多元线性回归法在水文预报中的应用

多元线性回归法在水文预报中的应用（推荐2篇）

多元线性回归法在水文预报中的应用 篇1

分析了水文预报的.主要影响因子,通过系数的最小二乘法建立方程组,采用了Matlab软件对其方程组进行求解,得出其多元回归方程,应用复相关系数对其回归效果进行了检验,结果表明,多元线性回归分析方法简单、误差较小、预报结果有效.

作 者：周文斌 车倩 ZHOU Wen-bin CHE Qian  作者单位：周文斌,ZHOU Wen-bin(东华理工大学土木与环境工程学院,江西,抚州,344000)

车倩,CHE Qian(抚州市建筑勘察设计院,江西,抚州,344000)

刊 名：山西建筑 英文刊名：SHANXI ARCHITECTURE 年，卷(期)： 35(1) 分类号：P338 关键词：多元线性回归分析   复相关性   多元回归方程  

多元线性回归法在水文预报中的应用 篇2

精确的定量预报历来是水文预报工作当中一项比较困难的课题[1]。在中长期水文预报中,数理统计方法占有显著地位[2]。多元线性回归分析法为其常用方法。这种方法是处理变量与变量之间统计相关关系的数理统计方法,影响因子越多越能体现它的优势。其特点是:方法简单,精度较高。

1 多元线性回归分析法的预报原理[3]

多元线性回归是研究一个随机变量与多个变量之间相关关系的方法,它的数学模型为:

y=b0+b1x1+b2x2+…+bmxm (1)

其中,b0,b1,…,bm为回归系数。根据y与各个x的实测资料序列,把b0,b1,…,bm确定后,方程也就确定了。多元线性回归方程的回归系数一般是采用最小二乘法来确定的。

1.1 预报因子的选取

本文用史比曼等级相关系数进行预报因子的选取。随机变量之间的相关程度用等级相关系数表示。史比曼等级相关系数的计算公式为:

$R=1-\frac{6}{n(n{}^2-1)}{\displaystyle \sum _{t=1}^n(}y{}_t-x{}_t){}^2$。

其中,R为史比曼等级相关系数;n为资料年限;yt为预报对象第t年的排列序数;xt为预报因子第t年的排列序数。

等级相关系数的显著性检验可应用级差平方和检验。实际工作中有计算的表格可查。在给定信度下,若根据实际资料计算得到的R大于表中相应的Ra,则这一因子可以挑选,否则舍弃。

1.2 系数的最小二乘估计法

对式(1)应用最小二乘法可导出如下方程组:

$\begin{array}{l}nb{}_0+b{}_1{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{1i}+b{}_2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{2i}+\cdots +b{}_m{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{mi}={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y}{}_i。\\ b{}_0{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{1i}+b{}_1{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{1i}^2+b{}_2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{1i}x{}_{2i}+\cdots +b{}_m{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{1i}x{}_{mi}={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{1i}y{}_i。\\ b{}_0{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{2i}+b{}_1{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{1i}x{}_{2i}+b{}_2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{2i}^2+\cdots +b{}_m{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{2i}x{}_{mi}={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{2i}y{}_i。\\ ⋮\\ b{}_0{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{mi}+b{}_1{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{1i}x{}_{mi}+b{}_2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{2i}x{}_{mi}+\cdots +b{}_m{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{mi}^2={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{mi}y{}_i。\end{array}$

其中,xj,i为第j个预报因子的第i次观测值,j=1,2,…,m,i=1,2,…,n;yi为预报对象的第i次观测值。

1.3 回归效果的检验

回归方程求得之后,必须对它的回归效果进行检验。

$\begin{array}{l}S{}_{yy}={\displaystyle \sum _{i=1}^n(}y{}_i-\overline{y}){}^2={\displaystyle \sum _{i=1}^n[}(y{}_i-\stackrel{\wedge }{{\displaystyle y}}{}_i)+(\stackrel{\wedge }{{\displaystyle y}}{}_i-\overline{y})]{}^2\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^n(}y{}_i-\stackrel{\wedge }{{\displaystyle y}}{}_i){}^2+{\displaystyle \sum _{i=1}^n(}\stackrel{\wedge }{{\displaystyle y}}{}_i-\overline{y}{}_i){}^2+2{\displaystyle \sum _{i=1}^n(}y{}_i-\stackrel{\wedge }{{\displaystyle y}})(\stackrel{\wedge }{{\displaystyle y}}{}_i-\overline{y})。\end{array}$

上式中右端最后一项为0,由此Syy可分解为:

其中,右端第一项为观测值yi与估计值yi之差的平方和,称为残差平方和(记为Q),它反映排除自变量x作用之外的其他因素对y的影响;右端第二项为估计值y∧i与均值y之差的平方和,称为回归平方和(记为U),它反映出由于因子x的变化部分。故可记为:

复相关系数:,可用复相关系数r复值的大小来衡量回归效果的显著程度。r复的取值范围为0≤r复≤1,显然复相关系数愈接近1,回归的效果就愈好。

2 实例运用

某水文站1961年~1989年2月最低水位数据参数见表1,多元回归预报因子预报检验见表2。

由表2得出3个等级相关系数分别为:R1=0.726 96,R2=0.746 6,R3=0.903 957,均大于Rα=0.244(α=0.05);复相关系数为r复=0.576 613,查表得rα′=0.394<R(α=0.05),说明回归效果显著。

对1990年~1999年最低水位进行预报成果见表3。

3 结语

1)利用多元线性回归分析法对水位的预报,能比较客观的选取预报因子,评价结果可靠、全面。2)多元线性回归分析方法简单,预测结果误差不大,精度高。Matlab软件的使用大大减少了其工作量,使预报工作更方便。3)本文应用的预报方程为线性回归方程,预测结果相距不大。虽对于大量波峰、波谷数据有较大误差,但在这种类似水位预报情况下适用。

摘要：分析了水文预报的主要影响因子,通过系数的最小二乘法建立方程组,采用了Matlab软件对其方程组进行求解,得出其多元回归方程,应用复相关系数对其回归效果进行了检验,结果表明,多元线性回归分析方法简单、误差较小、预报结果有效。

关键词：多元线性回归分析,复相关性,多元回归方程

参考文献

[1]宏伟.Matlab软件在中长期水文预报中的应用[J].东北水利水电,2005(4):40-41.

[2]王钦钊,向奇志.中长期水文预报方法的探讨[J].江西水利科技,2006,32(2):88-89.