利用导数求函数的单调性解读

利用导数求函数的单调性解读（精选6篇）

利用导数求函数的单调性解读篇1

利用导数求函数的单调性

例讨论下列函数的单调性：

1．f(x)axax（a0且a1）；

2．f(x)loga(3x25x2)（a0且a1）； 3．f(x)bx(1x1,b0)． 2x1分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f(x)，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f(x)的符号，来确定函数f(x)在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．

解：

1．函数定义域为R．

f(x)axlnaaxlna(x)lna(axax).当a1时，lna0,axax0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是增函数．当0a1时，lna0,aaxx0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是减函数． 2．函数的定义域是x1或x2.3f(x)logae(6x5)logae2(3x5x2)

3x25x2(3x1)(x2)1时，logae0,6x50,(3x1)(x2)0，3①若a1，则当x∴f(x)0，∴函数f(x)在，上是增函数；

当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是减函数 ②若0a1，则当x131时，f(x)0，3∴函数f(x)在，上是减函数； 13清华园教育网

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当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是增函数 3．函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性

x(x21)x(x21)当0x1时，f(x)b 22(x1)b(x21)

2

(x1)2若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是减函数；若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是增函数．

又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是减函数，当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是增函数．说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误判断．

分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力．

利用导数求函数的单调区间

例

求下列函数的单调区间： 1．f(x)x2x3； 2．f(x)2xx2； 3．f(x)x42b(b0).x分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．

4解：1．函数f(x)的定义域为R，f(x)x4x4(x1)(x1)x

令f(x)0，得1x0或x1．

∴函数f(x)的单调递增区间为（－1，0）和(1,)；令f(x)0，得x1或0x1，清华园教育网

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∴函数f(x)的单调递减区间为(,1)和（0，1）． 2．函数定义域为0x2.f(x)(2xx2)22xx21x2xx2.令f(x)0，得0x1． ∴函数f(x)的递增区间为（0，1）；令f(x)0，得1x2，∴函数f(x)的单调递减区间为（1，2）． 3．函数定义域为x0,f(x)1b1(xb)(xb).22xx令f(x)0，得xb或xb．

∴函数f(x)的单调递增区间为(,b)和(b,)；令f(x)0，得bxb且x0，∴函数f(x)的单调递减区间是(b,0)和(0,b)．

说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数f(x)的单调递增区间和递减区间分别写成(1,0)(1,)和(,1)(0,1)的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．

求解析式并根据单调性确定参数

例

已知f(x)xc，且f[f(x)]f(x1).1．设g(x)f[f(x)]，求g(x)的解析式；

2．设(x)g(x)f(x)，试问：是否存在实数，使(x)在,1内为减函数，且在（－1，0）内是增函数．

分析：根据题设条件可以求出(x)的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定

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存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数(x)是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解．

解：1．由题意得f[f(x)]f(x2c)(x2c)2c，f(x21)(x21)2c.f[f(x)]f(x21)，∴(x2c)2c(x21)2c,x2cx21,c1.∴f(x)x21,g(x)f[f(x)]f(x21)(x21)21.2．(x)g(x)f(x)x4(2)x2(2)．若满足条件的存在，则(x)4x32(2)x.∵函数(x)在,1内是减函数，∴当x1时，(x)0，即4x32(2)x0对于x(,1)恒成立． ∴2(2)4x2,x1,4x24.∴2(2)4，解得4．

又函数(x)在（－1，0）上是增函数，∴当1x0时，(x)0 即4x2(2)x0对于x(1,0)恒成立，∴2(2)4x,1x0,44x0.∴2(2)4，解得4．

故当4时，(x)在,1上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的存在．

说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用f(x)a恒成立[f(x)]maxa和f(x)a恒成立[f(x)]mina，究其原因是对函数的思想方法理解不深．

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利用导数比较大小

例

已知a、b为实数，且bae，其中e为自然对数的底，求证：ab．分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明f(x)g(x),x(a,b)，可以等价转化为证明F(x)f(x)g(x)0，如果

baF(x)0，则函数F(x)在(a,b)上是增函数，如果F(a)0，由增函数的定义可知，当x(a,b)时，有F(x)0，即f(x)g(x)．

解：证法一：

bae，∴要证abba，只要证blnaalnb，设f(b)blnaalnb(be)，则f(b)lnaa． bbae，∴lna1，且

a1，∴f(b)0.b∴函数f(b)blnaalnb在(e,)上是增函数． ∴f(b)f(a)alnaalna0，即blnaalnb0，∴blnaalnb,ab.证法二：要证ab，只要证blnaalnb(eab)，即证babalnalnblnx1lnx(xe)，则f(x)0，设f(x)2abxx∴函数f(x)在(e,)上是减函数．又eab,f(a)f(b)，即

lnalnb,abba.ab说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出f(x)g(x)f(x)g(x)的错误结论．

判断函数在给定区间上的单调性

例

函数ylog1121在区间(0,)上是（）x清华园教育网

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A．增函数，且y0

B．减函数，且y0

C．增函数，且y0

D．减函数，且y0

分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此函数的单调性．解：解法一：令u11，且x(0,),u1，x则ylog1u0，排除A、B．

2由复合函数的性质可知，u在(0,)上为减函数．

又ylog1u亦为减函数，故ylog11221排除D，选C． 在(0,)上为增函数，x解法二：利用导数法

y11log1e2log2e0 1xx(1x)21x1（x(0,)），故y在(0,)上是增函数．由解法一知y0．所以选C．

说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．

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利用导数求函数的单调性解读篇2

点评:(1)在函数定义域内讨论单调性;(2)图像并非导函数的图像,而是找出决定导函数符号的部分,作图讨论;(3)二次函数优先考虑因式分解,如不能因式分解,则重点关注抛物线的开口方向、与x轴的交点个数(判别式)、对称轴、纵截距;(4)重点关注图像与x轴的交点(零点),x轴上方的图像表示导函数大于0,原函数单调递增,x轴下方的图像表示导函数小于0,原函数单调递减.

【例2】(2013·全国卷Ⅱ,21)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).

(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;

(2)略.

∴f(x)在区间(-1,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增.

由图3可知:

当x∈(-1,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;

当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.

函数的单调性是导数的核心内容,而函数单调性的讨论往往又离不开含参不等式,学生基本上是遇到参数就无从下手,此时若能结合图像讨论,则能突破难点.数形结合思想的特点就是直观性,可让学生一目了然,心里有底.故利用导数和数形结合思想求函数的单调性,是行之有效的方法.

摘要：导数的热点问题有最值、极值、恒成立、不等式证明等,而解决这些问题的关键是讨论函数的单调性,故函数的单调性是导数的核心内容.又因函数的单调性绕不开含参不等式,而含参不等式问题是学生学习的薄弱环节,若能结合图像讨论导函数的符号,则能让学生易于接受.文章通过介绍高中阶段几种常见的函数类型,谈谈如何利用导数和数形结合思想求函数的单调性.

利用导数求函数的单调性解读篇3

【关键词】参数；单调性；分类讨论；二次函数；判别式；方程的根

导数是研究函数的重要工具，而利用导数来判断函数的单调性也是高考重点考查的内容之一。用导数来判断函数的单调性，其一般步骤为：

1.确定函数y=f（x）的定义域；

2.求导函数f'（x）；

3.在函数f（x）的定义域的范围内解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0；

4.根据3的结果确定函数f（x）的单调区间。

例1：求函数的单调区间。

解：函数f（x）的定义域为R，f'（x）=x2-2x-3，解不等式f'（x）＜0，得-1＜x＜3；解不等式f'（x）＞0，得x＜-1或x＞3。所以f（x）的单调递减区间为（-1，3），单调递增区间为（-∞，-1）（3，+∞）。当我们遇到含参数函数时，基本上也要按照这个步骤进行。

例2：求函数的单调减区间。

解：函数f（x）的定义域为R， f'（x）=x2-（2a+1）x+2a，解方程f'（x）=0，得x1=1，x2=2a，只需解不等式f'（x）＜0即可，但需要对x1，x2之间的大小关系进行讨论。

若x1＞x2，即时，f'（x）＜0的解集为：（2a，1）；

若x1＜x2，即时，f'（x）＞0的解集为：（1，2a）。

所以，当时，f（x）的单调递减区间为（2a，1）；当时，f（x）的单调递减区间为（1，2a）。

通过例2可以发现，含参数函数问题，往往需要分类讨论，而且有的时候，含参数类问题的讨论并不仅仅像例2那样，只是对两个根之间大小关系的讨论，其讨论的过程会更加复杂，运算会更加繁琐。不少同学解答起来会感觉很混乱，无从下手。下面，就对上述问题进行一些探讨和研究。看看如何才能在这个混乱的“局面”中找到解题的思路，做到“乱中有序”。

先看一个例题：

例3：设函数f（x）=mx2-ln（x+1），其中m∈R，求f（x）的单调区间。

分析：函数f（x）的定义域为（-1，+∞），

这里通过通分的方法，得到，这样做的好处是显而易见的，因为x+1＞0，所以只需判断好2mx2+2mx-1的符号。不妨设，则，不等式f'（x）＞0等价于，不等式f'（x）＜0等价于，看来问题可以得到解决了，但是在解决的过程中，有一些确是不容回避的：

1.是否为二次函数？这需要通过对m=0或m≠0来加以讨论；

2.若为二次函数，则是否恒为正（负）？这一点，可以通过判别式△来判断。

3.若△＞0，则方程=0的两个解x1，x2之间的大小关系是否确定？x1，x2是否在定义域（-1，+∞）内？如不确定需要分类讨论，这也直接关系到不等式或的解集。

看来这个问题涵盖了三个层次的分类讨论，当它们叠加在一起的时候，需要我们有很好的分析问题和解决问题的能力，同时还需要有一定的耐心。具体解答如下：

解：函数f（x）的定义域为（-1，+∞），

设=2mx2+2mx-1，①m=0时，，此时，

∴f（x）在区间（-1，+∞）单调递减，②m≠0时，=2mx2+2mx

-1为二次函数，其中△=4m2+8m。

1.若△≤0，即-2≤m＜0时，函数=2mx2+2mx-1的图像是开口向下的抛物线，故≤0恒成立，此时在定义域x∈（-1，+∞）上也恒成立。

∴f（x）在区间（-1，+∞）单调递减

2.若△＞0，即m＞0或m＜-2时，=0的两个根分别为

，。

①当m＞0时，，故在

上＜0，此时；在上＜0，此时。

∴f（x）在区间单调递减，在区间（，+∞）上单调递增。

②当m＜-2时，由于m＜-2，

，所以-1＜x2＜-，故在区间（，）上＞

0，此时f'（x）＞0，在区间上＜0，此时f'（x）＜0，∴f（x）在区间单调递增，在区间

上单调递减。

综上可得：当m＜-2时，f（x）的单调递增区间为：，单调递减区间为：；当-2≤m≤0时，f（x）的单调递减区间为（-1，+∞），无单调递增区间；当m＞0时，f（x）的单调递增区间为：，单调递减区间为：（-1，）。

通过解答的过程，我们可以发现，像这样的，导函数f'（x）可以转化成二次函数的题型，其解答的一般步骤为：

1.确定函数f（x）的定义域，求导函数f'（x），并将f'（x）转化成用二次函数，（可设为）来表示；要注意两点：①若f'（x）本身就是二次函数，则无需转化；②若的二次项系数不确定，需再加一步讨论。

2.先讨论二次函数的判别式△，一般是分△≤0和△＞0。因为当△≤0时，往往恒为正（负），此时，f'（x）的符号就可以较为容易的判断出来，先将这一部分问题解决后，再解决△＞0时的部分；

3.当△＞0时，对应方程=0有两个不同的根，需要进一步讨论x1，x2。这一块主要讨论两点：①x1，x2之间的大小关系；②x1，x2是否在定义域或题目条件指定的区域中。这一部分运算往往比较繁琐，讨论容易出现混乱，解答时思路要清晰，还要有耐心。

解答这类问题时，要严格按照上面的步骤和要求，有序进行，解答的过程才能更加全面和彻底，不会有遗漏。

仿照例3，按上述的步骤和要求，再来训练一个题目。

例4：已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx，求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值。

分析：需要确定函数f（x）在区间[1，e]上的单调性，按步骤进行。

解：第一步：确定函数f（x）的定义域，求导函数f'（x），并将f'（x）转化成用二次函数来表示。

函数f（x）的定义域为（0，+∞），，

设=2x2-（2a+1）x+a，则，

第二步：讨论二次函数的判别式△。

因为这里的△=（2a+1）2-8a=4a2-4a+1=（2a-1）2恒大于等于0，所以不需要再讨论，直接求出方程 =2x2-（2a+1）x+a=（2x-1）

（x-a）=0的根：。

第三步：讨论x1，x2之间的大小关系，x1，x2是否在区间[1，e]上。

=（2x-1）（x-a），x∈[1，e]时，

1.当a≤1时， =（2x-1）（x-a）≥0对任意x∈[1，e]恒成立，此时 ≥0对任意x∈[1，e]也恒成立，

∴f（x）在区间[1，e]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=-2a

2.当1＜a＜e时，

若x∈[1，a]时，则 =（2x-1）（x-a）＜0，此时＜0

若x∈[a，e]时，则 =（2x-1）（x-a）＞0，此时＞0

∴f（x）在区间[1，a]上单调递减，在区间[a，e]上单调递增，

∴f（x）min=f（a）=a（lna-a-1）

3.当a≥e时，=（2x-1）（x-a）≤0对任意x∈[1，e]恒成立，此时 ≤0对任意x∈[1，e]也恒成立，

∴f（x）在区间[1，e]上单调递减，∴f（x）min=f（e）=e2-e（2a+1）+a

综上可得：a≤1时，f（x）min=f（1）=-2a；

1＜a＜e时，f（x）min=f（a）=a（lna-a-1）

a≥e时，f（x）min=f（e）=e2-e（2a+1）+a

第三步可以通过绘制草图或列表格来辅助完成。

函数的单调性教案篇4

§1.3.1函数的单调性

姓名：吴志强

班级：统计08-2班院系：数学与统计学院

学号：08071601021 §1.3.1函数的单调性

一、教学目标

1)通过已学过的函数，学会运用函数图象理解和研究函数性质 2)理解函数单调性的定义及单调函数的图像特征

3)能够熟练的应用定义判断函数在某一区间的单调性

4)通过本节知识的学习，培养学生严密的逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的思想方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质

二、教学重点

函数单调性的定义及单调函数的图像特征

三、教学难点

利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性

四、教学与学法

启发式教学，充分发挥学生的主体作用

五、教学过程

(一)引入

如图为某地区2012年元旦这一天24小时内的气温变化图，教师提问：在0点到4点，气温随着时间的推移是怎么变化的？在4点到14点，气温随着时间的推移又是怎么变化的？

教师指出：上面两种现象都是单调性现象。那么，在数学上我们如何定义函数的单调性呢？

(二)作出下列函数的图像

 图像1 y2x1在R上，y随x的增大而增大，若任意x1x2,则f(x1)f(x2)（左到右为上升）称为增函数

 图像2 y2x1在R上，y随x的增大而减小，若任意x1x2,则f(x1)f(x2)（左到右为下降）称为减函数  图像3

yx2以对称轴，左侧下降，右侧上升

在(,0]上，y随x的增大而减小，得出函数在此区间为减函数在(0,]上，y随x的增大而增大，得出函数在此区间为增函数

问：如何用数学语言来描述增函数与减函数呢？以yx2为例，在(0,]上任取x1，都有x1x222、x2，则

f(x1)x12，f(x2)x22，对任意的0x1x2xx2，所以在区间(0,]上，对任意的1都有f(x1)f(x2)2，即yx在(0,]上，当x增大时，函数值f(x)相应随之增大，得出yx2在(0,]上为增函数

2在区间(,0]上同理推得yx

（三）定义

为减函数

一般的设函数f(x)的定义域为I

a)如果对于定义域I内某一区间D上任意两个自变量的值1、2，当都有f(x1)f(x2)xxx1x2时，那么说函数f(x)在区间D上为增函数

xxx1x2b)如果对于定义域I内某一区间D上任意两个自变量的值1、2，当都有

f(x1)f(x2)时，那么说函数f(x)在区间D上为减函数

（四）单调性、单调区间定义：

如果函数yf(x)在这一区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这区间具有（严格的）单调性，区间D为yf(x)的单调区间

（五）举例

例

1、如图，yf(x)在定义在[5,5]的函数，根据图像说出函数的单调区间，以及每一单调区间上它为增函数还是减函数。

解：单调区间[5,2],[2,1],[1,3],[3,5]

[5,2],[1,3]为减函数，[2,1],[3,5]为增函数

注意：

a)书写时，区间与区间用逗号隔开，不能用“”链接

b)对于孤立点，没有单调性，所以区间端点处如有定义，写开闭均可 c)函数为增函数、减函数是对定义域内某一区间而言的

例

2、证明f(x)2x3在R上为单调减函数证明：

设x1，x2是R上任意两个值，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=(-2x1+3)-(-2x2+3)=-2(x1-x2)x1x2　　x1x20　　　-2(x1x2)0f(x1)f(x2)0　　　　即f(x1)f(x2)函数f(x)2x3在R上为单调减函数

小结：证明函数单调性的步骤 a)设值，设任意的1、b)作差变形，xx2，且

x1x2

f(x1)-f(x2)变形常用的方法有：因式分解、配方、有理化等的正负 c)判断差符号，确定

f(x1)-f(x2)d)下结论，由定义得出函数的单调性

（六）课堂练习证明f(x)x在[0,+]是增函数证明：设x1,x2[0,+),且x1x2则f(x1)-f(x2)=x1-x2=x1-x21(x1-x2)(x1(x1x20x2)x2)x1-x2x1+x2(对分子有理化详细讲解）又0x1

给学生时间做Ｐ32　　练习4

解：设x1，x2是R上任意两个值，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=(-2x1+１)-(-2x2+１)=-2(x1-x2)x1x2　　x1x20　　　-2(x1x2)0　f(x1)f(x2)0　　　　即f(x1)f(x2)函数f(x)2x1在R上为单调减函数

（七）课堂小结

a)增函数、减函数的定义 b)图像法判断函数的单调性

（由左到右上升，为增函数，由左到右下降，为减函数）c)证明单调函数的步骤

（设值…………作差变形………….判断差符号………..下结论………..）

（八）作业

P39　习题1、3　　A　组

1、题2

函数单调性的定义篇5

函数的单调性，也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性(单调增加或单调减少)。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的.。

如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，则可判断出：

DQ(Q是函数的定义域)。

区间D上，对于函数f(x)，(任取值)x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)>f(x2)。或，x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)

函数图像一定是上升或下降的。

利用导数求函数的单调性解读篇6

1. 利用集合间的包含关系求参数范围

例1已知函数f (x) =x2+ax+3, 在x∈[-2, 2]上单调, 求实数a的取值范围。

解:∵其图像为开口向上的抛物线, 对称轴为

∴上单调递减, 在上单调递增。

若f (x) 在[-2, 2]上单调, 则[-2, 2]

即a≤-4或a≥4

评注:若已知二次函数在某个区间的单调性, 则只需借助二次函数对称轴与区间的位置关系即可建立关系式。

2. 利用函数单调性与导数之间的关系

1) 利用导数转化成恒成立问题求参数范围

例2已知函数f (x) =x3-ax-1

(1) 若f (x) 在实数集R上单调递增, 求实数a的取值范围;

(2) 是否存在实数a, 使f (x) 在 (-1, 1) 上单调递减?若存在, 求出a的取值范围;若不存在, 说明理由。

解: (1) 由已知得f′ (x) =3x2-a

∵f (x) 在实数集R上单调递增

∴f′ (x) =3x2-a≥0在R上恒成立, 即a≤3x2对x∈R恒成立。

∵3x2≥0∴只需a≤0

又a=0时f (x) =x3-1在实数集R上单调递增∴a≤0

(2) 假设存在实数a, 使f (x) 在 (-1, 1) 上单调递减, 则f′ (x) =3x2-a≤0在 (-1, 1) 上恒成立, 即a≥3x2, 又y=3x2在 (-1, 1) 上的最大值为3, ∴a≥3

评注:因为函数导数在某个区间的符号反映着函数在该区间的单调性, 所以若已知高次函数在某个区间的单调性求参数, 只需其导数在该区间大于 (小于) 等于零恒成立即可建立关系式。

例3已知向量a= (x2, x+1) , b= (1-x, t) 。若函数f (x) =a·b在区间 (-1, 1) 上是增函数, 求t的取值范围。

解:依定义f (x) =x2 (1-x) +t (x+1) =-x3+x2+tx+t

则f′ (x) =-3x2+2x+t

若f (x) 在区间 (-1, 1) 上是增函数, 则f′ (x) ≥0在区间 (-1, 1) 上恒成立, 即t≥3x2-2x在区间 (-1, 1) 上恒成立。

考虑g (x) =3x2-2x, 由于g (x) 的图像是对称轴为开口向上的抛物线, 故要使t≥3x2-2x在区间 (-1, 1) 上恒成立只需t≥g (-1) 即t≥5。而当t≥5时, f′ (x) 在区间 (-1, 1) 上满足f′ (x) >0, 即f (x) 在区间 (-1, 1) 上是增函数, 故t的取值范围是t≥5。

评注:本题主要考查平面向量数量积的计算方法, 利用导数与单调性之间的关系转化成恒成立问题求参数。

(2) 利用导数转化成二次函数问题

例4已知函数f (x) =x3+bx2+cx+d在区间[-1, 2]上是单调递减函数, 求b+c的取值范围。

解:由f (x) 在区间[-1, 2]上是单调递减函数知

f′ (x) =3x2+2bx+c≤0在x∈[-1, 2]上恒成立。

因为f′ (x) 的图像为开口向上的抛物线, 由图像可知若f′ (x) =3x2+2bx+c≤0恒成立, 则f′ (-1) ≤0且f′ (2) ≤0

即3-2b+c≤0且12+4b+c≤0

解得15+2b+2c≤0∴

评注:若导数是二次函数, 则可借助二次函数的图像由特殊点的函数值符号建立关系式。

3. 利用复合函数单调性原则求解

例5已知函数在区间内单调递增,

求实数a的取值范围。