非线性

非线性（精选9篇）

非线性 篇1

非线性最小二乘参数平差的非线性规划算法研究

讨论了非线性最小二乘参数平差可行的5种非线性规划算法--牛顿法、最速下降法、离散牛顿法、拟牛顿法和SQPM算法,通过分析、比较和实算证实SQPM算法是求解非线性最小二乘参数平差问题的.最为有力的工具,且使SQPM算法成为无需精确计算参数概略值的非线性最小二乘参数平差法.

作 者：范东明 作者单位：西南交通大学土木工程学院刊 名：西南交通大学学报 ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY年，卷(期)：36(5)分类号：P207关键词：最小二乘法 非线性规划 算法 参数平差

非线性 篇2

关键词：非线性弹性地基,预应力梁,多重尺度法,包络孤立子

非线性波传播特性的研究, 揭示了许多重要现象, 对解决工程学和自然科学上的复杂问题有着极其重要的作用。尤其是孤立子理论的建立是非线性波动理论发展中一项重大成就, 孤立子的典型特征是在其传播过程中伴随有能量的集聚, 且孤立子之间的相互作用表现为犹如粒子弹性碰撞一样的行为, 这些特征已经在流体力学、非线性光学、光纤通讯以及等离子体和生物学等学科中获得重要应用。

随着非线性科学的发展, 固体中非线性波的研究越来越受到关注, 并已取得了许多有意义的成果[1—4]。然而对于弹性固体中非线性波的研究大都集中在非线性弹性杆中纵波的传播方面[5—11], 相对于弹性梁中非线性弯曲波的研究很少, 文献[12]中讨论了梁中的非线性弯曲波的传播特性, 考虑梁的大挠度引起的几何非线性效应和梁的转动惯性导致的弥散效应, 建立了梁的非线性弯曲波的波动方程, 并利用约化摄动法从非线性弯曲波动方程中导出了Schrödinger非线性方程, 从理论上证明了考虑梁的大挠度和转动惯性时梁中存在包络孤立波。文献[13]将有限挠度和轴向惯性引入Rayleigh修正梁、Bernoulli-Euler梁、和Timoshenko梁三种梁理论的基本方程中, 得到了相应的支配弯曲波传播的非线性偏微分方程组。给出了精确的周期波解及其模数m※1退化情况下的孤立波解或冲击波解, 得出仅有有限挠度Timoshenko梁中的周期波解和冲击波解才有实际意义的结论。文献[14]中在大挠度梁中引入了横向和轴向惯性以及转动惯量, 给出了模数m※1退化情况下的大挠度梁的孤波解或冲击波解。文献[12—14]都是考虑梁的挠度引起的几何非线性效应和梁的转动惯量导致的弥散效应, 由此得到梁的支配方程。

本文研究了在非线性弹性地基内预应力梁中的非线性弯曲波, 引入了非线性弹性地基的地基反力, 包括二次和三次的非线性项, 在梁轴向考虑预加应力, 利用Hamilton变分原理建立了弹性梁中的非线性弯曲波传播的波动方程。应用多重尺度的摄动法导出了非线性Schrödinger方程, 给出了弥散关系和群速度, 从理论上证明了非线性弹性地基内预应力梁中存在包络孤立子并给出了包络孤立子解。

1 非线性波动方程的导出

考虑一均匀的、等截面的埋置在非线性弹性地基内的预应力梁。取变形前的梁轴为X轴, 中性轴为Y轴, 梁发生弯曲的方向为Z轴, 如图1所示。梁在X方向承受轴向预应力N0作用, 且沿横截面均匀分布。

假定梁沿Z轴的挠度为w (x, t) , 梁单位长度上的动能为

式 (1) 中ρ为梁的密度, h为梁的高度, w为Z方向的挠度, wt=tw。

考虑非线性弹性地基和预应力时, 梁的单位长度能量由弯曲能、几何应变能和非线性弹性地基力所做的功组成, 即

式 (2) 中

其中UB为梁单位长度上的弯曲能, UP为预应力作用下的几何应变能, UF为非线性弹性地基作用下的能量。D=Eh3/12 (1-υ2) , υ为泊松比, N0为轴向预应力, c1, c2, c3非线性弹性地基的系数, L为梁的长度。

利用Hamiltonian原理

将式 (1) 和式 (2) 代入式 (3) 得

式 (4) 中E为杨氏模量, c1将始终取正号[15], 而c2, c3的正负取决于非线性弹性地基的性质。为了简化上式, 引入下列无量纲量

wc是Z方向的特征挠度, L和T0是预应力梁的特征长度和时间, Ncr是相应预应力梁的临界荷载, 则方程式 (4) 无量纲化为

式 (6) 中ε=wc c2/c1, ε2=w c2 c3/c1, 当c2>0时c2=1, 当c2<0时c2=-1, c3同c2一样。ε是一个有限小量。式 (6) 给出了预应力梁中非线性弯曲波的支配方程, 式中同时包含了由非线性弹性地基对梁作用产生的非线性效应和梁受到预应力作用产生的弥散效应。当这两种效应达到平衡时, 有稳定传播的孤立波或者冲击波。

2 非线性Schrödinger方程 (NLS) 导出

上一节导出了非线性弹性地基内预应力梁中的非线性波动方程。为了研究弱的非线性波包, 引入原始时间尺度T0=t和慢时间尺度T1=εt和T2=ε2t。同样, 除了原始空间尺度X0=x之外, 同时引入大尺度X1=εx和X2=ε2x[16]。注意到

取如下W的渐进展开

将方程 (8) 代入方程 (6) 中, 并利用方程 (7) 使ε的相同幂次项的系数相等, 可以得到以下方程

为了研究弱的非线性波包, 假定方程 (9) 的解的形式为

式 (12) 中cc表示前一项的共轭, 将式 (12) 解代入方程 (9) 中可导出弥散关系式

将方程 (12) 代入方程 (10) 中经整理得

从式 (14) 中消去长期项可以得到以下关系式

以下我们只求包括特解的方程 (14) 的解, 此特解可以用叠加原理得到, 其结果为

同样将方程 (16) 和方程 (12) 代入方程 (11) 中经过整理并消去长期项可以得到关系式 (17) 。

方程 (15) 和方程 (17) 描述了复振幅A随着慢尺度和大尺度而变化的情况。这两个方程经过组合可以用关于A的两个偏微分方程中的一个来代替。由方程 (15) 关于A微分可以得到

并组合方程 (18) 和方程 (17) 可以得到

利用弥散关系可以将方程化为一般形式。为此我们关于k微分方程 (13) , 得到

T1表示, 并利用以上方程可以将方程 (19) 改写为

利用相变和慢变时间尺度

方程 (22) 进一步可简化为非线性Schrödinger方程

式 (23) 中, 频散系数

非线性系数

3 包络孤立子解

非线性Schrödinger方程 (23) 的解的性质与频散系数α和非线性系数β的正负号相关。在光孤子理论中, NLS方程存在亮孤子解, 暗孤子解和灰孤子解[17]。如果α>0, β>0, 那么该方程存在亮孤子解。如果α<0, β>0, NLS方程存在暗孤子解。

借助光孤子理论, 给出当β>0时, 系统可能存在的亮孤子解或暗孤子解。

假定方程 (23) 有以下形式的包络孤立子解

将方程 (26) 代入方程 (23) 经整理可得到

式 (27) 中

式 (29) 中, dn[ζ, m]表示第三种Jacobi椭圆函数, m (0

当m※1时, 式 (29) 退化为

将式 (30) 代入方程 (26) 可得方程 (23) 的亮孤子解

当α<0, β>0时, 方程 (27) 有周期波解

其中, sn[ζ, m]表示Jacobi椭圆正弦函数。当m※1时, 式 (32) 退化为

将式 (32) 代入式 (26) 可得方程 (23) 的暗孤子解

基于物理上的要求, ω为实数且大于零, 从α的表达式 (24) , 容易得到当N>0, 即N为拉应力时, α>0, 则该系统中存在亮孤子解式 (31) ;当N<-2 (3k4+2k2 (k4+1) 3) 时, 系统可能存在暗孤子解式 (34) 。

4 结论

非线性电子元件的线性处理及应用 篇3

一、基本半导体器件的非线性问题

1.晶体二极管

图1给出了晶体二极管的电压——电流特性曲线,整条曲线BOD非常曲折,表明二极管是一种非线性器件。进一步观察发现,在正向特性段OAB,以及反向特性段OCD上,即把曲线分为两段来看,每一段呈现的非线性仍然显著。学生虽然在此前已经学习了电工基础课的直流电路部分,但对于这种非线性的导电特性,即电压与电流之间不再是欧姆定律所描述的那种正比例关系(U/I= R)。对于这个问题,笔者认为可以这样讲解:将二极管的电压电流特性曲线分为三部分,即导通段(AB部分)、截止段(AOC部分)、反向击穿段(CD部分)。截止段的电流可以忽略不计,二极管可看成开路;其它两段有个共同点,就是在局部范围内曲线都有接近直线的形状,即ΔU/ΔI近似为一常数。

2.晶体三极管

(1)如何让三极管工作在放大状态。三极管是一种电流控制型器件,图2为某三极管的输出特性曲线。假设曲线1对应的基极电流为零,则该曲线与UCE轴之间的区域为截止区,曲线10与IC轴之间的区域为饱和区,处在这两个区域之间的是放大区。由图可见,三极管工作在截止区时,IB≤0,IC≤ICEO,显然不具有电流放大作用;在饱和区的右侧边缘,所有的输出特性曲线全部重合在一起,也体现不出IB对IC的有效控制;只有在放大区时,每一个不同数值的IB,都会有一个不同数值的IC与之对应,且IB越大,IC也越大,充分体现了IB对IC的控制作用,即三极管此时具有电流放大作用。因此,在模拟电路中只要给发射结加上正向电压使IB>0,给集电结加反向电压使UCE>>UBE,即工作区远离纵轴和横轴,处于第一象限的腹地,则三极管各极电流满足IC =IB。三极管的放大条件,可以简单地概括成两句话:发射结正偏,集电结反偏。以上分析表明,只要合理设置三极管的工作电压,就能使三极管特性曲线中的线性部分得到充分运用,实现电流按比例放大,而非线性部分却被避开。

(2)如何提高三极管放大的线性度。这里的放大线性,是指三极管在放大状态下,交流电流放大系数的稳定性。影响值稳定性的因素主要有两个:环境温度的变化、三极管在动态时IC的大范围变化。

首先,环境温度变化的影响。当温度升高时,值将会增大,集电极电流静态值ICQ随之增大,从而导致电路的电压放大倍数也增大。在实际应用中,放大电路通过引入直流负反馈,实现静态工作点的稳定。

其次,值与IC变化的关系。在图2中,三极管相邻两条输出特性曲线的纵向间隔大小,反映了三极管值的大小。当三极管工作在曲线4到曲线6之间的区域时,曲线间隔较为均匀,即三极管的值为恒定值;在该区域以上及以下的部分,曲线间隔都显得更小。由此可以给出一定温度下的—IC关系图,如图3所示。为了充分发挥管子的放大能力,并保持值相对稳定,三极管的集电极静态工作电流应选为集电极最大允许电流ICM的一半左右,电路的动态范围也不宜过大。因此,为避免三极管的值产生较大波动,应使三极管的工作点变化范围尽量小一些,并根据放大电路输出动态范围的要求,选择电流容量合适的三极管。

二、放大电路中非线性问题的解决对策

图4是一个典型的共发射极放大电路,设输入电压为Ui,发射结上的交流电压降为Ube,基极电流的交流分量为ib,集电极电流的交流分量为ic,集—射间交流电压为Uce,输出交流电压为Uo。则交流信号的放大过程可分析如下:

1.Ui→Ube

Ui加在电容C1与三极管发射结构成的串联回路两端,带来又一个非线性问题:电容的容抗是与信号频率成反比的,因此Ube与Ui的关系将是一个与频率相关的复数函数,分析起来很复杂。其实,在选择电路元件参数时,已经提供了简化分析的可行性:对于频率高于1kHz的交流信号,电容C1的容抗远小于三极管发射结的交流等效电阻Rbe;若忽略C1上的交流压降,则Ube与Ui近似相等,即Ube≈Ui。

2.Ube→ib

如前所述,在合理设置三极管静态工件点的前提下,ib与Ube可认为符合正比例关系,三极管b、e间的交流阻抗Rbe为一常数,则ib=Ube/Rbe。

3.ib→ic

三极管在小信号放大状态下,工作点变化范围不大,其β值可看作常数,故ic=ib。

4.ic→Uce

根据KVL定律,有UCE=UCC-icRC;根据UCE=UCEQ+Uce,UCEQ=UCC-ICQRC,ic=ICQ+ ic,可推得Uce=-icRC。

5.Uce→Uo

与信号输入回路相比,电容C2的交流容抗小于C1;三极管集—射间的交流阻抗Rce远大于Rbe。因此,同样可以忽略C2的容抗,得出Uo=Uce。

将以上算式合并、化简,可得Uo=-RC/Rbe。

在上述五个分析步骤中,除第4步外,都进行了近似处理:第2步是对三极管的输入特性进行线性处理;第3步是对三极管的输出特性进行线性处理;第1、5步则是将耦合电容器看作短路,否则不仅要考虑分压问题,还要考虑相位上的影响,复杂程度将大大增加。

非线性编辑学习心得 篇4

通过这次非线性编辑技能实习，我熟悉视频非线编辑软件的功能和特点，基本上掌握了该软件的相关知识，让自己理论知识与实践融合，提高自己的非线性编辑技能的动手能力，最后自己能过独立完成视频编辑并且进行后期制作。

2.基本掌握了一些拍摄技巧。

通过这次非线性编辑技能实习，我熟悉了摄像机的使用情况，基本掌握了一些摄像机的拍摄技巧，以及拍摄照片时的构图、光线等技巧。3.初步了解了剧本的写作格式。

通过这次非线性编辑技能实习，我基本掌握了剧本的写作格式，以及该怎样写剧本，该用怎样的文字等等。这对以后从事文字工作有一定的益处。

4.意识到做任何事都要积极、认真。

这次的活动是小组集体活动，当在进行集体活动时，我们小组成员都积极认真的参与集体活动，所以我们小组以最快的速度，保质保量的完成了拍摄任务，以及视频编辑，这让我明白了只有大家都积极参与，才能顺利的完成。

5.知道与人处事要大度、宽容。

无论人在一起学习、工作还是生活，都会遇到一些不愉快的事，在这次活动的前期，部分成员因为工作程度分配不均而感到有些不满，因此发出一些抱怨，自己要以此为鉴，当大家一起共事时，不要拈轻怕重，即使有人少做了些工作，也要大度，不要给予太多计较。

6.认识到团队合作的重要性。

“团结才是力量”当我们在进行某项活动时，只有大家团结、奋进，大家抱着一致的目标，心往一处想，劲往一处使，我相信大家绝对会完美完成任务的。

总之，参加这次社会调查实习活动，我收获颇多

(三)存在的问题

在进行视频编辑的时候，还是没有完全掌握编辑技巧，比如在给视频选择转场技巧、字幕时，并不能够快、准确的运用。

在进行摄像拍摄的时候，有些摄像技巧运用的不是很灵，在拍摄现场不能准确判断哪些是拍摄重点，以及拍摄时是需要逆光还是顺光好，还有自己在手持摄像机时手有些抖动，以致拍摄画面有些抖动、模糊。

(四)以后努力的方向

首先，作为学生的我还是要以学业为主，在校学习好各门功课，尤

其是学好自己的专业知识，打牢基础，这样才能将自己的理论知识与实践融合，才能熟练运用自己的所学。

其次，自己要多多学习一些非线性编辑软件的相关知识，要把该知识学牢、学精，在此同时课余时间学习一些其它的编辑软件，尽量能够将所学相关软件知识融合起来，以至于编辑出更好的作品。

非线性 篇5

——听郑志明教授讲座有感

听了郑志明教授题为“扎实基础，正心穷理”的讲座，感觉收获颇丰。短短的几个小时里，我们充分体会了郑教授的个人魅力。郑教授说话做事给人一种雷厉风行的果敢的印象，而且谈吐幽默又不乏哲理。一言以蔽之，收获颇丰。

郑教授的讲座起源于数学，亦归结于数学。教授不愧为数学大家，讲座看似散漫但逻辑清晰、一环紧扣一环。首先是近代数学。近代数学是有限的线性的科学。这一点从微积分以及张量代数中就可以清晰的看到。拿微积分来说，种种复杂的理论无不贯穿着一个核心：逼近。通过把一个区间无限的细分以达到在每一个小区间里函数都近似为一个线性函数，这便是微积分最初的目的了。一阶的近似误差太大，所以又有了泰勒展开。一维的函数范围太窄，所以又有了多元函数的微积分。数学便这样一环又一环的发展了起来。不由得想起了李尚志教授的一段话：“我们人脑能算什么？加法，减法，乘法，除法,就这些了。”尚志老师亦举出了一个例子sin x是怎么算的？答案是：泰勒展开。把一个非线性的函数化为一个线性的函数。尚志老师与郑教授的话有异曲同工之妙。

线性、静态、确定、有限空间，线性的数学的基础上建立起来的是线性的科学。一切都是确定可解的。就仿佛牛顿的经典力学，初态确定了一切便确定了。这样的架构自有其合理之处。但也不乏如宇宙方程之类的谬误。该理论认为如果知道某时刻全宇宙所有物质的所有运动状态，宇宙往后的发展便是确定可解的。这无疑是错误的。譬如难道我移动一下腿这样的事难道是也确定的吗？科学要发展，线性理论便不得不做出改观。

与近代科学相对应，现代科学是非线性、动态、随机、无限的。在这里郑教授举了一个经典的例子：两点之间线段最短。这可谓狗都知道，但为什么溪流中的树叶的轨迹不是直的呢？答案有些出人意料，树叶走的是弯曲空间中的最短路线。看到这里，也许读者会有很多疑问甚至怀疑，但是我想说,这些都不重要，重要的是一种思维方式，暨“弯空间”的思想，这才是革命性的。联想到爱因斯坦的相对论。他将万有引力解释为质量使周围的空间发生了弯曲。如此，行星所走的路线便是弯曲空间中的最短路线了。为了其数学结构的构架，爱因斯坦专门去研究了黎曼几何。可见，非线性的思维已是必不可少的了。

现代科学中最无处不在的也许就是系统的概念了。一个复杂的系统，往往，或者说几乎全都是非线性的。这样的结构我们是无法直接分析的。所以，最常用的方式是：通过测试将其量化为数据，再通过科学理论构架模型，并以此分析计算出系统的基本性质并反馈到前几步中。这其中最难做但又最有价值的就是模型的构建了。一个人学术水平的高低正体现在这里。这也是研究非线性系统的常用方式。

通过把非线性问题转化为线性问题来分析仍是一个非常重要的思想。如那片树叶的例子。非线性的系统在弯空间中变为了线性。就如同线性代数中的坐标变化一般，只是更加复杂。思想虽然简单，但却衍生出了无数复杂的理论。这便是数学的奇妙吧。就如同物理中，一切的规律往往都是简单的。还是举相对论的例子。相对论看似比经典力学复杂，计算也更加繁琐。但相对论的核心思想不仅解决了经典力学无法解决的难题，更是在本质上拥有比经典力学更加简单的原理。自然科学往往是简单的，对称的，这也是让无数科学家着迷的地方吧。

最后郑教授举了三个例子作为结束之前的馈赠。一个是“周期三意味着混沌”，一个是“蝴蝶效应”，还有一个是“确定性小概率事件”。平心而论，我都没有听懂。但是，有一点确实是我印象深刻。在讲述第一个例子时，郑教授举了兰州拉面的例子。一个面团中的两个点，不论距离多小，总有被拉开的时刻。看似深奥的道理蕴含进了如此简单的事例之中。在讲述蝴蝶效应时，郑教授亦问道：为什么故事中讲的是巴西的蝴蝶？我们这的蝴蝶行不行？答案是否定的。因为我们这的蝴蝶翅膀面积达不到要求。虽然具体原因没有听懂，但我还是感到了数学之美。数学不只是高深的，更隐藏在生活的细节之中。

另一个令我印象深刻的是蝴蝶效应名字的另一个来源，即一个重要方程的图像竟然就是一只蝴蝶的摸样。联想到无数美丽的故事。心脏曲线，玫瑰曲线，这美丽的名字背后无不隐藏着美丽的典故。为什么伯努利希望在墓碑上描绘出一条对数螺线？为什么高斯希望在墓碑上画出正十七边形？不仅因为这是他们毕生成就的精华，更因为这在数学家眼中是真正的诗篇。就像在基础物理里转动惯量与质量高度的对称、同构使物理学家着迷一样，那一条条优美的曲线，一个个简洁的方程，无不在数学家脑海中奏起动人的旋律。

有的人仰望星空，看到的是无尽的黑暗；但更有的人仰望星空，看到了美丽的繁星。第谷穷毕生之力达到了肉眼观测的极限，是什么驱使他数十年如一日地生活在数字之中？因为那数字之中蕴藏着宇宙运行的规律。能以毕生之力推动人类对世界的认识更进一步，这也是无数数学家为之奋斗的梦想吧。

最后郑教授对我们的学业做出了一点忠告。研究生阶段重要的是导师，但本科阶段学的越基础越好。因为基础，所以扎实，将来的选择也更宽。这也更加确定了我大一大二的计划，即好好完成基础学科的学习，并尽量多利用图书馆的资源以充实自己的头脑。方向坚定了才会有坚持不不懈的学习。想要有所成必须要耐得住寂寞。

非线性动力学数据分析 篇6

刘愉

200921210001

时间序列分析是利用观测数据建模，揭示系统规律，预测系统演化的方法。根据系统是否线性，时间序列分析的方法可分为线性时间序列分析和非线性时间序列分析。

一、时间序列分析涉及的基本概念

对于一个动力系统，我们可以用方程表示其对应的模型，如有限差分方程、微分方

1、测量

程等。如果用Xt或X(t)表示所关心系统变量的列向量，则系统的变化规律可表示成

Xt1f(Xt)或

dXdtF(X)

其中X可以是单变量，也可以是向量，F是函数向量。通过这类方程，我们可以研究系统的演化，如固定点、周期、混沌等。

在实际研究中，很多时候并不确定研究对象数据何种模型，我们得到的是某类模型（用Xt或X(t)表示）的若干观测值（用Dt或D(t)表示），构成观测的某个时间序列，我们要做的是根据一系列观测的数据，探索系统的演化规律，预测未来时间的数据或系统状态。

2、噪声

测量值和系统真实值之间不可避免的存在一些误差，称为测量误差。其来源主要有三个方面：系统偏差（测量过程中的偏差，如指标定义是否准确反映了关心的变量）、测量误差（测量过程中数据的随机波动）和动态噪音（外界的干扰等）。高斯白噪声是一类非常常见且经典的噪声。所谓白噪声是指任意时刻的噪声水平完全独立于其他时刻噪声。高斯白噪声即分布服从高斯分布的白噪声。这类噪声实际体现了观测数据在理论值（或真实值）周围的随机游走，它可以被如下概率分布刻画：

p(x)dx1222exp(xM)22dx

（1）

其中M和均为常数，分别代表均值和标准差。

3、均值和标准差

最简单常用的描述时间序列的方法是用均值和标准差表示序列的整体水平和波动情况。（1）均值

如果M是系统真实的平均水平，我们用观测的时间序列估计M的真实水平方法是：认为N个采样值的水平是系统水平的真实反映，那么最能代表这些观测值（离所有观测值最近）的Mest即可作为M的估计。于是定义Dt与Mest的偏离为(DtMest),所以，使下面E最小的M的估计值即为所求：

N22E(Dtt1Mest)

（2）

1/11 经过求道计算，得到

M1NNestDtt

1（3）

即样本的均值即为系统真是均值的估计值。

（2）标准差

标准差代表了系统在均值两侧的波动情况。对时间样本有：

VtDtMest

（4）

为了分析所有时间上平均的波动情况，我们也可以尝试对波动取平均，即：

1NNt1(DtMest1)NNt1DtMest0

（5）我们发现，这样平均的结果是正负波动抵消了，波动的平均恒为零，为了避免这种情况，改用波动的平方的平均水平代替，即

21NNVtt121NN(Mestt1Dt)

（6）

2即为标准差。（3）均值的标准误差

我们用Mest估计M，存在一定偏差或不确定性，即：

MestMuncertainty

（7）

实际上，这种不确定性来自每次测量偏差的平均，通常每次测量偏差是服从高斯分布的，所以平均的不确定性计算得：

N

（8）

我们称之为均值的标准误差。

二、线性时间序列分析方法及模型举例

对于线性时间序列，主要的分析方法有：均值和标准差、线性相关分析和功率谱分析。

1、均值和标准差分析前面已经讲过；

例：模型一（模型本身是确定的（无外界干扰等随机波动），观测序列是真实值加上高斯白噪声；）

有限差分方程系统：xt1Axt，其平稳状态为xtA/(1)M；观测时间序列DtxtWt，其中，Wt 独立的服从均值为0，标准差为的高斯分布。从系统的差分方程我们可以看到，系统本身不受外界干扰，是确定性模型。所以观测得到时间序列的波动完全来自于测量过程。

对于上述模型，可以通过均值、方差的估计即可估计模型、作出预测。

2、线性相关分析

2/11 这种分析方法用于研究时间上相关的序列，即后一时刻的值完全或部分由前一时刻的或前几个时刻的值决定。在模型一中，我们假设Wt之间是独立的；当这种假设不成立时，取另一种极端，即后一时刻完全取决于前一时刻的值：

Vt1f(Vt)

（9）

我们以简单的线性函数为例：

Vt1Vt

（10）

如果结合完全独立的情形与式（10），则有以下情况：

Vt1VtW

（11）

ρ在-1到1之间取值，ρ越接近0，数据间越不相关；ρ接近1，表示线性正相关；ρ接近-1，表示线性负相关

通过时间序列的一系列观测值Dt减去均值得到Vt，我们可以通过以下公式计算相关系数，estt1N1Vt1VtVtVtt1N

1（12）

例：模型二（模型本身有不确定因素（外界干扰），观测序列是真实值加上高斯白噪声）

受外界因素影响的有限差分方程：xt1Axtvt，引入的vt是外界干扰造成的系统本身的波动，测量过程仍然像Model One一样，DtxtWt，这是如果做Vt1对Vt的变化图（见课本figure 6.7），发现二者之间有强烈的线性关系。对于这类模型，我们即可用线性相关分析来建模、预测。

如果将线性相关加以推广，可以得到自相关函数，它反映的是Vt与Vtk之间的关系：

R(k)t1NkVtkVtVtVtt1Nk

（13）

3、功率谱分析（1）傅里叶变换

对线性系统，一个信号可以分解成为不同频率的正弦波。

（a）频率为ω的正弦输入，它的输出也是同频率的正弦信号，但是幅度和相位可能发生改变。输出正弦波的振幅与输入正弦波的振幅满足：

Aoutput()G()Ainput()

（14）

输出相位相对输入相位在每个频率上有固定的偏移，即：

()output()input()3/11

（15）G()称为系统的增益，它在不同频率上通常不一样。()称为相移，在不同的频率成分通常相移也不同。

（b）线性叠加的输入的输出结果等于各个输入分别输入时的输出的叠加。把一个信号分解成不同频率正弦信号的方法即傅里叶变换。

特殊的，输入为白噪声时，Ainput()是一个与噪声标准差成正比的常数，与频率无关，即白噪声可以认为是所有不同频率成分信号之和，所以称之为“白”。（c）传输函数

如果已知输入和输出，可以得到：

G()Aoutput()Ainput()

()outp()inpu()utt

（16）

（16）中两个函数成为出传输函数，可以用于描述系统特性。

（d）功率谱

如果我们不能准确得到输入信号，但是我们知道或假设它是白噪声。则Ainput()就是常数，进而有：

G()constAoutput()

（17）

G()的平方称为功率谱。功率谱包含了与自相关函数完全一样的信息。事实上，功率谱就是自相关函数的傅里叶变换。尽管它们蕴含的信息是一样的，但不同形式使它们在分析数据时又具有各自的优势。所以有时使用功率谱来分析数据比用自相关函数更有优势。

三、非线性时间序列分析方法及模型

前面列举了一系列线性时间序列的分析方法，但是对于非线性系统，存在一种特殊的状态，即混沌状态，对于混沌状态的时间序列，我们无法用线性的分析方法区分。

例：第一章的有限差分方程：

xt1xt(1xt)

（18）

Dtxt

（19）

观测值即使不引入噪声，其时间序列也在不断波动，当=4时，系统进入混沌状态，用线性自相关函数分析，如图6.14，发现我们无法区分这个非线性模型与模型一。

我们需要探索一些分析非线性时间序列的方法。对于非线性时间序列分析，主要包括两部：重构系统动态模型和系统特征的刻画。

1、系统动态模型的重构：

（1）对于有限差分方程——构建return map

Return map 是观测值Dt1关于Dt的图像（回归曲线），反映的是xt1与xt的关系。（2）对于微分方程——重构相平面

一维高阶微分方程可以转化为多维一阶微分方程组，以二阶微分方程为例，4/11

dxdt22bx

（20）

转化为两个一阶微分方程组：

dxydtdybxdt

（21）

要做变量x与y的相平面，首先要做如下离散化和近似： 观测值D0,D1,，将x关于t的导数近似为：

dx(t)dtx(th)x(t)hdDtdtDthDthlimh0

（22）

其中h只能取整数，最小取1，事实上，h去较大值也可以得到合适得结果。重建相平面实际是做DthDthdxdt关于Dt的图，有时候，只可以只做Dth关于Dt的图。

dydt对于更一般的微分方程：

f(x,y),g(x,y)

（23）

虽然情况更复杂，但也可以通过这种方法重建相平面，图6.17-6.19可以说明这一过程的合理性。

（3）嵌入时间序列

对于更高维的时间序列（p维），需要用嵌入时间序列的方法构建相平面（相空间），p维的的嵌入时间序列构成如下：

Dt(Dt,Dth,Dt2h,,Dt(p1)h)

（24）

其中p是嵌入维数，h是嵌入延迟。

经过上述三种方法，可以基本得到模型的基本特征。

2、系统特征的描述：

在模型重构后，可以通过拟合等方式对系统特征做进一步刻画。

四、混沌时间序列的刻画

混沌定义：bounded, deterministic dynamics that are aperiodic and display sensitive dependence on initial conditions.根据定义中体现的混沌系统的特征，用时间序列分析的方法研究。

1、有界

有界的定义是当时间趋于无穷时，系统永远保持在有限空间内运动。这个定义直接用于时间序列分析并不是很有效，因为测量的时间序列是时间上是有限的，变化范围也是一定的。

在时间序列分析中可以用另一种方法研究系统是否有界——稳态，即时间序列在演化过程中是否体现了相同的行为特性。相似的行为可以用均值和方差衡量。一种常用的衡量方法是将时间序列等分（三分、四分或十分等等），计算每段的均值和方差是否相近或统

5/11 计意义上可以认为相同。

如果一个时间序列是分平稳的，我们可以通过对时间序列做一些变换使之平稳，如一阶差分或后一时刻与前一时刻相除等。

2、非周期

混沌的系统是非周期的，由于噪声因素，即使周期的序列也可能出现非周期，那么如何判定时间序列是否存在周期呢？对于一维时间序列或p维的嵌入时间序列 Dt，我们定义时间i和j的测量值之间的距离定义为：

i,j|DiDj|

（25）

严格的周期T定义是当|ij|nT,n0,1,2,时，i,j0，对于有噪声的时间序列，我们定义一个距离r，当i,jr时，我们就在坐标(i, j)处打点，我们将这样做出的图成为recurrence plots，它可以看出重建的轨线如何重复自身的演化。（图6.26和图6.27是r取不同值时的图，都可以看出系统的周期，图6.28和6.29是混沌的情形）。对于混沌的时间序列，图的形状可能和r的选取有关，于是定义出这样一个correlation integral：

C(r)numberoftimes|DiDj|rN(N1)

（26）

这是一个对于混沌系统很重要的指标，它的重要意义不在于某个r处C(r)的取值，而在于C(r)如何随r变化。

（1）对周期序列，r微小的变化不会引起C(r)明显的变化；

（2）对混沌序列，r微小的变化会使C(r)明显增大，即打点明显增多；（3）对于白噪声，r微小变化时C(r)增大更快。

事实上，C(r)与分形维数密切相关，取一点做参考点，随着r增加，距离参考点r范围内的点与rv成正比，其中v是系统，所以有：

C(r)Arv

（27）

A是比例常数，两边取log得到：

logC(r)vlogrlogA

（28）

所以，只要对log C(r)与log r拟合，即可推算出维数。用相关维数可以分析混沌时间序列的吸引子，当嵌入时间维数p≥2v+1时，可以重构出系统吸引子，有时候p≥v也足够了。

3、确定性

如果已知t时刻的值，在预测下一时刻值过程中没有随机因素，那么系统就是确定的，如模型一；如果混入了随机因素（外界干扰），则系统是不确定的。但是，在观测时间序列中，噪声是不可避免的，如果预测是完美的，就成系统完全确定，如果预测是好的但不完美，就说系统有一个确定成分。

假设观测数据最后时刻是T，我们可以用一下方法预测T+1时刻的值：（1）产生嵌入时间序列Dt；（2）找到时间T的嵌入点列：

DT(DT,DTh,,DT(p1)h)

6/11 找到其他的嵌入时间序列中与DT最接近的点Da；

（3）基于系统的确定性，Da+1可以看做是由Da预测出来的，所以将Da+1作为是T+1时刻的预测值，记PT+1。

另一种预测方法是用与DT最接近的K个点Dai的下一时刻Dai1的平均值作为T+1时刻的预测值，即：

T11KKDa（29）

ii1既然是预测，一定有预测误差，衡量预测误差，通常是将观测数据分为两半，用前一半数据预测后一半数据，后一半数据测量值与预测值比较，衡量预测误差，即：

1TT(Di1TkPTk)（30）

ε越小，说明预测越好，至于ε小到什么程度算预测足够好，可以与最差的预测（如所有观测值序列的平均值，丧失了所有时间信息，只保留了系统的平均水平）的误差做比较，lazy1TT(DTkk1Plazy)

（31）

当PlazyMest时，lazy其实就是时间序列的方差σ，所以用

22即可衡量预测误差的大小，比值越小越好。

4、对初值的敏感性

混沌系统的另一重要特征就是对初值敏感，衡量系统对初值的敏感性可以用Lyapunov指数，其计算步骤可以如下概括：

（1）在给定初值后，经迭代产生序列x0,x1,,xn1（2）计算每点处的斜率（3）计算李氏指数：

1n1t0dfnxt dx（4）当给定两个初始值x0，y0时，n步迭代后的值xn和yn的差距约为：

n1xnynt0dfdxxt|x0y0|

五、混沌和非线性的检测

混沌是一种复杂的现象，判定一个时间序列是否来自对非线性系统或混沌系统的观测，更严格的方法是假设检验。

1、零假设：数据来自线性系统

7/11 xt1a0xta1xt1a2xt2ap1xt(p1)vt

2、构造检验统计量：在零假设条件下用观测时间序列计算统计量，常用的三种统计量有：非线性系统的预测方差、李氏指数、相关维数等，当然还有一些其他的统计量也可以用来假设检验。

3、假设检验：在零假设下观测时间序列得到的检测统计量如果落在拒绝域内，则认为系统为非线性的或混沌的，否则接受原假设，认为是线性系统。

六、实例数据分析

P4.txt、TP8.txt是2个时间序列信号的数据文件，该数据的采样率是500Hz。试实现：

1、在时间轴上显示原始数据波形；

2、求每个信号的功率谱，在频率轴上显示结果，并对结果进行简单地讨论；

3、求每个信号的自相关函数，在时间轴显示结果，并对结果进行简单地讨论；

4、求2个信号的互相关函数，在时间轴显示结果，并对结果进行简单地讨论。分析结果：

1、时间轴上数据波形：

从时间序列上看，两组数据基本维持在一个平衡水平，但是都存在尖峰，从时间序列看不出更丰富的信息，需要用其他方法进一步分析。

2、功率谱：

功率谱的计算有两种方式：

（1）计算时间序列的自相关函数，再对自相关函数做傅里叶变换的幅度谱；（2）时间序列傅里叶变换的幅度谱的平方除以点数N。这里采用的第一种方法，结果如下图：

8/11

从两个时间序列的功率谱看，能量主要集中在了低频部分，高频部分能量分布极少，为了更清晰的看能量在低频的分布，我们截取0-20Hz部分的频率谱，如下图：

从图上可以看出，两个时间序列的低频成分中能量最大的频率大概都在1.7Hz左右，TP8的能量分布更集中，P4还有较多能量分布在0.5Hz左右。

3、自相关函数：

自相关函数反映的是t时刻与前t-k时刻记录值的关系，如果信号本身是周期的，其自相关函数保持与时间序列相同的周期，从下面两个序列的自相关函数图中，数据没有周期现象，而且相关函数随k增大很快降到0.2一下，并在-0.2和0.2之间震荡，TP8震荡的频率更高。

9/11

截取前1000个点，进一步观察：

从上图可以更好的体现出相关系数的变化，而且可以看出两个时间序列变化的一致性，TP8比P4相关程度衰减得更快。为了更好的研究两组数据的相关性，我们下面将做两组数据的相关函数。

4、两组数据的互相关函数：

10/11

截取两侧各500个点观察：

上图反映了两个时间序列数据的相关性，在k=0时，互相关函数最大，所以两个时间序列是同步的。

非线性粒子群算法 篇7

粒子群算法也称为微粒群算法,是一种简单实用的智能计算方法,在许多领域有着广泛的应用。为了提高算法效率本文提出了一种新型的粒子群算法,非线性粒子群算法。该算法在计算粒子速度时采用了非线性计算公式。仿真计算表明,与标准粒子群算法相比,只要选择了适当的非线性项,非线性粒子群算法收敛速度更快。

1标准粒子群算法

粒子群算法(PSO)是一种模拟鸟群飞行的人工智能算法。在粒子群算法中,每个个体被称为粒子。通过粒子之间的集体协作运动来实现群体最优的人工智能算法。虽然每个粒子的行为准则很简单,但是整体的行为却是非常复杂。在一个具体的空间中,每个粒子均按照全局以及个体的最优值调整自己的速度,通过反复调整使得整体向着最优值靠近。每个粒子包含以下参数:当前位置,历史最优位置,粒子当前速度,当前适应值,历史最优适应值。

设有n个粒子,搜索空间为D维空间,则每个粒子按照以下公式调整自己的速度和位置:

v${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}+1}$= wv${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}}$+c1r1(pj-x${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}}$) +c2r2(qj-x${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}}$) (1)

x${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}+1}$= x${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}}$+ v${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}+1}$ (2)

其中x${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}}$表示第i个粒子第k次调整后的第j维位置分量,v${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}}$表示第i个粒子第k次调整后的第j维速度分量,w表示权重,c1、c2分别是粒子的学习因子,r1、r2表示[0,1]之间的随机数,pj、qj分别表示局部的和全局的最优值分量。

粒子群算法的实际计算步骤如下:第一步:初始化速度和位置,对每个粒子的速度和位置初始化;

第二步:计算每个粒子的适应值;

第三步:计算每个粒子自身的最优值;

第四步:计算整个粒子群的最优值;

第五步:更新每个粒子的速度和位置;

第六步:判断是否满足结束条件(例如最大迭代次数或者找到理想的适应值),是则计算结束,否则转向第二步。

粒子的适应值根据事先设定的适应值函数进行计算,用于描述粒子位置的优劣,而适应值函数与要解决的具体问题有关。在计算函数的最值时,适应值就是粒子在具体坐标点的函数值。

2非线性粒子群算法

标准的粒子群算法采用线性函数调整粒子的速度和位置,为了提高算法效能,本文提出了非线性粒子群算法。非线性粒子群算法就是采用非线性计算公式来代替公式(1)。非线性粒子群算法的公式一般形式如下

v${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}+1}$= wv${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}}$+c1r1fij(pj-x${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}}$) +c2r2 gij (qj-x${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}}$) (3)

x${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}+1}$= x${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}}$+ v${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}+1}$ (4)

如果至少有一个fij(pj-x${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}}$)或者至少有一个gij(pj-x${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}}$)是非线性函数,称相应的粒子群算法为非线性粒子群算法。非线性粒子群算法的计算步骤跟标准粒子群算法一致。

非线性粒子群算法具有以下特点:

(1)整个群体至少存在一个非线性计算公式;

(2)对于每个粒子以及粒子的速度分量,公式(3)可以彼此不同,这样每个粒子的速度调整公式也可以彼此不同。

最直观的非线性粒子群算法为

v${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}+1}$= wv${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}}$+c1r1(pj-x${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}}$)a +c2r2(qj-x${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}}$)b (5)

x${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}+1}$= x${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}}$+ v${}_{\text{i}\text{j}}^{\text{k}+1}$ (6)

公式(5)中a、b至少有一个不等于1。显然公式(1)是公式(5)的特殊形式。在公式(5)中每个粒子的速度分量按照同样的非线性函数进行调整。

采用公式(5)进行计算需要注意非线性项的情况,由于a、b至少有一个不等于1,因此在实际编程中需要注意可能出现负数开偶数次方根号的情况,需要根据具体情况采用不同的计算公式。

3数值计算仿真

本文对非线性粒子群算法给出仿真实验。以下按照公式(5)、(6)对应的非线性粒子群算法给出仿真实验。在下面的例子中用N表示粒子数,w表示权重表达式,M表示最大迭代次数,c1、c2表示学习因子,xmin、xmax分别表示求解范围的下限和上限,即xmin≤xi≤xmax。

例1:求解下列线性方程组:

$\{\begin{array}{l}\text{x}{}_1+2\text{x}{}_2-2\text{x}{}_3+\text{x}{}_4=5\\ \text{x}{}_1+\text{x}{}_2+\text{x}{}_3-\text{x}{}_4=1\\ 2\text{x}{}_1+2\text{x}{}_2+\text{x}{}_3-2\text{x}{}_4=3\\ \text{x}{}_1-\text{x}{}_2-\text{x}{}_3+\text{x}{}_4=1\end{array}$

本例的精确解为:x1=1,x2=1,x3=-1,x4=0。采用标准的粒子群算法以及非线性粒子群算法求解方程组其中的参数为

M=500,c1=1.8,c2=1.8 ,xmin=-2,xmax=2,N=100,w=0.5-0.1×k/499。计算结果如表1～表3所示。

从上面的计算结果可以看出,非线性粒子群算法的收敛速度快于标准粒子群算法.

例2:求解下列Beale函数

f(x,y)=(1.5-x+xy)2+(2.25-x+xy2)2+(2.625-x+xy3)2

在-4.5≤x,y≤4.5上的最小值。

本例存在最小值为minf(x,y)=f(3,0.5)=0。

以下采用标准粒子群算法和非线性粒子群算法求解例2,其中的参数为

M=500,c1=1.8,c2=1.8 xmin=-4.5 xmax=4.5.w=0.5-0.1×k/499,N=20。

计算结果见表5-表8。

从上面的计算结果看出,非线性粒子群算法的平均迭代次数小于标准粒子群算法。

采用(5)、(6)给出的非线性粒子群算法进行计算,需要注意a、b的选择,如果a、b选择不当,可能会出现收敛缓慢甚至不收敛的情况发生。按照本文的作者的初步研究,当a=b时,a、b的值不能离1太远,否则便不能做到快速收敛。

4结束语

非线性粒子群算法是一种新的粒子群方法,从仿真实验的情况看只要选择适当的非线性项,就能做到快速收敛。关于非线性粒子群算法需要研究的内容很多,例如如何选择非线性函数,非线性项函数中参数如何选择,参数的选择与粒子群大小的关系等等。关于这方面的内容值得深入研究。

摘要：提出了一种新型的粒子群算法—非线性粒子群算法,给出了计算公式并进行了实验模拟。非线性粒子群算法采用非线性计算公式调整粒子速度。由于非线性计算公式的多样性,因此可以构建种类繁多的具体的非线性粒子群算法。非线性粒子群算法一方面保持了标准粒子群算法的简单性,同时也具有更强的搜索能力。实际计算表明,只要能够选好非线性项中的参数,就可以提高算法的效率。

关键词：标准粒子群算法,非线性粒子群算法,线性方程组,Beale函数

参考文献

[1].纪震,廖惠联,吴清华.粒子群算法及其应用.北京:科学出版社,2009.

[2].段晓东,王存睿,刘向东.粒子群算法及其应用.沈阳:辽宁大学出版社,2007.

非线性 篇8

关键词：线性 非线性目标函数

我们知道，目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划.具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支.

高中数学中与线性规划有关的非线性目标函数主要有：斜率型、距离型、面积型等.

一、 斜率型. 目标函数形如z=ax+by+cdx+e的二元一次分式函数.

例1 动点P(a,b)在不等式组x+y-2<0

x-y+2>0

y>0表示的平面区域内部运动，则ω=a+b-1a-1的取值范围是_____．

解：依题意有：b>0

a+2b+1<0

a+b+2>0

而ω=a+b-1a-1=1+b-2a-1

b-2a-1表示图1中三角形的阴影区域内的点P(a,b)与点Q(1,2)连线的斜率.

容易求出b-2a-1∈14,1，所以b-2a-1的取值范围是14,1.即ω的取值范围是54,2

变题1.如果m、n为三次函数f(x)=13x3+12ax2+2bx的两个极值点，且a∈(0,1)，b∈(1,2)，a∈R,b∈R,那么b-2a-1的取值范围是_____.

解：f′(x)=x2+ax+2b. 依题意有：f′(0)>0

f′(1)<0

f′(2)>0即b>0

a+2b+1<0

a+b+2>0.

由例1可以得到b-2a-1的取值范围是14,1.

变题2.设实数x,y满足约束条件y≥0

2x+6y+1≤1

2x+3y+2≥0，求z=2x+3y-12x-1的最大值与最小值.

解：令2x=a,3y=b,则有b≥0

a+2b+1≤0

a+b+2≥0,且z=a+b-1a-1,仿例1解法可得最大值为2,最小值为54.

二、 距离型. 目标函数形如z=ax2+by2+cx+dy+e的二元二次函数.

例2 设实数x,y满足约束条件y>0

x+2y+1<0

x+y+2>0，求z=x2+y2-2x的取值范围.

解：约束条件表示的区域就是图1，

因为z=x2+y2-2x=(x-1)2+y2-1.

设P(x,y),Q(1,0).则z=PQ2-1.容易得到PQmax=7,PQmin=2.

所以z的取值范围是［3,6］.

三、 面积型. 目标函数形如z=axy+bx+cy+d的二元二次函数.

例3 在平面直角坐标系中,如果P(x,y)满足x-4y+4≤0,

2x+y-10≤0,

5x-2y+2≥0.那么当xy取得最大值时,点P的坐标是_____.

解：画出约束条件对应的平面区域是以A(0,1),B(4,2),C(2,6)为顶点的三角形区域（含边界）如图2.

而目标函数xy表示矩形OMPN的面积.显然BC当点在边上运动时, 矩形OMPN的面积才可能取最大值.

因为线段BC的方程是y=10-2x(2≤x≤4).所以S=xy=x(10-2x),容易得到当x=52时, S=xy=x(10-2x)取最大值.此时点P52,5

当然，高中数学线性规划问题中的非线性目标函数还有其他情况，但是解决问题的方法有相似之处，本文不再一一列举.

参考文献：

［1］ 陈益军.高考线性规划问题的题型解读.数学通讯,2010(5，6).

［2］ 胡志勇. 线性规划问题的三种常见题型.高中数学教与学,2008(4).

［3］ 刘崇林. 线性规划中目标函数的几种类型及其向量解法.中学数学杂志 2008(5)

涡轮叶片材料非线性应力数值分析 篇9

涡轮叶片材料非线性应力数值分析

针对涡轮转子叶片建立了离心拉伸的数值分析模型.基于ANSYS软件的静力分析功能,利用有限元分析方法研究了涡轮转子叶片高速旋转时离心力所引起的拉伸变形,模拟了转子叶片高速旋转时应力场的.分布情况.同时对涡轮叶片力学模拟中的应力值偏大问题从材料非线性角度进行了分析和探讨,在此基础上结合整个涡轮叶片的实际工作状况对其模拟结果进行了定性分析,验证了其分析方法的可行性,为实际涡轮叶片设计优化提供了理论依据.

作 者：郭军刚 韩志富 胡丽国 王春侠 Guo Jungang Han Zhifu Hu Liguo Wang Chunxia 作者单位：北京精密机电控制设备研究所,北京,100076刊 名：导弹与航天运载技术 ISTIC PKU英文刊名：MISSILES AND SPACE VEHICLES年，卷(期)：“”(6)分类号：V434+.211关键词：涡轮叶片 材料非线性 有限元分析 应力场