二次函数教学建模思想

二次函数教学建模思想（精选8篇）

二次函数教学建模思想 篇1

数学是一门严密性、逻辑性、方法性都很强的学科，在探寻问题解答方法和思路的进程中，需要运用到多种多样的解题方法和数学思想。作为初中数学解题思想策略之一的类比思想在数学问题解答中有广泛的运用。著名教育家、活动家刘文雅曾经对类似思想进行过形象生动的阐述：“类比就像一位伟大的领路人，引导人类由此及彼、由表及里，深挖事物、现象和规律的本质，搭建通向成功彼岸并获取胜利的‘桥梁’”。数学中的许多定理、性质、公式等，都是通过类比推理方法得到的。类比思想的有效运用能有效开启学生思路发展的“大门”，提升思维的灵活性和创造性。本文主要分析二次函数问题解答中类比思想的运用。

问题1：小明利用几何画板，将抛物线y＝x2+bx+c先向右平移了3个单位，然后又向下平移了2个单位，此时他得到抛物线y=x2-3x+5，试求出b,c的值。

分析： y=x2-3x+5变形为y=（x-■）2+5-■，即y=（x-■）2+■，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得抛物线y=（x-■+3）2+■+2，即y=x2+3x+7，所以b=3，c=7。

解题策略：在解决此类问题时，应该使用逆推理，采用由表及里的方式类比推理，反向推导，从而得到向左平移3个单位，又向上平移2个单位的，可得到抛物线y=x2+bx+c的解析式．

问题2：现在知道有一个二次函数y=ax2+bx，它的函数图像分别经过两个点，分别是（2，0）和（-1，6）。（1）试求出这个函数的解析式；（2）根据问题条件，作出这个函数的图像，观察图像，当x在什么情况下，y＞0？

分析：由问题条件可以得知，解答需要运用到二次函数与一元二次方程以及一元二次不等式之间关系的知识，根据该问题所揭示的条件关系，采用类比推理的方法，第一小题可以通过列方程组解答，第二小题通过数形结合方法，观察图像得出x的取值情况。

解：（1）由待定系数法不难求出二次函数的解析式为y=2x2-4x。

（2）所做函数图像如图所示，通过观察此函数图像，可以知道y＞0时，曲线在（0,0）和（2,0）以上，因此x的取值范围是x＜0或x＞2。

解题策略：上述问题案例解答过程展示了关于二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间问题解答的一般方法，在解答过程中，应该采用转化类比的思维方法，将函数观点转化为解方程的解和不等式的解集思路进行解答。解题过程中，应注意解方程与解不等式之间的区别和联系，不能混淆，避免出现解题错误。

问题3：已知方程x2+bx-3=0的其中一根是-3，如果y=x2+bx-3图像分别经过三点A（-■，y1）、B（-■，y2）、C（■，y3），则y1、y2、y3三者的大小关系是什么？

分析：将x=-3代入x2+bx-3=0中，求b，得出二次函数y=x2+bx-3的解析式，再根据抛物线的对称轴，开口方向确定增减性，比较y1、y2、y3的大小关系。

解答：把x=-3代入x2+bx-3=0中，得9-3b-3=0，解得b=2，∴y=x2+2x-3，观察该抛物线的开口方向特点，可以发现，该抛物线的开口向上，对称轴为x=-1，A、B、C三点都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，所以y1＜y2＜y3。

点评：上述问题是关于二次函数图像点的坐标特点，解题的关键是求函数解析式来判定函数值的大小关系。

问题4：东方红玩具厂去年生产毛绒玩具，已知每件玩具的成本价是10元，它的出厂价是每件12元，该厂共销售此种玩具2万件。今年该厂准备提档升级该产品。已知该厂今年每件玩具的成本价要比去年增加0.7x倍，相应的出厂价就要提高0.5x倍，通过市场评估，今年的销售量将比去年增加x倍（0＜x≤11）。（1）用含x的代数式表示今年该厂毛绒玩具的成本和出厂价；（2）试求出今年该厂每一件毛绒玩具的利润函数关系式（用含x的代数式表示y）；（3）如果今年东方红玩具厂毛绒玩具的销售利润是W万元，如果今年年销售利润取得最大值时，则x的值为多少？并求出今年的最大销售利润。

分析：本题是关于二次函数的应用题，该问题解答时应该运用二次函数的最值求法，解题时应类比推导出二次函数的最值解答方法。（1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即为（10+10?0.7x）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，即为（12+12?0.5x）元/件；（2）今年毛绒玩具出厂价减去成本价即是该件玩具的利润，即可得到y=（12+6x）-（10+7x）函数关系式；（3）今年的销售量应该是（2+2x）万件，从而得到W=-2（1+x）（x-2），再利用二次函数的最值问题进行求解。

解答：（1）10+7x；12+6x；

（2）y=（12+6x）-（10+7x），∴y=2-x（0＜x＜2）；

（3）∵W=2（1+x）2y=-2（1+x）（2-x）=-2x2+2x+4，∴W=-2（x-0.5）2+4.5∵-2＜0，0＜x≤11，∴W有最大值，∴当x=0.5时，W最大=4.5（万元）

答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元。

二次函数教学建模思想 篇2

待定系数法是解决求二次函数解析式问题的常用方法, 求二次函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途. 这种方法适用于已知二次函数类型 (或二次函数图像) 的一类二次函数建模问题. 确定曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数, 我们常常先设它们为未知数, 根据点在曲线上, 点的坐标满足方程的关系, 将已知的条件代入方程, 求出待定的系数与常数, 写出表达式. 这是平面解析几何的重要内容, 是求曲线方程的有效方法. 而二次函数可以根据题目所给条件的不同, 设成一般式y = ax2+ bx + c ( a, b, c为待定系数) , 顶点式y = a ( x - h) 2+ k ( a, k, h为待定系数) , 交点式y = a (x - x1) (x - x2) ( a , x1, x2为待定系数) 三类形式. 根据题意 (可以是语句形式, 也可以是图像形式) , 确定出a, b, c, k, x1, x2等待定系数, 求出二次函数解析式.

例1 (2013年天津市10分) 已知抛物线y1= ax2+ bx+ c ( a≠0) 的对称轴是直线l, 顶点为点M. 若自变量x和二次函数值y1的部分对应值如下表所示:

(1) 求y1与x之间的二次函数关系式.

(2) 若经过点T (0, t) 作垂直于y轴的直线l', A为直线l'上的动点, 线段AM的垂直平分线交直线l于点B, 点B关于直线AM的对称点为P, 记P (x, y2) .

1求 y2与 x 之间的二次函数关系式;

2当 x 取任意实数时, 若对于同一个 x, 有 y1< y2恒成立, 求 t 的取值范围.

考点分析探究性, 二次函数综合题, 单动点问题, 曲线上点的坐标与方程的关系, 二次函数性质, 由实际问题引发的数学问题, 菱形的判定和性质, 勾股定理, 解不等式组, 数形结合和分类思想的结合.

分析 (1) 先根据抛物线经过点 (0, 9/4) 得出c的值, 2再把 ( - 1, 0) , (3, 0) 代入抛物线y1= ax2+ bx + c, 求出y1与x之间的函数关系式.

(2) 先根据 (1) 中y1与x之间的函数关系式得出顶点M的坐标.

1直线l与直线l'交于点C (1, t) , 当点A与C不重合时, 由已知得, AM与BP互相垂直平分, 故可得出四边形ANMP为菱形, 所以PA∥直线l, 再由点P ( x, y2) 可知点A ( x, t) ( x≠1) , 所以PA = PM = y2- t , 过点P作PQ⊥直线l于点Q, 则点Q (1, y2) , 故QM = y2- 3 , PQ = AC =x - 1 , 在Rt△PQM中, 根据勾股定理即可得出y2与x之间的函数关系式.

2根据题意, 借助函数图像.

二、应用等量关系建立函数关系式

等量关系法, 又可称作方程转化法, 即根据等量关系列出含有两个未知数的等式 (二元方程) , 然后整理成函数形式. 这种方法适用于“已知关于变量之间的等量关系 (含公式) ”类函数建模题. 常用的寻找等量关系的方法有: (1) 从常见的数量关系中找等量关系. (2) 从关键句中找等量关系. (3) 从题中反映的 (或隐蔽的) 基本数量关系确定等量关系.

例2 (2013年辽宁营口12分) 为了落实国务院的指示精神, 某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策, 使农民收入大幅度增加. 某农户生产经销一种农产品, 已知这种产品的成本价为每千克20元, 市场调查发现, 该产品每天的销售量y (千克) 与销售价x (元/千克) 有如下关系:y = - 2x+ 80. 设这种产品每天的销售利润为w元.

(1) 求w与x之间的函数关系式.

(2) 该产品销售价定为每千克多少元时, 每天的销售利润最大? 最大利润是多少元?

(3) 如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元, 该农户想要每天获得150元的销售利润, 销售价应定为每千克多少元?

考点分析二次函数应用, 由实际问题列函数关系式, 二次函数最值.

分析

(1) 根据销售额 = 销售量×销售单价, 列出函数关系式.

(2) 用配方法将 (1) 中的函数关系式变形, 利用二次函数性质求最大值.

(3) 把y = 150代入 (2) 的函数关系式中, 解一元二次方程求x, 根据x的取值范围求出x的值.

三、应用几何关系建立函数关系式

即在几何问题中, 应用几何中的数量等量关系建立函数关系式. 常用的数量等量关系有面积公式、勾股定理、比例线段 (相似三角形的相似比) 、锐角三角函数、有关圆的公式等.

例3 (2013年福建莆田10分) 如图所示, 某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛 (花坛为轴对称图形) . 矩形的四个顶点分别在菱形四条边上, 菱形ABCD的边长AB = 4米, ∠ABC = 60°. 设AE = x米 (0 < x < 4) , 矩形EFGH的面积为S米2.

(1) 求S与x的函数关系式.

(2) 学校准备在矩形内种植红色花草, 四个三角形内种植黄色花草. 已知红色花草的价格为20元/米2, 黄色花草的价格为40元/米2. 当x为何值时, 购买花草所需的总费用最低, 并求出最低总费用 (结果保留根号) ?

考点分析二次函数应用, 菱形的性质, 矩形的性质.

分析 (1) 连接AC, BD, 根据轴对称的性质, 可得EH∥BD, EF∥AC, △BEF为等边三角形, 从而进而求出Rt△AEM求出EH, 这样即可得出S与x的函数关系式.

(2) 根据 (1) 的答案, 可求出四个三角形的面积, 设费用为W, 则可得出W关于x的二次函数关系式, 由配方法求最值即可.

四、应用分段分析建立函数关系式

对于自变量的不同的取值范围, 函数有着不同的对应法则, 这样的函数通常叫作分段函数. 它是一个函数, 而不是几个函数. 它的函数关系式的建立, 就得分段分析, 应用前述方法分别进行, 最后归纳.

例4 (2013年湖北黄冈12分) 某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎, 每年可在国内、国外市场上全部售完, 该公司的年产量为6千件, 若在国内市场销售, 平均每件产品的利润y1 (元) 与国内销售数量x (千件) 的关系为:;若在国外销售, 平均每件产品的利润y2 (元) 与国外的销售数量t (千件) 的关系为:

(1) 用x的代数式表示t为:;当 0 < x≤4时, y2与x的函数关系式为:;当时, y2= 100;

(2) 求每年该公司销售这种健身产品的总利润W (千元) 与国内的销售数量x (千件) 的函数关系式, 并指出x的取值范围.

(3) 该公司每年国内、国外的销量各为多少时, 可使公司每年的总利润最大? 最大值为多少?

考点分析二次函数的应用, 由实际问题列函数关系式, 二次函数的性质, 分类思想的应用.

分析 (1) 由该公司的年产量为6千件, 每年可在国内、国外市场上全部售完, 可得国内销售量 + 国外销售量 =6千件, 即x + t = 6, 变形即为t = 6 - x.

根据平均每件产品的利润y2 (元) 与国外的销售数量t ( 千件) 的关系及t = 6 - x即可求出y2与x的函数关系:当0 < x≤4时, y2= 5x + 80;当4≤x < 6时, y2= 100.

(2) 根据总利润 = 国内销售的利润 + 国外销售的利润, 结合函数解析式, 分三种情况讨论:10 < x≤2;22 < x≤4;34 < x < 6.

(3) 先利用配方法将各解析式写成顶点式, 再根据二次函数的性质, 求出三种情况下的最大值, 再比较即可.

五、应用猜想探索建立函数关系式

当题目中“既没有已知函数类型, 又没有已知关于变量之间的等量关系 (含公式) ”时, 就要用猜想探究法探求函数关系式. 即先得猜想函数的类型, 应用待定系数法求出函数关系式, 再进行探究. 版权归

猜想探究法包括:

(1) 逐一验证法:根据所学过的三类函数, 逐一假设并求出其关系式, 然后将其余对应值代入验证. 它是直接从假设函数关系入手, 方法最基础, 说理较清楚, 但步骤较繁.

(2) 描点画图法:将已知的各组对应值分别作为点的坐标, 在平面直角坐标系中, 描出相应的点, 观察点的分布情况, 猜想函数类型, 求出其关系式, 并将其余对应值代入验证. 它是从形的角度分析, 较直观, 体现了数形结合思想, 但要耗时画图.

(3) 数据特征法:分析所给数据的变化特征, 猜想函数类型, 求出关系式, 并将其余对应值代入验证. 它是单纯从数的角度分析, 解题较简捷, 但抽象思维能力要求较高. 因此, 在做题时, 可根据具体问题选择探索方法.

例5 (2013年湖北武汉10分) 科幻小说《实验室的故事》中, 有这样一个情节, 科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中, 经过一天后, 测试出这种植物高度的增长情况 (如下表) :

由这些数据, 科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数, 且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.

(1) 请你选择一种适当的函数, 求出它的函数关系式, 并简要说明不选择另外两种函数的理由.

(2) 温度为多少时, 这种植物每天高度的增长量最大?

(3) 如果实验室温度保持不变, 在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm, 那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择? 请直接写出结果.

考点分析二次函数的应用, 待定系数法的应用, 曲线上点的坐标与方程的关系, 二次函数的性质.

分析 (1) 选择二次函数, 设y = ax2+ bx + c ( a≠0 ) , 然后选择x = - 2, 0, 2三组数据, 利用待定系数法求二次函数解析式即可, 再根据反比例函数的自变量x不能为0, 一次函数的特点排除另两种函数.

(2) 把二次函数解析式整理成顶点式形式, 再根据二次函数的最值问题解答.

(3) 求出平均每天的高度增长量为25 mm, 然后根据y = 25求出x的值, 再根据二次函数的性质写出x的取值范围.

二次函数的知识与方法在整个初中代数中起着统领作用, 在数学知识网络中有很强的凝聚功能, 是中考的重点考查内容. 考查二次函数的基本概念, 抛物线的顶点、对称轴、开口方向、二次函数的最值等单一内容一般以填空题、选择题的形式出现. 以二次函数知识为主与各知识点结合的大型综合题在近几年的中考中大量出现, 往往涉及二次函数、方程、数形结合、分类讨论、建模等思想方法. 解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题, 挖掘运动、变化的全过程, 并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系, 动中取静, 静中求动.

摘要：“模型思想”的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题, 用数学符号建立二次函数表示数学问题中的数量关系和变化规律, 求出结果, 并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想, 提高学习数学的兴趣和应用意识.这是《课标》关于模型思想的一段描述.因此, 各地中考试卷都有二次函数建模及其应用类问题.结合2013年全国各地中考的实例, 我们从下面五方面进行二次函数关系式建立方法的探讨: (1) 应用待定系数建立二次函数关系式. (2) 应用等量关系建立二次函数关系式. (3) 应用几何关系建立二次函数关系式. (4) 应用分段分析建立二次函数关系式. (5) 应用猜想探索建立二次函数关系式.

关键词：二次函数,数学建模,分类思想的应用,数形结合和分类思想的结合

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[S].北京:人民教育出版社, 2003:2-3.

[2]陈祥富.浅谈二次函数教学中学生思维能力培养[J].基础教育教学.

[3]李登科.中考“二次函数”新题赏析.[J]备考方略.

[4]吴志娟.二次函数图像的教学设计[J].教学研究.

二次函数教学建模思想 篇3

关键词： 数学建模思想 初中数学 初中函数教学

数学建模是解决问题的一种非常实用的方法，主要过程是分析问题，提出猜想，抽象出数学，它是一种非常经典的模式，其中包含对数学符号、数学公式的应用，以及模型的选择。学生可以通过参加建模活动，从不同渠道搜索到各种信息，总结自己搜索到的信息，发现问题，探索规律，积累经验，解决问题，这一过程可以发挥学生的不同个性及优势，提高数学应用意识，开拓思维，增强动手操作能力及合作精神。

函数是反映变量之间关系的一种经典数学模型，在初中函数教学中，主要掌握自变量，因变量之间的关系，这两个变量之间的联系是解题的金钥匙，而函数建模就是将问题转译为数学关系，发现数学关系中的数学规律，抽象为函数模型，应用函数知识解决实际问题的过程。函数建模思想在初中数学教学中，不仅可以使学生解决生活中的实际问题，还可以帮助学生提高数学素质[1]，锻炼大脑的思维能力，让学生感悟到学习数学的重要作用。所以，函数建模思想在初中数学教学中的渗透是极其重要的。

1.建模思想融入初中数学教学的必要性

1.1建模思想的融入符合学生的认知过程

数学建模就是把生活中的实际问题，抽象为一个可以解决的数学问题，运用数学知识求解并验证其正确性的过程，最终达到解决问题的目的，数学建模是提出猜想、思考问题、计算验证的过程，注重培养学生思考问题、解决问题的能力，学生可获取新知识，学生从猜想到学习理解掌握，循序渐进的过程符合学生的认知过程，这一过程可以激发学生的创造力和创新潜能。

1.2建模思想有助于提高学生分析问题、解决问题的能力

数学学习中除了要掌握数学符号、熟练的计算力外，更重要的是要学会应用，数学建模理念恰好满足这点[2]，它要求学生将生活中的问题抽象为数学问题，并用数学语言和符号等进行转译，然后用学过的知识进行分析和处理，并解决问题，这个过程培养了学生的逻辑思维能力、洞察力、计算力，积累了数学经验，提高了学生找到问题本质的能力。

在北师大版八年级教科书中，为引入一次函数的学习，需要引入大量实例，首先要弄清楚什么是自变量与因变量，自变量与因变量之间的联系，其次找出变量之间存在的规律，用函数解析式表示出来，这体现了中学生分析问题的能力，观察图像绘制图像让学生真正的理解，学会方法才是教学的关键。在学校的实习期间，我实习的内容恰好是函数的应用这一章节，我深刻体会到，函数解题的灵活性及妙用，学好函数思想对中学数学学习起着至关重要的作用，发展学生的思维能力。

1.3建模思想有助于培养学生实践能力

数学教学着重于培养学生集体合作学习的意识，培养学生实践能力[2]，集思广益，不同的想法，不同的见解，汇聚在一起就是解题的不同思路，这不仅能使学生掌握数学基础知识及基本技能，还能学到解题的不同思想，感悟到其中所蕴含的数学方法，并且积累活动过程中的经验，培养学生广泛的数学学习能力。数学建模恰恰是一条良好的途径，充分体现了“学以致用”的数学学习价值，培养了学生的实践能力[3]。

学生可以通过多种渠道获取信息，比如图书馆查阅资料，上网查询，同学间相互交流。在这些学习中，学生的创造力，想象力都得到了很好的锻炼，自由创造，灵活运用，这些都无形中培养了学生的自主实践能力。实践能力的提高，有助于提高学生的创造性思维、创新能力，这是学生的进步，也是社会的进步，符合社会的发展规律。

2.在初中函数教学中融入建模思想的意义

教学时创设生动有趣的教学场景，吸引学生的注意力，提高学习兴趣，引导学生观察、思考、摸索、理解，生动有趣的教学方法可以激发学生的创造性思维。创设情境的一个重要作用是激发学习兴趣，增强学习乐趣，提高学生的洞察力。创设情境的方法有很多，其中通过实际[4]问题创设情境是最常用的一种。可以让学生亲身体验生活中的数学，发现存在自己身边的数学，感悟到数学的广泛应用性及生活处处有数学的思想，开阔学生的数学视野，学会用数学的思维探索周围及生活中的事物，利用数学思维考虑问题，解决问题，增强缜密的思考能力。

因此，利用好建模思想解题，对高中的导数学习，三角函数学习，对后面攻克更多知识点是很有帮助的，对数学论[5]有所了解，有利于提高学生的自信心和能力学生自信心的建立提高，对学好数学至关重要，同样对学生本身思想观的建立发挥很好的作用。学好数学也会对我们的其他方面产生影响，比如逻辑思维能力、洞察力，这些都可以应用到我们以后的工作乃至生活中。总之，建模思想的渗透在很大程度上促成学生思维能力的培养。

3.学生在初中函数学习中建模思想的培养

从现实生活和具体情境中抽象出数学问题，给学生创设具体的情景从而进行变量分析，选择模型，建立模型，教师要引导学生从实际问题中，提取出有用的信息，从而发现数学问题[1]。例如在一次函数教学中，可以创设时间与路程的函数型，因为在小学的时候我们就已经接触过行程问题的题目，在此基础上进行拓展发散思维帮助学生充分理解一次函数。在正负数的学习中，教科书中给出的是温度的变化，像这种给学生创设具体的实际情境，帮助学生理解的方法对学生的后续学习非常重要。数形结合是数学的重要思想方法，其关键在于将数字信息与图像信息匹配综合，即根据解析式画出的图形，揭示函数的性质，在根据所提供的数学信息，建立模型。在这一过程中，学生对已提出的问题进行全面分析，探索其中的数量关系，找出解决问题的方法，分析问题建立模型是建模思想的核心。总之，在数学教学中培养学生的建模意识，是应用数学知识解决实际问题的关键所在，数学建模涉及面广，内容多，难度大，所以在教学中必须引导学生，培养学生的应用意识，需要老师和学生的相互配合，锻炼大脑思维能力，从而具备该能力。

4.结语

通过在数学教学中的不断研究和实践，以及自己对中学教学的认识，我认为在初中阶段开展数学建模教学是非常有意义的。在北师大版八年级上册教科书中，对函数的学习有很大的帮助，学生可以在复杂的数学知识中用简单的模型方法思考出来，运用学过的知识解决问题，而且在教学中应当重视引导学生形成动手实践能力，合作学习意识，以及自主探索意识，思考现实问题中的数量关系和规律，从而简捷有效地解决一些复杂问题。我相信，随着数学建模在中学数学教学中的不断发展和推广，学生将会很好地利用这一解题思想，体会到数学学习的意义和应用价值，为他们以后的学习积累经验，让学生养成良好的数学独立思考的习惯是很重要的，有了这样的好习惯之后，学生才能将其运用在今后的学习中，这样就能使他们在后续学习方面占据一定优势。数学建模应用与数学应用，其目的不只是扩充学生的课外知识操作技能，解决几个具体数学问题，而是培养学生的应用意识，教会学生方法，让学生自己理解、自己摸索，从而提高学生解决问题的能力，感受到生活中处处有数学，数学融于生活，与实际生活的亲密相关，进而感受到数学的美。

参考文献：

[1]李大潜.数学建模与素质教育[J].中国大学教学，2002（10）：58-60.

[2]徐嫁红.数学建模课程的实践与认识机[J].数学教育学报，2000：109-113.

[3]王尚志.初中数学知识应用问题[M].湖南教育出版社，2010.

[4]张思明.中学数学建模教学的实践与探索[M].北京：教育出版社，1998（9）.

二次函数教学反思 篇4

龙泉一中：张珂

我们已经学习过了正、反比例、一次函数的性质和图像，并且学习过了一元二次方程之后，现在要学习二次函数的图像和性质，从课本和教学大纲的体系来看，二次函数是初中数学的重中重，怎样让学生们学好二次函数?掌握好二次函数的图像和性质?让学生明白什么是二次函数，能区别二次函数与其他函数的不同，能深刻理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对定义域的限制。为此我们三年级数学组把李进有李校长请到数学组里，李校长说要想教好二次函数开始时一定要让学生们动手画图，画不同情况的图形，通过画图让学生观察、理解、掌握所学的内容，并能总结出各个图像的相同点和不同点，通过李校长指点，我们在学习y=a(x-h)2的图像和性质时，首先让同学们开始画y=x2、y=(x-2)2、和y=(x+2)2.通过对比，观察发现它们之间是通过y=x2向左或向右平移得到y=(x-2)2、和y=(x+2)2，但是好多同学对着图形还是不理解加2为什么向左平移？？这时我想到李校长说的不要害怕费时间，一定要让同学画图，我又让同学画一组，终于同学们在学习二次函数y=a（x-h）2的图象和二次函数y=ax2的图象的关系时，解决了向左或向右平移引出了加减问题，解决了学生在此容易混淆的难点，让学生结合图象十分明确地看到在x后面如果是加上h就是向左平移h个单位，反之就是向右平移ｈ个单位，其次就是在看如何平移时关键是看顶点的平移，顶点如何平移那么图象就如何平移。先由解析式求出顶点从标，再看平移的问题。

《二次函数》教学反思 篇5

本节课在两个地方学生出现疑难：一是分析题意时理不清价格和数量之间的对应关系;二是不能准确判断自变量的取值范围和函数的最值。对于这些难点我是这样处理的：

首先在回顾了前面的知识点后提出实际问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件;每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大?在分析题意时学生能分清涨价、降价所对应的商品销量，但一小部分学生依教材上的解题思路不能理解售价和销量之间的对应关系。对于这个难点我是这样处理的：设每涨x个1元，则每件售价为(60+x)元，少卖出10x件，共卖出(300—10x)件;每降价x个1元，则每件售价为(60-x)元，多卖出20x件，共卖出(300+x)件。重点强调“x个”!虽然在分析中只多了个“每(涨或降)…个1元”，但就这几个字却能帮一部分学生理清关系和思路，如涨3元8元的问题，则售价为(60+3x)元或(60+8x)元，这样学生从最小单元开始分析，逐层递进，很容易理清思路找准关系。这个关系弄清了，函数关系自然水到渠成就写出来了。

其次是由函数解析式确定最大值，而确定最值时必须考虑实际问题中自变量的取值范围。在这个问题中x首先是非负数，同时(300—10x)也是非负数，所以x大于等于0且小于等于30。结合函数解析式y=-10x2+100x+6000可知该函数图象开口向下，有最大值。由顶点坐标公式可以计算出当x=5时(在自变量的取值范围内)，y有最大值，且此时y=6250。强调此时不仅要考虑顶点坐标公式，还要结合题意看这个x值是否在其取值范围内。x值确定后将其代入就可求出最值y的大小。

二次函数教学设计 篇6

人教版九年义务教育初中第三册第108页

教学目标：

1.1.理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；

2.2.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；

3.3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识，第五册二次函数教学设计。

教学重点：

二次函数的意义；会画二次函数图象。

教学难点：

描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。

教学过程设计：

一.一.创设情景、建模引入

我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：

1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式

答：S=πR2.①

2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系

答：S=L（30-L）=30L-L2 ②

分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？

S是否是R、L的一次函数？

由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？

答：二次函数。

这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）

二.二.归纳抽象、形成概念

一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，那么，y叫做x的二次函数.注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。

2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。

（若学生考虑不全，教师给予补充。如： ； ； ； 的形式。）

（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）

由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。

（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）

三.三.尝试模仿、巩固提高

让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究

1.1.尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？

请同学们画出函数y=x2的图象。

（学生分别画图，教师巡视了解情况。）

2.2.模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。

解：

一、列表：

x

112

3Y=x2

941

二、描点、连线： 按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意，初中数学教案《第五册二次函数教学设计》。

练习：画出函数;的图象（请两个同学板演）

X

112

3Y=0.5X2

4.520.5

0.5

02

4.5

Y=-X2

4-1

画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数 y=ax2的图象是一条抛物线。

（这里，教师在学生自己探索尝试的基础上，示范画图象的方法和过程，希望学生学会画图象的方法；并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识，通过观察，感悟抛物线名称的由来。）

三.三.运用新知、变式探究

画出函数 y=5x2图象

二次函数教学设计 篇7

教学目标：

1.知识与技能

会运用二次函数计其图像的知识解决现实生活中的实际问题。

2.过程与方法

通过本节内容的学习，提高自主探索、团结合作的能力，在运用知识解决问题中体会二次函数的应用意义及数学转化思想。

3.情感、态度与价值观

通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识和提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望。

教学重点：解决与二次函数有关的实际应用题。

教学难点：二次函数的应用。

教学媒体：幻灯片，计算器。

教学安排：3课时。

教学方法：小组讨论，探究式。

教学过程：

第一课时：

Ⅰ.情景导入：

师：由二次函数的一般形式y= (a0)，你会有什么联想?

生：老师，我想到了一元二次方程的一般形式 (a0)。

师：不错，正因为如此，有时我们就将二次函数的有关问题转化为一元二次方程的问题来解决。

现在大家来做下面这两道题：(幻灯片显示)

1.解方程 。

2.画出二次函数y= 的图像。

教师找两个学生解答，作为板书。

Ⅱ.新课讲授

同学们思考下面的问题，可以共同讨论：

1.二次函数y= 的图像与x轴交点的横坐标是什么?它与方程 的根有什么关系?

2.如果方程 (a0)有实数根，那么它的根和二次函数y= 的图像与x轴交点的横坐标有什么关系?

生甲：老师，由画出的图像可以看出与x轴交点的横坐标是-1、2;方程的两个根是-1、2，我们发现方程的两个解正好是图像与x轴交点的横坐标。

生乙：我们经过讨论，认为如果方程 (a0)有实数根，那么它的根等于二次函数y= 的图像与x轴交点的横坐标。

师：说的很好;

教师总结：一般地，如果二次函数y= 的`图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程 =0的根。

师：我们知道方程的两个解正好是二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标，那么二次函数图像与x轴的交点问题可以转化为一元二次方程的根的问题，我们共同研究下面问题。

[学法]：通过实例，体会二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程实质上就是求二次函数为0的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。

问题：已知二次函数y= 。

(1)观察这个函数的图像(图34-9)，一元二次方程 =0的两个根分别在哪两个整数之间?

(2)①由在0至1范围内的x值所对应的y值(见下表)，你能说出一元二次方程 =0精确到十分位的正根吗?

x 0 0.1 0.2[ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

y -1 -0.89 -0.76 -0.61 -0.44 -0.25 -0.04 -0.19 0.44 0.71 1

②由在0.6至0.7范围内的x值所对应的y值(见下表)，你能说出一元二次方程 =0精确到百分位的正根吗?

x 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70

y -0.040 -0.018 0.004 0.027 0.050 0.073 0.096 0.119 0.142 0.166 0.190

(3)请仿照上面的方法，求出一元二次方程 =0的另一个精确到十分位的根。

(4)请利用一元二次方程的求根公式解方程 =0，并检验上面求出的近似解。

第一问很简单，可以请一名同学来回答这个问题。

生：一个根在(-2，-1)之间，另一个在(0，1)之间;根据上面我们得出的结论。

师：回答的很正确;我们知道图像与x轴交点的横坐标就是方程的根，所以我们可以通过观看图象就能说出方程的两个根。现在我们共同解答第(2)问。

教师分析：我们知道方程的一个根在(0，1)之间，那么我们观看(0，1)这个区间的图像，y值是随着x值的增大而不断增大的，y值也是从负数过渡到正数，而当y=0时所对应的x值就是方程的根。现在我们要求的是方程的近似解，那么同学们想一想，答案是什么呢?

生：通过列表可以看出，在(0.6，0.7)范围内，y值有-0.04至0.19，如果方程精确到十分位的正根，x应该是0.6。

类似的，我们得出方程精确到百分位的正根是0.62。

对于第三问，教师可以让学生自己动手解答，教师在下面巡视，观察其中发现的问题。

最后师生共同利用求根公式，验证求出的近似解。

教师总结：我们发现，当二次函数 (a0)的图像与x轴有交点时，根据图像与x轴的交点，就可以确定一元二次方程 的根在哪两个连续整数之间。为了得到更精确的近似解，对在这两个连续整数之间的x的值进行细分，并求出相应得y值，列出表格，这样就可以得到一元二次方程 所要求的精确度的近似解。

Ⅲ.练习

已知一个矩形的长比宽多3m，面积为6 。求这个矩形的长(精确到十分位)。

板书设计：

二次函数的应用(1)

一、导入 总结：

二、新课讲授 三、练习

第二课时：

师：在我们的实际生活中你还遇到过哪些运用二次函数的实例?

生：老师，我见过好多。如周长固定时长方形的面积与它的长之间的关系：圆的面积与它的直径之间的关系等。

师：好，看这样一个问题你能否解决：

活动1：如图34-10，张伯伯准备利用现有的一面墙和40m长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场。

回答下面的问题：

1.设每个小矩形一边的长为xm，试用x表示小矩形的另一边的长。

2.设四个小矩形的总面积为y ，请写出用x表示y的函数表达式。

3.你能利用公式求出所得函数的图像的顶点坐标，并说出y的最大值吗?

4.你能画出这个函数的图像，并借助图像说出y的最大值吗?

学生思考，并小组讨论。

解：已知周长为40m，一边长为xm，看图知，另一边长为 m。

由面积公式得 y= (x )

化简得 y=

代入顶点坐标公式，得顶点坐标x=4，y=5。y的最大值为5。

画函数图像：

通过图像，我们知道y的最大值为5。

师：通过上面这个例题，我们能总结出几种求y的最值得方法呢?

生：两种;一种是画函数图像，观察最高(低)点，可以得到函数的最值;另外一种可以利用顶点坐标公式，直接计算最值。

师：这位同学回答的很好，看来同学们是都理解了，也知道如何求函数的最值。

总结：由此可以看出，在利用二次函数的图像和性质解决实际问题时，常常需要根据条件建立二次函数的表达式，在求最大(或最小)值时，可以采取如下的方法：

(1)画出函数的图像，观察图像的最高(或最低)点，就可以得到函数的最大(或最小)值。

(2)依照二次函数的性质，判断该二次函数的开口方向，进而确定它有最大值还是最小值;再利用顶点坐标公式，直接计算出函数的最大(或最小)值。

师：现在利用我们前面所学的知识，解决实际问题。

活动2：如图34-11，已知AB=2，C是AB上一点，四边形ACDE和四边形CBFG，都是正方形，设BC=x，

(1)AC=______;

(2)设正方形ACDE和四边形CBFG的总面积为S，用x表示S的函数表达式为S=_____.

(3)总面积S有最大值还是最小值?这个最大值或最小值是多少?

(4)总面积S取最大值或最小值时，点C在AB的什么位置?

教师讲解：二次函数 进行配方为y= ，当a0时，抛物线开口向上，此时当x= 时， ;当a0时，抛物线开口向下，此时当x= 时， 。对于本题来说，自变量x的最值范围受实际条件的制约，应为02。此时y相应的就有最大值和最小值了。通过画出图像，可以清楚地看到y的最大值和最小值以及此时x的取值情况。在作图像时一定要准确认真，同时还要考虑到x的取值范围。

解答过程(板书)

解：(1)当BC=x时，AC=2-x(02)。

(2)S△CDE= ,S△BFG= ,

因此，S= + =2 -4x+4=2 +2，

画出函数S= +2(02)的图像，如图34-4-3。

(3)由图像可知：当x=1时， ;当x=0或x=2时， 。

(4)当x=1时，C点恰好在AB的中点上。

当x=0时，C点恰好在B处。

当x=2时，C点恰好在A处。

[教法]：在利用函数求极值问题，一定要考虑本题的实际意义，弄明白自变量的取值范围。在画图像时，在自变量允许取得范围内画。

练习：

如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上一点，QPAP，并且交DC与点Q。

(1)Rt△ABP与Rt△PCQ相似吗?为什么?

(2)当点P在什么位置时，Rt△ADQ的面积最小?最小面积是多少?

小结：利用二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，则可求某些实际问题中的极值，求极值时可把 配方为y= 的形式。

板书设计：

二次函数的应用(2)

活动1： 总结方法：

活动2： 练习：

小结：

第三课时：

我们这部分学习的是二次函数的应用，在解决实际问题时，常常需要把二次函数问题转化为方程的问题。

师：在日常生活中，有哪些量之间的关系是二次函数关系?大家观看下面的图片。

(幻灯片显示交通事故、紧急刹车)

师：你知道两辆车在行驶时为什么要保持一定的距离吗?

学生思考，讨论。

师：汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫做刹车距离。刹车距离是分析、处理道路交通事故的一个重要原因。

请看下面一个道路交通事故案例：

甲、乙两车在限速为40km/h的湿滑弯道上相向而行，待望见对方。同时刹车时已经晚了，两车还是相撞了。事后经现场勘查，测得甲车的刹车距离是12m，乙车的刹车距离超过10m，但小于12m。根据有关资料，在这样的湿滑路面上，甲车的刹车距离S甲(m)与车速x(km/h)之间的关系为S甲=0.1x+0.01x2，乙车的刹车距离S乙(m)与车速x(km/h)之间的关系为S乙= 。

教师提问：1.你知道甲车刹车前的行驶速度吗?甲车是否违章超速?

2.你知道乙车刹车前的行驶速度在什么范围内吗?乙车是否违章超速?

学生思考!教师引导。

对于二次函数S甲=0.1x+0.01x2：

(1)当S甲=12时，我们得到一元二次方程0.1x+0.01x2=12。请谈谈这个一元二次方程这个一元二次方程的实际意义。

(2)当S甲=11时，不经过计算，你能说明两车相撞的主要责任者是谁吗?

(3)由乙车的刹车距离比甲车的刹车距离短，就一定能说明事故责任者是甲车吗?为什么?

生甲：我们能知道甲车刹车前的行驶速度，知道甲车的刹车距离，又知道刹车距离与车速的关系式，所以车速很容易求出，求得x=30km，小于限速40km/h，故甲车没有违章超速。

生乙：同样，知道乙车刹车前的行驶速度，知道乙车的刹车距离的取值范围，又知道刹车距离与车速的关系式，求得x在40km/h与48km/h(不包含40km/h)之间。可见乙车违章超速了。

同学们，从这个事例当中我们可以体会到，如果二次函数y= (a0)的某一函数值y=M。就可利用一元二次方程 =M，确定它所对应得x值，这样，就把二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了。

下面看下面的这道例题：

当路况良好时，在干燥的路面上，汽车的刹车距离s与车速v之间的关系如下表所示：

v/(km/h) 40 60 80 100 120

s/m 2 4.2 7.2 11 15.6

(1)在平面直角坐标系中描出每对(v，s)所对应的点，并用光滑的曲线顺次连结各点。

(2)利用图像验证刹车距离s(m)与车速v(km/h)是否有如下关系：

(3)求当s=9m时的车速v。

学生思考，亲自动手，提高学生自主学习的能力。

教师提问，学生回答正确答案，教师再进行讲解。

课上练习：

某产品的成本是20元/件，在试销阶段，当产品的售价为x元/件时，日销量为(200-x)件。

(1)写出用售价x(元/件)表示每日的销售利润y(元)的表达式。

(2)当日销量利润是1500元时，产品的售价是多少?日销量是多少件?

(3)当售价定为多少时，日销量利润最大?最大日销量利润是多少?

课堂小结：本节课主要是利用函数求极值的问题，解决此类问题时，一定要考虑到本题的实际意义，弄明白自变量的取值范围。在画图像时，在自变量允许取的范围内画。

板书设计：

二次函数的应用(3)

一、案例 二、例题

分析： 练习：

总结：

二次函数的教学设计 篇8

5.1 二次函数 常州市正衡中学 储红艳

教学目标：

1．经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义； 2．会用二次函数的定义解决简单的问题； 3．在实际情境中加深对函数概念的理解．

教学重点、难点：

1．二次函数的概念； 2．加深对函数概念的理解．

教具、学具：

多媒体演示、直尺、三角板、白纸．

教学流程：

（一）创设情境

1．回顾我们学习过的函数有哪几种？试写出它们的表达形式．让学生回顾已学知识，尝试写出一次函数、反比例函数表达形式．

(设计目的是回顾所学函数知识，为二次函数的出现做准备．）

2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范 围较大？

学生知道正方形时最大，但无法说明原因．教师可以告诉学生学习完这一章就能非常容易地解决这一问题．

(设计目的由学生熟悉的情景入手，激发学生求知欲，增强学生学习数学的兴趣．同时感受函数的两个变量之间的关系，并引出问题，设置悬疑．)

实践探索1：

1．长方形的周长为16米，设它的长为x米，将面积记为y平方米，写出变量

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y与x之间的函数关系式．

2．圆的面积s与半径r的函数关系式．

3．某机械公司第一月销售50台，第三月销售y台与月平均增长率x之间的关系式．

学生先独立完成，同桌交流，踊跃回答： 答案：1．y＝x2＋8x． 2．s＝πr2． 3．y＝50(x＋1)2．

（设计目的：通过学生同桌相互讨论，问题较简单，使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流精神和发散思维能力，同时拓展学生的知识面．）

实践探索2：

1．要给边长为x米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y为多少元？问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？

2．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．

假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？

小组讨论，代表回答：

答案：1．y＝240x2＋30(4x－0.8)＋1000． 2．y＝(x＋100)（600－5x）．

（设计目的：因为问题较难，可以小组相互讨论，提高学生分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．同时感受函数的三要素．）

（二）归纳得出新知

让学生观察所列式子的特征，上述五个函数关系式，引导学生思考，比较，归纳得出二次函数的一般形式：

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形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫二次函数．

对自变量的取值范围作一定的解释，可以让学生举出生活中的二次函数的实例．（设计目的：师生共同归纳，通过观察已列关系式，总结二次函数的特征．通过实际情境感受理解形成二次函数概念，并和其他函数作比较．）

（三）例题解析

例1 判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a、b、c的值．(1)y＝1—3x2；(2)y＝x(x－5)；(3)y＝x2－x＋1；(4)y＝x4＋2x2－1；(5)y＝ax2＋bx＋c．

学生独立思考，然后学生回答，教师评讲，难点：将函数式都转化成一般形式，认清其中a、b、c．

（设计目的：通过例题加深对概念的理解．)例2 关于x的函数y＝(m＋1)xm－m是二次函数，求m的值． 学生独立完成，同桌交流，学生回答，教师评价．（设计目的：用二次函数的定义解决简单的问题．）

（四）当堂练习

写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

（1）一个圆柱的高14cm，试写出它的体积V与底面半径r（cm）之间的函数关系式．

（2）学校准备将一块长20m、宽14m矩形场地都增加x（m），写出扩建面积S（m２）与x（m）之间的函数关系式．

学生独立完成互相批改，检查二次函数概念学会与否和实际情景能否列出函数关系式．

（设计目的：再次通过实际情境感受理解二次函数概念．）

（五）总结

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1．二次函数；

2．二次函数的一般形式； 3．会化一般形式，确定a、b、c．

（设计目的：学生自己总结互相弥补，并提出疑惑培养学生反思的习惯．）

（六）课后作业