高中数学常用的解题方法(精选11篇)
江苏省滨海县五汛中学 王玉娟
排列组合是高中数学的重点和难点之一,是进一步学习概率的基础。排列组合问题通常联系实际,生动有趣,并且能够锻炼同学们的逻辑推理能力和思维的缜密性,但题型多样,思路灵活,不易掌握。实践证明,备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用,现将高中阶段常用的排列问题和组合问题的解题方法归纳如下:
一、相邻问题捆绑法
题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列. 例1 五人并排站成一排,如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法种数有 种。
分析:把甲、乙视为一人,并且乙固定在甲的右边,则本题相当于4人4的全排列,A424种。
二、相离问题插空法
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端.
例2 七个人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同排法的种数是。
分析:除甲乙外,其余5个排列数为A5种,再用甲乙去插6个空位有A652种,不同的排法种数是A5A63600种。
三、定序问题缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序,可用缩小倍数的方法. 例3 A、B、C、D、E五个人并排站成一排,如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻),那么不同的排法种数有。
分析:B在A的右边与B在A的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元
1560种。素全排列数的一半,即A
52四、标号排位问题分步法
把元素排到指定号码的位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
例4 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。
分析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法。
五、有序分配问题逐分法
有序分配问题是指把元素按要求分成若干组,可用逐步下量分组法。例5 有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需1人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法总数有。
分析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承 担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有211C10C8C72520种。
六、多元问题分类法
元素多,取出的情况也有多种,可按结果要求,分成不相容的几类情况分别计算,最后总计。
例6 由数字 0,1,2,3,4,5组成且没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有 个。
分析:按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有1***个,A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个,合并总计300个。A5例7 从1,2,3,„100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?
分析:被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A7,14,21,98共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做A1,2,3,4,10086个元素;由此可知,从A中任取2个元素的取法有共有211,从A中任取一个,又从A中任取一个共有C14,两种情形共符合要求的C14C86211取法有C14C14C861295种。
例8 从1,2,„100这100个数中,任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?
分析:将I1,2,3,100分成四个不相交的子集,能被4整除的数集A4,8,12,100;能被4除余1的数集B1,5,9,97,能被4除余2的数集C2,6,,98,能被4除余3的数集D3,7,11,99,易见这四个集合中每一个有25个元素;从A中任取两个数符合要;从B,D中各取一个数也符合要求;从C中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求2112的取法共有C25种。C25C25C2
5七、交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式n(AB)n(A)n(B)n(AB)。
例 9 从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同参赛方法?
分析:设全集Ⅰ={6人中任取4人参赛的排列},A={甲第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有: n(Ⅰ)-n(A)- n(B)+n(A∩B)=P64P53P53P42=252(种).
八、定位问题优先法
某个(或几个)元素要排在指定位置,可先排这个(几个)元素,再排其他元素。
例10 1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念,若老师不在两端,则有不同的排法有_______ _种。
14分析:老师在中间三个位置上选一个有A3种,4名同学在其余4个位置上有A414种方法;所以共有A3A472种。
九、多排问题单排法
把元素排成几排的问题,可归结为一排考虑,再分段处理。
例11 6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是。
分析:前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排6成一排,共A6720种。
例12 8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某 1个元素要排在后排,有多少种排法?
2分析:看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有A4种,某11个元素排在后半段的四个位置中选一个有A4种,其余5个元素任排5个位置上1255有A5种,故共有A4A4A55760种排法。
十、“至少”问题间接法
关于“至少”类型组合问题,用间接法较方便。例13 从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同取法共有 种。
分析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种
333型号的电视机,故不同的取法共有C9C4C570种。
分析2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2台;
2112甲型2台乙型1台;故不同的取法有C5C4C5C470种。
十一、选排问题先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定位置上,可用先取后排法。
例14 四个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有_____ ___种
2分析:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有C4种,再排:在233四个盒中每次排3个有A4种,故共有C4A4144种。
例15 9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同分组法?
22分析:先取男女运动员各2名,有C52C4种,这四名运动员混和双打练习有A2222中排法,故共有C5C4A2120种。
十二、部分合条件问题排除法
在选取总数中,只有一部分合条件,可从总数中减去不合条件数,即为所求。
例16 以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 个。分析:正方体8个顶点从中每次取四点,理论上可构成C84四面体,但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体,所以四面体实际共有C841258个。
例17 四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有 种。
4分析:10个点中任取4个点共有C10种,其中四点共面的有三种情况:①在44四面体的四个面上,每面内四点共面的情况为C6,四个面共有4C6个;②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个;③过棱上三点与对棱中点的三角形共6
44个;所以四点不共面的情况的种数是C104C636141种。
十三、复杂排列组合问题构造模型法
例18马路上有编号为1,2,3„9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
分析:把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮3的灯C5种方法。所以满足条件的关灯方案有10种。
说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒模型可使问题容易解决。
十四、利用对应思想转化法
对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化为简单问题处理。
例19 圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个? 分析:因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点,一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点,于是问题就转化为圆周上的410个点可以确定多少个不同的四边形,显然有C10个,所以圆周上有10点,以4这些点为端点的弦相交于圆内的交点有C10个。
一、数学选择题的题型特点
数学选择题属于客观性试题, 它具有概括性强, 知识小巧灵活, 覆盖面广, 且有一定的综合性和深度等特点。选择题不设中间分, 一步失误, 造成错选, 全题无分。绝大部分的数学选择题立意新颖, 构思精巧, 具有较强的迷惑性。选择支内容相关相近, 使人真伪难辨。数学选择题技巧性强, 灵活性大, 知识面广, 综合性强, 内容跨度也较大。
二、数学选择题的解题基本策略与注意点
解数学选择题, 应先仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏, 确保准确;迅速是赢得时间获取高分的必要条件。对于选择题的答题时间, 应该控制在不超过36分钟左右, 速度越快越好, 高考要求每道选择题平均3分钟完成。灵活、巧妙、快速地选择解法, 以便快速智取。一般说来, 能定性判断的, 就不再使用复杂的定量计算;能使用特殊值判断的, 就不必采用常规解法;能使用间接法解的, 就不必采用直接解;对于明显可以否定的选择支应及早排除, 以缩小选择的范围;对于具有多种解题思路的, 宜选最简解法等。这就是解选择题的基本策略。
解选择题的注意点:
1. 注意审题, 理解题意, 深入分析, 注意挖掘题目中的隐含条件;2.反复析题, 去伪存真, 提高解题的准确率;3.寻找突破口, 抓住关健, 化难为易, 化繁为简, 找出正确答案;4.正确推演、谨防疏漏, 稳扎稳打, 认真核对与检验, 不出现偏差;5.忌讳见题就埋头运算, 按解答题解题思路而小题大做, 费时费力, 也有可能得不到正确答案。
三、数学选择题的几种常用解题方法
由于选择题不要求写出中间过程, 只需用各种不同方法迅速、准确作出判断, 因而其解法有其独特的规律和技巧。解数学选择题的常用方法, 主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法;但高考的题量较大, 如果所有选择题都用直接法解答, 不但时间不允许, 甚至有些题目根本无法解答。因此, 我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法。
1. 直接法。
直接法是解答选择题最基本、最常用的方法。它直接从题设出发, 利用数学有关知识, 通过严密的推理和准确的运算, 得出正确的结论。这种由因导果的方法是解选择题的最常用、最基本的方法。涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法。直接法的思路是肯定一个结论, 是将选择题当作解答题求解的常规解法。对一些为考查考生的逻辑推理能力和计算能力而设计编拟的定量型选择题常用直接法求解。
例1设f' (x) , g' (x) 分别为f (x) , g (x) 的导函数, 且满足f' (x) g (x) +f (x) g' (x) <0, 则当a
简析:用直接法。构造函数F (x) =f (x) g (x) , 则F' (x) =f' (x) g (x) +f (x) g' (x) <0, 知F (x) 在 (a, b) 内单调递减, 有F (x) >F (b) , 即f (x) g (x) >f (b) g (b) , 则选C.
2. 图解法。
根据题意, 画出相关的图形, 然后根据图形的画法及相关性质、特征, 得出结论。本质是将数的问题转化为图形问题, 利用图形的直观性, 再辅以简单计算, 确定正确答案, 这种解法称图解法。图解法贯穿重要数学思想——数形结合思想, 这种解法既简捷又迅速, 有很大实用性。
例2已知偶函数y=f (x) (x缀R) 满足f (x+1) =f (x-1) , 且x缀[0, 1]时, f (x) =x, 则方程f (x) =log3x的解的个数为 ()
A.1个B.2个C.3个D.4个
简析:用图解法。题意知, 函数最小正周期为T=2, 则画出如图图象, 由图象观察知, 选C.
3. 特例法。
特例法在几何中也称特形法。就是运用满足题设条件的某些特殊数值、位置、关系、图形等对各选择支进行检验或推理, 利用问题在某一特殊情况下不真, 则它在一般情况下也不真的原理, 由此判明选项真伪的方法。正确的选择对象, 在题设普遍条件下都成立的情况下, 用特殊值 (或特殊图形) 进行探求, 从而清晰、快捷地得到正确的答案, 即通过对特殊情况的研究来判断一般规律, 是解答本类选择题的最佳策略。特例法对考生的直觉思维能力和策略创造能力是一个很好的锻炼。
例3已知f (x) 是R上的增函数, 若令f (x) =f (1-x) -f (1+x) , 则F (x) 是R上的 ()
A.增函数B.减函数C.先减后增函数D.先增后减函数
简析:用特例法。取特殊函数f (x) =x, 则F (x) =f (1-x) -f (1+x) =2, 知为减函数。则选B.
4. 筛选法。
数学选择题的解题本质就是去伪存真, 舍弃不符合题目要求的错误答案, 找到符合题意的正确结论。可通过筛除一些较易判定的的、不合题意的结论, 以缩小选择的范围, 再从其余的结论中求得正确的答案。如筛去不合题意的以后, 结论只有一个, 则为应选项。筛选法适用于题目题设条件未知量较多或关系较复杂, 不易从正面突破, 但根据一些性质易从反面判断某些答案是错误的题目。筛选法思路是否定三个结论, 有些问题在仔细审视之后, 凭直觉可迅速作出筛选。
例4对于R上的可导的任意函数f (x) , 若满足 (x-1) f' (x) ≥0, 则必有 ()
简析:用筛选法。若f (x) =m (m为常数) , 则f (0) +f (2) =2f (1) , 去A、D;若f (x) 为非常数函数, 有x>1时单调递增, x<1时单调递减, 则x=1为函数的极小值点, 去B。则选C.
5. 特征法。
根据题目提供的数值、结构、整体与图形位置特征, 可进行简捷、快速推理, 从而作出正确的判断的方法称为特征法。用特征法解题, 关键是寻找选择题的条件与结论之间的特殊关系。通过对题干和选择支的关系进行分析, 挖掘出题目中的各种特征, 从而发现规律, 快速辨别真伪。
简析:用特征法。则题意知tanx<0, 则x为钝角, 即cosx<0, 分析选择支, 去A、B、D, 则选C.
6. 逐验法。
通过对试题的观察、分析、确定, 将各选择支逐个代入题干中, 进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段, 以判断选择支正误的方法。
例6下列函数中, 值域为 (0, +∞) 的是 ()
简析:用逐验法。分析A:2-x≠0, 则y≠1, 不合;分析:C:x=0时y=0, 不合;D同C;则选B.
【关键词】 数学解题思想;解题方法
一、中学数学常用的解题思想
对于数学题的思想与解答其实是一个思维活动的过程。通过理解问题、探索问题、转换问题最终来解决问题。因此,我们在解数学题的过程中一定药对数学解题的思想进行总结,举一反三。
首先,方程的思想。运用方程解题是数学题目的常用解题方法。方程也是数学教学的重点内容。方程的思想是当我们面临的数学问题包含在一个或者几个未知量时,要找到含有未知量的方程或者方程组,通过这种方式来解决问题。
例l:要将水池灌满,用A水管需要15分钟,用B水管需要20分钟,用C水管需要30分钟,若A、B、C三个水管同时开放,需要多长时间才能灌满水池?
解:假设水池总水量为G,则A、B、C水管流水速度分别为G/15,G/20,G/30,设同时开放三管,z分钟就将水池灌满,则(G/15+G/20+G/30)×t=G,解得t=20/3。
通过例1我们可以发现,方程解题思想是在理解问题的基础上先把问题总结为一个或者若干个未知量,当解答出设想问题可以列出的一切关系式,考察所列的关系式,找出可以用两种不同方式来表示同一个量,最终得出含有未知量的方程及方程组,解答方程或者方程组,得到问题的解。
其次,函数思想。函数是中学数学学习的内容,通过幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等解决数学问题。
例2:已知a,b∈R,求证a2+b2≥a+b+ab-1
解:将此不等式转化为 a2+b2-(ab+a+b-1)≥0
為此得出关于a的二次函数,f(a)=a2-(1+b)a+(b2-b+1),因此只要证明f(a)≥0即可。
第三,转化思想。在解数学题时,根据数学问题间的某种联系,将陌生难解的问题转化为曾经解决过的问题,通过转化问题进行解题。
例3:解方程5x4+7x3-36x2-7x +5=O。
设用一定的方法把方程两边同时除以x2,可得:5x2+7x-36-7/x+5/x2=0
通过换元,令y=x-1/x我们可以得出常见的方程y2+7y-26=O,将此方程带入可得原方程的解。
二、中学数学中常用的解题方法
第一,消元法。通过有限次的变换消去题目中由许多关系式联系着的某些元素,来解决问题。消元法解题的基本原则是逐步消元。通过对所要消元的元素逐个消元,使得解题表达形式更加单一化,达到解题的目的。常用的消元法:代入消元法、加减消元法、比较消元法、参数消元法。
例4 问a为何值时,方程组有唯一实数解,并求出这组解。
解:x+y+z=a作为待消方程,把此方程代人x2+y2=z中,得x+y+x2+y2=a。
只有当a=-1/2方程才有唯一解 因此将即当a=-1/2代入方程可得解。
第二,构造法。当按照以往的思维难以解题时,要通过题设条件及结论的特点,从新的角度,去观察和分析对象,抓住解题的各种条件及结论间的关系,运用问题的外形和数值解决问题。
例5:证明N=9/10×11/12×13/14×…×999999/1000000<0.003
证明此问题如果计算起来比较复杂,可构造辅助量进行解题(如设M=10/11×12/13×14/15×…×999998/999999)
又N 第三,参数法。除了消元发、构造法,数学常用的解题方法还有参数法,参数法是利用数学中有些量,其在指定的情况下是不变的。在不同的情形下,它又能够指定不同的值,因此,这种量可以称为参变量。参变量的值为参数。在中学数学的解题过程中,常常会碰到一些不能直接求解或者直接求解的难题,这时可以引入条件中所没有的辅助变数让解题过程简单化,从而得到解。在解题中,选用参数法的关键是选择合适的参数,参数必须设置合理,充分考虑题目所给的条件,并注意所引入量的取值范围。在间接求解后,还要返回去确定原题的解,即消去参数。 综上,根据新课标对数学课程标的要求。准解题教学问题是中学数学课堂教学的主要内容和关键环节。它是帮助学生理解所学内容的主要途径。通过中学数学中常用的解题思想和方法来培养学生灵活运用知识的能力。通过对中学数学中常用的解题思想和解题方法进行分析,让学生逐步理解解题的技巧,积累解题思路,从而更加灵活地运用各种解题方法。让学生明白“一题多变”的思想,让学生在解题过程中明确方向、掌握解题方法,达到良好的教学效果。 参考文献: [1]黄凯.浅谈如何在高中数学教学中开展探究性学习[J].现代阅读(教育版),2012,33(04):22-23 常听同学抱怨,作业太多,做不完了,有的同学为应付还不惜抄袭作业,影响出色品质的形成。了解下来,问题大多是在时间安排上。觉得辛苦的同学,他们的作业都是在弹性的时间内完成,想做就做些,不想做就玩会儿;或者慢条斯理,认为时间还有的是,等会再完成。有一次,作业量并不大,可是有位同学居然没完成,他坦诚的说,晚上应该花上半小时就完成,可是当走到电视前时,就自我安慰,看会吧,睡前再做,而到睡前又想起语代老师布置的“周记”明天早自习要交,只有先写周记,早自习再做吧,早自习外语老师来检查背诵,所以就误了事。 但是,大部分同学还是对数学作业高度重视,应对自如,甚至还学有余力,额外做了些提高题,所以他们经常要求老师多布置些作业。调查下来,有两个是他们的共同特点:一是他们做作业限时完成,不拖拉,干净利落,遇到困难,待各项任务基本完成后,再进行钻研。另一方面,他们做到了心动不如行动。他们拿到问题,常常是立即投入战斗,而不是去想今天有多少作业,需多少时间,难度是否太大,能不能完成得了等等。他们遇到难题是先能做多少就做多少,能解决到什么程度就解决到什么程度,当解决了问题的部分时,常常会闪出好念头,悟出问题的解决方案。实际上每解决一点就是向目标靠近一步,这就是“吹尽黄沙始得金”的道理。 应对策略必须抓牢:学生害怕“压轴题”,恐怕与“题海战术”有关。中考前,盲目地多做难题是有害的。从外省市中考卷或从前几年各区模拟考卷中选题时,特别要留意它是否超出今年中考的考查范围。有关部门已明确,拓展ii的教学内容不属于今年中考的范围,如代数中的“一元二次方程的根与系数的关系”、“用‘两根式’和‘顶点式’来求二次函数的解析式”、“二次函数的应用”等,几何中“圆的切线的判定和性质”、“四点共圆的性质和判定”等,因此这些内容不可能作为构造压轴题的“作料”。 为了应对压轴题,教师可以根据实际,为学生精选一二十道,但不必强求一律,对有的学生可以只要求他做其中的第(1)题或第(2)题。盲目追“新”求“难”,忽视基础,用大量的复习时间去应付只占整卷10%的压轴题,结果必然是得不偿失。事实证明:有相当一部分学生在压轴题的失分,并不是没有解题思路,而是错在非常基本的概念和简单的计算上,或是输在“审题”上,因此在最后总复习阶段,还是应当把功夫花在夯实基础、总结归纳上,老师要帮助学生打通思路,掌握方法,指导他们灵活运用知识。有经验的老师常常把压轴题分解为若干个“小综合题”,并进行剪裁与组合,或把外省市的某些较难的“填空题”,升格为“简答题”,把“熟题”变式为“陌生题”,让学生练习,花的时间虽不多,但能取得较好的效果。我认为:综合题的解题能力不能靠一时一日的“拔苗助长”而要靠日积月累的培养和训练。在总复习阶段,对大部分学生而言,放弃一些难题和大题,多做一些中档的变式题和小题,反而能使他们得益。 以上就是高中数学竞赛解题方法的相关建议,希望能帮助到您。 简单地说,《考试说明》就是对考什么、考多难、怎样考这三个问题的具体规定和解说。《教学大纲》则是编写教科书和进行教学的主要依据,也是检查和评定学生学业成绩、衡量教师教学质量的重要标准。我们可以结合上一年的高考数学评价报告,对《考试说明》进行横向和纵向的分析,发现命题的变化规律。 2学习计划 弄清问题。也就是明白“求证题”的已知是什么?条件是什么?未知是什么?结论是什么?也就是我们常说的审题。 拟定计划。找出已知与未知的直接或者间接的联系。在弄清题意的基础上,从中捕捉有用的信息,并及时提取记忆网络中的有关信息,再将两组信息资源作出合乎逻辑的有效组合,从而构思出一个成功的计划。即是我们常说的思考。 执行计划。以简明、准确、有序的数学语言和数学符号将解题思路表述出来,同时验证解答的合理性。即我们所说的解答。回顾。对所得的结论进行验证,对解题方法进行总结。 3运算技巧 以“错”纠错,查漏补缺:这里说的“错”,是指把平时做作业中的错误收集起来。高三复习,各类试题要做几十套,甚至上百套。如果平时做题出错较多,就只需在试卷上把错题做上标记,在旁边写上评析,然后把试卷保存好,每过一段时间,就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。在看参考书时,也可以把精彩之处或做错的题目做上标记,以后再看这本书时就会有所侧重。查漏补缺的过程就是反思的过程。 以本为本,把握通性通法:近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向,强调“注意通性通法,淡化特殊技巧”。就是说高考最重视的是具有普遍意义的方法和相关的知识。例如,将直线方程代入圆锥曲线方程,整理成一元二次方程,再利用根的判别式、求根方式、韦达定理、两点间距离公式等可以编制出很多精彩的试题。尽管复习时间紧张,但我们仍然要注意回归课本。回归课本,不是要强记题型、死背结论,而是要抓纲悟本,对着课本目录回忆和梳理知识,把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上,选择一些针对性极强的题目进行强化训练、复习才有实效。 4几何公式 1.把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 2.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 3.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 4.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 5.正n边形的面积sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长 6.正三角形面积√3a/4 a表示边长 7.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 8.弧长计算公式:l=nπr/180 9.扇形面积公式:s扇形=nπr2/360=lr/2 在数学学习过程中, 做题是必不可少的, 但并非越多越好, 题海战术只能加重学生的负担.要想少做题却有效果, 就必须养成解题的规范性, 规范的解题能够使学生养成良好的学习习惯, 提高思维水平, 提升学习成绩. 通过对几届学生的分析, 笔者发现学生主要有以下几类不规范的解题行为. 问题一:读题不仔细, 审题错误 怎样才能审好题呢?笔者认为学生首先要把题目中每一个条件及条件之间的关系弄清楚, 再根据条件逐一联想所学知识、方法、类似的题目及注意点.这样才能发现题目中条件最集中的地方、条件相关的地方以及可以转化的地方, 从而逐步入题, 找到题目的关键点、突破口.因此, 联系所学知识对审题很重要.通过有意识地联系与题目相关的知识、方法进而深入理解题目的本质, 为下一步的展开做好准备. 问题二:缺少衔接性语言, 解题枯燥无味 这实际上是生活数学化的能力和学科综合的能力不具备的表现, 这也是很多数学教师不屑一顾甚至反对的一点, 更不用说学生了.所谓“衔接性语言”是指实际问题转化为数学问题的过程语言, 在解题过程中上下句之间的逻辑连接语言, 最常见的有因为、所以, 但高中学生尤其是高一学生对此最容易忽视. 问题三:解题缺乏计划性 学生中比较普遍存在的情况是:解题就像脚踩西瓜皮, 滑到哪里算哪里.尤其在解与三角有关的化简和证明题时, 拿起一个三角公式就代, 至于用公式的目的是什么?为了达到怎样的目标?是否与要解决的问题更接近了?类似于这样的思考在他们的解题过程中是从未有过的.导致的后果就是一堆公式代下来, 做对了也不知道为什么会对, 做错了更是不知错在哪里.其实, 解题的过程是充满思考的过程.没有人能保证自己的解题思路一直是正确的.学生应该要学会根据已有的演算和推理结论去制定和调整下一步的解题计划.这对于提高解题正确率意义重大. 问题四:解题后不检验 很多学生都认为一道题只要算出结果, 这道题就做好了.事实上正是因为有这样的想法, 使得不少学生在解题上功亏一篑.在数学推演的过程中经常会出现这样一种情况:前一步和后一步之间并非是充分必要的, 也就是我们常说的不等价.这种时候就需要对解题的结果进行检验.在解一些探索性的问题时, 有时候我们往往先假设某个情况是存在的, 然后通过一些特殊条件去待定未知数.这就需要检验解题结果, 因为这个结果是在“假设存在”的前提条件下推导出的.至于是否真的存在还需要验证. 就上面这些会出现的问题, 你如果去问学生们, 他们会说:我太粗心了!但事实上, 真的是因为他们太粗心吗?笔者对导致学生解题不规范的原因做了分析, 主要有以下几方面. 一是初高中教材体系差异导致学生解题不规范.初中数学教材中每一个新知识的引入往往与学生日常生活实际很贴近, 比较形象, 难度、深度和广度大大降低, 教材内容通俗具体, 多为常量、数字, 题型少而简单, 体现了“浅、少、易”的特点, 并遵循从感性认识上升到理性认识的规律, 学生一般都容易理解、接受和掌握.稍微有点复杂和抽象的内容, 如:对数、二次不等式、解斜三角形、分数指数幂等内容, 都转移到高中阶段去学习.高中数学教材内涵丰富, 内容抽象, 多研究变量、字母, 不仅注重计算, 而且还要注重分析, 教学要求高, 教学进度快, 知识信息广泛, 题目难度趋深, 知识的重点和难点也不可能像初中那样通过反复强调来排难释疑.同时, 高中教学往往通过设问、设陷、设变, 启发引导, 开拓思路, 然后由学生自己思考、去解答, 比较注重知识的发生发展过程, 侧重对学生思想方法的渗透和思维品质的培养.这使得刚入高中的学生不容易适应这种教学方法, 听课时存在思维障碍, 不容易跟上教师的思路, 从而产生学习困难, 影响数学的学习. 二是学生数学语言障碍导致解题思维不清.数学语言是一种高度抽象的人工符号系统, 分文字语言、符号语言、图形语言三类.包括数学概念、术语、符号、式子、图形等, 它成为高一学生学习数学的难点.一方面在于数学语言难懂难学;另一方面是学生对学习数学语言不够重视.缺少训练及意义理解, 导致不能准确、熟练地驾驭数学语言之间的互译.解题中主要表现在学生读不懂题, 看不懂图像和符号, 即对数学语言的识别、理解、转换、构造、操作、组织、表达等有一定的困难.如恒成立问题、含参数问题, 对学生来说是比较难的问题, 学生往往不知从何下手;集合同一章中“并集”定义中的“或”字, 可以包含两者同时发生的情况, 不同于日常语言中的“或”字.而学生理解混淆, 产生解题误解;解答线性规划问题时, 文字语言、符号语言和图形语言互译困难, 又加上解此类问题费时、费事, 平时练习中忽略步骤, 导致学生考试作答时不知如何书写. 三是学生对于概念、定理和公式等理解不透彻, 在学习时没有认真掌握定理、公式的条件、特点及注意点.在解题时就无法把握试题的得分点, 书写时思路不清晰、条件不完整, 如立体几何证明中定理条件的缺失、“跳步”等, 代数论证中的“以图代证”, 基本不等式的等号成立的条件, 圆锥曲线焦点位置等, 都是经常导致学生丢分的知识点. 四是学生的表达能力不强, 导致“懂而不会、会而不对、对而不全”.面对试题时觉得老师都讲过, 但自己却无法表达出来.写出来的内容条理混乱、分析法和综合法并用、条件和结论倒置等;要不就是写了一大堆, 拖泥带水、主次不分、没有突出重点. 五是受数学老师上课板书的影响, 高中教师总以为数学的教学是每一节课能够完成在学生原有认知结构基础上建构新知识, 完成拟定的知识目标;在解例题时, 只注重培养学生分析能力、综合能力、发散能力等, 而解题的严谨和规范的情感目标被严重忽略, “行大礼, 不拘小节”的现象普遍存在. 针对以上的现象和成因, 笔者提出以下的对策. 首先, 从语言方面打基础.数学问题的解决常常离不开符号语言、图形语言、文字语言.它们互译如何, 能准确地反映出学生对该知识点的理解程度.这不但有利于培养学生数学概括能力, 而且能提高审题及规范书写能力.指导学生学习数学语言时, 要善于利用概念教学, 巧妙引导, 讲清一些数学符号的意义及蕴涵的数学思想和背景, 帮助学生把思维内部的无声语言转化为有声、有形语言.克服数学语言识别上的障碍;应当强化学生自己去发现规律, 并引导学生进行数学语言复述和互译训练, 提高各种语言之间互译的本领, 促使学生数学语言的准确应用与简练表达, 从而既避免思维不清、漏洞百出, 又解决解题书写中拖泥带水、主次不分的情况. 其次, 应指导并训练学生规范解题, 为养成良好的答题习惯, 做到解题的规范性.师生可以在教学过程中, 从点滴做起, 重在平时, 坚持不懈, 养成习惯.坚持做好以下几点: (1) 课堂教学有示范, 通过教师的示范作用潜移默化.“榜样的力量是无穷的”, 教师要以身作则, 平时教学中每一细节“严谨、规范”, 解题过程条理性、逻辑性、系统性强, 不丢任何步骤, 即使是为了有效利用45分钟, 有必要略去解题的某些环节, 也应向学生特别说明.课堂上也可请学生上去板书解答, 结果请另一位学生点评或教师解答完后由学生点评 (有时教师故意错一点) , 让学生有成功感和喜悦感. (2) 平时作业要落实, 上好作业评讲课, 注重纠错的落实;也可以经常进行作业“规范、整洁”比赛, 最好的作业在学习园地中张贴, 并且给予一定的奖励. (3) 测验考试看效果, 考试中会答的考题一定要一次性成功, 并且得该题的满分.每次单元测试, 对答题最规范的学生予以特别奖励几分并加入总分, 让他们意识到良好的答题习惯也能取得高分. (4) 评分标准做借鉴, 学生应以参考答案为标准, 对照自己的答案与参考答案的异同.解题过程应尽量减小跳步, 衔接紧密, 问题考虑要全, 切忌思考问题丢三落四、想当然、麻痹大意, 并且做好改错、反思工作, 查缺补漏. [关键词]教育体制;高中数学;知识体系 随着我国教育体制改革的不断深入,数学作为高中课程中重要组成部分越来越受到重视。从历年来的高考题来看,数学更注重对数学思想与技巧的考察,这在填空题中特别明显。著名的数学家华罗庚曾说过这样一句话,对于数学的掌握就是要学会解题。我们在对数学题目的解答过程中常常会被固定思维所限制,总想着用比较熟悉的题型来解答。而对题目中所蕴含的数学方法和思想无法得到比较深透的理解和运用。如果说知识是数学学习的基础的话,那方法就是手段,而思想就是深化。学生对于数学思想方法的认识与运用是提高学生数学素质的核心。 一、换元法 用某个变量来替换数学中的某个式子,从而简化问题的方法就叫做换元法。换元法的实质就是转化,等量的代换是其理论依据,设置元与构造元则是其关键。换元法的最终目的是将新的研究对象转移到另一个只是环境中进行研究和讨论,从而简化问题,使问题得到有效的处理。 例1,已知实数a,b满足,则的取值范围是 。 分析:如果本题采用配方法或者是直接求解的话,题目的难度就会比较大,所以我们运用换元法求解。 解:且设,则有Δ=4k2-4≥0所以k≥1或k≤-1.本题的难度就大大简化了。 灵活运用换元法是数学素质培养的一个重要方面。换元的主要方法有:三角换元、局部换元、均值换元等。引进新变量并把题目中的隐含条件显现出来,从而让条件与结论能够有效的联系,就是换元法的意义所在。换元法具体的内容有变无理式为有理式、化高次为低次、化分式为整式等。同时换元法在方程、函数、数列、三角等问题中都有着比较广泛的应用。 二、配方法 运用配方法找到未知和已知之间的联系,是一种对数学相关式子进行定向变形的技巧,熟练并合理的运用配与凑、添项与裂项的技巧,完成对式子的配方从而将数学问题简易化。在二次函数、二次方程、二次代数式和二次方程中经常出现配方法的运用,恒等变形就是其中较为常见的方法之一。完全平方式是最为基本的配方依据,灵活运用此公式可以延伸出多种配方形式例如。 相应的结合其他的数学性质与知识背景可以衍生出一些其他的配方形式,例如x2+1x2=(x+1x)2-2=(x-1x)2+2 ……1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2; 例2,现有一长方体十二条棱长综合为24.且长方体的全面积为11,则长方体的对角线长度为 。 分析已知条件可知,设置长方体的长宽高分别为x、y、z,则有2(xy+yz+xz)=114(x+y+z)=24,而长方体的对角线长度公式为x2+y2+z2,根据已知条件可以得出,2(xy+yz+xz)=114(x+y+z)=24,我们可以用配凑法将题中已知条件进行转化,得到x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+yz+xz)=62-11=5.将题目中的两个已知的条件转化为某个未知的数学表达式是本题的关键所在。通过分析和观察可以比较容易的找到三个数学式子之间的联系,这就通过配方法将已知和未知进行了联系,这也是在配方法方面比较常用的一种模式。 三、数学归纳法 作为递推论证的一种常见方式,数学归纳法在数学学习中占有着比较重要的地位。它是用来论证自然数相关的一些数学命题的重要方法。递推论证的主要模式是,首先证明命题在n=1(或n0)时成立,接着我们就可以假设在n=k的条件下命题也是成立的,然后进一步证明当n=k+1的条件下,命题也是成立的。它是从无限与有限之间进行衔接的一种重要手段,这每一步都是非常有必要的,通过这两个论证可以进一步推到对于所有的自然数命题都是成立的。 例3,已知34n+2+52n+1(n∈N)能被14整除,当n=k+1时对于式子34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为 。 解 (34k+2+52k+1)34+52k+1(52-34),该例题主要考察对数学归纳法的直接应用,无解析。 数学归纳法的关键在于n=k+1时命题成立的推证。作为这一步的证明比较关键的是要具有一定的目标意识,通过对目标与最终目的进行分析找出其中的联系。这也是确定和控制解题的方向的关键。例题是对数学归纳法的直接应用,数学归纳法同时还涉及到对几何问题、代数不等式、三角不等式、整除性问题等。 四、待定系数法 待定系数法是根据题中所列出的已知条件来确定某些未知系数,通过确定变量间的函数关系来实现的。多项式f(x)≡g(x)的必要条件是相对于任意一个a值都存在f(a)≡g(a),待定系数法的有一个比较重要的理论基础就是多项恒等式,解答待定系数法题目的基本思路是,首先找出含有待定系数法的解析式问题,其次是在恒等条件下作出一组含有待定系数的方程式,最后是运用消去待定系数的方法或者解方程组的方式来解答问题。 例4,对式子(1-x3)(1+x)10进行展开,则x5的系数是 。 对该例题进行分析:系数C510与(-1)C210组成x5,相加后的x5的系数解 x5的系数为C510+(-1)C210=207。 五、参数法 适当的引入与研究目标相联系的参数,并以参数为中间桥梁来对问题进行综合分析从而进一步简化解题过程就叫做参数法。参数法的典型实例就是换元法,同时常用的问题中是参数方程与参数法解题。 例5,已知实数a、b、c满足a+b+c=1,则a2+b2+c2的最小值是。 分析 由a+b+c=1想到“均值换元法”,于是引入了新的参数,即设a=13+t1,b=13+t2,c=13+t3,代入a2+b2+c2可求。 解由a+b+c=1,设a=13+t1,b=13+t2,c=13+t3,其中t1+t2+t3=0。 a2+b2+c2=(13+t1)2+(13+t2)2+(13+t3)2=13+23(t1+t2+t3)+t21+t22+t23=13+t21+t22+t23≥13, 所以a2+b2+c2的最小值是13.本题的关键是利用均值换元的方式引入参数,将原本负责的代数式问题简化,从而高效的解答本题。 六、定义法 在数学学习中常见的基础知识都比较少,基本上都是一些公式、定理与性质等,利用这些基本的定义来解题就是定义法。通过对定义内涵的深刻理解利用公式所蕴含的逻辑方法,在一些题目的解答中能得到事半功倍的效果。 例6,现椭圆上有一点p满足如下条件,x225+y29=1,且该点到右准线的距离是2.5,则该点到左焦距的距离是多少 分析本题的解答可以从椭圆的第二定义着手,即平面上到定点距离和到定直线距离之比是常数点的集合。 解利用橢圆的第二定义得到|PF左|52=e=45即PF左=2,PF右=2a-PF左=10-2=8. 熟练运用定义法解题是学生基本数学素质的体现。 参考文献: [1]周彩凤.高中数学导数解题典型性应用[J].中学数学教学参考,2015.15:58 . [2]崔迎新.导数在高中数学解题中的应用[J].新课程学习(上),2013.03:50-51. 1、守恒思维方法 自然界里各种运动形成虽然复杂多变,但变化中存在不变,即某些量总是守恒。守恒的观点是分析物理问题的一种重要观点,它启发我们可以从更广阔的角度认识到系统中某些量的转化和转移并不影响总量守恒。 (1)能量的转化和守恒能量既不会凭空产生,也不会凭空消失,它只能从一种形式转化为另一种形式,或从一个物体转移到另一个物体。做功的过程就是能的转 化过程。如合外力对物体做的总功一定等于物体动能的变化。其中动力做功是把其它形式的能转化为动能,阻力做功是把机械能转化为其它形式的能。从能量守恒的 观点看,动能定理是一条应用广泛的重要定理。在机械运动的范围内,当系统状态变化时,如果除重力、弹力外没有其它力做功,系统的机械能守恒。它是普遍的能 的转化和守恒定律的一个特例。功、热和内能之间的变化关系满足热力学第一定律。物体间由于温度差发生热传递。是内能的转移。 如:长为L,质量为M的均匀软绳,放在光滑桌面上,现让其从桌边缘无初速滑落,求绳子末端离开桌边缘时的速度。本题是属于变力做功问题,直接求解较难,最简便的方法是从功能关系出发求解。解略。 (2)动量守恒如果没有其它力,或外力与物体之间的相互作用力比较可以忽略时,在系统内各物体相互作用过程中总动量守恒,即各物体任意时刻总动量的矢量 和不变。就系统内单个物体,其动量的变化等于合外力的冲量,但相互作用的两物体受到的冲量大小相等,方向相反,则在动量传递过程中系统的总动量不变。 如在光滑的两水平导体杆上,与杆垂直放上两质量均为m,电阻均为R的金属杆a、b,水平导体杆的电阻不计,长度足够长并处于范围足够大的匀强磁场中,起初两杆均静止,现给a以初速度v0,使它向b运动,试求b杆的最大速度。 分析:此题为一道力电综合题,显然系统只有相互作用的磁场力可以认为是内力,所以系统受合外力为零,动量守恒。 (3)质量守恒一定的物质形式对应一定的运动和一定的能量状态,运动是永恒的,物质是不灭的。参与变化的物体质量的总和与变化后物质质量的总和相等,这就是质量守恒的观点。 (4)电荷守恒中性的原子由带正电的原子核和核外电子组成,决定了自然界中电荷是守恒。不带电的物体通过接触,摩擦或感应的方式可以带电,带电的物体若 发生中和或电荷转移现象,电荷发生消失或减少,但正负电荷总和是一定的。如:在原子物理中,写核反应方程,质量和核电荷数守恒。 2、系统思维方法 按照系统的观点,我们面对着的整个自然界是由无数相互联系、相互制约、相互作用、相互转化的事物和过程所形成的统一整体。根据上述观点,在分析和处理物理问题时,抓住研究对象的整体性和物理过程的整体性进行分析,这就是系统思维的方法。 在物理解题时,掌握系统思维方法,应当学会从整体上把握研究对象,如对系统进行受力分析的整体法,它与隔离法是相辅相成的,都应熟练掌握。有些物理过程 是很复杂的,不公要学会把复杂的过程分解为若干简单的过程,也要学会把复杂的物理过程看着一个统一整体来处理。在很多情况下,根据系统思维的方法,抓住研 究对象的整体性和物理过程的整体性,解决问题往往能化繁为简,迅速解决问题。 如:放在水平地面的静止的斜面体M上,放着一个质量为m的物块相对斜面静止,求斜面体受到地面的摩擦力。 分析:该题如果从m平衡求出对M的作用力再分析M的受力求解很麻烦。若把两物体看成一整体,因水平方向没有外力作用,所以无运动趋势,摩擦力为零。 3、类比思维方法 “类比”是逻辑学的一种推理形式,就是借助于事物之间的相似性,通过比较将一种已经掌握的特殊对象的知识,推到另一种新的特殊对象的思维方法。中学物理 中存在大量可以类比的问题,如电磁振荡与机械振动相类比、电压与水压相类比等。运用类比推理方法处理物理问题,常见的有模拟类比、过程类比、方法类比等形 式。解题时在其它方向上不能奏效,若善于联想,巧妙地用类比推理,往往可以使繁难或似乎无法解答的问题变得十分简单。 4、等效思维方法 等效思维方法是指在处理问题时,采用相同性质事物间等效替代的解题方 法。两个不同的物理过程,如果在某方面、某点上或某种意义上产生的效果相同,就具有等效性。如平抛运动可以等效为自由落体运动和水平方向的匀速运动的合运 动,二力的作用效果等效于它的合力的作用效果;较复杂的电路可以简化为简单的串并联电路组成;交流电的有效值与热效应相同的直流电大小相等;气体状态变化 的复杂过程可等效为等温、等容、等压过程等等。当我们处理物理问题时,若甲问题难于处理,就处理与其有等效性的乙问题,从而得到相同的结果。常见的形式 有:等效力系替代、等效过程替代、等效运动替代、等效参考系替代、等效电路替代……等等。值得注意的是,采取等效替代,并不改变原问题的物理性质与原过程 的物理实质,仅仅使求解获得最简便的途径。 5、对称思维方法 对称性是物质世界的一致性与和谐性的反映。应用物质世界的对称性来分析处理问题的思维方法叫做对称思维的方法。 在物理学中,对称性比比皆是。许多物体的运动具有空间和时间的对称性,例如作简谐振动的物体在平衡位置两侧的运动对平衡位置是对称的,竖直上抛运动的上 升阶段和下降阶段对最高点是对称的,许多物体在空间分布上具有对象性,例如:某些电路结构的对称性;平面镜成像的对称性等。在某些物理问题中,抓住对称性 这一特征进行分析常能出奇制胜。 6、极端思维方法 许多物理现象和物理过程存在临 界状态,其表现形式是某些物理量达到极限值时,物体在此前后运动情况发生突变。解答这类问题一般可依据物理量变化的方向逐步推向极端,通过分析临界状态和 极值求得问题的解决。有时很难在一般发表情况下得出结论,也可以考虑把一般推向极端,做出极端条件下的判断,再回到一般,往往会很快得出结论。我们把这类 思维称为极端思维方式。它能考查学生思维的深度、广度和思维的敏捷性,提高运用物理规律分析解决实际问题的能力。 如一个量增大,可以设想它一直增加到无穷大;同样一个若减小,可以设想一直减小到零。 例如:粗糙木板上放着一个物体,现将一端缓慢抬起,分析物体受到的摩擦力的变化。 分析:初始时刻,平板倾角为零,物体无运动趋势,摩擦力为零。当木板有一定倾角且较小时,设想木板表面光滑,则物体必然下滑,所以判断出物体受有摩擦 力,而这时物体还没有运动,受到的是静摩擦力,且摩擦力随重力沿斜面方向的分量的增加而增大。而当倾角增大到一定程度,物体必然下滑,受到滑到摩擦力的 f=μN,N=Gcosθ,摩擦力减小。 7、逆向思维方法 在通常情况下,人们往往习惯于从条件或原因分析其结论或结果,这是正向思维的模式。 逆向思维是把人们通常思考问题的思路反过来加以思考。即从结论或结果出发倒着分析问题,分析这一结论或结果产生的条件或原因。这种思维方法叫逆向思维方法。逆向思维是一种创造性的思维,也是思维广阔性和灵活性的表现。 将逆向思维应用于物理解题。要求能灵活地转变思维方向,克服思维定势的消极影响。特别是在某些情况下,按照正向思维的方式分析非常麻烦,甚至陷入困境,这时就应立即转换思维方式,从相反的方向重新思考,往往能收到意想不到的效果。 例:还是做匀减速直线运动最后速度减为零的情况,均可看成初速度为零的匀加速直线运动组成。 总之,中学物理是一门较难学的一门学科,但只要多方面地培养兴趣,注意学习方法,多思考,勤学好问,多作实验,注意总结规律,是完全可以学好的。 中考物理必须知道的50句话 1。物质由分子组成,分子间有空隙,分子间存在相互作用的引力和斥力 2。刻度尺读数需要读到分度值下一位 3。误差不是错误,误差不可避免,错误可以避免 4。使用刻度尺测量时可以采用多次测量取平均值的方法减小误差 5。量筒不但可以测量液体的体积,还可以用“排水法”测量固体的体积 6。利用天平测量质量时应“左物右码” 7。同种物质的密度还和状态有关(水和冰同种物质,状态不同,密度不同) 8。物质的运动和静止是相对参照物而言的 9。相对于参照物,物体的位置改变了,即物体运动了 10。参照物的选取是任意的,被研究的物体不能选作参照物 11。平均速度表示一段时间或路程内物体运动快慢程度 而瞬时速度表示某一位置或某一时间点物体运动快慢程度 12。水的密度:ρ水=1.0×103kg/m3=1g/cm3 13。一切发声的物体都在振动,声音的传播需要介质 14。通常情况下,声音在固体中传播最快,其次是液体,气体 15。乐音和噪声没有严格的界限,与地点、时间、环境及人的心情都有关系 16。乐音三要素:①音调(声音的高低)②响度(声音的大小)③音色(辨别不同的发声体) 17。防治噪声三个环节:①声源处②传输路径中③人耳处 18。超声波的速度比电磁波的速度慢得多(声速和光速) 19。力的作用是相互的,施力物体同时也是受力物体 20。力的作用效果有两个:①使物体发生形变②使物体的运动状态发生改变 21。判断物体运动状态是否改变的两种方法:①速度的大小和方向其中一个改变,或都改变,运动状态改变②如果物体不是处于静止或匀速直线运动状态,运动状态改变 22。力的三要素:力的大小、方向、作用点 23。力的示意图是简单的画法(不用分段) 24。弹簧测力计是根据拉力越大,弹簧的形变量就越大这一原理制成的。 25。弹簧测力计不能倒着使用 26。重力的方向总是竖直向下的,浮力的方向总是竖直向上的 27。重力是由于地球对物体的吸引而产生的 28。两个力的合力可能大于其中一个力,可能小于其中一个力,可能等于其中一个力 29。二力平衡的条件(四个):大小相等、方向相反、作用在同一条直线上,作用在同一个物体上 30。影响滑动摩擦力大小的两个因素:①接触面间的压力大小②接触面的粗糙程度 31。惯性现象:(车突然启动人向后仰、跳远时助跑、拍打衣服上的灰、足球离开脚后向前运动、运动员冲过终点不能立刻停下来,甩掉手上的水) 32。物体不受力或受平衡力作用时可能静止也可能保持匀速直线运动 33。增大压强的方法:①增大压力②减小受力面积 34。液体的密度越大,深度越深液体内部压强越大 35。连通器两侧液面相平的条件:①同一液体②液体静止 36。利用连通器原理:(船闸、茶壶、回水管、水位计、自动饮水器、过水涵洞等) 37。大气压现象:(用吸管吸汽水、覆杯试验、钢笔吸水、抽水机等) 38。马德保半球试验证明了大气压强的存在,托里拆利试验证明了大气压强的值 39。大气压随着高度的增加而减小 40。浮力产生的原因:液体对物体向上和向下压力的合力 41。物体在液体中的三种状态:漂浮、悬浮、沉底 42。物体在漂浮和悬浮状态下:浮力=重力 43。物体在悬浮和沉底状态下:V排=V物 44。阿基米德原理F浮=G排也适用于气体(浮力的计算公式:F浮=ρ气gV排也适用于气体) 45。潜水艇自身的重力是可以改变的,它就是靠改变自身重力来实现下潜、上浮和悬浮的 46。密度计放在任何液体中其浮力都不变,都等于它的重力 47。流体流速大的地方压强小(飞机起飞就是利用这一原理) 48。动力臂大于阻力臂的是省力杠杆(动滑轮是省力杠杆) 49。定滑轮特点:能改变力的方向,但不省力 动滑轮特点:省力,但不能改变力的方向 50。滑轮组绳子段数越多,越省力,越费距离 中考物理复习三大建议 一、复习要点 1.抓住基础知识。中考试卷中易、中、难的试题比例为3:1:1,对基础知识、基本概念的考查应是中考的重点,但近年来对基础知识的考查形式发生了变化,最主要的变化是摒弃了考查死知识的做法,而要求能在具体事件中辨认出该知识或规律。为此学生要做到复习细致,在广度上力争不留漏洞。 2.联系实际,贴近生活。新课程的基本理念之一就是“从生活走向物理,从物理走向社会”这是中考命题的指导思想,那些最常见的生活现象最可能成为命题的素材。复习时同学们应在近两年的相关题目中了解此类题的出处、分类和答题技巧,更主要的是发现不懂的问题多亲自去做、去看、去想,快速提高自己的观察、分析能力。 3.重视开放型物理题的训练。《考试说明》中提到:考卷中要设置适量的开放性和综合性题目,考查学生的发散思维和创新意识。对于此类题目因初中知识程度有限,只能是浅层次地开放,首先要放下畏惧心理。从近两年物理命题中可看出,开放型物理题大致可分三类,即条件开放型、结论开放型、条件和结论都开放型。对于开放型物理题常常没有现成的解答模式,而是要利用发散思维进行全方位、多角度的观察、分析。这就要求学生在平时练习中重视一题多解,不能浅尝辄止。 4.加大科学探究方法的学习和实验技能的提高。近几年中考物理题中科学探究及实验题的数量及分值呈上升趋势,掌握科学探究及实验题的类型及要求是解答试题的关键。科学探究及实验题的类型主要有:(1)考查对问题实验过程的感悟;(2)考查各种仪器在科学探究及实验中的作用;(3)考查科学探究中对实验数据的处理;(4)学生用一定的物理方法来探究实验;(5)学生自主设计性实验。此部分的复习方法应在掌握一定的物理研究方法(尤其是控制变量法)的基础上,系统全面地复习每个实验及相关的基本内容,然后带着疑问走进实验室进行科学探究,反复操作练习,观察实验现象,分析实验结果,从而弥补知识上的不足。 5.提高收集、分析和处理的能力。生活中源随处可见,各种商品的说明、须知、用法及列车时刻表等都向人们提供着,善于迅速从资料中选择出自己需要的是人们在生活中应具有的能力,因此近两年围绕铭牌、说明书、数形结合——物理图象等命出了一些类题,应引起重视。考试中的给予方式可以是图表或文字,同学们要掌握解答此类问题的大致步骤,平时培养较强的阅读能力,收集有益的能力,还需要有一个良好的心理素质。 6.在普遍复习的基础上,同学们应把所学知识再分成专题进行复习。复习时要把前后知识联系起来,使前后所学的知识相互迁移,连成线,织成网。注意不同学科间知识的联系,摆脱“学科本位”思想是现代社会发展的需要。 二、热点问题 通过观察总结近两年的各地中考试卷,发现热点主要还集中体现在以下几方面: (1)关注最新科技发展;(2)关注时事新闻;(3)关注估测能力,例如估计考场温度、估计自己上三楼的功率等;(4)关注问题的提出,例如试卷上给幅图片,让你针对图片所画内容提出一个与物理知识相关的问题并解答。 三、题型结构 1.近几年物理题型的显著变化是多了定性的简答题,少了定量的计算及死套公式的试题。学生对于陌生的简答题普遍存在着不知如何着手,解答不得要领的毛病,再加上简答题的题目很多,出题方式灵活,给中考复习带来一定困难。这里将这种题目的分类及解答方法简叙如下: (1)纵向分类。按照课本内容逐一理解概念,把题目归为:力的问题、运动问题、光的问题、蒸发问题、液化问题、浮沉、杠杆、安全用电问题等等。每类题目都有各自基本的答题模式。(2)横向分类。据解答方式不同,可把简答题分为:直接叙述题、用数学语言帮助解答题、需用图帮助解答的问题。对于此类题目学生要认真体会答题的顺序,理解每条答语与题目的联系,多做几道题目,多比较答案就能创造性地答好问题。 【关键词】高中数学 数学思想方法 化归思想 教学效率 【中图分类号】G 【文献标识码】A 【文章编号】0450-9889(2016)11B-0154-02 “问题是数学的心脏”,学会解决问题是学习数学的重点。因此,掌握数学的解题思想对数学解题至关重要。在高中数学解题中,所运用到的数学思想方法不尽相同,但其本质上都是化归思想。如数形结合思想所展示的是数和形的转化,函数思想所展示的是动和静的转化,分类思想所展示的则是对数学问题整体和局部的转化。无论是哪一种思想方法,化归思想都是其中的精髓。 当前,学子间的高考竞争愈发激烈,新形势下,国家对人才的知识、能力上的要求也更加严格。因此,如何提升学生的学习效率,是亟需解决的问题。提高学习效率对于高中学生而言,不仅解决了紧迫的学习时间和学习要求的矛盾,而且极大地减轻了学生的学习压力,进一步提高学生的学习热情。学生在进行数学学习过程中,是否可以做到善于学习、举一反三、灵活运用,关键在学生有没有掌握一套适合自己的解决问题的思想方法。学生掌握解题思想方法又需要得益于教师的影响。有鉴于此,在高中数学教学阶段,比之“填鸭式”的知识传授,教授给学生数学思想方法更有意义。 一、化归数学思想方法在高中数学中的应用 (一)解析几何的转化 一般而言,解决解析几何的关键在于实现“数形结合”,换言之,将几何问题转化成为代数方法,进而形成几何条件代数化、代数运算几何化的局面。让问题从复杂转化成简单,把抽象的问题转化为具体的问题,让学生更易理解问题核心,并且学会优化解题过程。 圆锥曲线长期以来都是高考数学的内容之一,也是学生较难解决的问题。其原因就在于,学生并未真正地掌握圆锥曲线问题之中所涵括的一些数学思想方法,一味生硬盲目地解题,不善于将考试中的问题转化成为日常练习的问题,不擅长用学过的知识去解决新的问题,这是学生在解题中存在的主要问题。 解析几何的核心目的就是通过代数办法去分析几何问题,但对部分圆锥曲线问题,采取代数的办法予以计算便会十分复杂,而假若把圆锥曲线转移到平面几何中来,又会获得不错的解题效果。例如: 已知定点 F1(-2,0),F2(2,0),N 是圆 O:x2+y2=1 上的任意一点,点 F1 关于点 N 的对称点为 M,线段 F1M 的中垂线和 F2M 相交于点 P,求点 P 轨迹是( )。 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 分析本题可以发现,假使设出点 N 的坐标,将它代入到解析式中进行运算便会十分复杂,而如果用数形结合的数学思想,将它转化成几何问题,那么变容易得多,可非常快速地解题。因为 O,N 分别为 F1F2 和 F1M 的中点,所以 ON 平行 F2M,F2M=2,PM-PF2=2,PF1=PM,PF1-PF2=2。求得答案 P 的轨迹是 B选项双曲线。 (二)数列的转化 数列问题同样是高考中的必考内容,其中又以求数列的通项公式为解决问题的核心。通过递推公式,求其通项公式是最近几年来各地高考中的常考内容之一。这一类型的问题种类繁多,但也可以通过不同的解题思路来灵活运用。在求递推数列的通项公式时,大多都能够将它转化成等差数列来进行解决。通过递推公式求数列的通项公式通常存在数种类型,而每种都对应了相应的解题办法。 (三)函数的转换 函数体现了现实世界中两个变量间的关系,解题过程中,学生能够通过观察运动与变化,来解析自然界中具体问题量的依存关系,剔除问题中所涵括的非数学条件,那么通过函数的手段就可将这一类数量关系体现出来。如此一来,就可构造函数将最初的处于静态关系下的两个量转化成为具有动态关系的两个量,接着再通过函数运动的特点予以解决。完成函数中动与静的转化,也就是化归思想的实现。 二、培养学生数学化归思想的策略 (一)深度挖掘教材 教材绝非只是学生得到知识信息的载体,更是学生发展综合能力的基础,以及激发学生发散性思维、发展智慧的重要工具。因此,教师更有必要去深入分析教材,最大限度地挖掘教材内在的思想方法。作为数学思想方法的精髓,化归思维是初等数学教学与学习中无可回避的重要思想方法,其不仅隶属于数学这一门学科知识,而且更可作为高于一般数学知识并成为思维方法的源泉。高中数学教材中,部分数学知识自身就涵括了相关的化归思想方法,对此,教师需要按照具体的课本内容将隐藏的内容予以凸显。在讲清数学知识的过程中,将其背后的数学思想充分挖掘出来,进而使学生不仅能够知晓知识,而且能进一步体会数学思想的清华。如上述所提,一般数学的教学内容中已经涵括了十分丰富的可以利用化归思想方法解题的多种素材。众多的数学定理、公式、法则的证明过程,其本身就包含了化归思想方法。只要稍加研究就可以发现,化归思想方法几乎是无处不在。因此,教师需要在教学阶段,一步步地去引领学生挖掘教材中的化归思想。 (二)采取“变式”教学 教师在教学阶段,可以适当地结合“变式”教学。“变式”练习本质上就是化归过程的一种方法,“变式”这种方法就是把一个未知的数学问题转化成为学生所熟知的已知问题,然后通过对已知问题进行探索,从而解决未知问题。“变式”处理思想方法正是化归思想方法之一。“变式”练习能够有助于使化归思想从抽象变得具象,也能够为学生指明了解题方向与思路。所以,教师在教学过程中,應当随时关注“变式”教学,培养学生数学思想方法。 (三)拓宽解题思路 毋庸置疑,在数学解题时,学生只要多一种思路,便具备多一种解题办法。一题多解便是力求去培养学生学会从不同的视域去思考问题,尝试用不同的路径对问题实施化归。教师在开展教学阶段,可以适当地采取一题多解的训练模式,来拓宽学生解题思路,以此来强化学生的化归解题水平。 (四)学会总结 学生的数学思维能力必然是在长时间的实践与答题训练中成长起来的,可利用日常性的思维训练来强化其自身的思维能力。解题是进一步提高学生化归思想的一个重要途径,而如果学会对问题进行总结,那么将有助于学生更好地掌握化归思想的途径、思路以及方法。 教师所教学的数学知识,只有学生在已有的知识经验背景下实现主动的建构,方可真正掌握。如果教师只是把化归的策略讲给学生听,抑或是让学生进行机械式的模仿,那么学生也无法真正地知晓化归思想方法,也不能将其运用到解决数学问题中来。因此,教师要在数学解题教学的过程中创造条件,使学生可以去体验问题的发现、探索、讨论、求解的过程。在训练中,当学生面对一个全新而又复杂的数学问题时,他们会发现可进行化归的办法多种多样,可是当发现其中并没有十足把握的办法时,则需要对每一条路径进行分析,从而找到更好的方法,这样就能使学生学会灵活运用化归思想方法。平时教师就需要训练学生先在脑海中思考怎样解答问题,然后再动手进行解题,不要不经过仔细思考就盲目做题。 更为重要的是,在学生完成解题后,教师还应当去引导学生对自己的解题思路进行回顾、分析、总结、评价,进一步去学会归纳解题的方法,并将之提升到思想方法上来。利用小结让学生最大程度地理解化归思想在数学解题中的作用,并能比较熟练地掌握化归思想方法,提高自身的思维能力。 综上所述,化归思想方法是数学训练中的重要构成单元,它在数学解题中有直接、具体、强大的功能。“形”与“数”的转化、“动”与“静”的转化都有助于优化学生的解题思路,进一步化解知识重难点,易于学生理解重难点,进而激发学生学习潜能,使之学得更好。 【参考文献】 [1]林雪.关于转化思想方法在高中数学解题中的应用探讨[J].中国校外教育,2016,23(13) [2]韩云霞,马旭.浅谈函数思想在高中数学解题中的应用[J].宁夏师范学院学报,2016,22(3) [3]常海波.关于数学思想方法在高中数学解题中应用的探讨[J].数理化学习(高三版),2014,17(12) 一、配方法的基本概念与形式 配方法最为常见的形式是做恒等变形,使数学公式中出现完全平方,主要被用于含未知数的二次方程、二次不等式、或者是缺少xy的二次曲线的平移等问题的求解当中.配方法的最基本依据是:(a+b)2=a2+2ab+b2,该公式作为配方法的基本依据通过灵活的变化可以转化为:a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab,a2+ab+b2=(a+b)2-ab-(a-b)2+3ab. 而且该公式结合其他的数学知识可以引用在其他的知识类型当中,如:1+sin2a=1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2. 当然也可以应用在二次函数当中. 二、配方法在数学解题中的应用 例1已知某长方体的六个面面积之和是11,该长方体的12条棱长之和为24,求该长方体中的一条对角线长度为多少? 分析:若想求得长方体的对角线则需要得知长方体的长宽高的具体数值,首先要将题中的已知条件转为数学公式,并将长方体的长宽高用字母表示,分别设为x,y,z,由此可得方程组:,而对角线的求值公式为,通过配方法将对角线求值公式进行恒等变形,利用已知方程组的值来求得. 解:设该长方体的长宽高分别为x,y,z,其中长方体的全面积为11,棱长之和为24,得方程组: 根据长方体的性质可知对角线长为:,经配方法转化为,所以本题的答案为5. 解答该题目的关键是寻找三个方程的内在关系,通过观察和分析单个数学公式,可以发现使用配方法能够将题目中的未知数和已知数联系起来,然后整体套用方程求解. 例2已知方程x2+kx+2=0,该方程的两个根分别为p、q,问:当存在时,实数k的取值范围为多少? 解:已知方程x2+kx+2=0的两个实根是p和q,根据韦达定理有p+q=-k,pq=2. 运用配方法转化:. 解得:. 因为方程存在两个实根p和q,因此Δ=k2-8≥0,即可求得. 将k的两组取值范围综合起来可得:或者. 在解答一元二次方程的时候首先要考虑根的判别式Δ,如果已知方程存在两个实根,则可以根据韦达定理确定未知系数的一组取值范围,然后再根据不等式的结构特征进行配方转化,确定另一组取值范围,如果漏掉对Δ的讨论,则题目的解答就不完整. 例3已知a、b∈R,a2+9b2-2a-18b+10=0,求a2-b的值. 分析:由于a、b为未知数,因此在解答a2-b的值之前需要先求出a、b的值,而题目中只提供了一个公式,因此可以考虑将公式的左边部分转化为两个完全平方的和,然后再利用非负数的性质求解. 在等式的左边有a2-2a,所以可以将他们加上1,组合成如下公式: a2-2a=(a2-2a+1)-1=(a-1)2-1 同理,9b2-18b=(9b2-18b+9)-9=(3b-3)2-9. 在公式中-1-9=-10,恰好可以将等式中出现的10相互抵消,因此原来的等式就可以转化为两个完全的平方和. 解:a2+9b2-2a-18b+10=0 (a-1)2-1+(3b-3)2-9+10=0 则可知(a-1)2=0,(3b-3)2=0, 最终求得a=1,b=1 a2-b=0. 【高中数学常用的解题方法】推荐阅读: 高中数学解题方法作用10-01 高中数学解题策略浅析07-28 提高高中数学解题能力11-10 高中数学的学习方法总结07-15 高中数学的学习方法与技巧06-08 最好的高中数学学习方法有哪些07-21 高中数学教学方法探究07-05 高中数学学习方法整理11-13 高中化学解题技巧方法11-26高中数学解题方法 篇4
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