概率论与数理统计书

概率论与数理统计书（精选8篇）

概率论与数理统计书 篇1

数学的方向还是比较多的，比如金融，计算机，理科的方向 赞同

参看08年该校硕士招生简章中的专业目录及参考书目，先做到心里有数 09年的在08年7、8月份才能出 每年新的招生简章都是在上一年的研究生招生录取工作结束之后才能公布的 所以不要急 最早也要等到7月份 现在不要急 先按照08的看 一般两三年之内不会有什么变化 即使有 也是在原有基础上 增加或改动一两本参考书的版本 不会有实质性的变动 而且 你如果现在就开始准备考研复习那就算比较早的了 一般从暑假开始复习就可以的 所以这个时期是基础段复习可把精力主要放在英语上 强化英语考研词汇是非常必要的 至于专业课 可以先按08的指定参考书初步复习等新的招生简章出来 再进行有针对性地复习不用担心万一改动了我会不会白白看了 以一个过来人的经验 知识储备的越多越好 名校的试题往往不局限于指定参考书的范围（楼主既然这么问了，这要好好慢慢的回答）

建议楼主考清华的经济学研究生，清华的工科类要强于北大（个人意见）；2，清华现在要考考A版的数学对你的有点好处，但影响不大，复试对你有利。3，清华的专业课考的难都因人而异，初试复试考一样的专业课,包括金融学（含国际金融、证券投资、投资市场、保险精算等，本专业所招人数最多）、国际经贸（研究生阶段叫做世界经济）、西方经济学、财政学、政治经济学专业;报考时可以随意报考自己喜欢的专业，录取时先全院统一录取（按分数高低），再按分数与志愿选择；专业课考的不是很难；（建议楼主去看下金融学基础，复旦大学出版社简称白皮书，或许对你有帮助）4，清华经济就业形势就目前环境下就业非常棒，中国才处于开始阶段，每年毕业生到各大银行、金融机构、保险机构、证券公司、财政货币机关、国家机关及高校任职，待遇非常之高！

网站，你可以试试去这里看看。在页面中部的对话框输入学校或专业就可以任意查。在这里，你还可以查到任意学校的招生简章，复习指导，网上报名及其它重要信息。全国各校公布分数线的时间也在这里最早发布。你可以试试，相信不会让你失望。。

因你是转专业，再给你一点个人建议吧

一、慎重选择：不要轻易下决定

不断地学习不同领域的知识，是所有有求知欲的人们的美好愿望，然而，这同样会成为朝三暮四的借口。

其实，很多考研人本来就存有逃避现实社会的压力，而选择继续呆在学校的心理;而在跨专业考研的人中，更有许多人根本就没有好好学过原来的专业，甚至从没认真考虑过是否自己适合它，只为了逃避，才选个看起来容易的专业去考。

如果是这样，请先停下来想想自己到底想要什么再说。因为一颗对待生活从不认真的心，是不会因为换了个专业就能有起色的。

如果不是这样，那么，也请三思。就因为一直认真，这次更要谨慎。

首先，考研复习将是艰巨的历程。隔行如隔山——这句古谚将贯穿之后的整个求学过程。自己原来的专业，再不济也学了三四年，耳濡目染，基础知识一定比没学过的扎实，细节也许没钻研，但大的格局和概念、思维方式是存在于脑海中的，即使是每次考前一个月的突击，突击了四年，也不是没有用的。这就是本专业对于外专业的一大优势。反过来，即是跨专业者相对于本专业者的劣势。

复习的时候，要花更多的时间在专业课上，使得基础课很容易就被搁置了，而任何一科的掉队，都会影响整个复习过程的心态和考试结果。

其次，备考中可能出现意想不到的困难。

不熟悉专业试题的答题惯例，会莫名其妙丢掉不该丢的分。而且，笔试通过了，复试中存在的不确定性因素，使跨专业者总是难以拥有“尽在掌握”的自信，而它确实也是难以“尽在掌握”的。

最后，也是最重要的，考上之后三年的研究生生活。

不管是面对基本功扎实的同学们，还是面对有一定要求和标准的导师，还是面对也许让自己一时找不到坐标点的新求学生涯——如何给自己定位，如何重拾自信，如何建立对新专业的“新感情”，如何规划以后的职业和人生，这都是需要付出比别人更多心力去克服的问题。所以，是否要转变方向，换一个专业，需要尖锐严格地审视自身，而不是盲目跟风，可以考虑以下几点：

是否真正热爱将要为之付出心血的新专业?

长远来看，这个新领域是否有自己的天赋和性格发挥的空间?

是否可以肯定学习三年之后真能丰富完善自己的知识结构，而不是剃头担子两头塌?最后也是最基本最当前的问题：基础课是否有自身优势?没有优势怎么拨得出更多的时间给专业课的复习?

二、审时度势：了解自己，踏实去做

经过了自我的拷问，还坚定地要跨专业考研的朋友——相信你一定是个头脑清醒、梦想坚定的人。

在此，我们不得不再次强调跨专业考研的理由和标准：第一，热爱;第二，基于对自身才智和优势短处进行全面评估而做出的决定;第三，要自信，更要不怕苦不怕累。

可以举个例子。一个在学校并非不认真对待自己学业的考研人，在经过四年的学习之后，发现仍然不喜欢自己所学的数学专业，而爱好文史哲。如果基础课英语政治还不错，那么他就具备了考虑跨专业考研的最低要求。那么，接下来怎么确定专业呢?首先，看爱好。对新闻传播、考古、文学皆有兴趣，怎么办?一个一个排除。对于新闻，多搜集资料，看作为一个新闻工作者需要什么样的素质，比如，敏锐的新闻感、强烈的争取和参与意识、健康的身体。直面自己的优缺点，如果有敏锐的新闻感，却没有强烈的争取和参与意识，甚至都无法面对需要长时间的工作强度，那么放弃。对于考古，作同样评估;另外，如果这时你的父母亲反对你的考古梦想，请把他们的忧虑考虑进去，一意孤行并不可取，要考虑到家庭的实际情况;并且，父母也是了解你的人，他们对你的性格、天分其实很了解。那么如果你认为父母意见的可接受性大过你对于考古的热忱，考古这一项，也被划去。最后剩下文学，如果经过一系列评估，觉得可行，那么它之下还有很多专业细分，是中国文学还是世界、比较文学，是古代文学还是现当代文学?要根据自己平时看书的偏好、积累的多少、考试试题能否应付等等内在和外在的因素来决定。这些将和下一部分联系起来谈。

这只是一个例子，跨专业的方向转变五花八门，几页纸不可能描述详尽，我们只能通过这个例子，了解一下需要考虑和平衡的各方面因素。

当然，请牢记，内心的热爱和对自己学习能力的自信在选择中最为重要。有了这两点，相

信你的选择会是对你而言最好的选择。这将是一个美丽的决定，决定之后，一定有云开见日的感觉。方向确定了，就朝着那儿毫不回头地走吧。

三、报考准备：眼观六路，耳听八方

让我们直接进入主题。

第一，细分专业和学校，确定报考目标。一定要看自己喜欢哪个城市，既然想借助这次的考研改变现状开始一段新的求学历程，一直想去哪个(或哪些)城市念书就不要将就。圈出大致范围，再找到那里学校的招生简章、专业招生表——网上查找或动用一切关系。特别要注意的是，你有意向的专业是否拒绝跨专业考生。在进行认真细致的对比之下确定两到三个你想去的名校和你喜欢的专业。这一步可以和前面确定城市同时进行，每个人情况不同，自行制定每一步适合自己的计划是必要的，而且能从中得到极大的充实感，总之，它让我们感到：一切都在自己的控制之下。

然后，尽可能地多找一些这几个可选学校可选专业的历年试题，仔细研究，看看哪一类的试题自己更有把握。这一步至关重要，这一步不可省略也不可推后，它将直接影响到以后的考试发挥。经过这一步，学校和细分专业几乎都能定下来了。

这一阶段什么时候进行呢?越早越好。我们不提倡把战线拉得太长，真正有效的复习从4月到次年1月足矣;然而跨专业不同，需要“酝酿”。可以不用过早开始真正的复习，但至少要比别人早两个月到半年开始寻找学校、涉猎与新专业相关的期刊、书籍、寻找对于新专业的亲近感和对于新学校新未来的向往感——这是真正复习开始的前站，用这段时间弥补跨专业的不足，在真正的战役打响时，我们将更加坚定更有信心。

第二，专业课教材到位。前面把工作真正做到细致，4月份到5月份一定要定下最终要考的学校和专业。定下之后，就要相信自己的判断，不要犹疑，快去买专业课教材!按照学校列出的书目买全专业课教材，还要找出一两个能帮上忙师兄师姐、找同学、找亲戚，甚至找网友去打听没有列出的那些。

这里有两个问题：买书和找师兄师姐——自己能买到的书，尽量自己去买，有学校可以邮购，有书店可以搜寻，再不行，去图书馆系统或网上找出这本书的出版社，找到出版社电话，打电话、汇款去邮购。不要一开始就事事麻烦别人，自己能解决的自己找渠道解决。后面有更重要的事去麻烦他们。实在不行了，去找师兄师姐，最重要的是问题要明确。随便说：“我要考你们学校某专业，请帮助我”是没用的。要明确说出你的具体问题，要考哪些书，重点看哪些泛读看哪些，打听到哪里能买到自己却没办法，请他们帮忙——听到这么明确的问题，人人都会乐意帮忙。6月底之前，主要的专业课教材一定要到位。

第三，复习时要注意的问题。

首先，基础课不能偏废。前面说了，基础课要有一定把握，才可能跨专业考研，否则到关键时刻就会感到分身乏术。在主攻专业课时，基础课一天都不能停。可以用早晨、吃午饭前、吃晚饭前以及睡觉前的时间去复习英语：阅读、单词、听力，一个都不能少。如果每天坚持，就是这些边边角角的时间都足够英语的复习准备。政治也一样，最好报一个秋季班，几个月上下来，有老师领着复习，比自己摸索更有效率，大致的知识脉络也会清晰起来了。请相信自己，从初中就开始学的这门课，不会差到哪里去，但也要在心里培养对它的兴趣，一讨厌它、搁置一段日子，一切都晚了;反过来，每天花两个小时，只要坚持，就会既轻松又有成就感。

跨专业考生往往把一腔热情放在专业课上，有意无意地就偏废了基础课，等发觉时间紧迫的时候，回头一看基础课落下一大截，这会大大影响后面冲刺和考试的信心。

其次，专业课复习。11月份报名之前一定要把专业书踏踏实实至少细读一遍。这一遍不要欺骗自己，质量至上，一定要全部弄通弄懂。这样在后面的两个月才会更有底。

笔记一定要做。当11月报名时间来临时，你会发现越来越多的人们讨论起复习进度。那时候本专业考生和别的跨专业考生所做的准备和进度会让你大惊失色——有那么多人准备得那么好!本来就对不熟悉的专业容易产生的“心虚”这个时候会更加强烈，那么回过头总结一下自己的成果，只有实实在在密密麻麻的几本笔记会成为自己的强心剂，数数看，几本笔记，七八万字是少不了的。加上政治英语，你会为自己所做的上10万字的笔记而惊讶的。这是积聚信心、抬头挺胸的重要来源。

四、全力复习：坚持到底，毫不畏惧

首先，研究历年试题，自己划重点。历年试题非常非常重要，报名之前即11月初，一定要把学校相关专业的历年试题弄到手。这需要积极调动网络资源，自己能下载的下载，能买到的去买，最后一招：求助师兄师姐。这时提出的请求也一样要尽可能明确。有一个女生，考某大学某专业，通过同学的同学的姐姐，找到一位师姐，打电话给她：“我知道你们学校图书馆五楼的阅览室有历年试题的专柜，可以借出来复印。请帮忙复印某年到某年某专业的„„”该师姐大惊：“我都不知道有这样一个地方，你怎么知道的?”这个女生慢慢说来，怎么从网上找到该学校专栏讨论、怎么了解到的，师姐大开眼界，兴趣高涨，帮她把相关专业能找到的试题全都复印一通寄去。

接下来就是更仔细地研究试题。只需要一个晚上时间，把历年试题全都摆在桌面，总结规律和重点难点，老师出题的习惯等等。借此可以划出下一步复习的重点(甚至是考试的重点)，不再一律通读，而是有头脑的、有目标的复习。不要怕系内老师改朝换代，再改也有一脉相承的科研风格，掌握了大体，以不变应万变。

划完重点，一股“运筹帷幄”的气势油然而生，趁着这股气势，投入到更深入的复习中去，一定事半功倍。

其次，为考试做准备，掌握专业答题习惯。在剩下的两个月当中，一定要找点时间去学校的自己要考的专业宿舍混混，目的是了解专业答题有什么惯例、有什么特殊要求和需要注意的地方。随便哪个学校都行，自己方便找的、正规的大学就可以;当然，方便的话，最佳选择就是所考学校研一同专业学生宿舍，这样就不仅了解试题情况，还可以挖掘更多这两个月应该注意的问题。

考试的时候，和复习中所强调的一样——一定要自信。要相信自己经过了周密的计划、万全的准备。拿到试卷的时候，要像热爱专业书籍一样热爱它们，冷静的头脑，热情的心灵，一定战无不胜。

最后，就是复试了。关于导师是否要找，各有各的说法，能找到最好，没找过的也不用惴惴不安。相信自己最重要。

其实接到复试通知书的时候，一般都没有更多时间去扩展知识面了，这些是最初就应该做的。这时候跨专业考生常常担心自己的基础不够，再次心虚。那么与其瞎抓一把，不如把以前看过的书拿出来再翻一遍，总有用得上的，做生不如做熟。对于某些领域的熟悉或精通，比泛泛而谈更能显出自己的特色。用真诚的微笑和哪怕是使劲鼓才能鼓起的信心和勇气，去直面导师。好歹经过这一年的学习，我们也算复合型人才了，怕什么!

说到这里，整个过程看起来完了——其实没有!拿到录取通知书的时候，是一个开始。

进入研究生阶段的学习，是一个更自主、更专业的学习过程，跨专业学生一踏入这片天地，肯定会受到冲击。不熟悉的领域，老师觉得应该是常识自己却闻所未闻的知识，难以找到的新生活定位„„这些都要有心理准备。建议在5月到8月这段天堂般的生活中也不要忘记看看与专业相关的书籍(并非专业课本)，继续打基础，进入研究生生活根本没有时间给你去打基础。

概率论与数理统计书 篇2

关键词：教学改革,案例教学,疑问式教学,实验教学

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门学科, 在自然科学和社会科学中有着重要的作用, 也是全国高等院校类大部分专业的重要基础课程。这门课程有自己独特的概念和方法, 内容丰富, 理论深刻, 它的理论与方法渗透到生活的方方面面, 已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中, 是近代数学的重要组成部分。常言道:“教无定法”, 教学没有固定的模式, 条条大道通罗马, 教师可以根据教材的内容和学生特点灵活安排, 变换自己的教学方法和手段, 在教学过程中以知识点为主线, 围绕知识点学的需要组织课堂教学, 坚持以启发诱导为核心, 激发学生学习的兴趣, 引导学生积极主动开展思维活动, 为此, 本文对多元化教学模式下概率论与数理统计课程的教学改革作一些探讨, 具体实施了案例教学、疑问式教学, 实验教学。

案例教学是一种启发式教学, 是指在教学过程中, 教师适时提出与教学内容密切相关的案例, 通过对案例进行分析、讨论, 甚至辩论分析, 达到学习、理解课堂知识点的目的, 通过从问题到理论, 再从理论到应用, 实现知识传播和能力培养相结合的教学目的。在案例式教学中, 学生有很多参与课堂的机会, 通过对案例的分析、讨论来提高学生的学习兴趣, 激活学生的思维潜能, 从而提高教学效果。案例选择必须具有目的性和针对性, 要注意挑选能与教学内容密切结合并符合学生的认知规律的案例, 任何理想化的、脱离实际的例子都会给学生以误导, 从而失去教学的意义。这门课程我们通常选用的案例有:生日问题;概率与密码问题;血液检验问题;交通 (运输量、车辆数、堵塞情况、交通事故等) 分析问题;公交大巴车门高度设计问题, 怎样由脚印长度估计罪犯身高问题;排队等待问题;销售量为随机的存储模型问题, 及当前流行的福利彩票中奖问题等等。当然, 在课堂上不是要一味地讲解案例, 也不是案例越多越好, 而是要把握好案例与课堂知识点的结合, 不能公式化, 在教学过程中要充分体现“实践一理论一实践”的认识过程, 做到理论与实际的有机结合。

学起于思, 思起于疑, 学习和思维是从疑问开始的。

如我们以概率统计中Bernoulli大数定律的讲授为例, 我们先提出问题, 以抛掷硬币实验为例, 将一枚均匀的硬币抛掷n次, 记事件A:“正面向上”, 设n次实验中正面向上的次数为ηn, 试验表明, 事件A在n次试验中出现的频率随n增加会逐渐稳定趋于一常数1/2 (事件A的概率) 。显然, 这里说的稳定和接近都只是抽象的描述, 如何用具体的数学语言去刻画, 这个现象是否就是微积分中对极限的描述?换言之, 是否有?即频率的极限就是概率?因此, 我们的问题是:如何刻画趋于1/2?

接下来我们来分析问题:若成立, 对一切nN, 都有

成立, 但是随试验结果不同而变化的, 不论N取多大的数, 试验结果出现n次正面仍有可能发生, 当取小于1/2时, , 即不成立, 事实上, 根据Bernoulli概型, 当, n次都出现正面这个事件的概率为零。因此, 事件A在n次试验中出现的频率随n增加稳定趋于1/2的准确描述为。于是我们就得到了Bernoulli到大数定律 (证明略) 。

信息化时代下, 传统的教学方法与手段已不适应社会对统计学人才的培养, 目前大多数概率论的教学过于强调基础理论的严谨和系统性, 侧重抽象理论介绍及繁琐的计算, 忽略了这门课程的实践性与应用性。因此, 将数学软件 (SPASS, MATLAB) 引入课堂开展实验教学十分必要, 不仅可以培养学生的动手能力还可以增强学生对知识的理解能力, 结合数学实验的演示, 使得一些抽象的定理更为直观, 学生也更易理解定理内容, 提高学习效果。由于受到学时的限制, 我们可以抽6-8学时安排相关的数学试验, 如:随机试验的模拟与概率的近似计算, 常见随机变量分布的随机模拟, 大数定律及中心极限定理, 方差分析与回归分析的设计等等。

总之, 如何学好概率论这门课程还需要师生的共同努力, 需要积极地推进课程改革建设, 以面向应用型人才培养, 增强学生的动手能力和应用概率统计方法解决实际问题为目标, 探索新的教学模式, 调动学生学习的积极性, 让学生学以致用, 发挥数学在各个领域中的重要作用。

参考文献

[1]邓华玲, 傅丽芳, 孟军, 尹海东.概率论与数理统计课程的改革与实践[J].大学数学, 2004, 20 (1) :34-37.

[2]赵姝淳.概率论与数理统计创新教学模式初探[J].高等教育研究学报, 2001, 24 (1) :49-52.

浅谈《概率论与数理统计》教学 篇3

关键词:概率统计 概念 引入 背景 趣味性

中图分类号:G424 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)03(c)-0181-01

引言:概率论与数理统计是高等院校理工类、经管类的重要课程之一也是数学的一个有特色且又十分活跃的分支。一方面,它有别开生面的研究课题,有自己独特的概念和方法,内容丰富,结果深刻;另一方面,它与其他学科又有紧密的联系,是近代数學的重要组成部分。概率论与数理统计的理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中,如预测和滤波应用于空间技术和自动控制,时间序列分析应用于石油勘测和经济管理,马尔科夫过程与点过程统计分析应用于地震预测等,同时他又向基础学科、工科学科渗透,与其他学科相结合发展成为边缘学科。因此,概率论与数理统计的教学显得非常重要。但是学生在学习掌握这门知识的过程中普遍感到概念难懂,思维难于开展,问题难于入手,方法难于掌握。基于这一现象,在教学中,更新教学方法,注重教学思维,充分体现以人为本的教学理念成为提高教学质量的必然选择。

1 教学中应注重概念的引入和背景的讲解

概率论是研究随机现象的一门学科,随机现象就是不确定的现象这与学生以前所学的确定的值是不一样的。比如许多学生往往不理解什么是随机变量,为什么要引入随机变量,会感觉这些内容很抽象不好理解。那么我们在讲授的过程中就要注重对随机变量概念的引入及背景知识简单明了的介绍。随机变量我们可以举例为某一时段进入商场的人数,某一天的温度或者是保险公司某段时间的索赔额这些都是随机变量。这就像我们把小学学习得小明有2本书,小红有3本书,共有多少书转化2+3的计算一样。在我们引入的这些例子中就是一个个的随机试验,不同的随机试验我们可以用不同的随机变量X来表示。人数,温度,索赔额就是数字或函数就是学生熟悉的。原先不同随机试验的随机事件的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合B的概率,不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画。此外若对一切实数集合B,知道P(X∈B),那么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确定了,所以我们只须求出随机变量X的分布P(X∈B),就对随机试验进行了全面的刻画。

2 教学中要注意概念的内涵和相互间的联系

许多学生由于对概念的内涵缺乏理解,对概念之间的内涵和相互联系理解得似是而非。因而在解题时常会出现许多共同的一些常规错误。在教学中,教师应当组织一些有典型意义的错误题解,从而学生在对比分析中正确理解概率统计中的概念,掌握正确的解题方法。比如有许多学生认为,随机变量互不相容就肯定独立,独立肯定也是互相容的:不同的随机变量,它们的分布函数一定不同;同分布的随机变量一定相等;两个一维正态变量合在一起就一定是一个一维正态随机变量;若ε与η不相互独立,则与就一定不相互独立等等,学生此时就是对概念缺乏正确而全面的理解。教师应该结合恰当的例子加以说明,比如独立与互不相容的概念内涵比较时,教师就可以举例两个人患感冒的人相距较远与较近时他们之间的关系就比较容易使学生纠正这些错误观念。

3 教学案例要“活”,注重学科实际

在教学中会有许多的概念,因为概率论与数理统计是与实际生活联系紧密的一门课,讲到相关内容时要注意挑选具有趣味性的例题,概率统计来源于实际生活,它本身是一门极具趣味性的科学,有着大量贴近生活,兴趣盎然的实例,但目前大部分教科书都未注意选择这样的例子如果教师照着教科书的例子讲,必然不能引起学生的兴趣;因此,教师必须注意积累,精心挑选要讲的例题,我们挑选的例题基本上都是实际问题,如生活中抓阄问题的合理性,顾客等候服务时间问题,需设多少个服务员能获得最大收益问题,可靠性问题等等.针对我们工科学校的学员,有机械,优选等贴近学生的实际问题。通过这些实例的阅读和讲解,将理论教学与实际案例有机结合起来,缩短了数学理论与实际应用的距离,使学生提高对概率论的兴趣。并且活的案例不仅将理论与实际结合起来,还使学生在课堂上九能接触到大量的时间问题,这对提高学生综合分析和解决实际问题的能力大有帮助。通过活的案例教学,可以促进学生全面看问题,从数量的角度分析事物的变化规律,使概率论与数理统计的思想和方法在现实生活中得到更好的应用,发挥其应有的作用。

法国数学家拉普拉斯曾说:“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯也曾对概率论大加赞美:“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,那么我们就寸步难行,无所作为。”那么作为教师的我们更应该把把概率论竭尽所能地传授给学生,使学生充分了解概率论的同时并且能够灵活运用于生活中,这才是我们教学的目的。

参考文献

[1] 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计,浙江大学.

[2] 陈晓龙,施庆生,邓晓卫.概率论与数理统计[M].南京:东南大学出版社,2003.

[4] 李裕奇.概率论与数理统计[M].北京:国防工业出版社,2001.

[5] 吴群英.概率统计课程中采用兴趣与启发式教学,广西高教研究,2001,3.

《概率论与数理统计》课程标准 篇4

课程标准

第一部分 前言

《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。

一、课程性质

《概率论与数理统计》是理、工科有关专业的基础干课。对高校的统计专业本科生它也是一门学科基础课程。

从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为统计专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。学生对这门课程的掌握程度直接关系到统计学科培养目标—“经济和管理领域中善于在定性分析基础上从事定量分析的专门统计人才”的实现。

二、基本理念

第一，着重基础，着重标准。在我国，迄今为止，有关数理统计教材不少，这些教材和理论参考文献各自保持了自己的特色。只有着重基础、着重标准，才能与国际先进的理论研究趋势保持一致。

第二，力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。

三、课程标准的设计思路

第一，以苏均和主编的《概率论与数理统计》（上海财经大学出版社）为蓝本,极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;第二，紧密结合财经特色和计算机应用加以阐述和学习;第三，理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的进一步学习打下一个良好的基础。

第二部分 课程目标

一、总目标

《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决社会经济所遇到的各种问题。

二、分类目标

为达到总目标，对该课程的具体内容制定内容标准，以分类目标保证总目标的实现。对统计学专业而言，要通过学习该课程，掌握该学科的基本理论、基本方法，了解该学科的发展趋势，能正确、熟练地运用本学科的理论和方法去解决各种社会经济问题。

该课程内容体系中不同部分的分类目标：

第三部分 内容标准

一、课程内容体系标准 第一章 随机事件及其概率 【教学目的】

(一)理解随机事件的概念，熟练掌握事件间的关系与运算；(二)理解事件频率的概念和概率的公理化定义；

(三)掌握概率的基本性质，了解古典概率、几何概率，会计算简单的古典概率；

(四)理解条件概率的概念，熟练运用概率的加法公式和乘法公式，会运用全概率公式、贝叶斯公式计算概率；

(五)理解事件的独立性概念，会用独立性计算事件的概率；(六)掌握n重独立重复试验的概念，会进行二项概率计算。【教学内容】

第一节 随机事件及其运算 第二节 随机事件的概率及其性质 第三节 条件概率 第四节 独立性 第五节 贝努里概型

第二章 随机变量及其分布 【教学目的】

（一）了解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会利用分布函数计算概率；

（二）掌握离散型随机变量及其概率函数的概念，掌握连续型随机变量及其概率密度的概念与性质；

（三）熟练掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布；

（四）会求简单的随机变量的函数的概率分布。【教学内容】

第一节 随机变量及其分布函数 第二节 离散型随机变量 第三节 连续型随机变量 第四节 随机变量函数的分布

第三章 多维随机变量及其分布 【教学目的】

（一）了解多维随机变量和联合分布的概念，理解二维随机变量和联合分布的概念、性质，掌握二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布，掌握二维连续型随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布，会求有关事件的概率；

（二）理解随机变量独立性的概念，熟练应用随机变量的独立性进行概率计算；

（三）掌握简单的两个随机变量函数的分布。【教学内容】

第一节 多维随机变量及其联合分布 第二节 二维随机变量的边缘分布 第三节 二维随机变量的条件分布 第四节 随机变量的独立性 第五节 两个随机变量函数的分布

第四章 随机变量的数字特征 【教学目的】

（一）理解随机变量的数字特征的概念和性质，会利用性质计算随机变量的数字特征；

（二）熟悉并掌握常用随机变量的数字特征；

（三）会根据随机变量的分布求随机变量函数的数字特征。【教学内容】

第一节 数学期望 第二节 方差

第三节 协方差及相关系数 第四节 随机变量的其它特征数

第五章 大数定律和中心极限定理 【教学目的】

（一）了解切比雪夫不等式、切比雪夫大数定律和贝努里大数定律；

（二）了解独立同分布的中心极限定理、德莫佛—拉普拉斯定理；

（三）会利用切比雪夫不等式和中心极限定理估计和近似计算一些简单事件的概率。【教学内容】

第一节 大数定律 第二节 中心极限定理

第六章 数理统计的基本概念 【教学目的】

（一）掌握总体、个体、统计量、简单随机样本和样本统计量的概念，了解经验分布函数与直方图的作法；

（二）掌握χ2分布、t分布和F分布的定义和上α分位点，会查表计算；

（三）掌握正态总体的一些常用抽样分布。【教学内容】

第一节 总体与样本 第二节 统计量与抽样分布

第七章 参数估计 【教学目的】

（一）理解参数点估计的概念，了解矩估计法和极大似然估计法；

（二）会求参数的矩估计和极大似然估计；

（三）掌握估计量的评价标准（无偏性、有效性与一致性）；

（四）理解区间估计的概念，会求单个、两个正态总体均值与方差的置信区间。【教学内容】

第一节 点估计

第二节 点估计量的评价标准 第三节 区间估计 第四节 单侧置信限

第八章 假设检验 【教学目的】

（一）理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的一般步骤，了解假设检验的两类错误；

（二）掌握单个和两个正态总体的均值与方差的假设检验；

（四）了解总体分布的χ2拟合检验法；

（五）了解秩和检验概念与步骤。【教学内容】

第一节 假设检验

第二节 正态总体均值的假设检验 第三节 正态总体方差的假设检验 第四节 分布的拟合检验 第五节 秩和检验

第九章 方差分析和回归分析 【教学目的】

（一）了解方差分析的基本思想，试验因素和水平的意义；

（二）掌握平方和的分解，会作出方差分析表；

（三）了解回归分析的基本思想；

（四）掌握一元线性回归，了解可化为线性回归的一元非线性回归和多元线性回归；

（五）了解线性相关性检验和利用回归方程进行预测和控制。【教学内容】

第一节 单因素试验的方差分析 第二节 双因素试验的方差分析 第三节 一元线性回归 第四节 非线性回归 第五节 多元线性回归

二、章节具体内容标准（范例：极大似然估计法）一）、内容简介

本节介绍了在总体分布类型已知的情况下的一种常用的参数估计方法—极大似然估计法，着重介绍了极大似然估计的基本思想和求解的一般步骤。二）、学习目标

通过本节内容的教学，使学生：

1、明确极大似然估计法是在总体分布类型已知的情况下的一种常用的参数估计方法；

2、理解极大似然思想；

3、掌握求极大似然估计值的一般步骤，会求常见分布参数的极大似然估计值． 三）、要点提示

1、对极大似然思想阐述；

2、极大似然估计值的求解．

四）、课程预习：请用30～60分钟进行本课程预习

第四部分 实施建议

一、教学建议

第一、注重基本概念、基本方法和基本思想的讲解 第二、注重理论与方法相结合的教学 第三、注重与计算机应用相结合的教学 第四、注重课堂练习

二、评价建议

尽可能地把理论教学与社会经济实践相结合

三、课程资源的开发与利用

南京经济学院《概率论与数理统计》课程建设项目

四、教材编写建议

1、现有教材、参考资料的状态 1）、苏均和主编：概率论与数理统计，上海财经大学出版社．1999年1版．

2）、茆诗松等编著：概率论与数理统计，中国统计出版社．1999年1版．

3）、魏振军编：概率论与数理统计三十三讲，中国统计出版社．2000年1版．

4）、唐生强主编：概率论与数理统计复习指导，科学出版社．1999年1版．

5）、复旦大学编：概率论，人民教育出版社．1979年1版． 6）、魏宗舒等编：概率论与数理统计，高等教育出版社．1983年1版．

7）、V.K.洛哈吉著，高尚华译：概率论及数理统计引论，高等教育出版社．1983年1版．

2、教材编写建议

1）、尽管目前有很多版本的《概率论与数理统计》教材及参考书，但作为综合性大学或师范大学的教材，大多偏重于基础、概念和理论，它讲究逻辑性和抽象性；而作为工程或工科类的教材，则侧重于讲述统计方法在工程中的应用；而真正为统计专业学生编写的教材还不够成熟，无论从内容的安排、结构的组织，还是与经济社会的联系等诸多方面均存在着不足。

概率论与数理统计C卷 篇5

一、填空题（7*3’=21’）

1、A 和B均为随机事件，P(A)+P(B)=0.7，P(AB)=0.2，则P(AB)P(AB)两者的和为（）。2、10件产品中有4件次品，从中任意取2件，则第2件产品为次品的概率为（）。

3、设随机变量在区间上服从均匀分布，则的概率密度函数为（）。

4、设则期望方差

5、设随机变量服从参数为的泊松分布，则应用切比雪夫不等式

6、设随机变量的方差

二、选择题（5*3’=15’）

1、设为对立事件，则下列概率值为1的是（）

2、设随机变量概率密度为分布函数，则下列正确的是（）、3、设是随机变量的概率密度，则一定成立的是（）

A、定义域为B、非负

C、D4、C、4/9D、1/35、设X1,X2,…Xn是正态总体X-N（µ,σ2）其中σ已知，µ未知，则下列不是统计量的是（）

A、B、C、X-µD、∑（Xn/σ）

三、计算题（6个题共64分）

1、（10分）假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后，以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了n(>=2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）。求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有2台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率。

2、设随机变量X的概率密度为：f（x）=Ae(-A)x, x∈R, /*A乘以e的负A次方再乘以x,大家都懂的，嘿嘿*/，求系数A及分布函数。

3、设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为：f(x,y)=(e(-y),0

（1）（X,Y）分别关于X,Y的边缘概率密度；

（2）判断X与Y是否相互独立并说明理由；

（3）计算P(X+Y<=0).4、设随机变量X服从E(λ),其中λ未知，且λ>0，设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，试求总体参数的矩估计和最大似然估计

5、（10分）某车间生产硫磺，从长期实践中知道，直径X服从正态分布N(u,0.2*0.2),从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位MM）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求u的0.9双侧置信区间。（题目告诉了t分布中对应的n，阿尔法的值，由于不清晰，大家自己去查书，考试时题目中会给出，嘿嘿）

概率论与数理统计书 篇6

概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律性的一门学科, 由于其广泛地渗透到计算机、生物、医学、工业工程、金融以及自然科学等各领域, 是应用性和实践性很强的一门学科。因此, 该门课程的教学在培养学生学数学, 特别是用数学的能力上具有得天独厚的优势。

传统上该课程的教学侧重于抽象的理论介绍, 强调理论的系统性和繁琐的计算, 教材上的例子多介绍较为抽象的应用, 对数学知识的应用前景泛泛而谈, 这样导致学生学习停留在纸上谈兵, 不知道学了有什么用处, 从而逐渐失去学习的兴趣。案例教学方法的引入则有利于弥补上述不足。案例教学是指以基于实际问题背景的、与理论知识紧密结合的案例作为内容载体, 通过教师展示案例、组织学生讨论案例, 教师归纳提炼, 学生最后演绎并策划出解决问题的方案及提出新的问题等教学程序来实现教学目的的一种教学方式。通过案例教学, 能够突出相关概念的联系, 加强学生对基本概念和基本知识的理解, 更重要的是, 这种方式有利于使学生深刻领会学习该门课程的真正目的和用途, 有利于激发学生的学习兴趣, 并培养学生综合运用概率统计思想与方法分析并解决实际问题的能力。另一方面, 数学实验是一种信息技术日渐普及的背景下出现的现代数学教学模式, 它是以计算机为仪器, 以软件为载体, 强调的是以学生动手为主, 利用数学知识分析解决一些实际问题。它的引入, 有利于提高学生数学学习的趣味性、体现数学教育的时代性, 有利于学生学会使用计算机解决实际问题。本文给出一个引入了数学实验的教学案例, 通过该案例能够加深学生对随机变量的期望和方差概念的理解, 了解其在实际生活中的使用, 同时通过上机操作了解MATLAB数学软件在解决实际问题中的应用。

1 问题的提出

以前, SONY牌彩电有两个产地:日本与美国。两地的工厂是按同一设计方案和相同的生产线生产同一牌号SONY电视机, 连使用说明书和检验合格的标准都是相同的。譬如彩电的彩色浓度Y的目标值为m, 标准差 (允许的波动) 为5, 当Y在范围[m-5, m+5]内该彩电的彩色浓度为合格, 否则判为不合格。

两地产的SONY牌彩电在美国市场上都能买到, 到20世纪70年代后期, 美国消费者购买日本产的SONY彩电的热情高于购买美国产的SONY彩电。这是什么原因呢?1979年4月17日日本《朝日新闻》刊登了这一问题的调查报告, 报告指出:日产的彩色浓度服从正态分布N (m, (5/3) 2) , 而美产的彩色浓度服从均匀分布U (m-5, m+5) .这两个不同的分布表示着两个不同的总体。这两个总体的均值相同, 都为m, 但方差不同。试计算各自的方差, 并做出相应的解释。

2 问题的分析

方差是反映随机变量取值的集中程度和波动剧烈程度的数字特征。可以通过求随机变量的方差, 相应进行比较, 判断两组或多组数据的稳定情况。随机变量的方差在质量控制方面有着重要的应用。方差越小, 质量越稳定。

设日产电视机的彩色浓度为Y1, 美产电视机的彩色浓度为Y2, 由上述调查报告可知Y1~N (m, (5/3) 2) , Y2~U (m-5, m+5) , 其概率密度曲线见图1, 其表达式如下:

他们的方差及标准差如下:

可见, 日产电视机彩色浓度方差小于美产的彩色浓度的方差。

美产各等级彩电的概率如下:

美产Ⅰ等品概率:P21=2σ (Y1) /10=1/3,

美产Ⅱ等品概率:P22=1/3,

美产Ⅲ等品的概率:P23=2σ (Y1) /10=1/3,

美产Ⅳ等品的概率:P24=0。

美产与日产各等级彩电的比率见表1

从上述计算结果可见, 生产出日产SONYⅠ等品概率是美产SONY的两倍左右, 这就是美国消费者乐于购买日产SONY的主要原因。

为什么两个工厂按同一个设计方案、相同设备生产同一种电视机, 其彩色浓度会有不同的分布呢?关键在于管理者, 美国生产厂的管理者按彩色浓度合格范围U (m-5, m+5) 要求操作。在他看来, 只要彩色浓度落在此范围内, 不论它在区间的什么位置都认为合格, 因而造成彩色浓度落在这个区间内任一相同长度小区间内的机会是相同的, 从而形成均匀分布;但日产SONY的管理者认为彩色浓度的最佳位置在m上, 它要求操作者把彩色浓度尽量向m靠近, 这样, 彩色浓度在m周围的机会就多, 而远离m的机会就少, 最后导致服从正态分布N (m, (5/3) 2) 。可见正是管理上对彩色浓度要求的严格程度的不同, 导致在相同生产条件下生产出的Ⅰ等品概率不同。

3 MATLAB实验

上述结果可以通过MATLAB计算、画图观察。假设Y1~N (0, (5/3) 2) , Y2~U (-5, +5) 。

作出的图形为图1。图中蓝线表示日产彩电彩色浓度的概率密度曲线, 红线表示美产的概率密度曲线。其中蓝色阴影部分表示了日产彩电Ⅰ等品的概率为0.6829, 而红线以下的阴影部分则表示美产Ⅰ等品的概率, 可以看出, 在Ⅰ等品概率上日产SONY是美产SONY的两倍左右。

4 思考及总结

本文通过一个实际的例子初步探索了概率论与数理统计课程中综合运用案例教学与数学实验的教学方法。通过该例子的运用, 加深了学生对数学期望和方差概念的理解, 了解了这些概念在实际生活中的应用, 强化了常见概率分布类型的概率计算能力, 同时初步了解了MATLAB软件在模拟仿真中的应用。案例教学与数学实验方法的综合运用, 既激发了学生的学习兴趣, 使其在理论联系实际的过程中体会到数学工具的价值和作用, 同时又培养了学生使用计算机解决实际问题的能力。由此可见, 案例教学与数学实验的教学方法对概率论与数理统计课程来说是一种有益且必要的补充。如何将理论与实际联系起来, 寻找并设计出适合课堂教学的好的案例, 需要教师在日常教学生活中不断探索, 不断积累, 推陈出新。

摘要：传统概率论与数理统计教学侧重于抽象的理论介绍, 对数学知识的实际应用介绍不多, 这导致学生学习停留在纸上谈兵, 不能学以致用, 从而逐渐失去学习的兴趣。本文初步探索了在该课程教学中综合运用案例教学与数学实验的教学方法。本文通过介绍一个实际例子, 希望使学生加深对课本理论知识的理解, 提高学习兴趣, 同时初步体验MATLAB软件在模拟仿真中的应用。

关键词：案例教学,数学实验,概率论与数理统计,MATLAB

参考文献

[1]李兴东, 张正成.《概率论与数理统计》课程中加强案例教学的探讨[J].数学教学研究, 2012 (4) :54-57.

浅谈概率论与数理统计的教学 篇7

关键词：概率论数理统计公共空间多媒体

概率论与数理统计是研究随机现象的一门学科。其内容丰富，应用广泛，是大学生必修课程之一，也是理工科学生考研必考科目之一。但是，很多学生对概率论与数理统计中的“随机”二字望而生畏，对其琐碎的概念、公式感到畏惧，常常导致学不好这门课程。基于这门课程的重要性，作者从自己的教学经历出发，对概率论与数理统计的教学提出几点看法。

一、理论与实际相结合，提高学生兴趣

很多学生不喜欢数学，归根到底是因为数学理论知识复杂、枯燥无味。为了提高学生对概率论与数理统计的兴趣，我们应该将理论与实际结合起来。在课程教学之前，我们可以先引入生活中的例子，例如抽签问题、赌博问题、天气预报、班上学生的学习情况等。引导学生思考这些例子中隐藏的相同现象和规律，然后再引出相关的概念术语等，这样学生对这门课程的兴趣也会大大提高。此外，概率论与数理统计中有很多概念术语易于混淆，学生在没有学通之前可能经常会迷惑甚至出错，这时候我们也可以通过实际中的例子来讲解。学生不但会把概念掌握清楚，而且能牢记在心。

例如我们在讲解“概率为0的事件”和“不可能事件”时，很多学生将这两者等同起来。事实上，我们都知道，数学是非常严谨的一门学科，如果是完全等同的，那也就没有必要用到两个术语。那么，我们在讲解时，可以应用生活当中的例子帮助学生理解。例如“大海捞针”就是“概率为0的事件”，它表示这个事件在一次实验中发生的概率几乎为0，但是还是有发生的可能性。“掷一个六面的骰子，掷出的点数为8”就是“不可能事件”，它表示这个事件在一次试验中不可能发生。有了这样两个例子来理解，相信大部分学生都会豁然开朗。

除了通过例子来讲解，老师更应该引导学生自己通过例子来理解概念。一般来说，如果学生理解了概念，应该很容易找到生活中的例子。老师应该在课堂上或者课后鼓励学生自己思考，这样几次下来，学生不但对概念掌握非常到位，而且培养了应用理论知识的意识。

二、注重板书，适当应用多媒体

在科技日益发展的今天，多媒体已成为课堂教学的必备工具。运用多媒体，教师可以预先把课堂需要传授的知识整理出来，减少老师在课堂上重复写教案、抄黑板的时间，提高教学效率。此外，多媒体图文并茂，形式多样，能够更好的调动学生的注意力和吸引力。基于多媒体的绝对优势，加上很多老师由于很少写字导致板书难看，越来越多的老师愿意用多媒体全程替代板书。

事实上，有些课程全部利用多媒体来讲解显然是很有优势的，但是对于一些数学类的课程，我们经常听学生抱怨说：某老师用幻灯片讲公式，讲证明，还没反应完，那一页已经放映结束了。由于老师对所传授的知识已经非常熟练，而学生大部分都是第一次接触到这些新知识，因此老师讲课的时候可能体会不到学生的这种苦衷。这时候，如果我们能够在黑板上通过引导学生的方式把公式、证明一步步的写出来，学生理解起来也容易很多。

尽管多媒体在教学中发挥着重要的作用，但是板书也是不可替代的。多媒体和板书各有利弊，在课堂教学中发挥着同等重要的作用。我们应该将两者结合，达到更好的教学效果。

三、重视课后交流，建立公共空间

课堂教学固然重要，课后交流也不容忽视。从高中到大学，学生能感受到的最大区别就是老师。在高中，学生找到任课老师都是轻而易举的事。在大学，老师上完课不是要赶校车就是忙其它事，甚至很多老师由于条件限制没有自己的办公场所，这导致学生想找到老师都很费周折。

学生接触新知识难免会遇到很多问题，如果碰到自己解决不了的问题需要大费周折才能找到老师，这可能会打击学生学习的积极性。尤其像概率论与数理统计这门学科，很多知识点容易混淆，而且和生活相关性很大，学生遇到的问题自然也多。所以，教师除了在课堂上传授知识，还应该重视课后的交流。首先教师可以利用课堂之间的休息时间和学生建立感情，了解学生的学习状况和对老师的意见看法。当然，课间时间都是非常有限的，要解决学生的问题是远远不够的。我们可以建立班级群或者公共邮箱，老师将上课所用的课件和其它相关的资料上传到公共空间，以便学生学习。同时，学生可以自由的在公共空间给老师留言咨询，老师网上回答学生的问题。通过这种方法，学生不但能很方便的找到老师，而且由于网络交流不是面对面交流，即使性格内向或者学习落后的学生也不会害怕咨询老师。这给学生提供了一个非常好的学习空间。

四、改变平时成绩的考查方式，拒绝“要分数”

对大部分课程来说，平时成绩在期末考试成绩中都占有一定比例。而平时成绩一般根据课后作业和到课情况来给分，具有一定的主观性。因此，部分学生考完感觉要挂科或者想提高自己分数时，往往会打电话给老师要求提高平时成绩。网上的一项调查显示，要分数已经成为大学校园里的普遍现象，70%以上的受访者坦言自己上大学时，身边有学生向老师要分的现象；40%以上的受访者感觉答应给学生加分的老师很多。为了给学生一个公平的分数，我们在第一堂课时应该和学生强调，“要分数”是不允许的。

此外，学生为了提高自己的平时成绩，交作业时会出现抄袭的情况，上课点到时会出现冒名的情况，因此课后作业和到课情况不能完全反映学生平时的学习情况。我们可以通过其它方式来给出学生的平时成绩报告是通过列举实际生活中的例子来分析其中所隐含的概率论与数理统计的知识概念，例子应该尽可能的包含所学知识。通过这种形式的考查，学生不但能加深对概率论与数理统计中理论知识的理解，而且不会出现抄袭的情况。

参考文献：

[1]韩旭里. 概率论与数理统计[M]. 北京： 科学出版社， 2013.

概率论与数理统计课件(第5章) 篇8

5.1 切比雪夫不等式

定理5.1 设随机变量X的数学期望E(X)，方差D(X)2，则对任意常数0，有

2

P(X)2

成立.这一不等式称为切比雪夫不等式.证明 只就连续型随机变量的情况来证明.设随机变量X的概率密度为f(x)，则有

P(X)xf(x)dx1xx22f(x)dx

2

2(x)f(x)dx2.2切比雪夫不等式也可以写成如下形式：

2P(X)12

利用切比雪夫不等式可以证明关于方差的另一个性质： 性质 D(X)0的充要条件是P(XE(X))1.§5.2 大数定律

例如，测量一长度为a的物件，以X1，X2，，Xn分别表示n次

1n重复测量的结果，当n充分大时，它们的算术平均值XnXi对ani11n的偏差会比较小，而且n越大，这种偏差越小，即XnXi随着nni1 的增加而逐渐稳定于a.这些稳定性现象，从直观上可解释为在大量的随机现象中，个别随机现象所引起的偏差常常会相互抵消，相互补偿而被平均化，从而致使大量随机现象的共同作用的总的平均结果趋于稳定.大数定律在描述这类现象的过程中，是以研究某些概率接近于1(或0)的事件规律的方式进行的.由此引出了在概率意义下收敛性的概念.1n定义5.1 设X1，X2，，Xn，是随机变量序列，令YnXi，ni1n1.如果存在常数列a1,a2,，对于任意的0，有

nlimP(Ynan)1，成立，则称随机变量序列Xn服从大数定律.其等价形式是对任意0，有

nlimP(Ynan)0，直观意义是：当n时，事件(Ynan)的概率趋近于1.或者说，对于任意0，当n充分大时，不等式|Ynan|几乎总是成立的.关于大量随机现象的平均结果稳定性的定律统称为大数定律.定理5.2(切比雪夫大数定律)设X1，X2，，Xi，是一列两两不相关的随机变量序列，且设它们的方差一致有界，即存在常数C0，使得

D(Xi)C，i1,2,

则对任意的0，有

1n1nlimP(|XiE(Xi)|)1.nni1ni1

证明 由切比雪夫不等式，有

1n1nP(|XiE(Xi)|)ni1ni11nD(Xi)ni1D(Xi)ni122n2D(Xi1ni)n22

ncn22cn20,n.所以

1n1nlimP(|XiE(Xi)|)0 nni1ni1从而

1n1nlimP(|XiE(Xi)|)1.nni1ni1切比雪夫大数定律的一个特例.定理5.3(伯努利大数定律)设n是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p(0p1)，则对任意的0，有

limP(|nnnp|)1.伯努利大数定律提供了通过实验确定事件概率的方法的理论依据.由伯努利大数定律可以看到，实质上我们是讨论了形如

Xi1niE(Xi)i1nn 的随机变量的统计规律性，其中Xn是独立同分布于(0-1)分布的随机变量序列.而且，伯努利大数定律从理论上给出了论断“频率稳定于概率”的解释.以上给出的大数定律是以切比雪夫不等式为基础的，所以要求随机变量具有方差，但是进一步研究表明，方差

存在这个条件并不是必要的，下面介绍独立同分布情形的辛钦大数定律.定理5.4(辛钦大数定律)设X1，X2，，Xn，是一列独立同分布的随机变量序列，且数学期望存在并记为E(Xi)a,i1,2,, 则对任意的0，有

nlimP(Xna)1

成立.伯努利大数定律表明了当n很大时，事件发生的频率会“靠近”概率，而这里的辛钦大数定律表明：当n很大时，随机变量在n次

1n观察中的算术平均值Xi会“靠近”它的期望值，这就为寻找随

ni1机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.例如，要估计某地区小麦的平均亩产量，往往只要计算一部分有代表性的地块的平均亩

1n产量，这个平均亩产量就是Xi，在n比较大的情形下它可以作

ni1为全地区平均亩产量，即亩产量的期望值a的近似.5.3 中心极限定理

如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大，则这种量(随机变量的和)一般都服从或近似服从正态分布.定理5.5（林德贝格-勒维定理）设X1，X2，，Xn，是一列独立同分布的随机变量，且E(Xi),D(Xi)2,i1,2,, 存在.记XXi,则对任意实数x，有

i1n

limP(nXnnx)e21xx22dx(x).这是一个很好的结果，该定理只假设独立同分布及方差存在，不管原来的分布是什么，极限分布同样都是正态分布.一方面从理论上说明了正态分布的重要性，初步说明了为什么在实际应用中会经常遇到正态分布.另一方面，提供了计算独立同分布随机变量和的分布的近似方法，这在应用上十分有效.只要和式中加项的个数充分大，就可以不必要关心每一个随机变量原来服从什么分布，都可以利用正态分布来逼近，因此，只须借助正态分布表，就可以进行近似计算.定理5.6（棣莫佛-拉普拉斯定理）

设n是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p(0p1)，则对任意实数x，有

nnpPx limnnp(1p)21xex22dx(x).棣莫佛-拉普拉斯定理最初就是以正态分布逼近二项分布的形式为人们认识的，它是概率论中最早建立的重要结论之一.一般说来，在np较小的情况下用泊松分布近似比较有效，np较大时要用正态分布作近似计算.例5.1设有一批树种，其中良种占，现从中任取5000粒，试求该5000粒树种中良种数介于940粒与1000粒之间的概率.解 在大批树种中任取5000粒，每次取1粒，可以近似看成5000次独立重复试验.又因为该5000粒树种中的良种数X就是5000次独立重复试验取得良种这个事件实现的次数，则 X~B(5000,0.2).由中心极限定理知

P(940X1060)(106050000.294050000.2)()

50000.20.850000.20.8=(2.12)(2.12)2(2.12)10.96695%.由此可知，有非常大的把握断定，在所取的5000粒树种中含有940～1060粒良种.如果良种数不在这个范围内，就有理由认为这批树种中良种所占的比例并不是.例5.2 在一个由若干个相互独立的电子元件组成电子系统中，在运行期间，每个电子元件损坏的概率为0.1，(1)假设电子系统是由100个电子元件组成，至少有85个以上电子元件工作，系统才能正常运行，求系统的可靠性（即系统正常运行的概率）；

(2)假设电子系统是由n个电子元件组成，要求至少有80%个以上电子元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多少时才能保证系统的可靠性为95%.解（1）设随机变量 Xk100151,第k个电子元件工作正常0,第k个电子元件损坏 ,0.9)，则XXk为系统正常运行时完好的电子元件数，X~B(100k1由中心极限定理

知

p(X85)1p(X85)1p(5353X1000.9851000.9)1000.10.91000.10.9 1()()0.952.(2)n应满足p(X0.8n)0.95，而 p(X0.8n)p(X0.9n0.8n0.9n)