高中数学《1.1.1正弦定理》教案新人教A版必修

高中数学《1.1.1正弦定理》教案新人教A版必修

高中数学《1.1.1正弦定理》教案新人教A版必修 篇1

教学目的：理解并掌握算法的概念与意义，会用“算法”的思想编制数学问题的算法。教学重点：算法的设计与算法意识的的培养 教学过程：

一、问题情景：

请大家研究解决下面的一个问题

1．两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1 个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳。试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案。

（通过学生讨论得出渡河方案与步骤如下）

S1 两个小孩同船过河去； S2 一个小孩划船回来； S3 一个大人划船过河去； S4 对岸的小孩划船回来； S5 两个小孩同船渡过河去； S6 一个小孩划船回来；

S7 余下的一个大人独自划船渡过河去；对岸的小孩划船回来； S8 两个小孩再同时划船渡过河去。

2．一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48，要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？

先列方程组解题，得鸡10只，兔7只； 再归纳一般二元一次方程组的通用方法，即用高斯消去法解一般的二元一次a11x1a12x2b1方程组。

axaxb2222211令Da11a22a21a12，若D0，方程组无解或有无数多解。若D0，则x1b1a22b2a12bab1a21，x2211。

DD由此可得解二元一次方程组的算法。

S1 计算Da11a22a21a12；

S2 如果D0，则原方程组无解或有无穷多组解；否则（D0），x1b1a22b2a12bab1a21，x2211

DDS3 输出计算结果x1、x2或者无法求解的信息。

二、数学构建：

算法的概念：由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题。

算法的五个重要特征：

（1）有穷性：一个算法必须保证执行有限步后结束；（2）确切性：算法的每一步必须有确切的定义；

（3）可行性：算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次即可完成；

（4）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件。所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件。

（5）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的。

三、知识运用：

例1．一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物。没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊。（1）设计过河的算法；（2）思考每一步算法所遵循的相同之处原则是什么。

解：算法或步骤如下： S1 人带两只狼过河 S2 人自己返回

S3 人带一只羚羊过河 S4 人带两只狼返回 S5 人带两只羚羊过河 S6 人自己返回 S7 人带两只狼过河

S8 人自己返回带一只狼过河

例2．写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。解：为了便于理解，算法步骤用自然语言叙述：

S1 先将序列中的第一个整数设为最大值；

S

2将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时就假定“最大值”就是这个整数；

S3 如果序列中还有其它整数，重复S2；

S4 在序列中一直进行到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。

试用数学语言写出对任意3个整数a、b、c中最大值的求法

S1 max=a S2 如果b>max，则max=b S3 如果c>max，则max=c, S4 max就是a、b、c中的最大值。

四、学力发展：

1．给出求100!123100的一个算法。

2．给出求点P(x0,y0)关于直线AxByC0的对称点的一个算法。

五、课堂小结：

算法的概念：由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题。

算法的五个重要特征：

（1）有穷性：一个算法必须保证执行有限步后结束；（2）确切性：算法的每一步必须有确切的定义；

（3）可行性：算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次即可完成；

（4）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件。所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件。

（5）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的。

六、课外作业：

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（二）教学目标：巩固指数函数的概念和性质 教学重点：指数函数的概念和性质 教学过程：

本节课为习题课,可分以下几个方面加以练习: 备选题如下:

1、关于定义域

x（1）求函数f(x)=11的定义域

9（2）求函数y=1x的定义域

51x1（3）函数f(x)=3－x－1的定义域、值域是……()

A.定义域是R，值域是R

B.定义域是R，值域是(0，+∞) C.定义域是R，值域是(－1，+∞) D.以上都不对（4）函数y=1x的定义域是______ 5x11(5)求函数y=ax1的定义域(其中a＞0且a≠1)

2、关于值域

（1）当x∈［－2,0］时，函数y=3x+1－2的值域是______（2）求函数y=4x+2x+1+1的值域.（3）已知函数y=4x－3·2x+3的值域为［7,43］，试确定x的取值范围.(4).函数y=3x3x1的值域是() A.(0，+∞)

B.(－∞,1) C.(0,1)

D.(1,+∞)

(5)函数y=0.25x22x12的值域是______,单调递增区间是______.3、关于图像

用心 爱心 专心 1

（1）要得到函数y=8·2－x的图象，只需将函数y=(12)x的图象()

A.向右平移3个单位

B.向左平移3个单位 C.向右平移8个单位

D.向左平移8个单位

（2）函数y=|2x－2|的图象是()

（3）当a≠0时，函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是()

（4）当0

B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

（5）若函数y=a2x+b+1(a>0且a≠1,b为实数)的图象恒过定点(1，2)，则b=______.（6）已知函数y=(12)|x+2|.

①画出函数的图象；

②由图象指出函数的单调区间并利用定义证明.(7)设a、b均为大于零且不等于1的常数，下列命题不是真命题的是()

用心 爱心 专心

A.y=a的图象与y=a的图象关于y轴对称

B.若y=a的图象和y=b的图象关于y轴对称，则ab=1 C.若a2x－xxx>a22－1,则a>1 ,则a>b D.若a>b

24、关于单调性

（1）若－1

A.5－x<5x<0.5x C.5<5<0.5x－xx

B.5x<0.5x<5－x D.0.5<5<5

x－xx（2）下列各不等式中正确的是() A.()3()3()3

252C.()3()3()3 52212121211

B.()3()3()3

225

D.()3()3()3

***

1211(x+1)(3－x)（3）.函数y=(2－1)的单调递增区间是()

A.(1，+∞)C.(1，3)

B.(－∞，1)

D.(－1，1)

(4).函数y=()2xxx2为增函数的区间是()

(5)函数f(x)=a－3a+2(a>0且a≠1)的最值为______.(6)已知y=(数.(7)比较52x12x12)xx22+1，求其单调区间并说明在每一单调区间上是增函数还是减函与5x22的大小

5、关于奇偶性

（1）已知函数f(x)= m21x2x为奇函数，则m的值等于_____ 11（1）如果82 x2x=4，则x=____

用心 爱心 专心 3

6阶段检测题: 可以作为课后作业: 1.如果函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与函数y=bx(b>0,b≠1)的图象关于y轴对称，则有 A.a>b B.a

3(3x－1)(2x+1)

≥1}，则集合M、N的关系是

B.MN D.MN

3.下列说法中，正确的是

①任取x∈R都有3x>2x ②当a>1时，任取x∈R都有ax>a－x ③y=(3)－x是增函数 ④y=2|x|的最小值为1 ⑤在同一坐标系中，y=2x与y=2－x的图象对称于y轴

A.①②④ C.②③④

B.④⑤ D.①⑤

4.下列函数中，值域是(0,+∞)的共有 ①y=31 ②y=(A.1个 x1)③y=1()④y=3x

B.2个 x11xC.3个

D.4个

5.已知函数f(x)=a1－x(a>0,a≠1)，当x>1时恒有f(x)<1,则f(x)在R上是 A.增函数 B.减函数

C.非单调函数 D.以上答案均不对

二、填空题(每小题2分，共10分)6.在同一坐标系下，函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如下图，则a、b、c、d、1之间从小到大的顺序是__________.用心 爱心 专心 4

7.函数y=ax1的定义域是(－∞,0］，则a的取值范围是__________.8.函数y=2x+k－1(a>0,a≠1)的图象不经过第四象限的充要条件是__________.9.若点(2，14)既在函数y=2ax+b的图象上，又在它的反函数的图象上，a=________,b=________.10.已知集合M={x|2x2+x≤(14)

x－

2,x∈R}，则函数y=2x的值域是__________.三、解答题(共30分)11.(9分)设A=am+a－m，B=an+a－n(m＞n＞0，a＞0且a≠1)，判断A，B的大小.12.(10分)已知函数f(x)=a－

22x1(a∈R)，求证：对任何a∈R,f(x)为增函数.x1213.(11分)设0≤x≤2，求函数y=42a2xa21的最大值和最小值.课堂练习：（略）小结： 课后作业：（略）

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人教A版必修2

一、教学目标

1、知识与技能：掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何体顶点的有关坐标，掌握空间两点间的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。

2、过程与方法：通过空间直角坐标系的建立，空间两点距离公式的推导，使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法；通过本节的学习，培养学生类比，迁移，化归的能力。

3、情感态度与价值观：解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科，在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想，进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的教育；培养学生积极参与，大胆探索的精神。

二、教学重点、难点

重点：建立空间直角坐标系；

难点：用空间直角坐标系刻画点的位置和根据点的位置表示出点的坐标。

三、教学过程

（一）创设问题情景

问题1：借助平面直角坐标系，我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置，那么空间的点如何表示呢？

（二）知识探求

1、空间直角坐标系：

问题2：如何建立空间直角坐标系？

（1）在平面直角坐标系的基础上，通过原点再增加一根竖轴，就成了空间直角坐标系。

（2）如无特别说明，本书建立的坐标系都是右手直角坐标系。（3）空间直角坐标系的“三要素”：原点、坐标轴方向、单位长度。（4）在平面上画空间直角坐标系O-xyz时，一般使xOyxOz135，yOz90，且使y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半，即用斜二测的方法画。

2、思考交流：

为什么空间的点M能用有序实数对(x，y，z)表示？

设点M为空间直角坐标系中的一点，过点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于P、Q、R点，设点P、Q、R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就有唯一确定的有序实数组(x，y，z)；

反过来，给定有序实数组(x，y，z)，可以在x轴、y轴、z轴上依次取坐标为x、y和z的点P、Q和R，分别过P、Q和R点各作一个平面，分别垂直于x轴、y轴、z轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组(x，y，z)确定的点M。

3、例题剖析：

例

1、如图，在长方体OABC—D1A1B1C1中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD1| = 2，写出D1，C，A1，B1四点的坐标。

分析：D1（0，0，2），C（0，4，0），A1（3，0，2），B1（3，4，2）。

例

2、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为

1的小正方体堆积成的正方2体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子。如图建立空间直角坐标系Oxyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。

分析：

11，0）； 2211111111中层钠原子的坐标：（，0，），（1，），（，1，），（0，）；

2222222211上层钠原子的坐标：（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（，1）。

22下层钠原子的坐标：（0，0，0），（1，0，0），（1，1，0），（0，1，0）（4、反馈练习：课本P136，练习1，2，3。

（三）知识迁移：空间两点间的距离公式

1、思考：类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下空间两点间的距离公式吗？ 解决问题：

（1）设点P的坐标是(x，y，z)，求点P到坐标原点O的距离。

如图，设点P在xOy平面上的射影是B，则点B的坐标是(x，y，0)，在平面xOy上，有|OB|x2y2，|OB|2|BP|2

2222在Rt△OBP中，根据勾股定理，|OP|因为 | BP | = | z |，所以|OP|x2y2z2。

（2）探究：如果 | OP | 是定长，那么xyzr表示什么图形？

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3、函数性质的应用

函数的奇偶性和单调性是函数的重要性质，运用函数的性质可研究区间、最值的求解，亦可深入研究函数图象的特征。

利用函数的单调性和奇偶性，可以将“抽象”化为具体，使问题简化，这也是等价转化思想方法的重要体现。

例

5、若偶函数f(x)在(– ∞, 0)上是增函数，则满足f(1)f(a)的实数a的取值范围是。

f(1)例

6、已知函数f(x)对任意x , y总有f(x + y)= f(x)+ f(y)，且当x > 0时，f(x)< 0,（1）求证：f(x)是奇函数；

（2）求证：f(x)是R上的减函数；

（3）求f(x)在[-3, 3]上的最大值及最小值。

练习（1）已知奇函数f(x)在(– 1, 1)上单调递减，且f(1-a)+ f(1 – 2a)< 0，则实数a的取值范围是。

（2）设函数f(x)的定义域为R且x≠0，对任意非零实数x1, x2满足f(x1x2)= f(x1)+ f(x2)，（1）求f(1)的值；

（2）判断f(x)的奇偶性。

2f(x)xbxc对任意实数t，都有f(3t)f(3t)，那么例

7、如果函数f(0),f(3),f(4)的大小关系是。

结论：（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

2f(x)axbxc的对称轴为（2）二次函数

x0b2a，即f(x0x)f(x0x)。

〖拓展〗函数y = f(x)的图象关于直线x = t对称的充要条件是：f(t + x)= f(t – x)，即f(x)= f(2t – x)。

例

8、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式pf(t)； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Qg(t)；

（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）

f(x0)x0成立，则x0称为f(x)的不动点。已知函x例

9、对于函数f(x)，若存在0，使2f(x)ax(b1)x(b1),(a0)。数（1）当a = 1，b = – 2时，求函数f(x)的不动点；

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§1．1．1 正弦定理

【情景激趣】

有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。已知一座山A到山脚C的上面斜距离是1500米，在山脚测得两座山顶之间的夹角是450，在另一座山顶B测得山脚与A山顶之间的夹角是300。求需要建多长的索道？

【目标明晰】

1.知识与技能

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.2.过程与方法

让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作.3.情感态度与价值观

培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.二、教学重点、难点

1.重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.2.难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.学习过程

（一）自主探究

RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,，有abcsinA，sinB，又sinC1则ccc

以上关系式是否仍然成立？可分为c那么对于任意的三角形，sinAsinBsinC

锐角三角形和钝角三角形两种情况： abc

1.叙述正弦定理的内容：

2.正弦定理的变形

①边化角：a=，b=，c=；

②角化边：sin，sin，sinC；

3.正弦定理的推论： a:b:c

从而知正弦定理的基本作用为：

①

②

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作_______

【交流释疑】

（二）合作探讨

类型一已知两角及一边解三角形

例1.在ABC中，已知A45，B60，a42cm，解三角形．

变式：在ABC中，已知B45，C60，a12cm，解三角形．

规律总结：

类型二已知两边及一边的对角解三角形

例2.在ABC中，cA45,a2,求b和B,C．

变式

：在ABC中，bB60,c1,求a和A,C．

规律总结：

类型三判断三角形的形状

例3在ABC中，已知a2tanBb2tanA，试判断三角形的形状。

变式：已知在ABC中，bsinBcsinC，且sin2Asin2Bsin2C，试判断三角形的形状。

规律总结：

类型四 三角形面积公式

1absinC，并运用此结论解决下面问题：

2（1）在ABC中，已知a2，b3，C150，求SABC；仿照正弦定理的证法一，证明SABC

（2）在ABC中，已知c10，A45，C30，求b和SABC；



规律总结：

【反思回忆】

● 目标回忆

● 构建体系

● 总结规律

● 完善存疑

【课时练习】完成课时作业

（一）课时作业

（一）第一章解三角形

§1.1.1正弦定理

1.正弦定理适用的范围是（）Ａ．直角三角形Ｂ．锐角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．任意三角形

2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c

等于 bB120，则a（）

B．2C

D

A

3.在△ABC中，若A2B，则a等于（）

A．2bsinAB．2bcosAC．2bsinBD．2bcosB

4.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶

1D．2∶2在△ABC中，若sinAsinB，则A与B的大小关系为（）.A.ABB.ABC.A≥BD.A、B的大小关系不能确定

6．在△ABC中，C105，B45，c5，则b的值为（）

A5(31)B5(31)C10D5(6

7．在△ABC中，已知a3，b4，sinB

A002)2，则sinA=（）3311BCD 1 46

2

8.在△ABC中，已知B30，b，c150，那么这个三角形是（）

Ａ．等边三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形

9.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（）

A、a8,b16,A30，有两解 B、b18,c20,B60，有一解

C、a5,b2,A90，无解

10.ABC中，C=2B，则 D、a30,b25,A150，有一解 sni3B等于（）sniB

baacA、B、C、D、abca

311.三角形两边之差为2，夹角的余弦值为。该三角形的面积为14，则这两边分别为（）

5A、3和5B、4和6C、5和7D、6和8

a4,b42，12.在ABC中，A=60°，则角B等于（）

A、45°或135° B、135°C、45°D、以上答案都不对

13.在ABC中，已知(bc):(ca):(ab)4:5:6，则sinA:sinB:sinC等于

14.在ABC中，a3,b1,B30，则三角形的面积等于。

15.在ABC中，若acosAbcosB，则ABC的形状为16.在ABC中，已知bc8，B30，C45，则bc．

17.在ABC中，如果A30，B120，b12，那么aABC的面积是．

18在ABC中，bc

30，SABC，则A19.在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，已知，b=2，△ABC的面积S=3，求角C

20.．在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且A,B为锐角，sinA

=,sinB

=（1）求A+B的值：

（2）若

a-b=

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1.2.2

条件语句 教学目标：

1、正确理解条件语句的概念，2、掌握条件语句的结构.3、会应用条件语句编写程序.教学重点、难点：

重点：条件语句的步骤、结构及功能.难点：会编写程序中的条件语句.教学基本流程：

复习回顾，问题引入------问题导学，条件语句总结---例题展示，巩固提高----练习反馈-----小结作业 教学情景设计：

一、复习回顾，问题引入 复习回顾

1.提问：算法的三种逻辑结构？条件结构的框图模式？

2.提问：输入语句、输出语句和赋值语句的格式与功能？

问题引入

3.一次招生考试中，测试三门课程，如果三门课程的总成绩在200分及以上，则被录取.请对解决此问题的算法分析，画出程序框图.（变题：…总成绩在200分以下，则不被录取）

二、问题导学，条件语句总结 学生阅读教材，完成下列问题：

1、画出两种条件结构的框图模式？

2、给出问题引入中的程序，试读懂程序，说说新的语句的结构及含义.3、条件语句的一般有两种：IF—THEN语句；IF—THEN—ELSE语句.4、条件语句格式

5、条件语句及框图

教师引导学生分析条件语句的流程，并做说明： 1）“条件”是由一个关系表达式或逻辑表达式构成，其一般形式为“<表达式><关系运算符><表达式>”，常用的运算符有“>”（大于）、“<”（小于）、“>=”（大于或等于）、“<=”（小于或等于），“<>”（不等于）.关系表达式的结果可取两个值，以“真”或“假”来表示，“真”表示条件满足，“假”则条件不满足.2）“语句”是由程序语言中所有语句构成的程序段，即可以是语句组.3）条件语句可以嵌套，即条件语句的THEN或ELSE后面还可以跟条件语句，嵌套时注意内外分层，避免逻辑混乱.三、例题展示，巩固提高

1）例1：编写程序，输入一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数，输出它的实数根.（教法：算法分析 →画程序框图 →编写程序 → 给出系数的一组值，分析框图与程序各步结果）

注意：解方程之前，先由判别式的符号判断方程根的情况.函数SQR()的功能及格式.2）讨论：例1程序中为何要用到条件语句？条件语句一般用在什么情况下？

答：一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如判断一个数的正负，确定两个数的大小等问题，还有求分段函数的函数值等，往往要用条件语句，有时甚至要用到条件语句的嵌套

3）练习：编写程序，使得任意输入的2个实数从小到大排列.4）例2：编写程序，使得任意输入的3个实数从小到大排列.（讨论：先用什么语句？→ 用具体的数值给a、b、c，分析计算机如何排列这些数？

→写出程序 → 画出框图 → 说说算法 → 变式：如果是4个实数呢？

2）小结：条件语句的格式与功能及对应框图.编程的一般步骤：

1）算法分析 ：根据提供的问题，利用数学及相关学科的知识，设计出解决问题的算法.2）画程序框图：依据算法分析，画出程序框图.3）写出程序：根据程序框图中的算法步骤，逐步写出相应的程序语句.四、练习反馈：

1、编写程序，判断一个整数是偶数还是奇数，即从键盘上输入一个整数，输出该数的奇偶性。

2、.闰年是指年份能被4整除但不能被100整除，或者能被400整除的年份。编写一个程序，判断输入的年份是否为闰年。

3、编写一个程序，输入两个整数a，b，判断a是否能否被b整除。

(x1)xy2x1(1x10)3x11(x10)

4、已知函数编写一个程序，输入自变量x的值，输出相应的函数值。

五、小结与作业

小结：

1、条件语句的一般有两种：IF—THEN语句；IF—THEN—ELSE语句.2、条件语句格式

3、条件语句的功能

作业：

高中数学《1.1.1正弦定理》教案新人教A版必修 篇7

授课类型：新授课

（第２课时）

●三维目标

知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法

过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。●教学重点

等比中项的理解与应用 ●教学难点

灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：an=q（q≠0）an1n12.等比数列的通项公式: ana1q(a1q0)，anamqnm(amq0)

an13．｛an｝成等比数列=q（nN,q≠0）

“an≠0”是数列｛an｝成等比数列

an的必要非充分条件

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 Ⅱ.讲授新课

1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±ab（a,b同号）

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则GbG2abGab，aG反之，若G=ab,则≠0）[范例讲解] 课本P58例4 证明：设数列an的首项是a1，公比为q1;bn的首项为b1，公比为q2，2Gb，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列G2=ab（a·baG

高中数学《1.1.1正弦定理》教案新人教A版必修 篇8

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第 5 课时：§1.3 正弦定理、余弦定理的应用（1）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；

2.体会数学建摸的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的解题一般步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案。

3.了解常用的测量相关术语（如：仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义）；综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；

4．能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力

5．规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图清晰。

二、过程与方法

通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，熟练运用。

三、情感、态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 【教学重点与难点】：

重点：（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；

（2）掌握求解实际问题的一般步骤． 难点：根据题意建立数学模型，画出示意图 【学法与教学用具】：

1.学法：让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

总结解斜三角形的要求和常用方法

（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题： ①已知两角和任一边，求其它两边和一角；

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角（2）应用余弦定理解以下两类三角形问题： ①已知三边求三内角；

②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角

二、研探新知,质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（教材P18例1）如图1-3-1，为了测量河对岸两点A,B之间的距离，在河岸这边取点C,D，测

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

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得ADC85，BDC60，ACD47，BCD72，CD100m.设A,B,C,D在同一平面内，试求A,B之间的距离（精确到1m）.解：在ADC中，ADC85，ACD47，则DAC48.又DC100，由正弦定理，得

DCsinADC100sin85AC134.05m.sinDACsin48在BDC中，BDC60，BCD72，则DBC48.又DC100，由正弦定理，得 DCsinBDC100sin60BC116.54m.sinDBCsin48在ABC中，由余弦定理，得

图AB2AC2BC22ACBCcosACB134.052116.5422134.05116.54cos7247

3233.95，所以 AB57m 答A,B两点之间的距离约为57m.本例中AB看成ABC或ABD的一边，为此需求出AC，BC或AD，BD，所以可考察ADC和BDC，根据已知条件和正弦定理来求AC，BC，再由余弦定理求AB.例2（教材P18例2）如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以

9nmile/h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min）.解：设舰艇收到信号后xh在B处靠拢渔轮，则AB21x，BC9x，又AC10，ACB45180105120.由余弦定理，得ABACBC2ACBCcosACB，2即21x109x2109xcos120.222222化简，得36x9x100，解得xh40min（负值舍去）.32图1-3-2

BCsinACB9xsin12033由正弦定理，得sinBAC，所以BAC21.8，方位角为

AB21x1

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4521.866.8.答：舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A到B与渔轮从C到B的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB和BC；再根据正弦定理求出BAC.例3 如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C,D两处，测得烟囱的仰角分别为3512和4928，CD间的距离是11.12m，已知测角仪高1.52m，求烟囱的高。

四、巩固深化，反馈矫正

1．在四边形ABCD中，已知ADCD,AD10,AB14,BDA600,BCD1350，求BC的长 2.在四边形ABCD中，ABBC,CD33,ACB300,BCD750,BDC450,求AB的长 3.四边形ABCD中，ABBC,ADDC，且EAF600,BC5,CD2，求AC

4.我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C、D，已知ACD为边长等于a的正三角形。当目标出现于B，测得CDB450,ACD750（A、B在CD两侧），试求炮击目标的距离AB。

5.把一根长为30CM的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC，且ABC120，如何锯断木条，才能使第三边AC最短？

0

五、归纳整理，整体认识

1.解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

2．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.3．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六、承上启下，留下悬念

七、板书设计（略）

八、课后记：

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高中数学《1.1.1正弦定理》教案新人教A版必修 篇9

等差数列的前n项和

授课类型：新授课

（第1课时）

●三维目标

知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题

过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。●教学重点

等差数列n项和公式的理解、推导及应 ●教学难点

灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 “小故事”:

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+„100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10„算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+„+100=5050。教师问：“你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为1+100=101；

2+99=101；„50+51=101，所以 101×50=5050”

这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。Ⅱ.讲授新课

1．等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)2证明： Sna1a2a3an1an ① Snanan1an2a2a1 ②

①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)

高中数学《1.1.1正弦定理》教案新人教A版必修 篇10

广东省汕头市潮阳林百欣中学 彭小谋

教学目标︰

重点关注公比q的几个关键值；

通过从丰富实例中抽象出不同公比对等比数列的项值影响，使学生认识到掌握好公比q的特点是学好等比数列的不二抓手;同时经历由解决几个具体问题，体会公比q的显著性。

教学重点：公比q的不同类型：

教学难点：解题中如何通过q的不同取值优化解题过程，提高解题品质。

教学过程：

一、回顾旧知，归纳拓展

在前几节课中,我们学习了等比数列的相关知识，今天我们在原有知识的基础上，进行一次拓展延伸。

【老师】首先请一位同学回答，你感觉等比数列中哪个基本量对等比数列起关键性影响？老师引导学生分析各个基本量的特点，并着重强调公比q的特点。

【学生】通过观察，分析，理解，从而得到公比q对等比数列的影响很关键。

二、实例讲解：

 类型分析1：q1或q1

例

1、化简求和：Sxxx......x(x0)

【学生】思考、讨论，考虑和式的结构特点。

【老师】求和的关键是看通项结构，同学们是否认可上式具有等比数列特点？ 【学生】发现等比关系，又感觉缺点什么。 【老师】认可是等比数列的同学举手！

【学生】要注意x的取值，尤其是x1可能要讨论！【老师】很好！

解析：1）当x1时，S11......1n 123nx(1xn)

2）当x1时，S

1x

【设计意图】目的是让学生形式上的等比数列问题一定要关注q取值对求和的影响，学会分类讨论，关注解题的完备性。

 类型分析2：q0an.an10，q0an.an10

例2：设an是公比为q的等比数列，q1，令bnan1(n1,2,.....)，若数列bn有连续四项在集合53,23,19,37,82中，求6q的值。【学生】思考、讨论，考虑条件中q的限制。

【老师】已知集合中正、负项的个数对解题有没有帮助！

【学生】集合中正、负项的个数均不足四项，说明数列相邻项不可能同号！【老师】很好，这说明什么问题呢？ 【学生】多数学生发声：q0！解析：anbn154,24,18,36,81q2故6q9。

54243 或q2且q0且q1q24542【设计意图】掌握好公比q的正负对数列各项的调和作用！例

3、若等比数列的前n项和Sn0，求公比q的范围。

【学生】思考、讨论，回顾求和公式的结构特点。

【老师】同q0学们有没有一个直观感觉，比方说q0是否成立，能否得到a10？ 【学生】可以得到a10显然成立！q0似乎也符合题意！但必要吗？ 【老师】很好的反问！谁能回答？…… 解析：由Sn0S1a10成立；

1）当q0an.an10且a10Sn0显然恒成立，故q0符合题意；

a1(1qn)1qn0且a100即2)当q0时，考虑Sn1q1q故若1q00q1时，显然符合题意，若q1qn1(1qn)(1q)0，时显然不符题意，故所求公比q的取值范围为q1,00,1

【设计意图】利用q的关键值尝试分析法解不等式。

 类型分析3：q0

例4：已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3．（1）若a=1，求数列{an}的通项公式；（2）若数列{an}唯一，求a的值．

【老师】思考:公比q的取值范围是什么呢？ 【学生】正数、负数，但是不能为零。【老师】很好，由于自然运算的需要，q0！同学们对它的限制是如何把握的？

【学生】常识性的问题，还能怎么把握！？

【老师】实践出真知，我们不妨一块来考察上述问题。

解析：（1）设等比数列{an}的公比为q，又∵b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3．且{bn}为等比数列

∴（2+q）=2（3+q）∴q=2±

2∴

2（2）由（1）知（2+aq）=（1+a）（3+aq）

2整理得：aq﹣4aq+3a﹣1=0 【老师】同学们在这儿会联想到什么？ 【学生】二次方程！

【老师】并且是含有参数的二次方程！题目说 等比数列唯一。【学生】说明公比唯一，说明方程有等根！说明△=0！【老师】继续吧！

2∵a＞0，△=4a+4a＞0（【老师】纳闷吧？！）【学生】奇怪！难道是错题！

2【老师】再想想！△=4a+4a＞0说明方程必有两不等根！是否与题设矛盾？ 【学生】......应该两根中只有一个能做公比q！【老师】漂亮！公比不能为0！

【学生】数列{an}唯一，∴方程必有一根为0！

∵数列{an}唯一，∴方程必有一根为0，得a=

【设计意图】在实践中感受公比q的显著性，提高的是学生的思维品质，炼就的是学生良好的解题习惯。

三、归纳小结 提炼精华

本节课主要学习了公比q不同取值对数列特征的影响，包含以下几类：

1、q2、q3、q1或q1（分类讨论需要）

0an.an10，q0an.an10（关注调和）

0（自然运算需要）

4、涉及数学思想方法包括：分类讨论，函数与方程、分析与综合等。

【老师】通过本节课的学习，你有哪些收获？

【学生1】在本节课中，我懂得了学好等比数列，必需以公比q为切入点，把握好公比q的几个临界值，是我们深刻理解等比数列的关键！

【学生2】在本节课中我还学习了分类讨论、分析与综合等数学思想方法。

【老师】当然我们还有方程的思想以及函数的思想。目的只有一个：从细节做起，养成良好的思维习惯，练就优秀的解题品质！

【设计意图】让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。

四、作业

求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列。

（1）1，____，9（2）-1，____，-4

（3）-12，____，-3（4）1，_____，1 2.根据右图的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?

五、目标检测设计

1:求下列等比数列的第4项和第5项；（1）4，-8,16,...(2)