《一元二次方程的根与系数的关系1》教学设计

《一元二次方程的根与系数的关系1》教学设计（精选6篇）

《一元二次方程的根与系数的关系1》教学设计 篇1

一、素质教育目标

（一）知识教学点：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．

（二）能力训练点：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．

（三）德育渗透点：1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：根与系数的关系及其推导． 2．教学难点：正确理解根与系数的关系．

3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．

三、教学步骤

（一）明确目标

一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．

（二）整体感知

一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．

本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问

（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0． 观察、思考两根和、两根积与系数的关系．

在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？

2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系． 设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．

以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导． 由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）

结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1

我们就可把它写成x2+px+q=0

结论2．如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便． 练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0 此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系． 3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根． 验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项

（2）已知方程一根，求另一根．

例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．

此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较．

方法

（二）∵2是方程5x2+kx-6=0的根，∴5×22＋k×2-6＝0，∴k＝-7． ∴原方程可变为5x2-7x-6=0

学生进行比较，方法

（二）不如方法

（一）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值．

练习：教材P．34中2．

学习笔答、板书，评价，体会．

（四）总结、扩展

1．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础．

2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力．

四、布置作业

1．教材P．35中A1．2．推导一元二次方程根与系数关系．

五、板书设计

12．4一元二次方程根与系数的关系

（一）一元二次方程根与系数关系 关系的推导 应用（1）验根（1）…… ……（2）已知一根，（2）…… …… 求另一根

《一元二次方程的根与系数的关系1》教学设计 篇2

一、重视知识的连贯性, 由浅入深, 在旧知识上构建新知识, 激发学习兴趣, 活跃学生的学习活动

学生的学习是对外部信息进行主动选择、加工和处理, 从而获得知识的过程, 其基础是学生原有的知识与经验。在本节教学中要学习的是根与系数的关系, 而学生已有的知识是求根公式, 因此, 我先通过以下四个复习题把知识连贯起来, 为构建新知识做准备:

1.一元二次方程的一般形式是什么?

2.一元二次方程的解法有几种?

3.求根公式是什么?它反映了什么?

4.如何判别一元二次方程的根的情况?

通过这一问题, 激活了学生原有的知识。接着设计了几个学生活动。

1.议一议 (2人一组) :

解下列方程并求:x1x2, x1+x2。

2.猜一猜 (4人一组讨论) :

方程ax2+bx+c=0 (a≠0) b2-4ac≥0

求:x1x2, x1+x2。

3.验一验 (2人一组讨论) :

已知方程: (1) 2x2-x-1=0 (2) 3x2+4x=0

求:x1x2, x1+x2。

引导学生思维, 并通过动手、动口、动脑来完成探究学习, 由学生自己发现知识的产生过程, 自我构建根与系数的关系, 并做出归纳, 使学生体会到自己有成就感, 体验获得新知识的快乐。通过“议一议”“猜一猜”等形式, 使学生产生认知冲突, 感觉出与求根公式不同的根与系数的关系, 从而积极去思考、发现规律。在例题 (已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3, 求另一根及k的值) 的教学中, 用根与系数关系求解比用根的定义求解方便。

二、学生自主学习与合作探究相结合, 达到教学目标

培养探究思维是进行探究学习的根本目标, 科学探究的思维过程概括起来是:面对现状会发现问题, 面对问题会科学猜想, 收集各种信息并进行组合加工, 设计出求证的方案并作论证, 还要在解释结论中学会反思评价, 从而发现新的问题。在教学中, 我采用了2人一组, 4~6人一组, 让学生在合作中互相学习, 并给学生展示探究结果的机会, 鼓励学生大胆猜想, 严密论证。在定理的应用中, 让学生自己发现、总结应用定理时应注意的几点 (方程是一般形式;方程必须有实根;方程必须是一元二次方程) 总结公式结构特征 (任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数, 两根的积等于常数项与二次项系数的比) 。

1.填空题:

(1) 若方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两根为x1, x2则x1+x2=, x1x2=。

(2) 方程2x2-3x-1=0, 则x1+x2=____, x1x2=____。

(3) 若方程x2+px+2=0的一个根为2, 则它的另一个根为___, p=____。

(4) 已知方程x2-3x+m=0的一个根为1, 则它的另一根是___, m=____。

(5) 若0和-3是方程x2-px+q=0的两根, 则p+q=____。

2.选择题:

(1) 下列方程中, 两根之和是2的方程是 ()

(2) 两根均为负数的一元二次方程是 ()

(3) 若方程x2+px+q=0的两根中只有一个为0, 那么 ()

运用以上练习以加强学生的基础训练, 让学生检测自己本节课掌握知识的情况。使教师教得愉快, 学生学得轻松, 这也是课改要实现的目标和归宿。

三、解题之后重视反思

数学问题的解决仅仅只是一半, 更重要的是解决之后的回顾。因此, 要有效地培养数学解题能力, 解题后的反思是一个不可缺少的重要环节, 反思能帮助我们总结经验, 发现规律, 形成技能和技巧, 有效地提高学习效率。

例1.下列方程两根的和与积分别是什么?

例2.已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3, 求另一根及k的值。

思考题:已知方程x2+mx+ (m+1) =0, 当m为何值时, (1) 两根之和是1; (2) 两根之积是-1; (3) 两根互为相反数; (4) 两根互为倒数; (5) 有一个根为0。

《一元二次方程的根与系数的关系1》教学设计 篇3

作为一名教学工作者，通常会被要求编写说课稿，说课稿有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。那么优秀的说课稿是什么样的呢？下面是小编帮大家整理的一元二次方程根与系数的关系说课稿，欢迎阅读与收藏。

[教材分析]

中学阶段我们研究的多项式函数中有二次函数，研究的几何图形中有二次曲线。因此一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。一元二次方程有根与系数关系，求根公式向我们揭示了两根与系数间的密切关系，而根与系数还有更进一步的发现，这一发现在数学学科中具有极强的实用价值，本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化，又蕴含有丰富的数学思想方法，也为学生们将来的学习打下了必要的基础。

[学生分析]

进入了初二下半学期，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。再加上我所执教的学生，他们有着较强的认知力与求知欲，

基于以上思考，我在设计中扩大了学生的智力参与度，也相对放大了知识探索的空间。

[教学目标]

在学生探求一元二次方程根与系数关系的活动中，经历观察、分析、概括的过程以及“实践——认识——再实践——再认识”的过程，得出一元二次方程根与系数的关系。

能利用一元二次方程根与系数的关系检验两数是否为原方程的根;已知一根求另一根及系数。

理解数学思想，体会代数论证的方法，感受辩证唯物主义认识论的基本观点。

[教学重难点]

发现并掌握一元二次方程根与系数的关系，包括知识从特殊到一般的发生发展过程

[教学过程]

一、复习导入

请学生求解表格内的方程，完成解法的交流以及求根公式的复习，求根公式向我们揭示了两根与系数间的关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢?由此疑问，导入新课。

二、探求新知

数学学科中由数到式的结构编排，让我们想到了从两根运算上的最简组合：和差积商展开进一步研究。初探新知中，我将学生们分成两组，分别对二次项系数为1的一元二次方程两根进行和差积商的运算，之后将结果汇总展示，共同观察与系数的联系。我在这些方程中安排了两个无理根方程。当学生们发现这两个无理根在求和，求积后，竟变成了有理数，而且每一组两根和(积)都与系数有着密切的联系，此时的他们不难对两根和与两根积产生关注，经历了对二次项系数为1的一元二次方程两根和差积商的研究后，确定了课题并获得猜想：“两根和等于一次项系数的相反数,两根积等于常数项。”对于这一猜想，会有学生提出不同看法，他们提出研究二次项系数非1的一元二次方程。学生的质疑启动再探新知。直接研究一元二次方程两根和、两根积与系数的关系。这一环节中我不再给出具体的方程要求研究，故除了部分同学自定义方程求根求和求积后产生猜想，还有部分同学对仍保留在板书部分的求根公式着手进行两根和，积的运算。这两种方案齐头并进，当前者通过不断验证来说明他们猜想的可靠度时，后者通过论证，在严格意义下，说明了此结论的正确性。对于论证中学生出现的问题，我们在第一时间内揪错指正，

在知识初探与再探后，学生获得了新知，得到了一元二次方程根与系数的关系，

三、训练感悟

我将之前从学生那里收集来的错解对照表中方程，询问检验其正误的方法。学生根据已有经验，将其代入方程，进行检验。为寻求更为简便的方法，引出作用一，利用根与系数的关系，不解方程检验两数是否为原方程的根。我再给出两例，便于巩固练习，更明确了只有当两数和(积)同时满足方程两根和(积)的时侯，才是正确的根。当学生们正为找到了一种行之有效的检验方法，高兴不已的时候。突然间，表格中的数据丢失了，我分别隐去了方程的一根及b,c,a三个系数。为了将材料修复，学生小组展开热烈的讨论。有了上一题的经验，学生们会利用根与系数关系，不解方程，求出另一根及系数。也会使用代入求解的方法解题，通过新旧方法的比较，在训练中获得感悟：方法的选择在于简便，学生们在选择了恰当的方法后，修复了材料也巩固了新知。

四、总结提升

由学生回顾知识的发生发展及应用过程，以“我的收获”与“我的疑惑”交流心得。我再帮助学生整理所学知识，引导领会数学的思想。我还会自豪的告诉他们，数学家们还发现了存在于一元n次方程中的根与系数的普遍关系，这一内容将在高数中有所涉及，激励奋进五、分层作业，除必做题外，留有一道思考题：已知x1,x2分别是方程2x2+3x-5=0和两个根，利用根与系数关系，求：（1）x12x2 +x1x22（2）x12 +x22（3）x1－x2的值。作为能力上的提升。也为下一课内容作下铺垫。

[设计意图]

现在的设计较之以往，有所继承，有所变革。

1.研究启动入口不同

过去我总是先给出若干具体方程要求学生求根，并计算两根和(积)，作出猜想。这样的数学后曾有学生问我：“老师为什么会想到两根和(积)与系数的关系，而不是其它?”这种疑问的产生一定与过去设计指定了学生的活动过程有关，为了给学生的活动指向更为宽泛，让两根和积与系数的研究更显合理，现在的设计中主要体现了由数到式的研究，从两根和差积商的重组合再有所观察，有所挑选，方才定位于两根和(积)作进一步的探究。这种设计正是从数学内部下了功夫，由知识线索的连贯性，师生共同理顺了实验对象的来龙去脉，从数学本身上培养了学生的观察、分析、概括的综合能力。

2.探究部分两步走

我将二次项系数为1，非1的一元二次方程分两次出现，分别放置与知识初探和再探两个环节，这样设计的原因有一：学生的认知能力总是有所差异的，如果将这些方程合二为一加以研究的话，一部分同学对别人获得的正确猜想是瞬间接受，却缺乏思维的参与。事实上，研究事物往往从简单到复杂，在这里，当a=1时，易找规律，当a ≠1后造成的认知冲突，更是激发了这一猜想的`完善。其实这一串，由实验——猜想——再实验——再猜想的思维过程，既符合认知规律，也是一种研究性学习的示范，一种创造性能力的培养。为了让每一个学生都亲身参与其中，真正感受由“实践——认识——再实践——再认识”这一客观世界认知论的基本规律。便是我如此设计的原因之一。原因二：研究入口处，利用两根和差积商的结果，优选出对和积的研究。初探中二次项系数为1的方程两根计算足以起到这一筛选作用。因此在下一环节的再探新知中，便自然关闭了对两根差与商相对较为繁琐的计算，直接由两根和积入手研究与系数的关系，提高了研究的效率。

3.再探新知放手走

我没有再给出任何具体的方程以供研究，这里的放手，引出了学生不同的操作方法。一部分学生把注意力转放在求根公式上展开直接论证，就连另一部分学生自定义方程数据研究的方式也各不相同，他们有的翻开笔记本查阅之前解方程的资料;有的反凑特殊值方程;更有的会从中提炼出代数论证的方法;当然也有借助于计算器完成了繁琐的计算。

放手的探究，为了给学生更大的思维空间，让学生有更多方法的选择，从而展开自主的学习。

[尾声]

方程的根与函数的零点教学设计 篇4

学生已经学习了函数的图象及性质，会画基本的函数图象，能通过图象了解函数的性质，但学生对一些特殊的方程还不熟悉，解题可能会感到困难。教学重难点

教学重点：方程的根与函数零点之间的关系，连续函数在某区间上存在零点的判定方法 教学难点：函数的零点与方程的根的联系的理解,零点的判定 教学目标

知识与技能目标

（1）理解零点的定义

（2）方程的零点与函数的根的联系

（3）掌握连续函数在某区间上存在零点的判定方法 过程与方法目标

（1）在合作探究的过程中，体会从特殊到一般，数形结合，转化化归的数学思想（2）培养分析问题、解决问题的能力 情感态度与价值观目标

通过方程的根与函数零点的学习，产生数学学习兴趣 形成有序全面思考问题的意识 教学过程

问题引入，激发兴趣

师：提出问题1：求的实数根，画出函数的图象；并观察他们之间的联系？

【学情预设】学生能够解出方程的根，并从图象上能获得与方程的根的一些联系。【设计意图】通过学生熟悉的二次函数的图象和一元二次方程让学生观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根和函数图象之间的关系。组织探究，得出概念 1.方程的根与函数的零点

师：我们可以发现1，2既是的根，也是函数图象与x轴的交点横坐标。那现在我们来思考一下一般方程的情况。我们是如何去判断方程的个数的呢？是不是借助Δ，那大家通过小组合作一起来完成ppt上的这张表格。填表

Δ>0 Δ<0 Δ=0

方程实数根

函数图象与x轴的交点

【设计意图】通过合作填表的过程，让学生体会方程的根与函数图象的x轴的坐标的关系，通过对比教学，揭示知识点的联系。

师：从表格中我们可以得出这样的等价关系：

方程f(x)=0有实数根<==>函数y=f(x)的图象与x轴有交点

那我们再来思考一下，假如我们求出函数y=f(x)的图象与x轴的交点坐标为（x0,0），这个x0 是不是就是令y=0的x的值啊？

这个x0在方程中我们定义它为方程的根，那在函数中我们也给它一个定义，叫做函数的零点。师：现在老师给出函数零点的定义。对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

那函数的零点他是不是一个点呢？

大家一起来再将概念缩一下句，实数x叫做零点，那说明零点时一个数。【设计意图】通过对概念中的关键进行提炼，加深对概念的理解。师：那现在我们又可以得出另一个等价关系：

函数y=f(x)的图象与x轴有交点<==>函数y=f(x)有零点 又因为这两个等价关系两两等价，因而可以得出 方程f(x)=0有实数根

<==>函数y=f(x)的图象与x轴有交点 <==>函数y=f(x)有零点

【设计意图】通过上述过程，让学生领会求方程f(x)=0的实数根，就是确定函数y=f(x)的零点这一关键。

2.零点的存在性探究 师：探究

【设计意图】通过层层递进的问题链，教师引导学生探索，归纳总结函数的零点存在性定理，培养归纳总结的能力。师：一般的，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)*f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c?(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程y=f(x)=0的根。

提问：仅满足f(a)·f(b)<0可以确定有零点吗？ 引导学生构造反例：

【设计意图】通过反例，强调判定条件——图像是连续不断的一条曲线，加深 对概念的认知。巩固练习，提升能力 例1：

【设计意图】通过例题，对所学知识进行及时巩固，归纳小结，布置作业

学生自主对本节课的内容进行归纳总结 函数零点的定义 三个等价关系 零点的存在性定理

【设计意图】建立自主的知识体系，形成知识网络，加深对知识的巩固，培养总结归纳的能力。

布置分层作业：基础题和提高题

《一元二次方程的根与系数的关系1》教学设计 篇5

教学设计

校内公开课《方程的根与函数的零点》教学设计

海口海港学校 黄于芮

一、教学目标

（1）知识与技能：

结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。

（2）过程与方法：

培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。

（3）情感态度与价值观：

在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。

二、教学重难点

重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念

难点：函数零点与方程根之间的联系

三、教法学法

以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台

四、教学过程

1．创设问题情境，引入新课

问题1求下列方程的根

（1）（2）（3）

师生互动:问题1让学生通过自主解前3小题，复习一元二次方程根三种情形。

问题2填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x轴的交点的关系？

师生互动:让学生自主完成表格，观察并总结数学规律

问题3 完成表格，并观察一元二次方程的根与相应二函数图象与x轴交点的关系？

师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。

2．建构函数零点概念

函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

思考：

（1）零点是一个点吗？

（2）零点跟方程的根的关系？

(3)请你说出问题2中3个函数的零点及个数？（投影问题2的表格）

师生互动:教师逐一给出3个问题，让学生思考回答，教师对回答正确学生给予表扬，不正确学生给予提示与鼓励。

3．知识的延伸，得出等价关系

(1)方程f(x)=0有实数根(2)函数y=f(x)有零点(3)函数y=f(x)的图象与x轴有交点

师生互动:分析等价性：（1）、（2）两个命题的等价是从数的角度来刻画，第（3）个命题是从形的角度来刻画。基于此，我们就可用函数的观点看待方程，方程的根即函数的零点，可以把解方程的问题转化为函数图像与x轴的交点问题。

4．练习巩固

练习1：函数 的零点是（）

A.(-2，0)和(3，0)B.-2 C.3 D.-2和3

练习2：求下列函数的零点。

练习3：根据函数图象判断下列函数有几个零点？

5、归纳小结

请你谈谈本节课的收获？

（1）、函数零点的概念

（2）、三个等价关系

师生互动:让学生自己对本课进行小结，教师对学生的小结给予肯定并补充完善。

布置作业，学以致用

必做题:

1、求函数：y=-x2+6x+7的零点

2、方程的解所在的区间是（）

A．

《一元二次方程的根与系数的关系1》教学设计 篇6

一、关于教学目标的分层定位

课堂教学目标应该以该节教学内容为载体,扎根于具体教学内容之中,对教学目标进一步细化,以突出教学目标对教学的导向作用.而本节课的教学重点是方程的根与函数零点的等价关系以及函数零点存在性定理,教学难点是探究函数零点存在的条件.

基于以上认识,本节课的教学目标定位如下:

(1)从一些具体方程(如一次、二次方程)根的求解以及相应函数图像,理解函数零点的概念以及探索出方程的实根与其相应函数零点之间的关系;(2)会将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题,并会用定理判断存在零点的区间;(3)通过观察一些特殊函数在区间端点上函数值之积的特点,探索发现函数零点存在性定理;(4)在学习过程中感悟化归与转化、数形结合、函数与方程的数学思想.

对于不同层次的学生,教学目标要求是不一样的:A组学生达到(1)—(2);B组学生达到(1)—(3);C组学生达到(1)—(4).

二、创设问题情境,分层定标,引入零点概念

一个好的引入可以帮助学生更好地理解所学习的内容,激发各个层次学生自己提出数学问题.所以本人在课本的基础上设计了以下问题来引入新课.

教学设计如下:

问题1:判断下列方程是否有解?

(设计意图:问题1中方程123学生都可以利用初中知识解决,但方程4用现有方法解决不了,以此引起认知冲突)

问题2:求出表中方程的实数根,画出相应的函数图像的简图,并写出函数图像与x轴交点的坐标.(由A层次学生回答)

(设计意图:利用函数的图像与性质去探究方程的根,给出函数零点的概念)

问题3:结合函数零点的定义,你能说说函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标,三者有什么关系?(由B或C层次学生解决)

(设计意图:引导学生发现方程的实数根和相应函数图像与x轴交点的横坐标的关系,建构函数的零点与方程的实数根的关系)

三、关于零点存在性定理的辨析处理

1. 对零点存在性定理的辨析主要有两个方面:第一,对于定理条件的“充分不必要性”的认识,这可以通过举反例(如画y=x2函数图像)理解.第二,对于定理中零点个数问题,首先要明确“零点的个数”不是这节课的重点,只要让学生在直观上认识到,在定理的条件下,一定能保证零点存在,“有多少个”定理无法确定.课本中的例1,求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数,意在用信息技术做函数值对应表和函数图像,通过直观判断得出结论.本人觉得这节课的重点是方程的根与函数零点的等价关系以及函数零点存在性定理,所以本人把例题改为:

例题设x0是方程lnx+2x-6=0的解,则x0属于区间().

A.(-1,0)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

解决完本题后可以利用几何画板画出函数f(x)=lnx+2x-6图像,再次验证结论.

2.在什么时候进行定理辨析?刚学定理,在对定理不熟练的情况下,马上进行定理的辨析,对部分学生(尤其是A层次学生)来说是有一定难度的,这样的辨析只会弱化对定理的掌握和理解.所以,本人的处理方法是把定理的辨析放在课后练习中处理(详见课堂练习第(6)题),由B和C层次的学生来解决.

四、关于课堂练习的设置———分层作业

根据因材施教的理论,这节课的课堂训练设计为分层练习,分为A、B、C三组练习,以满足不同层次学生的需要.

A组:(由A层次学生展示)

(1)求下列函数的零点:

(2)下列图像表示的函数中没有零点的是().

(小结求函数零点的方法:(1)代数法,即求方程___的实根;(2)几何法,即利用函数y=f(x)的图像和性质找出零点)

(3)函数f(x)=4-4x-ex的零点所在区间为().

A.(1,2)B.(0,1)

C.(-1,0)D.(-2,-1)

B组:(B层次学生展示)

(4)设x0是方程x2-4x=0的解,则x0属于区间().

A.(-1,0)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

(5)若函数f(x)在[a,b]上连续,且有f(a)f(b)>0.则函数f(x)在[a,b]上().

A.一定没有零点B.至少有一个零点

C.只有一个零点D.零点情况不确定

概念辨析:

(1)将零点存在性定理的条件和结论交换,所得命题成立吗?即命题“函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,那么f(a)·f(b)<0.”成立吗?若不成立请举反例.

2你能在下面横线上填一个条件使结论成立吗?

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并有f(a)·f(b)<0且___,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有且只有一个零点.

C组:(由C层次学生展示或留作课后C层次学生解决)

(6)已知函数f(x)=ax2+x-1+3a(a∈R)在区间[-1,1]上有一个零点,求a的取值范围.

五、教学反思

(一)本节课的成功之处

1.引入自然.为了激发学生的求知欲,使学生感受到学习本内容的必要性,本人先给出四个方程,其中三个是学生能通过已有的知识解决的,但第四个就不行了,这样激发学生学习的兴趣,又让学生产生疑惑,为引入新课做铺垫.然后通过一个表格引导学生观察三个方程的解与相应函数图像的关系,顺势提出了函数零点的定义,此时学生很容易得到三个等价关系,并明确要转换角度来研究方程的根:利用函数的性质和图像.

2. 突破难点.对于函数零点存在性定理,高中阶段不可能给以证明,只需要让学生通过函数图像,直观感知零点存在的条件.基于此,本人精心设计了几个问题:问题4中的两个探究活动是学生熟悉的一次函数和二次函数,探究函数值在零点附近的变化规律,通过问题4很多学生能得到:函数f(x)在区间(a,b)内一定有零点的条件是f(a)·f(b)<0,问题5和问题6进一步引导学生正确得到一般情况下,函数f(x)在区间(a,b)内一定有零点的条件.这三个问题层层递进,引导学生一边画草图,一边积极思考,举反例,从几何直观上感知零点存在的条件.这样设计符合学生的认知规律:从简单到复杂,从具体到抽象,让学生在具体的例题中概括出共同的本质特征,得出一般性的结论,使学生思维发生碰撞,弄懂了定理.

3. 采用分层教学设计,满足各层次学生学习需要,充分调动各层次学生学习的积极性.让不同层次学生都有碰撞思维的火花,课堂气氛活跃,学生的参与意识明显.学生在“成功的体验”中,不知不觉中掌握概念,突破难点.最后辅以分层作业,进行巩固提高.这节课基本能保证C层在听课时不等待,A层基本听懂,得到及时辅导,即A层“吃得了”,B层“吃得好”,C层“吃得饱”.

(二)本节课的不足之处

1.本节课的新知识都具有“形”与“数”两方面的含义,而几何直观是理性认识的基础,教学时应充分利用好函数图像,努力体现数形结合思想.在教学过程中,对现代教育手段的使用未能充分体现,对如何展现函数图像上的动点经过x轴这一最为关键的过程,没有突出和强调,从而没能更充分利用媒体强化对学生思维刺激的辅助作用.

2.在教学过程中没有注意学生思维的连贯性.不应该在学完函数零点的概念和三个等价关系时马上进行了课堂练习(1)—(4)题的训练,然后再学习零点存在性定理.这样操作学生的思维被打断,不连贯,不利于下一个问题的学习.所以应该把所有问题讲完才进行课堂训练,这样效果更好.实践证明,只要学生真正理解概念和定理,是不需要急着解太多的题.概念的理解和定理的形成过程才是这节课的关键.

摘要：方程的根与函数零点的分层教学内容包含一个概念、三个等价关系、一个定理.为达成教学目标,本节课先通过四个方程是否有实根,根据学生的思维特点分层设计,让不同层次学生都碰撞思维的火花,激发求知欲,从而引入课题;再利用函数的图像与性质去探究方程的根,给出“函数零点”的定义以及等价关系;最后探究零点存在的条件,引出“零点存在性定理”,并利用该定理解决具体问题,再辅以分层作业,进行巩固提高.

关键词：方程的根,函数零点,分层设计,教学反思

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.