空间几何体表面积体积

空间几何体表面积体积（推荐13篇）

空间几何体表面积体积 篇1

一、选择题

1.(福建文)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( ).

A. B.2 C. D.6

考查目的：考查立体几何中的三视图，识图的能力、空间想象能力等基本能力.

答案：D.

解析：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，∴底面积为，侧面积为.

2.(辽宁文)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( ).

A.4 B. C.2 D.

考查目的：考查立体几何中的三视图与几何体的转换以及相应线段的转化关系.

答案：B.

解析：由俯视图知该正三棱柱的直观图为下图，其中M，N是中点，矩形为左视图.

设棱长为，∵体积为，∴，解得，∴，∴矩形面积为.

3.(2011湖南文)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ).

A. B. C. D.

考查目的：考查组合体体积的求解.

答案：D.

解析：由三视图知这个几何体由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3，高为2的长方体所构成的几何体，其体积

二、填空题

4.(上海文)一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 .

考查目的：考查圆柱的表面积.

答案：.

解析：∵底面圆的周长，∴圆柱的底面半径，∴圆柱的侧面积为，两个底面积为，∴圆柱的表面积为.

5.(浙江)若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则此几何体的体积是 .

考查目的：考查根据三视图求几何体体积.

答案：18.

解析：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18.

6.(2011安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 .

考查目的：考查根据三视图求几何体表面积..

答案：.

解析：由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的`直四棱柱(如图所示)，∴该直四棱柱的表面积为.

三、解答题：

7.(2011湖北改编) 设球的表面积为，体积为，它的内接正方体的表面积为，体积为，求，.

考查目的：考查球和正方体的表面积和体积计算，比较球和其内接正方体的表面积、体积之间的关系.

答案：，.

解析：设球的半径为，则，.设正方体的边长为，则，.又∵，∴ ，，即 ，.

8.已知：一个圆锥的底面半径为，高为，在其中有一个高为的内接圆柱.

⑴求圆柱的侧面积;

⑵为何值时，圆柱的侧面积最大.

考查目的：考查几何体的侧面积的计算，考查对组合体的分析能力，空间想象能力及推理运算能力.

答案：⑴;⑵.

解析：⑴设内接圆柱底面半径为，，∵，∴.②代入①得;

空间几何体表面积体积 篇2

案例一:

在众多发展学生空间观念的教学手段中,“画图”有其特殊的意义与作用。因为小学生好动,“画图”既顺应儿童好奇的特点,又与新课程标准中注重发展学生的空间观念与几何直观有更直接的关系。同时,通过“画图”还可以有效感知几何事实,获得关于几何公理的感性认识。这样既增加了学生动手操作方面的数学素养,还促进了空间观念中各个知识内容的核心素养的培养。

如,在教学“平行四边形的面积”这节课时,教师让学生大胆尝试求一个两条邻边分别为7厘米、5厘米,高为3厘米的平行四边形的面积,部分学生很快做成7×5=35cm2。对此,学生说得“有理有据”—平行四边形易变形,拉一下就能变成长方形。也有学生看到数字不加思考地乱用。面对这些想法,教师怎么办呢?

1.强调面积公式中的对应思想。

前面推导平行四边形面积公式时,平行四边形的面积=底×高,其条件是用底乘底边上对应的高。

2.再用直观教具进行演示。

老师向学生演示平行四边形木条的活动框架。

3.尝试想象并画图理解。

师:你能把平行四边形拉动变成长方形的样子吗?尝试画一画。(生在作业单上画,如图1。)

(师巡视指点:两条邻边分别是7 cm,5 cm,拉到垂直后还是7 cm,5 cm。)

4.在直观教具演示后,再在黑板上画出图形进行对比。(略)

从几何直观、动手操作、观察比较与想象画图入手,不仅刺激了学生的空间知觉,还有利于促使学生空间表象核心素养的形成。这一过程中,画图既是手段又是目的。正是因为有画图这一手段,学生才逐渐明确“平行四边形拉动成长方形后,斜边站直了,整个图形变高了”这一关键变化。进而做到清晰地“描述图形的运动和变化”(新课标对空间观念的描述)。不仅提高了动手能力,还在动手操作与想象思考之间,在空间观念的“显性目标”与“隐性目标”之间,互为参照,不断验证,进而促进空间观念的发展与核心素养的培养。

案例二:

怎样在“画图”中实现从二维空间观念到三维空间观念核心素养的培养?教学“三角形的三边关系”内容时,在这节课快要结束时的一道拓展题:一个三角形,一条边长12分米,另外两条边的和是14分米。另外两边分别为多少(整数分米)?

师:(开始学生很疑惑)动手画画你就知道了。

生1:我画的是12分米、7分米、7分米的三角形。

生2:我画的是12分米、10分米、4分米的三角形。

生3:哦!我知道了,只要把14分解就可以了。比如一条边12分米固定不变,另外两条边把14分为1和13,或者2和12,或者3和11,或者4和10,或者5和9,或者6和8,或者7和7。

生4:老师,他说的第一种情况是不对的,14可以分解成1和13。但是,14里面分出的“1分米”的边与题目中固定不变的“12分米”的边相加后,出现13等于13啦,没有达到“两边之和必须大于第三边”围成三角形的条件。

生5:既要考虑把14分解成几和几,也要考虑它们能不能画成三角形(三角形的三边关系)。

师:你们能按顺序把所有的情况都画出来吗?(能)教师也用课件画了,请看图2,所画的这些三角形像什么?

生1:像一座山峰!

生2:像鸟巢!

生3:像一座伟大的建筑物!

(教师在课件上覆盖一张国家大剧院图,如图3。)

生:哇,太漂亮了!

师:同学们再看一遍。这些数字在不断地变呀、变呀,这些平面图形也跟着变呀、变呀,最后变出了一座国家大剧院。

这一环节的处理十分注重抽象与具体相映照,操作画图与自我释疑相融入。学生空间观念核心素养的培养,从形体平面图形的直觉感知到想象思维的巧妙过渡。学生与教师课件出示的“画图”都给学生创设了更多的数学想象与直觉活动空间,动手画图是培养学生空间观念的重要途径,而进行适时的思考是提升学生空间观念与核心素养培养的关键。画图中学生相当于用三条线段围三角形,甚至更难,因为有两条线段长度不确定。在画三角形中,要找出一两种符合条件的三角形并不难,要找全就要根据已有经验,对表象进行加工并重新组合,抓住知识本质进行理性思考。也就是学生看教师课件“画图”中逐渐明确规律,为立体图形与平面图形之间搭建了一座无形的桥梁!更关注学生的参与是否获得更大的思维价值。既提高了动手能力,体验了有序思考的思想方法,又成功沟通了平面图形与立体图形直觉的联系,最终实现了从二维空间观念到三维空间观念的形成与过渡。

案例三:

在小学阶段,三角形、梯形、圆的面积公式的来历,以及长方形旋转成圆柱,三角形旋转成圆锥等这些内容的教学,都可以在用学具操作时,或是用学具进行动手操作后,再画一画“图形”。从而实现使学生从认识单一的空间观念的核心素养到认识多元核心素养的华丽转身。

如,在教学“圆柱体的体积和表面积”的练习课中,教师出示了一张长12.56厘米、宽6.28厘米的长方形纸:

师:这里有一个立体图形,你知道它是什么样的吗?

生1:可以把纸卷起来,长边对接,这样就围成一个圆柱。(如图4)

生2:卷的时候也可以把宽边对接。(边演示边说,如图5。)

师:卷成圆柱后你还能标出圆柱的相关数据吗?

生:能。(标注数据)

师:应该还有大小不一样的圆柱吧?(短暂的思考后)

生3:旋转也能得到圆柱,但是很难转成功。(旋转纸张

师:那就试着画一画。

(生画图,标数据,如图6、图7。)

(师组织学生计算各图形的体积和表面积。)

空间观念中最重要的核心素养之一是想象,而加强“画图”这一几何直观的教学理念,更是让想象落到实处。这就是在教学中发展空间观念与核心素养的主要方法和手段。上述教学中,图6、图7是不容易现场操作的,但要求学生做好学具后动手操作围一围,然后闭上眼睛想象是怎样围的?让学生在平面图形与立体图形之间充分对接,充分想象,将脑海中想象出来的再画一画,让表象存于脑中又显于眼前,圆柱的各数据就更容易看出来,同时体验积于心中,更有利于促进思考,并帮助学生有效衔接“物体外在表征”和数学“内在本质”的联系,在画一画的活动中逐步渗透,全面发展学生空间观念。在浓浓的数学气息中,学生懵懂的空间观念得以进一步发展。

空间几何体表面积体积 篇3

在潘皓的作品中，我们会十分明显地感受到来自塞尚的这一形式趣味，以及由这一趣味给他的作品带来的特有魅力。

潘皓很早就对塞尚的工作方式情有独钟，早在广州美院上学的时候他就喜欢塞尚的艺术，这可能与他的老师——一位身边的大师级人物王肇民有关。王肇民以塞尚的方式画的静物是一流的，他宣称“形就是一切”。他画的虽然是一些“水果”，却具有震撼人心的力量（当然不是水果的力量，而是“形式”的力量）。

80年代末，潘皓到日本多摩美术大学“读研”，他的这一艺术取向得到他的导师田中先生的鼓励和认可。因此，在日本学习的几年中，他的这一风格愈益明朗。90年代末他到欧洲考察，有感于欧洲古典主义的完美，以及国内写实主流地位，使他一度纠结于自己的原有探索，于是他在2000年左右尝试重返写实，回到一种以再现对象为目标的写实主义状态。作品开始注重人物的塑造和个性的刻画。这一新的取向不仅验证了他扎实的写实功力，而且受到油画前辈的肯定，但他最终还是遵从内心的指引，终止了朝着这一方向转化的可能性。重新回转到他日渐成熟的风格中来，继续以他自己的语言方式表达他内心的感悟。2003年，潘皓考取了中央美院博士生，师从詹建俊先生。在新的学习环境中，他有条件也有时间来重新思考自己的问题，加以导师在色彩和造型两个方面所给予的关键性点拨，使他更坚定了原来的艺术路线，作品的效果也愈益鲜明和强烈。而这条“寓抽象于具象”的、具有立体主义风格的路线，也决定了潘皓艺术的基本特点，构成了潘皓艺术的基本面貌。

潘皓的艺术具有很强的造型性，立体主义表现手法并没有改变他的作品的具象特征。但不放弃对形象的表现并不等于以再现对象为目标。弄清这个问题对理解潘皓的艺术至关重要。潘皓自己十分清楚这个目标，他在一次接受采访时曾经这样讲：“我的画从表面上来说是写实的，但我会把看不到的东西搬过来，当然搬过来的也都是写实的。其实就是把两个看起来不相关联的东西放在一起。把画面打成一个二维而非三维的空间把东西平行放置，展现出来，这种方法借鉴了很多立体派的手法。”潘皓要把“看不到的东西搬过来”，这“看不到的东西”所指何为？为什么这“看不到的东西”搬过来以后“也都是写实 的”？其实，这也就是一个主观处理对象世界的过程。所谓“看不到”是指一般人看不到，而并非画家自己看不到。罗杰·弗莱在阐释塞尚的作品时说过的一段话有助于我们理解这个过程。他说:“呈现在艺术家视觉中的实际对象首先被剥夺了那些我们通常借以把握其具体存在的独特特性——它们被还原为纯粹的空间和体积元素。在这个被简化的世界里，这些元素得到了艺术家感性反应中的知性成分的完美重组，并获得了逻辑一致性。这些经过简化的东西又被带回到真实事物的具体世界，但不是通过归还它们的个别特性，而是通过一种持续变化和调整的肌理来表达它们。它们保持着删拨大要的可理解性，保持着对人类心智的适宜性，同时又能重获真实事物的那种现实性……”这段话，把塞尚的工作方式的独特性以及所产生的价值阐释得无以复加。同时，也为我们理解潘皓的艺术打通了门径。

罗杰·弗莱是西方现代主义批评的奠基人，早在1910年他就断言塞尚是“伟大的原创性的天才”，“是他开创了一个新的运动，现时代最有希望、最有成果的运动。”他是塞尚艺术最权威的阐释者和最有力的支持者，但他的形式主义批评理论既有别于克莱夫·贝尔，也不同于后来的格林伯格。他强调的形式是具有“造型性”的形式，形式当其是“造型的形式”时才是最具意义的，所谓“造型的”是指能直接唤起三维效果的体块和空间。基于这个原因，他认为“平面性”本身是没有意义的。而这个与格林伯格相左的观点，正好用来解释潘皓的作品。在日本留学时，他的导师是画抽象画的，但他并没有学他的导师，而是在还原“纯粹的空间和体积元素”时仍然坚守着造型的原则。

潘皓对造型的持守，恐怕还不止出于纯粹形式的原因，还可能跟他坚持表达内心情感的愿望有关。历数潘皓的作品，大多是出发于内心的驱动，与个人情感相关的日常生活，以及都市生活所见。但无论怎样，一旦进入画面时，最让他钟情的还是那些“看不到的东西”，当他一步步把这些常人看不到的东西“还原为纯粹的空间和体积元素”时，潘皓所追求的形式趣味便清晰地呈现出来。而这一形式趣味，正是源于塞尚这位现代艺术之父所导引的那场“趣味革命”。

潘皓在他的作品中所创造的形式趣味，已经转化为他自身的一种内在需要，这种内在需要和他的情感表达在视觉上呈现为一种同一性结构，也即通过“切割”手段所体现的形式趣味与通过造型手段所传达的情感诉求自然地熔融在一起。如果我们尝试对他那些潜藏在造型之中的形式元素也来一次“切割”（见局部截图），我们就会更加清晰地看到画家在暗中所做的文章是如何地深入、如何地用心、如何地精彩，又如何地富有魅力。

在当代油画画坛，潘皓这个名字，虽然还不为大家所熟知，但他的艺术却是十分值得大家关注的。因为还很少有画家能像潘皓这样，在塞尚所开创的立体主义这条文脉上清晰地、卓有成效地和有条不紊地工作。

潘皓

中央美术学院教师 副教授

1962年生于广东

1987年毕业于广州美术学院

1989年留学日本

1991年多摩美术大学研究科入学

1994年多摩美术大学毕业（硕士学位）

1997─1998年赴欧洲考察研修

2003年中央美术学院研究生部首届博士油画班，师从詹建俊先生2009年获首届中央美术学院油画专业博士学位并任教至今

试计算酒桶体积和表面积 篇4

我读了《趣味几何学》，在“黑暗中的几何学”一章中，我了解了酒桶，对它体积和表面积近似计算时，可用图1：

即把酒桶看作两个截圆锥体，想算截圆锥体体积，要从圆锥体入手，从图2左图中可以看出，我们把圆锥沿底面半径切成如图2右图的近似的三棱锥无限个，要研究的仅是特定的一种三棱锥：

图1

把这个三棱锥扩成三棱柱，再扩为长方体，只需要证明三棱锥体积为长方体的，就说明了圆锥体积是等底等高的圆柱体的，过程见图3。

图2,左图2,右图3

可以从长方体中切去如图4的与原三棱锥全等的三棱锥3个，即ABDE、BCDG、DEGH，可得图5:

DABCDBHEJ图5，左FGE图5，右FG图4

从图5中看出，剩下的是一个与原三棱锥全等的三棱锥BEFG，还有一个大三棱锥BDEG，只要证明三棱锥BDEG的高是三棱锥BEFG的2倍即可（实际要证明三棱锥BDEG体积是三棱锥BEFG的2倍，因为底面积相等，故用高代替）。看点划线长方形BDFH，取出它，如图6：

D2H12B:J:1图61F

从图中来看，DO是FO的三倍长，那么这两条线与两个三棱锥高有什么关系呢？可看图5中波浪线长方形，如图7：

（以下证明该图的正确：由于两条线DQ、PF都是与面BEG垂直且在面MNWZ上，而又是面MNWZ与面BEG的相交线，故PF及DQ都与

垂直，同时也说明二者平行，而D、F两点都在面MNWZ上，两点的连线必然在面MNWZ上，同样又由于

又是面MNWZ与面BEG的唯一的相交的部分，线上，P、Q、O三点且O点是DF线与面BEG的唯一相交点，故O点也在共线）从图中可以看出，由于三角形DOQ和FOP相似，前面已证明DO是FO的两倍，故DQ是PF的两倍，而DQ、PF分别是两个三棱锥的高，则证明三棱锥BDEG体积是三棱锥BEFG的两倍。

综上所述，可得出圆锥体积公式：

再来看截圆锥体，如图8：

krhR

截圆锥体是两个圆锥相减的结果，为了分别知道圆锥的高，需要知道k，为此，我们看截圆锥体的截面，如图9：

图7krhR图8从中可以得出比例式：

然后分别求两个圆锥的体积：

故截圆锥体体积为：

来看酒桶，它近似于两个全等的截圆锥体，如图10：

rRhr图9

故可用截圆锥体公式来计算酒桶体积。

那么酒桶表面积呢？同样近似于截圆锥体。截圆锥体表面积也要从圆锥说起。如图11：

L

如上图点划线所示，可以把圆锥的侧面分成无数多个近似的三角形，它们的高是L，底之和为2，面积之和为： 图10即圆锥的侧面积为截圆锥侧面展开后得图12：

tL2лr2лR图11截圆锥的截面为图13：

trR

从图12中可以看出：

L图12根据图11，分别求两个扇形的面积（利用圆锥侧面积公式）：

即截圆锥体表面积为:

来看木桶，如图14：

rLR图13

加上下底面，表面积近似于：

空间几何体表面积体积 篇5

陈

俐

练习内容：西师版教材12册总复习p114 例1及相关练习

练习目标：

1、使学生加深理解和掌握已学立体图形表面积和体积（容积）的计算方法，能根据已知条件计算这些立体图形的表面积及体积（容积）。

2、感受运用立体图形知识解决生活中实际问题的一般策略。

3、通过练习，进一步发展学生解决问题的能力和空间观念。练习重点：运用立体图形表面积、体积的知识解决生活中的实际问题。练习难点:运用立体图形表面积、体积知识解决实际问题的一般策略。练习过程：

一、基本练习

1、昨天，我们已经对立体图形的特征，表面积和体积进行了整理和初步的复习，这节课我们将利用这些知识进行综合练习。

2、只列式，不计算。

（1）一个长方体的长8cm，宽4cm，高6cm，求它的表面积。（2）正方体棱长为2.5dm，它的体积是多少?（3）圆锥的底面直径为10cm，高15cm，求体积。①学生独立完成。

②说列式，指第三题为什么这样计算？依据是什么？运用圆锥体积公式要特别注意什么？

二、指导练习

（一）p114 例1 时代广场有一个圆柱形水池，底面直径5m，深0.8米。（1）如果要在水池的底面和内壁贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？（2）每平方米瓷砖25.5元，购买瓷砖需要多少元？（3）每立方米水重1吨，这个水池最多能装多少吨水？

1、立体图形在生活中的运用非常广泛，大家看这个水池（课件出示例1图片和条件），仔细看，想想说的是一件什么事儿?解决这些问题要用到学过的哪些知识？

2、学生独立完成，一人板演。

3、交流解题思路，教师根据学生回答相机提问。①为什么求贴瓷砖的面积就是求圆柱的表面积？

②接下来看第二个问题18.84*30。18.84是什么？又用到了什么知识？（单价×数量=总价）

③第三个问题呢？为什么求水的重量要先求水池的容积？

4、同学们分析得很好，刚才我们解决了水池贴瓷砖、装水的实际问题，那么在解决生活中实际问题的时候要注意些什么呢？

5、师根据学生的回答梳理出

“看信息

想形体

选公式” 的解题策略。

三、巩固练习

1、想想下面的问题求的什么？

（1）做一个圆柱形油桶要用铁皮多少平方分米？（2）一个正方体木箱占多大的空间？（3）压路机的滚筒直径6米，高1.8米，滚动一周压过的路面。

（4）一个长方体的沙坑，如果长6米，宽4米，高1.2米。里面要铺垫0.9米厚的沙子，需要多少立方米沙子？

2、只列式不计算

（1）用铁皮做一对棱长为8厘米的正方体无盖盒子，需要铁皮多少平方厘米？

（2）教室长9米，宽6米，高3米，现在要用涂料粉刷它的四壁和房顶，扣除门窗和黑板的面积24平方米，粉刷面积是多少平方米？

（3）冬天护林工人给圆柱形的树干的下端涂防蛀涂料,（涂刷部分 d=3分米

h=6分米）求粉刷树干的面积大约是多少平方分米？

3、P116第5、6题。学生独立练习，集体评讲。

空间几何体表面积体积 篇6

能运用表面积、体积的相关知识解决实际问题。

【教学过程】

一、整理与反思

1.计算下面立体图形的表面积。

(1)揭题:同学们,今天这节课我们共同复习“立体图形的表面积和体积”。

(2)出示上图:谁来说一说什么是长方体、正方体和圆柱的表面积?你会算这三个立体图形的表面积吗?

(3)学生独立完成,集体订正。

(4)指名说一说正方体、长方体和圆柱的表面积各怎样计算?

2.

(1)刚才复习了立体图形的表面积,谁来说一说什么是物体的体积?什么是容器的容积?体积和容积有区别吗?

(2)出示上图:你还记得这四种图形的体积怎样求吗?字母公式是什么?

(3)指名汇报。

(4)学习不仅要知其然,还要知其所以然。这些立体图形体积的计算公式是怎样推导出来的,你还记得吗?

(5)小组交流。结合学生汇报,课件出示过程。

3.求下面立体图形的体积。(课件出示)

(1)一个正方体,底面周长是8dm。

(2)一个长方体,底面是边长12cm的正方形,高是50cm。

(3)一个圆柱,底面周长是12.56cm,高是5cm。

(4)一个圆锥,底面半径是3cm,高是4.5cm。

(1)过渡:刚才我们一起回顾了这些立体图形的体积公式和公式的推导过程,下面我们就来运用这些公式。

(2)学生逐题完成(指名板演),集体订正。

4.在括号里填合适的单位。

(1)一间卧室地面的面积是15( )

(2)一瓶牛奶大约有250( )

(3)一间教室的空间大约是144( )

(4)一台微波炉的体积是92( ),容积是25( )

(1)师:我们学过的面积单位从小到大分别有哪些?我们学过的体积单位从小到大分别有哪些?如果物体是液体时,它的体积我们一般用什么来表示?

(2)学生完成填空,指名回答。

(1)提问:相邻体积间的进率是多少?

(2)学生完成填空,指名回答。

6.过渡:刚才我们复习了立体图形的表面积和体积的相关知识,下面我们一起来运用这些知识解决实际问题。

二、拓展训练(课件逐题出现问题,逐一进行解答)

1.一个长方体鱼缸,长40厘米,宽40厘米,高35厘米。

(1)它的左侧面的玻璃打碎了,要重新配一块。重新配上的玻璃是多少平方厘米?是多少平方分米?

(2)如果把金鱼缸放在柜子上,柜子上至少留出多大的面积?

(3)做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米?

(4)李叔叔在购买这个鱼缸时为了方便携带,用一个外包装是长42厘米,宽42厘米,高38厘米的长方体纸箱来装。做这样一个纸箱至少需要硬纸板多少平方厘米?(接头处忽略不计)

(5)鱼缸所占的空间有多大?

(6)在鱼缸里注入32000毫升水,水深多少厘米?(玻璃的厚度忽略不计)

(7)再往水里放入一些鹅卵石,水面上升了5厘米。鹅卵石的体积一共是多少立方厘米?

(8)如果鱼缸玻璃的厚度是2厘米,那么鱼缸的容积是多少毫升?

2.制作下面圆柱形物体,至少各需要多少铁皮?

油桶: 底面半径4dm高12dm; 水桶L底面直径40cm高50cm;通风管:管口周长0.628m长1.2m。

(1)提问:这三个物体的形状各有什么特点?

(2)学生独立解答。

【教学反思】

如果说新课教学是“画龙”,那么复习则是“点睛”。但很多老师感到“复习课难上、复习课难教”,怎样才能让复习课上的更有效呢?下面谈谈结合这节课的设计谈谈我的一些粗浅的想法。

一、引导学生自主参与知识的梳理

本节课中我充分发挥学生的自主性,让学生参与归纳、整理的过程,课的一开始,我让学生回忆了什么叫立体图形的表面积,各应该怎样算,接着让学生回忆了什么叫体积?什么叫容积?体积和容积有什么区别?计算公式是什么?体积公式是怎样推导出来的……学生通过自我学习、自我整理、合作讨论参与,最后以自己独特的方式梳理成出知识网络。

二、建立知识系统注重拓展延伸

在复习过程中,必须对数学知识加以系统整理,依据基础知识的相互联系及相互转化关系,梳理归类,分块整理,重新组织,变为系统的条理化的知识点。使学生所学的分散知识系统化。另外在复习课中要精心设计开放性、综合性的习题,给学生提供一个能够充分表现个性、激励创新的空间,让学生自己动手、动脑、动口,引导和帮助学生用所学的数学知识去发现问题和解决问题,把知识结构转化为认知结构,促进学生智力、能力的发展。

空间几何体表面积体积 篇7

③一个圆柱体的底面直径是5分米，高也是5分米，这个圆柱体的表面积是多少平方分米？ ④把一根底面直径是4分米，高是10分米的圆柱形木材，沿着直径对半锯开，每块木材的表面积是多少？表面积增加了多少平方分米？

⑤一个圆柱体木料，如果把高减少2分米，表面积就减少9.42平方分米，求减少部分的体积是多少？

⑥一个圆柱形容器，底面半径是10厘米，将一个物体放入容器内，水面上升1.5厘米，求这个物体的体积？

⑦有铁皮30平方米，最多能做底面直径和高都是3分米的无盖水桶多少个？

⑧有一根长1米的圆柱形钢材，把它截成4段都是圆柱形钢材，表面积增加56.52平方分米，已知每立方分米钢重7.8千克，原来这根钢材重多少千克？

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适用版本：

人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文A版,语文S版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新

版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科：

语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理

适用年级：

一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初

适用领域及关键字：

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空间几何体直观图 篇8

(2)投影出示几何体的三视图、课本p15图1.2-9，请说出三视图表示的几何体?并用斜二测画法画出它的直观图。教师组织学生思考，讨论和交流完成，教师巡视帮不懂的同学解疑，引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系。

4.平行投影与中心投影

投影出示课本p17图1.2-12，让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形的各自特点。。

(三)巩固练习

课本p16练习1(1)，2，3，4

五、课后反思

对这一节的收获是什么?有什么问题期待解决?

六、作业设计：。

课本p17 练习第5题

空间几何体表面积体积 篇9

传统的数学教学中,教师注重的是培养学生的“问题解决”能力,而忽略了学生提出问题、探究问题能力的培养.爱因斯坦曾说过:“提出一个问题比解决一个问题更重要,因为提出一个问题更需要创造性的想象力.”因此,教师不仅要教会学生解决问题的方法,更要教会学生提出问题、分析问题、解决问题的各项能力.

但问题从哪里来?从教师根据教学设计而来,从生活中体验而来,更重要的是从学生自身的求知需求而来.由贵州师范大学吕传汉、汪秉彝两位教授主持的中小学数学“情境——问题”教学模式,就是以数学情境为基础,以数学问题为纽带的教学.即创设一个合适、有趣的情境,引导学生提出问题,通过师生互动、质疑探究,采取提出问题和解决问题齐头并进,产生“情境——问题——解决——应用”的学习链,来拓展学生的思维和创新能力的培养,这与新课标所倡导的理念是完全一致的.因此笔者在平常的教学中尽量尝试让学生发现问题、提出问题,促使他们更为积极、主动地探索下去,从而拓展学生思维,培养其创新能力.下面是笔者在九年级复习阶段的一次教学尝试.

二、教学实录

1. 问题提出,诱发思考

问题:如图1,有一个长方体,它的长是4,宽是3,高是5,在A处有一只蚂蚁,它想吃到C1处的食物,沿着表面需要爬行的最短路程是多少?

问题提出后,学生们纷纷开始思考、计算,不一会儿,有几名学生举手了.

生1:答案是.方法是将平面ABB1A1和平面A1B1C1D1摊平成一个平面(如图2),则对角线A′C1的长为所求,由勾股定理,得.生2:我的答案是.方法是将平面ABCD和平面BCC1B1摊平成一个平面(如图3),则对角线AC′的长为所求,同样由勾股定理可以求得.因为>,所以我想我的答案肯定不是最短的.

师:还有比这更短的路程吗?

(同学们陷入了思考中,隔一会儿,突然一同学激动地站起来.)

生3:他们两个的答案都是错误的.

师:为什么?

生3:(跑上讲台,递上自己画的图请老师投影)这道题目应该分三种情况.

沿蚂蚁所经过的三条棱,将长方体相应的侧面剪开成如图的三种图(图2、图3、图4),由勾股定理分别求得:

(同学们热烈鼓掌,对他的回答表示非常满意.)

2.自创情境,学生提问

师:老师出的题大家已经解决了,不过通过这道题,大家联想到了什么?你还想知道哪方面的知识,并能提出哪些类似的问题?

(学生们经过短暂思考,逐一举手提问,老师筛选出几个符合本节课教学目标且具有一定研究价值的问题,这些问题经过老师适当修改,增减数据而成.)

问题一:长方体→正方体.

问题二:长方体→圆锥.

题目:如图5,圆锥的底面半径为1,母线长为3,一只蚂蚁从底面圆周上一点A出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到A点.问:蚂蚁爬行的最短路程是多少?

问题三:长方体→圆柱.

题目:如图6,一圆柱的底面周长为24厘米,高BD为4厘米,BC是直径,一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是().

A.6厘米B.12厘米C.13厘米D.16厘米

3. 师生互动,解决问题

问题一.师:这个问题如何考虑?

生1:与长方体的解法一样,不过因为是正方体,所以三种情况的答案是相等的.

师:对于蚂蚁在正方体表面爬行,大家还能提出问题吗?

生2:若P为CC1的中点(如图7),求蚂蚁从A爬到P的最短路程是多少.

……

问题二.师:请大家先思考.(老师边巡视,边指导个别同学,没多久就有很多同学做好了,老师选了其中一名学生的答案,投影出来.)

生1:把圆锥沿母线OA剪开,侧面展开图为一扇形(如图8),AA,的长就是蚂蚁爬行的最短路程.由公式,可得∠AOA1=120°,又∵OA=3,∴AA1=.

师:图8中AA1最短的依据是什么?

生:(齐答)两点之间,线段最短.

师:很好.不过我想请一名同学把前面几道题的一般解题思路小结一下.

生2:长方体中把折面摊平,圆锥中沿侧面母线剪开,这样就可以使不在同一平面内的线转变为在同一平面内的线.

生3:(忽然站起来)老师,如果圆锥的侧面展开图变为图9的样子,那么绕侧面一圈,再回到A点,蚂蚁爬行的最短路程又该怎么算?

“刚才的AA1不行了,那……”同学们顿时紧张起来,不过很快就有结果了.

生4:蚂蚁从A→O,再从O→A1,这样路程最短,即为母线长的2倍.

生5:老师,我想把问题二改一下.(老师点头同意)如图10,点B为母线的中点,其他条件不变,那么蚂蚁从A爬到B的最短路程又是多少?

……

问题三.师:圆柱怎么思考?请同学们算算.

(同学们忙于计算起来,一会儿就有人发言了.)

生1:将圆柱沿BD剪开后摊平成如图11的形状.由题目得:BB1=24厘米,BD=4厘米.∴BC=21厘米,由勾股定理得:12.65≈13(厘米),所以选C.

(是呀,我也选C,下面的同学在小声议论着,沉浸在解出题后的喜悦之中.)

师:答案真的是C吗?

(同学们一片哗然,不是选C还是什么?难道……)

生2:从D→C应该还有路线,题目是说在圆柱表面爬行,我想可以按从D→B→C爬行,即先爬高线,再爬直径.

生3:你这个路线不能算的.

师:大家说这条路线可以吗?(同学们大都点头称是.)

生3:(不服气地说)你这个路线不是直的,肯定比刚才计算的CD长.

师:那么大家算算看到底哪一个短?(很快就有人算好了,老师请她上黑板前板书.)

生4:BD+BC=4+≈11.64≈12(厘米),很显然比刚才计算的CD短,所以选B.

这时大多数同学都计算好了,有的在看着黑板上的答案.“这个答案的确比刚才的短,我怎么想不到呀!”有同学激动地说.

师:答案选B是正确的.那么请同学们再想一想在这个图形中,蚂蚁爬行的最短路程一定是先爬高线,再爬直径吗?即“高线+直径”是否一定最短?

生:不一定.(说不清为什么,一时教室里非常安静.)

师:如果把此题中的高BD的长改为10厘米,其他条件不变,那么结果又会怎样?

(不一会儿,结果就出来了.)

生5:(厘米),DB+BC=10+≈17.64(厘米),所以侧面展开图的相应对角线DC的长最短.

师:通过这两题的计算结果,大家想想你有什么发现?又有什么疑惑?

生6:有的时候是“侧面展开图的相应对角线长”最短,有的时候是“高线+直径”最短,但到底哪一个最短,要计算才知道.

生7:我觉得这个结果与圆柱的形状有关.矮胖形的是“高线+直径”最短,瘦长形的是“侧面展开图的相应对角线长”最短.

是的,是的,同学们小声讨论,脸上洋溢着喜色.

生8:老师,那有没有两条路线长相等的时候?

师:生8问得好!这个问题值得我们去研究,怎么思考呢?

教室里安静极了,同学们再一次陷入了沉思之中……过了一会儿,

生8:可以从这两条路线长相等的时候思考,不过我现在还没算出来.

生9:可以设圆柱的底面半径为r,高线长为h,根据两条路线长相等,列出等量关系,就可解决问题.

师:那你能上来试试吗?(生9勇敢地走上讲台,在黑板上解了起来.)

生9:设BD=h,BC=2r.

(1)如图6:设D-B-C的路线长为S1,则S1=h+2r;

∴(h+2r)2=h2+πr2,即4hr+4r2=π2r2.

∵r≠0,∴4h+4r=π2r,∴=,

当时,S1=S2,即两路线长相等.

教室里响起了热烈的掌声,同学们带着钦佩、羡慕的眼光看着生9走下讲台.

生10:我知道了.

(1)当时,两条路线一样长;

(2)当时,“侧面展开图相应的对角线长”最短;

(3)当时,“高线+直径”最短.

同学们再次热烈地鼓掌.

三、教学反思

本课例从一个问题情境出发,激发学生的求知欲望,在这个问题的解决过程中,引发新的情境,新的问题,这样就形成“情境——问题”的学习链,而且很多问题都是学生自己提出,共同合作解决的,这样更进一步激发了学生新的求知欲望,想继续深入探究下去.这一节课里,课堂气氛非常宽松、融洽、和谐,学生是数学学习的主人,自己提出问题、分析问题、解决问题,而且学生从始至终都保持活跃的思维、高度的热情、执著地探索.这一课例的成功,得益于新课标的理念,得益于吕、汪教授“情境——问题”教学模式的理论指导,得益于自己实践经验的积累和课前充分的准备工作.基于此,我有如下几点看法.

1. 教师要转变教学观念

教师的角色应从知识的传授者转变为学生学习的组织者、合作者和共同研究者,在引导学生提出问题、分析问题、解决问题的同时,进一步激发学生自觉地探索数学问题,体现成功的乐趣.

在课堂气氛上也应有所转变.由教师的“一言谈”转变为教师组织引导、学生合作探究的课堂环境,教师对学生的思维活动应减少干预,真正做到让学生自主探究学习.

2. 情境的创设应具有多样性

《数学课程标准》中指出:“学生的数学学习内容应当是现实的、有效的、富有挑战性的,要切实开展有效学习,首先要调动学生的学习积极性,使他们产生对知识的渴望.”情境创设的好,就等于这一节课已经成功了一半.因此在情境的创设中应具有多样性.

(1)趣味性.有趣的情境能把同学们马上吸引过来,同时展开热烈地讨论、高效地探索.

(2)诱导性.诱导性的情境更能吸引学生,使其渴望马上解决问题,从而发现并提出新的问题.

(3)争论性.争论是一种使学生积极思维的情境.本节案例中的情境就具有争论性,许多学生很容易做错,一下子就吸引了学生的眼球.

(4)应用性.通过生活情境,使学生感觉到数学就在我们身边,生活中处处有数学,把数学学习当成了一种乐趣、一种享受,从而学到有用的数学.

3. 加强问题意识培养,提升学生探究能力

问题是思维的出发点,有了问题才会去思考.教育心理学理论启示我们,在课堂教学上,充分运用动机原理,可以使学生的学习具有内驱力,学习将会取得良好的效果.适当的问题能促使学生在课堂上主动思考、积极探索.因此数学课堂应当以问题带动教学,在解决教师提出问题的基础上,积极引导学生学会提问、学会质疑和学会释疑,培养学生打破砂锅问到底的数学理性精神.

学生的问题意识越强,越能激发学生的求知探索欲望,探究能力也会得到显著的提升.长时间地实施数学“情境——问题”教学模式,对提高学生的数学素养和分析、观察、探索、创新能力等方面都将会有较好的效果,从而有力地促进基础数学课程改革的发展.

参考文献

[1]吕传汉,汪秉彝.再论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习.数学教育学报,2002,11(4):74.

[2]马秋霞.培养学生提出问题能力的一次尝试.中学数学教育(初中版),2006(10):13-14.

从一道几何证明题谈面积法 篇10

从一道几何证明题谈面积法

作者：李小龙

来源：《理科考试研究·初中》2014年第01期

如图，已知在△ABC中，AB=AC，P是BC上任一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F求证：CF=PD+PE

对于该题，一般同学会想到截长法与补短法

如图2，过点P作P⊥CF于，则四边形PFD是矩形，则PD=F易证△PC≌△CPE，则C=PE于是CF=F+C=PD+PE这种方法叫做截长法

如图3，过点C作CN⊥DP交DP的延长线于点N，则四边形NCFD是矩形，则CF=DN易证△CPN≌△CPE，则PN=PE于是CF=DN=PD+PN=PD+PE这种方法叫做补短法

无论是截长法还是补短法，都需要证明三角形全等，比较麻烦如果能够注意到已知条件中的垂直条件，联想到三角形的面积公式，于是便有如下简捷证法：

如图4，连结AP，则S△ABC=S△ABP+S△ACP

由PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，得

这样我们仅根据图形面积间的关系，利用三角形的面积公式便轻而易举地完成证明这种证明几何命题的方法叫做“面积法”巧用“面积法”证明几何命题，往往能收到出奇制胜、简捷明快之效

空间几何体表面积体积 篇11

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

平行投影与中心投影的区别和联系:

①平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线是由同一个点发出的.如图所示，

②平行投影是对物体投影后得到与物体等大小、等形状的投影;中心投影是对物体投影后得到比原物体大的.、形状与原物体的正投影相似的投影.

③中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法，平行投影包括斜二测画法和三视图.中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体.

④画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时一般用平行投影法.

画三视图的规则:

①画三视图的规则是正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽.即正视图、侧视图一样高，正视图、俯视图一样长，俯视图、侧视图一样宽;

②画三视图时应注意：被挡住的轮廓线画成虚线，能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示，尺寸线用细实线标出;D表示直径，R表示半径;单位不注明时按mm计;

空间几何体表面积体积 篇12

三维复杂几何外形的表面三角形网格自动生成

按点-线-面的.层次数据结构,选取几种有代表性的曲线曲面,实现了三维复杂外形的表面描述.采用曲面到平面的保形变换,在平面内由阵面推进法自动生成三角形网格,实现了三维复杂外形的表面三角形网格自动生成.

作 者：张来平呙超 杨永健 Zhang Laiping Wo Chao Yang Yongjian 作者单位：中国空气动力研究与发展中心,四川绵阳 621000刊 名：空气动力学学报 ISTIC EI PKU英文刊名：ACTA AERODYNAMICA SINICA年，卷(期)：17(4)分类号：V211.3 O24关键词：非结构网格 网格生成 复杂外形 表面描述

双曲空间中椭圆的一些几何性质 篇13

关于双曲空间中椭圆的一些几何性质

在双曲空间中,考察椭圆的包含关系,对弧长元素、测地曲率、曲率、面积及全曲率等几何量做出细致考察.

作 者：王幼宁 吴英丽 Wang Youning Wu Yingli 作者单位：北京师范大学数学科学学院,100875,北京刊 名：北京师范大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF BEIJING NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE)年，卷(期)：43(4)分类号：O1关键词：双曲空间 椭圆 测地曲率 全曲率