《椭圆的标准方程》教学设计

《椭圆的标准方程》教学设计（精选12篇）

《椭圆的标准方程》教学设计 篇1

《椭圆的标准方程》教学设计——桑宏德

《椭圆的标准方程》教学设计

篇二：椭圆及其标准方程教学设计

椭圆及其标准方程教学设计

青铜峡市高级中学 二○○六年十月

课题 椭圆及其标准方程

一学情分析

学生在必修ⅱ中学过圆锥曲线之一，圆。掌握了圆的定义及圆的标准方程的推导，学生可以用类比的方法来研究中一种圆锥曲线椭圆。

二、教学目标 知识技能：

〈1〉掌握随圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程

〈2〉能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用定义法，待定系统法求随圆的标准方程。

过程方法：

〈1〉通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力。

〈2〉通过对椭圆标准方程的推导，是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力，情感态度和价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。

三、教学重点，难点分析

重点：椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。难点：椭圆标准方程的建立和推导。关键：掌握建立坐标系统与根式化简的方法。

椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容，一是椭圆定义，二是椭圆的标准方程，椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中，先要学习的内容，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，对双曲线和抛物线的教学中巩固和应用，先讲椭圆也与圆的知识衔接自然，学好椭圆对学生学习圆锥曲线是非常重要的。

四、教法建议

〈1〉安排学生提前预习，动手切割圆锥形的事物，使学习了解圆锥曲线名称的来历及圆锥曲线的样子。

〈2〉对椭圆定义的引入，要注重于借助直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，进而形成正确的概念。

〈3〉将课本提出的问题分解成若干小问题，通过学生、教师动手演示，来体现椭圆定义的实质。

〈4〉注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系。

〈5〉推导椭圆的标准方程时，教师要注重化解难点，实施的补充根式化简方法。

〈6〉讲解完焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程。然后，鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，进一步加深对椭圆的认识。

〈7〉在学习新知识的基础上要巩固旧知识。

〈8〉要突出教师的指导作用，又要强调学生的主体作用，课堂上尽量让全体学生参与讨论。由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生团结协作的团队精神。

五、课前准备

1、每人准备一根细绳、一卷胶带。

2、圆锥曲线模型。

六、教学基本流程

七、教学过程设计

篇三：椭圆的定义与标准方程(公开课)教案 2.1.1椭圆的定义与标准方程

宁德二中 高二（1）班 马茂鸿 2010.11.26

一、教材分析

圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容，它的许多几何性质在日常 生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。本节是 的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。它是本章也是整个解析 几何部分的重要基础知识。

第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。前 面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法 的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的 一种有效方法。

第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了 函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中 阶段的数学学习。

第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加 强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为 后续知识的学习奠定了基础。

二、学生情况分析

1.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了 解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠 定了基础。

2.在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简 对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加 以点拨指导。

三、教学目标

1.通过观察、实验、证明等方法的运用，让学生更好的理解椭圆 的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式，会根据条件求椭圆的标准方程。1 2.通过对椭圆的认识及其方程的推导，培养学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力，加强用坐标法解决圆锥曲线问题的能力。

3.鼓励学生大胆猜想、论证，激发学生的学习热情，使他们获得 成功的体验。

四、教学重点和难点

其推导方法。

2.难点：椭圆标准方程的推导。

1.重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及

五、教法与学法 1．教法

为了使学生更主动地参加到课堂教学中，体现以学生为主体的探 究性学习和因材施教的原则，故采用自主探究法。按照“创设情境—— 自主探究——建立模型——拓展应用”的模式来组织教学。2．学法

在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，为学生提供自 主学习的时间和空间。让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概 括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识。3．教学准备

(1)学生准备：一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一张硬纸板。(2)教师准备：用ppt及几何画板制作的课件。

借助多媒体生动、直观的演示，六、教学过程设计

（一）创设情境，复习引入 由嫦娥二号绕月飞行的运动轨迹及现实生活中的多幅椭圆的图片引使学生明确学习椭入。（嫦娥二号绕月飞行、行星运行、国家大剧院、鸟巢、亚运场馆沙特

圆的重要性和必要馆、油罐车等）

（二）动手实验，归纳概念

问：自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢? 引导：先回忆如何画圆

（学生利用手中的细线画圆，教师再用几何画板画圆）

画圆容易那如果要画椭圆该怎么画呢？（先介绍课前数学实验中的方法用几何画板作椭圆）

让学生回忆起要画

一个圆只要一定点和一定长就可以。现在若把一点变成两点，到定点的距离等于定长变成到两定点的距离之和等于定长。再把笔紧贴细线画图，得到的图形是什么呢？

（学生利用手中细线配合同桌共同完成，得到椭圆。我将在黑板上

性。同时，激发他们探求实际问题的兴趣，使他们主动、积极地参与到教学中来，为后面的学习做好准备。2 用同一方法作图，并利用几何画板演示）

提出问题：“在画图的过程中，哪些量发生了变化，哪些量没有

以活动为载体，变？”

让学生根据自己的实验，观察回答：“两定点间的距离没变，绳子让学生在“做”中的长度没变，点在运动。”

学数学，通过画椭

再问：“你们能根据刚才画椭圆的过程，类比圆的定义，归纳概括出椭圆的定义吗？” 圆，经历知识的形

（多媒体给出圆的定义）

成过程，积累感性

先让学生独立思考一分钟，然后同桌交流，再进行全班交流，逐步

经验。完善，概括出椭圆的定义。

椭圆的定义:平面上到两个定点f1, f2的距离之和为固定值(大于 |f1f2|)的点的轨迹叫作椭圆.引导学生对定义中的关键词进行分析理解

注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：

（1）必须在平面内;（2）两个定点---两点间距离确定;（3）绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定

问：“为何‘固定值’要大于两定点间的距离呢？等于、小于又如 何呢？”

（学生动手验证并发表自己意见，我再用课件演示）

总结：当大于时 椭圆 当等于时 线段

当小于时 不存在

（三）启发引导，推导方程

问：怎么推导椭圆的标准方程呢？

先回顾圆方程推导的步骤，给出求动点轨迹方程的一般步骤：

1、建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点m 的坐标;

2、写出适合条件 p（m）;

3、用坐标表示条件p（m），列出方程;

4、化方程为最简形式。

? 探讨建立平面直角坐标系的方案

启发学生类比求圆的方程的建系方法，建立适当的直角坐标系。探讨几种建系方案。最后采用以下两种方案

《椭圆的标准方程》教学设计 篇2

关键词：椭圆,高职数学,教学设计

一、问题的提出

对于椭圆的标准方程教学, 大都是教师以实例图片引起学生探究什么是椭圆的兴趣, 然后教师在黑板取两个定点, 由学生动手操作, 用一段细绳画出椭圆, 给学生直观感知, 再由学生讨论能够画出椭圆满足的几何条件, 得出椭圆的定义, 再由椭圆的定义演绎推导出椭圆的标准方程. 高职学生的数学基础参差不齐, 运用这种方法进行教学, 抽象性较强, 运算较繁琐, 其结果往往是教师吃力, 学生觉得枯燥难学, 提不起学习兴趣甚至产生厌学的情绪.

学生在学习椭圆之前已经学习了圆的定义、圆的方程, 了解了解析几何基本思想, 知道一些用坐标法研究几何的方法; 学生对椭圆也有直观感性认识, 会把“扁的圆”叫做椭圆. 本文作者在教学过程中, 采用新的思路, 设计了简便易行的“从圆转化到椭圆”的实验, 引导学生通过实验、类比、猜想等方法进行探索式学习, 类比学生熟悉的圆的方程, 提出椭圆方程的猜想, 并对猜想的正确性进行验证. 通过这样的教学设计, 取得了一定的教学成效. 下面就椭圆的标准方程的教学设计展开介绍和讨论.

二、教学设计和过程

1. 以生活为背景, 通过实验探究概念

通过学生的观察和动手探究, 可以对数学概念形成直观感受, 有利于概念的获取. 下面是这个实验的课堂教学实录:

请每两位学生准备一个圆柱体的透明杯子 ( 或瓶子) , 倒入半杯水, 将杯子平放在课桌上, 然后从杯子的正上方观察水面的形状.

师:请同学们观察一下, 现在的水面是什么形状?

学生异口同声地回答:是一个圆.

师: 让杯子向右 ( 或向左) 倾斜一个较小的角度, 再看看水面是什么形状?

大部分学生: 是一个椭圆.

师: 把倾斜的角度加大一点, 看看水面的形状发生了怎样的变化?

生: 水面还是一个椭圆, 不过椭圆变得更扁了

师: 思考一下, 随着倾斜角度的加大, 椭圆的形状在左右方向上会发生怎样的变化? 前后方向呢?

生: 倾斜角度越大, 椭圆在左右方向上就越长, 而在前后方向上不变 ( 图1) .

通过上述实验, 学生直观地认识到, 圆沿着一条直径拉长可以得到椭圆, 这样得到的椭圆使我们看到了椭圆与圆的关系, 可以引导学生在圆的知识的基础上探索椭圆的知识.

此时再讲述课本上椭圆的定义, 学生比较容易接受.

2. 类比圆的方程, 猜想椭圆方程

圆的方程是学生已经熟悉的知识. 我们可以将椭圆与圆进行类比, 根据圆的方程, 猜想椭圆的方程.

师: 把这个圆横向拉长, 使其在x轴上的半径增大为a, 在y轴上的半径不变, 仍为b, 这就得到一个椭圆 ( 图2) . 类比圆的标准方程, 猜想这个椭圆的标准方程是什么?

到此为止, 学生通过自己动手实验, 认识了从圆到椭圆的转化, 并且利用圆的标准方程进行类比, 提出了椭圆标准方程的猜想, 激发了学生的学习兴趣.

提出猜想是整个教学过程中重要的一步, 但教学不能仅仅停留在这一猜想上. 为了培养学生思维的严谨性, 需要对上述猜想的正确性进行验证.

3. 根据椭圆的定义, 验证椭圆方程的猜想

由椭圆的定义可以验证上述猜想的正确性, 即推导出椭圆的标准方程.

验证过程如下:

由于高职学生经过了实验、类比和猜想等思维过程, 特别是有了猜想作为基础, 对于猜想的验证就会感到顺理成章, 进而体会数学的理性与严谨, 激发学生对数学知识的热爱.

进一步引导学生反过来将椭圆的标准方程与圆的标准方程进行比较, 学生会发现圆可以看成是椭圆的极端情况.

通过从圆到椭圆的转化, 使学生利用新旧知识的联系认识了椭圆及其标准方程, 培养了学生观察问题、分析问题和解决问题的能力, 达到了高职数学课堂上的素质教育目标, 培养了学生的数学素养.

三、反思

高职数学课堂教学必须打破封闭、固定的落后程式, 教师要给学生充分探索空间, 不要把学生的思考限制在教师预设的范围内, 在教学中采用以旧引新、新旧对比的方法, 引导学生在旧知识的基础上探索新知识, 可以使学生感觉新知识的出现水到渠成, 而过去熟知的旧知识又得到巩固与深化, 使学生把握新旧知识之间的联系, 从而得到系统化的知识. 在椭圆的标准方程的教学设计中, 还要充分了解学生的基础和知识面, 往往学生的难点不一定出现在本节所要理解的内容上, 如推导椭圆的标准方程时, 方程的化简, 在该环节上还要尽量推导细致一点才得以完成.

参考文献

[1]张奠宙, 宋乃庆.数学教育概论[M].北京:高等教育出版社.2005.7.

《椭圆及其标准方程》说课设计 篇3

关键词：解决问题；引导；巩固

教材内容的分析

1． 教材内容

本节课是人教版高中数学（实验修订本•必修）第二册（上册）第八章“圆锥曲线方程”第一节“椭圆及其标准方程”的第一课时.其主要内容是研究椭圆的定义、标准方程及其初步应用.

2. 教材的地位及作用

“椭圆及其标准方程”是在学生已学过集合与对应、函数的图象与性质、曲线与方程、坐标平面上的直线、圆等基础上，对“由已知条件求曲线的方程，再从所得方程来研究曲线的几何性质”的解析法的进一步深化，同时是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，原因如下.

第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用. 前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法.

第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想. 而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习.

第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础.

3. 教学的重、难点

重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

因为椭圆的定义和标准方程是解决与椭圆有关问题的重要依据，也是研究双曲线和抛物线的基础. 解决办法是用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调，对椭圆的标准方程单独列出加以比较．

难点：椭圆的标准方程的推导．

因为学生推理归纳能力较低，在推导椭圆的标准方程时涉及根式的两次平方，并且运算也较繁. 解决办法是对题目进行推导，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．

疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．

解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．

教材目标的确定

1. 教情、学情分析

高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用. 而高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，乐于探索、敢于探究，但逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待训练.

2. 教学目标

根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要，特将教学目标分为知识目标、能力目标和情感目标.

知识目标：掌握椭圆定义和椭圆标准方程的概念，能根据椭圆标准方程求焦距和焦点，初步掌握求椭圆标准方程的方法.

能力目标：培养学生灵活应用知识的能力；培养学生全面分析问题和解决问题的能力；培养学生快速准确的运算能力.

情感目标：培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想.

教法与学法

1. 教法

为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动而愉快地学习，更主动地参加到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用教师引导学生自主探究的教学方法，按照“创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用”的模式来组织教学.

2. 学法指导

在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，为学生提供自主学习的时间和空间. 让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识.

教学过程的设计

1. 创设情境，复习引入

以“嫦娥奔月”引入

2007年10月24日中国“嫦娥”一号卫星成功实现第一次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度约210 千米，远月点高度约8 600 千米，且以月球的球心为一个焦点的椭圆形轨道. 已知月球半径约3 475 千米，你能求出“嫦娥”一号卫星运行的轨迹方程吗？

图1

设计意图是以人造地球卫星的运行轨道引入，让学生先对椭圆有一个直观地了解，使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习爱好. 再通过对圆的形成过程和圆方程的建立过程的回忆，以类比的方法探索平面上有规律的动点运动轨迹.

2. 动手实验，归纳概念

教师可事先预备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆. 在此基础上，引导学生概括椭圆的定义. （板书）

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数，教师在演示中要从两个方面加以强调.

（1）将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件“在平面内”．

（2）这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意，若常数=F1F2，则是线段F1F2；若常数＜F1F2，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件“此常数大于F1F2”．

设计意图是以活动为载体，让学生通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验. 让他们通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力.

3. 启发引导，推导方程

由于学生已经具备了求曲线方程的经验，所以在教学中引导学生运用类比思想，探求椭圆标准方程. 主要分以下几个步骤.

（1）?摇建立直角坐标系，设出动点的坐标

引导学生根据建立坐标系的一般原则，使点的坐标、几何量的表达式简单化，并使得到的方程具有“对称美”“简洁美”的特点，选择适当的直角坐标系. 并设出动点M的坐标及相关常数.

（2）写出动点M满足的集合

根据动点的运动规律，写出动点运动所满足的方程，得到椭圆标准方程的雏形+=2a.

（3）化简

带根式的方程的化简，学生会感到困难，这也是教学的一个难点. 特别是由点适合的条件列出的方程为两个二次根式的和等于一个非零常数的形式，化简时要进行两次平方，且方程中字母多，次数高，初中代数中没有做过这样的题目，教学时，要注意说明这类方程的化简方法.

（4）归纳小结

这样用坐标法推导出了椭圆的标准方程，也是求曲线方程的一般方法，总结步骤为：建系设点，写出动点满足的集合，列式，化简.

设计意图：在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想，并感受椭圆方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！

拓展引申，对比分析

引导学生经过观察思考发现，只要交换坐标轴就可以得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程. 再通过表格的形式，让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解.

设计意图是通过对比总结，不仅使学生加深了对椭圆定义和标准方程的理解，有助于教学目标的实现，而且使学生体会和学习类比的思想方法，为后边双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础.

运用拓展、提高能力

例题研究及学生练习是进一步理解基础知识，提高解题技能的重要途径；也是应用和拓展知识进一步提高能力的最关键性环节. 根据学生已有的知识经验和认知水平，本节课选择和设计以下例题与练习.

例1判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距.

（1）+=1；

（2）+=1；

（3）3x2+4y2=1；

（4）x2+=1.

例1是根据教学需要增设的一道题，目的是加深学生对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，同时掌握焦点坐标、焦距等基本量的运算技能.教学时采用教师引导下学生自主完成的方法.

例2求适合下列条件的椭圆标准方程.

（1）两个焦点的坐标分别为（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

（2）已知椭圆的焦距是6，椭圆上的一点到两焦点距离的和等于10.

例2（1）小题是教材上的例题，设计目的是进一步理解椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系，并掌握运用待定系数法求椭圆标准方程的方法. （2）小题是（1）的变式题，其目的是对学生进行分类讨论数学思想的渗透,达到拓展知识、提高能力的目的. 其中（1）小题在师生共同分析的基础上，教师详细板书，给学生一个解题的规范示例.

课堂练习

（1）课本练习，课本第95~96页中的第2、3题；

（2）已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F的直线交椭圆于M、N两点，则△MNF2的周长为；

（3）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是?摇.

回顾反思，提升经验

总结是把数学知识与技能以“同化”或“顺应”的形式纳入认知结构的重要步骤,也是提高学生归纳、总结以及语言组织与表达等方面能力的重要途径.引导学生注意以下几点.

（1）椭圆有互相垂直的两条对称轴（由直观性看出）；其焦点总是在较长的对称轴上；

（2）若椭圆的对称轴是坐标轴，则其方程为椭圆的标准方程. 反之，椭圆的标准方程表示的椭圆其对称轴是坐标轴；

（3）椭圆的两种标准方程中，总是a>b，即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上；反之，焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大；

（4）始终满足c2=a2-b2，如果焦点在x轴上，焦点坐标是（-c，0），（c，0）；如果焦点在y轴上，焦点坐标是（0，-c），（0，c）.

说课总结

《椭圆的标准方程》教学设计 篇4

本节课是高中新课程人教A版数学选修1—1第二章第一单元《椭圆及其标准方程》的第一课时.

本节的内容是继学习圆之后运用 “曲线和方程”理论解决具体二次曲线的又一实例.从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，因此，这节课有承前启后的作用，是本节乃至本章的重点。

二、教学目标（从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度对该课题预计要达到的教学目标做出一个整体描述）

基于新课标的要求，结合本节内容的地位，我提出教学目标如下：

（1）知识与技能：

①了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程； ②使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程.

（2）过程与方法：

①让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想； ②学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力.

（3）情感态度与价值观：

①通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神.

②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，

③通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美；提高学生的审美情趣.

三、学习者特征分析（说明学习者在知识与技能、过程与方法、情感态度等三个方面的学习准备（学习起点），以及学生的学习风格。最好说明教师是以何种方式进行学习者特征分析，比如说是通过平时的观察、了解；或是通过预测题目的编制使用等）

1.能力分析

①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程，②对含有两个根式方程的化简能力薄弱。

2.认知分析

①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤，②对曲线的方程的概念有一定的了解。

3.情感分析

学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究。

改变学生的学习方式是高中课改追求的基本理念。遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。我采用了通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，在教师的引导下，学生“跳一跳”就能摘得果实；于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展。通过不断探究、发现，让学生的学习过程成为心灵愉悦的主动过程，使师生的生命力在课堂上得到充分的发挥。激发学生的学习兴趣和创新能力，帮助学生养成独立思考积极探索的习惯。

四、教学策略选择与设计（说明本课题设计的基本理念、主要采用的教学与活动策略）

椭圆的标准方程共两课时，第一课时所研究的是椭圆标准方程的建立及其简单运用，涉及的数学方法有观察、比较、归纳、猜想、推理验证等，我校学生基础差、底子薄，数学运算能力，分析问题、解决问题的能力，逻辑推理能力，思维能力都比较弱，所以在设计课的时候往往要多作铺垫，扫清他们学习上的障碍，保护他们学习的积极性，增强学习的主动 。在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习

五、教学重点及难点（说明本课题的重难点）

基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为： ①重点：椭圆定义和标准方程 ②难点：椭圆的标准方程的推导。

六、教学过程（这一部分是该教学设计方案的关键所在，在这一部分，要说明教学的环节及所需的资源支持、具体的活动及其设计意图以及那些需要特别说明的教师引导语）

一. 创设问题情境：

情境1：给出椭圆的一些实物图片：天体运行图（月亮绕地球，地球绕太阳旋转）、汽车油罐的横截面，立体几何中圆的直观图?

实物：圆柱形杯倾斜后杯中水的形状。

情境2：校园内一些椭圆形小花坛

问题 学校准备在一块长3米、宽1米的矩形空地上建造一个椭圆形花园，要尽可能多地利用这块空地，请问：如何画这个花园的边界线？

（学生现在还不能解决，只有通过今天这节课的学习才能解决这个问题）

这是实际生活中图形，数学中我们也遇到这一类图形：归结为到两定点距离之和为定值的点的轨迹问题。如何用现有的工具画出图形？（启发学生用画圆的方法试着画图）

教师与学生一起找出上述问题的解决方案，并一同用给的工具画出图形，与上述图形相似——椭圆

问题情境的创设应有利于激发学生的求知欲。为了学习椭圆的定义，我设计如下两个学生熟悉的情境：

通过情境1，让学生感受到椭圆的存在非常普遍。小到日常生活用品，大到建筑物的外形，天体的运行轨道。

通过情境2，让学生主动思考如何画椭圆及椭圆的定义。

通过问题，要求学生以小组为单位进行实验、观察、猜想，激发学生探索的欲望和浓厚的学习兴趣，使学生的主体地位得到体现。

二. 探求椭圆方程

如何选取坐标系？

方案1：以一个定点为原点，两定点的连线为X轴

回顾圆的方程的建立过程，首先是做什么？ （提问学生） 如何选择适当的坐标系来建立椭圆的方程呢？

学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。

方案2：以两定点的连线为X轴，其垂直平分线为Y轴

学生可能有很多种建系方法，根据课堂的实际情况进行处理。不能否定学生的方法，让学生自己讨论那种建系方法更为合适，我想学生通过这些活动能够建立几种常见的坐标系，并列出相应的代数方程。我认为这样有利于培养学生的动手实验，分析比较，相互协作等能力。让学生体验到知识的产生过程。

三. 标准方程比较

（让学生讨论，归的标准方程有何异同） （1）相同点纳出这两种形式的标准方程有何异同）

（1）相同点

①方程中x，y表示椭圆上任意一点 ②关于x，y的二元二次方程；

③焦点位置的判定：焦点在较大分坐标；

（2）不同点

①方程形式 ②图形 ③焦点坐标

由于化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，估计学生容易想到直接平方，这时可让学生预测这样化简的难度，从而确定移项平方可以简化计算。为此，我首先启发学生如何去掉根号较好，让学生动手比较，最后得出移项平方化简方程比较简单，这样有利于培养学生的分析比较能力。

七、教学评价设计（创建量规，向学生展示他们将被如何评价（来自教师和小组其他成员的评价）。也可以创建一个自我评价表，这样学生可以用它对自己的学习进行评价）

椭圆方程的化简是学生从未经历的问题，方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学探究能力，培养学生独立主动获取知识的能力

八、板书设计（本节课的主板书）

一．定义

二. 标准方程比较

1）相同点 ①方程中x，y表示椭圆上任意一点的坐标； ②关于x，y的二元二次方程； ③焦点位置的判定：焦点在较大分母对应的变量的坐标轴上

2）不同点 ①方程形式 ②图形 ③焦点坐标

九．教学反思

椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础，坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念，主要采用学生自主探究学习的方式，使培养学生的探索精神和创新能力的教学思想贯穿于本节课教学设计的始终。

椭圆及其标准方程教案 篇5

教学目标:

(一)知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程，会由标准方程求出椭圆的交点和焦距；

(二)能力目标：通过对椭圆概念的引入和标准方程的推导，培养学生分析、探索的能力，增强学生运用代数法解决几何问题的能力；

(三)情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神。

教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程的推导。教学难点:椭圆标准方程的推导。

教学方法:探究式教学法（教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力。）

教具准备:自制教具(圆柱体、细绳)。

教学过程:(一)启发诱导，推陈出新

1、复习旧知识：拉直一根细线，一端固定，作一个圆，由此回忆圆的定义（到一点的距离等于定长的点的轨迹），圆的标准方程；

2、提出新问题：到两点的距离等于定长的点是什么轨迹呢？ 尝试作图；

3、创设情境，引出课题：“椭圆及其标准方程”。(二)小组合作，形成概念

下面请同学们思考下面的问题：

1、在作图时,视笔尖为动点，线的两个固定的端点为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？

2、改变两端点之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗？

3、当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗？

学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程，得出这样三个结论：椭圆、线段、不存在。

归纳出椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定长(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

(三)椭圆标准方程的推导

1、建立适当坐标系（让学生根据自己的经验来确定）

原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；主要应使曲线对于坐标轴具有较多的对称性。

2、标准方程推导过程如下：

①建立直角坐标系：以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建

立如图所示的坐标系；

②确定点的坐标：设F1F22c，则F1c，0，F2c，0，设Px，y是椭圆上的任意一点；

③设定长为2a，由条件PF1PF22a得

xc2y2xc2y22a；

x2y2④化简：得到椭圆方程为221。

ab（通过学生自己动手推导方程是学生构建知识的一个过程。）

3、归纳方程特点，巩固上述知识。

4、延伸：①焦点在y轴上：F10，c，F20，c

y2x2②方程：221

ab③a，b，c的关系：b2a2c2，ab0，ac0

(四)例题讲解

例1：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离的和是10的动点的轨迹方程。

解：这个轨迹是椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示。

取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴。2a10，2c8

a5，c4，b2a2c252429，即b3

x2y2x2y2这个椭圆的标准方程是221，即1

25953（例1是巩固椭圆的定义及标准方程）

x2y2x2y21与椭圆c2:1的焦点。

例2：分别求椭圆c1:433解：43

椭圆c1的焦点在x轴上，椭圆c2的焦点在y 轴上

a24，b23，ca2b21

1，椭圆c1的两个焦点分别是0和1，0 0，是1和0，1。

椭圆c2的两个焦点分别（例2会由椭圆的标准方程求出椭圆的焦点坐标和焦距）

(五)课堂练习

课本P61 A 1(2)(3)2(3)(4)(五)课堂小结

1、椭圆定义

2、焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程（结合图形，表述焦点坐标，焦距，系数的关系等）

3、考虑一下将椭圆平移到坐标轴任意位置时的坐标，留给同学们课后思考

椭圆及其标准方程教案2(精) 篇6

教学目的

(1)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；

(2)通过椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．

教学过程

一、椭圆概念的引入

第一组问题——复习提问：

1．什么叫做曲线的方程？

2．直线方程的一般形式是什么？简述直线与二元一次方程的关系．

3．圆的一般方程是什么？主要特征是什么？

对上述问题学生的回答基本正确，如一般同学均能初步了解曲线方程的意义，理解直线与二元一次方程Ax＋By＋C＝0是一一对应关系，掌握圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，它是关于x、y的二元二次方

22程，且具有以下重要特征：(1)x与y的系数都是1；(2)缺xy这样的项；(3)D2＋E2－4F＞0．

[温故而知新，以旧带新，便于引导学生在已有的知识基础上去探求新知识．]

第二组问题——引导学生联想、归纳、分析、发现新问题：

1．如前所述，每一个二元一次方程都表示一条直线，那么每一个二元二次方程是否都表示圆，若不是，具备什么条件下它所表示的曲线就不是圆？

对此问题学生一般能回答：“当x2与y2系数不相等时或xy项的系数不为零[有的同学指出不满足上述条件(3)时]，这样的方程所表示的曲线都不是圆．”

2．圆的几何特征是什么？

一般学生能回答：“圆上任意一点到圆心(定点)的距离等于半径(定长)”．这时要进一步提问：“除上述特征外，你还能说出具有哪些特征的点的轨迹也是圆？”启发学生回忆所学的例题、习题中有关的轨迹命题．学生翻阅课本后能回答：

“到两定点距离平方和为常量的动点轨迹是圆．”

“到两定点距离之比为一常量的动点轨迹也是圆．”

(对此，经提示，有学生补充这一常量应不等于1，否则为线段的垂直平分线．)

“到两定点连线斜率乘积等于－1的动点轨迹也是圆．”(当然还应除去两定点．)

[启发学生对已有的知识进行归纳、提炼，以便为新概念的引入作好自然的铺垫．]

第三组问题——深入思考与探索：

1．一般二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0既然不完全表示圆，那么它还可能表示什么样的曲线呢？当系数A、B、C、D、E取各种不同数值时，相应的方程代表的曲线将有什么差别呢？能否找到一般性规律，得出这些曲线的大致形象？

这些问题并不一定要求学生回答，旨在引起学生积极思考，激发学生强烈的探索欲望．

2．如上，我们已经知道“到两定点距离平方和为常量”或“到两定点距离之比为常量”的点的轨迹，你是否可类似地提出一些轨迹命题作更广泛的探索？

类比的能力大部分学生是具备的(尽管程度有差别)，经过教师启发引导，学生们会提出下列轨迹命题，如：

“到两定点距离之和等于常量的动点轨迹．”

“到两定点距离平方差等于常量的动点轨迹．”

“到两定点距离之差等于常量的动点轨迹．”

“到定点与定直线距离相等的动点轨迹．”

以上是学生受到已做习题的启发而提出的．

还有学生通过类比提出：

“到两定点距离的立方和(差)等于常量的动点轨迹”；“到定点与定直线距离的比为常量的动点轨迹”；“到定点与定直线的距离和(差)等于常量的动点轨迹”；等等．

对同学们这种大胆设想，勇于探索的精神教师予以大力肯定，表示赞赏，并指出同学们所提出的这些问题正是我们后一段学习中要逐步解决的问题，而同学们自己也可运用坐标法探求它们的方程，根据方程描点画图，也可设法用实验方法描绘具有这些特征的几何图形．

[以上从方程与曲线两方面，也就是从数与形两条“线路”引导学生联想、分析、探索，这样，引出新曲线的概念已是水到渠成了．]

譬如说，同学们提出的“若动点到两定点距离之和等于常量，则此动点轨迹是什么？请同学们不妨尝试一下，看看能否设计一种 绘图方法，画出符合这种几何条件的轨迹．

(课前要求学生准备图钉若干，细线一根．)

学生纷纷动手，相互磋商，观摩，不一会大部分同学已画出；再让一个学生在黑板上用准备好的工具演示，同学们都高兴地叫起来，轨迹是椭圆！

教师问：“椭圆，在哪些地方见过？”

有的学生说：“立体几何中圆的直观图．”

(立体几何中采取的也是近似画法，但教材中已提出椭圆名称．)

有的学生说：“人造卫星运行轨道．”

(这是学生从物理课本中了解的．)

有的学生说：“饼干罐头盒，洒水车，装油车等．”

教师指出：确切地说，应是它们的横截面的轮廓线．

[按学生认识规律与心理特征引导学生自己分析、探索、启发学生认识新的概念，至于新概念在实际中的形象也放手让学生自己对照、回顾，增强实践感受，这样更有利于学生学习能力的培养．]

在上述基础上，引导学生概括椭圆定义．学生开始只强调主要几何特征——到两定点距离之和等于常量．这时教师通过演示(将穿有粉笔的细线拉到黑板平面外)启发学生思考．学生认识到需加上限制条件：“在平面内．”教师则追问：“否则会形成什么几何图形？”学生想象到是椭球形．教师边演示边提示学生注意：这里的常量有什么限制吗？若这个常量等于两定点距离？小于呢？学生认识到，这时都不可能形成椭圆，前者变成了线段，后者轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常量大于两定点之间的距离．”

这样，学生得出了完整的椭圆定义：平面内到两定点的距离之和等于常数(大于两定点距离)的点的轨迹叫做椭圆．

教师顺便指出：我们规定其中两定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距．

二、推导椭圆的标准方程

给出椭圆的定义后，教师即可提出：由椭圆定义，可以知道它的基本几何特征，但对于这种新曲线还具有哪些性质，我们几乎一无所知，因此需要利用坐标法先建立椭圆的方程．

[让学生明确思维的目的，才能调动学生思维的积极性．]

如何建立曲线方程？首先应建立适当的坐标系．建立坐标系时，一般应符合简单和谐化的原则．如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性．

[让学生在思考议论中加强对这种优化原则的认识．]

这样，大多数学生认识到下列选取方法是适宜的：

以两定点F1．F2的连线为x轴；以线段F1F2的垂直平分线为y轴，设|F1F2|＝2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任一点，则有F1(－c，0)，F2(c，0)．

下面让学生利用两点间距离公式，根据椭圆定义即可写出椭圆的方程

[正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，教学中应着重培养学生这方面的能力．]

教师指出：上面所得方程直接反映了椭圆定义所确定的椭圆本质属性，但为了更进一步利用方程探讨椭圆其他性质，需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化．

(化简方程可让学生完成．)

多数学生利用初中简化无理方程的一般方法进行，移项后两边平方逐步化去根号，与教材中化简过程类似，教师在巡回观察指导中，启发几个反映较快的学生仔细观察两个根号下代数式的特征，设法先化去其中一个根号．即将等式

[(x＋c)2＋y2]－[(x－c)2＋y2]＝4cx，两边分别除以方程两边，即得

与原方程联立易得

注意a＞c，则可得

为使方程更为对称和谐起见，由a2－c2＞0，令a2－c2＝b2，则得方程

[坐标法即用代数方法研究几何问题，因此熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑．缺乏一定的运算能力在解析几何中几乎是寸步难行，因此教学中必须注意不失时机加强运算技能的训练！]

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，教师可简要作些提示：

若点(x′，y′)适合方程

则此点应在椭圆上，事实上由

由上述变形逆推即可得

注意到a＞c，且|x′|≤a，则可知

即点(x′，y′)到两定点F1和F2距离之和为2a．

故点(x′，y′)必在椭圆上．

教师指出：由于我们恰当地选取了坐标系，充分运用了图形的对称特征，因此得到的方程简单、对称，具有和谐美，特别便于根据方程分析研究椭圆许多有趣的性质．这一简化的方程称为椭圆的标准方程(焦点在x轴上)．

三、供课后思考的参考题

1．推导椭圆方程时，若使焦点在y轴上[即为F1(0，－c)，F2(0，c)]，你能知道此时方程形式吗？它与焦点在x轴上的方程有何联系？

(1)椭圆的对称性；(2)椭圆的范围及常数a、b具有什么几何特征；(3)这一方程与圆x2＋y2＝a2作一比较，两者有何联系？由两方程分别得出

回顾三角函数图像y＝Asinx与y＝sinx的关系你能提出什么设想？

等式中发现椭圆的又一重要特征吗？

教案说明

(1)这份教案是针对重点中学班级设计的，也在笔者所在学校不止一次实施过．教案设计的基本指导思想是着眼于提高学生学习数学的自觉性与基本学习能力，增强课堂教学的启发性与培养性，因此教学安排与一般设想不同．目前教学中常受考试干扰，比较注重实用性与所谓“硬指标”．如本节课常常直接给出定义，尽快得出两种标准方程，举例示范，使学生课外能学会使用方程解答课本习题．而这份教案却花一定气力引导学生回顾、探索、分析，然后引出椭圆的概念，随后只建立了焦点在x轴上的标准方程，并没有要求学生会使用；另外关于由方程研究椭圆性质常常安排在后面的课内，这里却又提前让学生思考，似乎都是“软指标”，在考试中也不一定用得上．不同的设想反映出不同的着眼点与数学教学目的的认识差别，把知识与方法作为结果给予学生，还是着重引导学生领悟获得这些结果的思想与方法，是把学生作为接受教师传授知识的客体，还是增强学生的内在活力，使学生成为自觉主动学习的主体．本教案如前所述，重点放在概念引入与方程建立的思维过程上，从圆锥曲线整体结构考虑，让学生获得比较完整的认识过程，初步建立起总体思维框架，至于结果的熟练与运用在以后的逐步强化训练中是不难达到的．教学的实践也证明，这样是有利于学生基本数学素质的提高，在以后的双曲线、抛物线的教学中可见其成效．

《椭圆的标准方程》教学设计 篇7

“椭圆标准方程”是继学习圆之后运用“曲线和方程”理论解决二次曲线的又一实例。从知识上说, 它是对前面所学的运用坐标研究曲线几何性质的又一次实际演练, 同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础;从方法上说, 它为研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础。椭圆概念的形成过程、椭圆方程的推导过程等方法为后续内容的学习做好铺垫。通过本节课教学, 主要培养学生观察、比较、分析、概括和探究的能力, 进一步渗透数形结合的思想、方法。因此, 学好本节课对学生学好解析几何有着举足轻重的作用。如何优化本节课的教学, 提高课堂有效教学, 是值得每个数学教师探讨的问题。

在传统的“椭圆标准方程”一课教学中, 通常由教师演示画椭圆的过程, 接着师生共同归纳椭圆的定义, 教师再进行补充说明;然后由教师推导焦点在X轴上椭圆的标准方程;最后讲解几道例题, 就完成了本节课的教学。传统的教学, 通常存在以下几个弊端:

1.重结论轻过程。结论与过程的关系是教学过程中一对十分重要的关系, “过程”体现数学的探究过程与探究方法, “结论”表征数学的探究结果。教学的重要目的之一, 就是使学生理解和掌握正确的结论, 所以必须重结论。但若不经过学生一系列的质疑、判断、比较、选择以及相应的分析、综合、概括等认识活动, 难以真正理解和巩固。所以, 不仅要重结论, 更要重过程。传统的教法, 教师通过自身演示画椭圆的过程, 学生借助书本抽象出椭圆的概念, 这使学生对椭圆概念的理解缺乏深度。若能让每个学生都亲自动手操作———画椭圆, 让学生自主探索、尝试, 体会椭圆的形成过程, 使学生对椭圆知识的获得就更加深刻。

2.重知识传授轻思维训练。相对于具体的数学知识内容而言, 数学的思维训练显然更为重要, 因而, 我们应帮助学生学会数学思维。传统教学片面强调知识教学, 而忽视学生的思维训练。大多数教师认为职高生的思维能力较差, 因此, 职高的数学教学不宜过多地强调概念、定理的推导过程, 只要直接告诉结论, 能运用概念、定理和公式解题即可。这种观点忽视了数学教学的根本目的———发展学生的思维品质。对于多数职高生而言, 具体的数学知识在其生活中, 未必能用上多少, 但通过数学学习形成的思维品质则是终身受用的。因此, 职高数学教学, 必须充分关注学生的思维发展过程。

3.重知识运用轻能力培养。由于大多数职高学生的数学基础比较薄弱, 教师对学生的要求也一降再降。例题和练习的选取只考虑知识层面, 只要求学生会套公式、代数据, 进行简单的演算, 只训练了学生的模拟能力、应试能力。通常是教师讲例题, 学生做类似题, 若遇题目变化, 学生就立即束手无策。要通过练习提高学生的数学能力, 关键是教师要认真处理教材, 通过一些典型题目的讲练, 把知识综合运用和能力提高进行有机整合。

二、策略推进

德国教育家第斯多惠指出:“教学的艺术不在于传授本领, 而在于激励、唤醒、鼓舞。”有效的数学教学, 课堂中应该让学生动手实践, 亲身体会知识的发生、发展过程。教学中以“问题”为纽带, 将知识点串成“链”, 通过问题导向使学生的知识和思维同步发展。通过精讲例题、精选习题, 培养学生的综合数学能力。

(一) 实验探究, 在探究中体验知识的生成过程

学习任何东西最好的途径是自己去探索。数学实验对学生理解数学概念、掌握数学规律意义重大。所谓“数学实验”, 是指根据研究目标, 创设或改变某种数学情景, 在某种条件下, 通过思考和操作活动, 研究数学现象的本质和发现数学规律的过程。数学实验教学是让学生通过自己动手操作, 进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动, 最后获得概念、理解或解决问题的一种教学过程。

1. 实验导入, 形成概念。

课前教师给每位学生一块泡沫板、一条弹性不大的细绳和两颗图钉。一开始, 教师要求同学们把细绳的两端都固定在图板的同一点处, 套上铅笔, 拉紧细绳, 移动笔尖, 让学生动手操作, 体验画圆的过程。接着, 教师要求同学们将细绳的两端拉开一段距离 (改变教师先设定的距离) , 分别固定在图板的两点F1、F2处, 移动笔尖一周, 探究此时笔尖画出的轨迹。学生动手作图, 使学生有感性认识。通过学生尝试画圆的过程, 再类比圆的定义, 通过“形”和“数”的结合, 让学生从理论和实践中体会椭圆上的点所满足的几何条件, 学生在教师的引导下, 抽象出椭圆的概念。

2. 实验操作, 完善概念。

椭圆概念初步形成之后, 教师又一次引导学生动手操作。改变两颗图钉之间的距离, 当两颗图钉之间的距离等于绳长时, 画出的是什么图形?当两颗图钉之间的距离大于绳长时, 画出的又是什么图形?学生们一边动手作图, 一边相互交流, 共同分享劳动成果。让学生亲自实验思考, 使学生的思维一直处于亢奋状态, 加深对椭圆定义中“常数大于F1F2”的理解, 使学生真正理解椭圆定义的内涵, 即只有当绳长大于两定点之间的距离时, 画出的图形才是椭圆。

3. 实验辅助, 拓展概念。

教师对本节课进行简单的总结后, 教师有选择地拿起几个同学画的椭圆图形, 通过观察图形, 让学生发现有的同学画的椭圆比较扁, 有的比较圆。教师要求同学们课外探究, 制约椭圆扁圆程度的因素是绳子的长度、两图钉之间的距离, 还是其他因素?要求在下节课中请同学们汇报探究结果。这让学生对问题的探究从课内延伸至课外, 有助于学生理解椭圆的内涵和外延;同时使本堂课前后有了呼应, 并为下节课做好铺垫, 使得教学过程具有连续性和有效性, 调动了学生的学习积极性。

(二) 问题导向, 在导向中培养学生的数学思维

问题是数学的心脏、思维的起点, 有问题才会有思考, 思维是从问题开始的。笔者对《椭圆标准方程》的再设计, 以问题为主线, 整堂课由四个大问题串联起来, 激发学生的求知欲, 促使教学目标的有效达成, 促进知识与思维的双向发展。

1. 导入性设问, 引发学生思维。

从原有的教学基础出发, 通过直觉或逻辑的手段提出数学问题, 是组织教学活动的一种重要方法。因此, 在教学中应注意抓住时机, 把问题摆出来, 使学生围绕问题最大限度地进行发挥。

问题:你能列举出生活中跟椭圆有关的实例吗?

数学知识都直接或间接地来源于现实世界, 是现实世界中的实际问题的数学抽象。“椭圆”是学生比较熟悉的图形, 生活中比较常见, 学生通过思考、交流能解答教师的提问。因此问题的设计符合绝大多数职高学生的认知水平, 教师顺理成章地引出课题, 也使学生明确了学习的目标。

2. 层次性设问, 启迪学生思维。

椭圆的定义和椭圆的标准方程是本节课教学的主要知识目标, 为了学习这两个目标, 教师在设计问题时根据学生的思维特点, 精心设计了三个层次性总问题, 使学生围绕“总问题”逐步开展探究活动。同时围绕每个总问题又设计一些“子问题”, 降低思维的难度, 让更多的学生参与到教学中来。

(1) 椭圆定义的引出设计了如下四个问题:

(1) 你所画出的椭圆中哪些量是固定不变的?哪些量是变化的?

(2) 你所画出的椭圆上的任意点P到两定点的距离始终存在怎样的关系?

(3) 类比圆的定义, 请你给椭圆下定义。

(4) 定义中“常数”为什么要进行限制?

四个问题的设置根据职高生的认知特点, 层层深入。问题 (1) 让学生借助实验从感性认识过渡到理性认识, 明确研究方向;问题 (2) 在问题 (1) 的基础上让学生通过观察发现椭圆上点的规律, 把握问题实质;问题 (3) 通过引发学生的认知冲突, 驱使学生积极主动地进行知识的回忆与重新建构;当学生认为对椭圆概念的表述完美无缺时, 教师再次让学生动手实验, 同时“乘胜追击”, 提出问题 (4) , 再一次引发学生思考, 使学生在思维的一次次蜕变中获得知识。

(2) 椭圆标准方程的推导围绕一个总问题和三个子问题进行教学。

求椭圆标准方程时, 笔者结合学生原有的数学基础和认知特点, 设计了一个总问题和三个子问题, 总问题是探究椭圆标准方程的步骤, 三个子问题都围绕总问题展开, 层层递进。

总问题:请同学们回忆求曲线方程的一般步骤。

子问题 (1) :结合已有的学习经验, 请你给手中所画椭圆建立一个适当的坐标系。

子问题 (2) :根据椭圆定义, 请列出点P所满足的关系式。

子问题 (3) :化简无理方程的关键是什么?

椭圆标准方程的推导是本节课教学的难点, 教师设计一些难易适中的问题, 使学生能够轻松地理解和掌握, 对求曲线方程的一般步骤又进行了一次回顾和应用, 同时为后面双曲线和抛物线方程的推导做了铺垫。通过子问题 (1) 、 (2) 、 (3) 的思考, 让学生体会求椭圆标准方程的一般步骤和解析几何的研究方法。

(3) 采用类比提问, 学习焦点在Y轴上椭圆的标准方程。

问题:请类比焦点在X轴上的椭圆标准方程, 说出焦点在Y轴上椭圆的标准方程。并比较两种形式标准方程的异同。

在数学的学习中, 类比不仅是一种良好的学习方法, 能使学生巩固旧知识掌握新知识, 而且还是一种良好的解题策略, 能使复杂的问题简单化、陌生的问题熟悉化、抽象的问题形象化, 让学生从枯燥的“题海”中解脱出来。因此, 在数学教学和解题中, 教师要有意识地对学生进行类比推理能力的训练。

3. 过渡性设问, 训练学生思维。

问题:根据椭圆标准方程, 判断其焦点在哪条轴上。

让学生直接运用椭圆标准方程解决问题, 加深对所学的两种情况椭圆标准方程的学习。问题设计较简单, 90%以上的学生都能回答, 让学生感受成功;通过口答形式进行, 重在训练学生思维的敏捷性。

(三) 习题融合, 在融合中提高学生的综合能力

数学习题是数学课程内容的一个重要组成部分, 通过师生讲练结合, 让学生会利用所学知识解决问题。从中渗透数学思想方法, 形成灵活的解题策略, 在教师的有效指导中发展学生的数学思维。笔者在选取题目时, 重点关注学生对所学知识的迁移和综合运用能力, 力求做到知识和能力、旧知和新知两方面的融合。

1. 知识和能力融合。

数学教学中, 既重视基础知识的学习, 又重视数学能力的培养, 才能实现逐步运用数学知识来分析和解决实际问题的目的。为此, 在设计习题时, 教师既要检测学生对本节课知识的落实情况, 又要让学生在听讲和亲自实践中提高学生的分析能力、迁移能力, 真正实现知识与能力的有机融合。

2. 旧知和新知融合。

大多数教师在选择题目时, 基本上呈现一些识记性、简单明了, 跟本节课密切相关的题目进行讲解, 让学生练习, 尽可能避免一些综合题目的出现, 其实这不利于培养学生的综合运用能力。为此, 笔者选取一些综合性较强的题目让学生练, 虽然有一定的难度, 但学生通过做这些题目使他们能把前面的知识和本节课所学知识进行有机融合, 体现数学思维的基础性、深刻性和广阔性。

例题讲解: (1) 根据下列椭圆的标准方程, 说出该椭圆的焦点坐标和焦距。

例题讲解: (2) 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 (-4, 0) 和 (4, 0) , 椭圆上一点到两焦点的距离等于10, 求此椭圆的标准方程。

学生练习: (1) △ABC的边BC长为4, 周长为16, 求顶点A的轨迹方程。

学生练习: (2) 已知椭圆的焦点坐标是, 并且经过点, 求该椭圆的标准方程。

例 (1) 主要让学生会根据椭圆的标准方程求椭圆的焦点坐标和焦距, 属于知识的简单运用, 体现数学思维的基础性;例 (2) 主要让学生结合椭圆的定义和标准方程进行求解, 考察学生的数学综合能力, 体现数学思维的深刻性。学生练习 (1) 主要培养学生综合运用数学知识进行解题的能力, 考查学生求曲线方程步骤的掌握情况, 同时也考查学生对椭圆定义的理解程度、对旧知和新知的融合能力;学生练习 (2) 考查学生应用待定系数法求椭圆的标准方程掌握程度。

三、反思

1.有效的数学教学应让学生体验过程。数学学习过程强调, 有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆, 动手实践与合作交流是数学学习的重要方式。在教学中, 教师应激发学生的学习积极性, 向学生提供充分从事数学活动的机会, 在自主探究和合作交流过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能。

2.有效的数学教学应让问题引领课堂。问题不仅是思维的起点, 也是思维的动力。知识只有围绕问题而展现出来, 才能很好地为学生所理解和接受, 进而真正成为其内在精神世界的有机组成部分。所以应让问题引领课堂, 使得教学更加有效。

3.有效的数学教学应让学生学会思维。数学是思维的体操。数学教学中利用有效的课程资源, 不断为学生创设良好的情境, 启动学生思维的翅膀, 吸引学生进入积极思维的学习境地, 从而叩开学生数学思维的心扉。

摘要：椭圆的标准方程是圆锥曲线方程的基础, 在解析几何中有着不可或缺的地位。让学生掌握椭圆标准方程的探究方法, 可为学生后续内容的学习奠定基础。教师通过挖掘教学资源, 优化教学方法, 对培养学生的探究意识、训练学生的数学思维和提高学生的数学能力, 意义深远。

关键词：椭圆标准方程,实验,问题,习题,数学思维

参考文献

[1]薛茂芳.数学观点与数学能力的培养.教育研究, 2003 (7) .

[2]徐红.对学生数学学习方式的思考研究.华东师范大学出版社学报, 2005 (1) .

[3]孔企平.有效教学的几个理论问题.上海教育科研, 2007 (2) .

椭圆及其标准方程第一课时说课稿 篇8

1、教材的地位及作用

圆锥曲线是高考重点考查内容。“椭圆及其标准方程”是《圆锥曲线与方程》第一节内容,是继学习圆以后运用 “曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例。

从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础;

从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式;

所以，无论从教材内容，还是从教学方法上都起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。

2、教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：

(1)、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法。

(2)、能力目标：让学生通过自我探究、合作学习等，提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。

(3)、情感目标：在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数与形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于钻研的精神。

3、教学重点、难点

教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程。

教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。

在学习本课前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的`概念有了一些了解与运用的经验，用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，对坐标法解决几何问题掌握还不够。另外，学生对含有两个根式之和(差)等式化简的运算生疏，去根式的策略选择不当等是导致“标准方程的推导”成为学习难点的直接原因。

据以上对教材及学情的分析，确定椭圆的定义及其标准方程为本课的教学重点;椭圆标准方程的推导为本课的难点。

4、教材处理

根据新课程大纲要求，本节课的内容特点以及结合我班学生的实际情况，我把本节内容分2个课时进行教学。

第一课时，主要研究椭圆的定义、标准方程的推导。

第二课时，运用椭圆的定义求曲线的轨迹方程。

二、教学方法和教学手段

课堂教学中创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性;有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则。根据这样的原则及所要完成的教学目标 ，我采用如下的教学方法和手段：

教学方法：我采用的是引导发现法、探索讨论法等。

1、引导发现法：用动画演示动点的轨迹，启发学生归纳、概括椭圆定义。

2、探索讨论法：由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情况中，有利于学生对知识进行主动建构;

有利于突出重点，突破难点，发挥其创造性。

引导发现法和探索讨论法是适应新课程体系的一种全新教学模式，它能更好地体现学生的主体性，实现师生、生生交流，体现课堂的开放性与公平性。

教学手段：利用多媒体课件教学，化抽象为具体，降底学生学习难度，增强动感及直观感，增大教学容量，提高教学质量。

三、学法指导

“授人以鱼，不如授人以渔。”

教会学生：

1、动手尝试。

2、仔细观察。

3分析讨论。

4、抽象出概念，推出方程。

这样有利于学生发挥学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

四、教学过程

教学流程设计：认识椭圆→画椭圆→定义椭圆→推导椭圆方程→椭圆方程知识讲解→椭圆方程知识运用→本课小结→作业布置

五、教学评价

1、这节课围绕“认识椭圆→画椭圆→定义椭圆→推导椭圆方程→椭圆方程知识讲解→椭圆方程知识运用”这一主线展开。

2、教学中学生通过观看动画、动手实践，自己总结出椭圆定义，符合从感性上升为理性的认识规律。

《椭圆的标准方程》教学设计 篇9

一类有Hardy-Sobolev临界指数的椭圆方程的多解性

证明了具有Hardy-Sobolev临界指数的半线性椭圆方程(1)的解的情况,存在λ*>0,当λ∈(0,λ*)时,运用对偶喷泉定理得方程有无穷多解,且该解序列具有负的能量值;当λ→0+时,解的模趋于零;当λ≤0时,方程没有负能量的.解.

作 者：谢华朝 李素丽 皮慧荣 XIE Huazhao LI Suli PI Huirong  作者单位：谢华朝,XIE Huazhao(华中师范大学数学与统计学学院,武汉,430079)

李素丽,皮慧荣,LI Suli,PI Huirong(空军第一航空学院基础部数学教研室,河南,信阳,464000)

刊 名：华中师范大学学报（自然科学版）  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF HUAZHONG NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCES) 年，卷(期)： 42(2) 分类号：O175.2 关键词：Hardy-Sobolev临界指数   (PS)c*条件   对偶喷泉定理   多解  

用特征矩阵表示椭圆方程 篇10

当a>b>0时, 焦点在x轴上;当b>a>0时, 焦点在y轴上.

2.探究椭圆的两种变换

下面仅以焦点在x轴上椭圆的标准方程为例, 探讨经过旋转、伸缩变换后, 椭圆方程与特征矩阵的联系.

(1) 旋转变换

(2) 伸缩变换

将a伸缩变换为原来的m倍, b伸缩变换为原来的n倍 (m, n∈R, m>0, n>0) , 当m>1时作伸长变换, 当0

抛物线及其标准方程的教学反思 篇11

抛物线及其标准方程的教学反思

我授课的内容是《抛物线及其标准方程》。抛物线是学生接触到第三种圆锥曲线，它相对于椭圆和双曲线而言要简单一些，只是出于其开口有四个方向，所以使得抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程个数较多，形式又很接近，学生便极容易记混。我在设计这节课时，主要有两种思路：一种是放手让学生去推导后三种开口情况下的标准方程、焦点坐标和准线方程，让他们自己来找到记忆它们的规律。不过这样势必会占用很多时间，习题就练得不充分：另一种想法是我带他们推出开口向右时抛物线的标准方程后，其余三种情况直接给出结论和记忆的方法，这样可充分的时间处理习题，通过做题来加强学生对知识点的.记忆和巩固。犹豫再三，考虑到分校学生在自己推导方面的能力参差不齐，而且这又是一节公开课万一出现意外也不好控制，我就选择了第二种方案实际进行我的教学。课上完了，忽视了一个教学中最应注意的问题也恰恰是新课改中提倡的一个理念“将课堂还给学生”。尽管我的课堂环节是适应新课改的教学环节，可我的观念却还是原来的。我把本应属于学生自己的任务给抢了来，把个人认为有用的东西强加给了学生。而实际上，这样做却并没有实现对学生能力的训练和培养，是违背了新课改的理念的。 作为新课程改革的践行者，我们真的必须从现在就开始做好思想上、理论上、知识上的储备了。意识决定行为，首当其冲的就是“转变观念”。我要从本质上理解新课改的精神，并积极的在自己的实际教学中去探索应用它。相信只要我们从心底里认可新课改，认真的研究新课改并指导我们的实际工作，就会早日实现新课改所制定的预期目标。

双曲线及其标准方程教学设计 篇12

一、学习目标：

【知识与技能】:

1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的探索推导过程.2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系.【过程与方法】: 通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观.【情感、态度与价值观】: 通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学.二、学情分析：

1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容;

2、由于学生数学运算能力不强,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的积极性,增强学习的主动性.三、重点难点 ：

教学重点:双曲线的定义、标准方程

教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a<2c的理解

三、教学过程：

【导入】

1、以平面截圆锥为模型，让学生认识双曲线，认识圆锥曲线；

2、观察生活中的双曲线；

【设计意图:让学生对圆锥曲线整体有所把握,体会数学来源于生活.】 探究一

活动1：类比椭圆的学习，思考：

研究双曲线，应该研究什么？ 怎么研究？

从而掌握本节课的主线：实验、双曲线的定义、建系、求双曲线的标准方程； 活动二：数学实验：

(1)取一条拉链，拉开它的一部分，(2)在拉链拉开的两边上各取一点，分别固定在 点F1，F2 上，(3)把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点 就画出一条曲线。

(4)若拉链上被固定的两点互换，则出现什么情况？

学生活动:六人一组，进行实验，展示实验成果：

【设计意图:学生亲手操作，加深对双曲线的了解，培养小组合作精神.】

学生实验可能出现的情况: 画出双曲线的居多，但还是有画出中垂线，或者两条射线的可能，学生展示，小组同学解释，为什么会出现这种情况？

【设计意图:让学生在“实验”、“思考”等活动中,自己发现问题、提出问题】 活动三：几何画板演示，得到双曲线的定义： 老师演示，学生思考：

引导学生结合实验分析，得出双曲线上的点满足的条件，给出双曲线的定义

双曲线：

平面内到两定点的距离的距离的差的绝对值等于定长2a（小于两定点F1F2的距离）的点的轨迹叫做双曲线。

两定点F1F2叫做双曲线的焦点

两点间F1F2的距离叫做焦距

在双曲线定义中,请同学们思考下面问题: 1:联想到椭圆的定义,你是否感到双曲线中的常数2a也需要某种限制?为什么? 2:若2a=2c,则M点的轨迹又会是什么呢?又2a>2c呢? 强调：2a大于|F1F2｜时轨迹不存在 2a等于|F1F2｜时，时两条射线。

所以,轨迹为双曲线,必需限制2a<2c,且2a≠0.学生第一次修改定义.(2a<2c,非零常数)【设计意图:,让学生体会双曲线上的点的运动规律,积累感性经验,通过实践思考,为进一步上升到理论做准备.】 探究二

活动四：探究双曲线标准方程：

1、类比:类比椭圆标准方程的建立过程(用屏幕显示图形),让学生认真捉摸坐标系的位置特点(力求使其方程形式最简单).2、合作:师生合作共同推导双曲线的标准方程.(学生推导,然后教师归纳)按下列四步骤进行:建系、设点、列式、化简从而得出了双曲线的标准方程.双曲线标准方程:焦点在x轴上(a>0,b>0)

3、探究:在建立椭圆的标准方程时,选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.那么双曲线的标准方程还有哪些形式?

222 在y轴上(a>0,b>0)其中:c=a+b活动五：归纳、总结

活动六：典例分析

例1：已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上的点P到F1、F2 距离差的绝对值等于6,求双曲线标准方程.变式(1):已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上的点P到F1、F2 距离差等于6,求双曲线标准方程.变式(2):若两定点为|F1F2|=10则轨迹方程如何? 感悟: ①求给定双曲线的标准方程的基本方法是:待定系数法.(若焦点不定,则要注意分类讨论的思想.)【设计意图:教学过程是师生互相交流、共同参与的过程.数学通过交流,才能得以深入发展,数学思想才能变得更加清晰】 活动七：小结

1.本节课学习的主要知识是什么? 2.本节课涉及到了哪些数学思想方法? 课后作业：

必做题: 课本55 页练习2,3