初中数学定理汇总(北师2011版)（精选8篇）
析)班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________ 1.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）
A． B．25
C．
D．35
【答案】B
【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形
【解析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，（1）如图，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得：AB====25．
（2）如图，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得，AB=由于25＜，故选B．
===．
2.如图所示，在△ABC中，∠B=90º，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为.【答案】7.【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】
试题分析：先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，进而求出△ABE的周长．
试题解析：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC=，∵△ADE是△CDE翻折而成，∴AE=CE，∴AE+BE=BC=4，∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．
考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理．
3.在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9，则AB＝________．
【答案】15
【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】根据勾股定理，直接得出结果：AB＝
＝
＝
＝15.4.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB＝3，BC＝4，则BD＝
.【答案】
【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形
【解析】如图，点B′是沿AD折叠，点B的对应点，连接B′D，∴∠AB′D＝∠B＝90°，AB′＝AB＝3，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∴B′C＝AC－AB′＝5－3＝2，设BD＝B′D＝x，则CD＝BC－BD＝4－x，在Rt△CDB′中，CD＝B′C＋B′D，即：（4－x）＝x＋4，解得：x＝，∴BD＝.222
225.在△ABC中,若AB=17,AC=8,BC=15,则根据______________可知∠ACB=_______________.【答案】勾股定理逆定理 90°
【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形
【解析】勾股定理逆定理是判定一个角是直角的重要方法，AC+BC=8+15=289=17=AB，根据勾股定理的逆定理说明AB的对角是90度.22
26.如图，在四边形ABCD中,AB=12cm,BC=3cm,CD=4cm,∠C=90°.(1)求BD的长;
(2)当AD为多少时,∠ABD=90°?
【答案】(1)5.(2)13
【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形
【解析】(1)在△BDC中，∠C=90°，BC=3cm，CD=4cm，根据勾股定理，BD=BC+CD，求得BD=5cm.(2)根据勾股定理的逆定理，三角形两边的平方和等于斜边的平方，则三角形是直角三角形，所以222AD=13时，可满足AD=BD+AB，可说明∠ABD=90°，AD==13.2
27.甲、乙两船上午11时同时从港口A出发,甲船以每小时20海里的速度向东北方向航行,乙船以每小时15海里的速度向东南方向航行,求下午1时两船之间的距离.【答案】50海里.【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形
【解析】东北方向航行，东南方向航行，则夹角为90度，根据勾股定理，相距==50.8.下列命题中是假命题的是（）A．在△B．在△C．在△D．在△【答案】C
【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】A.因为正确；B.因为，所以∠°，所以△是直角三角形，故A，所以，所以△是直角三角形，故B正确；C.若，则最大角为75°，故C错误；，由勾股定理的逆定理，知△
是直角三角形，故D正确． 中，若中，若中，若中，若，则△是直角三角形，则△是直角三角形，则△是直角三角形，则△是直角三角形
D.因为9.如图，已知正方形的面积为144，正方形的面积为169时，那么正方形的面积为（）
A．313
【答案】D B．144 C．169 D．25
【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】设三个正方形的边长依次为，故，即，由于三个正方形的三边组成一个直角三角形，所以
.10.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是 A．5，6，7
【答案】C
【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章 勾股定理》1.3 蚂蚁怎样走最近【解析】
试题分析：根据勾股定理的逆定理依次分析各项即可.A、C、，B、，D、，均不能组成直角三角形； B．1，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12，能组成直角三角形，本选项正确.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理
点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.11.作一个三角形，使三边长分别为3cm，4cm，5cm，哪条边所对的角是直角？为什么？
【答案】5cm
【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章 勾股定理》1.2 能得到直角三角形吗 【解析】
试题分析：根据三角形大边对大角的性质即可判断.5cm所对的角是直角，因为在直角三角形中直角所对边最长.考点：本题考查的是三角形的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形大边对大角的性质.12.如下图所示，△ABC中，AB=“15” cm，AC=“24” cm，∠A=60°，求BC的长.【答案】21 cm
【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章 勾股定理》1.1 探索勾股定理 【解析】
试题分析：△ABC是一般三角形，若要求出BC的长，只能将BC置于一个直角三角形中.过点C作CD⊥AB于点D 在Rt△ACD中，∠A=60° ∠ACD=90°－60°=30° AD=AC=12(cm)
CD=AC－AD=24－12=432，DB=AB－AD=15－12=3.在Rt△BCD中，BC=DB+CD=3+432=441 BC=“21” cm.考点：本题考查的是勾股定理
点评：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解.22222222213.有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距________海里.【答案】30
【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章 勾股定理》1.1 探索勾股定理 【解析】
试题分析：首先根据方位角知该三角形是一个直角三角形．再根据路程=速度×时间．分别计算两条直角边是16×1.5=24，12×1.5=18．再根据勾股定理即可求得结果.因为东南和东北方向互相垂直，根据题意两条直角边为16×1.5=24，12×1.5=18，根据勾股定理得，两船相距考点：本题考查的是勾股定理的应用
点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.海里.14.如图：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=“50” m,CB=“40” m，那么A、B两点间的距离是_________.【答案】30米
【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章 勾股定理》1.1 探索勾股定理 【解析】
试题分析：根据勾股定理即可求得结果.由题意得考点：本题考查的是勾股定理的应用
点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.15.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.【答案】48cm
【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章 勾股定理》1.1 探索勾股定理 【解析】
试题分析：先根据题意画出图形，再根据勾股定理得出三角形的高，即可求解其面积． 如图： 2
等边△ABC中BC=“12” cm，AB=“AC=10” cm
作AD⊥BC，垂足为D，则D为BC中点，BD=“CD=6” cm 在Rt△ABD中，AD=AB－BD=10－6=64 ∴AD=“8” cm
∴S△ABD=BC·AD=×12×8=48(cm)考点：本题考查的是勾股定理
(一)《义务教育数学课程标准(2011版)》对一次函数课程内容要求:(1)结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式;(2)会利用待定系数法确定一次函数的表达式;(3)能画出一次函数的图象,根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时,图象的变化情况;(4)理解正比例函数;(5)体会一次函数与二元一次方程的关系;(6)能用一次函数解决简单实际问题。[1]
(二)本章教学目标分析。经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展符号意识;经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中展合作交流意识和能力;经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展应用意识;经历函数图象信息的识别与应用过程,发展几何直观;初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义;体会一次函数和正比例函数的意义,能根据所给信息确定一次函数表达式。[2]
(三)本章学习目标分析。“发现”一些生活中的函数,从“数”“形”两个角度认识一次函数;并形成一定的数形结合的意识,会用一次函数解决一些简单的实际问题。
二、教材具体内容分析
(一)主题图与章前文字。本章主题图选用了学生比较熟悉的健身跑、弹簧秤等图片,力图让学生认识到章学习内容与现实生活的密切联系。而在直角坐标系中同时展现一次函数的表达图像两种表示方式,一方面体现了本章与上一章“位置与坐标”的密切联系,另方面也暗示了“数”和“形”是一次函数不可分割的两个方面,也是研究其他有函数问题的两个重要方面。[2]
章前文字由学生比较熟悉的变量之间的关系切入,转而思考这些关系的刻画,自然过渡到本章的学习主题。而一连串的疑问句,目的是激发学生的学习兴趣,同时也点明了本章所要解决的主要问题。在本章结束时教师可引导学生对上述问题进行回顾。
(二)例题设计。以第四章第二节一次函数与正比例函数为例,例1是在明晰了一次函数与正比例函数的概念之后出现的一个例子。考虑了三个方面的情况:是正比例函数(当然也是一次函数),不是一次函数(当然也就不是正比例函数),是一次函数但不是正比例函数,这暗含了某种逻辑关系。对此,不必告诉学生,但教师要心中有数。
例2的文字量较多,三个问题对于一些学生来说也有一定难度。教师可带领学生读题,划去对解决问题无关的文字,明确已知与所求;在此基础上,先让学生独立思考,后小组讨论,再全班交流,教师评讲。
(三)学生活动。本章教材里的学生活动主要包括“做一做”,“想一想”,“议一议”,以第三节一次函数的图像为例。
做一做:
1、画出正比例函数y=-3x的图像;2、在所画的图像上任意取几个点,找出它们的横坐标和纵坐标,并验证它们是否都满足关系式y=-3x。[3]
目的在于让学生获得更多的画图体验,同时也为后续归纳正比例函数图像的共性提供材料。因此,教学中一定要让学生动手操作体验。
(四)阅读材料。"读一读"是与学习主题密切相关的数学史实、现实中的数学应用介绍文章或趣味性小评文,本章的阅读材料是:中国古代漏刻。
漏刻是中国古代人民的智慧结晶,也是一次函数的一个创造性应用。介绍这一内容,既丰富了学生的知识,又让学生体会到数学的广泛应用。对于有兴趣的学生,教师可以引导他们挖掘现实生活中更多的应用实例,也可以组织他们开展一些研究性活动,探寻各种计时方法。
(五)课后习题设置。本章课后习题设置主要包括:知识技能、数学理解、问题解决这三大块。
1、知识技能:巩固本节所学知识,加深对函数概念的理解,掌握基础知识和基本技能;2、数学理解:通过独立思考,体会数学的基本思想和思维方式;3、问题解决:运用所学的知识解决现实生活中的问题,增强知识的运用能力和问题解决能力。
(六)回顾与思考。本章通过一定的探索活动抽象出函数、一次函数等概念,并进而研究一次函数的的有关性质和应用。"回顾与思考"通过问题的形式引导学生回顾本章内容,梳理知识结构。
三、对北师版初中数学教材的几点建议
(一)问题情境的选取要尽可能符合广大学生的生活经验.如函数概念引入中,所引用的摩天轮对很多没有坐过摩天轮的学生来说,就是一个很陌生的生活情境。(二)北师版教材在综合性习题类型的编制方面应有所增加.如增加一次函数在几何中运用的习题,增加求函数自变量范围的问题,增加函数实际应用问题的类型,如运输问题的最优方案问题等。[4](三)北师版教材中例题的数量与题型的种类应有所增加,并且例题的选择应尽可能与课堂内容、习题相匹配。
参考文献
[1]义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京师范大学出版社,2012.
[2]八年级上册(数学)教师教学用书[M].北京师范大学出版社,2012.
[3]八年级上册(数学)教科书[M].北京师范大学出版社,2012.
关键词：北师大版；初中数学；教学探究
一、北师大版初中数学教材的特点
1.每章开头采用主题图导入，有助于学生直击重点
在北师大版初中数学教材中，为了让学生能够快速融入学习氛围，教材编写者们从现实世界提取了学生熟悉的内容，并把其图像化，同时用文字或者问题加以辅助，为学生呈现出每一章的数学知识学习重点。在每一节的教学内容中，都包含有很多有趣的知识和典故，从而培养学生的学习兴趣，这种课程安排是十分活泼的，能够引发学生的共鸣，从而激发出学生的求知欲，对他们的学习产生强大的推动力。
2.情景问题比较丰富，学习和探索知识的平台十分完善
在北师大版数学教材中，我们可以看到丰富的实际问题情景，通过观察，可以发现课本中的“做一做”“想一想”和“议一议”等板块，这些板块是学生良好的求知平台。当教师引导学生进入学习中心之后，就可以紧紧围绕这一中心对学生因材施教，对于那些学习能力比较强的学生，教师可以引导他们探索一些高难度的知识，对于那些学习能力比较一般的学生，教师应当多加鼓励他们，并给予他们更多的关注。通过教师的讲解和学生的做一做、想一想，课堂所学知识将会得到深化，学生能够有更大的收获。
3.通过典型例子和“随堂练习”加深课堂所学知识点
“随堂练习”是一个十分重要的环节，当教师讲解完一个知识点之后，就可以充分运用个别例子来让学生进行讨论和分析，充分激发他们的知识运用能力，这种“随堂练习”中所提到的知识是与我们的生活息息相关的，而且是针对课堂所学知识点而设计的，因而具有十分重要的意义，从这个角度上来看，这就是学生学习完每一个知识点之后的首要实践场所，必须把这个环节做好，才能帮助学生实现数学知识的深入学习和拓宽学习。
4.“数学理解”“问题解决”等板块有助于拓展学生的眼界
在北师大版初中数学教材中，每一章和每一节结束之后，都有相配套的练习题，这些习题的难度不等，所涉及的方面也是有所不同，主要可以划分为四类：一是“知识技能”，二是“数学理解”，三是“问题解决”，四是“联系拓广”，这种类型的编排是符合学生数学学习规律和数学认知规律的，具有可行性和科学性。
二、北师大版初中数学教材中的教学理念
1.坚持理论联系实际
数学知识并不是死板的，而是十分灵活的，因此，在初中数学的学习过程中，我们必须坚持数学知识联系实际生活，例如，当学习相关的概念和法则的时候，不但要从形式出发，更要从日常生活中的实际问题进行切入。在北师大版初中数学教材中，我们可以发现其中的每一个概念和数学法则都讲解得十分详细，而且这个讲解过程十分切合实际，力求从学生的生活中出发，让学生更快更好地理解知识，当学生感受到自己熟悉而又有兴趣的问题时，他们就能提升学习兴奋度，并且加强自主学习的能力。
2.关注数学知识的学习过程
在初中数学学习中，学习的最终结果固然重要，但是，我们更应当关注数学知识的形成过程和认知过程，从根本上来讲，数学知识是在人们的实践中逐渐形成的，数学的发展过程就是一个不断实践和不断探索的过程，北师大版初中数学教材就遵循了这样的教学理念，在教材的学习过程中，学生不但要学会相关的数学结论，更要懂这些数学法则和结论是怎么来的，因此，教材中提供了知识点的详细解释，并且提供了丰富多彩的数学实际问题，让学生通过自身的探索和实践彻底理解知识。
3.能够把所学知识进行充分运用
学习知识的最终目的在于运用知识，因此，在初中数学教学过程中，对于数学的学习不能仅仅停留在概念和法则的理解上，更要能够运用所学的知识解决实际问题。数学知识是在人们的不断应用中而获得发展的，因此，我们可以认为学习数学知识的根本目的就在于数学知识的应用。北师大版初中数学教材就遵循了这样的学习理念，每当讲解完各章节的要点之后，就拿出一些实际的例子和“随堂练习”帮助学生加强相关的知识运用能力，只有这样，学生的知识水平才能得到强化。
4.不但要学习相关数学知识，更要学习相关的数学方法和数学思想
数学知识是博大精深的，在学习数学知识的过程中，教师还要尽力帮助学生建立科学合理的数学学习方法，例如，数学归纳法、数形结合思想等等。北师大版初中数学教材中就描述了概念和归纳法则等数学思想方法的要求。
总而言之，初中数学教学是一件十分具有艺术性的工作，相关的数学教育工作者必须不断探索相关的教学思路和教学方法，一切以提升学生的数学能力和培养德智体美劳全面发展的学生为核心，只有不断进行教学实践和教学探索，才能发挥北师大版初中数学教材的作用，最终培养出优异的人才。
参考文献：
[1]何聪.对北师大新编初中数学教材的分析与评价[D].广西师范大学，2006.
第一单元 圆
1．圆的定义：由曲线围成的封闭图形，且圆上任意一点到中心点（圆心）的距离都相等。
2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．
3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。6．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。7．在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。
8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。用字母表示为： d＝２r r ＝1/2d 用文字表示为： 半径=直径÷2 直径=半径×2 9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
10.圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取π≈3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。11．圆的周长公式：C=πd 或C=2πr 圆周长=π×直径 或 圆周长=π×半径×2
12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。
13．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（πr）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积= πr×r。圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²。
14．圆的面积公式：Ｓ＝πｒ² 或者S=π（d/2）² 或者
15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。17．一个环形（圆环），外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 S=πR²－πｒ²
或 S=π（R²－ｒ²）。（其中R＝r＋环的宽度．）
19．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。半圆的周长公式： Ｃ＝πd/2＋d
或 Ｃ＝πr＋2r 圆周长的一半=πr
20．半圆面积＝圆的面积÷公式为：Ｓ＝πｒ²/2 21．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么直径和周长就都扩大４倍，而面积扩大１６倍。
22．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。例如：两个圆的半径比是２：３，那么这两个圆的直径比和周长比都是２：３，而面积比是４：９。
圆周长和直径的比是π：1，比值是π 圆周长和半径的比是2π：1，比值是2π
23．当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米； 当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。
24．在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几．
25．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小 26．扇形弧长公式：扇形的面积公式： S=nπｒ²/360（n为扇形的圆心角度数，r为扇形所在圆的半径）
27．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
28．有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。有2条对称轴的图形是：长方形 有3条对称轴的图形是：等边三角形 有4条对称轴的图形是：正方形 有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。29．直径所在的直线是圆的对称轴。
30、永远记住要带单位，周长是（例如：cm），面积是平方（例如：cm2），体积是立方（例如：cm3）。
31、圆的周长：
3.14×1＝3.14 3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7 3.14×6＝18.84 3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26 3.14×10＝31.4
32、圆的面积：
3.14×12＝3.14×1=3.14 3.14×22＝3.14×4=12.56 3.14×32＝3.14×9=28.26 3.14×42＝3.14×16=50.24 3.14×52＝3.14×25=78.5 3.14×62＝3.14×36=113.04 3.14×72＝3.14×49=153.86 3.14×82＝3.14×64=200.96 3.14×92＝3.14×81=254.34 3.14×102＝3.14×100=314
第二单元 分数混合运算
1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。
①如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。②如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算；
③如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。
2、解决问题
（1）用分数运算解决―求比已知量多（或少）几分之几的量是多少‖的实际问题，方法是：
第①种方法：可以先求出多或少的具体量，再用单位―1‖的量加或减去多或少的部分，求出要求的问题。
第②种方法：也可以用单位―1‖加或减去多或少的几分之几，求出未知数占单位―1‖的几分之几，再用单位―1‖的量乘这个分数。
（2）―已知甲与乙的和，其中甲占和的几分之几，求乙数是多少？‖ 第①种方法：首先明确谁占单位―1‖的几分之几，求出甲数，再用单位―1‖减去甲数，求出乙数。
第②种方法：先用单位―1‖减去已知甲数所占和的几分之几，即得未知乙数所占和的几分之几，再求出乙数。
（3）用方程解决稍复杂的分数应用题的步骤： ①要找准单位―1‖。
②确定好其他量和单位―1‖的量有什么关系，画出关系图，写出等量关系式。③设单位“1”为X，根据等量关系式，列出方程。④解答方程。
（4）要记住以下几种算术解法解应用题：
①求一个数的几分之几是多少（单位“1”已知）用乘法计算。单位“1”的量×对应分率=对应量
②已知一个数的几分之几是多少，求这个数（单位“1”未知）方法一：用除法计算。
对应量÷对应分率=单位―1‖ 的量 方法二：用列方程解答。解：设这个数为X，则 X×对应分率=对应量
3、要记住以下的解方程定律：
加数 = 和–另一个加数 乘数 = 积÷另一个乘数。被减数=差+减数减数=被减数–差。被除数=商×除数除数=被除数÷商。
4、绘制简单线段图的方法： 分数应用题，分两种类型，一种是知道单位―1‖的量用乘法，另一种是求单位―1‖的量，用除法。这两种类型应用题的数量关系可以分成三种:(一)一种量是另一种量的几分之几。(二)一种量比另一种量多几分之几。(三)一种量比另一种量少几分之几。绘制时关键处理好量与量之间的关系，在审题确定单位―1‖的量。绘制步骤： ①首先用线段表示出这个单位―1‖的量，画在最上面，用直尺画。
②分率的分母是几就把单位―1‖的量平均分成几份，用直尺画出平均的等分。标出相关的量。
③再绘制与单位―1‖有关的量，根据实际是上面的三种关系中的哪一种再画。标出相关的量。
④问题所求要标出―？‖号和单位。
5、补充知识点
分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。分数乘法的计算法则
分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。但分子分母不能为零.。
分数乘法意义
分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。分数乘整数：数形结合、转化化归 倒数：乘积是1的两个数叫做互为倒数。分数的倒数
找一个分数的倒数，例如3/4 把3/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/3。3/4是4/3的倒数，也可以说4/3是3/4的倒数。整数的倒数
找一个整数的倒数，例如12，把12化成分数，即12/1，再把12/1这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是1/12，12是1/12的倒数。小数的倒数
普通算法：找一个小数的倒数，例如0.25，把0.25化成分数，即1/4，再把1/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/1 用1计算法：也可以用1去除以这个数，例如0.25，1/0.25等于4，所以0.25的倒数4，因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都使用这种规律。分数除法：分数除法是分数乘法的逆运算。分数除法计算法则：
甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
分数除法的意义：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。
分数除法应用题：先找单位1。单位1已知，求部分量或对应分率用乘法，求单位1用除法。
第三单元 观察物体
1、观察物体一般从正面、上面、左面或右面来观察。
2、同样高度的物体，在同一光源的照射下，离光源越近，这个物体的影子就越短；离光源越远，这个物体的影子就越长。
3、站得高，才能望得远。
4、确定观察的范围： 1）先找到观察点、障碍点；
2）连接观察点和障碍点后确定观察的范围。
5、看不到的地方称作盲区。
第四单元 百分数的认识
1、百分数的意义
像84%，28%，2.5%……这样的数叫作百分数，表示一个数是另一个数的百分之几。百分数也叫百分比、百分率。百分数只表示两个数之间的关系，不能带单位名称，它表示的是一个比值。
2、百分数的读法和写法
①百分数的读法：百分数的读法与分数的读法相同，但百分数读作―百分之几‖。②百分数的写法：百分数相当于分母是100的分数，但百分数不能写成分数的形式，而是在分子的后面加上百分号（%）来表示。
3、百分数和分数的区别 ①意义不同
百分数只表示一个数是另一个数的百分之几。它只能表示两个数之间的倍数关系，并不是表示某一个具体数量，所以百分数不能带单位。分数不仅可以表示两个数之间的倍数关系，还可以表示一定的数量，所以分数表示数量时可以带单位。②写法不同
百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号―%‖来表示。分数的最后结果中的分子只能是整数，计算结果不是最简分数的要化成最简分数。百分数的最后结果中的分子可以是整数，也可以是小数。如：18%，16.7%，180%
4、小数、分数、百分数的互化 ①把小数化成百分数的方法：
先把小数点向右移动两位，再在数的后面直接添上―%‖，如0.25=25% ②把分数化成百分数的方法：
可以先把分数化成分母是100的分数，再改写成百分数，如3/5=0.6=60%（除不尽的保留三位小数）。③把百分数化成小数的方法：
先把―%‖去掉，同时把小数点向左移动两位，当移动的位数不够时，要添0补位。④把百分数化成分数的方法：
先把百分数改写成分母是100的分数，能约分的要约分成最简分数。当百分数的分子是小数时，要要根据分数的基本性质把分子和分母同时扩大相同的倍数，把分子变成整数后能约分的再约分。
5、求一个数是另一个数的百分之几的方法
求一个数是另一个数的百分之几的方法与求一个数是另一个数的几分之几的方法相同，就是用这个数除以另一个数，除不尽时通常保留三位小数，然后把小数点向右移动两位，再在数的后面加上%
6、求百分率的方法：
百分率一般是指部分占总体的百分之几。如合格率就是合格的产品数量占产品数量的百分之几。及格率就是及格人数占总人数的百分之几。结果用百分数的形式表示。常考的几种百分率：
盐的质量÷盐水（盐和水）的质量=含盐率 糖的质量÷糖水（糖和水）的质量=含糖率 合格的数量÷总数量=合格率 及格的人数÷总人数=及格率 发芽的数量÷总数量=发芽率 优秀的人数÷总人数=优秀率 出席的人数÷总人数=出席率 缺席的人数÷总人数=缺席率 命中的次数÷总次数=命中率 成活的棵树÷总棵树=成活率
7、求一个数的百分之几是多少的实际问题的解法
与求一个数的几分之几是多少的问题的解答方法相同，都是用乘法来计算，用这个数乘百分之几。计算时可以把这个数化成小数来计算，也可以把这个数化成分数来计算，要根据具体情况分析，选择简便的计算方法。
第五单元 数据处理
三种统计图：
条形统计图（表示各个量的多少）
折线统计图（表示数量多少、反映增减变化）扇形统计图（表示部分与整体的关系）。
一、绘制条形统计图（主要是用于比较数量大小）
1、写出统计图的标题，在上方的右侧表明制图日期。
2、确定横轴、纵轴。
3、在横轴上适当分配条形的位置，确定条形的宽度和间隔。（直条的宽窄要一致，间隔也要一致，单位长度要统一）
4、纵轴上确定单位长度。确定单位长度所代表的量要根据最大和最小的来综合考虑。
5、根据数据的大小画出长短不同的直条。
6、给直条图形不同的颜色（或底纹），并在统计图右上角注明图例。
二、关于复试条形统计图
1、制作复试条形统计图与单式条形统计图的制作方法相同。只是在每组数据中各量要用颜色或底纹区分。
2、复试条形统计图---直条的宽窄要一致，间隔要一致，单位长度要统一。
3、运用横向、纵向、综合、对比等不同方法观察，可以读懂复试条形统计图，从中获取尽可能多的信息。
4、复试条形统计图有纵向和横向两种画法。
三、绘制复试折线统计图（不仅可以比较大小，还可以比较数量变化的快慢）a、只有一条折线的折线统计图叫做单式折线统计图。
b、用不同的折线表示不同的数量变化情况的折线统计图叫做复试折线统计图。考点：三种单式统计图和两种复式统计图。
1、三种统计图：条形统计图表示数量的多少、折线统计图表示数量多少、反映增减变化、扇形统计图表示部分与整体的关系。
2、复式条形统计图：用两种不同的条形来分别表示不同的类型。复式折线统计图：用两条不同的线来表示，一条用实线，另一条用虚线。
3、反映某城市一天气温变化，最好用折线统计图，反映某校六年级各班的人数，用（条形）统计图比较好，反映笑笑家食品支出占全部支出的多少，最好用扇形统计图。
第六单元 比的认识
（一）比的基本概念
1．两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。2．比值通常用分数、小数和整数表示。3．比的后项不能为0。
4．同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商； 5．根据分数与除法的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值。6．比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外），比值不变。
（二）求比值
1、求比值：用比的前项除以比的后项
（三）化简比
1、化简比：用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，在把分数比值改成比。
（四）比的应用
1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或这几个数量是多少？
例如：六年级有60人，男女生的人数比是5：7，男女生各有多少人？ 题目解析：60人就是男女生人数的和。解题思路：第一步求每份：60÷（5+7）=5人
第二步求男女生：男生：5×5=25人 女生：5×7=35人。
2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？
例如：六年级有男生25人，男女生的比是5：7，求女生有多少人？全班共有多少人？ 题目解析：―男生25人‖就是其中的一个数量。解题思路：第一步求每份：25÷5=5人
第二步求女生： 女生：5×7=35人。全班：25+35=60人
3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几个数量是多少？
例如：六年级的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7：5，男女生各有多少人？全班共有多少人？
第一步：求出男生比女生人数多几份，7-5=2（份）第二步：求出每份是多少人：20÷2=10（人）
第三步：男生：10×7=70（人）女生：10×5=50（人）全班：70+50=120（人）
4、要求量=已知量×要求量份数/已知量份数
5、比在几何里的运用：
（1）已知长方形的周长，长和宽的比是ａ：ｂ。求长和宽、面积。长=周长÷2×a/(a+b)宽=周长÷2×b/(a+b)
面积＝长×宽
（2）已知已知长方体的棱长总和，长、宽、高的比是ａ：ｂ：ｃ。求长、宽、高、体积
长=周长÷４×a/(a+b+c)宽=周长÷４×b/(a+b+c)高=周长÷４×c/(a+b+c)体积＝长×宽×高
（３）已知三角形三个角的比是ａ：ｂ：ｃ，求三个内角的度数。三个角分别为： 180×a/(a+b+c)180×b/(a+b+c)180×c/(a+b+c)（４）已知三角形的周长，三条边的长度比是ａ：ｂ：ｃ，求三条边的长度。三条边分别为： 周长×a/(a+b+c)周长×b/(a+b+c)周长×c/(a+b+c)
第七单元 百分数的应用
一、百分数的基本概念 1．百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位。2．百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的25％。
衬衫的棉的含量是75％，其中75％表示棉的含量是衬衫总质量的75％
二、百分数应用题
类型一 【求百分率】 对应百分利率=对应量÷单位“1”（1）谁是谁的百分之几
前面的数÷后面的数
（2）谁比谁多百分之几（或少百分之几），即求增加百分之几？减少百分之几？
相差量÷单位“1”
类型二 【求对应量】 对应量=单位“1”×对应百分率（1）求增加量（减少量）
增加量＝原来的量×增加的百分数 减少量＝原来的量×减少的百分数（2）求现在的量
方法一：现在的量＝原来的量+增加量 或 现在的量=原来的量-减少量 方法二：现在的量=原来的量×（1+增加的百分数）
或现在的量=原来的量×（1-减少的百分数）
类型三 【求单位“1”】 单位“1”=对应量÷对应百分率 或 用方程解（1）求原来的量（现在是原来的百分之几）
原来的量=现在的量÷百分之几
（2）求原来的量（现在比原来增加百分之几或现在比原来减少百分之几）
现在比原来增加百分之几：原来的量=现在的量÷（1+百分之几）
现在比原来减少百分之几：原来的量=现在的量÷（1-百分之几）（3）已知对应量，不知对应百分率
比如：一条公路，修了25%，还剩18千米，这条公路全长多少千米？
解题思路：18千米表示剩下的长度，它的对应百分率是未知的，所以要先求出修了的长度占全长的百分之几，再用除法计算。18÷（1-25%）=24（千米）
比如：小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，第一天比第二天多看20页，这本书一共有多少页？
解题思路：20页表示第一天比第二天多看的页数，它的对应百分率是未知的，所以要先求出第一天比第二天多看全书（单位“1”）的百分之几，再用除法计算。20÷（25%-20%）=400（页）
（4）有时候可以画图，分析清楚题意后再做题会事半功倍。
三、常见应用题
（一）1、45立方厘米的水结成冰后，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，已经知道是45：增加的部分不知道，可以利用50减45求得5；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米 第二步：增加的部分：50—45=5立方厘米 第三步：增加百分之几：5÷45=11.1% 2、45立方厘米的水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，已经知道是45：增加的部分是5立方厘米；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米 第二步：增加的部分：5立方厘米 第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
3、水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，不知道但可以根据题目―水结成冰后，体积增加了5立方厘米‖知道水是少的，冰是多的，所以可以用50—5求出水是45立方厘米。加的部分是5立方厘米；；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位1：水：50—5=45立方厘米 第二步：增加的部分：5立方厘米 第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
4、―减少百分之几与增加百分之几‖的解题方法完全相同。
5、与增加百分之几相同的还有―多百分之几‖―提高百分之几‖―增长百分之几―等。与减少百分之几相同的还有―少百分之几‖―降低百分之几‖―节约百分几‖等。
三、常见应用题
（二）比一个数增加百分之几的数，比一个数减少百分之几的数。
1、矣得小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年增加了25%，今年有多少名学生？
解题思路：单位1去年已经知道用乘法，增加用（1+25%）算式：80×（1+25%）
2、矣得小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年减少了25%，今年有多少名学生？
解题思路：单位1去年已经知道用乘法，减少用（1-25%）算式：80×（1-25%）
3、矣得小学今年有100名学生，比去年增加了25%，去年有多少名学生？ 解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用（1+25%）算式：100÷（1+25%）
4、矣得小学今年有100名学生，比去年减少了25%，去年有多少名学生？ 解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用（1-25%）算式：100÷（1-25%）
四、常见应用题
（三）列方程解百分数应用题
1、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，第一天比第二天多看20页，这本书一共有多少页？
解题思路：单位1一本书不知道，可以选用方程或除法来解答。
根据―第一天比第二天多看20页‖可以知道第一天是多的，第二天是少的，第一天减去第二天等于多出的20页。
等量关系式：第一天看的页数—第二天看的页数=20页 方法1：解：设这本书一共有X页。
由―第一天看了全书的25%‖可以知道第一天等于全书乘以25%，用X可以表示为25%X，由―第二天看了全书的20%‖可以知道第二天等于全书乘以20%，用X可以表示为20%X.依据等量关系式―第一天—第二天=20页‖可以列方程为：25%X—20%X=20 方法2：―第一天比第二天多看20页‖可以知道20页是第一天和第二天的差。要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。列算式为：20÷(25%—20%)
2、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，两天共看了20页，这本书一共有多少页？
等量关系式：由―两天共看了20页‖可以知道第一天+等二天=20页。方程法：解：设这本书共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。方程列为：25%X+20%X=20 算术法：由―两天共看了20页‖可以知道20页是第一天和第二天的和，要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。列算式为：20÷(25%+20%)
3、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，还剩20页，这本书一共有多少页？
等量关系式：一本书的总页数—第一天看的页数—第二天看的页数=20页 方程法：解设这本书一共有X页 列方程为：X—25%X—20%X=20 算术法：20÷（1-25%X-20%）
4、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天比第一天多看10页，还剩20页，这本书一共有多少页？
方程法：解设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为（25%X+10）页。列方程为：X—25%X—（25%X+10）=20
五、常见应用题
（四）利息的计算 1．本金：存入银行的钱叫做本金。2．利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息=本金×利率×时间 3．2008年10月9日以前国家规定，存款的利息要按20％的税率纳税。国债的利息不纳税。2008年10月9日以后免收利息税。所以如无特殊说明，就不再计算利息税。
4．利率：利息与本金的比值叫做利率。5．银行存款税后利息的计算公式： 税后利息＝利息×（１－20％）
6．国债利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间 7．本息：本金与利息的总和叫做本息。8．应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。9．税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。10．应纳税额的计算：应纳税额＝各种收入×税率
例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？
解题思路：要求―本金和利息共有多少元‖应该用本金的2000元加上利息的。解题步骤：第一步：根据―利息＝本金×利率×时间‖算利息 利息：2000×4.14%×5=414元
第二步：本金+利息：2000+414=2414元。
例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？（如果利息按20%来上税）
解题思路：要求―本金和利息共有多少元‖应该用本金的2000元加上利息的。解题步骤：第一步：根据―利息＝本金×利率×时间‖算利息 利息：2000×4.14%×5=414元
第二步：算税后利息：414×（1—20%）=331.2元 本金+利息：2000+331.2=233.2元。
1、看图解题（搞清楚横轴、纵轴所表示的意思，再解题）
2、比赛场次中，如果是循环赛，先搞清楚总共有几个队伍参赛，假设有n个队伍参赛，则比赛场次为n×(n-1)场，即1+2+3+„+（n-1）场；如果是淘汰赛，则比赛场次为（n-1）场，当然，具体题目要具体分析。补充知识点
几何形体周长、面积计算公式
1、长方形的周长=（长+宽）×2C=(a+b)×2
2、正方形的周长=边长×4C=4a
3、长方形的面积=长×宽S=ab
4、正方形的面积=边长×边长S=a×a= a2
5、三角形的面积=底×高÷2S=ah÷2
6、平行四边形的面积=底×高S=ah
7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2S=（a＋b）h÷2
8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2
9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2C=πd=2πr
10、圆的面积=圆周率×半径×半径S＝πｒ²
11、长方体的总棱长=（长+宽+高）×4 长+宽+高=长方体的总棱长÷4
12、正方体的总棱长=棱长×12 正方体的棱长=总棱长÷12
13、长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2
14、正方体的表面积=棱长×棱长×6
数学好玩
常见的量
1、长度单位换算
1千米=1000米 1米=10分米1分米=10厘米 1厘米=10毫米1米=100厘米=1000毫米
2、面积单位换算
1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
3、质量单位换算
1吨=1000千克 1千克=1000克 1克=1000毫克 1千克=1公斤＝2市斤（斤）
4、时间单位换算
1世纪=100年 1年=12月=4个季度 1个季度=3个月 大月（31天）：135781012月 小月（30天）：46911月平年2月有28天，全年365天 闰年2月有29天，全年366天 1昼夜＝1天＝24时 白昼12小时 黑夜12小时 1时＝60分 1分＝60秒 1时=3600秒
5、体积单位换算 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1升=1000毫升 6.人民币换算
七年级上册
第一章 丰富的图形世界
1．生活中的立体图形2．展开与折叠
3．截一个几何体4．从三个不同方向看物体的形状
第二章 有理数及其运算
1．有理数2．数轴3
4．有理数的加法5．有理数的减法
6．有理数的加减混合运算7．有理数的乘法
8．有理数的除法9．有理数的乘方10
11．有理数的混合运算12．用计算器进行运算
第三章 整式及其加减
1．字母表示数2．代数式3
4．整式的加减5．探索与表达规律
第四章 基本平面图形
1．线段、射线、直线2．比较线段的长短
3．角4．角的比较5
第五章 一元一次方程
1．认识一元一次方程
2．求解一元一次方程
3．应用一元一次方程——水箱变高了
4．应用一元一次方程——打折销售
5．应用一元一次方程——“希望工程”义演
6．应用一元一次方程——追赶小明
第六章 数据的收集与整理
1．数据的收集2．普查和抽样调查
3．数据的表示4．统计图的选择．绝对值 ．科学计数法．整式 ．多边形和圆的初步认识
七年级下册
第一章 整式的乘除
1．同底数幂的乘法2．幂的乘方与积的乘方
3．同底数幂的除法4．整式的乘法
5．平方差公式6．完全平方公式7．整式的除法
第二章 相交线与平行线
1．两条直线的位置关系2．探索直线平行的条件
3．平行线的性质4．用尺规作角
第三章 三角形
1．认识三角形2．图形的全等3．探索三角形全等的条件
4．用尺规作三角形5．利用三角形全等测距离
第四章 变量之间的关系
1．用表格表示的变量间关系2．用关系式表示的变量间关系
3．用图像表示的变量间关系
第五章 生活中的轴对称
1．轴对称现象2．探索轴对称的性质
3．简单轴对称图形4．利用轴对称进行设计
第六章 频率与概率
1．感受可能性2．频率的稳定性3．等可能事件的概率
八年级上册
第一章 勾股定理
1．探索勾股定理2．一定是直角三角形吗3．勾股定理的应用
第二章 实数
1．认识无理数2．平方根3．立方根4．估算
5．用计算器开方6．实数7．二次根式
第三章 位置与坐标
1．确定位置2．平面直角坐标系3．轴对称与坐标变化
第四章 一次函数
1．函数2．一次函数与正比例函数
3．一次函数的图象4．一次函数的应用
第五章 二元一次方程组
1．认识二元一次方程组2．求解二元一次方程组
3．应用二元一次方程组——鸡兔同笼4．应用二元一次方程组——增收节支
5．应用二元一次方程组——里程碑上的数6．二元一次方程与一次函数
7．用二元一次方程组确定一次函数表达式8．※三元一次方程组
第六章 数据的分析
1．平均数2．中位数与众数
3．从统计图分析数据的集中趋势4．数据的离散程度
第七章平行线的证明
1．为什么要证明2．定义与命题3．平行线的判定
4．平行线的性质5．三角形内角和定理
八年级下册
第一章 证明
（二）1．等腰三角形2．直角三角形3．线段的垂直平分线4．角平分线
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
1．不等关系2．不等式的基本性质
3．不等式的解集4．一元一次不等式
5．一元一次不等式与一次函数6．一元一次不等式组
第三章 图形的平移与旋转
1．图形的平移2．图形的旋转3．中心对称4．简单的图案设计
第四章 因式分解
1．因式分解2．提公因式法3．运用公式法
第五章 分式
1．认识分式2．分式的乘除法3．分式的加减法4．分式方程
第六章平行四边形
1．平行四边形的性质2．平行四边形的判别
3．三角形的中位线4．多边形的内角和与外角和
九年级上册
第一章 特殊的平行四边形
1．菱形的性质与判定2．矩形的性质与判定3．正方形的的性质与判定
第二章 一元二次方程
1．认识一元二次方程2．配方法3．公式法
4．因式分解法5．一元二次方程的应用
第三章 相似图形
1．成比例线段2．平行线分线段成比例3．相似多边形
4．相似三角形的判定5．黄金分割6．测量旗杆的高度
7．相似三角形的性质8．图形的放大与缩小
第四章 视图与投影
1．投影2．视图
第五章 反比例函数
1．反比例函数2．反比例函数的图象与性质3．反比例函数的应用
第六章 对概率的进一步研究
1．游戏公平吗2．投针试验3．生日相同的概率
九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
1．从梯子的倾斜程度谈起2．特殊角的三角函数值
3．三角函数的有关计算4．船有触礁的危险吗5．测量物体的高度
第二章 二次函数
1．二次函数所描述的关系2．二次函数的图像与性质3．确定二次函数的表达式
4．最大面积是多少5．何时获得最大利润6．二次函数与一元二次方程
第三章 圆
1．圆2．圆的对称性3．垂径定理
4．圆周角与圆心角的关系5．确定圆的条件6．直线和圆的位置关系
7．切线长定理8．圆内接正多边形9．弧长及扇形的面积
第四章 统计与概率
此类题在中考中往往有起点不高、但要求较全面的特点。常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形和四边形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角函数相结合的综合性试题。同时考查学生初中数学中最重要的数学思想方法如数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想。此类题融入了动态几何的变和不变，对给定的图形(或其一部分)施行平移、翻折和旋转的位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。其特点是：注重考查学生的实验、猜想、证明的探索能力。解题灵活多变，能够考查学生分析问题和解决问题的能力，有一定难度，但上手还是容易的。此类题还常常会以几个小问题出现，相当于几个台阶，这种恰当的铺垫给了考生较宽的入口，有利于考生正常水平的发挥。而通过层层设问，拾级而上，逐步深入，能够使一部分优秀学生数学水平得到体现。数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。
一、函数型综合题
这通常是先给定直角坐标系和几何图形，求(已知)函数的解析式(即在求解前已知函数的类型)，然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。
初中已知函数有①一次函数(包括正比例函数)和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。
求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。
二、几何型综合题
这通常是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点(或动线段)运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，探索研究的一般类型有：①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四边形是菱形、梯形等；③探索两个三角形满足什么条件相似；④探究线段之间的位置关系等；⑤探索面积之间满足一定关系求x的值等；⑥直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程)，变形写成y＝f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f(x)的形式)，当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。
找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似等。求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。
而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求 出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。
师恩
四上全册字词 1-1《师恩难忘》：
感恩 叩拜 配备 学兄 红摹纸 衣襟 炊烟 茂盛 念叨 打扮
情趣 培育 开窍 河畔 拐杖
古稀
仍然 恍然大悟 戛然而止 起承转合 娓娓动听 身临其境 引人入胜 恭恭敬敬 出口成章 妙笔生花
1-2《孔子和学生》：
家境
富裕 愚笨
选择
包罗 敬重 勇敢 及格 严谨 庄重
迷惑
谦虚
忍让
谨慎
严肃 尊敬 优点 河畔 有教无类
因材施教 和颜悦色 妙笔生花 出口成章 远近驰名 十年树木，百年树人
有心栽花花不开，无心插柳柳成荫 开卷有益1：一副样子 叮咛 鞠躬
稀奇
2：年龄 尽管
幽默
哄堂大笑
友谊 钻研
逻辑
推移 点燃 探索 敬佩 简
朴 遗憾
名言：子曰：“三人行，必有我师焉。择其善者而从之，其不善者而改之。”
子曰：温故而知新，可以为师矣。“
弟子不必不如师，师不必贤于弟子，’---唐 韩愈
吾爱吾师，吾更爱真理。----古希腊 亚里士多德
春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干。李商隐《无题》
落红不是无情物，化作春泥更护花。第二单元：《古诗二首》
2-1： 鸟鸣涧 唐 王维
人闲桂花落，夜静春山空。月出惊山鸟，时鸣春涧中。
暮江吟 唐 白居易
一道残阳铺水中，半江瑟瑟半江红。可怜九月初三夜，露似真珠月似弓。
鸣笛
桂花
暮色
残疾 残缺 铺床
可怜 起初 山涧 2-2《走月亮》：
洱海
淘洗
月盘 柔和
牵挂
溪水
鹅卵石
运载 花瓣
葡萄 风俗 浇灌
蒲公英
沉甸甸 银毯 稻穗
田埂 招待
温暖
气息
闪闪烁烁 沟水汩汩 月影团团 坑坑洼洼
2-3《飞向月球》：
径直 奔赴 仪器 悬挂 检查
联络
缘故 塑料 牙膏 颗粒
飘浮 觅食 捕捉
呈现
棕色
耀眼 光芒 荒原 登月
宫殿
耸立 分析 研究
白茫茫
训练有素 小心翼翼 心驰神往 巨石嶙峋 含“月”“明”的成语
月光如水 月朗星稀 日月如梭 日积月累 水中捞月 披星戴月 闭月羞花 花好月圆 岁月蹉跎
明知故问 明目张胆 光明磊落 深明大义 清风明月 掌上明珠 耳聪目明 柳暗花明 正大光明
春江花月夜 唐 张若虚
月夜忆舍弟 唐杜甫 江天一色无纤尘，皎皎空中孤月轮。
戍鼓断人行，边秋一雁声。江畔何人初见月，江月何年初照人。
露从今夜白，月是故乡明。带“月”名句： 春风又绿江南岸，明月何时照我还。
明月几时有，把酒问青天。
第三单元
3-1《爱我中华》： 星座
民族
健儿
步伐
建设
汇合雄姿英发 3-2《草原》：
明朗 一碧千里
小丘
柔美
渲染
云际
勾勒
翠色欲流
境界
既然 低吟 骏马 洒脱 迂回
疾驰 襟飘带舞
彩虹
豆腐
拘束
老翁
羞涩
摔跤
舞蹈
舒服
蒙汉情深何忍别，天涯碧草话斜阳。会心的微笑 奇丽的小诗 走了许久，远远地望见了一条迂回的明如玻璃的带子。河！3-3《中国结》：
受宠
饰物 装饰 橱窗
旅游 白发苍苍 华侨
甚至 典雅 造型 杰作 风韵 装点 纠缠 编织
巧夺天工 生肖 叹为观止 象征 智慧 图腾 烘托 祥和 憧憬 饱含 曲折 缠绕 不离不弃
炎黄子孙
渗透
传递 神韵 饱和 围绕
中华儿女同根生，这根绳子扯得再远，也离不开它的“头”。这个“头”就是自己的祖国，自己的家乡。它带着东方的神韵，渗透了既古老又现代的文明，像世界传递着祥和和喜庆。
开卷有益《做客喀什》
1：张灯结彩
琳琅满目
和好如初
尊老爱幼
和睦相处 精致 灯火辉煌 汹涌澎湃
热情奔放 不由自主 手舞足蹈 滑稽
载歌载舞
名副其实
谚语：语言是花苞，行动才是果实；决心是种子，实干才是肥料。
---维吾尔族谚语
要想找到珊瑚和玛瑙，就得下到大海里；要想找到宝石和碧玉，就得翻过万水千山。
裕固族谚语
九月九日忆山东兄弟 唐 王维
独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲。遥知兄弟登高处，遍插茱萸少一人。第四单元
4-1《落花生》： 隙地
荒芜 开辟
收获 品尝
吩咐
居然
固然 石榴
羡慕
偶然
瑟缩 分辨 体面
夜阑
体会： 人要做有用的人，不要做伟大、体面的人。
4-2《拾穗》：混合 弥散
麦垛
妇女 麦穗
肩膀
套袖
手臂
弯腰
攥着 承担
增加 晚餐 搜寻
增添
麻利
遵循
浪费 描绘
切身
逼真
联想 埋头苦干 手脚麻利 遵循传统
米勒 19世纪法国画家，作品有《拾穗》《播种者》《晚祷》。由于他对劳动的辛苦有切身的感受，因此《拾穗》这幅画画得十分逼真，充满对农民的理解和同情。
这幅画有远景，有近景，远景和近景相配合。认真地欣赏画面，会使我们产生丰富的感受和联想。
开卷有益：《柚子树下》
青葱葱 嫩生生 根深叶茂
结结实实
一盏盏
望洋兴叹 津津有味 碧波粼粼
惬意
平平稳稳 老老实实
眺望 硕大 鼓足勇气 勇往直前 摇曳 安慰
硕果 致谢 风风雨雨 苍茫
酸甜苦乐
书湖阴先生壁 宋 王安石
西江月 宋 辛弃疾
茅檐长扫净无苔，花木成畦手自栽。
明月别枝惊鹊，清风半夜鸣蝉。一水护田将绿绕，梁上排闼送青来。
稻花香里说丰年，听取蛙声一片。谚语：播种行为，收获习惯；播种习惯，收获性格；播种性格，收获命运。
七八个星天外，两三点雨山前。
旧时茅店社林边，路转溪桥忽见
第五单元
5-1《飞夺泸定桥》：
大渡河
水流湍急 高山峻岭 妄想 一夫当关，万夫莫开 阻拦
诡计 关键
翻山越岭 击溃
阻击 漆黑
饥饿
疲劳
倾盆大雨 泥泞 索性 喉咙
瓢泼 心惊胆寒 瀑布
倾泻
震耳欲聋 疯狂 霎时间
震动 千钧一发
革命
奋不顾身
搏斗 狼狈 浩浩荡荡
奔赴 其余 泸定桥 铁链 褐色
5-2《桥之思》：延伸 浮桥
幽静
回旋
别致
魅力 繁华 交叉 巍峨雄伟 浩然坦荡
气势 享受 尊重 谅解
构筑
和谐
装点
开卷有益：千姿百态
瑰丽多彩 雄伟壮观
神态各异
回眸顾盼
矗立 毛骨悚然
笑眯眯
烟熏火燎
寸步不离
不声不响
呼啸
接连不断
北京的桥：十七孔桥 高粱桥 金水桥 卢沟桥
玉带桥
寄扬州韩绰判官 唐 杜牧
青山隐隐水迢迢，秋尽江南草未凋。二十四桥明月夜，玉人何处教吹箫。
第六单元
6-1《美丽的集邮册》： 集邮册 国徽 神圣 游览 庐山 降落 玲珑俊秀 智慧 硕果 壮丽巍峨
雕琢 敦煌
笔墨 能工巧匠
兵马俑
灿烂
朝气蓬勃
歌颂 记录 不朽的杰作
着魔
6-2：邮票
繁忙 昂贵 普及 措施 示范 陈列 捐献 慰问 印制
避免
根据
误解
建议 抵偿 代价 间断 益处 老舍先生说过：“集邮长知识，嗜爱颇高尚。切莫去居奇，赚钱代欣赏。” 开卷有益《罗斯福集邮》
1：至高无上
罕见
不依不饶
出人意料
恍然大悟
读一读：积少成多 聚沙成塔
集腋成裘 滴水成河
跬步千里
有兴趣的人比没有兴趣的人双倍地快乐，因为有兴趣的人同时生活在两个世界里。
第七单元地名
风土人情 锦绣山河 别致 蕴含 记载 变迁 历史 香港
地理山川:
一马平川 千山万壑 亭台楼阁 断壁残垣 大街小巷 星罗棋布 鳞次栉比 城市特点：泉城（济南）春城（昆明）江城（吉林）山城重庆 羊城广州 蓉城成都
开卷有益1：昼夜不停
永不疲乏
永不退缩
2：延年益寿
苍松翠柏
芳草如茵
第八单元
8-1《钓鱼的启示》：
詹姆斯
船坞
鲈鱼
鱼钩
蠕虫
熟练
镇静
遛弯
欣赏
赞许 筋疲力尽 压抑 允许
抗议
沉甸甸
悲哀
道德
教诲
实施
诱惑
清晰
骄傲 据为己有
8-2《谁说没有规则》： 规则
喂饭
狗熊
翻越
围栏
横穿
满不在乎
快捷
垃圾
搁置
顺序
抢座
开卷有益1：万家灯火
呜咽
诺言
省悟
搔痒
气喘吁吁
气冲冲
读一读：不以规矩，不成方圆。《孟子》
只有按照正当的法规生活的人，才不同于动物。俄国 列夫 托尔斯泰
第九单元
9-1《中华民族的最强音》： 奴隶
自豪
油然而生
侵占
魔爪
题材
逮捕
振奋人心
简陋
弹琴
倾注 高昂激越
催人奋进
尤其
侵略
万众一心
勇往直前 迅速
鼓舞 谦逊
嫉恨
警钟长鸣
豁然开朗
检验
气概
居安思危
繁荣富强
9-2《月光曲》： 德国
履行
莱茵河
断断续续
驻足
入场券
蜡烛
清秀
激动
波涛
清幽
温馨
恬静
波涛汹涌
安详 陶醉
芬芳
9-3《林中乐队》：打盹
清脆
咳嗽
呻吟
婉转
蚱蜢
锯齿
喧嚣
竟然
云霄
不折不扣
奏乐
异想天开
琵琶行 唐
白居易
大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私语。嘈嘈切切错杂弹，大珠小珠落玉盘。
凉州词
唐 王翰 葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催。醉卧沙场君莫笑，古来征战几人回。
第十单元
10-1《一枚金币》：懒惰 辛勤
省吃俭用 随便 辩解
傍晚 火炉 坚决
金币 挣钱
收割
庄稼 差（chai)事
筋疲力尽 当牛做马
满头大汗 熊熊大火
10-2《散落的钞票》： 攒(zan)钱
喜气洋洋
列车
钞票
散落 模mu样
歪斜 启动
呼啸 追逐
手疾眼快
尴尬
焦急 一沓 铁轨
遗憾
千恩万谢
拾金不昧
拒绝 夸奖
国旗
迎风飘扬 众目睽睽 一脸木然
支吾 挪开 秋高气爽
10-3《毽子里的铜钱》：烤山薯
黑漆漆
亮晶晶
香喷喷 空落落 热烘烘
挖出 崭新
亏本 一声不响
珍惜
皱纹
撕开 毽子 崭新
心肠
背脊 热烘烘 体谅
栉风沐雨
慈和
谦卑
佝偻
浮现
接纳 风霜
欠缺
语文天地：
读一读： 省吃俭用 当牛做马 手疾眼快 栉风沐雨 心驰神往 能工巧匠 心惊胆寒 安家落户（含近义词）
含反义词:大材小用 口是心非 虎头蛇尾 出生入死 东张西望 七上八下
左思右想 前呼后拥
背一背：1.强不执弱，众不劫寡，富不侮贫，贵不傲贱。《墨子 兼爱中》一粥一饭，当思来之不易；半丝半缕，恒念物力维艰。（清）朱伯庐
3君子爱财，取之有道。《增广昔时贤文》
入京 明 于谦
绢帕麻菇与线香，本资民用反为殃。清风两袖朝天去，免得闾阎话短长。
第十一单元
11-1《“扫一室”与“扫天下”》：志存高远
懒散
拜访
寒暄
灰尘
墙壁
蜘蛛
肮脏
污浊
皱眉
轰轰烈烈
理直气壮
沉思
乱七八糟
11-2《井底之蛙》： 夸耀
攀缘
栏杆 跳跃
窟窿 安然
舒适 分享
倚靠
邀请
辽阔
推移
增多
减少 渺小
瞠目结舌
降低
11-3《“三颗纽扣”的房子》： 钉纽扣
锤子
干脆 门槛
欢天喜地
漆黑 膝盖
接二连三
震动
堤岸 长袍 鞠躬
伸缩
拳头
寡妇
呻吟
周游
堵塞 尽力
来者不拒
搁得下
语文天地 读一读： 1.弃燕雀之小志，慕鸿鹄志高翔。（南朝）丘迟
2.不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海。（战国）荀子
3.勿以恶小而为之，勿以善小而不为。（三国）刘备
第十二单元
12-1《瑞雪图》：即将
西伯利亚
骤然
凛冽
纷纷扬扬
彤云密布
簌簌落落
万籁俱寂
白茫茫 极目远眺
粉妆玉砌
毛茸茸
蓬松松
玉屑
五光十色
彩虹
掷雪球
嬉闹
一幅画
瑞雪丰年
笼罩
幻映
震落
寒流
12-2《下雪的早晨》： 赤脚
竹竿
浓密
蜻蜓
滑冰
抛雪球
开卷有益1：险峻
若隐若现
冰天雪地
蜿蜒
傲然
屹立
脱口而出 2：千姿百态
慢悠悠
预兆
背一背：
忽如一夜春风来，千树万树梨花。（唐）岑参
梅须逊雪三分白，雪却输梅一段香。（宋）卢梅坡
江雪
唐
柳宗元
千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪。
我们知道，每一个自然数都有正因数(因数又称约数)．例如，1有一个正因数；2，3，5都有两个正因数，即1和其本身；4有三个正因数：1，2，4；12有六个正因数：1，2，3，4，6，12．由此可见，自然数的正因数，有的多，有的少．除了1以外，每个自然数都至少有两个正因数．我们把只有1和其本身两个正因数的自然数称为质数(又称素数)，把正因数多于两个的自然数称为合数．这样，就把全体自然数分成三类：1，质数和合数．
2是最小的质数，也是唯一的一个既是偶数又是质数的数．也就是说，除了2以外，质数都是奇数，小于100的质数有如下25个：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97．
质数具有许多重要的性质：
性质1 一个大于1的正整数n，它的大于1的最小因数一定是质数．
性质2 如果n是合数，那么n的最小质因数a一定满足a≤n．
性质3 质数有无穷多个(这个性质将在例6中证明)．
性质4(算术基本定理)每一个大于1的自然数n，必能写成以下形式：
这里的P1，P2，…，Pr是质数，a1，a2，…，ar是自然数．如果不考虑p1，P2，…，Pr的次序，那么这种形式是唯一的．
关于质数和合数的问题很多，著名的哥德巴赫猜想就是其中之一．哥德巴赫猜想是：每一个大于2的偶数都能写成两个质数的和．这是至今还没有解决的难题，我国数学家陈景润在这个问题上做了到目前为止最好的结果，他证明了任何大于2的偶数都是两个质数的和或一个质数与一个合数的和，而这个合数是两个质数的积(这就是通常所说的1+2)．下面我们举些例子．
例1 设p，q，r都是质数，并且
p+q=r，p＜q．
求p．
解 由于r=p+q，所以r不是最小的质数，从而r是奇数，所以p，q为一奇一偶．因为p＜q，故p既是质数又是偶数，于是p=2．
例2 设p(≥5)是质数，并且2p+1也是质数．求证：4p+1是合数．
证 由于p是大于3的质数，故p不会是3k的形式，从而p必定是3k+1或3k+2的形式，k是正整数．
若p=3k+1，则
2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)是合数，与题设矛盾．所以p=3k+2，这时
4p+1=4(3k+2)+1=3(4k＋3)是合数．
例3 设n是大于1的正整数，求证：n+4是合数．
证 我们只需把n+4写成两个大于1的整数的乘积即可．
n+4=n+4n+4-4n＝(n+2)-4n ＝(n-2n+2)(n+2n+2)，因为
n+2n＋2＞n-2n+2=(n-1)+1＞1，所以n+4是合数．
例4 是否存在连续88个自然数都是合数？
解 我们用n！表示1×2×3×…×n.令
a=1×2×3×…×89=89！，那么，如下连续88个自然数都是合数：
a+2，a+3，a+4，…，a+89．
这是因为对某个2≤k≤89，有
a+k=k×(2×…×(k-1)×(k+1)×…×89+1)
是两个大于1的自然数的乘积．
说明 由本例可知，对于任意自然数n，存在连续的n个合数，这也说明相邻的两个素数的差可以任意的大． 4
用(a，b)表示自然数a，b的最大公约数，如果(a，b)=1，那么a，b称为互质(互素)．
例5 证明：当n＞2时，n与n！之间一定有一个质数．
证 首先，相邻的两个自然数是互质的．这是因为
(a，a-1)=(a，1)＝1，于是有(n！，n！-1)=1．
由于不超过n的自然数都是n！的约数，所以不超过n的自然数都与n！-1互质(否则，n！与n！-1不互质)，于是n！-1的质约数p一定大于n，即n＜p≤n！-1＜n！．
所以，在n与n！之间一定有一个素数．
例6 证明素数有无穷多个．
证 下面是欧几里得的证法．
假设只有有限多个质数，设为p1，p2，…，pn.考虑p1p2…pn+1，由假设，p1p2…pn+1是合数，它一定有一个质约数p．显然，p不同于p1，p2，…，pn，这与假设的p1，p2，…，pn为全部质数矛盾．
例7 证明：每一个大于11的自然数都是两个合数的和．
证 设n是大于11的自然数．
(1)若n=3k(k≥4)，则
n＝3k=6+3(k-2)；
(2)若n=3k+1(k≥4)，则
n=3k+1=4+3(k-1)；
(3)若n=3k+2(k≥4)，则
n=8+3(k-2)．
因此，不论在哪种情况下，n都可以表为两个合数的和．
例8 求不能用三个不同合数的和表示的最大奇数．
解 三个最小的合数是4，6，8，它们的和是18，于是17是不能用三个不同的合数的和表示的奇数．
下面证明大于等于19的奇数n都能用三个不同的合数的和来表示．
由于当k≥3时，4，9，2k是三个不同的合数，并且4+9+2k≥19，所以只要适当选择k，就可以使大于等于19的奇数n都能用4，9，2k(k=n-13/2)的和来表示．
综上所述，不能表示为三个不同的合数的和的最大奇数是17．
练习十六
1．求出所有的质数p，使p+10，p+14都是质数．
2．若p是质数，并且8p+1也是质数，求证：8p-p+2也是质数．
3．当m＞1时，证明：n+4m是合数．
4．不能写成两个合数之和的最大的自然数是几？
5．设p和q都是大于3的质数，求证：24｜p-q．
6．设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且
【初中数学定理汇总(北师2011版)】推荐阅读：
初中数学教师资格面试—《勾股定理》教案09-27
教学计划初中数学汇总06-15
初中数学知识点汇总09-28
人教版初中数学教案07-07
新人教版初中数学目录11-10
苏教版初中数学总复习资料有哪些07-10
北师大版数学中考复习06-25
北师大版初中语文教案05-27
