一次函数的图像与性质教学设计

一次函数的图像与性质教学设计（精选16篇）

一次函数的图像与性质教学设计 篇1

林州市临淇镇第三初级中学 刘振宇

教学分析：

由于前面的教学中，学生已经用描点法画出一次函数的图象是一条直线，本节课的重点是画正比例函数与一次函数的图象及由图象总结出函数的性质。为了能使学生顺利地掌握画图的方法，首先给学生一个感性的认识：一次函数的图象是一条直线，再通过几何知识得到，画一条直线只要知道两点即可。在画完图象的基础上，由学生对图象进行观察，教师对学生加以引导，使学生很顺利地得到一次函数的性质。整节课的关联性较强，一环扣一环，便于学生思考。

教学目标：

1、知识与技能：学生会利用两个点画出一次函数和正比例函数的图象；结合图象，学生直观地初步感知一次函数中的k和b的几何意义。

2、过程与方法：通过观察图象和师生、生生间的交流，学生初步感受图象在探索一次函数的性质中的作用

3、情感态度与价值观：学生进一步体会数形结合的思想方法在探索中的应用。

重点：一次函数y=kx+b的图象及b的几何意义

难点：正比例函数及一次函数解析式中k和b的几何意义及其应用

教学媒体的运用：本节课使用PowerPoint演示文稿和几何画板。

1、上课伊始，运用几何画板演示几个一次函数的图象，学生回忆画过的图象，感受一次函数的图象是一条直线。

2、使用几何画板拖动图象并观察解析式，发现k不同正比例函数所在的象限也不同。从而得出一次函数y=kx+b，当k>0时图象经过一、三象限；当k<0时图象经过二、四象限。解决重点问题。

3、拖动图象沿y轴上下运动，发现b不同一次函数的图象的变化规律：当b>0时，图象向上平移 |b| 个单位；当b>0时，图象向下平移 |b| 个单位，突破本课的难点。

教学过程：

一、引入：

复习题

1、直线y=3x过点（，0）、(1，)

直线y=3x＋2过点（，0）、（0，）

2、直线y=0.5x过点（，0）、(1，)

直线y=0.5x－2过点（，0）、（0，）

3、直线y=－0.5x过点（，0）、(1，)

直线y=－0.5x＋2过点（，0）、（0，）

4、直线y=kx过点（，0）、（1，）

学生填空并根据教师所给的点的坐标画出图象。体会一次函数的图像的画法：两点确定一条直线画一次函数的图象只要描出两点即可；体会k不同函数图像的位置就不同。

二、新授：

⑴教师利用几何画板展示学生画的一次函数的图像。

拖动正比例函数图像上一点A，使图像在一、三象限内运动，学生观察函数解析式中k的变化。

拖动正比例函数图像上一点A，使图像在二、四象限内运动，学生观察函数解析式中k的变化

得出结论：正比例函数y=kx的图像有如下结论

当k>0时，函数图像经过一、三象限；当k<0时，函数图像经过二、四象限。

⑵教师利用几何画板展示学生画的一次函数的图像y=3x及y=3x＋2。引导学生观察这两个图像有什么样的位置关系。学生很容易发现它们互相平行。那么，图像互相平行的一次函数的解析式中k和b有什么特点？

得出结论：两条直线l1：y=k1x＋b1，l2：y=k2x＋b

2若 l1∥l2，则k1＝k2，b1≠ b2

⑶教师利用几何画板展示学生画的一次函数的图像y=3x－2及y=3x＋2；y=0.5x－2及y=0.5x＋2；y=－0.5x－2及y=－0.5x＋2。引导学生观察这三组图像有什么样的位置关系。学生很容易发现它们分别相交于y轴上同一点。那么，图像相交于y轴上同一点的一次函数解析式中的k和b有什么特点？

得出结论：两条直线l1：y=k1x＋b1，l2：y=k2x＋b2

若l1与l2相交于y轴上一点，则k1≠k2，b1＝b2

三、练习：

1、直线y=kx＋b经过二、三、四象限，则k

，b ； 经过一、三、四象限，则k

，b ；经过一、二、三象限，则k

，b。

2、已知一次函数一次函数y=(1－3k)x ＋2k －1(1)当k＝

时，直线经过原点;(2)当k＝

时，直线与x轴交于点（，0);(3)当k

时，与y轴的交点在x轴的下方

(4)当k

时，直线经过二、三、四象限。

3、两条直线y=k1x＋b1，y=k2x＋b2交于y轴上同一点，则必有（）

A、k1＝k2，b1＝ bB、k1≠k2，b1＝b2

C、k1＝k2，b1≠ bD、b1＝ b2

4、在同一坐标系内画出函数y=－2x和y=－2x－6的图象，这两条直线的位置关系是。

5、将直线y=x+4向下平移2个单位，得到的直线解析式为（）

A、y=x+6 B、y=x+2 C、y=x+4 D、y=x+4

四、小结：大屏幕展示

五．作业

一次函数的图像与性质教学设计 篇2

1案例背景

2012年12月, 笔者参加了校内举行的“聚焦课堂 高效教学研究月”的活动, 开设了一节公开课——“正切函数的性质与图象”。课后通过专家点评、与同行交流, 对学生的主体性地位有了更为深入的认识, 对新课程理念有了更为具体的理解, 对以“教给学生什么、怎样教给学生”为立足点开展的有效教学活动很受启发。下面是笔者对这次活动的心得体会, 希望引起同行的关注。

2教学过程

在研究正弦函数的图像与性质时, 我们借助于单位圆中的正弦线, 通过平移、描点作出了正弦函数的图像, 再结合图像研究性质并解决相关问题。因此在教学中, 很多同行都会采用类比思想, 先大致作出正切函数图像, 再通过图像研究其性质并解决相关问题。本着新课改理念, 新课程不仅仅利用类比思想来研究正切函数, 而且在此基础上做了更大的突破。它换了一个新视角来研究正切函数:先根据已有的知识研究正切函数的相关性质, 结合性质作出图像, 再由图像去验证已有的性质并挖掘其它性质, 最后利用图像和性质解决相关问题。这样既为合理作出正切函数的图像奠定了理论基础, 同时也传递给学生一个讯息, 研究函数的相关问题时, 数形结合不仅仅是从形到数的研究, 也可以从数到形来进行研究。这样既拓宽了学生的思维, 又使学生研究问题的方法更上了一个台阶。在此思想的指导下, 笔者在教学中收到了很好的效果。现将本次活动的课堂教学案例梳理如下, 如有不足, 恳请斧正。

教学过程如下:

2.1复习并引入新课

练习:画出下列各角的正切线

设计意图:借助于单位圆让学生作出正切线, 既是复习也为后面用类比的思想作出正切曲线埋下了伏笔。教师就是引导学生联系原有的知识, 为学习新知做好铺垫。这时教师可选择一些有代表性的作图结果, 然后用实物投影展示, 这样哪怕教师不点拨, 学生就清楚了自己的问题所在, 充分体现了以学生为主体的思想。

2.2主动探究, 解决问题

2.2.1研究正切函数的性质

设计意图:教师先设计好学案, 让学生利用在单位圆中作出的正切线, 自己去研究正切函数的相关性质。教师利用几何画板做出角的终边在各个象限时正切线的动画演示。让学生通过几何的画板演示直观感知正切函数的“两域三性”。 (这里也可利用其它知识研究正切函数的性质, 如用三角函数的定义去研究定义域和值域, 结合诱导公式研究周期性、奇偶性…) 这样不仅发挥了学生的能动性, 而且发散了学生的思维。因为学生在收集、整理性质过程中又是一次思维的整合, 对如何研究函数性质又更进了一步。教师在巡视过程中及时汇总学生意见, 引导学生形成正确的知识和方法。同时教师事先要估计学生学习中会遇到的困难, 想方设法帮助学生突破难点。避免教师对学生喋喋不休的低效灌输, 这既是对学生主体性地位的尊重, 也是践行新课程“以学生的发展为本”理念的需要。)

2.2.2结合性质, 小组合作探究, 作出函数的图像

类比y=sinx图象的由来, 你能通过单位圆的正切线作$y=\tan x,x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$的图象吗?

1.先画出y=tanx在一个周期内的简图。

2.教师用投影仪展示作图结果, 并作出在定义域上的图象。

3.投影仪展示完整图像。目的是规范作图, 理顺思路的作用。

教师小结:

第一步:画出正切函数的在一个周期内的图象;

第二步:将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去;

第三步:根据图象总结性质。

设计意图:从教学实践看, 教师尽可大胆放手把活动、思考的时间还给学生, 把观察、归纳、概括、探究的机会让给学生, 这样有助于学生思维的发展。教学中先让学生自主绘图, 再投影学生的图像, 通过投影仪纠正图像。最后再结合前面研究出的性质让学生进一步观察图像。这样学生结合定义域会明白为什么正切函数会有两条渐近线, 结合值域明白为什么函数图像可以向上向下无限延伸, 结合奇函数和单调性明白了如何正确连线成图才能得到较精确的正切函数图像。这样通过学生自己动手得到图像, 使学生学会了一类周期性函数的研究方式。学生亲身经历数学研究的过程, 体验探索的乐趣, 增强了学习数学的兴趣, 从而提升学生分析问题的能力及严密认真的态度。课程标准指出, 教师需要合理利用信息技术辅助教学, 揭示数学本质, 让学生的理解更透彻。

2.2.3观察图像, 小组合作讨论进一步研究性质

(1) 正切函数的图像是被相互平行的直线x=$k\pi +\frac{\pi }{2}$, k∈Z所隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的。

(2) 对每一个k∈Z, 在开区间内, 函数单调递增.

(3) 正切函数的图像关于原点对称; (问:还有其他的对称中心吗?) 总结出对称中心为$(\frac{k\pi }{2},0)$, k∈Z, 无对称轴

设计意图:除了前面所研究的正切函数性质外, 让学生进一步观察函数图象。分小组根据正切函数图象去验证正切函数已有的性质, 并挖掘出其它的性质。教师提出问题后, 先让学生自主探究, 尝试解决。教学中经常会遇到这样的情况, 教师刚把问题提出来, 就开始头头是道的分析起来, 或者没等学生充分思考就开始提问, 剥夺了学生思维活动的时间和空间。学生的思维丰富多彩, 有奇思妙想, 教师可能始料未及。笔者在教学中通过四人小组合作、交流, 留足够的时间让学生去发现正切函数的其它性质。根据学生学习知识的发生发展成熟过程, 充分体现了学生的主体性, 让学生活起来。小组讨论过后, 先让其中一个小组成员总结、发言, 其它各小组补充或更正, 这样可以培养学生之间的团结协作能力及勇于探索的精神。

2.2.4类比正弦函数“五点法”作图, 如何快速作出正切函数的简图?

正切函数图象的简单作法:三点两线法

(0, 0) 、$(\frac{\pi }{4},1)$、$\left(-\frac{\pi }{4},-1\right)$

“三点”:

$x=\frac{\pi }{2}$和$x=-\frac{\pi }{2}$

“两线”:

设计意图:在学生自主探究、合作交流的基础上, 借助于单位圆作出了较为精确的正切函数图像, 但在利用函数图像解决问题时, 这样作图既费神又费力。所以教学中类比正余弦函数图像简图的作法, 教师引导学生利用三点两线法快速作出正切函数的简图, 从而解决相关问题。

2.3通过练习, 巩固基础

若$-\frac{\pi }{6}<x\le \frac{\pi }{4}$, 求y=tanx的取值范围?例1.已知函数y=tanx

例2.求出满足条件$\tan x\ge \sqrt{3}$的x的取值范围?

思考题:画出函数$y=\left|\text{t}\text{a}\text{n}x\right|$的图象, 探究该函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性、单调区间和对称性。

设计意图:在课堂教学中, 数学教学不是“结果”的教学, 而是“思维活动过程”的教学, 通过前面问题的提出过程, 知识的获取过程, 结论的探究过程, 认识的升华过程以及分析、解决问题的艰难曲折思维过程后, 接下来让学生借助于研究好的图像和性质利用数形结合思想解决相关问题, 及时了解学生课堂中知识掌握的情况。正是有了前面的一系列的教学过程, 学生自己思考得多, 通过自己探究获取的知识掌握得很好, 所以学生就能利用所学的知识, 快速地解决相关的问题。

2.4总结思考, 提高能力

学生交流在本节课学习中的体会、收获, 交流学习过程中的体验和感受, 师生合作共同完成小结。

(1) 学习了正切函数图像的作法;理解了正切函数的图像特征;掌握正切函数的基本性质。

(2) 学会用类比方法研究问题, 渗透数形结合的思想。

(3) 体验了成功的快乐。

设计意图:整堂课已经接近尾声, 笔者也想了解一下学生在这堂课中收获和体会。笔者随机叫了两名同学进行了课堂小结。其中一名男生回答说:“在接触一个新函数时, 可以尝试回忆学过的已有函数, 看看能不能利用类比的思想解决一类问题, 然后大胆去猜想、论证。”另外一名女生说:“通过这节课的学习, 使她明白了合作、交流, 自主探究的魅力。也明白了可以多角度地去研究函数问题:数形结合不仅仅是从形到数的研究, 也可以换个角度从数到形来研究, 为我们研究数学问题提供了新视角。”教室里顿时响起了雷鸣般的掌声, 这是我事先没预料到的, 也充分说明笔者这节课上得非常成功。学生通过自主思考、合作探究的成效是显著的!

2.5分层作业, 巩固拓展

(1) 全体同学完成作业本;

(2) 每位同学结合今天研究的内容, 设计一道回家作业题, 并完成。

3案例反思

对相同的教学内容不同的教师处理教材的方法可能也不一样。这些不同, 缘于教师对教材的理解与处理、对学生原有认知结构的认识以及对教学实际的把握;也缘于教师教学风格的不同。这节课表面看看很简单, 内容也不多, 前面又有了正余弦函数研究的铺垫, 上起来应该不难。但专家点评说这节课要把它上好是非常难的, 很容易上成一节流水课, 没有什么新意。而且这堂课实际上是高中教材中很难啃的一块骨头。不过专家对笔者的这堂课给予了高度的肯定和赞赏, 认为笔者很好的实施了新课程理念, 课堂中让学生共同探讨, 让学生自己去发现问题、解决问题。对学生核心数学思想的提升有很大的帮助。同时处处保持互动, 以学生为本, 充分发挥和挖掘学生的潜能。同时肯定笔者具有很好的数学素养!通过课后与同行交流、聆听专家点评后, 笔者更深刻地认识到数学教育要彰显出学生的主体性地位。如果教师提出问题后就讲个不停, 这样只能用教师的思维, 或少数几个被提问学生的思维填补其它大多数学生的思维, 这样的结果是强迫学生接受, 破坏了思维活动的自主性、独立性, 有碍于学生思维的发展。课堂教学中要充分尊重学生的思维活动过程, 让其暴露出来, 即使思维过程是错误的甚至是可笑的, 但这实际是存在的, 不可以视而不见。教师需要根据不同的教学内容, 指导学生灵活采用接受、记忆、模仿、练习、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学的学习方式;在教学中, 可以借助信息技术, 提高课堂容量, 把难以呈现的数学本质揭示出来, 也可以用数学实验让学生体验知识形成的过程。要以“教给学生什么、怎样教给学生”为立足点, 践行新课程的教育理念, 开展有效的教学活动。

感谢“聚焦课堂 高效教学研究月”的活动, 使笔者从理论到实践对数学教学都有了更新的认识。在今后的教学中, 笔者将切实地尊重学生的主体地位, 践行新课程理念, 扮演好引导者、组织者、合作者的角色。

参考文献

[1]普通高中数学课程标准 (实验) [S].北京:人民教育出版社, 2003.

一次函数图像与性质的重难点讲析 篇3

1. 一次函数的图像与性质是怎么得到的？

一次函数是我们学习的第一种函数，函数的图像与性质又是我们研究函数的重要手段，所以我们在学习一次函数的图像时，一定要理解其性质的含义.

我们在学习一次函数的图像和性质时，只画出了几个特殊的函数图像，通过这几个一次函数的图像总结所有一次函数图像的规律，即由特殊总结归纳一般规律，这是我们认识事物特征的重要方法.

通过描点法画出几个一次函数的图像，我们归纳出一次函数的图像是“一条直线”的规律，又由“两点确定一条直线”得出作一次函数的图像的

由图可知：该函数图像不经过第四象限.

一、 重点透析

1. 一次函数的图像与性质是怎么得到的？

一次函数是我们学习的第一种函数，函数的图像与性质又是我们研究函数的重要手段，所以我们在学习一次函数的图像时，一定要理解其性质的含义.

我们在学习一次函数的图像和性质时，只画出了几个特殊的函数图像，通过这几个一次函数的图像总结所有一次函数图像的规律，即由特殊总结归纳一般规律，这是我们认识事物特征的重要方法.

通过描点法画出几个一次函数的图像，我们归纳出一次函数的图像是“一条直线”的规律，又由“两点确定一条直线”得出作一次函数的图像的

由图可知：该函数图像不经过第四象限.

一、 重点透析

1. 一次函数的图像与性质是怎么得到的？

一次函数是我们学习的第一种函数，函数的图像与性质又是我们研究函数的重要手段，所以我们在学习一次函数的图像时，一定要理解其性质的含义.

我们在学习一次函数的图像和性质时，只画出了几个特殊的函数图像，通过这几个一次函数的图像总结所有一次函数图像的规律，即由特殊总结归纳一般规律，这是我们认识事物特征的重要方法.

通过描点法画出几个一次函数的图像，我们归纳出一次函数的图像是“一条直线”的规律，又由“两点确定一条直线”得出作一次函数的图像的

二次函数的图像与性质教学反思 篇4

可能在教学过程中，有些教师会觉得作图象是上一节课的重点，这一节主要是学生观察、分析图象，从而不让学生画图象或者只是简单的画一两个。这种做法看上去好像更加突出了重点、难点，却没有给学生探索与发现的过程，造成学生对于二次函数性质的理解停留在表面，知识迁移相对薄弱，不利于培养学生自主研究二次函数的能力。

2. 相信学生并为学生提供充分展示自己的机会

在归纳二次函数性质的时候，也要充分的相信学生，鼓励学生大胆的用自己的语言进行归纳，因为学生自己的发现远远比老师直接讲解要深刻得多。在教学过程中，要注重为学生提供展示自己聪明才智的机会，这样也利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。

3．注意改进的方面

在让学生归纳二次函数性质的时候，学生可能会归纳得比较片面或者没有找出关键点，教师一定要注意引导学生从多个角度进行考虑，而且要组织学生展开充分的讨论，把大家的观点集中考虑，这样非常有利于训练学生的归纳能力。

一次函数的图像和性质教学反思 篇5

1、理解正比例函数和一次函数的意义。

2、会画一次函数的图像，并结合图像和表达式理解一次函数的性质。

3、能根据已知条件确定一次函数的表达式。

下面对这节课反思如下:

1、上课仍然改不了以前的好多习惯，不放心学生，总想包办代替，自己讲的多，留给学生的时间和空间少。

2、学生展示的少，老师没有放手给学生，没有让学生去经历知识的获取过程。

3、起点过高，把学生的基础估计过高，不能面对的多数学生。没有本着低起点，小步伐，慢节奏的方式方法进行教学。

4、数形结合不够，应该从图像入手让学生经历画图像和观察图像的过程，并且根据图像去解决一些问题。

5、用展台展示不太清晰，没有让学生画在黑板上效果好。

6、教师应该把课堂还给学生，让学生多做多讲。不可以有老师太多的讲解。

7、中考备课要讲究实效，不可以走过场，作秀，那只能是事倍功半。

8、要仔细钻研教材和课标，以及考试说明，备好课。这是上好课的前提。

9、没有注重方法的总结。

一次函数图像性质教学反思 篇6

从这节课的准备来看，针对教学内容从课题的引入、知识的呈现方式、学生的学习活动安排、知识的巩固练习等多方面进行了多次的修改。通过课堂的实际实施感觉上也不是尽善尽美，还有许多令人不满意的地方。究其原因，教师不能就这节课的知识而教这点知识，教师应该通观教材，把握知识的脉络体系，又要站在高于教材的位置统筹安排。这样，教师才能灵活的把握课堂教学。而现在，教师缺乏的正是这一点，还是为了教而教。按部就班，设计的条条框框较多，多了一些稳重，少了一些灵活。而在课堂上，教师面对的是数十名学生，师生之间、生生之间考虑问题的角度、方式要灵活的多、开放的多，有可能教师固定的设计会影响到学生的思维发展。从这一角度讲，教师应在把握知识的基础上。结合学生的表现，灵活多样的处理知识。

学生是学习的主体，学生活动是新教材的一大特点。新教材在知识安排上，往往从实例引入，抽象出数学模型。通过学生的观察、分析、比较、归纳，探究知识的发生、发展、形成的过程，得出结论，并能运用解决实际问题。侧重于学生能力的培养，让学生知道学什么，如何学。因此，教学过程中，如何安排学生的学习活动至关重要，本节课，学生活动设计了三个方面。一是通过画函数图象理解一次函数图象的形状。二是两点法画一次函数的图象。三是探究一次函数的图象与 k、b 符号的关系。在学生活动中，如何调动学生的积极性、互动性，提高学生活动的实效性。值得老师们探讨。为了达到上述目的，我结合每个活动，都给学生明确的目的和要求，而且提供操作性很强的程序和题目。如在活动一中，要求学生观察图象的形状，两条直线的位置关系。在活动二中，强调两点法（直线与坐标轴的交点）画直线。在活动三中，探究 k、b 符号与直线经过的象限与增减性的关系。学生目标明确，操作性强，受到了较好的效果。

本节课的重点是由一次函数的解析式确定函数图象，研究函数性质。由函数图象的位置判断解析式中 k、b 符号。体现了数学中非常重要地数形结合的思想。这段内容的教学，还是从学生活动出发，从具体的实例研究起，观察图象的位置和性质，在按照 k、b 的符号分类讨论，使学生建立起数形之间的联系。还要找到数形间的结合点，明确 k 的符号决定直线的什么位置，b 的符号又决定了什么。为了加深学生对知识的理解，课上设计了由解析式画函数图象的草图，由草图的位置判断解析式中 k、b 的符号的练习，收到了一定的效果。

一次函数的图像与性质教学设计 篇7

1. 问题式教学法的基本含义

所谓问题式教学法,指的就是与教学的主体内容形式相互联系的一种教学方法。它是一种旨在研究学生们所感兴趣的问题的有效方法,能够提升学生的整体智力能力,同时对于提高学生的学习效率也有着十分重要的意义。

这种问题式教学法的运用,能够使学生提出问题并解决问题,这样就能够充分地开发学生的思维,培养学生的创新能力,使学生自主地创新学习方式。

2. 问题式教学法在高中数学课堂 教学中的应用

第一,要提出问题。在高中数学教学中,教师要对所学的内容提出具有针对性的问题,这样才能够把数学课堂的教学内容充分地表现出来,从而使学生对所要学习的内容进行彻底的了解。数学教师所提出的具有针对性的问题一定要和学生所要学习的内容有着紧密的联 系,只有这样才可以使学生在发现问题的过程中,养成自己解决问题的能力,同时还可以充分地调动学生学习数学的主动性和积极性,进而使学生在最短的时间内进入学习状态。数学教师通过提出具有针对性的问题这种方式,充分地激发学生学习数学的兴趣,从而使学生学习数学的效率有所提升。

第二,要积极引导学生,提升学生的学习效率。高中的数学知识需要学生有缜密的逻辑思维。教师在数学教学中通过对学生的观察,往往会发现其实大家对数学的逻辑问题都难以理解,这就需要教师把数学知识进行整合与分解,让学生可以更好地理解知识,然后再把知识的难度一点点地加深,从而让学生完全地理解。

在高中数学的教学过程中,教师一定要积极地对学生进行引导,同时要对所传授的内容进行逐层剖析,从而使学生更喜欢学数学,进而提升学生的学习效率。

第三,要解决问题。在教师提出问题后,学生要对问题进行分析与讨论,在这一过程中,学生要解决问题就一定会想出一些新的办法,这时就需要教师对学生想出的新的解题方法进行判断,看其是否正确。学生要在教师的引导之下,养成多动脑的习惯,充分发挥自己的思维能力,想办法解决问题。

3. 问题式教学方法在高中数学教 学实践中应用的意义

当前随着我国教育改革进程的发展,高中数学的教学方法也在随之变化。其中问题式教学方法在高中数学教学中的运用是最为突出的,其具有十分重大的意义。

问题式教学方法在高中数学教学中的运用,使学生养成了对数学学习的兴趣,充分地调动了学生学习数学的积极性,培养了学生的逻辑思维能力,从而整体提升了学生的数学素养。在高中数学教学实践中,对于遇到的问题都是要通过师生间相互的交流,才能得以解决,所以问题式教学方法在高中数学教学实践中的运用,还可以培养学生的协作精神。

在高中数学教学实践中,教师要转变教学理念,充分地认识问题式教学方法的深刻内涵,并充分地发挥教学组织能力,把数学中的理论知识进行分解与转换,从而使学生能够更好地学习数学这门课程。

一次函数的图像与性质教学设计 篇8

【活动目标】学习使用《几何画板》软件作出一次函数 的图像；借助于动态图形，理解k和b的几何意义。

【活动准备】一间计算机教室，电脑需预装《几何画板》5.0或更高版本；在此前的课堂学习中，同学已经学会软件的一些基本操作；熟悉“一次函数”的图像与性质，会熟练地手工作图。

【活动过程】

1.小组分工：为提高学习效率，共同提高，每4～5名同学分成一组，并按小组就近在计算机教室入座，以便合作讨论，及时总结。

2.教师课前设计好本节课的教学案，本节课需要解决以下几个问题：

（1）学会用《几何画板》画出某个具体的一次函数图像，例如 ；

（2）学会用《几何画板》画出含参数k、b的一次函数图像，并能改变k、b的值，理解它们的几何意义，并藉此理解一次函数图像的性质；

（3）借助画板工具，理解一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式之间的关系，学会利用图形求解方程组的解，利用图形的几何意义求解一元一次不等式。

同学们需要带着教学案进入机房，并熟知本节课的学习任务。

3.问题和探索

问题1：在平面直角坐标系中画出函数 的图像，并和手工作图的图像进行比较，温习一次函数图像的性质。

基本操作：（1）打开《几何画板》软件，在“编辑”菜单中点击“参数选项”，选中“文本”选项卡，并勾选所有复选框。

这样做的目的是，让作图过程中自动加上点的字母，并让函数关系式自动呈现为 的形式，免得后面重复这一操作。

（2）打开“绘图”菜单，选中“绘制新函数”，并在打开的“新建函数”选项卡中，按照运算顺序输入“2*x-1”，在输入的过程中，注意观察界面上的函数式也同步变化，输入完成后，确定。会看到页面上出现一条倾斜向上的直线，这就是 的图像。

作图技巧：我们把坐标原点用O表示，拖动图中的点A可以改变坐标轴的单位长度，在默认情况下，我们选用的坐标系是“方形网格”，如果需要，可以在“绘图”菜单中改成“矩形网格”.例如，我们要画出函数 ，我们可以在矩形网格中，先输入函数式，然后拖动坐标轴上的A和B点，让图像呈现在屏幕的合适位置。

问题2：用《几何画板》画出含参数k、b的一次函数图像，改变的k、b值，观察函数的图像随着k、b的变化如何改变。

基本操作：在x轴上任作两点A、B，过这两点作x轴的垂线，在垂线上各选一点C、D，度量出C、D的纵坐标的数值，改变数值的标签分别为k、b。打开“新建函数”选项卡，输入 （其中k和b分别用鼠标点击刚才的标签），确定。出现如下的图形。

问题2的操作比较复杂，如果有同学发生困难，教师可以利用教师机给同学先展示，再由学生自己操作。个别问题，教师单独解决。

作图技巧：作好图形后，拖动C，可以改变k的值，拖动D，可以改变b的值，由此观察直线的位置、倾斜程度、经过的象限随着k和b如何发生变化的。

问题3：在同一坐标系中画出 和 的图像。（1）观察它们有无交点，并尝试读出交点的坐标；（2）根据图像，说出使 的x的取值范围.

基本操作：如图所示，按照要求作出两个函数图像，为了区分，可以用红色、蓝色分别标记。可以发现它们有一个交点，直接用鼠标点中交点P。可以直接观察出P（3，5）.对于不能直接看出交点坐标，或坐标不是整数的情况，可以选中点P，利用“度量”菜单中的“坐标”工具，直接度量出交点的横坐标和纵坐标。

活动启示：本题其实给出了方程组 的图像解法。进一步地，根据图像的位置关系，可以知道，当x>3时， ；反之，当x<3时， .

作图技巧：可以在y1上任选一点M，并过M作y轴的平行线，看这条直线与y2的交点N与M的位置关系，由此感受y1和y2的大小关系是如何变化的。

【活动总结】

每个小组互相交流一下，解决以上3个问题的过程中有没有新的想法，还有没有疑问和困惑？

【活动评价】

一次函数的图像与性质教学设计 篇9

我说课的内容是正切函数的性质和图像。

教材理解分析

《1,4.3 正切函数的.性质与图像》是人教社A版必修4第一章第4节的第3小节的内容。是前面系统的学习了正弦与余弦函数的概念，图像及其性质以后滴内容

学习目标

1、掌握正切函数的性质及其应用

2、理解并掌握作正切函数图象的方法;

3、体会类比、换元、数形结合等思想方法。

学情分析

由于我们文科平行班基础不太好加之学习函数的图像及性质又是一个难点，自主学习必然会出现困难。加之教学时间紧，任务重，前面地学习也不是很好。

根据教材结构和学情我对具体地教学过程和设计作如下说明：

在学法上大胆采用高效课堂模式，让学生探究，大胆去掉非主线知识内容，内容程序尽量简洁明了，一课一得，便于学生掌握。教学过程共有这样几个方面

一、复习引入

(1)画出下列各角的正切线

(2)复习相关诱导公式

二、探究新知

探究一 正切函数的性质

探究二 正切函数的图像

三、新知运用

例1 求函数的定义域、周期和单调区间.

四、课堂练习

1、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增区间。

2、 观察正切曲线，写出满足下列条件x的范围：

(1) ; (2) ; (3)

二次函数的图像和性质3教学设计 篇10

教学设计

知识与技能：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象；

过程与方法：结合图象确定抛物线y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴与顶点坐标及性质； 情感态度与价值观：通过比较抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系，培养学生的观察、分析、总结的能力。学情分析

学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生独立探究，个别指导，然后归纳总结。之后把侧重点放在对实际问题的探究上，重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。重点难点

教学重点：画出形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点。教学难点：理解函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2及其图象的相互关系。4教学过程

一、复习导入新课

师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。观察y＝－x2、y＝－x2－

1、y＝－(x＋1)2

这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条抛物线。（指名学生回答）。

师： 同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物线能否经过怎样的平移得到抛物线y＝－(x＋1)2－1 生: 向左平移一个单位,再向下平移一个单位。

师：这个猜想是否正确呢？这节课我们一起来验证一下。（板书课题）

二、探究 探究一（大屏幕出示）（自探问题部分）

1.画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．

x y＝－(x＋1)2－1 函数

… …

－4

－3

－2

－1

0 1 2 …

…

开口方向 顶点 对称轴最 值 增减性

y＝－(x＋1)2－1（学生口头展示以上问题）

2．师：（结合课件）把抛物线y＝－x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1．所以抛物线y＝－x2 与抛物线y＝－(x＋1)2－1 形状___________，位置________________． 通过刚才的演示，可以证明我们前面的猜想是正确的。那也就可以说明抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间也具备这样的平移关系，那么我们是不是可以借此探究一下抛物线y＝a(x－h)2＋k的性质呢？（小组合探问题）

1．抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状___________，位置________________． 2.函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性

y＝a(x－h)2＋k(板演展示，评价，教师点评归纳)如果掌握了上面这些内容，我们就可以快速准确的完成下面的练习了。（大屏幕）3.快速抢答

说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点（1）y＝2(x＋3)2+5；（2）y＝-3(x-1)2-2；（3）y＝4(x-3)2+7；（2）y＝-5(x+2)2-6；

师:像这种形式的抛物线我们可以直接确定他的顶点坐标，所以我们把它称为二次函数的顶点式。已知抛物线的解析式可以快速确定顶点坐标，反之，已知顶点坐标可以怎样确定解析式呢? 我们来看一道实际问题。探究二 合探完成例4.(大屏幕)

例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？（小组合作探究完成）

教师巡视过程中注意发现不同的建立直角坐标系模型的方法，并指明不同建模方法的同学进行板演和评价。

重点探究实际问题的建模过程，引导学生用不同的方法建立直角坐标系。

教师点拨归纳：结合我们刚才解决这道题的过程，我们一起来归纳一下解决二次函数实际问题的一般方法。首先，我们要根据实际问题建立数学模型（建模），然后结合所建模型，选择恰当的解析式形式；接下来根据已知条件（已知点的坐标）求解析式，最后，找出实际问题的答案。

三、拓展运用

1．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝x2相同的解析式为（）A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x＋2)2－3 C．y＝(x＋2)2＋3 D．y＝－(x＋2)2＋3 2．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________．

3．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．

4．抛物线y＝－3(x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________． 5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）

6．若抛物线y＝a(x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为。

(学生独立完成，集体校对答案，发现问题组内解决)

四、学科代表对本节课的学习情况做出归纳总结。板书设计：

22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 ——顶点式

函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性

y＝a(x－h)2＋k 学生展示区 学生展示区

一次函数的图像与性质教学设计 篇11

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）07A-

0071-02

一、教材分析

本节课“二次函数的图象与性质”内容，主要是能够利用描点法准确画出二次函数的图象，确定二次函数的性质特征。在利用描点法画二次函数图象时，其具体步骤是：确定自变量取值范围，分析x、y的变化规律，估量函数图象的位置和趋势，通过“列表—描点—连线”这一系列步骤画出函数图象，并由此得出画函数图象的规律所在。

二、教学目标

教学目标：1.学生能够使用描点法画出二次函数y=ax2的图象，掌握抛物线相关概念知识；2.学生通过对二次函数y=ax2图象的分析，确定其性质特征，对学生的自主学习能力和探究思维的培养起到较大的促进作用。

教学重点：学生能够使用描点法画出二次函数y=ax2的图象，掌握抛物线相关概念知识。

教学难点：学生能够使用描点法画出二次函数y=ax2的图象，能够通过对二次函数y=ax2图象的分析，确定其性质特征。

三、学情分析

九年级学生学习积极性比较高，学习能力也不差，他们在学习数学知识的过程中，善于使用直观思维，并能够对直观图象进行抽象概括，其认知水平已处于一个上升趋势。在学习本节课之前，学生已熟练掌握一次函数的相关知识和函数图象的描点法，同时也基本掌握了二次函数的相关概念，做好了学习二次函数的前期知识积累，为顺利学好“二次函数y=ax2的图象与性质”提供了保障。

四、教学过程

（一）旧知引入

师：一次函数的相关知识，同学们还记得吗？

生：记得。

师：那什么是一次函数？

生1：形如y=ax+b的函数，其中a、b为常数，且a≠0。

师：回答正确。谁能够使用我们学过的描点法把一次函数的图象画出来呢？（请一个学生说出描点法的步骤，并上台将一次函数的图象画在黑板上）

生2：描点法有列表—描点—连线这三个步骤，首先要建立一个直角坐标系，接着取x为任意值，将其代入函数中求出y的结果，然后把每一对x、y所对应的数值在坐标轴上一一准确描出，最后把这些点一一连接成线。（学生上台画图）

师：这位同学回答得不错，图象也画得很正确。大家仔细看图象，试着总结出画图的规律？

（学生深入思索，交流讨论，得出各种各样的答案）

师：看刚才的同学画一次函数的图象的整个过程，我们就应该知道，只要求出足够多的点坐标，把点一一对应连接，就可以得出函数的图象。这节课我们要学习的二次函数的图象也可以用这个方法。

[设计意图]在学习“二次函数的图象与性质”之前，学生已经熟练掌握一次函数的相关知识，虽然一次函数和二次函数在概念、图象以及性质等方面存在差异，但是学生可以利用在学习一次函数时的模式来学习二次函数，这样可以唤起学生对函数的熟悉度，降低学生学习新知识的紧张心理，让学生能够顺利开展二次函数的学习。

（二）探究新知

1.画图：画y=2x2与y=-2x2的图象。（学生独立完成，并邀请一名学生到讲台上将自己所画的图象板演出来）

步骤如下：（1）列表。在自变量取值范围内（全体实数），选择适当的x值，并计算相应的y值，完成表格；（2）描点。以自变量与其对应的函数值分别为横、纵坐标，建立直角坐标系，将其对应值在坐标轴上一一准确描出；（3）连线。使用平滑曲线，将描好的对应点一一连接，二次函数y=2x2与y=-2x2的图象就完成了。

[设计意图]让学生回忆描点法作图的注意事项，并动手完成图象的绘制，体会二次函数图象与一次函数、反比例函数图象的异同点，为学生讨论二次函数图象的性质做好铺垫。

2.观察图象：要求学生认真观察画好的二次函数y=2x2与y=-2x2的图象，从图象的形状、开口方向、位置、增减性、最高（低）点，以及图象是否与对称轴有交点这六个方面思考、讨论，最后总结出二次函数的性质。

学生在观察图象后进行了积极发言，其答案各种各样，有对有错，教师有针对性地对学生的回答进行了点评，并做出归纳：

①图象：y=2x2与y=-2x2的图象都呈抛物线状态，都是轴对称图形，对称轴是y轴。

②y=2x2与y=-2x2的图象与对称轴都有交点，交点坐标（0，0）。

③开口方向：y=2x2的开口方向向上，y=-2x2的开口方向向下。

④位置：y=2x2在x轴上方，y=-2x2在x轴的下方。

⑤增减性：y=2x2：x<0时，x增大y 减小，x>0时，x增大y增大。y=-2x2与y=2x2的情况正好相反。

⑥最高（低）点：y=2x2有最低点（0，0），y=-2x2有最高点（0，0）。

[设计意图]教师设置的思考题，有效地为学生指明了探究的方向，避免了学生进入盲目探究的极端，节约了时间，提高了课堂效率。

（三）总结

二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是（0，0）。

（四）作业（略）

五、教学反思

教师在整个教学情境中，与学生一起实践、一起思考，把教师的点拨与学生的解决问题有机结合起来，培养了学生自主学习的能力和深入探究的精神。同时在教学过程中对于学生勇于实践、大胆发表自己的见解做出及时性的、激励性的评价。

一次函数的图像与性质教学设计 篇12

近几年来, 各省高考对三角函数部分的考查, 在内容、题量、分值三个方面保持稳定的同时, 加重了对三角函数性质的考查, 难度适中.这样的命题意在考查学生的计算能力、演绎推理能力、综合应用知识解决问题的能力以及数学思想方法的应用, 激发了学生进一步学习的潜能.对应思想作为数学中的一个重要思想, 近几年来不断在高考三角函数图像与性质的相关问题中出现, 成为高考题型中的一个创新.

2 对应以及对应思想

对应是人的思维对两个集合之间联系的把握, 反映的是两个集合元素之间的关系, 对应将各种类别、各种层次的对象联系起来, 呈现出它们之间各种各样的属性, 使得各种数学对象能够互相结合、互相转化和深入.

对应思想则是指人们在解决某个范畴的数学问题时, 通过寻找恰当的对应关系, 把原数学问题转化为另一个范畴的数学问题, 再在这个范畴中求解, 从而达到解决原问题的目的的思维方法.对应思想是人们对两个集合范畴之间联系把握的一种思想方法, 是函数与方程思想的支柱, 其关键在于寻找两个集合范畴之间的对应关系.利用对应思想解题, 不仅对培养和提高学生观察和分析问题的能力, 启迪和锻炼学生正确的思维方法有着积极的作用, 而且具有初等性、趣味性.笔者尝试利用这一思想方法, 通过三角函数图像之间的对应关系, 求解近几年来高考中的三角函数图像与性质的相关问题, 起到了事半功倍的效果.

3 对应思想的应用

评注无论是传统法还是对应思想法, 都很好的利用了图像上的特殊点.传统法通过最值点列方程求解φ, 揭示了φ的本质;而对应思想法则根据函数y=f (x) 与函数y=sin x在一周期内图像特殊点之间一一对应的关系, 结合整体思想, 列出关于ω, φ的方程组求解, 相比之下更为简捷、明了.

评注利用对应思想求解三角函数图像所对应的解析式, 关键在于找准所求函数y=f (x) 与其所对应的基本三角函数在一个周期内的点之间一一对应的关系, 由对应思想和函数与方程思想, 建立关于ω, φ的方程组.

对应思想法不仅适用于正弦函数、余弦函数的相关图像问题, 同时也适用于正切函数图像的相关问题.

评注本题根据函数f (x) 的最值性和对称性, 综合分析得函数图像的最值点, 利用图像间的对应关系建立关于ω的方程, 需要学生把握三角函数的图像和性质, 具有一定的综合性.

4 对应思想的拓展应用

评注函数f (x) 在某个区间内的图像恒在x轴下方, 对应于函数y=cos x在周期[0, 2π]内x轴下方的图像或某一段图像, 再根据这一对应关系建立关于ω的不等式组.

评析本题根据函数f (x) 在给定区间内的最值和零点情况, 对比函数y=cos x在周期[0, 2π]内的最小值和零点情况, 建立这两个函数图像之间的对应关系, 得到关于ω的不等式组.

综上所述, 在求解三解函数图像以及性质相关问题的选择题或填空题时, 在推导的严密性要求不是很高的情况下, 利用对应思想, 把要研究的三角函数问题对应到相应基本三角函数在一个周期内的图像上研究, 思路清晰、方法简捷, 既简化了问题, 使学生把握了问题的本质, 又提高了学生的数学素养!当然, “对应思想”的应用远不止上述类型的问题, 限于篇幅, 这里不再一一赘述了.

参考文献

[1]沈文选, 杨清桃.数学思想领悟[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2008.

一次函数的图像与性质教学设计 篇13

教材背景分析

一、教材的地位与作用

《二次函数的图像与性质》是九年级下册第26章的内容，在学生已经学习过一次函数（包括正比例函数）、反比例函数的图像与性质，以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，是对前面所学一次函数、反比例函数图像与性质的一次升华，又是今后学习《二次函数的应用》、《二次函数与一元二次方程的联系》的预备知识，又是学生高中阶段数学学习的基础知识。它在教材中起着非常重要的作用。另外，本节课，最大特点，是结合图形来研究二次函数的性质，这充分体现了一个很重要的数学思想——数形结合数学思想。因此，这一节课，无论是在知识上，还是对学生动手能力培养上都有着十分重要的作用。

二、教学重点与难点

通过分析，我们知道，《二次函数的图像与性质》在整个教材体系中，起着承上启下的作用，有着广泛的应用。我认为这节课的重点是：作出函数y=ax2+c

222的图象，比较函数y=ax和函数y=ax+c的异同，了解它们的性质；函数y=ax+c的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律是本节课的难点。

教学目标设计 知识目标

（1）会做函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并能比较它们的异同；理解a,c对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；

（2）了解抛物线y=ax2上下平移规律。能力目标

本节课，过程是由抽象到直观，再由直观到抽象（既二次函数y=ax2+c的关系式——作出图像——说出二次函数y=ax2+c的图像与性质），培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生观察、探讨、分析、分类讨论的能力。情感目标

引导学生养成全面看问题、分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性。教学结构设计

建立以“实施主体性教学，培养学生自主探究的能力”为主的课堂教学结构模式——学教结合式。让学生先自己动手画图，然后由老师来演示，这样从直观的看图观察，思考，提问，容易激发学生的求知欲望，调动学生学习的兴趣。以“学教结合”为模式的课堂结构设计为“三个阶段”：

①准备阶段。教师先从回忆函数y=ax2图象与性质，从而导入二次函数y=ax2+c的图像与性质，进而带出本节课的学习目标。

②参与阶段。学生围绕目标自我表现，相互交流，启发理解。

③应用与升华阶段。这一阶段是让学生从“学会”到“会学”的升华。延伸

阶段要做到“三化”，一是知识的深化，二是知识向能力、技能的转化，三是学习方法的固化，即演练巩固，牢固掌握其方法。

教学媒体设计

充分利用多媒体教学，将powerpoint、《几何画板》两种软件结合起来制作上课课件。制作的课件，不仅课堂所授容量大，而且，利用作二次函数图像的动画性，更加形象的反映出作图的过程，增加数学的美感，激发学生作图的兴趣。

教学评价设计

本节课，我合理、充分利用了多媒体教学的手段，利用powerpoint，《几何画板》这两种软件制作了课件，特别是《几何画板》软件的应用，画出了标准、动画形式的二次函数的图像，让抽象思维不强的学生，更加形象的结合图形，分析说出二次函数y=ax2的有关性质，充分体现了“数形结合”的数学思想。为了突出重点，攻破难点，我要求学生“先观察后思考”、“先做后说”、“先讨论后总结”，“师生共做”充分体现了教学过程中以学生为主体，老师起主导作用的教学原则。本节课，让学生有观察，有思考，有讨论，有练习，充分调动了学生的学习兴趣，从而为高效率、高质量地上好这一堂课作好了充分的准备。

《二次函数的图像与性质》教案

和平中学 王霞

教学目标：

1、了解二次函数图像的特点。

2、掌握一般二次函数yax2bxc的图像与yax2的图像之间的关系。

3、会确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。教学重点：二次函数的图像特征

教学难点：例2的解题思路与解题技巧。教学设计：

一、回顾知识

1、二次函数ya(xm)2k的图像和yax2的图像之间的关系。

2、讲评上节课的选作题

对于函数yx22x1，请回答下列问题：

（1）对于函数yx22x1的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？（2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？

yx22x1思路：把yx22x1化为ya(xm)2k的形式。=(x22x1)(x22x1)2(x1)22(x1)22

在y(x1)22中，m、k分别是什么？从而可以确定由什么函数的图像经怎样的平移得到的？

二、探索二次函数yax2bxc的图像特征

1、问题：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？学生有难度时可启发：通过变形能否将y=ax²+bx+c转化为y = a(x+m)2 +k的形式 ？ yax2bxc

bcb2b2cb24acb22b=a(xx)axx()()a(x)

aaa2a2aa2a4a2由此可见函数yax2bxc的图像与函数yax2的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。

练习：课本第37页课内练习第2题（课本的例2删掉不讲）

2、二次函数yax2bxc的图像特征

（1）二次函数 yax2bxc(a≠0)的图象是一条抛物线；

bb4acb2（2）对称轴是直线x=，顶点坐标是为（，）

2a2a4a(3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。

当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

三、巩固知识

151、例

1、求抛物线yx23x的对称轴和顶点坐标。

22有由学生自己完成。师生点评后指出：求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法或者是用顶点坐标公式。

2、做一做课本第36页的做一做和第37页的课内练习第1题

3、（补充例题）例2已知关于x的二次函数的图像的顶点坐标为（-1，2），且图像过点（1，-3）。

（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。(此小题供血有余力的学生解答)分析与启发：（1）在已知抛物线的顶点坐标的情况下，将所求的解析式设为什么比较简便？

4、练习：（1）课本第37页课内练习第3题。

（2）探究活动：一座拱桥的示意图如图（图在书上第37页），当水面宽12m时，桥洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点：

1、点A

2、点B

3、抛物线的顶点C 所得的函数解析式相同吗？请试一试。哪一种取法求得的函数解析式最简单？

四、小结

1、函数yax2bxc的图像与函数yax2的图像之间的关系。

2、函数yax2bxc的图像在对称轴、顶点坐标等方面的特征。

3、函数的解析式类型：

一般式：yax2bxc顶点式：ya(xm)2k

五、布置作业

二次函数图象与性质的教学反思

和平中学 王霞

本节课的教学目标是：①能根据已知条件确定二次函数的解析式、开口方向、顶点和对称轴。②理解并能运用二次函数的图象和性质解决有关问题。本节课的重、难点是：二次函数图象和性质的综合应用。我立足于学生自主复习，师生合作探究的形式完成本节课的教学任务。

首先我让学生课前完成二次函数图象和性质的基础训练，促使学生对二次函数图象和性质的知识点全面梳理和掌握。课上我用投影仪检查一名学生完成课前复习情况，其他学生交换批改，发现最后一小条有部分学生有问题，我及时评讲分析，帮助学生解决。

接着，师生合作探究本节课的例题。本例是用已知抛物线解决7个问题，这7个问题是我从全国近年中考试题中整理出来的，它代表了中考的方面。问题1是用顶点式求出抛物线的解析式再通过解析式求与坐标轴的交点，通过观察图象我又提出了x为何值时，y>0，y<0？以及图中△AOC与△DCB有何关系，进一步培养学生发现问题解决问题的能力。问题

2、问题

3、问题4是抛物线的平移、轴对称和旋转的题目。主要是让学生抓住抛物线的顶点和开口方向来完成。这种类型的题目也有少数同学从坐标点的对称角度来解决也是可行的，并且方便记忆，对于这两种方法我让学生作了及时的归纳小结。问题5和问题6是关于抛物线的最值问题。问题5是利用抛物线的对称性解决三角形的周长最小的题目。学生通过作图能独立解决并求出点的坐标。问题6是本节课的重点，它通过建立目标函数解决四边形面积的极值。本题目关键是引导学生如何设点的坐标，将四边形的面积转化成我们熟悉的三角形（或直角梯形）来建立函数关系式。通过这条题进一步培养学生建立函数模型的思想。本题让学生充分合作交流，最后，让学生在自主探索中获取新的知识。通过观察图象求出了四边形的面积后，我又提出如何求△BCF的面积的最大值的问题，让本题得到进一步的升华，培养学生的创新思维。问题7是在抛物线上探求点存在性问题，引导学生先作出符合条件的平行四边形，再判断点是否在抛物线上，本题着重培养了学生数形结合的思想方法。

这7个问题由浅入深，循序渐进推出，符合学生的认知规律，使学生对二次函数图象和性质有了进一步的理解和提高。

正比例函数的图像和性质 篇14

正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。

比如斜率问题就取决于k值，当k越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然。

还有，y=kx是y=k/x的图像的对称轴。

1.单调性

当k>0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的`增大而增大（单调递增），为增函数；

当k<0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数。

2.对称性

对称点：关于原点成中心对称。

对称轴：自身所在直线；自身所在直线的垂直平分线。

正比例函数图像

一次函数的图像与性质教学设计 篇15

求函数的最值是中学数学的重要内容之一, 本文就如何利用函数$y=ax+\frac{b}{x}$的图像和性质求函数的最值谈几点具体做法.

1 函数$\mathit{y}=\mathit{a}\mathit{x}+\frac{\mathit{b}}{\mathit{x}}$的图像和性质

1) 当a·b=0时, 若a=0, b≠0, 函数化为$y=\frac{b}{x}$, 若a≠0, b=0, 函数化为y=ax, 其图像和性质不必讨论.

2) 当a·b≠0时, 函数$y=ax+\frac{b}{x}$是奇函数, 渐近线方程是x=0及y=ax.

若a·b>0时, 其图像如图1所示.

当a>0, b>0时, 函数的极大值点是$\left(-\sqrt{\frac{b}{a}}‚-2\sqrt{ab}\right)$, 极小值点是$\left(\sqrt{\frac{b}{a}}‚2\sqrt{ab}\right)$, 单调增区间是$\left(-\infty ‚-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$和$\left(\sqrt{\frac{b}{a}}‚+\infty \right)$, 单调减区间是$\left(-\sqrt{\frac{b}{a}}‚0\right)$和$\left(0‚\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$;

当a<0, b<0时, 函数的极大值点是$\left(\sqrt{\frac{b}{a}}‚-2\sqrt{ab}\right)$, 极小值点是$\left(-\sqrt{\frac{b}{a}}‚2\sqrt{ab}\right)$, 单调增区间是$\left(-\sqrt{\frac{b}{a}}‚0\right)$和$\left(0‚\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$, 单调减区间是$\left(-\infty ‚-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$和$\left(\sqrt{\frac{b}{a}}‚+\infty \right).$

若a·b<0时, 其图像如图2所示.

当a>0, b<0时, 函数无极值点, 单调增区间是 (-∞, 0) 和 (0, +∞) ;

当a<0, b>0时, 函数无极值点, 单调减区间是 (-∞, 0) 和 (0, +∞) .

2 利用函数$\mathit{y}=\mathit{a}\mathit{x}+\frac{\mathit{b}}{\mathit{x}}$的图像和性质求函数的最值举例

例1 已知函数$f(x)=\frac{x{}^2+2x+\frac{1}{2}}{x}‚x\in \left[-\frac{3}{2}‚-1\right]$, 求函数f (x) 的最大值、最小值.

解$f(x)=\frac{x{}^2+2x+\frac{1}{2}}{x}=x+\frac{1}{2x}+2.$

设$g(x)=x+\frac{1}{2x}$, 则f (x) =g (x) +2.

因为g (x) 在$\left(-\infty ‚-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$上单调递增, 在$\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}‚0\right)$单调递减, 所以当$x\in \left[-\frac{3}{2}‚-1\right]$时, g (x) 的最大值为$g(-1)=-\frac{3}{2}$, 最小值为$g\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{11}{6}.$

所以f (x) 在$\left[-\frac{3}{2}‚-1\right]$上R 最大值为$-\frac{3}{2}+2=\frac{1}{2}$, 最小值为$-\frac{11}{6}+2=\frac{1}{6}.$

例2 求函数$y=\sin x+\frac{4}{\sin x}‚(0＜x＜\text{π})$的最小值.

错解 因为0<x<π, 所以sin x>0.

由均值不等式可得

$\begin{array}{l}y=\sin x+\frac{4}{\sin x}\\ \ge 2\sqrt{\sin x\cdot \frac{4}{\sin x}}=4.\end{array}$

所以函数的最小值是4.

辨析 错解中忽视了不等式取“=”的条件:$\sin x=\frac{4}{\sin x}‚\sin x=\pm 2$, 但当0<x<π时, 0<sin x≤1, 故“=”不能成立.

正解 设t=sin x, 则$y=t+\frac{4}{t}$, 因为0<x<π, 0<sin x≤1, 所以0<t≤1.

又函数$y=t+\frac{4}{t}$在 (0, 2) 上单调减, 所以当t=1时, 函数$y=t+\frac{4}{t}$取得最小值5.

由t=1, 得$\sin x=1‚x=\frac{\text{π}}{2}$.所以当$x=\frac{\text{π}}{2}$时, 函数$y=\sin x+\frac{4}{\sin x}(0＜x＜\text{π})$取得最小值5.

例3 已知$a‚b\in \left[\frac{1}{2}‚1\right]$, 求$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的最大值和最小值.

解 设$\frac{b}{a}=t$, 因为$a‚b\in \left[\frac{1}{2}‚1\right]$, 所以$t\in \left[\frac{1}{2}‚2\right].$

又$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}‚f(2)=\frac{5}{2}$, 所以当$t=\frac{1}{2}$或t=2时函数取得最大值$\frac{5}{2}.$

故$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的最大值是$\frac{5}{2}$, 最小值是2.

例4 求函数y=loga (x2-2x-1) -loga (x-1) (x≥3) 的值域.

$\begin{array}{l}\text{解}y=\log {}_a(x{}^2-2x-1)-\log {}_a(x-1)\\ =\log {}_a\frac{x{}^2-2x-1}{x-1}\\ =\log {}_a\left[(x-1)-\frac{2}{x-1}\right].\end{array}$

令x-1=t (t≥2) , 则$g(t)=t-\frac{2}{t}\ge 1.$

当a>1时, 函数的值域是[0, +∞) ;当0<a<1时, 函数的值域是 (-∞, 0].

例5 设a>1, a, θ均为实数, 求当θ变化时函数$y=\frac{(a+\sin \theta )(4+\sin \theta )}{1+\sin \theta }$的最小值.

解 令1+sin θ=t∈ (0, 2], 则

$\begin{array}{l}y=\frac{(t+a-1)(t+3)}{t}\\ =t+\frac{3(a-1)}{t}+2+a.\end{array}$

因为a>1, a-1>0, 由函数$u=t+\frac{3(a-1)}{t}$的图像性质知:

当$0＜\sqrt{3(a-1)}\le 2$, 即$1＜a\le \frac{7}{3}$时, $y{}_{\min }=2\sqrt{3(a-1)}+a+2$;

当$\sqrt{3(a-1)}＞2$, 即$a＞\frac{7}{3}$时, 函数$u=t+\frac{3(a-1)}{t}$在 (0, 2]上单调递减, 所以当t=2时, $\begin{array}{l}y{}_{\min }=\frac{5(a+1)}{2}.\\ \end{array}$

一次函数的图像与性质教学设计 篇16

本课例是现代信息技术与课程内容有机整合的一次有效实践，几何画板软件的应用起到了突破难点的作用；在引导学生完成性质到图像和图像到性质转化的两个关键环节中，充分渗透了数形结合的思想和方法；引导启发学生积极运用观察、思考、猜想、讨论、推理、运算等多样化的学习策略，发展了学生的计算能力、空间想象能力、自主探究能力和合作交流能力。

【所用教材】

人教A版：1.4.3正切函数的性质和图像。

【教学资源】

教材；教参；课程标准；多媒体；投影仪；几何画板软件。

【教学目标】

1.知识与技能目标：利用已学的正切函数的知识探究性质；学会画正切函数的图像；掌握正切函数的性质；通过函数性质到图像和图像到性质的转化，体会数形结合的基本数学思想和方法。

2.过程与方法目标：通过想象图象、描点画出图象、计算机软件画出图象，研究函数图象的方法有了基本的认识，也增强了想象力；体会从性质到图象和从图象到性质两种研究函数的不同思路。

3.情感态度与价值观目标：借助几何画板，动态演示单位圆中的正切线的变化和正切函数准确图象，让学生亲身经历数学研究的过程，体会探索的乐趣，增强学习数学的乐趣；独立解答和分组讨论相结合的学习方式，增强学生自主创新和团结协作的精神。

【教学重难点】

1.重点：正切函数的主要性质和图像及画法。

2.难点：通过性质掌握图像特点，观察图像总结函数性质。

【教学方法】

主要采取类比、讨论、启发等教学方式，并借助多媒体辅助手段

【教学过程】

八、教学反思

初次阅读这篇教材内容，只觉得教学内容少、难度小，又由于本课之前学生已学习过正余弦函数、单调性、奇偶性、周期性等内容，好像没什么可细究的，也出不了什么新东西。但是再次详细阅读课本和教参后，又有了一些新的想法。

首先，正弦、余弦函数按照从函数定义到作函数图像再到讨论函数性质最后到函数模型应用的顺序展开，而正切函数先利用诱导公式和单位圆讨论性质，然后再利用性质作图像，这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数。通过改进呈现方式，提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、反思与建构等思维活动的载体，贯彻体现数学教育新理念，促进学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习。

其次，加强相关知识的联系性，加强几何直观，强调数形结合的思想方法。为了更好的体现数形结合思想，教学中充分发挥单位圆和三角函数线的直观作用，使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯。同时引导学生体会从正切函数的定义和几何意义出发，发现正切函数的性质，再想象正切函数图像的样子，直到画出函数图像后，再次总结函数性质，每个环节之间的转换都渗透着数形结合的思想方法。数形结合的思想方法是这节课的精髓。

再次，使用信息技术，符合新课程的基本要求。为了突破难点，本节适当使用了信息技术。多媒体教学的呈现方式不仅在课堂上为学生留出了更多的思考和讨论的时间，还加强了知识的发生发展过程，加深了对有关概念的认识，突破了学习中可能遇到的困难。特别是几何画板的一步步地使用，积极引导学生学习和使用计算机及专业工具和软件，以突破难点。

最后，加强学生学习的“过程性”，使数学思想的学习和数学能力培养落到实处。通过学生对五个思考题的各个击破，得出了主要性质；通过学生想象图象、描点画出图象，计算机软件画出图象，对图象有了深刻的印象，也增强了想象力；通过两组讨论和探究，深化知识，升华思想。教师提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行了具体示范、引导，学生或看、或说、或想、或听、或写、或画完成了每个过程。

【参考资料】

[1]《数学（A版）教师培训手册》，人民教育出版社.

（作者单位：甘肃省嘉峪关市第一中学）

本课例是现代信息技术与课程内容有机整合的一次有效实践，几何画板软件的应用起到了突破难点的作用；在引导学生完成性质到图像和图像到性质转化的两个关键环节中，充分渗透了数形结合的思想和方法；引导启发学生积极运用观察、思考、猜想、讨论、推理、运算等多样化的学习策略，发展了学生的计算能力、空间想象能力、自主探究能力和合作交流能力。

【所用教材】

人教A版：1.4.3正切函数的性质和图像。

【教学资源】

教材；教参；课程标准；多媒体；投影仪；几何画板软件。

【教学目标】

1.知识与技能目标：利用已学的正切函数的知识探究性质；学会画正切函数的图像；掌握正切函数的性质；通过函数性质到图像和图像到性质的转化，体会数形结合的基本数学思想和方法。

2.过程与方法目标：通过想象图象、描点画出图象、计算机软件画出图象，研究函数图象的方法有了基本的认识，也增强了想象力；体会从性质到图象和从图象到性质两种研究函数的不同思路。

3.情感态度与价值观目标：借助几何画板，动态演示单位圆中的正切线的变化和正切函数准确图象，让学生亲身经历数学研究的过程，体会探索的乐趣，增强学习数学的乐趣；独立解答和分组讨论相结合的学习方式，增强学生自主创新和团结协作的精神。

【教学重难点】

1.重点：正切函数的主要性质和图像及画法。

2.难点：通过性质掌握图像特点，观察图像总结函数性质。

【教学方法】

主要采取类比、讨论、启发等教学方式，并借助多媒体辅助手段

【教学过程】

八、教学反思

初次阅读这篇教材内容，只觉得教学内容少、难度小，又由于本课之前学生已学习过正余弦函数、单调性、奇偶性、周期性等内容，好像没什么可细究的，也出不了什么新东西。但是再次详细阅读课本和教参后，又有了一些新的想法。

首先，正弦、余弦函数按照从函数定义到作函数图像再到讨论函数性质最后到函数模型应用的顺序展开，而正切函数先利用诱导公式和单位圆讨论性质，然后再利用性质作图像，这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数。通过改进呈现方式，提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、反思与建构等思维活动的载体，贯彻体现数学教育新理念，促进学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习。

其次，加强相关知识的联系性，加强几何直观，强调数形结合的思想方法。为了更好的体现数形结合思想，教学中充分发挥单位圆和三角函数线的直观作用，使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯。同时引导学生体会从正切函数的定义和几何意义出发，发现正切函数的性质，再想象正切函数图像的样子，直到画出函数图像后，再次总结函数性质，每个环节之间的转换都渗透着数形结合的思想方法。数形结合的思想方法是这节课的精髓。

再次，使用信息技术，符合新课程的基本要求。为了突破难点，本节适当使用了信息技术。多媒体教学的呈现方式不仅在课堂上为学生留出了更多的思考和讨论的时间，还加强了知识的发生发展过程，加深了对有关概念的认识，突破了学习中可能遇到的困难。特别是几何画板的一步步地使用，积极引导学生学习和使用计算机及专业工具和软件，以突破难点。

最后，加强学生学习的“过程性”，使数学思想的学习和数学能力培养落到实处。通过学生对五个思考题的各个击破，得出了主要性质；通过学生想象图象、描点画出图象，计算机软件画出图象，对图象有了深刻的印象，也增强了想象力；通过两组讨论和探究，深化知识，升华思想。教师提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行了具体示范、引导，学生或看、或说、或想、或听、或写、或画完成了每个过程。

【参考资料】

[1]《数学（A版）教师培训手册》，人民教育出版社.

（作者单位：甘肃省嘉峪关市第一中学）

本课例是现代信息技术与课程内容有机整合的一次有效实践，几何画板软件的应用起到了突破难点的作用；在引导学生完成性质到图像和图像到性质转化的两个关键环节中，充分渗透了数形结合的思想和方法；引导启发学生积极运用观察、思考、猜想、讨论、推理、运算等多样化的学习策略，发展了学生的计算能力、空间想象能力、自主探究能力和合作交流能力。

【所用教材】

人教A版：1.4.3正切函数的性质和图像。

【教学资源】

教材；教参；课程标准；多媒体；投影仪；几何画板软件。

【教学目标】

1.知识与技能目标：利用已学的正切函数的知识探究性质；学会画正切函数的图像；掌握正切函数的性质；通过函数性质到图像和图像到性质的转化，体会数形结合的基本数学思想和方法。

2.过程与方法目标：通过想象图象、描点画出图象、计算机软件画出图象，研究函数图象的方法有了基本的认识，也增强了想象力；体会从性质到图象和从图象到性质两种研究函数的不同思路。

3.情感态度与价值观目标：借助几何画板，动态演示单位圆中的正切线的变化和正切函数准确图象，让学生亲身经历数学研究的过程，体会探索的乐趣，增强学习数学的乐趣；独立解答和分组讨论相结合的学习方式，增强学生自主创新和团结协作的精神。

【教学重难点】

1.重点：正切函数的主要性质和图像及画法。

2.难点：通过性质掌握图像特点，观察图像总结函数性质。

【教学方法】

主要采取类比、讨论、启发等教学方式，并借助多媒体辅助手段

【教学过程】

八、教学反思

初次阅读这篇教材内容，只觉得教学内容少、难度小，又由于本课之前学生已学习过正余弦函数、单调性、奇偶性、周期性等内容，好像没什么可细究的，也出不了什么新东西。但是再次详细阅读课本和教参后，又有了一些新的想法。

首先，正弦、余弦函数按照从函数定义到作函数图像再到讨论函数性质最后到函数模型应用的顺序展开，而正切函数先利用诱导公式和单位圆讨论性质，然后再利用性质作图像，这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数。通过改进呈现方式，提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、反思与建构等思维活动的载体，贯彻体现数学教育新理念，促进学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习。

其次，加强相关知识的联系性，加强几何直观，强调数形结合的思想方法。为了更好的体现数形结合思想，教学中充分发挥单位圆和三角函数线的直观作用，使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯。同时引导学生体会从正切函数的定义和几何意义出发，发现正切函数的性质，再想象正切函数图像的样子，直到画出函数图像后，再次总结函数性质，每个环节之间的转换都渗透着数形结合的思想方法。数形结合的思想方法是这节课的精髓。

再次，使用信息技术，符合新课程的基本要求。为了突破难点，本节适当使用了信息技术。多媒体教学的呈现方式不仅在课堂上为学生留出了更多的思考和讨论的时间，还加强了知识的发生发展过程，加深了对有关概念的认识，突破了学习中可能遇到的困难。特别是几何画板的一步步地使用，积极引导学生学习和使用计算机及专业工具和软件，以突破难点。

最后，加强学生学习的“过程性”，使数学思想的学习和数学能力培养落到实处。通过学生对五个思考题的各个击破，得出了主要性质；通过学生想象图象、描点画出图象，计算机软件画出图象，对图象有了深刻的印象，也增强了想象力；通过两组讨论和探究，深化知识，升华思想。教师提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行了具体示范、引导，学生或看、或说、或想、或听、或写、或画完成了每个过程。

【参考资料】

[1]《数学（A版）教师培训手册》，人民教育出版社.