初中常见定理证明

初中常见定理证明（通用13篇）

余弦定理证明初探 篇1

关键词： 数形结合 双基 创新意识 创新精神

如何发挥高考题的教学功能，把握高三复习备考方向，提高解题教学的功效，是我们一线教师努力的目标。余弦定理的证明曾在以前高考考题中出现过，去年陕西卷再次出现，说明余弦定理的证明不但能考察学生对“双基”知识的掌握能力，更能激发学生对数学中“数形结合”思想方法的重视和挖掘，从而对老师和学生起到抛砖引玉的功效。下面就余弦定理给出不同证明方法。

方法一（向量法）如图，设 ，则 即 ，

方法七（面积法） 如图，以 的三边为边长向外作三个正方形， 三条

高的延长线将三个正方形分成6个矩形。

教学的根本目的在于提高学生探索和解决问题的能力，以不同的知识为切入点，对同一题目从不同角度审视，探求出不同的解决方案，可以开拓思路，沟通知识，权衡优劣，提高学生的解题效率，更能提高学生分析、解决问题的能力，培养创新意识和创新精神，这正是新课改所追求的目的。

参考教材：

（1）北师大版高中数学，《必修4》。

（2）罗增儒，《数学解题学引论》。

正弦定理证明 篇2

江苏省锡山高级中学杨志文

新课程必修数学5的内容主要包括解三角形、数列、不等式。这些内容都是高中数学中的传统内容。其中“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。在历次教材改革中都作为中学数学中的重点内容，一直被保留下来。在这次新课程改革中，新普通高中《数学课程标准》（以下简称《标准》）与原全日制普通高级中学《数学教学大纲》（以下简称《大纲》）相比，“解三角形”这块内容在安排顺序上进行了新的整合。本文就《标准》必修模块数学5第一部分“解三角形”的课程内容、教学目标要求、课程关注点、内容处理上等方面的变化进行简要的分析，并对教学中应注意的几个问题谈谈自己的一些设想和教学建议，供大家参考。

一、《标准》必修模块数学5中“解三角形”与原课程中“解斜三角形”的比较

1．课程内容安排上的变化

“解三角形”在原课程中为“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作为平面向量的一个单元。而在新课程《标准》中重新进行了整合，将其安排在必修模块数学5中，独立成为一章，与必修模块数学4中的“平面向量”分别安排在不同的模块中。

2．教学要求的变化

原大纲对“解斜三角形”的教学要求是：

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解斜三角形的计算问题。

（2）通过解三角形的应用的教学，提高运用所学知识解决实际问题的能力。

（3）实习作业以测量为内容，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。《标准》对“解三角形”的教学要求是：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。由此可以看出，《标准》在计算方面降低了要求，取消了“利用计算器解决解斜三角形的计算问题”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

3、课程关注点的变化

原《大纲》中，解斜三角形内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上。而《标准》则关注运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。侧重点放在学生探究和推理能力的培养上。

4、内容处理上的变化

原《大纲》中，解斜三角形作为平面向量知识的应用，突出其工具性和应用性。而《标准》将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何的作用，为学生理解数学中的量化思想、进一步学习数学奠定基础。解三角形处理的是三角形中长度、角度、面积的度量问题，长度、面积是理解积分的基础，角度是刻画方向的，长度、方向是向量的特征，有了长度、方向，向量的工具自然就有用武之地。

二、教学中应注意的几个问题及教学建议

原《大纲》中解斜三角形的内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上。而《标准》将解三角形作为几何度量问题来展开，强调学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，解决简单的三角形度量问题。这就要求在教学过程中，突出几何的作用和数学量化思想，发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的探究过程、再创造过程。因此在教学中应注意以下几个问题。

1．要重视探究和推理

《标准》要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建议在教学中，既要重视从特殊到一般的探索学习过程的教学，又要重视数学的理性思维的培养。教学中不要直接给出定理进行证明，可通过学生对三角形边与角的正弦的测量与计算，研究边与其对角的正弦之间的比，揭示它们在数量上的规律，发现正弦定理的结论，然后再从理论上进行论证，从而掌握正弦定理。从中体会发现和探索数学知识的思想方法。

参考案例：正弦定理的探索、发现与证明

教学建议：建议按如下步骤设计教学过程：

(1)从特殊三角形入手进行发现

让学生观察并测量一个三角板的边长。

提出问题：你能发现三边长与其对角的正弦值之比之间的关系吗？

例如，量得三角板三内角300，600，900所对的三边长分别约为5cm，8.6cm，10cm，58.610，101010 000

sin30sin60sin90

abc

对于特殊三角形，我们发现规律：。

sinAsinBsinC

则有：

提出问题：上述规律，对任意三角形成立吗？(2)实验，探索规律

二人合作，先在纸上做一任意锐角（锐角或钝角）三角形，测量三边长及其三个对角，然后用计算器计算每一边与其对角正弦值的比，填入下面表中，验证前面得出的结论是否正确。（其中，角精确到分，忽略测量误差，通过实验，对任意三角形，有结论：

abc，即在一个三角形中，

sinAsinBsinC

各边和它所对的角的正弦的比相等。

提出问题：上述的探索过程所得出的结论，只是我们通过实验(近似结果)发现的一个结果，如果我们能在理论上证明它是正确的，则把它叫做正弦定理。那么怎样证明呢？

(4)研究定理证明的方法方法一：（向量法）①若△ABC为直角三角形，由锐角三角函数的定义知，定理显然成立。②若△ABC为锐角三角形，过点A做单位向量j垂直于AC，则向量j与向量的夹角为900-A，向

量j

与向量CB的夹角为900-C，（如图1），且有：ACCBAB，所以j·(+)= j·即j·+ j· = j·AB 展开|j||AC|cos900+ | j||CB|cos(900-C)=| j|||cos(900-A)

ac

。

sinAsinC

cbabc

同理，过点C做单位向量j垂直于,可得：，故有。

sinCsinBsinAsinBsinC

③若△ABC为钝角三角形，不妨设角A>900（如图2），过点A做单位向量j垂直于AC，则向量j与

则得 a sinC = c sinA，即

向量AB的夹角为A-900，向量j与向量的夹角为900-C，且有：，同样可证得：

abc

。

sinAsinB

提出问题：你还能利用其他方法证明吗？

方法二：请同学们课后自己利用平面几何中圆内接三角形（锐角，钝角和直角）及同弧所对的圆周角相等等知识，将△ABC中的边角关系转化为以直径为斜边的直角三角形中去探讨证明方法。

2．要重视综合应用

《标准》要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。建议在正弦定理、余弦定理的教学中，设计一些关于正弦定理、余弦定理的综合性问题，提高学生综合应用知识解决问题的能力。如可设计下面的问题进行教学：

参考案例：正弦定理、余弦定理的综合应用 C 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD=10，AB=14，BDA=60，BCD=135.求BC的长.教学建议：

引导学生进行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵BCD=135，BDC=30，∴需要求BD，而BD需在△ABD中求解.再引导学生将

A B

四边形问题转化为三角形问题，选择余弦定理求BD，再由正弦定理

例2图 求BC。

3．要重视实际应用

《标准》要求运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。因此建议在教学中，设计一些实际应用问题，为学生体验数学在解决问题中的作用，感受数学与日常生活及与其他学科的联系，培养学生的数学应用意识，提高学生解决实际问题的能力。在题目的设计中要注意对恒等变形降低要求，避免技巧性强的变形和繁琐的运算。

参考案例：解三角形在实际中的应用

参考案例1．航海中甲船在A处发现乙船在北偏东45，与A的距离为10海里的C处正以20海里/h的速度向南偏东75的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，问甲船沿什么方向，用多少时间才能与

乙船相遇？

教学建议：引导学生依据题意画出示意图，将实际问题转化为解三角形问题。若设甲船与乙船经过t小时在B处相遇，构建ACB，容易计算出AB20海里,BC20海里，根据余弦定理建立关于t的方程，求出t，问题就解决了。

答: 甲船沿北偏东75的方向，经过0.5小时与乙船相遇.参考案例2．为了测量某城市电视塔的高度，在一条直道上选 择了A，B，C三点，使ABBC60m，在A，B，C三点







例1图 DA 观察塔的最高点，测得仰角分别为45，54.2，60，若测量 E

者的身高为1.5m，试求电视塔的高度(结果保留1位小数).F 教学建议：引导学生依据题意画出示意图如图，将实际问题转化为

解三角形问题。要求电视塔的高度。只要求出DE的长。将问题中的已

知量、未知量集中到有关三角形中，构造出解三角形的数学模型。在例2图 ACE中和BCE中应用余弦定理，使问题获得解决.答: 电视塔的高度约为158.3m.4．要重视研究性学习

解三角形的内容有较强的应用性和研究性，可为学生提供丰富的研究性素材。建议在教学内容的设计上探索开放，在教学形式上灵活多样。可设计一些研究性、开放性的问题，让学生自行探索解决。参考案例：研究性学习

课外研究题：将一块圆心角为120，半径为20厘米的扇形铁片裁成一块矩形，请你设计裁法，使裁得矩形的面积最大?并说明理由．

教学建议：这是一个研究性学习内容，可让学生在课外两人一组合作完成，写成研究报告，在习题课上让学生交流研究结果，老师可适当进行点评。

参考答案：这是一个如何下料的问题，一般有如图（1）、图（2）的两种裁法：即让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB

平行。从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将

这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论．

NBB

PO图（2）

QM

O图（1）

按图（1）的裁法:矩形的一边OP在OA上，顶点M在圆弧上，设MOA，则：

时，Smax200．

4按图（2）的裁法: 矩形一边PQ与弦AB平行，设MOQ，在MOQ中，OQM9030120，由正弦定理，得：

sin120

又MN2OMsin(60)40sin(60)，MQ

20sin



3sin． 3

MP20sin,OP20cos，从而S400sincos200sin2．即当



∴SMQMN

sinsin(60)cos(260)cos60． 33



∴当30时，Smax由于

400． 3

400平方厘米． 200，所以用第二中裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33

也可以建议学生在课外自行寻找研究性、应用性的题目去做，写出研究或实验报告，在学校开设的研究性学习课上进行交流，评价。

参考文献：

①全日制普通高中级学《数学教学大纲》。人民教育出版社。2002年4 月。

09命题、定理、证明 篇3

【学习目标】

A级：掌握命题的定义，结构，分类

B级：会将命题改成“如果„„，那么„„”的形式，并由此找出题设和结论部分 C级：会使用反例来说明一个命题是假命题

D级：掌握文字命题证明的步骤并会证明文字命题。【自学导引】自主学习教材P20—P22.【夯实基础】

一、前面我们学过一些对某一件事情进行判断的语句，请举例（多举）。

像这样判断一件事情的语句，叫做命题。判断下列语句是否是命题（1）画线段AB＝CD（2）对顶角相等吗？（3）x＝1是方程x2

1的根

（4）2>1

（5）不相等的角不是对顶角。

二、命题的结构

命题是由题设和结论两部分组成的，题设是已知事项（已知条件），结论是由已知事项推出的事项。所以命题往往可以改写：

命题常常改写成“如果„„，那么„„”的形式。这样容易找到题设和结论两部分。例如：对顶角相等

可以改为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 题设就是：如果两个角是对顶角，结论就是：那么这两个角相等

将下列命题改成“如果„„，那么„„”的形式（1）两直线平行，同位角相等（2）内错角相等，两直线平行

（3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。

三、命题的分类：

请说明命题、真命题、假命题、公理和定理五个概念间的关系

思考：如何说明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题？

四、证明 证明的步骤

（1）根据题意画出图形。（2）写出已知、求证

（3）证明：即写出推理过程。

1、求证：邻补角的角平分线互相垂直

2、求证：两平行线被第三条直线所截，内错角的角平分线互相平行。

3、求证：两平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直。

初中常见定理证明 篇4

姓名：成绩：

1．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）Ａ．AD∥BC, AD=BCＢ.AB=DC,AD=BC Ｃ．AB∥DC,AD=BC

Ｄ．OA=OC,OD=OB

2．如图，在平行四边形ABCD中，AD5，AB3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）Ａ．2和

3Ｂ．3和

2Ｃ．4和

1Ｄ．1和

4E 3．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O．下列结论中正确的个数有（）结论：①OAOC，②BADBCD，③ACBD，④BADABC180．

A

Ｄ．4个

第3题图

Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个

4.能够判别一个四边形是平行四边形的条件是（）

A.一组对角相等B.两条对角线互相垂直且相等C.两组对边分别相等D.一组对边平行 5.下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）

A.AB=CD，AD∥BCB.AB=CD，AB∥CDC.AB∥CD，AD∥BCD.AB=CD，AD=BC 6.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）

A.88°，108°，88°B.88°，104°，108°C.88°，92°，92°D.88°，92°，88° 7.四边形ABCD中，AD∥BC，要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（）

A.∠A+∠C=180°B.∠B+∠D=180°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠D=180° 8.以不在一条直线上的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

5．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是

（添加一个条件即可）

6．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=50,则∠A=_______,∠D=_________。7．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，已知AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周长为18cm，那么△AOD的周长为__________。

如图2，BD是ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求证：四边形AECF

为平行四边形.

D

第5题图

C

C

A第7题图

9．如图：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，MN过点O与AB、CD

相交于M、N，你认为OM、ON有什么关系？为什么？

10．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于F，试说明

BE=CF。

A

12.如图，D、E是△ABC的边AB和AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.四边形BCFD是平行四边形吗？为什么？

13.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由

.三、如图3，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树.田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？

几个几何定理的纯几何证明 篇5

《中学数学杂志》(初中)2008年第2期刊载的“从一道美国数学竞赛题引出的一组几何定理及代数证法”一文(下称文[1])，由一道美国数学竞赛试题经探索、整合，得到了几个新颖有趣、耐人寻味的几何定理，阅后很受启发. 由于这几个几何定理的独特风格和丰富的内涵，颇显其思考性，而引人入胜. 缺感的是文[1]的代数证法冗长繁琐，不够简约，有失纯几何方法的风采、韵味，并非是“定理的证明用代数法解决更妙”(文[1]). 笔者经思索、探究，得到了文[1]中四个定理的浅显、简明、别致的纯几何证法，现介绍如下，供读者参考(为方便计，定理顺序同文[1]).

定理1 已知：如图1，在以AB为直径的半圆中，正方形CDEF内接于半圆，正方形CGHK内接于△BCF，且边CG在AB上，求证：AC=CG.

分析 由对称性，易知AC=BD.

由射影定理(或相交弦定理的推论)，得CF2=AC·BC.

又CF=CD，BC=CD+BD=CD+AC，得CD2=AC(CD+AC)，即AC2+CD·AC=CD2.①

由AC=BD，知AG=BG.故点G是半圆的圆心.

参考文献

[1] 曾恒忠，白方奎等. 从一道美国数学竞赛题引出的一组几何定理及代数证法[J].中学数学杂志(初中).2008，(2).

作者简介：令标，男，1962年11月生，中学高级教师，主要从事数学教学及解题研究，已在多家中学数学期刊发表文章数十篇.

命题、定理和证明教案 篇6

重点：命题、定理、证明的概念 难点：命题、定理、证明的概念

一、板书课题，揭示目标

同学们，到现在为止，我们已经学习了一些简单的性质、判定、定义，这些命题都是真命题，那什么是命题呢？我们今天就来学习5.3.2命题、定理.本节课的学习目标是：（请看投影）

二、学习目标

1、理解命题、定理、证明的概念.2、会判断一个命题是真命题还是假命题.三、指导自学

认真看课本（P21-22练习前）.1结合例子理解命题的定义，会把一个命题写成“如果„„那么„„”的形式;○2理解真命题、假命题的概念并会判断一个命题的真假.○如有疑问，可以小声问同学或举手问老师.6分钟后，比谁能正确地做出检测题.三、先学

1、教师巡视，督促学生认真紧张地自学

2、学生练习：

检测题 P22 练习补充题：

1、下列是命题的是（）1对顶角相等.○2答案A是正确的.③若ａ＝ｂ，则ａ＋ｃ＝ｂ＋ｃ．④画射○线BC.⑤这条边长等于多少？

2、下列命题是真命题的是（）1同角的补角相等。○2相等的角是对顶角。○③互补的角是邻补角。

④若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3 分别让两位同学上堂板演，其余同学在位上做。

四、更正、讨论、归纳、总结

1、自由更正

请同学们认真看堂上板演的内容，如果有错误或不同解法的请上来更正或补充。

2、讨论、归纳 评讲2（1）：命题假设的对吗？为什么？怎样找一个命题的假设？引导学生回答：“如果”后接的部分是假设（师板书）

（2）命题的题设正确吗？为什么？他没有“如果„„那么„„”的形式该怎么办呢？如何把命题写成“如果„„那么„„”的形式，引导学生回答：题设——已知事项;结论——是由已知事项推出来的事项。

评补充题：

1、答案正确吗？为什么？引导学生回答：命题的条件是什么？（1）命题必须是一个完整的句子.（2）对某件事做出了判断。

2、“同位角相等“是真命题吗？为什么？引导学生画图说明：

五、课堂作业（见测试题）

命题、定理、证明16(定 篇7

5.3.2命题、定理、证明(应用稿）NO.16

姓名____________________班 ______ 组 _______ 号

学习目标：

1、了解命题、定理的概念，2、能够区分命题的题设和结论.重难点：能够区分命题的题设和结论.一、复习回顾：

1、对顶角；邻补角；

2、平行线的判定：①同位角，两直线；②内错角，两直线；③同旁内角，两直线；

④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线.⑤如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 也。

3、平行线的性质：①两直线平行，②两直线平行，；③两直线平行，二、自主导学； 在日常生活中，我们会遇到许多类似的情况，需要对

一些事情作出判断，例如：⑴今天是晴天；⑵对顶角相等；⑶如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.像这样，叫做命题.每个命题都是由_______和______两部分组成.每个命题都可以写成.“„„，„„”的形式，用“如果”开始的部份是，用“那么”开始的部份是.像前面举例中的⑵⑶两个命题，都是正确的，这样的命题叫做真命题，即正确的命题叫做______.例如：“如果一个数能被2整除，那么这个数能被4

整除”，很明显是错误的命题，这样的命题叫做假命题，即错误的命题叫做______.我们把从长期的实践活动中总结出来的正确命题叫做；通过正确的推理得出的真命题叫做.这个推理过程叫做；定理也可以作为继续推理的依据。

三、合作探究：

例：将下列命题改写成“如果„„那么„„”的形式．（1）同位角相等，两直线平行。

（2）直角都相等．

（3）三角形的内角和是180°．

（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行．

四、学以致用：

1．下列语句是命题的个数为（）

①画∠AOB的平分线;②直角都相等;③同旁内角互补吗？④若│a│=3，则a=3.A．1个B．2个C．3个D．4个 2．下列5个命题，其中真命题的个数为（）

①两个锐角之和一定是钝角;②直角小于锐角;③同位角相等，两直线平行;•④内错角互补，两直线平行;⑤如果a

A互补的两个角是邻补角B两直线平行，同旁内角相等C“同旁内角互补”不是命题D“相等的两个角是对顶角”是假命题 4．下列语句中不是命题的有（）⑴两点之间，直线最短；⑵不许大声讲话； ⑶连接A、B两点；⑷花儿在春天开放．

A．1个B．2个C．3个D．4个 5．“如果两个角相等，那么它们是对顶角”，其中 题设是，结论是；

6、“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”是命题，其中题设是，结论是。

7．将下列命题改写成“如果„„那么„„”的形式，并判断真假．

（1）对顶角相等；（）

（2）同角的补角相等．（）

初中常见定理证明 篇8

定理：若且n＞1，A₁，A₂，…A_n是有限集合，则：| A₁∪A₂∪…∪A_n |= ＋…

＋（－1）^n-1| A₁∩A₂∩…∩A_n |①

为下面分析与证明方便，我们将①式变形为：| A₁∪A₂∪…∪A_n |=（-1）^1-1

（-1）^（n-1）-1②

这里①式变为②式只是形式上的变化，定理的意义是没有改变的。

设M={A₁，A₂，…，A_n},②中的每一个∑都表示从M中任取相应个数的不同元素，依次分别有A₁，A₂，…，A_n种，再求出每一种的所有元素交集的基数，然后求和。以下仿此。可见，我们可以用组合的方法来分析研究②式。

下面我们用数学归纳法来证明②式：

1． 当n=2时

（1）若A₁与A₂不相交，则A₁∩A₂=Φ，而且| A₁∩A₂ |=0，这时显然成立

| A₁∪A₂ |=| A₁ |+| A₂ |。

（2）若A₁与A₂相交，则A₁∩A₂≠Φ，但有

| A₁ |=| A₁∩-A₂ |+| A₁∩A₂ |

| A₂ |=| -A₁∩A₂ |+| A₁∩A₂ |

此外| A₁∪A₂ |=| A₁∩-A₂ |+| -A₁∩A₂ |+| A₁∩A₂ |

所以，| A₁∪A₂ |=| A₁ |+| A₂ |-| A₁∩A₂ |

在这里，-A定义为：-A=E-A={x|}，其中E为全集。

2． 假设n=k-1时命题成立

初一常用几何证明的定理 篇9

平面直角坐标系各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律：

（1）x轴将坐标平面分为两部分，x轴上方的纵坐标为正数；x轴下方的点纵坐标为负数。即第一、二象限及y轴正方向（也称y轴正半轴）上的点的纵坐标为正数；第三、四象限及y轴负方向（也称y轴负半轴）上的点的纵坐标为负数。

反之，如果点P（a，b）在x轴上方，则b>0；如果P（a，b）在x轴下方，则b<0。

(2)y轴将坐标平面分成两部分，y轴左侧的点的横坐标为负数；y轴右侧的点的横坐标为正数。即第二、三象限和x轴的负半轴上的点的横坐标为负数；第一、四象限和x轴正半轴上的点的横坐标为正数。

（3）规定坐标原点的坐标为（0，0）

（4

初中常见定理证明 篇10

【关键词】不等式 中值定理 单调性 驻点

证明： 。

证明方法一：（利用罗尔定理）令

顯然 在 上连续， 内可导，且有 ，

由罗尔定理可知

取 ，则有 ，

所以当 则有 即 ；

同理取 ，则有下列等式 ，

当 时，则有 ，即 ，即 ；

当 时， ，

综上所述，当 时，有 恒成立。

证明方法二：（利用拉格朗日中值定理）设函数 ，

令 ，得驻点 ，

显然当 时，有 ；

当 时，有 。

我们先考虑 ， 在 上连续， 内可导，且有 ，

由拉格朗日中值定理可知 ，

由于 ，由上式推出 ；

再考虑 ， 在 上连续， 内可导，且有 ，

由拉格朗日中值定理可知 ，

由于 ， ，由上式推出 ；又已知 ，

综上所述，当 时，有 ，即 。

证明方法三：（利用柯西中值定理）取定函数 ， ， ，设 ，

显然 ， 在 上连续， 内可导，由柯西中值定理可知

，即 ，即 ；

又设 ，显然 ， 在 上连续， 内可导，

由柯西中值定理可知 ，

即 ，即 ；又已知 ，

综上所述，当 时，有 。

证明方法四：（利用函数单调性判别法）设函数 ，驻点 ，显然 在 上连续， 内可导，在 内显然有 ，由函数单调性判别法可知， 在 上单调增加，即有 ；

同理 在 上连续， 内可导，在 内显然有 ，由函数单调性判别法可知， 在 上单调减少，即有 ；又已知 ，

余弦定理的证明 向量法 篇11

∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小

∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)（以上粗体字符表示向量）又∵cos(π-θ)=-Cosθ

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC 即 cosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b 同理可证其他，而下面的cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

证明、公理、平行线性质定理 篇12

基础知识1.证明：

2.公理：3.定理:

4.等量代换：公理：

5.平行线的判定定理：定理：公理

6.平行线的性质定理定理:基础习题 1.下列说法正确的是（）

A.所有的定义都是命题B.所有的定理都是命题

C.所有的公理都是命题D.所有的命题都是定理 22.若P（P5）是一个质数，而P1除以24没有余数，则这种情况（）

A.绝不可能B.只是有时可能

C.总是可能D.只有当P=5时可能

3.下列关于两直线平行的叙述不正确的是()

A.同位角相等,两直线平行；B.内错角相等,两直线平行毛

C.同旁内角不互补,两直线不平行；D.如果a∥b,b⊥c,那么a∥c 14.如左图，下列说法错误的是（）lllll3A、∵∠1＝∠2，∴3∥4B、∵∠3＝∠4，∴3∥4 lllll4C、∵∠1＝∠3，∴3∥4D、∵∠2＝∠3，∴1∥2 ll55.已知：如图，下列条件中，不能判断直线1∥2的（）l1A、∠1＝∠3B、∠2＝∠

3C、∠2＝∠4D、∠4＋∠5＝180 6.若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的（）l

2A、一对同位角的平分线互相平行B、一对内错角的平分线互相平行

C、一对同旁内角的平分线互相平行D、一对同旁内角的平分线互相垂直

7.如图，AB∥CD，∠α＝（）BAA、50°B、80°C、85°D、95° C8.已知∠A＝50°，∠A的两边分别平行于∠B的两边，则∠B＝（）AB

A、50°B、130°C、100°D、50°或130° 9.如图，AB∥CD，AD、BC相交于O，∠BAD＝35°，∠BOD＝76°，则∠C的度数是（）A、31°B、35° C、41°D、76°

填空

10.如图，（1）如果AB∥CD，必须具备条件∠______＝∠________，D根据是____________________。（2）要使AD∥BC，必须具备条件∠______＝∠________，根据是

4____________________。B

11.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是________。

D12.如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC。（1）计算：∠DAB＋∠B=

（2）AB与CD平行吗？（）AD与BC平行吗？（）B

简答题：

13.如图，已知∠ADE＝60°，DF平分∠ADE，∠1＝30°，求证：DF∥BE 证明：∵DF平分∠ADE（已知）A 1∴________=∠ADE（）

2∵∠ADE＝60°（已知）D∴_________________＝30°（）

∵∠1＝30°（已知）

∴____________________（）BC∴____________________（）

14.已知：如图，∠B=∠C.(1)若AD∥BC，求证：AD平分∠EAC；

(2)AD平分∠EAC，求证：AD∥BC.15、如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC和∠BDC的度数.能力提升

16.（1）如图（1），AB∥EF.求证：（1）∠BCF=∠B+∠F.（2）当点C在直线BF的右侧时，如

图（2），若AB∥EF，则∠BCF与∠B，∠F的关系如何？请说明理由.D

勾股定理常见错题剖析 篇13

一、 审题不清，思维定势

例1 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方.

【错解】第三边长的平方为32+42=52=25.

【错解原因】题目中并没有指明3和4是直角边，而以3、4、5为三边的直角三角形也是大家所希望得到的结果.

【正解】（1） 当两直角边为3和4时，第三边长的平方为25；

（2） 当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为7.

【点评】因大家习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5. 但这一理解的前提是3、4为直角边. 而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边，审题时不够仔细，又加上思维定势的影响造成了本题的错误.

例2 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且 （a+b）（a-b）=c2，则（ ）.

A. ∠A为直角B. ∠C为直角

C. ∠B为直角D. 不是直角三角形

【错解】选B.

【错解原因】因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为∠C，经常就习惯性地认为∠C一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.

【正解】选A. 该题中的条件应转化为a2-b2=c2，即b2+c2=a2. 故直角是∠A.

【点评】与之前类似，当遇到问题时部分同学常会有以c为斜边、∠C为直角等一些“习惯上”的看法.

二、 勾股定理及其逆定理概念理解不透

例3 下列各组数据中的三个数，可以作为直角三角形的三边长的是（ ）.

A. 1、2、3

B. 32、42、52

C. 、、

D. 、、

【错解】选B.

【错解原因】不能清晰透彻地理解勾股定理及其逆定理，对概念的理解流于表面形式.

【正解】因为（）2+（）2=（）2，故选C.

【点评】利用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形时，应把三角形的三边长度分别平方，再看是否满足a2+b2=c2的形式.

例4 如图1，在△ABC中，BC边上有一点D，连接AD，AB=10，AC=17，BD=6，AD=8，求BC长度.

【错解】在△ADC中，

因为AC=17，AD=8，

所以DC2=AC2-AD2=172-82=225，

所以DC=15，所以BC=BD+DC=21.

【错解原因】看似没有问题的解答过程却有一个“致命的漏洞”，还没有判断出△ADC是否为直角三角形就已经开始利用勾股定理解题了.

【正解】在△ABD中，

因为AB=10，BD=6，AD=8，

即AD2+BD2=AB2，

所以△ABD为直角三角形，

所以∠ADB=∠ADC=90°.

在Rt△ADC中，

因为AC=17，AD=8，

所以DC2=AC2-AD2=172-82=225，

即DC=15，

所以BC=BD+DC=21.

【点评】由于基本概念理解不够透彻，忽略了勾股定理应用的前提条件，这是造成本题错误的主要原因，而勾股定理逆定理的应用刚好可以解决本题的难点.

三、 考虑问题不够全面，造成漏解

例5 已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（ ）.

A. 21 B. 15

C. 6 D. 以上答案都不对

【错解】选A.

【错解原因】高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论. 分别依据勾股定理即可求解.

【正解】在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD=15；

在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD=6.

当AD在三角形ABC的内部时，BC=15+6=21；

当AD在三角形ABC的外部时，BC=15-6=9. 则BC的长是21或9.

故选D.

【点评】本题没有给出图形，也没有告知△ABC的形状特征，所以开头就应考虑到多种情况的可能性. 当遇到涉及三角形的高的题目时，要注意高的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，应该分别画出图形再进一步求解.

巩固练习：

1. 下列命题中，是假命题的是（ ）.

A. 在△ABC中，若∠B+∠C=∠A，则△ABC是直角三角形

B. 在△ABC中，若a2=（b+c）（b-c），则△ABC是直角三角形

C. 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形

D. 在△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形

2. 下列各组数作为三边长，能构成直角三角形的是（ ）.

A. 4，5，6 B. 1，1，

C. 6，8，11 D. 5，12，23

3. 一直角三角形的三边分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为（ ）.

A. 13 B. 5

C. 13或5 D. 4

4. 如图2，在△ABC中，AB=17 cm，BC=16 cm，BC边上的中线AD=15 cm，求AC.