奥数简单不定方程解应用题（精选7篇）
列方程解应用题
（一）列方程解应用题是小学数学的一项重要内容，是一种不同于算术解法的新的解题方法。
传统的算术方法，要求用应用题里给出的已知条件，通过四则运算，逐步求出未知量。而列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系，列出含有未知数的等式，也就是方程，然后解出未知数的值。它的优点在于可以使未知数直接参加运算。
列方程解应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系，从而建立方程。而找出等量关系，又在于熟练运用数量之间的各种已知条件。掌握了这两点，就能正确地列出方程。
列方程解应用题的一般步骤是：
1．弄清题材意，找出未知数，并用x表示； 2．找出应用题中数量之间的相等关系，列方程； 3．解方程； 4．检验，写出答案。例题与方法：
例1． 一个数的5倍加上10等于它的7倍减去6，求这个数。
例2． 两块地一共100公顷，第一块地的4们比第二块地的3倍多120公顷。这两块地各有多少公顷？
例3． 琅琊路小学少年数学爱好者俱乐部五年级有三个班，一班人数是三班人数的1.12倍，二班比三班少3人，三个班共有153人。三个班各有多少人？
华盛教育
例4． 被除数与除数的和是98，如果被除数与除数都减去9，那么，被除数是除数的4倍。求原来的被除数和除数。
练习与思考：
1．列方程解应用题，有时要求的未知数有两个或两个以上，我们必须视具体情况，设对解题有利的未知数为x，根据数量关系用含有x的式子来表示另一个未知数。
2．篮球、足球、排球各1个，平均每个36元。篮球比排球贵10元，足球比排球贵8元。每个排球多少元？
3.一次数学竞赛有10道题，评分规定对一道题得10分，错一题倒扣2分。小明回答了全部10道题，结果只得了76分，他答对了几道题？
4．将自然数1—100排列如下表：
在这个表里，用长方形框出的二行六个数（图中长方形框仅为示意），如果框起来的六个数的和为432，问：这六个数中最小的数是几？
华盛教育
5．拉萨路小学图书馆一个书架上有上、下两层，一共有245本书。上层每天借出15本，下层每天借出10本，3天后，上、下两层剩下图书的本数一样多。上、下两层原来各有图书多少本？
6．甲、乙、丙三个数的和是166，已知甲数除以乙数，乙数除以丙数都是商3余2，甲、乙、丙三个数各是多少？
7．玲玲今年11岁，爷爷今年74岁。再过几年，爷爷的年龄是玲玲年龄的4倍？
8.甲、乙两个养鸡专业户，一共养鸡3000只。乙养鸡专业户卖掉800只鸡后，甲养鸡专业户养鸡的只数正好是乙养鸡专业户剩下的3倍。甲、乙两个养鸡专业户原来各养鸡多少只？
列方程解应用题
（二）这一讲我们继续学习列方程解应用题。列方程解应用题，关键是掌握分析问题的方法，对应用题中数量关系分析得越深刻，所列的方程就越优化，解答起来就越方便。
例题与方法：
例1．六（1）班同学合买一件礼物送给母校留作纪念。如果每人出6元，则多48元；如果每人出4.5元，则少27元。求六（1）班学生人数。
华盛教育
例2．五老村小学体育器材室里的足球个数是排球的2倍。体育活动课上，每班借7个足球，5个排球，排球借完时，还有足球72个。体育器材室里原有足球、排球各多少个？
例3．甲、乙、丙、丁四人共做零件325个。如果甲多做10个，乙少做5个，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以3，那么，四个人做的零件数恰好相等。问：丁做了多少个？
例4．如右图，长方的长为12厘米，宽为5厘米。阴影部分甲的面积比乙的面积大15平方厘米。求ED的长。
练习与思考: 1．妈妈买回一箱库尔勒香梨，按计划天数，如果每天吃4个，则多出24个香梨；如果每天吃6个，则又少4个香梨。问：计划吃多少天？妈妈买回香梨多少个？
2．一架飞机所带的燃料最多可以用9小时，飞机去时顺风，每小时可飞1500千米；返回时逆风，每小时可以飞1200千米。这架飞机最多飞出多少千米，就需要往回飞？
华盛教育
3．某商店库存的花布比白布的2倍多20米每天卖出30米白布和40米花布，几天以后，白布全部卖完，而花布还剩下140米。原来库存这两种布共多少米？
4．一条大鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半。这条大鲨鱼全长是多少米？
5．甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，途中丙与乙相遇2分后又遇到甲。如果每分甲行50米，乙行60米，丙行70米，问：乙比甲早多少分到西镇？
6．供销社张叔叔买回一批酒精，放在甲、乙两个桶里，两个桶都未装满。如果把甲酒精倒入乙桶，乙桶装满后，甲桶还剩下10升；如果把乙桶酒精全部倒入甲桶，甲桶还能再盛20升。已知甲桶容量是乙桶的2.5倍，张叔叔一共买回多少升酒精？
7．一个两位数十位止的数字比个位上的数字扩大4倍，个位上的数字减去2，那么，所得的两位数比原来大58。求原来的两位数。
华盛教育
高中阶段会遇到一些简单的指数方程和对数方程, 教材对这类方程的解法并不展开, 问题主要设置在这类简单的超越方程的解的个数、解的近似值以及已知解的情况求参数的取值范围等方面.这类问题的解决往往可以把方程、函数、曲线三者非常密切的联系到一起, 其中蕴涵着丰富的数学思想、方法和数学美学价值, 同时这类问题的解决过程也易于用计算机或图形计算器加以演示, 运用恰当的方法进行求解, 不仅可以扩大学生知识视野, 丰富学生的数学解题思想和方法, 而且有助于培养学生数学知识的应用意识.本文就简单的指数方程和对数方程的根的相关问题的解法做以探究.
一、运用函数思想, 将方程问题转化为函数问题, 利用函数图象的交点和函数的相关性质 (定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等) 加以解决, 解题过程中主要运用数形结合思想和分类讨论思想.
1.图像法
例1 关于x的方程ax+1=-x2+2x+2a (a>0, a≠1) 的解的个数为 ( )
(A) 1个 (B) 2个
(C) 1个或2个 (D) 3个
思路分析:将已知方程转化为方程组:
的解的问题, 通过对参数a的分类讨论, 分别作出函数y=ax与y=- (x-1) 2+2a的图像, 如图1所示:
因为x=1时, y1=a, y2=2a, a<2a.所以选 (B) .
例2 k为何值时, 关于x的方程|3x-1|=k无解, 一解, 二解?
思路分析:作出函数y=|3x-1|的图像如图2所示, 结合图像可知, 当k∈ (-∞, 0) 时, 方程|3x-1|=k无解;当k∈[1, +∞) 或 k=0时, 方程|3x-1|=k恰有一解;当k∈ (0, 1) 时, 方程|3x-1|=k恰有二解.
用图象法求解方程解的个数问题较多, 一般解法是将方程转化为两个基本初等函数, 从而将方程根的问题转化为方程组的解的问题, 进而通过两条曲线的交点情况作出结论.其中确定两个基本函数是解题的关键, 一般情况下是使两个函数均为基本初等函数或与基本初等函数有关.如方程2|x|+x=2可化为两个函数y=2|x|和y=2-x, 若直接设则难以求解.
例3 已知方程2x-1+2x2-a=0有两解, 则a的取值范围是__.
思路分析:将方程有两解转化为曲线y=2x-1和y=-2x2+a有两个交点, 由图3可知, 前者经过
类似地, 以下方程①sinx=lg|x|;
2.单调性法
将方程转化为左边为一个单调函数, 右边为一个常数的形式, 通过利用函数的单调性确定函数的值域, 进而确定方程的解的个数.
例4 方程3x+4x=5x的解为 ( )
(A) 有且只有2
(B) 有2还有其他解
(C) 有2和一正根
(D) 有2和一负根
思路分析:由于5x>0, 则原方程可化为
又如方程x2+lnx=a解的情况, 可知x∈ (0, +∞) , 此时函数y=x2+lnx为单调增函数, 且其值域为R, 无论a取任何值, 原方程均有唯一正数解, 当然此方程也适合用方法一求解.
3.导数法
例5 ax=logax (a>1) 的解的个数为 ( )
(A) 0 (B) 2
(C) 0或2 (D) 0或1或2
思路分析:方程有两解和无解的情况学生易于理解, 但多数对一解的情形持怀疑态度, 我们不妨利用导数求出曲线y=ax与y=logax (a>1) 相切时交点的坐标.
设两曲线的交点为M (x0, y0) , 由于两函数互为反函数, 可知x0=y0, 又函数y=ax在M点的导数y'|x=x0=ax0lna, 函数y=logax在点M的导数
即当
利用导数的几何意义, 结合函数图象的变化趋势, 以方程有唯一解为界限, 确定方程无解及多解的条件.运用导数知识求解, 可以使学生不仅从直观图象认识方程的解的情况, 更重要的是使学生增强理性认识, 提高学生运用知识解决问题的能力, 培养应用意识.
4.反函数法
利用互为反函数的图象关于直线y=x的对称关系, 求解指数方程和对数方程的相关问题.
例6 已知α是方程x+lgx=3的根, β是方程x+10x=3的根, 则α+β=__.
思想分析:构造三个函数y=lgx、y=10x、y=3-x, 分别作出它们的图像如图6, 知点M (α, 3-α) 为曲线y=lgx与y=3-x的交点, 点M' (β, 3-β) 为曲线y=10x与y=3-x的交点, 由y=lgx与y=10x互为反函数, 二者图像关于直线y=x对称, 又直线y=3-x与y=x互相垂直, 因此点M (α, 3-α) 与M' (β, 3-β) 关于直线y=x对称, 故3-α=β, 即α+β=3.
二、运用化归思想, 通过换元将指数方程和对数方程转化有理方程的相关问题加以解决.
例7 若关于x的方程lg2x+ (lg2+lg3) lgx+lg2lg3=0的两根x1, x2, 则x1x2的值为__.
思路分析:令lgx=t, 则原方程化为t2+ (lg2+lg3) t+lg2lg3=0, 解得t1=-lg2, t2=-lg3, 进而求出
换元法适合于出现关于ax或logax 二次三项式或可化为此形式的指数方程或对数方程, 但须注意检验有理方程的根是否使ax或logax有意义.
又如解方程:lg9x+logx23=1化简得,
三、利用计算机及图形计算器演示含参数的函数图象或用二分法求方程的近似解
借助计算机和图形计算器可以求得各种方程的近似解, 同时新课程标准中增加了二分法求方程的近似根, 此外, 函数、方程、曲线三者的关系, 极易在计算机或计算器上反映出来, 大量观察函数库、图象库、方程库里的藏品, 可以扩大学生视野, 培养数学美学素养, 在此不作赘述.
我们都知道，数学来源于实践又反过来作用于实践。在数学习题中，所谓的实际问题就是应用题，那么，如何能使学生较好地掌握列方程解应用题的方法呢？
在小学时，学生就已学习过用算术法解应用题，到了初中，学习列方程解应用题，要在学生掌握一些数量关系、会用算术方法和解简易方程的基础上来教学。
应用题的算术解法和代数解法的共同点是都以四则运算和常见的数量关系为基础，都需要分析题里已知量和未知量的关系，然后，根据四则运算的意义列式解题。它们的区别主要是解题的思路不同。因此，到了初中，应用题的教学，主要是代数解法代替算术解法，即列方程解应用题。
初一学生初步学习列方程解应用题，应从以下几个方面进行教学。
一、做好教学前的准备工作
列方程解应用题的重点是如何列方程。教学前，可以结合用字母表示数和解简易方程的教学，做好以下准备工作：
1、把给定的条件和数量关系写成含有未知数（x）的式子。
2、根据所给的条件，用字母表示未知量。
3、比较熟练地解一元一次方程
二、引导学生分析应用题的数量关系
在弄清题意的基础上设未知数，找出应用题中数量间的关系，这是使学生学会列方程解应用题的关键。由于学生对算术解法的思路已经比较熟悉，开始学习代数解法很不习惯，可能有的学生受算术解法的干扰，列方程感到困难。为此，教学时要由易到难、由简到繁、循序渐进。开始教学时要选择用方程解明显简便的应用题，以便使学生看到列方程解应用题的优越性；同时，结合例题说明用方程解应用题的特点和步骤，着重说明设未知数x，未知数要参加到列式运算，要根据题意找出数量间的相等关系。
教学时，要强调说明用方程解应用题的思路与算术法的不同：弄清题意后，不要去想用什么方法求得未知量，而是要弄清谁是未知量，设它为x,并让x参加列式和计算；再按题意的叙述找出题中的已知量和未知量有什么样的相等关系；然后按照找出的数量关系，用未知数和已知数表示出来，组成一个等式，即一元一次方程。
三、列方程解应用题的两种思路
根据思维过程的不同，列方程解应用题的思路可以有综合法和分析法。
1、采用综合法列方程，根据题里已知量和未知量的关系，把有关联的量分别组成几个式子，然后再根据题里已知量和未知量之间的数量相等关系把几个式子用运算符号和等号连结起来组成一个等式。
2、采用分析法列方程，就是找出数量间的相等关系，形成一个概括的等式，然后根据题里已知量和未知量的关系分析出能够用已知量和未知量表达这个等式的各个部分的式子，从而列出方程。
3、在列方程的过程中，分析和综合是密切联系的，在教学生初步学习列方程解应用题时要把两种方法都教给他们，让他们熟悉这两种思路，在做题过程中能根据具体问题，灵活使用。
四、培养学生灵活地列方程解应用题的能力
1、注意巩固和发展学生已掌握的列方程解应用题的能力。列方程解应用题，要集中一段时间进行教学，学习完之后，在学习别的数学知识时，也要加以练习和应用。
2、启发学生列出不同的方程。有时一道应用题，数量间有几个相等关系，教学时要鼓励学生列出不同的方程，然后加以比较，找出较好的解法。
3、培养学生灵活地应用算术解法和代数解法。在初中数学中虽然多数应用题都应用列方程解应用题的方法，但是也不否认用算术解法。在教学中，有些应用题可以让学生用这两种解法，比较一下用哪一种比较简单、明了、易懂，然后就选择哪一种，从而形成根据应用题的具体情况灵活地选用解法的能力。
1、小平家距学校2千米，一次他上学走了1千米，想起忘带铅笔盒，又回家去取。这次他到学校共走了多少千米？
2、春天来了，小明、小冬和小强到郊外捉蝴蝶，小明捉了3只，小冬捉了5只，他们一共捉了12只，小强捉了几只？
3、小华和爸爸、妈妈为植树节义务植树，小华植了1棵，爸爸植了5棵，妈妈比爸爸少植2棵，妈妈植了多少棵，他们一共植了多少棵？
4、猫妈妈给小白5条鱼，给小花4条鱼，小白和小花共吃了6条，它们还有几条？
5、草地上有10只羊，跑走了3只白山羊，又来了7只黑山羊，现在共有几只羊？
6.王老师有12元钱，正好买一支钢笔和2个笔记本，如果只买一支钢笔，还剩6元钱，你知道一个笔记本多少钱？
7.日落西山晚霞红，我把小鸡赶进笼。一半小鸡进了笼，还有5只在捉虫，另外5只围着我，叽叽喳喳闹哄哄。小朋友们算一算，多少小鸡进了笼？
8.5个小朋友同时吃5个苹果需要5分钟，照这样，10个小朋友同时吃10个苹果需要几分钟？
9.小华有10个红气球，小花有8个黄气球。小华用4个红气球换小花3个黄气球，现在小华、小花各有几个球？
4x－31＝17 2x－6×4＝32
7x＋2x＝4.5 5.6－2x＝1.2
15x÷4＝30 4(3x－7)＝32
2．根据题意填空．
(1)妈妈买回3千克菜花，她付出5元，找回了0.5元，每千克菜花多少元？
等量关系：( )－( )＝找回的钱
设每千克菜花X元．列方程是：( )
(2)五一班图书有故事书50本，是艺术类书的2倍还多4本，艺术类的书有多少本？
等量关系：( )＋( )＝故事书50本．
设艺术类的书有x本，列方程是( )．
(3)一块三角形地，面积是280平方米，底是80米，高是多少米？
等量关系：( )＝三角形面积
设高是X米，列方程是( )．
(4)一块梯形的面积是450平方米，高30米，上底是15米，下底是多少米？
等量关系：( )＝梯形面积
设下底是x米，列方程是：( )
(5)学校买回8副乒乓球拍，每副a元，买回b副羽毛球拍，每副25.8元．
①8a表示( )．
②25.8b表示( )．
③a＋25.8表示( )．
④8a＋25.8b表示( )．
2、小红和妈妈的年龄加在一起是45岁，妈妈的年龄是小红的8倍，妈妈和小红各多少岁？（列方程解答）
3、妈妈去菜场买了一些牛肉和鸡蛋，买牛肉花了22元，比鸡蛋的4倍还多2元，买鸡蛋用多少钱？（列方程解答）
4、深圳帝王大厦高384米，比世界之窗仿造的埃菲尔铁塔的3倍还多60米，仿造的埃菲尔铁塔高多少米？（列方程解答）
5、文文家还新买了一些电器，电视机和空调共花了8450元，电视机的价格刚好是空调的4倍。电视机和空调各花了多少钱？（列方程解答）
6、公园里柳树和银杏树共240棵，柳树的棵数是银杏树棵数的7倍。柳树和银杏树各有多少棵？（列方程解答）
7、光华实验小学有女教师54人，比男教师的3倍还多9人。这个学校有男教师多少人？（列方程解答）
8、学校合唱队，男生有12人，女生的人数是男生的6倍还多3人，问学校合唱队一共有多少人？（列方程解答）
【关键词】初中数学 未知量关系式 细心
中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.05.178
初中数学是中考中的巨头学科，也是整个中学数学的基础。常规的数学试卷中，往往最难的一道题目就是利用一元二次方程解应用题，这类题目也常常作为初中数学试卷中最难的压轴题目出现。大部分学生都把一元二次方程视为攻克数学最大的障碍，尤其是与信息量大的生活类应用题结合在一起的时候，学生更是加大了对这类题目的恐惧心理，咬牙切齿却又无济于事。
这类题目的解决其实并没有捷径，但是也是有规律可循的。这类题目的逻辑性往往很强，因而只要掌握了解决这类题目的常规思路，就可以轻松运用一元二次方程解答应用题了。
一、找出题目关键词，设出未知量
运用一元二次方程解答应用题时，最关键的一步就是设对未知量。然而应用类题目往往是文字多，信息量大，提取关键词的过程往往会比较困难。尤其这类题目常常出现在整份试卷的最后，时间紧张，学生一看到这么多文字，很难用心去读，草草一读，却发现什么信息都没有获得，于是整个人都慌了起来，这种状态最不利于答题了。
老师可以先从心理上安慰学生，让学生能够沉着、冷静地解答题目。老师应该教导基础相对薄弱的学生不要太看重时间，因为基础相对薄弱的学生很容易紧张，本来就不能高效率地做完一份试卷，如果又因为太看重时间而产生紧张的情绪，就更不利于发挥，拿到的分数一定比预想的还要低。老师要抚慰学生，要让他们保持平静的心态去面对最后一道一元二次方程的应用题。老师要教导学生仔细读题，即使剩余的时间很少也足够他们设出未知量，写出一些基础性的步骤，对于这种压轴的应用类大题，往往是按步骤给分的，只要写出一些关键的步骤，就可以拿到分数的。然而如果学生因为太看重时间而产生紧张情绪，往往不能迅速找出关键词也就不能正确的设出未知量，导致基础步骤的分数都拿不到，分数自然不会太高。
大部分运用一元二次方程解答的应用题，未知量的设定往往隐藏在问题中。这类题目的关键词一般就是问题中要求的某个未知量，学生必须瞪大眼睛，保持沉着、冷静的心态来寻找题目要求的未知量是什么，然后迅速写出假设，解答此类应用题的第一步才算是完成了。
二、寻找未知量与已知量的数学关系，列出方程式
无论是一元二次方程式还是二元一次方程式，都需要找出未知量与已知量的关系，然后根据这个确定的关系，列出方程等式。作为初中数学试卷上要运用一元二次方程来解答的应用题，关键一步就是要利用已知量与未知量之间的关系，列出方程式，才能进行下一步的解答。
学生普遍反映，找出未知量与已知量的关系，并且列出方程式这一步，对于他们来说是最难攻克的一关。其实不然，应用题顾名思义是一种现实中具有应用性的一类题目，往往是蕴含着很多的生活经验。老师可以教导学生根据已有的生活经验，换一个角度来思考这类问题的逻辑性和规律性。例如，学生普遍反映最难的一类题目，即运用一元二次方程来解答拱形桥能否通过船只的问题。这种类型的题目，但从数学的角度来看，画出抛物线对于大部分学生来说，可能很难分析出拱形桥高度与船只宽度的关系，然而老师可以教育学生，从生活的角度出发，回忆已有的生活经验，如何设计桥梁比较合适。例如，船只要用最容易的方法通过拱形桥，只能从拱形桥的最中间位置通过，如果从拱形桥的中间将船只分成两半，那么每一半船只的宽度都是总宽度的二分之一，船只的高度不变，这样拿到坐标系中来看，抛物线就是一半。这样，学生分析一半抛物线比分析一整条抛物线要容易得多。
还有一些利率类的应用题，往往需要根据已知的利率求出累计几年的利息总量或者已知利润求出利率。这时，学生常常会犯迷糊，弄错利息与利润间的关系，忘记将利息平方等等。这类题目中往往会出现很多百分数来迷惑学生，大部分学生一看到百分数就犯晕，不能理解百分数中所蕴含的深层意义。老师需要运用生活经验来让学生明白题目中所说的利率与利润之间的关系，列举银行存钱等具体易懂的例子，让学生逐渐掌握这种题目中所蕴含的实际意义和关系。然后利用利润与利率的关系，列出满足利润与利率关系的数学表达式，即方程式。
其实寻找未知量与已知量的关系没有学生想象的那么复杂和困难，只需要一点点的耐心和细心仔细读题目，然后从字里行间挖掘到两个变量之间的关系即可。列出方程关系的这一步是解题的关键，如果这类压轴题目有步骤分的话，那么列出正确的方程式一定会占有很大的比例。所以老师要教会学生能够有耐心和细心找到题目中蕴藏的变量关系，然后一举攻破此类题目的第一道难关。
三、仔细解答，细心解出一元二次方程，分类讨论
一元二次方程的解法有很多，初中阶段应用类题目中所列的一元二次方程的解法相对容易一点，如果列方程式的过程比较复杂，那么相对于题目的难度来说，方程式的解法一定会比较容易一些。但仍需要学生的耐心和细心。
老师记得提醒学生，解一元二次方程最容易出问题的地方，就是检验阶段。一元二次方程往往会有两个解，而这两个解却不一定都满足题目要求，这个时候需要学生耐着性子进行检验，选择出符合题目要求的正确解。像这类应用型题目，答案往往是个正数。如果学生解答题目的过程中，获得一元二次方程的两个解，其中一个为负数，学生就会轻松地进行对比和处理，舍去负数的解，确定正确的答案。但是如果一元二次方程式的两个解都是正数，那么学生就会很容易漏掉检验的过程，进而影响得分，本来应该得满分的题目却白白丢失了那些分数，着实可惜。
还有一类题目，需要画出坐标轴和抛物线来解决，例如拱形桥与船只的问题。这类题目的坐标轴往往建立在抛物线的最大值处，这样对于题目的处理会简单很多。但是这种题目最后得出的数据往往是个负数，因为所求的部分是在坐标轴的负半轴，因此，老师要提醒学生千万不要忘记将负数转为正数，减少不必要的失分。
【奥数简单不定方程解应用题】推荐阅读：
巧解奥数题10-04
解三角形应用举例简单07-04
简单应用题的启蒙教学11-07
3年级简单应用题带答案07-25
《用数学简单的乘法应用题》教学反思06-28
奥数课教案06-30
小学奥数学案06-25
小学奥数教学总结07-24
小学奥数盈亏问题10-12
初一奥数试题以及答案05-24
