等比数列前n项和教案

等比数列前n项和教案（共8篇）

等比数列前n项和教案 篇1

n项和

[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。

1、等比数列的前n项和公式：

当q1时，Sna1(1q)1qn ①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.公式的推导方法一：

一般地，设等比数列a1,a2a3,an它的前n项和是

Sna1a2a3an

Sna1a2a3an由 n1aaq1n2n2n1a1qSna1a1qa1qa1q得

23n1na1qqSna1qa1qa1qa1qn(1q)Sna1a1q

∴当q1时，Sna1(1q)1qn ①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，a2a1a3a2anan1q

根据等比的性质，有a2a3ana1a2an1Sna1Snanq

即 Sna1Snanq(1q)Sna1anq（结论同上）

围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)

＝a1qSn1＝a1q(Snan)

(1q)Sna1anq（结论同上）

课题: §2.5等比数列的前●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下前一节课所学主要内容： 等比数列的前n项和公式： 当q1时，Sna1(1q)1qnn项和

①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②

课 题：数列复习小结

教学过程：

一、本章知识结构

二、知识纲要

(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．

(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．

三、方法总结

1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．

2．等差、等比数列中，a1、an、n、d(q)、Sn “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．

3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．

四、知识精要：

1、数列

[数列的通项公式] an2、等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。[等差数列的判定方法]

1． 定义法：对于数列an，若an1and(常数)，则数列an是等差数列。2．等差中项：对于数列an，若2an1anan2，则数列an是等差数列。[等差数列的通项公式]

如果等差数列an的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为ana1(n1)d。[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。[等差数列的前n项和] 1．Snn(a1an)2a1S1(n1)SnSn1(n2)[数列的前n项和] Sna1a2a3an

2.Snna1n(n1)2d

[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。[等差中项] 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：Aab2或2Aab

[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。[等差数列的性质]

1．等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，公差为d，则有anam(nm)d

2.对于等差数列an，若nmpq，则anamapaq。

3．若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等差数列。

3、等比数列 [等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）。[等比中项] 如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即G2ab。[等比数列的判定方法] 1． 定义法：对于数列an，若an1anq(q0)，则数列an是等比数列。

22．等比中项：对于数列an，若anan2an，则数列an是等比数列。1[等比数列的通项公式]

n1如果等比数列an的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为ana1q。

[等比数列的前n项和] Sna1(1q)1qn(q1)Sna1anq1q(q1)当q1时，Snna1

[等比数列的性质] 1．等比数列任意两项间的关系：anamqnm

2． 对于等比数列an，若nmuv，则anamauav

4．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。如下图所示：

4、数列前n项和（1）重要公式：

123n123n222n(n1)22；

； n(n1)(2n1)612n333[121n(n1)] 2（2）裂项求和：

等比数列前n项和教案 篇2

本节课是《普通高中 课程标准 实验教科 书·数学(五)》(人教A版)第二章第五节第一课“2.5.1等比数列前n项和”(P55-58).本节内容是由一个故事启发得出一般求等比数列前n项和的思路,它是基于等比数列的“等比”特性的一种特殊求和方法.在教学中,应着重引导学生观察、分析、归纳、猜 想,使学生善 于“发现规律———归纳规律———应用规律”.

二、教学目标

1.基础知识目标:理解等比数列前n项和公式的推导方法,掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题.

2.能力训练目标:(1)培养学生由特殊到一般的化归思想以及对式子变形的各种手段方法的应用能力,渗透方程思想、分类讨论思想,优化学生的思维品质;(2)通过探究与活动,让学生明白考虑问题要细致,说理要明确.

3.创新素质目标:发挥学生主体作用,让学生在探究活动中学会思考,自觉地把所学知识应用于实际问题.

三、教学重难点

重点:等比数列前n项和公式以及对公式的理解与运用.

难点:等比数列前n项和公式的推导.

四、教学过程

(一)创设情境,提出问题———激发求知欲

创设问题情境:有一穷人向富翁借 钱,借钱方案 如下:从第一天起借出1万,第二天借出2万,第三天借出3万……以此类推,每一天借的钱数都比前一天多一万,直到第30天,富人总共向穷人借出多少 钱?穷人还钱方案如下:从借钱的第一天开始,穷人就开始向富翁还钱,第一天还1分,第二天还2分,第三天还4分,第四天还8分……以此类推,每一天还的钱数都是前一天的两倍,直到第30天.试问同学们,假设你依据 这个方案 向富翁借这笔钱,你们愿意吗?

学情预设:大多数学生可能算不出 具体数目,只是凭直观判断表示“愿意”.

教师引导:愿不愿意借这笔钱,关键是看 借钱和还钱的总和各是多少.

学生活动:学生根据自己掌握的知 识和经验,建立数列的数学模型.即富人向 穷人借出 的钱是以1为首项,以1为公差的 等差数列,总和为等 差数列前30项和,即S30=1+2+3+4+…+30=30×(1+30)/2=465.

穷人向富翁还的钱是以1为首项,以2为公比的等比数列,总和为等比数列前30项和,即

S30=1+2+22+23+…+229.

师生共同用计算器计算这个数,大家会发现这个数大得惊人,大于1073万元,穷人是无法满足富翁的要求的.

师:如果你们不假思索地答应,将会导致 一个很不幸的后果 发生,这都是不 具备基本 的数学知 识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识,正是我们这节课所要探究的知识.

此时学生跃跃欲试,纷纷想求 出这个数 列的前30项和,但因知识受限,无法一次求出,课题的引入水到渠成.

[设计意图]用一个看似简单的生活实例,不仅复习了等差数列的求和,而且为引出等比数列前n项和作准备;同时通过与等差数列的对比让学生感受等比数列的爆炸增长,激起学生学习新知识的兴趣和欲望.

(二)师生互动,探究新知———等比数列前n项和公式的推导

一般的,设等比数列{an},公比为q,则它的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an.

等比数列前n项和公式是求等比数列 的前n项和的一个化简式,它的推导有很多方法,我们先研究教科书所采用的方法.

推导方法一:错位相减法

1.由问题情境中S30=1+2+22+23+…+229的求解我们很自然地由特殊到一般,可以先让学生思考一个特殊的简单情形,即Sn=1+q+q2+q3+…+qn-1.1

教师引导:首先复习推导等差 数列前n项和公式,形式上采用倒序相加法,本质上是根据等差数列的定义an+1-an=d,从“公差为d”这一特性出发,抓住倒序后两式中上下对应项的和均为“a1+an”这个特点,构造相同项,进而化繁为简,推得公式.

师:请同学们注意观察、联想,等比数列是不是也可以用倒序相加法求和?

(学生进行尝试,发现行不通)

在此情境下,教师引领学生透过现 象看本质,类比等差数列前n项和公式求法.在等比数列前n项和中构造相同项,从而化繁为简是解决问题的关键.

师:等差数列 求和是根 据定义,由公差d切入.自然,等比数列求和同学们也应抓住定义,由公比q来探究.关注等比数列定义和1式,你们能发现什么?

(学生观察、独立思考、合作交流、自主探究)

师:若将上式右边的每一项乘以公比q,会出现什么样的结果呢?

生:就得到它后面相邻的一项,即qSn=q+q2+q3+q4+…+qn-1+qn.2

师生共同探索:要得到Sn,只要两式子错位相减,就可以消除差别,从而达到化简的目的.

师:下面如何对qSn=q+q2+q3+q4+…+qn-1+qn这一等式做进一步的化简整理?(由学生分析思考,合作完成)

在整合的过程中,学生会发现2式中的前n-1项与1式中的后n-1项对应相同,这样一来就构造出了相同项.但是,在表征形式上的处理有差异.有些学生注意到如果将等式右边各项均往后错一位,那么两式中相同项的对应就更加清晰,在此基础上,用1式减2式,这些相同的n-1项立即抵消为0,得到(1-q)Sn=1-qn,从而完美地达到了化繁为简的目的.同时,适时强调指出,这样的处理方法被形象地喻为:错位相减法.

得(1-q)Sn=1-qn.

进一步化简,有些学生容易忽视:等式两边 同时除以1-q时除数要求不为0,因此要特别强调对1-q做分类讨论.当1-q≠0,即q≠1时,;当1-q=0,即q=1时,数列为常数列,an=1,此时Sn=n.

下面,我们很自然地由特殊到一般,对一般形 式进行推导.

2.一般的,等比数列的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an,在等比数列中,an=a1qn-1,∴Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1q4+…+a1qn-1.

师:要想得到Sn,依然要使用“错位相减法”,下面请同学们小组内合作交流.

教师巡视,适时提醒学生,讨论后教 师统一给 出推导过程.

关注等比数列的定义:an+1/an=q,对其变形发现an+1=anq,即等比数列中的每一项乘以q都等于其后一项,所以等式两边同乘以q,两式子错位相减得

即(1-q)Sn=a1-a1qn.

当1-q=0,即q=1时,数列为常 数列,an=a1,则Sn=na1.

师:等比数列和等差数列都有五个基本量:a1,q,n,an,Sn,那么类比等差数列两个求和公式,上述等比数列求和公式形式可不可以略加变换?

(学生合作交流,类比探究后回答“可以”)

师:这是等比数列求和公式的第二 种形式.这将为我们今后运用公式求和提供了选择的余地.形式上,前一个公式出现的是基本量中的a1,q,n,Sn四个,后者出现的是基本量中的a1,q,an,Sn四个.需要提醒大家注意以下几点:

(1)求等比数列前n项和时,若已知a1,q,n,则选用公式3,若已知a1,q,an,则选用公式4;

(2)a1,q,n,Sn和a1,q,an,Sn各已知其中三个量可求出第四个量;a1,q,n,an,Sn五个量知三求二;

(3)注意公式区别:通项公式中是qn-1,而求和公式中是qn;

(4)应用求前n项和公式时q≠1,必要时应讨论q=1的情况.

公式推出后,又通过对公式特征的分析帮助学生弄清公式的形式和本质,明确其内涵与外延,为灵活运用公式打下基础.

推导方法二:等比定理法

化简整理,得(1-q)Sn=a1-qan=a1-a1qn.

(以下从略)

导后反思:定义是基础,深刻理解定义,灵活运用好定义,往往能得到一些很有价值的结论和规律.

推导方法三:分段代换法

根据等比数列的定义,我们有:

又因为Sn-1=Sn-an,代入上式,得Sn=a1+q(Snan).

即(1-q)Sn=a1-qan.

(以下从略)

以上三种推导方法,从不同的思维角度切入等比数列求前n项和的表达式,着眼点不同,侧重点各异,从而在推导方法的运用上也各有千秋.推导方法一注重补因子后错位相减,消除差异;推导方法二则侧重于前n项和公式与定义式的 联系;而推导方 法三则是 构造了Sn与Sn-1间的递推关系式,充分利用了Sn与Sn-1和首项及公比之间的关系来得到前n项和公式,希望同学们认真领悟,仔细体味,以求使思维得到更为广阔的锻炼.

(三)巩固训练,提升总结———等比数列前n项和公式的应用

1.例题剖析

【例1】运用公式解决本节开头提出的问题S30=1+2+22+23+…+229.

“230-1”这个数很大,超过了一千万,穷人是无法满足富翁要求的.同时再次使学生明确学习的意义在于学以致用.退去故事的外衣,就是等比数列求和的问题,所以在此基础上的练习就是公式的直接应用,目的是加强对公式的认识和记忆.

【例2】求下列等比数列前8项的和:

(1)1/2,1/4,1/8,…;

(2)a1=27,a9=1/243,q<0.

师生共同分析:由(1)所给条件,可得a1=1/2,q=1/2,求n=8时的和,直接用公 式即可;由(2)所给条件知,a1=27,n=8,还缺少一个已知条件,需要从a9=a1q8中通过解方程求得公比q,才能进一步利用公式求n=8时的和.另一方面,需强调注意题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q为负值.

生:(写出解答过程.)

解:(1)因为a1=1/2,q=1/2,所以当n=8时,

又由q<0,可得q=-1/3,

于是当n=8时,

本例题是考查等比数列前n项和公式的直接应用,目的是帮助学生明确解题步骤,规范解题格式,提高运算能力.

【例3】某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销 售量达到30000台?(结果保留到个位)

师生共同分析:理解题意,从中发现等比关系,抽象出等比数列,并明确这是一个已知Sn=30000求n的问题.

生:(找出等比数列中的基本量,列式,计算)

解:根据题意,每年的销售量比上一 年增加的 百分率相同.所以,从今年起,每年销售量组成一个等比数列{an},其中a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000.

答:大约5年可以使总销售量达到30000台.

本例题是一个实际背景的应用题,目的是培养学生建立模型的意识,深化公式本质,渗透方程思想,是“知三求二”的应用问题.

2.巩固练习

课本P58,练习第1、3题.

(四)课堂小结

本节学习了如下内容:

1.等比数列前n项和公式及其推导;特别是在推导过程中,学到了“错位相减法”,这一方法是解决一类求和问题的重要基础和有力工具,要引起高度重视.

2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及等比数列的基本量中 的4个量,一般需要 知道其中 的3个,才能求出另外一个量.另外应该注意的是,由于公式有两个形式,在应用中应该根据题意所给的条件,选择适当的公式.

3.在使用等比数列求和公式时,注意q的取值是至关重要的一个环节,需要放在第一位来思考,必要时要分类讨论.

4.体现的数学思想有:类 比 思 想、分 类 讨 论 思 想 和方程思想.

(五)课后作业

基础题:课本P61习题2.5(A组)第1、2、3题.

提高题:求和(1+a)+(2+a2)+…+(2n-1+an).

探究与发现:查阅网络,思考等比 数列前n项和公式还有无其他推导方法?

五、教学反思

等比数列前n项和教案 篇3

例1 正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2，n∈N，bn=（-1）nSn，求{bn}的前n项和Tn .

解 由Sn=2，Sn-1=2（n≥2），两式相减得an=2-2，所以an-an-1=2（n≥2），所以an=2n-1，得Sn=n2，得bn=（-1）nn2.

又因为（-1）n的周期为2，所以将{bn}的连续两项视为整体，b2k-1+b2k=-（2k-1）2+（2k）2=4k-1，k∈N.

由Tn=b1+b2+…+bn，得：

① 当n=2k时，Tn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2k-1+b2k）=（4×1-1）+（4×2-1）+…+（4k-1）=4-k=；

② 当n=2k-1时，Tn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2k-3+b2k-2）+b2k-1=Tn-1-（2k-1）2=.

所以Tn=， n=2k，-，n=2k-1（k∈N）.

例2 数列{an}的通项an=n2cos2-sin2，其前n项和为Sn，求Sn .

解 由cos2-sin2=cos，得an=n2cos .

又因为cos的周期为3，所以将{an}的连续三项视为整体，a3k-2+a3k-1+a3k=9k-.

① 当n=3k时，Sn=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3k-2+a3k-1+a3k）=9×1-+9×2-+…+9k-=9-k=；

② 当n=3k-1时，Sn=Sn+1-an+1=；

③ 当n=3k-2时，Sn=Sn+1-an+1=--.

所以，Sn=--， n=3k-2，，n=3k-1，（k∈N*）.，n=3k

点评 关于形如“cn=anbn（其中bn为周期数列）”的数列的求和问题，若bn的周期为m，则需将cn的连续m项视为整体，先求出“cmk-m+1+cmk-m+2+…+cmk”的通项公式，再令n=mk，n=mk-1，…，n=mk-m+1求出Smk-m+1，Smk-m+2，…，Smk.

《等比数列前n项和》说课稿 篇4

《等比数列前n项和》选自北师大版高中数学必修5第一章第3节的内容。等比数列的前n项和是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续，也是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数;公式推导中蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数学问题中有着广泛的应用，如在“分期付款”等实际问题中也经常涉及到.具有一定的探究性。

二、学情分析

在认知结构上已经掌握等差数列和等比数列的有关知识。在能力方面已经初步具备运

用等差数列和等比数列解决问题的能力;但学生从特殊到一般、分类讨论的数学思想还需要进一步培养和提高。在情感态度上学习兴趣比较浓,表现欲较强,但合作交流的意识等方面尚有待加强。并且让学生在探究等比数列前n项和的过程中体会合作交流的重要性。

三、教学目标分析：

知识与技能目标：

(1)能够推导出等比数列的前n项和公式;

(2)能够运用等比数列的前n项和公式解决一些简单问题。

过程与方法目标：提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力。体会公式探求

过程中从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。

情感与态度目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验。

四、重难点的确立

《等比数列的前n项和》是这一章的重点，其中公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了多种重要的数学思想，因此，本节课的教学重点为等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用.而等比数列的前n项和公式的推导过程中用到的方法学生难以想到，因此本节课的难点为等比数列的前n项和公式的推导。

五、教学方法

为突出重点和突破难点，我将采用的教学策略为启发式和探究式相结合的教学方法，教学手段采用计算机进行辅助教学。

六、教学过程

为达到本节课的教学目标，我把教学过程分为如下6个阶段：

1、创设情境：

创设一个西游记后传的情景，即高老庄集团，由于资金短缺，决定向猴哥进行贷款，猴哥每天给八戒投资1万元，以后每天比前一天多1万，连续30天，但有一个条件：第一天返还1分，第二天返还2分，第三天返还4分后一天返还数为前一天的2倍.假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒决策.这是一个悬念式的实例，后面的“假如”又把学生带入了实例创设的情境，营造了积极、和谐的学习气氛，使学生产生学习心理倾向，并进一步了解数学来源于生活.

2、探究问题，讲授新课：

根据创设的情景，在教师的诱导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起两个等比数列的数学模型。提出如何求等比数列前n项和的问题，从而引出课题。通过回顾等差数列前n项和公式的推导过程，类比观察等比数列的特点，引导学生思考，如果我们把每一项都乘以2，则每一项就变成了它的后一项，引导学生比较这两个式子有许多相同的项的特点，学生自然就会想到把两式相减，进而突破了用错位相减法推到公式的难点。教师再由特殊到一般、具体到抽象的启示，正式引入本节课的重点等比数列的前n项和，请学生用错位相减法推导出等比数列前n项和公式。得出公式后，学生一起探讨两个问题，一是当q=1时Sn又等于什么，引导学生对q进行分类讨论，得出完整的等比数列前n项和公式，二是结合等比数列的通项公式,引导学生得出公式的另一形式。

3、例题讲解：

我们在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。本节课设置如下两种类型的例题：

1)例1是公式的直接应用，目的是让学生熟悉公式会合理的选用公式

2)等比数列中知三求二的填空题，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用等比数列前n项和的能力.

4.形成性练习：

练习基本上是直接运用公式求和，三个练习是按由易到难、由简单到复杂的认识规律和心理特征设计的，有利于提高学生的积极性。学生练习时，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息。对学生练习中出现的独到解法提出表扬和鼓励，对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过形成性练习，培养学生的应变和举一反三的能力，逐步形成技能。

5.课堂小结

本节课的小结从以下几个方面进行：(1)等比数列的前n项和公式

(2)推导公式的所用方法——从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。

6.作业布置

等比数列前n项和的教学设计 篇5

一、教学目标的确定 本节课的教学设计意图：

1。进一步促进学生数学学习方式的改善

这是等比数列的前n项和公式的第一课时，是实践二期课改中研究型学习问题的很好材料，可以落实新课程标准倡导的“提倡积极主动，勇于探索的学习方式;强调本质，注意适度形式化”的理念，教与学的重心不只是获取知识，而是转到学会思考、学会学习上，教师注意培养学生以研究的态度和方式去认真观察、分析数学现象，提出新的问题，发现事物的内在规律，引导学生自觉探索，进一步培养学生的自主学习能力。

2。落实二期课改中的三维目标，强调探究的过程和方法

“知识与技能、过程与方法、情感，态度与价值”这三维目标是“以学生的发展为本”的教育理念在二期课改中的具体体现，本节课是数学公式教学课，所以强调学生对认知过程的经历和体验，重视对实际问题的理解和应用推广，强调学生对探究过程和方法的掌握，探究过程包括发现和提出问题，通过观察、抽象、概括、类比、归纳等探究方法进行实践。

在此基础上，根据本班学生是区重点学校学生，学习勤恳，平时好提问，敢于交流与表达自己想法，故本节课制定了如下教学目标：

（l）、通过历史典故引出等比数列求和问题，并在问题解决的过程中自主探索等比数列的前n项和公式的求法。

（2）、经历等比数列的前n项和公式的推导过程，了解推导公式所用的方法，掌握等比数列的前n项和公式，并能进行简单应用。

课时30 等差数列及其前n项和 篇6

一、选择题

1．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝7，则a2＋a6＝()．

7911A．2B.C.D.224

2．等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1,2,3，„)，若当首项a1和公差d变化时，a5＋a8＋a11是一个定值，则下列选项中为定值的是()．

A．S17B．S18C．S15D．S14

→→→3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB＝a2OA＋a2 009OC，且A，B，C三点共线(该直

线不过原点O)，则S2 010＝()．010－ 2010A．2 010B．1 005C．2D．2

4．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2 0112，则S2 011的值为()． 2 0092 007

A．－2 010B．2 010C．－2 011D．2 011

5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()．

674737A．1升B．升C．升D．升 664433

anan＋1＋126．等差数列{an}中，a1＝a3＋a7－2a4＝4，则2的值为整数时n的个数为()． n＋3n

A．4B．3C．2D．1

7．已知函数f(x)＝cos x，x∈(0,2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m＝()．

1133A．BC．D．－2222

二、填空题

18．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝S2＝a3，则a2＝__________，Sn＝2

__________.S2 009S2 007an＋2an＋11，则a6－a5的值为__________． an＋1an

10．等差数列的前n项和为Sn，若S7－S3＝8，则S10＝__________；一般地，若Sn－Sm＝a(n＞m)，则Sn＋m＝__________.9．已知{an}满足a1＝a2＝1，三、解答题

n11．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋m·2(m是与n无关的常数且m≠0)．

(1)设bn＝n，证明数列{bn}是等差数列，并求an； 2

(2)若数列{an}是单调递减数列，求m的取值范围．

212.a2，a5是方程x－12x＋27＝0的两根，数列{an}是公差为正的等差数列，数列{bn}的前

1n项和为Tn，且Tn＝1－bn(n∈N*)． 2

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和 Sn.an

两种特殊数列前n项和的性质探究 篇7

1. 等差数列前n项和的性质

下面我们先讨论一个简单问题.

问题1如果数列{an}是公差为2的等差数列, 前n项和为Sn, 那么S3, S6-S3, S9-S6成等差数列吗?

结论:S3, S6-S3, S9-S6成等差数列.

现将问题1的结论加以推广, 可得到下面一个性质.

性质1若数列{an}是公差为d (d≠0) 的等差数列, 前n项和为Sn, 则Sm, S2m-Sm, S3m-S2m (给定m∈N+) 也成等差数列.

证明根据等差数列前n项和公式, 得.因为S2m-Sm-Sm= (S3m-S2m) - (S2m-Sm) =m2d为常数, 所以Sm, S2m-Sm, S3m-S2m (m∈N+) 成等差数列.

这一性质也可以根据等差数列的前n项和公式来证明.

上述性质1还可以进一步推广到下面更一般的结论.

性质2若数列{an}是公差为d (d≠0) 的等差数列, 前n项和为Sn, 则Sm, S2m-Sm, …, S (k+1) m-Skm, … (k∈N+) 也成等差数列, 公差为m2d (m为确定的正整数) .

证明设bk=Skm-S (k-1) m, 则bk+1=S (k+1) m-Skm (k∈N+) .根据等差数列前n项和公式, 得.所以, 对任意k∈N+, 都有bk+1-bk=m2d为常数.根据等差数列的定义知, 数列Sm, S2m-Sm, …, S (k+1) m-Skm, … (k∈N+) 是公差为m2d的等差数列.

简评上述探究过程, 充分体现了由特殊到一般的思维规律.在性质2的证明中, 计算bk+1-bk时, S (k+1) m-Skm和Skm-S (k-1) m分别是以akm+1和a (k-1) m+1为首项套用等差数列前n项和公式的, 这样做使运算得到了简化.

2. 等比数列前n项和的性质

在进行“等比数列的前n项和”的教学中, 联想到上述等差数列的前n项和所具有的性质, 通过类比, 提出下面一个问题.

问题2如果数列{an}是公比为2的等比数列, 前n项和为Sn, 那么S3, S6-S3, S9-S6成等比数列吗?

结论S3, S6-S3, S9-S6成等比数列.

将问题2的结论加以推广, 可得到下面一个性质.

性质1若数列{an}是公比为q (q≠1) 的等比数列, 前n项和为Sn, 则Sm, S2m-Sm, S3m-S2m (给定m∈N+) 也成等比数列.

证明根据等比数列的前n项和公式, 得为常数, 所以Sm, S2m-Sm, S3m-S2m (m∈N+) 成等比数列.

这一性质也可以根据等比数列前n项和的公式来证明.

上述性质1还可以推广到下面更一般的结论.

性质2若数列{an}是公比为q (q≠1) 的等比数列, 前n项和为Sn, 则Sm, S2m-Sm, …, S (k+1) m-Skm, … (k∈N+) 也成等比数列, 公比为qm (m为确定的正整数) .

简评上述探究过程, 不仅体现了由特殊到一般的思维规律, 而且渗透了类比的思想方法.在性质2的证明中, 计算时, S (k+1) m-Skm和Skm-S (k-1) m分别是以akm+1和a (k-1) m+1为首项套用等比数列前n项和公式的, 这样做可以简化运算.

以上对等差数列与等比数列的前n项和的性质作了一点探究, 但足以说明在平时的教学中, 注意挖掘课本中的例题和习题的潜在知识与内涵, 充分发挥它们在教学中的作用, 有利于培养学生解题的灵活性, 也有利于培养学生的创新思维和数学探究能力.

摘要：本文从简单问题入手, 探讨了等差数列与等比数列的前n项和的性质.教学实践说明在平时的教学中, 注意挖掘课本中的例题和习题的潜在知识与内涵, 充分发挥它们在教学中的作用, 有利于培养学生的创新思维和探究能力.

关键词：等差数列,等比数列,性质,探究

参考文献

[1]单墫主编.普通高中课程标准实验教科书.数学5 (必修) [M].江苏教育出版社, 2005.

等比数列前n项和教案 篇8

一、教什么 —— “准”

“教什么”比“怎么教”更重要，教师对教学内容的准确理解和把握，是优质教学的基点之一. 等比数列求和公式是数列求和的化简式，用这个公式可以方便地求出任意等比数列的前n项和，是数列的核心知识之一，它不但在实际生产和生活中有广泛应用，而且渗透着重要的数学思想方法. 由于教学对象是省一级重点中学学生，所以教学预设中对学习目标及教学重点、难点、关键达成了以下的共识.

（1）学习目标

①会用多种方法推导等比数列求和公式，会用等比数列求和公式解决简单的等比数列求和问题.

②在学习过程中，领悟类比思想、分类讨论思想、函数方程思想和特殊到一般、观察、归纳等解决问题的方法.

③在学习过程中，提高分析问题、解决问题的能力，提高观察、交流能力和发散性思维能力.

④在学习过程中，激发勇于探索、创新的精神，培养“用数学”的意识和合作意识，形成良好的个性品质.

（2）教学重点、难点、关键

①重点：等比数列前n项和公式的推导方法，公式的简单应用.

②难点：等比数列前n项和公式的推导方法.

③关键：揭示知识的内在联系，启迪学生研究数学问题的思想方法.

二、怎么教 —— “活”

教无定法，贵在得法. 高中数学课堂教学不追求表面的热热闹闹，应为学生的思维发展而教，应在激活学生的思维上下工夫. 本次活动执教的教师是省一级重点中学的三位一级教师，都采取“问题引导学习”的教学，教学过程以“引入—提问—探究—应用—小结”为基本教学过程，教学方法都试图采用启发式与探究式相结合.

（1）问题的引入

教师A：某建筑队，由于资金短缺，向某砖厂赊借红砖盖房，可砖厂厂长很风趣，提出了这样一个条件：在一个月（30天）内，砖厂每天向建筑队提供10000块砖，为了还本付息，建筑队第一天要向厂方返还1块砖，第二天返还2块砖，第三天返还4块砖，即每天返还的砖数是前一天的2倍，请问，假如你是某建筑队的队长，你会接受这个条件吗？

教师B：借助PPT，回顾等差数列的定义、通项公式，重现等差数列前项和公式的推导过程. 接着提出问题.国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个传说.国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子. 请给我足够的麦粒以实现上述要求.” 国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. 假定千粒麦子的质量为40克，据查，目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，你认为国王有能力满足发明者上述要求吗？

教师C：话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO，可不久，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入. 于是就找孙悟空帮忙，悟空一口答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件：作为回报，从投资的第一天起你必须返还我1元，第二天返还2元，第三天返还4元，即每天返还数是前一天的2倍.” 八戒听了，心里打起了小算盘. 假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下，能答应悟空的这个条件吗？

比较三位教师，都是通过教师创设有趣的问题情境引入新课，情境设计跟教材保持一致，趣味性十足.从课堂气氛看也充分调动了学生的学习热情，是一种好的引入方式，不足之处是学生被动接受教师抛出的学习任务. 对重点中学的学生而言，笔者觉得在思维层次上有些单薄，建议尝试以下引入方案：

新方案1：教师用电脑屏幕展示以下两个问题：

问题1：棋盘上的麦粒数（同教材的引入），详见教师B.

问题2：某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么第1年到第10年的总销售量为多少台？（教材例2的改变）

这样的设计不但让学生从数学角度看日常生活中的现象，体验数学与生活的密切联系，而且在建立数学模型的同时，可以抽象概括出更一般的问题：如何将单调、重复、烦琐的计算问题简化？从而引出本节课的研究课题——沿着古人的足迹来探究“等比数列的前n项和公式”.

新方案2：对于等比数列，我们已经研究了它的定义、通项公式，类比等差数列，同学们想一想，接下来我们要解决什么问题？

此方案是从完善认知结构的角度引入，虽然少了点趣味性，但自然流畅，且有利于培养学生的反思意识及自主提出问题的能力.

（2）问题的提出

因受“问题的引入”的牵制，三位执教教师不约而同地提出以下问题：

请同学们探究：求1+2+22+…+229的方法.

他们都是从最简单、最本质的等比数列“1，2，22，…”入手，符合学生的认知规律. 由于教师没有限制具体的计算方法，在听课过程中，笔者发现有部分学生仅仅停留在对具体“数”的计算，或逐项计算，或借助计数器，偏离了本节课的学习主题，经教师提醒后才回到教师预设的轨道上来.

如果按照“新方案”，则可以从一般的等比数列入手，提出以下的问题：｛an｝是公比为q的等比数列，求它的前n项和Sn.

并明确所要达到的目标是：将一个项数众多的求和，尽可能的用已知的基本量来简洁的表示，以简化我们的运算.

（3）问题的探究

推导等比数列前n项和公式是本节课的难点，而“错位相减法”是众多推导方法中的“核心算法”. 三位执教教师上课的共同之处是都分两个阶段完成问题的求解.第一阶段都是通过学生自主探究、合作交流，用错位相减法求得和：1+2+22+…+229，再用此算法求得一般等比数列的前n项和公式，这一阶段进行得非常顺利；第二阶段要求学生探究用其他方法推导公式，因教材没有这些内容，教师或者没有对学生作必要的策略指导，或者启发没有切中要害导致“启而不发”，最终教学过程没有在三位教师的课前预设中进行，“问题的探究”成了假探究. 三位教师在课堂的应变处理方法各不相同.

教师A：请同学们课后用其它方法推导等比数列前n项和公式. 这样做导致上课时间多余，让学生做题目来弥补.

教师B：教师用PPT展示，介绍等比数列前n项和公式的其它推导方法.

教师C：教师自己讲解其它推导方法，并在黑板上一一写出推导过程. 导致后面的教学环节时间不够，草草收场.

笔者以为本节课对“问题的探究”需要思考和研究以下三个问题：

问题1：除了“错位相减法”这个“核心算法”外，等比数列的前n项和公式的推导方法有很多，我们在时间有限的课堂如何作适当的取舍？

笔者认为应该根据学生的实际水平和课堂的生成情况，随机应变，顺势而为.

问题2：等比数列前n项的求和算法是如何想到的？可以借鉴的“化多为少”的“消项”经验有哪些？

这些方法对教师而言是天经地义的，但对学生而言则是不可思议的. 教师如何设计自然的过程，达到“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”的境界呢？笔者认为可以抓住以下三个关键点：

endprint

关键之一，揭示等比数列概念的本质：①每一项乘以q就成了它的后一项，每一项除以q就成了它的前一项，即■=q，an=q·an-1（n≥2）；②每一项都可用基本量a1，q来表示.

关键之二，根据等差数列前n项和公式特征，运用类比方法明确研究的大致方向，即用a1，n，q或a1，an，q表示等比数列的前n项和.

关键之三，启发研究问题常用的思想方法：特殊到一般、等价转化、函数方程的思想等等.

问题3：等比数列前n项和公式的其它推导方法以什么样的方式教学？

三位教师都设法从条件出发，联想有关知识和方法进行推导，其实也可以从结论出发寻求方法：通过“错位相减法”得到结论后，可以从公式的结构形式联想到新的推导方法，如，由Sn=■（q≠1），可以发现1-qn=（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）从而想到Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）=■；由Sn=■（q≠1），可以发现Sn-Snq=a1-anq，从而想到构造关于Sn的方程Sn+anq=a1+Snq求得，等等.

（4）公式的应用

教师A：已知等比数列■，■，■，….（1）求前8项和；（2）求第5项到第10项的和；（3）求前20项中所有偶数项的和.

教师B：已知等比数列■，■，■，….（1）求前8项和；（2）此等比数列的前多少项的和等于■；（3）求第5项到第10项的和.

教师 C：（1）求等比数列的前8项和：■，■，■，…； （2）求和：■+■+■+…+■；（3）求和：（x+■）+（x2+■）+…+（xn+■）（x≠0，n∈N*） .

三位教师都是在教材例1的基础上作了改编，围绕两个层次编题，各有侧重.

层次一：公式的基本应用（正用），目的是加深对公式的记忆与理解，体会等比数列的前n项和公式中有几个基本量及公式的特点，题目涉及含字母的讨论、项数等容易出错处.

层次二：公式的灵活应用（逆用、变形的应用），题目涉及构造新的等比数列、构造方程求解.

三、总结与反思

从教学过程可以看出三位教师对基本题型及解题套路非常娴熟. 笔者认为还可以作些改进.首先可以让学生回到“问题的引入”中，让学生运用公式解决问题，既体现公式的应用性，又能前呼后应. 其次，还可以在“错位相减法”及研究问题的方法上作适度的引申和拓展，让学有余力的学生的思维更上一个台阶.

三位教师都围绕知识点、思想方法让学生自己进行小结，教师作必要的补充完善.

笔者认为，“总结与反思”应从知识的归纳进一步延伸到思想方法提炼，把数学学习作为提高学生数学素养和文化水平的有效途径. 对解决问题的思想方法应避免“贴标签”式的总结，要凸显本质. 如“错位相减法”的适用范围，适用于等差数列与等比数列对应项乘积得到的新数列的求和. 又如，引导学生反思本节课研究问题的基本思路.

再如，作为研究问题方法的延伸，作为弹性作业，课后可以让有兴趣的学生探讨“等和数列”、“等积数列”的前n项和，使学有余力的学生的创造性有进一步发展的空间.

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关键之一，揭示等比数列概念的本质：①每一项乘以q就成了它的后一项，每一项除以q就成了它的前一项，即■=q，an=q·an-1（n≥2）；②每一项都可用基本量a1，q来表示.

关键之二，根据等差数列前n项和公式特征，运用类比方法明确研究的大致方向，即用a1，n，q或a1，an，q表示等比数列的前n项和.

关键之三，启发研究问题常用的思想方法：特殊到一般、等价转化、函数方程的思想等等.

问题3：等比数列前n项和公式的其它推导方法以什么样的方式教学？

三位教师都设法从条件出发，联想有关知识和方法进行推导，其实也可以从结论出发寻求方法：通过“错位相减法”得到结论后，可以从公式的结构形式联想到新的推导方法，如，由Sn=■（q≠1），可以发现1-qn=（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）从而想到Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）=■；由Sn=■（q≠1），可以发现Sn-Snq=a1-anq，从而想到构造关于Sn的方程Sn+anq=a1+Snq求得，等等.

（4）公式的应用

教师A：已知等比数列■，■，■，….（1）求前8项和；（2）求第5项到第10项的和；（3）求前20项中所有偶数项的和.

教师B：已知等比数列■，■，■，….（1）求前8项和；（2）此等比数列的前多少项的和等于■；（3）求第5项到第10项的和.

教师 C：（1）求等比数列的前8项和：■，■，■，…； （2）求和：■+■+■+…+■；（3）求和：（x+■）+（x2+■）+…+（xn+■）（x≠0，n∈N*） .

三位教师都是在教材例1的基础上作了改编，围绕两个层次编题，各有侧重.

层次一：公式的基本应用（正用），目的是加深对公式的记忆与理解，体会等比数列的前n项和公式中有几个基本量及公式的特点，题目涉及含字母的讨论、项数等容易出错处.

层次二：公式的灵活应用（逆用、变形的应用），题目涉及构造新的等比数列、构造方程求解.

三、总结与反思

从教学过程可以看出三位教师对基本题型及解题套路非常娴熟. 笔者认为还可以作些改进.首先可以让学生回到“问题的引入”中，让学生运用公式解决问题，既体现公式的应用性，又能前呼后应. 其次，还可以在“错位相减法”及研究问题的方法上作适度的引申和拓展，让学有余力的学生的思维更上一个台阶.

三位教师都围绕知识点、思想方法让学生自己进行小结，教师作必要的补充完善.

笔者认为，“总结与反思”应从知识的归纳进一步延伸到思想方法提炼，把数学学习作为提高学生数学素养和文化水平的有效途径. 对解决问题的思想方法应避免“贴标签”式的总结，要凸显本质. 如“错位相减法”的适用范围，适用于等差数列与等比数列对应项乘积得到的新数列的求和. 又如，引导学生反思本节课研究问题的基本思路.

再如，作为研究问题方法的延伸，作为弹性作业，课后可以让有兴趣的学生探讨“等和数列”、“等积数列”的前n项和，使学有余力的学生的创造性有进一步发展的空间.

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关键之一，揭示等比数列概念的本质：①每一项乘以q就成了它的后一项，每一项除以q就成了它的前一项，即■=q，an=q·an-1（n≥2）；②每一项都可用基本量a1，q来表示.

关键之二，根据等差数列前n项和公式特征，运用类比方法明确研究的大致方向，即用a1，n，q或a1，an，q表示等比数列的前n项和.

关键之三，启发研究问题常用的思想方法：特殊到一般、等价转化、函数方程的思想等等.

问题3：等比数列前n项和公式的其它推导方法以什么样的方式教学？

三位教师都设法从条件出发，联想有关知识和方法进行推导，其实也可以从结论出发寻求方法：通过“错位相减法”得到结论后，可以从公式的结构形式联想到新的推导方法，如，由Sn=■（q≠1），可以发现1-qn=（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）从而想到Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）=■；由Sn=■（q≠1），可以发现Sn-Snq=a1-anq，从而想到构造关于Sn的方程Sn+anq=a1+Snq求得，等等.

（4）公式的应用

教师A：已知等比数列■，■，■，….（1）求前8项和；（2）求第5项到第10项的和；（3）求前20项中所有偶数项的和.

教师B：已知等比数列■，■，■，….（1）求前8项和；（2）此等比数列的前多少项的和等于■；（3）求第5项到第10项的和.

教师 C：（1）求等比数列的前8项和：■，■，■，…； （2）求和：■+■+■+…+■；（3）求和：（x+■）+（x2+■）+…+（xn+■）（x≠0，n∈N*） .

三位教师都是在教材例1的基础上作了改编，围绕两个层次编题，各有侧重.

层次一：公式的基本应用（正用），目的是加深对公式的记忆与理解，体会等比数列的前n项和公式中有几个基本量及公式的特点，题目涉及含字母的讨论、项数等容易出错处.

层次二：公式的灵活应用（逆用、变形的应用），题目涉及构造新的等比数列、构造方程求解.

三、总结与反思

从教学过程可以看出三位教师对基本题型及解题套路非常娴熟. 笔者认为还可以作些改进.首先可以让学生回到“问题的引入”中，让学生运用公式解决问题，既体现公式的应用性，又能前呼后应. 其次，还可以在“错位相减法”及研究问题的方法上作适度的引申和拓展，让学有余力的学生的思维更上一个台阶.

三位教师都围绕知识点、思想方法让学生自己进行小结，教师作必要的补充完善.

笔者认为，“总结与反思”应从知识的归纳进一步延伸到思想方法提炼，把数学学习作为提高学生数学素养和文化水平的有效途径. 对解决问题的思想方法应避免“贴标签”式的总结，要凸显本质. 如“错位相减法”的适用范围，适用于等差数列与等比数列对应项乘积得到的新数列的求和. 又如，引导学生反思本节课研究问题的基本思路.

再如，作为研究问题方法的延伸，作为弹性作业，课后可以让有兴趣的学生探讨“等和数列”、“等积数列”的前n项和，使学有余力的学生的创造性有进一步发展的空间.