方形和圆形的大小比较,让学生猜测并估算出圆的面积大约的范围,激发学生带着悬念,迫不及待想去推导出圆的面积公式来验证自己的猜测.二、动手剪拼，体验“化曲为直”
让学生回忆以前探究长方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导方法，引导学生用“转化”的好方法，去探究圆的面积计算公式。放手让学生动手把圆剪拼成各种图形，鼓励不同拼法，让学生通过比较得出沿半径剪拼的方法是较为科学的，让学生尝试把圆拼成学过的平面图形，为后面推导面积的计算公式作了充分的铺垫。
三、多媒体演示操作，感受知识的形成
通过多媒体演示，分小组拼摆学具，让学生多种感官参与.通过观察，比较、分析，发现圆的面积、周长、半径和拼成的近似长方形面积、长、宽之间的关系，让学生推导出圆的面积计算公式。这样以学生为主体，让学生在学习过程中，思维的能动性和创造性得到充分激发，探索能力、小组合作能力，分析问题和解决问题的能力都得到了提高。
四、分层练习，体验运用价值
结合所学的知识，让学生学以致用。解决了创设的情境问题等基础练习、提高练习、综合练习三个层次，从三个不同的层面对学生的学习情况进行检测。既巩固所学的知识，又锻炼了学生的综合运用能力，拓展学生的思维，注重了每个练习的指导侧重点。
教学反思：
1、复习旧知识，为学生认识圆的面积的含义和采用图形转化的方法推导圆的面积计算公式做必要的准备。复习时我先让学生回忆一下以前学过的平面图形的面积计算公式的推导方法，并利用教具直观再现推导过程，学生在回顾旧知识的过程中领悟到这些平面图形面积的推导都是经过切、割、拼的方法，把要学的图形转化成已经学过的图形来推导的，从而渗透转化的思想，并为后面自主探究“能不能把圆转化为以前学过的图形来计算它的面积”和猜想“怎样把圆转化成已学过的图形”做了充分准备。
2、引导学生主动参与知识的构成过程。本课时教学的重点是圆的面积计算公式的推导。教学时，教师作为引导者只是给学生指明了探究的方向，而把探究的过程留给学生。学生则以小组为单位，经过合作剪拼，把圆转化成学过的图形(平行四边行)，我把各小组剪拼的图形逐一展示后，又结合教具演示，引导学生经过观察发现“分的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形”，并从中发现圆和拼成的长方形之间的关系，从而根据长方形面积的计算公式，推导出圆面积的计算公式。在整个推导过程中，学生始终以进取主动的状态参与学习讨论，共同经历知识的构成过程，体验成功的喜悦。这样的学习方式不仅仅有利于学生理解和掌握圆的面积的计算公式，并且培养了他们的创新意识、实践本事、探索精神。在掌握数学学习方法的同时，学生的空间观念得到进一步发展。
3、体现数学与生活的密切联系。数学来源于生活又服务于生活，能够应用所学知识解决生活实际问题这是学习数学的最终目的。在本节课，都让学生真切地感受到数学就在我们身边，数学与生活是密切相关的，用所学知识解决生活中的实际问题是一件多么欢乐的事情，从而树立学好数学的信心。
下面通过对“圆的面积”一课教学的两个案例的对比, 剖析因教师教学设计理念的不同, 导致教学实践行为的不同, 所产生的结果是在学生主体性发挥上出现了根本性差异。
【案例一】
(一) 复习旧知, 引出新课
师:同学们, 前边我们研究了有关圆的哪些知识?你还想研究圆的哪些知识?
学生汇报。
(设计意图:通过开放性的问题设计, 教师引领学生思考回顾前边学习的有关圆的认识和圆周长的知识, 目的是调出学生的原有认知, 为后边学习新知识做好铺垫, 同时也引导学生思考关于圆的知识学生还想学习什么, 后边有可能要学习什么。学生根据对有关“图形与几何”方面知识的学习经验, 很容易提出接下来想研究的内容, 如圆面积的公式、利用圆的知识解决实际问题等等, 从而激发学生学习的欲望。)
(二) 创设情境, 提出问题
师:同学们回答得都非常好, 下面请大家看大屏幕: (教师用动态的画面演示) “用一条3米长的绳子把一匹马栓在树上 (接头处不计) , 马在它能活动的最大范围内走一圈, 这一圈的长是多少米?”
提示学生思考:要求马走一圈的长度求的是什么?计算公式是什么?这时教师又把马走一圈围成的圆形涂上颜色问学生, 要求马吃草的最大范围是多少, 求的是什么?
(设计意图:教师创设情境, 使学生在真实的情境中明确概念、产生问题, 从而为研究问题打下良好的基础。这样不仅激发了学生学习、探究的兴趣, 同时也能使学生进一步感受到数学知识来源于生活又服务于生活。)
(三) 小组合作, 展开探究
师:圆的面积怎样计算呢?请同学们在独立思考的基础上, 进行合作探究, 在合作前请同学们阅读以下提示。
提示1:你能把圆转化成什么图形?
提示2:转化后的新图形和圆有什么关系?
提示3:说说你是怎么推导圆的面积公式的?
(设计意图:教师首先引导学生独立思考, 然后进行小组合作探究, 发挥学生的主体作用, 使学生在学会知识的同时, 培养合作意识, 提高合作、探究、攻关的能力, 并通过活动不断积累活动经验。)
(四) 总结归纳, 概括提升
教师引导学生小组汇报后, 进行归纳, 用各种方法得出圆面积计算公式, 并进行课堂小结:同学们经过自己的努力, 通过小组合作探究得出了圆面积公式, 大家真了不起!
(设计意图:通过学生对学习成果的汇报, 使学生的思维外显, 从而培养学生的概括能力、归纳能力以及语言表达和交流能力。在此环节中教师对学生个体及小组作出适切的和激励性的评价, 以激发学生的学习兴趣。)
(五) 巩固练习, 拓展提高
师:同学们, 下面我们应用自己推导出来的圆面积公式解决问题。
教师给出了三个层次的大量练习。三个层次分别是基本练习、综合练习、拓展练习。
(设计意图:通过设计三个层次的练习, 使学生能运用公式解决问题, 形成良好的技能。)
【案例二】
案例二和案例一在教学结构流程方面是相同的, 都经历了这样几个过程:复习旧知, 引出新课;创设情境, 提出问题;小组合作, 展开探究;总结归纳, 概括提升;巩固练习, 拓展提高。案例二只是在时间的分配方面进行了调整 (见下表) 。
一、分析解读
虽然在教学结构流程方面两个案例是相同的, 但是仅仅在时间分配上的调整就使得学生主体性课堂的轮廓清晰可见, 以下笔者就对案例二中如何体现学生主体性进行分析、解读。
(一) 提供充足的探究时间
从上表可以清楚地看出, 案例一中教学步骤“小组合作, 展开探究”“总结归纳, 概括提升”这两个环节共用13分钟, 案例二中同样的这两个环节共用时30分钟, 对于40分钟的一节课来说, 案例二的改变是很大很难得的变化。另外在“巩固练习, 拓展提高”的环节中, 案例一用了19分钟, 基本上占了课堂教学时间的一半, 而在案例二中却只用了2分钟的时间。抛开表面看实质, 行为变化的背后是教育思想在起作用, 在主体性教育理念指导下, 才会引起时间分配上的调整和变化。案例二在重过程、轻技能的训练方面进行了突破性的尝试。
(二) 提供开放性的探究环境
两种方案中不仅时间分配不同, 在案例二中, 教师还给学生提供了宽松的探究环境, 因此出现了两种截然不同的研究成果, 体现了明显的差异性。
案例一中由于探究时间紧, 大多数学生只用了一种方法探究出圆面积公式, 然后教师引导学生用充分的时间来进行巩固练习, 形成了很好的解题技能。案例二中教师给学生提供比较充分的时间, 用于在独立思考的基础上进行小组合作, 鼓励学生用自己喜欢的方法, 用多种不同的方式研究、推导圆面积公式。在合作、探究中教师作为学生的学习伙伴与学生平等参与讨论, 发表个人意见。同时也随之增加了学生汇报交流的时间, 在学生汇报本组的研究成果时, 教师引导组内、外学生互相补充, 并适度点拨, 师生不断总结归纳, 概括提升出学生用各种方法推导出的圆面积公式。如, 有的小组把圆转化成近似的平行四边形, 借助原来学过的平行四边形面积公式, 推导出圆的面积公式;有的小组把圆转化成近似的长方形, 借助原来学过的长方形面积公式, 推导出圆的面积公式;有的小组把圆转化成近似的三角形, 借助原来学过的三角形面积公式推导出圆的面积公式;有的小组把圆转化成近似的梯形, 借助原来学过的梯形的面积公式, 推导出圆的面积公式;还有的小组把圆转化成若干个近似的三角形后, 用一份的近似三角形进行推导, 然后再乘份数, 从而推导出圆面积公式。智慧的学生借助原有的知识用多种不同的方法, 殊途同归, 都推导出了圆面积公式。
(三) 摆正学生主体与教师主导的位置
案例二在发挥学生主体作用方面, 做了这样两件事:第一, 教师精心设计给学生以温馨提示的讨论话题——“你能把圆转化成什么图形?转化后的新图形和圆有什么关系?说说你是怎么推导圆的面积公式的?”这样学生在教师的引导下, 通过已有的知识和经验, 在独立思考的基础上合作探究。第二, 在学生合作探究时教师做到有意识地、适时地退到后台, 作为学生的一分子、学生的学习伙伴共同参与到小组讨论中, 平等、民主地发表意见。
案例二在发挥教师主导作用方面, 也做了两件事:第一, 在学生汇报小组讨论的结果时, 表面上是让学生汇报, 但教师做到适时地引导辅助学生进行归纳, 使学生在研究的基础上从五种不同的途径推导出圆面积公式, 在探究过程中教师的“交权”不等于“全交”, 而是将自主学习选择权给了学生, 把要达到目标所选择探究路径的“权”交给了学生, 但在归纳、概括中当学生遇到困难时教师适时地“出拳”发挥了主导作用。第二, 在学生汇报归纳出圆面积公式后, 教师又引领学生一起回顾推导公式所经历的研究过程, 板书:转化图形→建立联系→推导公式→解决问题, 使学生的认识得到了进一步提升, 感悟到研究经历的过程。同时在引领学生回顾的这一过程中, 教师再有意识地渗透两个思想, 即转化思想、对应思想, 培养两种能力, 即归纳的能力和解决问题的能力。这样能使学生逐步掌握研究的方法, 进一步提高学生探究、解决问题的能力。
二、案例思考
(一) 发挥学生主体作用是落实“四基”、培养“四能”的重要途径
《义务教育数学课程标准 (2011年版) 》在“总目标”中明确提出使学生能“获得适应社会生活和进一步发展所需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。数学教育不仅要使学生掌握现代生活和学习中所必需的数学知识与技能, 更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。从这个意义来说, 让学生获得“基本思想”与“基本活动经验”更具有深远的意义。同样从培养人的思维能力和创新能力这个意义上来说, 需要学生从现实中去发现问题, 并通过语言描述把所发现的问题外显出来, 即提出问题。发现问题、提出问题是进一步分析问题和解决问题的基础。发现问题、提出问题的能力也是培养学生创新能力所必需的。“基本活动经验”的获得和“思想方法”的获取是提高学生数学素养的重要标志, 学生的“活动经验”和“数学思想方法”是在“做”和“思”的过程中获得和逐步积累的。
“四基”和“四能”密切相关, 没有扎实的“四基”, 就很难增强“四能”。
本节课的案例二中, 教师较好地落实了课程标准的这一理念, 虽然学生练习的时间只有2分钟, 但学生在独立思考、合作探究的过程中不仅使知识、技能得以落实, 同时也积累了活动中成功与失败的经验, 为今后进一步学习、实践积累了宝贵的财富, 更使学生进一步领悟了转化、对应等思想在探究过程中起到的至关重要的作用。为学生的发展储蓄能量、留有后劲, 为学生的终身发展逐步奠定基础。
(二) 学生的主体地位永远是课堂教学的主旋律
建构主义认为, 教学应该通过设计一项重大任务或问题以支撑学习者积极的学习活动, 帮助学习者成为学习活动的主体。本节课两个案例教师都设计了真实的、具有挑战性的、开放性的问题情境, 诱发、驱动并支撑学习者进行探索、思考与解决问题。如在引入新课中, 通过创设“主人用3米长的绳子把小马拴在一棵树上, 求小马能吃到草的最大面积是多少”这一实际情境, 引发学生的数学思考, 激发探究欲望, 为学生的自主探究打下了坚实的基础。
教师精心设计学生探究的提示, 为学生展开自主探究提供了基本思路, 教师从原来“精彩独奏”的高调主演, 过渡到“适时伴奏”的低调配角, 把学生推到了前台。主体性教学把教学过程看作师生间、学生间信息传递的互动过程和情感交流的人际交往过程, 将主体间的社会交往作为学生认识活动中的一个重要内容。在学生动手操作、独立思考、合作交流时, 由于教师勇敢地“退”, 给学生搭设了“进”的舞台, 最终案例二中的学生用多种方法, 殊途同归, 都探究出了圆面积公式, 这是何等的成果啊!事实证明, 教师充分地相信学生, 给学生提供一个展示的舞台, 学生就会还给课堂一个精彩。
总之, 用不同的教育思想指导教学就会有不同的教学效果。要发挥学生的主体作用, 就要充分相信学生, 就要尊重学生的认知特点、尊重教育教学规律。我们要紧紧把握素质教育的要求、明确育人目标, 研究发挥学生主体性作用的课堂教学策略, 把充分发挥学生主体作用, 把培养学生的创新能力作为教育永恒的目标。
教材内容分析:
北师大版六年级上册《圆的面积》这部分内容是直观几何的最后阶段,它既是前面所学直观地认识平面图形及有关计算的延续和发展,又为今后逐步由实验几何阶段转入论证几何阶段作了渗透和准备。因此,在教学时,我主要让学生用转化的思想进行操作、观察和比较,推导圆面积的计算公式。并让他们初步学会用确切、简明的数学语言表述概念的本质特征,引导学生初步接触归纳推导公式并理解和掌握公式的应用,为进一步学习打下基础。
教学对象分析:
六年级的学生掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积公式的推理具有一定的转化和类比推理能力,并具有强烈的好奇心。因此,易于在转化和类比推理方面进行启发和引导。但由于圆是由一条曲线围成的图形,学生很难跟以往由几条线段围成的图形之间建立必然的联系。因此,在利用转化和类比推理基础上,结合操作演示,让学生在学习圆面积公式的推导过程中,提高学习兴趣,掌握学习方法,增加感性的认识,从而真正掌握圆的面积公式的推导过程。
教学任务分析:
教学内容:教材首先创设了一个“节水型灌溉”的生活情景,呈现了一个旋转喷水的情景,喷水区域形成一个圆,并提出一个问题“喷水头转动一周可以浇灌多大的面积”,帮助学生在具体情景中了解圆的面积的含义,体会计算圆的面积的必要性,并引发研究圆的面积的兴趣。
教学目标:
1.知识技能:(1)了解圆的面积的含义,理解圆面积计算公式的推导过程,掌握圆面积的计算公式。(2)能正确运用圆面积的公式计算圆的面积,并能应用面积公式解决有关问题。
2.过程方法:通过割补、拼组的方法探索圆面积的计算公式。
3.情感态度:体会“化曲为直”的思想,初步感受极限思想。
4.教学重点:理解圆面积计算公式的推导过程,掌握圆面积的计算公式。
5.教学难点:理解圆面积计算公式的推导过程,运用圆面积的知识解决有关问题。
教学设计思路:
《圆的面积》是北师大版六年级上册的教材。圆是小学阶段的最后一个平面图形,学生从直线图形的认识到曲线图形的认识,无论是教材内容的本身,还是研究问题的方法,都在变化,是学习上的一次跃迁。
本课是在学习的圆的初步认识和圆的周长的基础上进行教学的，教学重点是理解圆面积的推导过程。
圆面积公式推导过程中隐含着一种重要的“转化”与“极限”数学思想方法。教学时我先让学生根据方格图大胆地猜想出圆面积的范围。之后在教师的启发引导下，通过学生的动手操作、观察、发现拼成的.近似长方形的长和宽与圆的什么有关，从而推导出圆的面积，使学生获得用转化法可以求出圆的面积，体现一种“化圆为方”、“化未知为已知”的转化思想。在此基础上让学生通过讨论、操作、探究得出圆面积的计算。这一过程的设计正体现了新课标所倡导的三维教学目标，由重结论向重过程转变。不仅重视学生数学知识的获得，更重视数学思想和数学方法的形成，使学生学得更有趣，更有价值。
设计思路：本课教学内容是在学生学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积和圆的周长的基础上进行的，利于学生运用迁移规律把新旧知识联系起来组成一个新的知识结构；同时，鉴于学生是初次接触平面曲线图形的面积，教学上必然存在一定的难度。为此，本课的教学过程中采用了实验教学的方法，按照“猜想——验证——推理——归纳”的研究思路，以学生的自主学习活动为主，活动中让每个学生亲手操作，配以小组合作探究等学习方式，帮助学生建构起新的知识系统、方法系统，并让学生学会一些初步的研究方法。
一、引导揭题。
师：
1、前面我们认识了圆，学习了圆的周长，今天我们要研究“圆的面积”。
2、看到这个课题，你们会想到什么？这节课要解决什么问题呢？ 生:我想知道圆的面积与圆的周长有什么不同?也就是圆的面积指的是什么? 生:我想知道圆的面积怎样计算?有没有计算公式能直接来计算圆的面积? 生:我想知道圆的面积公式是怎样推导的? 师:大家说得很好。通过本课的学习，我们应达到以下目标。教师用课件出示本课的学习目标。（1、什么是圆的面积？
2、计算圆的面积公式是什么？
3、这个公式是怎样推导出来的？）
二、启发迁移。
师：现在请大家回忆一下，我们以前学过哪些平面图形的面积计算？
生：我们已经学过长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算。（随着学生的回答，教师用多媒体逐一出示这些图形及面积公式。）
师：这些图形与今天学习的圆形有什么不同？ 生：以上图形都是由线段围成的，圆是由曲线围成的。
师：因为圆是由曲线围成的，所以计算圆的面积就比较困难了。我们先来回忆一下，以前学过的这些图形面积公式的推导过程。（课件展示推导过程）师：通过刚才平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导，你有什么发现？ 生：我发现这三种图形都转化为学过的图形来推导它们的面积计算公式。师：请同学们想一想，我们能不能也用转化的方法来研究圆的面积呢？ 这时，生陷入沉思。后经讨论，大家一致认为可以试试。
三、猜想推测。
师：现在，我们先来参与一项猜想活动，通过老师给你们提供的信息，来猜测一下圆的面积计算公式。
（多媒体出示下图）已知圆的半径是r。思考：
1、图中小正方形的面积可以怎样表示？
2、在这个圆中可以画几个这样的小正方形？它们的面积可以怎样表示？
3、圆的面积与小正方形的面积有什么关系？
4、你能猜想一下圆的面积大概等于几个小正方形的面积？ 师：通过思考讨论，你们认为圆的面积计算公式可能是什么？ 生：我们的猜想结果是：圆的面积比
小，比
大。
师：现在我们可以猜想到，圆的面积要比就来推导圆面积的计算公式。
四、操作转化。的3倍多一点。至于多多少，下面我们师：请同学们拿出准备好的一个16等份的圆，小组合作一下，照书上那样把它们剪开，再将它们重新拼合成一个已学过的图形。（小组合作，动手剪拼。）
师：请同学们来观察一下，你们拼成的是什么图形？ 生：像长方形。
师：说得很好，为什么说像长方形呢？ 生：因为长方形的长边不是很直。
师：你观察得很仔细。拼成的图形只能说是一个近似的长方形。师：我们刚才把圆分成16等份，还能再分吗？究竟能分多少份呢？ 生：能再分。可以分很多很多等份。
师：这就是说，分的份数是无限的。你们可以闭上眼睛想一想，如果分的份数越多长边就越接近直线，这个图形就越接近于长方形。（多媒体课件展示此过程）
五、推导验证。
师：把圆转化成长方形后，这个长方形的面积怎样计算？（要求学生观察拼成的长方形，小组讨论、推导圆的面积公式）
学生汇报推导过程。课件验证。长方形的面积=长 × 宽 圆的面积=圆周长的一半×半径
师：现在可以回答前面提出的问题，圆的面积是以半径为边长的正方形面积的多少倍呢？
生：圆的面积是小正方形面积的π倍。师：这说明我们刚才的猜想——圆的面积要比出来的圆面积公式是π，也就是约等于3.1
4的3倍多一点是正确的。现在推导
。恭喜大家。
师：现在请大家把圆的面积公式的推导过程重新复述一遍。（小组合作学习）师：根据圆面积的计算公式，要计算圆的面积必须具备哪些条件？ 生：要求圆面积，必须知道圆的半径。
六、巩固应用。
师：现在我们已经知道圆的面积计算公式，下面就来应用这个公式计算圆的面积。教学例3。一个圆的半径是5厘米，它的面积是多少？ 让学生尝试练习，练习即评。
七、小结归纳。
通过本课的学习你学到了什么？有什么收获？
八、巩固提高：
教例A：
1、认识圆心。(1)检查预习结果。出示准备好的圆。(2)动手操作。先对折。再打开。重复三次，你发现了什么?(3)小结：什么是圆心?如何表示?(4)画出圆心，并用字母表示。
2、认识半径。(1)动手测量圆心到圆上任意一点的距离。发现了什么?(2)归纳小结什么是半径?如何表示?画出半径，并用字母表示。(3)讨论：同一圆内有多少条半径?他们之间有什么关系?
3、认识直径。(同上)
4、探究半径和直径的关系。
5、自学圆的画法。教师演示，学生动手操作，练习画圆。
教例B：
1、让学生说说已经了解的圆的知识。(1)半径、直径以及它们之间的关系。(2)画圆。(3)生活中圆都用在哪些地方?有什么好处?
2、讨论：想先解决哪些问题?说说理由。
3、参考学生的意见，重点解决下列问题：圆和球的异同；圆上任意一点的含义；半径、直径的含义以及它们之间的关系；用圆规画圆时注意的问题；如何测量一个物体的直径；离开教室，生活中都有哪些画圆的方法……
4、概括圆的特征，小结圆的方法。
5、学生用圆设计漂亮的图案并展示。
对比与反思
布鲁姆说过：对孩子影响最大的是已有的知识。对一个六年级的学生来说，圆的知识绝不是一张白纸。在教例A中教师对学生已有的知识完全置之不理，可以这样说，在教师的观念中。凡是书本上有的、本节课要学习的都被认为是新知识，必须按部就班从头学起。教例B则充分尊重学生的认知基础，先让学生说说已经了解的圆的知识，即找准了教学的起点。又调动了学生探究的积极性。“学生已经清楚的知識不必再讲，模糊的、有争议的、有待讨论的，未知的内容则需要重点研究”。就这样一个简单的道理，却常常被我们忽视。
从教学中，我们可以看到，不同的处理方法折射出教育理念上的差异。两个教例都试图体现探究和发现。教例A是在教师的精心设计和统一组织下的活动。从折纸找圆心，认识半径和直径，发现直径和半径的特点，虽然学生也有发现和思考的成分，但是教师主导的痕迹十分明显。在这样的设计中，问题的答案基本是在教师的意料之中，学生不敢越雷池一步。而教例B，教师恰当的把握了接受与探究，封闭与开放的关系。学生从观察和体验中获得自己的看法，在交流中生成讨论“半径、直径”的需要。对学生的研究，教师充分相信学生，合理组织学生独立探索，合作交流。整个教学活动中，学生参与了动手操作，经历了实践和创新的过程，感知了数学的魅力。
实践表明，教学的艺术，不在于传授知识的多少。而在于激励唤醒学生的探究意识。因此，摒弃传统的接收式学习，正确对待孩子的认知基础，创设有创意的、新颖的问题情境，让学生身临其境，学生的思维才会被激活，对新知的探索才会变得主动，才会有所发现，学生才会真正成为了主动探究者。
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