全等三角形复习与小结

全等三角形复习与小结（精选11篇）

全等三角形复习与小结篇1

一、选择题（每题3分，共30分）

1、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE，∠B=∠E，增加下列条件后，还不能断定△ABC≌△DEF的是（）

A．BC=EF

B．AC=DF

C．∠A=∠D

D．∠C=∠F

2、如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B=∠D=30°，∠ACB=∠AED=110°，∠DAC=10°，则∠DFB等于（）

A．50°

B．55°

C．60°

D．65°

3、如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中共有全等三角形（）

A．2对

B．3对

C．4对

D．5对

4、如图，AB=AC，BE⊥AC，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）

A．只有①

B．只有②

C．只有①和②

D．①②③

5、如图，△ABC≌△A′B′C′，且∠A︰∠ABC︰∠ACB=1︰3︰5，则∠BCA与∠BCB′的比等于（）

A．1︰2

B．1︰3 C．5︰4

6、下列四种说法中，不正确的是（）

D．2︰3 A．在两个直角三角形中，若两直角边对应相等，则斜边上的中线也对应相等

B．在两个直角三角形中，若斜边和一直角边对应相等，则这两个三角形的面积也相等

C．在两个直角三角形中，若斜边对应相等，则这两个直角三角形的周长也相等

D．在两个直角三角形中，若斜边和其中一个锐角对应相等，则这两个直角三角形斜边上的高也对应相等

7、AD是△ABC的角平分线，自D向AB、AC两边作垂线，垂足为E、F，那么下列结论中错误的是（）

A．DE=DF

B．AE=AF

C．BD=CD D．∠ADE=∠ADF

8、如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则（）

A．△ABD≌△AFD

B．△AFE≌△ADC

C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE

9、如图，AB//CD，AC//BD，AD、BC相交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有（）

A．5对

B．6对

C．7对

D．8对

10、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF（）

A．大于EF

B．小于EF

C．等于EF

二、填空题（每题3分，共18分）

D．与EF的大小无法比较

11、已知△ABC≌△DEF，A与D是对应顶点，B与E是对应顶点，△ABC的周长为18cm，AB=5cm，BC=6cm，则DE=________cm，EF=________cm，DF=________cm．

12、已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18cm，则EF边上的高为________．

213、△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件________，若加条件∠B=∠C，则可用________判定．

14、BM为△ABC中AC边上的中线，若AB=2，BC=4，则中线BM的取值范围是________．

15、（2004·绍兴）如图，在△ABC中，CD⊥AB，请你添加一个条件，写出一个正确的结论（不要在图中添加辅助线，字母）

条件：________________________________ 结论：________________________________

16、在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D．且CD︰DB=3︰5，则D到AB的距离为________．

三、解答题（共72分）

17、（8分）如图，已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC//AB．求证：AE=CE．

18、（10分）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=EC，求证：AB=AC．

19、（10分）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长，请说明理由．

20、（10分）小明在墙上钉了一根木条，想检验木条是否是水平的？聪明的小华想出了这样的一个办法：如图，做一个三角架使AB=AC，并在BC的中点D处挂一重锤，自然下垂，调整架身，使A点恰好在重锤线上．那么BC就处于水平位置，你能说明理由吗？

21、（12分）如图，AC//BD，EA，EB分别平分∠CAB，∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC＋BD．

22（10分）如图，在△ABE和△ACD中，得出以下四个论断：（1）AB=AC；（2）AD=AE；（3）AM=AN；（4）AD⊥DC，AE⊥BE，以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，以一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．

已知：________________________________．

求证：________________________________ ．

23、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．

答案：

一、选择题

1～

5、ＢＡＤＤＣ

6～

10、ＣＣＤＣＡ

提示：

2、∵∠ACB=110°，∠B=30°，∴∠CAB=180°－110°－30°=40°．

又∵∠DAC=10°，∴∠DAB=50°，∴∠DOB=∠DAB＋∠B=80°，∴∠DFB=∠DOB－∠D=80°－30°=50°．

5、设∠A=x°，则∠ABC=3x°，∠ACB=5x°．

∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠BCB′=∠ACA′．

又∵∠ACA′=∠B＋∠A=4x°，∴∠BCB′=4x°，∴∠BCA︰∠BCB′=5︰4．

8、∵∠ADC=∠1＋∠B，∠3=∠1，∴∠ADE=∠B．

又∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE．

又∵AC=AE，∴△ABC≌△ADE．

10、延长FD到G，使DG=DF，连结BG、EG．

先证△BDG≌△CDF，得BG=CF．

再证△EDG≌△EDF，得EG=EF，则△BEG中，BE＋BG>EG，∴填A．

二、填空题 11、5，6，712、6cm

13、AB=AC，AAS 14、1

15、AD=DB，AC=BC．

16、6cm 提示：

12、设EF边上的高为xcm，则×6x=18，∴x=6cm．

14、延长BM到N，使MN=BM，连结CN，则△CMN≌△AMB，∴CN=AB=2，∴△BCN中，4－2

即2<2BM<6，∴1

16、过D作DE⊥AB于E，则易证DE=DC．

设CD=3x，DB=5x，则3x＋5x=16，∴x=2，∴DE=3x=6(cm)．

三、解答题

17、证明：

∵FC//AB，∴∠F=∠3．

在△AED和△CEF中

∴△AED≌△CEF，∴AE=CE．

18、证明：

过A作AF⊥BC于F，∴∠AFD=∠AFE=90°．

在Rt△AFD和Rt△AFE中

∴Rt△AFD≌Rt△AFE，∴DF=EF．

又∵BD=CE，∴BF=CF．

在△ABF和△ACF中

‘

∴△ABF≌△ACF，∴AB=AC．

19、已知：AB⊥BF于B，ED⊥BF于D，AE、BF交于点C，且CD=BC．求证：DE=AB．

证明：在△DEC和△BAC中

∴△DEC≌△BAC，∴DE=AB． 20、已知：△ABC中，AB=AC，BD=CD，DA是铅锤线．

求证：BC处于水平位置．证明：在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD，∴∠1=∠2．

又∵∠1＋∠2=180°，∴∠1=90°，∴DA⊥BC．

又∵DA是铅锤线，∴BC处于水平位置．

21、证明：在AB上截取AF=AC，连结EF．

在△ACE和△AFE中

∴△ACE≌△AFE，∴∠3=∠C．

又∵AC//BD，∴∠C＋∠D=180°．

又∵∠3＋∠4=180°，∴∠4=∠D．

在△BEF和△BED中

∴△BEF≌△BED，∴BF=BD．

又∵AB=AF＋BF，22、已知：如图，在△ABE和△ACD中，AB=AC，AD=AE，AD⊥DC，AE⊥BE．

求证：AM=AN．

证明：∵AD⊥DC，AE⊥BE，∴∠D=∠E=90°．

在Rt△ADC和Rt△AEB中

∴Rt△ADC≌Rt△AEB，∴∠DAC=∠EAB，∴∠1=∠2．

在△ADM和△AEN中

∴△ADM≌△AEN，∴AM=AN． ∴AB=AC＋BD．

23、证明：延长EB到F，使EF=EA，连结CF．在△ACE和△FCE中

∴△ACE≌△FCE，∴∠3=∠F，AC=CF．

又∵∠3=∠4，∴∠4=∠F．

又∵∠1＋∠2=180°，∠D＋∠1=180°，∴∠D=∠2．

在△ADC和△FBC中

∴△ADC≌△FBC，∴AD=FB．

全等三角形复习与小结篇2

下面以初三“全等三角形复习”课为例说说我在课堂教学中的一些做法.

1 问题“导”学,激活思维,以问题勾起学生对已有知识的不同回忆

问题1如图1-1,点B是∠DAC的角平分线AE上的动点,请添加一个适当的条件,使△ABD≌△ABC.

如图2-2,已知∠C=∠D=90°,请添加一个适当的条件,使△ABD≌△ABC.

评析传统复习模式一般为老师先概括知识点,再讲相应例题,课堂易显沉闷.本题设计旨在改变复习模式,让学生主动在问题解决中复习判定三角形全等的方法.这样的问题设计可以让每个学生勾起对已有知识的不同回忆,如SAS,AAS,ASA,SSS,直角三角形中HL定理等.通过问题“导”学,有效地激活了学生的思维,促使学生高效进入课堂学习.

2 问题“促”学,及时反馈,以问题促进学生有个性地自主发展

问题2如图2,已知四边形ABCD中,AD∥BC,将∠ABC,∠DAB分别对折,如果两条折痕恰好相交于DC上一点E,点C,D都落在AB上的点F处.

(Ⅰ)当AD=3,BC=2时,则AB=______;

(Ⅱ)当AE=6,BE=2时,则四边形ABCD的面积为______.

评析本题设计旨在复习全等三角形的性质.通过对折,复习了全等三角形对应边相等,对应角相等,对应边上的高,中线,对应角的角平分线相等,全等三角形面积相等基础知识.第2问,要求学生综合运用相关知识,将问题转化为直角三角形来解决,这样的问题设计不仅培养了学生解决问题的能力,而且能促使学生有个性地自主发展.

3 问题“深”学,层层推进,以问题促使学生课堂思维深入丰富

问题3如图3-1,四边形ABCD是正方形,点E,M分别是边BC,AB的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角DCG平分线于点F,求证:AE=EF.

评析本题设计旨在复习全等三角形判定与性质综合应用,有一定难度.可以先让学生找出易找的两个条件AM=EC,∠EAM=∠FEC.通过让学生独立寻找第三个条件,将学生的课堂思维引向深入.

为使问题层层推进,教师有意引导学生再次读题,并特别强调“正方形”“中点”两处,加以变式,引导学生继续“再思考”、“再创造”.

变式1如图3-1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角DCG平分线于点F,求证:AE=EF.

变式2如图3-2,如果把上题中的“点E是边BC的中点”改为E为线段BC上的任意一点(除B,C点外),其他条件都不变,结论AE=EF是否仍成立,并说明理由.

变式3如图3-3,如果把上题中的“E为线段BC上的任意一点(除B、C点外)”改为“E为线段BC延长线上的任意一点(除C点外)”,其他条件都不变,结论AE=EF是否仍成立,并说明理由.

变式4如图3-4,若将变式1中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”,E是边BC上的任意一点,F是外角ACP的平分线上一点,则当∠AEF=60°时,结论AE=EF是否还成立?请说明理由.

变式5将变式1中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”,请你作出猜想:当∠AEF=_____时,结论AE=EF仍然成立.(直接写出答案,不需要证明)

评析通过一题多变(正方形边上两中点→一中点→边上任意一点→边延长线上任意一点;正方形→正三角形→一般正n边形),旨在提高学生思维能力.这一组变式题,证明过程都不复杂,但通过对原题的适当的变形、适度的引申,有利于引导学生深入挖掘、大胆猜想、积极探求,有利于激发和培养学生的探究精神.这样不仅活跃了课堂气氛,学生思维的广阔性也得到了发展.

本堂课给我深刻启示:实施“问题导学”,可追求课堂高效,只要我们有心去尝试,用心去设计.当然,在具体实施的过程中,还应注意以下几点:

1)创设问题情境,引导学生主动思考是方向.在教学活动开始时,针对教学目标和教学内容,提出一个或几个问题,让学生思考,对问题进行分析、解答.精心设计问题引入课题,能够集中学生注意力、引发学生的学习思考,让学生产生悬念,吸引、诱导学生积极主动地探索知识.在探究新知时,把数学知识中所涉及的内容通过问题串的形式分解难点,逐步让学生发现其中蕴含的数学规律.在习题课时,教师要充分挖掘例、习题的潜能,精心处理教材,激活例、习题的活力,打破模式化,对常规题进行改造,为学生创造更广阔的思维空间.

2)应营造民主和谐的氛围,引导学生敢问是途径.教师与学生要形成相互尊重、信任的人际关系,对学生提出的新观点、新问题和不同意见要悉心聆听,并尽可能地对其思想的标新立异之处和思维闪光点给予鼓励评价.教师要善于运用教学契机,充分利用教学中的题外资源,使学生敢于亮出自己的观点,体会到不同观点的价值,共同分享提高.

3)教学以问题为纽带,引导学生有效突破难点是关键.教师应根据教学目标,不同的不断设置富有启迪性、拓展思维和调动学生学习主动性的问题,让学生发生错误时迷途知返;让学生在理解重点处画龙点睛;让学生在偏离主题时余音绕梁;让学生在理解参差不齐时拨开云雾见青天;还能够让学生在理解不全时追求完美.

教学实践证明,问题导学式教学使学生的双基、思辨能力、创新能力、解决问题能力以及情感、态度、价值观之间形成了一个有机的整体,并得到了很好的发展.能否有效进行“问题导学”,取决于教师的教学艺术和教育机智.作为学生学习活动的指导者、帮助者和促进者,教师需要进行大量精细而复杂的工作:要刻苦学习,准确地把握课堂教学,拓宽视野,更新知识;要充分发挥自己的主观能动性,具备创造性地选择教学材料和独立自主地处理教材的能力.只有这样,教师才能充分发挥主导作用,才能提高学生各方面素质和能力,实现教学相长,实现课堂教学卓有成效.

全等三角形复习与小结篇3

关键词：全等；三角形；方法

学习全等三角形的第一步，就是要培养学生的学习兴趣。教师应该尽量用直观的方法向学生展示全等三角形，例如，用纸做成两个同样的三角形，让学生自己去思考应该怎样去证明这两个三角形完全相同。这一步就能够让学生对两个全等三角形有个初步的认识，接下来教师要做的就是将这个初步的认识塑造成正确的数学概念。而这个过程也是培养学生独立思考，主动学习的过程。

在学生掌握了三角形全等的概念之后就是要去思考什么样的情况能够证明三角形全等了。经验告诉我们，教师讲学生听的方式并不如学生主动思考研究的效果好，学生思考的过程也是灵活运用所学过的数学知识的过程。教师这个时候要做的应该是向学生提出问题，引导其思考方向，例如，完全能够重叠的三角形就是全等三角形，那么怎么样它们才能完全重叠呢？三个边与三个角相等它们一定全等，那如果少几个条件呢？最少几个条件能够证明两个三角形全等呢？这些问题提出后，学生将会进行多次尝试和验证，最终发现可以确定全等三角形的条件：边边边，角角边，角边角和边角边。这多次的验算也是培养学生细心的重要过程，有利于加深学生对全等三角形的记忆和认识。

找到证明三角形全等的条件之后，教师所要做的就是让学生将所学的知识运用到题目中去。这点要求学生必须熟练掌握基础知识并且能够清楚地分析题中要用到的是哪几个条件。教师必须要培养学生对图形标记的习惯，这样学生在解题的过程中会方便很多，不容易受到复杂图形的影响。

学习全等三角形的知识也是学生学习数学思维的过程，这一过程中，要尽量避免学生对知识的死记硬背，让学生自己进行思考，真正体会到数学所带来的乐趣。而教师也要在教学的过程中发现不足之处，不断提高自己的教学水平。

参考文献：

[1]史善良.创新教学方式提升教学效能：新课程标准下提升初中教学活动效能策略刍议[J].新课程学习：基础教育，2010（09）.

[2]魏紅星.新课标下初中数学有效学习策略初探[J].考试周刊，2010（13）.

三角形全等复习课教学设计篇4

安坪中学

吴发礼

学习目标：

1.回顾全等三角形的概念，熟练运用全等三角形对应边相等，对应角相等的性质。2.熟练三角形全等的判定方法，能利用全等三角形全等的性质与判定进行相关的证明体验几何证明的严谨性与表述的规范性。3.学握证明格式，体会证明的过程要步步有据。教学重点·难点

重点：三角形全等的判定方法的应用。

难点：利用三角形全等的性质与判定进行相关的证明。教学过程

一、练习引入.如图、AB与CD相交于点O，且OA=OB，要添加一个条件，才使得△AOC≌△BOD

ACODB方法一：添加（），依据（）

方法二：添加（），依据（）方法三：添加（），依据（）二．实例分析

例、已知：如图，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上的两点。且AE＝CF。求证：BF＝DE 分析：证明题的思维模式

证明：在△ABC与△CDA中

｛

AB=CD BC=DA AC=CA

DFECA∴△ABC≌△CDA（SSS）

∴∠BCF＝∠DAE

在△BCF与△∠DAE中

｛ BC=DA ∠BCF=∠DAE CF=AE ∴△BCF≌△DAE ∴BF＝DE

此题中BF与DE在数量上是相等的。在位置上有何关系。请猜测并说明理由。（小

组讨论）

例２、如图，已知EG//AF。请以下面三个条件中，任选出两个为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC、②DE=DF、③BE=CF 已知：EG//AF，求证：

AEBGDCF

（小组讨论）

每组派一人写出本组解题过程：

三．巩固练习

已知，如图，AB=AD，BC=DC。求证：∠B＝∠D

提示：操作一条辅助线得到两个三角形

ABC

四．总结提高

学习全等三角形注意以下几个问题

（1）要正确区分“对应边”“对应角”与“对角”的含义

（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的腰与在对角的位置上

（3）时刻注意图形中的隐含条件，如“对应角”“对应边”“对顶角”

五．作业

P88习题2.5A组第9题（必做）

全等三角形复习与小结篇5

切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1.如图，A,F,E,B四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD。求证：ACFBDE。

例2.如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C。

例3.如图，在ABC中，ABBC，ABC90。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BEBF，连接AE,EF和CF。求证：AECF。



例4.如图，AB//CD，AD//BC，求证：ABCD。

例5.如图，AP,CP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为MBN的平分线。

例6.如图，D是ABC的边BC上的点，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。求证：AC2AE。

例7.如图，在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点。求证：ABACPBPC。

同步练习

一、选择题：

1.能使两个直角三角形全等的条件是（）

A.两直角边对应相等

C.两锐角对应相等

B.一锐角对应相等 D.斜边相等

B.AB4，BC3，A30 D.C90，AB6

2.根据下列条件，能画出唯一ABC的是（）A.AB3，BC4，CA8

C.C60，B45，AB4

3.如图，已知12，ACAD，增加下列条件：①ABAE；②BCED；③CD；④BE。其中能使ABCAED的条件有（）A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

4.如图，12，CD，AC,BD交于E点，下列不正确的是（）A.DAECBE

B.CEDE

D.EAB是等腰三角形 C.DEA不全等于CBE

5.如图，已知ABCD，BCAD，B23，则D等于（）A.67 

C.23



B.46



D.无法确定

二、填空题：

6.如图，在ABC中，C90，ABC的平分线BD交AC于点D，且CD:AD2:3，AC10cm，则点D到AB的距离等于__________cm；

7.如图，已知ABDC，ADBC，E,F是BD上的两点，且BEDF，若

AEB100，ADB30，则BCF____________；

8.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则CBD的大小为_________；

9.如图，在等腰RtABC中，C90，ACBC，AD平分BAC交BC于D，

DEAB于E，若AB10，则BDE的周长等于____________；

10.如图，点D,E,F,B在同一条直线上，AB//CD，AE//CF，且AECF，若BD10，BF2，则EF___________；

三、解答题：

ABC为等边三角形，11.如图，点M,N分别在BC,AC上，且BMCN，AM与BN交于Q点。求AQN的度数。

12.如图，ACB90，ACBC，D为AB上一点，AECD，BFCD，交CD延长线于F点。求证：BFCE。

答案

例1.思路分析：从结论ACFBDE入手，全等条件只有ACBD；由AEBF两边同时减去EF得到AFBE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CFDE，也可以是AB。

由条件ACCE，BDDF可得ACEBDF90，再加上AEBF，ACBD，可以证明ACEBDF，从而得到AB。

解答过程：ACCE，BDDF

ACEBDF90 在RtACE与RtBDF中 AEBF

ACBD∴RtACERtBDF(HL)AB AEBF

AEEFBFEF，即AFBE 在ACF与BDE中 AFBEAB ACBDACFBDE(SAS)解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。

例2.思路分析：直接证明21C比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明2且1C。也可以看成将2“转移”到。

那么在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。

解答过程：延长AD交BC于F 在ABD与FBD中 ABDFBD ABDFBD(ASA 2DFB BDBDADBFDB90又DFB1C

21C。

解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3.思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的ABE绕点B顺时针旋转90到CBF的位置，而线段CF正好是

CBF的边，故只要证明它们全等即可。

解答过程：ABC90，F为AB延长线上一点 ABCCBF90 在ABE与CBF中 ABBCABCCBF BEBFABECBF(SAS)AECF。

解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4.思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

解答过程：连接AC AB//CD，AD//BC 12，34 在ABC与CDA中 12ACCA 43ABCCDA(ASA)ABCD。

解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例5.思路分析：要证明“BP为MBN的平分线”，可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明，故应过点P向BM,BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“AP,CP分别是MAC和NCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。

解答过程：过P作PDBM于D，PEAC于E，PFBN于F

AP平分MAC，PDBM于D，PEAC于E

PDPE

CP平分NCA，PEAC于E，PFBN于F PEPF

PDPE，PEPF

PDPF

PDPF，且PDBM于D，PFBN于F BP为MBN的平分线。

解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。例6.思路分析：要证明“AC2AE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EFAE。

解答过程：延长AE至点F，使EFAE，连接DF 在ABE与FDE中

AEFEAEBFED BEDEABEFDE(SAS)BEDF

ADFADBEDF，ADCBADB 又ADBBAD ADFADC

ABDF，ABCD DFDC

在ADF与ADC中 ADADADFADC DFDCADFADC(SAS)AFAC 又AF2AE AC2AE。

解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

例7.思路分析：欲证ABACPBPC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段ABAC。而构造ABAC可以采用“截长”和“补短”两种方法。

解答过程：法一：

在AB上截取ANAC，连接PN 在APN与APC中 ANAC12 APAPAPNAPC(SAS)PNPC

在BPN中，PBPNBN

PBPCABAC，即AB－AC>PB－PC。

法二：

延长AC至M，使AMAB，连接PM 在ABP与AMP中 ABAM12 APAPABPAMP(SAS)PBPM

在PCM中，CMPMPC

ABACPBPC。

解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。

同步练习的答案

一、选择题： 1.A 2.C

3.B

4.C

5.C

二、填空题： 6.4 7.70

8.90

 9.10

10.6

三、解答题：

11.解：ABC为等边三角形

ABBC，ABCC60

在ABM与BCN中

ABBCABCC BMCNABMBCN(SAS)NBCBAM

AQNABQBAMABQNBC60。12.证明：AECD，BFCD FAEC90 ACECAE90 ACB90

ACEBCF90 CAEBCF

在ACE与CBF中

全等三角形证明篇6

1.翻折

如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；

旋转

如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；

平移

如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。

2.判定三角形全等的方法：

（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边（直角三角形中）公理

（2）推论：角角边定理

3.注意问题：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

一、全等三角形知识的应用

（1）证明线段（或角）相等

例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

（2）证明线段平行

例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AE=CF.求证：AB∥CD

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE

例4 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．

．

例5：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO为等腰Rt三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

例6.如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。

证明三角形全等(四) 篇7

一、倍长中线（线段）造全等

例

2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例

3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.A

二、截长补短

1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

C2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD求证;AB＝AC+BD

A3、如图，已知在ABC内，BAC60，C400，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。

BDEC

应用：

1、（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及

求证：BQ+AQ=AB+BP

数量关系．

（1）如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．



C4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证： AC180

C5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平

应用：

分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

C2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.A

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.B

三、平移变换

例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.A

图①

P N

图②

D C

BDE

图③

五、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.例2 D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1)当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。(2)若AB=2，求四边形DECF的面积。

3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且



当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MDN60,BDC120,BD=DC.探究：

MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．

例3 如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为；

2、（西城09年一模）已知以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.图1图2图

3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时

；

（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（用

． x、L表示）

全等三角形的概念篇8

全等三角形的概念．全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

二、合作探究活动2△abc与△def重合（多媒体课件演示）这时，点a与点d重合．点b与点e重合．我们把这样互相重合的一对点叫做对应顶点；ab边与de边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；∠a与∠d重合，它们就是对应角．△abc与△def全等，我们把它记作：“△abc≌△def”．读作“△abc全等于△def”．注意：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．问题：你能找出其他的对应点、对应边和对应角吗？点c与点f是对应点，bc边与ef边是对应边，ca边与fd边也是对应边．∠b与∠e是对应角，∠c与∠f也是对应角．活动3问题：用两块全等的三角板重合放在桌面上，让其中一块绕一个顶点旋转，你能画出几种不同的位置关系，画出图形并说出对应元素．学生活动设计：

学生小组合作，动手操作，一块三角板绕一个顶点旋转，画出以下四种位置关系：不论哪种图形，点a与点a是对应顶点，点b与点e是对应顶点，点c与点d是对应顶点；ab边与ae边是对应边，ac边与ad边、de边与cb边也是对应边；∠bac与∠ead是对应角，∠b与∠e，∠c与∠d是对应角．教师活动设计：本活动主要加深学生对全等三角形概念的理解，以及动手操作能力的培养．活动4 拿一张纸对折后，剪成两个全等的三角形，△abc和△ecd，把这两个三角形一起放在下列图中△abc的位置上，试一试，如果其中一个三角形不动，怎样移动另一个三角形，能够得到下列图中的各图形，从中你能得到什么启发？学生活动设计：经过观察、操作可以发现，可以经过平移、翻折、旋转得到，变化前后对应角、对应边不变．

全等三角形说课稿篇9

尊敬的评委、各位老师：你们好！

今天我说课的题目是《全等三角形》，源自于人教版数学八年级上册第13章第1节。下面，我将从教材分析、教法与学法、教学过程及板书设计四个方面进行说明。

一、教材分析

（一）教材地位和作用：本小节是全章学习的开篇课，也是本章学习的主线和进一步学习其它图形的基础之一。在知识结构上，以后学习的几何图形很多要通过全等三角形来加以解决；在能力培养上，无论是逻辑思维能力、推理论证能力，还是分析问题解决问题的能力，都可在全等三角形的教学中得以启迪和发展。因此，本小节的教学对全章乃至以后的学习都是至关重要的。

（二）教学的目标

1、知识与技能目标

（1）掌握怎样的两个图形是全等形、全等三角形，能应用符号语言表示两个三角形全等；

（2）能熟练地找出两个全等三角形的对应元素，理解全等三角形的性质，并能用其解决简单的问题。其依据是：新课标对学生数学学习的总体目标规定“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识”。

2、过程与方法目标

（1）在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉和识图能力；（2）学生经历观察、操作、探究、归纳、总结等过程，获得用数学的思想方法处理问题的能力。其依据是新课标关于学生的学习观——“动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式”。

3、情感与态度目标

（1）让学生在观察、实践中感受全等三角形的对应美以及全等在生活中的较高使用价值，激发学生热爱科学、勇于探索的精神；

（2）在探究和运用全等三角形知识的过程中感受到数学活动的乐趣。

其依据是：新课标对学生数学学习的总体目标规定“具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展”。

（三）根据新课标的要求，我将教学重点设置为：全等三角形的性质

教学难点为：能在全等变换中准确找到对应边、对应角。

（突破方法：利用老师动画演示、学生拼图实践的形式，让学生直观的识别抽象的图形和知识点，从而突出重点、突破难点。）

二、教法与学法 1．教法

根据教学内容以“概念、性质、应用”为侧重点，结合学生所具备的逻辑思维能力，本节课探究式，启发式的教学方法。有机融合各种教法于一体，做到步步有序，环环相扣，不断引导学生动手、动口、动脑。在教学中，我采用的是“设疑——实验——认识——实践——再认识”的教学模式，并采用“变式练习”方法提高学习效率。

2.学法

学法我采用的是讨论式，学生通过剪一剪、拼一拼、看一看等动手、动脑的活动，合作探索，发现规律；互动合作、解决问题；归纳概括、形成能力。使学生的主体地位得以体现。

三、教学过程

教学过程我分为四个部分一，创设情境，导入新课。二，层层引导，探索新知。三，巩固练习，学以致用。四，课堂小结，反思评价

初一全等三角形证明篇10

1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？

２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．

求证△ACD≌△CBE．

３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．

４．已知，如图，AB=AD，DC=CB．求证：∠B=∠D。

５．如图, AD＝BC, AB＝DC, DE＝BF.BE＝DF.求证：∠E=∠F

DCBF

２．三角形全等的判定二（SAS）

1．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证DC∥AB．

2．如图，△ABC≌△ABC，AD，AD分别是△ABC，△ABC的对应边上的中线，AD与AD有什么关系？证明你的结论．

3．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论．

E B

4．已知：如图，AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA．

5．已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB．

6．已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE． AE D

３～４．三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）

1．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证AB=DE，AC=DF．

2．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm．求BE的长．

3．已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。

4．已知：如图 , 四边形ABCD中 , AB∥CD , AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB

5．如图, AD∥BC, AB∥DC, MN＝PQ.求证：DE＝BE.3 QDPA

6．如图, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC,(1)求∠ABC与∠C的度数；

(2)求证：BC＝2AB.07．如图，四边形ABCD中，

（2）求证：E是CD的中点；

（3）求证：AD+BC=AB.8．如图, 在△ABC中, AC⊥BC, CE⊥AB于E, AF平分∠CAB交CE于点F, 过F作FD∥

全等三角形教学设计篇11

一、教材分析

教材地位和作用：本小节是全章学习的开篇课，也是本章学习的主线和进一步学习其它图形的基础之一。在知识结构上，以后学习的几何图形很多要通过全等三角形来加以解决；在能力培养上，无论是逻辑思维能力、推理论证能力，还是分析问题解决问题的能力，都可在全等三角形的教学中得以启迪和发展。因此，本小节的教学对全章乃至以后的学习都是至关重要的。

二、学情分析

此阶段学生学习习近平面几何的时间不长，对图形的认识尚处于基础阶段，学生的识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力都比较薄弱，因此，本节课的教学难点是学生能从较复杂的图形中迅速、正确地指出两个全等三角形的对应元素。而要突破难点，关键在于让学生理解并掌握对应元素的寻找规律。

三、学习目标

1、通过实例理解全等形的概念和特征，并能够识别图形的全等。

2、知道全等三角形的有关概念，能正确地找出对应顶点、对应边、对应角；掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质。

3、能运用性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。

4、通过两个重合的三角形变换其中一个的位置，使它们呈现各种不同位置的活动，从中了解并体会图形变换的思想，逐步培养动态的研究几何图形的意识。

四、预见性分析

1.教学重点设置为：全等三角形的性质

2.教学难点为：能在全等变换中准确找到对应边、对应角。解决方法：利用动画的形式让学生直观的识别具体的图形和知识点从而突出和掌握重点。在对应边、对应角的识别查找中运用动画的展示，使学生能直观认识该知识点，化难为易，从而突破该难点。五．教法学法

根据教学内容以“概念、性质、应用”为侧重点，结合学生所具备的逻辑思维能力，本节课探究式，启发式的教学方法。有机融合各种教法于一体，做到步步有序，环环相扣，不断引导学生动手、动口、动脑。在教学中，我采用的是“设疑——实验——认识——实践——再认识”的教学模式，并采用“变式练习”方法提高学习效率。学生通过剪一剪、拼一拼、看一看等动手、动脑的活动，合作探索，发现规律；互动合作、解决问题；归纳概括、形成能力。使学生的主体地位得以体现。3.课堂导入（5分钟）

创设情境，导入新课，数学源自于生活，这节课从情境问题从仔细观察图中两幅图有何异同入手，展示一些直观的图形，运用贴近生活的图案激发学生探究的兴趣；接着又让学生举出生活中的实际例子、动手裁剪样板三角形，引导学生进一步联系生活，激发学生主动思考和联想，从而获得全等形的体验，自然而然地引出能够完全重合的图形是全等形，能够完全重合的两个三角形是全等三角形。4.问题驱动

1．全等三角形的定义。2．全等的对应元素和表示方法

老师先用动画演示，学生再动手实践，小组之间互相交流结论。在操作实践的过程中建立“对应”的概念；

接着提出问题“如何用数学符号表示两个三角形全等？”学生阅读教材并解决问题。然后老师出示一个变式练习引起注意，说明表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，使学生真正掌握全等的表示方法。得出结论：两个全等三角形重合时,互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。3.全等三角形的性质通过观察与思考，两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有变化吗？由此你能得到什么结论？的问题，得出结论，全等三角形的对应边相等，对应角相等。在无形中培养了学生的逻辑思维能力，也加强了学生对全等三角形性质的理解。接着用练习题，又加深了学生对“对应顶点写在对应位置”的理解。5.学生独立解决的问题（10分钟）1．全等三角形的定义。

2．全等的对应元素和表示方法问题情境： 3．展现生活的大量图片或录像片断。片断1：图案片断2：

片断3

4、学生讨论：

（1）从上面的片断中你有什么感受？（2）你能再举出生活的一些类似例子吗？ 6.合作解决的问题

1.上面这些图形有什么共同的特征？

2.有人用“全等形”一词描述上面的图形，你认为这个词是什么含义？

3.如何用数学符号表示两个三角形全等？

4.学生用半透明的纸描绘教科书91页图13.1-1中的△ABC，然后按“思考题”要求在三个图中依次操作。（或播放相应的课件）体验“平移、翻折、旋转前后的两个图形全等”。

5.以图13.1-1中的两个三角形为例，介绍对应边、对应角以及两个三角形全等的符号表示、读法、写法，并说出图13.1-

2、图13.1-3的对应点、对应边、对应角，写出相等的边和角（解释“≌”的含义和读法，并强调对应顶点写在对应位置上）。

6.总结寻找全等三角形对应元素的方法，渗透全等变换的思想。学生运用自制的现两块全等三角形模板，用平移、翻折、旋转等方法，先独立拼出教科书92-93页中的5个图形，说出它们的对应顶点、对应边、对应角，再与同伴交流，你还能够拼出其它图形吗？ 7.阅读资源

魔术师的地毯一个魔术师拿着一块边长为 8m的正方形地毯找一个地毯匠，要地毯匠把地毯改成长为13m、宽为5m的长方形地毯，地毯匠算了算：面积由64m2改成65m2，认为这是不可能的事情，可是魔术师却说：“你按我的办法剪裁，保证没有问题”，魔术师拿出一张图给地毯匠看，按图1中粗线裁剪后，得到两个全等的直角梯形和两个全等的直角三角形，然后按照图2就可以拼成一个5×13（m2）长方形，地毯匠横看竖看，始终看不出破绽，但又不敢下剪刀，聪明的同学们，你们明白究竟是怎么回事吗？

（提示：如果你仔细画一个大一点的图，就会发现在5×13的长方形中，中间接缝是有空隙的，这个空隙的面积恰好是1m2）

图1 图2 8.检测目标达成度方法

课堂检测题，学生用时5—8分钟。当堂反馈（生公布答案，集中评价，释疑答惑）9.各环节所需时间 1．知识回顾（3分钟）

2．创设情境，导出课题（10分钟）3.熟练新知，巩固提高（25分钟）4.畅谈我的收获（回扣目标）（2分钟）5.自我测评（5分钟）10．可补充的知识，拓展延伸

1.议一议：下图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗？你能把它分成三个、四个全等的三角形吗？

【全等三角形复习与小结】推荐阅读：

初中数学《三角形全等复习课》教学设计06-18