《平行与垂直》的教学反思（精选13篇）
1、创设纯数学研究的问题情境，从数学本身引入新知。
本课开始就直接进入纯数学知识的研究氛围，带领学生先进行空间想象，把两条直线的位置关系画到纸上，然后进行梳理分类。由于学生对直线的特点已有了初步认识，有一定的知识基础和空间想象能力，对两条直线的位置关系也就有了有更丰富的想象，有利于展开研究，而且创设纯数学研究的问题情境有助于培养学生对数学研究产生兴趣，有于用数学自身的魅力来吸引、感染学生，教学反思《垂直与平行教学反思》。
2、以分类为主线，通过学生自主探索，体会同一平面内两直线间的位置关系。
在教学时我们大胆地让学生以分类为主线，通过想像、动手画线，图形反馈，分类、观察、辩析、讨论、验证、归纳等活动，帮助学生在复杂多样的情况中逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，相交中有成直角和不成直角两种情况。通过两次分类、分层理解，提高学生的空间想象能力，培养学生初步的问题研究意识。
3、在操作与想象中培养学生的空间想象能力。
①以黑板为平面想象以及在同一平面内两条直线位置关系的想象，然后画在纸上。想象平面上出现两条直线时，不是让学生直接想象两条直线，而是一条一条地出现，有利于学生想象出更多的两条直线间的位置关系，培养学生的空间想象能力。②对看似两条直线没有相交而实际却相交的情况先让学生进行想象，在画图验证；③对于教师所举例子（不同平面两条内两条直线是否相交）的想象与操作验证。这样做有利于学生得出规律并进一步发展学生的空间想象能力。
4、课堂上及时调整预设使动态生成.课堂教学是在预设中生成，在生成中预设，是在矛盾的统一体中不断优化整合、有效建构、生成发展的。师在教学中，能准确把握预设与生成的关系。当一个学生说出单杠、双杠的支架互相平行时，有一些学生持反对意见。对此，我及时把握这个生成，不是将答案直接告诉学生，而是让学生在小组内讨论，说出自己的见解。通过一翻激烈的讨论，学生产生了思维碰撞的火花。接着我请学生发言，一些学生说出了自己的看法，因为单杠、双杠的支架既在同一个平面内，又不相交，符合了平行的条件，所以它们是平行的。这时，我才指出看两条直线是否互相平行的关键是看它们是否在同一个平面内和是否相交，与两条直线放置的方向无关；同样，看两条直线是否互相垂直的关键是看它们相交所成的角是否直角，与两条直线放置的方向无关。这就打破了学生的思维定势。
1.通过观察、讨论, 感知生活中垂直与平行的现象。
2.初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系, 认识垂直与平行。
3.培养学生的空间观念及空间想象能力, 引导学生合作探究的意识。
【教学重点】
正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念, 发展空间观念。
【教具学具】
课件、三角板、直尺、白纸、彩笔、小棒。
【教学过程】
1.画图感知, 研究两条直线的位置关系
(让学生想象在无限大的平面上两条直线的位置关系)
师 (导入) :我们已经学习过直线、射线和线段三种图形, 谁来说说直线有什么特征?
(生答)
师:老师特别喜欢直线, 因为它没有端点, 可以向两端无限延伸, 想长就长, 想短就短。今天我们继续学习直线的有关知识。
(让学生画出同一平面内两条直线的各种位置关系)
师:我们一块来玩一个有趣的想象游戏!大家拿出准备好的白纸, 把这张白纸当作一个平面, 摸摸这个平面, 然后想象一下, 这个平面变得越来越大, 闭上眼睛接着想象, 越来越大, 变得无限大, 在这个无限大的平面上, 出现了一条直线, 又出现了一条直线, 想象这两条直线的位置是怎样的?请睁开眼睛把两条直线用直尺、彩笔画在纸上。
(学生动手操作)
2.观察分类, 了解平行与垂直的特征
(展示学生画出的各种线条)
师:画完的同学举起来互相看看, 相同吗?
生:不相同。
师:谁愿意把你画的两条直线展示给大家看看?
(学生展示)
师:仔细观察, 你们画的跟他一样吗?如果不一样, 可以补充。
(教师进行分类)
师:同学们的想象可真丰富, 想出了这么多不同的画法, 老师也画了4组直线。
(课件出示4组直线)
师:能把这4组直线分分类吗?互相讨论一下, 可以按什么标准分类?分成几类?
(小组讨论、交流, 探索平行的概念)
师:谁来说说你们把这4组直线分成了几类?谁和谁分为了一类?为什么把它们分为一类?
(学生交流)
师:刚才老师听到一个词“交叉”, 两条直线“交叉”了, 用数学语言应表述为两条直线“相交”了, 请同学们记住“相交”这个词。还有不同的分法吗?
生:我们组有别的分法。
师:给大家说说你们的分法。
生:把①②④分为一组, ③为一组。我们认为的①②④两条直线都是相交的, ③的两条直线是不相交的。
师:同意这样分吗?
生:同意。
生:不同意。
师:为什么?
生:②的两条直线明明没有相交。
师:对啊!这两条直线看起来好像是没有相交, 谁来说明一下。
生:这两条直线现在看起来虽然没有相交, 但直线是可以无限延伸的, 当我们把这两条直线再画长一些, 就可以清楚地看出这两条直线是相交的。
师:把②的两条直线向两端延长一些, 发现什么?
生:看似不相交的直线, 延长后都相交了。
师:那这两条直线, 到底是属于相交还是属于不相交呢?
生:相交。
师:那③的两条直线就一定不会相交吗?现在把这两条直线的两端延长, 相交了吗?
生:没有。
师:那想象一下, 如果把这两条直线无限延长下去, 它们会相交吗?
生:不会。
师:像这种在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线, 也可以说这两条直线互相平行。
师:在这个长方体上画了两条直线?这两条直线互相平行吗?为什么?
生:这两条直线不是互相平行的, 因为它们没在同一平面内。
师:那两条直线互相平行必须具备哪些条件?
生:在同一平面内, 永不相交。
师:生活中有哪些平行的例子呢?能说说吗?
生:黑板的上下两条边互相平行, 地板砖的左右两条边互相平行。
师:同学们真是生活中的细心人, 看下面哪组图形中的两条线互相平行, 为什么?
师:④这两条直线为什么不平行呢?
生:相交了。
师:相交形成了什么?
生:锐角、钝角。
师:形成几个角?几个什么角?
(生探索垂直的概念)
师:两条直线相交还能形成什么角?
生:直角。
师:刚才有谁画的两条直线相交成了直角。
生:我的同桌画的是直角。
师:你怎么知道?
生:用三角板量。
师:同学们真不简单, 知道用科学的方法验证, 让我们一起来量一量, 这两条直线相交成了什么角?
(让学生用三角板的直角去量)
师:这两条直线相交成什么角?
生:相交成直角。
师:两条直线相交成直角, 应画上直角符号。这种在同一平面内相交成直角的两条直线叫做互相垂直, 其中一条直线叫另一条直线的垂线, 这两条直线的交点叫做垂足。
师:生活中有哪些垂直的例子呢?谁来说说?
(生讨论并交流)
师 (小结) :这堂课, 我们研究的就是在同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系, 即垂直与平行。
(引出课题———垂直与平行)
3.深化理解, 应用拓展
(学生回到主题图运动场)
师:一起看看运动场上有哪些地方运用到垂直与平行的知识?
生:双杠的两条横杠互相平行。
生:双杠的横杠和支架互相垂直。
师:同学们通过观察, 找到了运动场上的垂直与平行的现象。
师:认识了垂直和平行, 能用小棒摆一摆吗?
师:拿出一根红色和一根蓝色的小棒, 摆一摆, 使他们互相平行;再摆一根黄色的小棒, 使它跟红色的小棒互相平行, 请仔细观察蓝色的小棒和黄色的小棒, 发现了什么?
裴星童是今年年初从南关区幸福中心校来我校实行“城乡教师捆绑交流”的年轻教师。这节“垂直与平行”一课是她的一节常规课，但从常规中透视出许多不常规的亮点。
她让学生“做中学”“学中思”把枯燥无味的数学知识变成了学生手中的魔方、玩具、手工作品，使学生在动手操作中感悟到了知识的生成，并在生成中动脑思考知识形成的过程与结果。
她通过数学教学培养学生的创造意识。这是许多教师在教学中十分困惑的，觉得学科教学中无法渗透这气思想。可裴老师却抓住“垂直与平行”这一小小的教学内容，潜心挖掘“创造力”资源。
裴老师的亮点还有很多。这里不一一列举。
从裴老师近一年来的成长看，青年教师的成长与环境与领导的重视程度是有很大联系的。可谓给她一缕阳光她肯定会灿烂。而城乡教师捆绑交流则是一个极好的培养提高途径。
长春市树勋小学副校长：金玉茶
教学目标：
1帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊位置关系，初步认识垂线和平行线。
2培养学生的空间观念及空间想象能力。
3培养学生学习数学的兴趣和树立合作探究的学习意识。
教学重点：
正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。
教学过程：
一、复习导入
师：(黑板上有一条直线)你们看到了什么?
生：直线。
师：对了，这可是我们的老朋友了，谁来给大家介绍介绍它?
生：直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可以测量。
生：看来大家对直线已经很了解了，今天，我们继续研究与直线有关的知识。
二、建立表象
1感知
师：每个同学的桌面上都有这样一张白纸(师手举白纸)，我们把它看成一个平面，想象一下，这个面变大了。(能想象出来吗?)好，闭上眼睛，我们一起想象：这个面变大了，又变大了，变得无限大，在这个无限大的平面上出现一条直线，又出现一条直线。你想的这两条直线的位置关系是什么样呢?
2画图
师：睁开眼睛，就在你那个无限大的平面上，把你刚才的想法画出来。(给学生时间画图)
师：画出来了吗?请你们互相欣赏一下，看看谁的想法与众不同!给我欣赏一下好吗?想展示的同学把作品贴到黑板上。
3观察
师：仔细观察，你画的和这些一样吗?如果不一样，可以进行补充。(让学生到前面补充完善)
同学们的想象力可真丰富，画出这么多种情况，能把它们分分类吗?仔细观察。(给学生思考的时间)有想法了吗?在小组内说说你是怎样分的，分类标准是什么?
4分类
师：谁来汇报你分类的情况，并说清楚自己的想法。
生：我分三类：一类是交叉的，一类是快要交叉的，一类是不交叉的。
师：对于他的分法，你们有不同的想法吗?(提示：这可是两条直线呀!)
生：我觉得快要交叉的那几个可以和交叉的那一类放到一起。
师：为什么?
生：因为这是两条直线可以无限延长，如果把这两条直线继续延长后它们就会交叉。
师：你们也这样认为吗?好，我们共同拿起心里的那支笔，用眼睛做尺来画一画。(学生“画”)结果如何?
师：再请一名同学实际画一画。现在我们应该把这些放在哪一组呢? (指快要相交的一组)
(调整成两种分类标准。)
师：还有调整意见吗?从你们的眼神里，我可以看出现在大家的意见比较统一。
经过大家的共同努力，我们发现在同一平面上，两条直线的位置关系有两类，一类是这样：相互交叉，碰头了，还有一个交点。数学上我们叫相交。(板书)
三、分析比较
(一)揭示平行的概念
1理解互相平行
师：看这一组直线相交了吗?
生：没有
师：想象一下，画长点，会相交吗?
生：不会。
师：在长点相交了吗?无限长，会相交吗?
生：永远不会相交。
师：这种情况你们知道数学上叫什么吗?
生：平行(板书)
师：是这一条叫平行? (指其中一条直线)
生：不是
师：这一条? (指另一条直线)
生：不是，是这两条直线互相平行。(板书)
师：你的发言给了我很大的启发。也就是不能孤立的说某一条直线是平行线。
师：能用自己的话理解一下“互相”这个词吗?
生1：我们在平时学习中你帮助我，我帮助你叫互相学习。
生2：我们在生活中你帮助我，我又帮助你叫互相帮助。
2说一说
师生活中你看到过互相平行的现象吗?
生1：黑板上下的两条边互相平行。
师：很会观察。说话也很完整。
生2：马路上斑马线互相平行。
师：眼界真宽!看到教室外面去了。好。
生3：数学书上的等号是互相平行的。
师：真是有心的孩子。在数学符号里发现了互相平行的现象。
生4：老师如果大臂向前看齐，两条胳膊就是互相平行的。
师：是这样吗?(将两手臂往里扣)
生4：不是，太窄了!
师：是这样吗?(将两手臂向外展)
生4：不是，太宽了。
师：那是怎样的呢?
生4：两个手臂间的宽度要一样，差一点也不行!
师：说的好，要想让两臂之间平行，就必须保持两臂之间距离是一样的。这是我们在生活中对平行的理解。那么通过以上讨论，你对平行线有什么想法呢?
生：我认为两条平行线之间宽度应该是相等的，
师：你们也这样认为吗?(生点头)那我们共同验证一下。(量两条平行线之间的宽度)
师：经过我们的共同努力，不仅认识了平行线，还会验证两条直线是不是互相平行的。
3练习
观察下面几组图形，验证一下它们是平行线吗?
(1)展示不同方向的几组平行线。
(2)师画错误的，理解同一平面内。
通过刚才看和做，请你说一说，怎样的两条直线是互相平行的?
小结：在同一平面内，画两条直线出现两种情况，一种是不相交，也就是互相平行，另一种情况是——相交。
(二)揭示垂直概念
1理解互相垂直
师：(指前面两条直线相交的情况)你认为那种最特殊?特殊在哪?
生：两条直线相交成直角，而其他情况相交后成的不是直角，有的是锐角，有的是钝角。
师：你是怎么知道他们相交后形成了四个直角呢?(学生验证：三角板、量角器)(板书：成直角)
师：像这样的两条直线，在数学上也有他的名字你知道叫什么吗?
生：垂直。
师：还有不同意见吗?
生：互相垂直，
师：为什么要加互相呢?
生：象互相平行一样不能单独说某一条直线是垂线。
师：那应该怎样说?
生：其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
师：不仅听得认真，记住了我们前面讲的互相平行，而且能够举一反三!了不起!
2理解相交与垂直的关系
师：(指互相垂直情况)那它是相交家里的成员吗?
生：是，只不过是有点特殊。
师：也就是垂直只是相交里的特殊情况。
3教学垂足
师：在数学上这个交点还有一个好听的名字呢!知道吗?
生：垂足
师：你是怎样知道的?
生：看书。
师：好孩子，在告诉我们这个交点名字的同时还教给我们一种很好的学习方法：预习。谢谢你。
师：能用自己的语言说说什么是互相垂直吗。(学生试说后指名回答)
4说一说
师：生活中我们常常遇到垂直的现象，你能举几个例子吗?(十字路口、医院的十字标志)
师：这节课我们共同研究的是在同一平面内两条直线的两种特殊位置关系：垂直和平行。(板书课题)
四、运用概念，巩固拓展
1小游戏
摆一摆
(1)把两根小棒都摆成和第三根小棒平行。看一看，这两根小棒有什么关系吗?
(2)、把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直。看一看，这两根小棒有什么关系?
五、学习后的反思
师，这节课你有什么收获?
(作者单位：长春市南关区幸福中心校)
1、联系学生的生活实际，让学生体验到生活中处处有数学。我们的数学教学应从学生的数学现实出发，精心营造一个学生熟悉的空间，引导他们发现数学问题，探究数学规律。这节课从本市的大桥入手，以及后面出现的校门，篱笆等等，都是学生在生活中能看见的，通过课件的形象演示，让学生直观看到真实世界中的“平行与相交”，为学生创造了一个研究图形特征和关系的丰富情境，加强了学生的感性认识，有利于学生用身边的数学现象理解数学知识，在探讨、交流、分析中获得数学概念，拉近了抽象的数学概念与生活实际的距离。
2、关注新知的生长点，体现新知动态的生成过程。
在教学中，我紧紧抓住“以分类为主线”展开探究活动，提出“在无限大的平面上同学们想象的两条直线的样子画下来？”“能不能把这几种情况进行分分类？”这样有思考价值的问题，学生通过想一想、画一画、分一分、说一说等多种活动进行观察、思考，逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况。这样教学不仅符合学生的认知规律，而且通过分类，分层理解，既符合学生的认知规律，又有利于提高学生生活实际，让学生从自己的身边发现数学知识，进一步培养学生观察的能力，发现相交与平行现象。
3、研读教材的意图。
教材编写时，一般遵循学科知识的系统性和学生的认知规律，以简练的语言呈现学习内容。学生在教材中看到的往往是思维的结果，而难以看清思维活动的过程。这就需要教师依据教材内容对教学活动进行精心设计和加工，体现数学的思维过程和思想方法。比如画平行线这一内容，教材是通过示意图来介绍平行线的画法，没有说明为什么要这样画，也没有总结画平行线的一般方法。这也是我试教下来比较迷惑的地方。我反思原有的设计思路，上下来不顺的根源在于我对学生用直尺、三角板画平行线这一操作的能力起点的判断不准确。从教学反馈看，学生虽然会模仿书上的画法，但是并不真正理解为什么要这样画，所以只要线条换了个方向，学生就无从下手了。而要画好平行线，关键就在平移。所以在教学画平行线之前，我先让学生在平移的三角形中找出平行线，让学生体会“图形的平移”和“直线的平行”之间的关系，因而，学生就能由此考虑，画平行线时我们必须要平移三角板，从而找出了怎样才能保证平移三角板的方法。学生不仅绘画了，而且理解了为什么要这样画。
小学四年级数学上册平行与垂直教学反思
本节课的内容应是在学生认识了直线、线段、射线的特点，初步认识平行四边形，学习了角的度量的基础上进行教学的。
成功之处：
1.创设变魔术情境，激发学生兴趣，符合数学特点。在小学数学教学中，情境的创设要符合三要素：一是趣味性；二是科学性；三是数学性，不能为了情境而创设情境，进而失去数学的本质。在教学中，我利用学生喜闻乐见的变魔术情境，通过由一条直线变成两条直线，进而变成由两条直线组成的不同的图形。学生既感受到了直线变化的奇妙之处，又没有脱离通过两条直线组成的图形来引入新知，还抓住了两条直线这一关键之处，从而揭示本节课要研究的问题既在同一个平面内两条直线的位置关系。
2.抽丝剥茧，步步为营，分散难点。如何把两条直线组成的图形按照相交和不相交分成两类，学生主要问题出现有两种：一种是把5号和6号图形认为不相交，另一种是2号图形给学生的感觉就是不相交。如何让学生意识到在这个图形的背后还要联系有关直线的特征呢？如何让5号和6号图形认为不相交呢？怎么处理出现的这两个问题呢？在教学中先让学生了解什么是相交，两条直线相交有什么特点？从而让学生正确理解5号和6号图形也是相交，并在此基础上利用直线的特点是向两端无限延伸，虽然学生通常不容易想到2号图形是相交，但是通过让学生画出1、2和7号图形的延长线，让学生在操作中发现1和2号图形就是不相交，而7号图形通过延长相交了，从而得出两条直线的位置关系可以分为两类：一类是相交，另一类是不相交，也为后面的教学铺平了道路。
不足之处：
对于在同一个平面内两条直线的位置关系，在处理上发现学生对于直线无限延伸的理解还没有很好的在头脑中形成印象，这是因为在学习这节课时，跳过了直线、线段和射线的内容教学，所以导致学生在理解上不到位。
再教设计：
1.顺应学生学习内容的衔接，力争把每一个知识点教学到位，不给学生留下知识上的盲点。
——蔡甸二小 林国标
各位老师好！针对今天这堂课《垂直与平行》,我来进行说课。我们知道数学来源于生活，扎根于生活，应用于生活。在《垂直与平行》的教学中，我将始终把握联系生活，提炼生活，并给学生自主探索的空间和机会，让学生在探究中感悟，在探究中发展。我将从以下几个方面进行说课：
一、教材概述
《垂直与平行》是人教版义务教育课程标准实验教科书四年级上册第四单元第一课时的教学内容。它是在学生学习了直线与角的认识的基础上安排的教学内容，是认识平行四边形和梯形以及以后学习几何学的基础，更是培养学生空间观念的基础载体。
二、学情分析
学生通过对直线与角的认识的学习，有了一定的空间想像能力，且垂直与平行这些几何图形在我们的日常生活中应用广泛，学生对其已有许多表象认识。但是，由于学生生活的局限性和空间观念及空间想象能力不够丰富，故而其对垂直与平行中所研究的同一个平面内两条直线位置的相互关系，还未能建立表象，不能完全理解“同一平面”与“永不相交”的本质。为此，需要教师帮助他们解决。
三、目标定位：教学目标由以下三点:
1、学生结合生活情境，通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。
2、在比较、分析、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法，培养学生空间观念及空间想象能力。
3、通过讨论交流，使学生独立思考能力与合作精神得到和谐发展。
四、说重、难点
教学重点是正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。
难点则是正确判断两条直线之间的位置关系（尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解）和对“同一平面”的正确理解。
五、说策略。
1、设计理念：解决“抽象”这一难点的最佳方法莫过于动手操作，我想只有贴近学生生活的才是最易被学生接受的，只有学生亲自动手得来的才是真正理解不易遗忘的。结合我校校本教研提出的“在合作中体验学习的快乐”的先进理念，我在本课的设计中主要体现的是“摆一摆——画一画——想一想——练—练——折一折”的五段式三维教学理念，意图放缓坡度，让学生在潜移默化的学习之中对本知识点做到既能意会又可言传。
３、教法设计：我在教学中主要设计了“摆筷子”和“折纸”两个操作性学习环节，让学生通过动手操作、动笔描绘、动眼观察、动脑思考、动口阐述五个层面的梯度性学习，系统深入地掌握知识，以拉近知识与学生的距离。
４、学法设计：在“摆小棒”活动中，主要是体现开放性动手操作的学习方法，让学生有空间把可能出现的情况全面的展现出来，为
准确地提取和掌握知识点做好充分的准备；在“折纸”活动中，主要是体现多元性动手操作的学习方法，让学生有能力把应该出现的情况全部挖掘出来，并能准确地理解三条直线的特殊位置关系；在学习概念性知识的时候，主要是体现抓住重要词语进行理解的学习方法，让学生通过交流全面掌握所学的知识。
５、教学准备：每生筷子5支、白纸5张、彩笔1支。
三、说过程。
《平行与垂直》教学设计
——蔡甸二小 林国标
教学目标：
1、学生结合生活情境，通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。
2、在比较、分析、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法，培养学生空间观念及空间想象能力。
3、通过讨论交流，使学生独立思考能力与合作精神得到和谐发展。教学重点：
正确理解“同一个平面”“相交”“互相平行”“互相垂直”“平行线”“垂线”等概念，发展学生的空间想象能力。教学难点：
正确判断两条直线之间的位置关系（尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解）和对“同一平面”的正确理解。教学用具：
白纸、尺子、三角板、水彩笔一支、筷子 教学过程：
一、动手操作，画图感知，研究两条直线在同一平面内的位置关系。
1、今天这节课老师请来了一个老朋友，他是一条直线，那么直线有什么特点呢？（没有端点，可以向两边无限延伸）
2、以桌面为平面，动手操作将手中的多根筷子摆出自己喜欢的图案，激发学生的求知欲望。
3、提高要求让学生以桌面为平面，动手将准备好的二根筷子在桌面上摆一摆，看会出现哪几种情况。培养学生的动手操作能力。
4、在纸上画出摆放过程中的两条直线。
每个同学手中都有这样的白纸，现在咱们就把它当成一个无限大的平面，把你刚才的想法摆出的图形画下来。注意，一张白纸上只画一种情况。开始吧。（学生试画，教师巡视）
二、观察分类，了解平行与垂直的特征。
（一）展示各种情况。
师：哪个同学愿意上来把你的杰作展示给大家看看？（学生展示，将画好的图贴到黑板上）
师：仔细观察，你们画的跟他一样吗？如果不一样，可以上来补充！师出示课件帮助学生进一步理解所画两条直线的位置关系。(二)进行分类。
1、同学们的想象力可真丰富，画出了这么多种情况。仔细看看，能把它们分分类吗？
2、你是怎么分的？分小组交流。让学生在合作学习中体验学习的快乐。
3、小组汇报分类情况。老师通过课件与学生进行验证，帮助学生分类。
在分类过程中重点引导学生弄清看似两条直线不相交而事实上是相交的情况。先想象是否相交，再请一两名学生动手画一画，从而达成共识。
三、揭示平行的概念
1、那剩下的这组直线相交了吗？（没有）想象一下，画长点，相交了吗？（没有）再长一点，相交了吗？（没有）无限长，会不会相交？（不会）（边提问边用课件演示）
2、那么，像这样在同一个平面内的两条直线画得再长再长也不会相交，你们知道这种在同一平面内永不相交的两条直线在数学上叫什么吗？我们就说这两条直线互相平行。（板书：互相平行）（学生试说不完整的概念）
3、小结：象这样在同一平面内，永远不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。（课件出示，学生读一读）
4、练习巩固：课件出示让学生找出图形中平行的两条直线。并且借助教室在教室里找平行线加深理解。
四、揭示垂直的概念。
1、咱们再来看看两条直线相交的情况。你们发现了什么？（都形成了四个角）
2、你是怎么知道他们相交后形成了四个直角呢？（学生验证：三角板、量角器）（板书：成直角、不成直角）
3、你认为在这些相交的情况中哪种最特殊？（相交形成了四个直角）
4、你们知道在同一平面内，两条直线相交成直角，在数学上叫什么吗？（互相垂直）什么叫互相垂直？谁能用自己的话说说。（学生试说）课件出示互相垂直的概念，学生读。
5、强调其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。如：
直线A1是A2的垂线，或者说A1垂直于A2，也可以说A2是A1的垂线，或者说A2垂直于A1。
6、强调看两条直线是否互相垂直的关键是看它们相交所成的角是否直角，与两条直线放置的方向无关。
7、练习巩固：课件出示让学生找出图形中垂直的两条直线。
五、练习巩固，深化垂直与平行的理解。
1、你能在运动场上找出平行或垂直的现象吗？（出示主题图）引导深入思考：为什么设计师会这样设计单、双杠呢？
2、生活中我们常常遇到垂直与平行的现象，你能举几个例子吗？（学生举例后教师适当添加学生没想到的例子。）
引导深和思考：“为什么设计师会这样设计楼房？假如楼房不与地面垂直，会怎样？”
3、练习深化：课件出示填空题、判断题等加深学生对知识的理解。
4、小结：通过刚才的学习，我们已经知道了同一平面内两条直线间有两种关系一种是相交，一种是不相交。同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行；如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
5、揭示课题。（板书课题）
六、拓展延伸，发展空间观念。
下面咱们一起来做个游戏，（出示小棒）每根小棒代表一条直线。
1、先摆一根3号的小棒，再摆一根1号小棒，使它与3号小棒平行。再摆一根2号小棒，使它也跟3号小棒平行。仔细观察1号和2号小棒，说说你们发现了什么？（互相平行）看看你摆的是不是互相平行？想象一下，有多少条直线跟3号小棒平行？
2、先摆一根3号小棒，再摆一根1号小棒，使它与3号小棒垂直。再摆一根2号小棒，使它也跟3号小棒垂直。想象一下，有多少条直线跟3号小棒垂直？仔细观察1号和2号小棒，说说你们发现了什么？（互相平行）看看你摆的是不是互相平行？
六、总结:
1、这节课你有什么收获？
2、教师总结全课。
七、布置作业
【片段一】言简意赅, 直入主题意明了
师:直线我们认识过了, 谁来说一说直线有什么特征?
生:直线有两个端点。
生:直线可以向两端无限延长。
师:今天这节课, 我们一起来研究两条直线之间的位置关系。 (板书:两条直线)
师:请同学们在白纸上任意画两条直线。
师:会有哪些情况呢?请先在小组内互相交流、欣赏, 再进行展示。
……
赏析:
上课伊始, 陈老师先让学生回忆直线的特点, 然后直接让学生在一张白纸上任意画条直线。问题设计虽简单, 但却一环扣一环, 清晰明了, 摒弃了现在教师盲目追求的华而不实的外表, 不做修饰, 直入主题。这种干练的教学风格使得学生的思路清晰, 教学的效果扎实, 数学该有的理性也尽在其中, 值得我们深思与学习!
【片段二】亲身体验, 拨开云雾见真知
根据学生的交流汇报, 陈老师收集较有代表性的作品展示在黑板上, 再引导学生在小组内进行讨论:按照作品的相同点如何给它们进行分类。通过观察、讨论, 学生得出了不同的分类方法:
分两大类的:相交和不相交
分三大类的:相交的、快要相交和不相交的
……
师:请同学们观察自己的作品, 把没有相交的两条直线再画长一些, 看看会怎样?
生:我的延长后相交了。
生:我的延长后还是不相交。
师:如果按照相交和不相交来分类的话, 我们要把延长后相交了的放在哪一类?
生:相交的一类。
师:下面哪些同学画的两条直线也是相交关系的, 举起来给大家看看。
师:那些没举起来的作品, 如果我们再延长、再延长……会不会相交呢?你是怎么看出来的?
生:宽窄一样, 距离一样。
师:看来这样的两条直线很特殊哟, 不论怎么延长都不会相交, 在数学里, 我们把这样的两条直线叫做互相平行。 (板书:互相平行)
师:画的两条直线是互相平行的同学请上来展示给大家看看。
师:其他同学画的两条直线就一定是——
生:相交关系。
师:既然是相交关系, 那么它们都会相交成几个角?
生:4个角。
师:请同学们用手中三角尺的直角去量一量相交成的这四个角是什么角。
……
赏析:
这一环节令人赞叹不已, 教学过程环环相扣, 层层递进, 扎实有效, 更为重要的是, 每一环节陈老师都最大限度地把学生推到了主体的地位。从让学生根据作品进行第一次分类, 发现有争议, 再利用工具进行验证到第二次分类, 再在进一步的动手操作中顺势揭示主题——平行与垂直。每一环节就像剥笋似的让学生进行体验学习, 学生不但理清了平行与垂直的概念, 懂得了用“分类”的数学思想去发现问题、分析问题、解决问题, 更体会到了知识的形成过程。整个过程, 所有知识的生成都源于学生之手, 所有知识的提炼都出于学生之口, 学生的作品没有成为摆设, 学生自身也没有成为知识的纯接收者。自始至终, 陈老师都只是扮演着引导者的角色, 让学生在动手操作、亲身体验的学习过程中, 不知不觉地走向了本课的终极知识点, 充分体现了以学生为主体的新课程理念, 使整个课堂成为学生的发展场。
【片段三】巧妙设问, 思维之花齐绽放
师: (指着快要相交的作品) 这两条直线到底会不会相交?
生:会。
师:为什么?
生:因为直线可以向两端无限延长。
师:老师来给它延长试试, 但老师有疑问了, 往哪边延长会好一些, 为什么?
生:……
赏析:
新课改提出:要增强学生发现问题和提出问题的能力, 要重视学生的分析问题以及解决问题的综合能力的培养。课中“老师有疑问了, 往哪边延长会好一些, 为什么?”一出, 犹如一石激起千层浪, 让学生的思维涟漪得以扩散, 思维之花得以绽放。又如认识平行时, “你怎么看出这两条直线没有相交”, 这样一个简单的问题再次让学生的思维在疑惑中得以升华, 而不是仅停留在要延长以后才知有无相交这一水平, 为以后学习平行线之间的距离埋下伏笔。一个又一个诸如此类的问题, 培养了学生发现问题、解决问题、敢于质疑的数学学习习惯, 也提高了学生的观察力、想象力和创造力。数学教学的发展性得到了最好的诠释。
“平行与垂直”是《苏教版小学数学》四年级上册的内容,它是在学生认识了直线的基础上安排的,是深入学习空间与图形的重要基础。考虑到学生已有的认知结构和心理特征,这一课时,我将例1的认识平行线和例3的认识垂直线进行整合教学。
教学目标
1.感知生活中的垂直与平行现象,初步认识平行线和垂直线的本质,理解它们是同一平面内线与线的位置关系。2.引导学生观察、操作、讨论、辨析,培养主动探究的意识,发展空间想象能力。3.创设有序有趣有效的课堂,激发学生的学习热情。
难点:理解看似不相交而实际上相交的现象。
教学过程
一、在生活情境中引入
生活中,我们经常要在墙上贴挂东西,而往往会喊人站在远处帮忙看着正不正,我将这一生活情境再现课堂:“老师要贴一张画在黑板上,同学们帮我看看贴正没有?”接着我抛出一个问题:你是怎么判断这幅画贴“正”了?在学生一番交流后引导他们道出其中的奥秘:原来我们是在参照黑板边线,看画的边线到黑板边线两头的宽窄是不是一样。我将宽窄相同与不同两种情况抽象成图:
“这两组直线到底有什么本质的区别呢?今天我们就来研究同一平面内线与线的位置关系。”在这里我把“同一平面”板书出来并加以直观演示,让学生建立异面直线和平面直线的不同概念。
【设计意图】我这样巧设生活情境,引导学生运用已有的知识和经验进行观察讨论,把生活问题逐步抽象到数学研究的对象上来,唤起学生探究新知的欲望。
二、在自主探究中发现
这一环节是本课的重点,在这里要捋顺两层关系:即同一平面内的直线只有相交和不相交两种情况,关系是对立的;而相交中又有成直角与不成直角两种现象,垂直与相交属于包含关系;并弄清“相交、垂直、平行”三个概念。为此我搭建了三个活动平台:
扔一扔 摆一摆
首先是探究这两组直线的区别,先让学生通过想象延长和操作延长有一个感性认识:一组永不相交,一组会相交。再由学生通过自学去了解平行的定义,解决学生存在的疑问,重点理解互相平行中“互相”的意思。
接着我通过扔一扔,摆一摆的活动,引导学生进行深入探究。
扔一扔:把两根小棒当直线,随意扔在桌面上,判断其可能的位置关系并分析讨论。
经过小组交流,集中汇报以后,形成结论:同一平面内的直线如果不平行就会相交,如果不相交就一定平行。
摆一摆:既然随意扔出平行线的概率很小,那我们就摆一组平行线,在组内介绍摆的好方法,看看别人摆的有什么不同。
总结:直线平行要满足两个条件,即:同一平面,不相交。
【设计意图】这里我抓住重难点和疑点,进行多层次、多方位的设问,把问题引向纵深,启发学生积极思考,有效巩固和深化新知。
画一画 分一分
首先我让学生每人画一组不平行的直线,选择各种有代表性的作品展示出来,组织学生进行分类。最后引导学生观察思考:“到底哪种分法比较合理呢?”由学生自己争辩,达成共识:直线相交时有成直角和不成直角两种情况。
这时我将垂直的基本图形画在黑板上,让学生说说像什么。帮助学生建立表象以后,再让他们自学垂直的定义,了解垂直符号和垂足。
【设计意图】分类活动是开放的,分类结果也是多样的,引导学生在画、分、辩中达成一致,加深了对概念的理解。
说一说 看一看
生活中平行与垂直的现象无处不在,你能说说吗?学生各抒己见以后,我再引领他们进行欣赏。
三、在操作练习中拓展
这一环节,我设计的练习是一折二找三摆。
折,是让学生折出互相平行与垂直的折痕;找:在平面图形中找平行线段与垂直线段;摆:把两根小棒都摆成与第三根小棒互相平行,这两根小棒互相平行吗?把两根小棒都摆成与第三根小棒互相垂直,这两根小棒有什么关系?
【设计意图】这些活动都是学生喜欢的,这样一环接一环,层层深入,使学生进一步巩固了新知,发展了空间观念。
板书:
师：同学们看老师还会变魔术呢，这是什么?(铅笔)，变!又来一枝，呦，掉到地上了，同学们想象一下，这两枝铅笔掉到地上后，它可能形成那些图形呢?下面请同学们独立思考，然后用小棒代替铅笔试一试，摆一摆，看看你们小组有几种摆法，然后小组长组织大家把你们小组摆出的图形贴到这个展示板上，听明白了吗?开始吧!(很多小组的同学都既有分工又有合作)
1、 展示交流
师：哪个小组愿意把你们摆出的图形展示给大家。
师：除了展示摆放的这几种情况，其他小组还有补充吗?(找两名陆续在这个板上贴)
师：(找两个相似的图)只要我们把这两根小棒稍微的变化一下位置他们就成了不同的图形，那我们能摆完吗?
生：摆不完
师：对，因为情况有很多种，我们把这些用小棒摆的图形换下来，选取几个具有代表性的图形，我们一起来研究。(5分)
二、 分类比较 掌握特征
1、分类
师：(幻)你能给这四个图形进行分类吗?怎样分?为什么这样分?(如出现交叉说法应强调是相交并板书相交，它们相交后有一个点叫交点)先别急，请每个同学先认真观察，独立思考，然后和小组的伙伴互相讨论，交流自己的观点，归纳出你们小组的意见好不好?开始吧!(师参与)
师：老师发现小组的`同学都能大胆的和伙伴交流啊，这一点很难得，都有结果了吗?知道怎样分了，知道为什么这样分了?好的，我们请一个小组派一个代表来说说你们小组的观点。其他小组的同学注意倾听，想一想他们的分法和你们的一样吗?
生：生说 (师选两个在屏幕上把结论总结下，如：(12 、34)、(23、14))
师：刚才同学说三号图形是交叉的，谁能告诉我“交叉“我们用数学语言怎么说吗?
生：相交(师板书)
师：三号图形是相交的，那他们就有一个相交的点，知道这个点叫什么名字吗?
生：交点 (四号图形有交吗?)
师：四号图形也是相交的，其他小组还有不同分法吗?
师：他说的有道理吗?同学们不光能说出怎样分，还能说出为什么这样分，这点非常好。
师：在我们日常生活中，很多物体表示的是线段，像刚才我们研究的一枝铅笔，或者一根小棒，所表示的都是一条线段，如果我们把这条线段向两端无限延长的话，这条线段就成了一条直线，我们知道线段是他所在直线的一部分，大家看这条兰色的线段就是这条红色直线的一部分，而直线是可以向两端无限延长的，大家对直线的特征已经非常了解了，那如果说我们刚才的这些线都无限延长，想象成直线的话，现在你认为又应该怎样分呢?还要修改刚才的观点吗?先讨论交流一下好不好?(师参与)
师：好的，都有结论了?(生口答强调2号图形延长后会相交，1号图形不相交，怎么验证它们不会相交呢?)
师：一起来看，2号图形当我们延长以后，它会怎么样?(相交)有一个交点，而1号图形呢?无论怎么样延长都不能相交，看来我们在研究两条直线的位置关系时候，不能光看表面，而且要看它的实质，同学们当我们再对事物进行分类的时候，如果采用不同的分类标准，将会产生不同的分类结果，按照我们今天这节课的需要，如果把这两条直线按照相交和不相交来分的话，你认为应该怎样分，你同意哪个观点?(第3个)
师：也就是说我们把1号图形分为一类，把它单独分为一类是因为它无论怎样延长也不会相交，而下面三个图形呢?(相交)
2、认识平行
师：是啊，根据我们同学们自己的探索研究，我们知道了在同一平面内，两条直线的位置关系，有相交或者不相交，下面我们先来研究不相交的两条直线，如果像这样(黑板画)两条直线，无论怎么延长，它都怎么样(不相交)，我们数学上是怎样描述这样一种位置关系的呢?(课件：我们数学上说在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，(板书：互相平行 你是怎样理解“互相”这一词)其中一条直线是另一条直线的平行线。(板书：平行线)
(1)说一说(出示课件：红蓝两条互相平行的直线)
师：蓝线和红线是互相平行的，红线是蓝线的平行线，蓝线是红线的平行线。(找生说完整)
师：同学们其实我们每天都和平行线打交道，在生活中哪有平行的现象?同学们说的真不少，老师这有一个长方体的模型，你能找到那些边是互相平行的吗?老师也想指两条线可以吗?请大家看这个面上的这两条红线平行吗?为什么?(无论怎样延长都不会相交)。大家仔细看(旋转长方体)，现在他们相交吗?平行吗?哪出问题了?为什么它们既不相交也不平行呢?也就是我们在研究平行的时候要强调一个什么问题呢?(板书：同一平面内)，请同学们看大屏幕。
(2)判断
师：(幻)判断哪组平行，独立思考。
3、认识垂直
师：(幻)下面我们研究什么了?对啊，这里还有三个相交的图形在这等着呢，打算怎么研究，分类是吗?如果我们对这三个图形做进一步分类，你认为可以怎样分呢?为什么这样分呢?要不要和小组的伙伴商量商量?互相说说吧!(师参与询问)
生：说分法，理由
师：大家想一想这些线都是什么线?(直线)都可以向两端无限延长，请大家注意看，这两条直线相交后都形成了(角)几个角(4个)，这些角有特点吗?(23都是锐角和钝角4都是直角，
直角我们怎样验证呢?)好的我们可以用工具来验证下(老师请出三角板)，这个角是直角，那其他三个角都是直角。那数学上对这种(边说边画)两条直线不仅相交而且相交成直角，对于这样一种位置关系，数学上是怎样描述的呢?请大家看书65页默读，数学上对这种两条直线不光相交了而且所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直。(板书：互相垂直)其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫垂足。(幻)你能用一句话说说红线和蓝线是什么位置关系吗?这时候它们的交点有一个特殊的名字叫垂足。
三、 巩固提高
1、找一找、说一说
师：同学们看这是哪啊，(操场)有没有垂直和平行的现象?(两名上黑板找)这么多同学都想说，这样吧，大家打开书64页，小组内看着图找一找，看看哪有垂直和平行的现象。今天这节课，我们一起认识了垂直与平行。
师：刚才同学们在生活中找到很多平行和垂直的例子，在我们学过的几何图形中也有许多互相平行的线和互相垂直的线，你愿不愿意找一找?打开练习纸看清楚题目的要求，独立完成。(习题1)
师(幻)订正
2、折一折
师：刚才我们在学过的图形中找到了垂线和平行线，那如果给你一张长方形的纸，你能折出垂线和平线吗?那大家试试看，折完以后和小伙伴说一说，那些折痕是互相平行的，那些折痕是互相垂直的。
3、摆一摆
把两根小棒都摆成和第三根小棒平行，看看这两根小棒的位置关系怎样?(生动手摆后口答，师同时演示课件)
把两根小棒当都摆成和第三根小棒垂直，看看这两根小棒的位置关系怎样?(生动手摆后口答，师同时演示课件)
四、总结
1、通过自主探究活动，理解平行与垂直这两种特殊的直线间的位置关系，初步认识平行线、垂线。
2、通过观察、操作、讨论、归纳等活动，积累操作和思考的活动经验，发展学生的空间观念，初步渗透法分类的数学思想。
教学重点：正确理解“同一个平面”“相交”“互相平行”“互相垂直”“平行线”“垂线”等概念。
教学难点：理解平行与垂直概念的本质特征。
教学用具：白纸、尺子、三角板、水彩笔、小棒
教学过程
一、导入
1、兴趣引入
2、复习并引出学习主题
师：请大家看屏幕，你看到了什么？
生：直线
师：直线有什么特点？
生：两端可以无限延伸
一、探索两条直线的位置关系
1、由1条直线过度到2条直线
2、小组合作学习
3、展示不同的画法
师：谁能把黑板上的这么多种画法分分类？
师：根据我们刚才的结论，我们把两条直线的关系分为两种，一种是相交的，一种是不会相交的，并且不是暂时的看上去不相交，而是无论怎么延伸也永不相交。
二、平行与垂直
1、平行
师：对于永不相交的一组直线有一个特别的名称。
生：平行线。
生：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
师：平行是指两条或两条以上的直线之间的位置关系，不能单独说一条直线是平行线。
2垂直
师：这两条直线相交成一个什么角？
生：直角。
师：咱们怎么验证它是不是直角？
生：量角器、三角板
师：它有一个特殊的名字，叫什么？
生：垂直
师：一起来读一读什么叫两条直线互相垂直的概念。
三、巩固练习
1、、p57页做一做
2、判断题
3、摆小棒
类型一：直线与平面平行的证明
【例１】 在三棱柱ABCA1B1C1中,A点在底面A1B1C1上的射影是正△A1B1C1的中心.E为侧面BB1C1C对角线BC1上一点,且BE=2EC1,
证明：OE∥平面AA1C1C．
分析 (1) 从“量”上分析:①从BE=2EC1知E是一个三等分点(离C1较近);②从正△A1B1C1,O是△A1B1C1的中心,知O是△A1B1C1的重心,隐含O是B1C1边上中线的一个三等分点,与E点有遥相呼应之感；
(2) 从“形”上分析：由相似三角形的原理知延长CE与B1C1的交点必是B1C1的中点H,从而根据重心知识知A1、O、H共线,这样可形成△A1HC；同时可联想B1C1的中点是建立联系的纽带；
(3) 从方法上分析：应用线面平行的判定定理证明,设法在平面内找到平面外的直线OE的平行线,俗称“找线法”。
证明 连接CE并延长,交B1C1于点H,因为BC∥B1C1,BE=2EC1,所以△BCE∽△C1HE,且BC=2C1H,所以H点为B1C1的中点.
又因为点A在底面正△A1B1C1内的射影点O是△A1B1C1的中心,所以O是△A1B1C1的重心,显然A1、O、H共线.且A1O=2OH.
在△HCA1中,CE=2EH,A1O=2OH,所以△HEO∽△HCA1,所以EO∥CA1.又EO平面AA1C1C,CA1平面AA1C1C,所以OE∥平面AA1C1C．
点拨
(1) 从图形上可联想有一个三角形,过OE且与平面AA1C1C有一条交线,故联想到B1C1的中点；
(2) 在添加辅助线时,易出现错误.如：连CE交B1C1于H点,连A1、O、H等形式的错误；
(3) 除用判定定理证明外,也可以构造平面与平面AA1C1C平行,利用面面平行的性质来证明。
总结:证明线面平行的方法有：定义法、线面平行的判定定理、面面平行的性质定理等方法,常用的是线面平行的判定定理。
类型二：直线与平面垂直的证明
【例2】 已知四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC且BC=2AB=2AD=2,侧面PAD是等边三角形,PB=PC=2,求证：PC⊥平面PAB.
分析 (1) 从“量”上分析：底面的等腰梯形中,可得出其他的基本关系,作AH⊥BC垂足为H,知BH=12,故易知∠ABC=60°,在△ABC中由余弦定理易知AC=3,在△PAC,PA=1,PC=2,AC=3,易知PC⊥PA；在△PBC中,PB=2,PC=2,BC=2，易知PC⊥PB；
(2) 从“形”上分析：应联想到PC应垂直平面PAB中两条相交的直线
PB,PA,AB中的其中两条即可,可联想连接AC,用勾股定理证明；
(3) 从方法上分析：应利用线面垂直的判定定理,
设法在平面PAB内找到与PC垂直的两条相交直线。
证明 由条件易知在△PBC中,PB=2,PC=2,BC=2,故PB2+PC2=BC2，即∠BPC=90°,故PC⊥PB.在等腰梯形ABCD中,
由BC=2AB=2AD=2,得BC=2,AB=AD=DC=1,
作AH⊥BC于点H,得BH=12,所以在Rt△ABH中，∠ABH=60°；
又在△ABC中使用余弦定理知：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=3，
所以在△APC中,PA=1,AC=3,PC=2，满足勾股定理,即∠APC=90°,即PC⊥PA，
由上可知PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P,所以PC⊥平面PAB．
点拨
(1) 本题从找线出发,联想到要证PC⊥PA与PC⊥PB,而PC⊥PA是本题的一个难点；
(2) 本题最终在△APC中利用勾股定理证得PC⊥PA,亦可以通过AB⊥平面PAC,证得PC⊥AB得到。
总结:证明线面垂直的方法有：定义法、线面垂直的判定定理法、面面垂直的性质定理等方法,常用的是线面垂直的判定定理。
恃国家之大，矜民人之众，欲见威于敌者，谓之骄兵。——魏相
类型三：利用线面平行、垂直的性质的探索性问题
【例3】 已知三棱锥PABC中,△ABC是边长为2的正三角形,PC⊥平面ABC,PA=22,E为PB的中点,F为AC的中点,试在线段PC上找一点Q,使得AE∥平面BFQ．
分析
(1) 从“量”上分析：△ABC为正三角形,PA=22,易得PC=2；从而知PB=22；
(2) 从“形”上分析：AE平面PAB,且AE∥平面BFQ；△PBC
为等腰直角三角形；同时可以联想在平面BFQ内有一条与ＡＥ平行的线；
(3)从方法上分析：利用线面平行的性质,通过线面平行得出线线
平行,从而确定Q点的位置。
解 因为△ABC是边长为2的正三角形,所以AC=2；
又因为PC⊥平面ABC,AC、BC平面ABC,所以PC⊥AC,PC⊥BC,所以△PAC为直角三角形,所以PC2=PA2-AC2=4,即PC=2,所以△PBC是以C为直角顶点的等腰直角三角形.不妨在PC上取一点Q,假设满足AE∥平面BFQ,则由线面平行的性质定理,连接CE交BQ于点H,连接HF,作出平面AEC.因为AE∥平面BFQ,
AE平面AEC,平面AEC∩平面BFQ=FH,所以AE∥FH；
显然在△AEC中,F为AC的中点,所以H为EC的中点．
过E作EG∥BQ,交PC于点G；
在△CEG中,HQ∥EG,H为EC的中点,所以Q为GC的中点,故GQ=QC；
在△PBQ中,EG∥BQ,E为BP的中点,所以G为PQ的中点,故GQ=PG；
所以PG=GQ=QC,故Q为PC的一个三等分点且靠近C点；因为PC=2,所以QC=23．
点拨 (1) 取Q点形成平面BFQ,利用线面平行的性质定理得AE∥FH,从而知H为EC的中点；
(2) 在△PBC中求Q的位置,除了用本题的方法外,还可以把△PBC平面化,利用解析几何知识建立直角坐标系,求出Q点的坐标,从而确定Q的位置；
(3) 学理科的同学还可以通过建立空间直角坐标系,通过求Q的坐标,确定Q的位置。
总结:线面平行的探索性问题常用的解题步骤是：(1) 假设点在某处；(2) 利用线面平行的性质得出线线平行；(3) 通过线线平行确定点的位置。
【例4】 已知直三棱柱ABCA1B1C1中,
BC=2AB=2AC=2,CC1=1,D为B1C1的中点,
课题组实验课
执教：舞阳县第二实验小学
郭晓敏
《垂直与平行》教学设计
舞阳县第二实验小学
郭晓敏
教学内容
《义务教育课程标准实验教科书
数学》（人教版）小学数学四年级上册第64，65页。一．教学目标。知识与技能目标：
1、学生结合生活情境，通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。（在自主探究活动中，观察几个较典型的内向型性格学生的表现）
2、在比较、分析、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法，培养学生空间观念及空间想象能力。（继续观察内向型性格学生在数学思维中的动态，并及时加以分析）
3、通过讨论交流，使学生独立思考能力与合作精神得到和谐发展。(讨论阶段，老师有目的的引导内向型性格的孩子积极参与，并在交流时，适当侧重与这些孩子的语言表达。)二．教学重点。
正确理解“同一个平面”“相交” “互相平行” “互相垂直” “平行线” “垂线”等概念，发展学生的空间想象能力。（猜测：内向型性格的学生的空间想象能力会不会有所欠缺呢？）
三．教学难点。
正确判断两条直线之间的位置关系（尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解）和对“同一平面”的正确理解。四．教学用具：
白纸、尺子、三角板、水彩笔一支、小棒
五．教学过程：
一、画图感知，研究两条直线在同一平面内的位置关系。
1、今天这节课老师请来了一个老朋友，他是一条直线，那么直线有什么特点呢？（没有端点，可以向两边无限延伸）
2、想象活动（想象纸面上两条直线的位置关系）老师这儿有一张纸，如果把这张纸看作一个平面，这个面儿无限扩大，闭上眼睛，想象一下，它是什么样子的？在这个无限大的平面上，出现了一条直线，又出现一条直线。想一想，这两条直线的位置关系是怎样的？会有哪几种不同的情况？（学生想象）
3、在纸上画出想象中的两条直线。每个同学手中都有这样的白纸，现在咱们就把它当成一个无限大的平面，把你刚才的想法画下来。注意，一张白纸上只画一种情况。开始吧。（学生试画，教师巡视，重点观察内向型性格学生的动手能力）
二、观察分类，了解平行与垂直的特征。
（一）展示各种情况。
在小组中交流一下，看看你们组谁的想法与众不同？（小组交流，鼓励内向型性格学生积极与同伴交流）
师：哪个小组愿意上来把你们的想法展示给大家看看？（小组展示，将画好的图贴到黑板上）
师：仔细观察，你们画的跟他们一样吗？如果不一样，可以上来补充！(二)进行分类。
1、同学们的想象力可真丰富，画出了这么多种情况。仔细看看，能把它们分分类吗？
2、你是怎么分的？在小组中交流交流。各小组注意做好记录。（小组讨论、交流，适当引导内向型性格学生参与进去）
3、小组汇报分类情况。
在分类过程中重点引导学生弄清看似两条直线不相交而事实上是相交的情况。先想象是否相交，再请一两名学生动手画一画，从而达成共识。三.学习习近平行于垂直
1、揭示平行的概念
（1）那剩下的这组直线相交了吗？（没有）想象一下，画长点，相交了吗？（没有）再长一点，相交了吗？（没有）无限长，会不会相交？（不会）（边提问边用课件演示）
（2）那么，像这样在同一个平面内的两条直线画得再长再长也不会相交，你们知道这种在同一平面内永不相交的两条直线在数学上叫什么吗？我们就说这两条直线互相平行。（板书：互相平行）（学生试说不完整的概念，观察内向型性格学生的口头语言表达能力）
（3）小结： 象这样在同一平面内，永远不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。（课件出示，学生读一读）
（4）你们知道为什么要加“互相”吗？（学生回答）
课件演示，老师强调：平行是两条直线之间的位置关系，可以说直线a与b互相平行，或者说b平行于a.（5）你觉得在这句话中，还应注意哪些词？（同一平面、不相交）“同一平面”是什么意思？（学生讨论）学生发言后师举例帮助学生理解，强调：判断两条直线是否是平行线时“在同一个平面内”和“不相交”这两个条件缺一不可。（6）辨析练习：课件出示，请学生判断并说出原因。（适度给内向型性格孩子展示的舞台）
2、揭示垂直的概念。
（1）咱们再来看看两条直线相交的情况。你们发现了什么？（都形成了四个角）（2）你认为在这些相交的情况中哪种最特殊？（相交形成了四个直角）
（3）两条直线相交成直角，而其他情况相交形成的都不是直角，有的是锐角，有的是钝角。（4）你是怎么知道他们相交后形成了四个直角呢？（学生验证：三角板、量角器，观察内向型性格孩子的灵敏度）（板书：成直角、不成直角）
（5）你们知道在同一平面内，两条直线相交成直角，在数学上叫什么吗？（互相垂直）什么叫互相垂直？谁能用自己的话说说。（学生试说）课件出示互相垂直的概念，学生读。（6）强调其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
直线a是b的垂线，或者说a垂直于b，也可以说b是a的垂线，或者说b垂直于a。
（7）强调看两条直线是否互相垂直的关键是看它们相交所成的角是否直角，与两条直线放置的方向无关。
四、练习巩固，深化垂直与平行的理解。
1、你能在运动场上找出平行或垂直的现象吗？（出示主题图）引导深入思考：为什么设计师会这样设计单、双杠呢？
2、生活中我们常常遇到垂直与平行的现象，你能举几个例子吗？（学生举例后教师适当添加学生没想到的例子。观察内向型性格孩子的反应）引导深和思考：“为什么设计师会这样设计楼房？假如楼房不与地面垂直，会怎样？”、“铁轨为什么要设计成这样，假如不平行，后果会怎样？”„„
3、小结：通过刚才的学习，我们已经知道了同一平面内两条直线间有两种关系一种是相交，一种是不相交。同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行；如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
4、揭示课题。（板书课题）
五、拓展延伸，发展空间观念:
六、总结:
1、这节课你有什么收获？（鼓励内向型性格孩子积极表达自己的想法）
2、教师与学生一起总结全课。
七、作业： 回到家里，和爸爸妈妈一起继续寻找生活中垂直与平行的现象，并研究它们有什么作用？
课后反思：
本节课的教学中，首先在引入环节，课题组设计了让学生闭眼想象的环节，学生想象一个平面无限扩大，再出现两条直线，通过想象，培养了内向型性格孩子的空间想象能力，也让这些孩子的精力一下子集中到了新课上来，还极大的提高了内向型学生们探究的兴趣，一石三鸟。
其次在新授的过程中，课题组一直是让孩子亲自动手去画一画，看一看，分一分，说一说，所有的新知识点都是在孩子们自己探究的基础上得来,这些内向型孩子们学的快乐而且收获颇丰，这也充分体现了数学新课程标准所指出的“数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，这一教育理念。
【教学课题】《垂直与平行》
【教案背景】
《垂直与平行》是人教版义务教育课程标准实验教科书小学数学四年级上册第四单元平行四边形和梯形的第一节课，教学内容在教材的64—65页。它是在学生认识了直线、线段、射线以及角、角的度量等知识的基础上学习的。学好“垂直”、“平行”等概念，不仅为学生以后学习习近平行四边形、梯形以及长方体、正方体等几何形体打下良好的基础，也是培养学生空间观念一个很好的载体。
【学生状况分析】
这个知识点既建立在学生已经学过的直线和角的知识的基础上，同时又要为进一步学好平行四边形和梯形等重要知识打下坚实的基础，在小学数学中的平面几何知识体系里具有承上启下的重要地位。但是学生之前没有学过直线的特点和“同一平面”的理解。这无疑又为学生理解这个知识点设下了障碍。
【教学目标】
1、知识目标:帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。
2、能力目标: 发展空间观念,及空间想象能力。结合生活实际找出平行和垂直的现象。
3、情感目标:培养参加数学活动的积极性,通过活动体验,建立自信心。
教学重点：正确理解“相交”，“互相平行”，“互相垂直”等概念。
教学难点：理解平行的特点。
【教学过程】
(一)活动一：认识直线。直线无限延伸。
1、创设情境，教学两端无限的延长。
激发兴趣,师问：同学们看谁来了？(演示课件：孙悟空)孙悟空有个宝贝叫“金箍棒”，“金箍棒”能千变万化，瞧“金箍棒”现在发生什么变化？生回答：变长了。
师问：它从哪边变长的？生：两边。
师问：如果孙悟空不停地说‘长’，“金箍棒”会长到什么位置？师问：你能用手比划出来吗？生：用手比划。师：你比得完吗？生：（体会）比不出来或比不完。
师：那么我们就说“金箍棒”可以向两端无限的延长。
(动画演示)
〖活动目的：让学生观察体验“两端无限延伸”的意思，提高学生学习数学的兴趣。〗
2、认识直线
师问：数学王国里也有这样的宝贝，（横向）看一条直线，（纵向）这也是一条直线，（斜着）这也是一条直线，直线两端可以怎样？
生答：两端无限延伸。
师评价：同学们说得非常好！
师问：你能判断出那些是直线吗？
〖活动目的：让学生带着问题观察体验直线的特点两端可以向两端无限延伸。为研究两条直线相交或不相交的位置关系做铺垫。〗
(二)活动二：认识同一平面。想象一张纸
师问：老师这有一张纸，我们把这同一张纸看作同一平面（板书：同一平面），想象一下，这个平面变大了，能想象出来吗？太好了！我们闭上眼睛一块来想象一下，准备好了吗？ 生：闭眼想象。
师问：这个平面变大了，又变大了，变得无限大，在这个无限大的平面上，任意画两条直线，会有哪几种不同的情况？
〖活动目的：让学生空间想象两条线在同一平面上的位置关系是怎样的？发展学生空间想象能力〗
(三)活动三：画一画、分一分。
（1）引导学生独立在纸画两条直线。给两条直线位置出现的情况进行分类。
师：想好了吗？睁开眼睛，每个同学手中都有这样的纸，现在咱们就把它当成一个无限大的平面，把你想象的两条直线画下来。注意一张纸上只画一种情况。开始吧！（学生试画，老师在黑板标序号，教师巡视。）
师：画完了吗？把你画的举起来，大家互相看看，画的都一样吗？生：不一样。
师：让老师也看看。都不一样，哟画得多好呀！想贴到黑板上吗？生：想。
（2）收集学生各类的作品，展示各种情况。（让学生把自己画的图贴到黑板上）
①②③④师：瞧，同学们的想象力真丰富，在同一平面内，想象两条直线，竟然出现这没多的情况。真不简单。
（3）根据收集后的作品分组讨论，学生合作分类。老师巡视。
师：仔细看看，你们打算怎样研究两条直线的位置关系，能不能给它们分分类？为了使大家
叙述方便，咱们给它编上号。跟我一起来编吧。
师：你想怎样分？ 生1：长短分。
师：直线可以延长，短的可以延长，直线有没有长短呀？按长短分合不合适？
生2：交叉和不交叉。
师：用数学语言，我们可以说是相交和不相交。（板书：相交和不相交）同意用这个标准分
吗？
师：下面咱们就以小组为单位，讨论讨论，哪几号作品能够分成一类，个小组注意做好记录，把分类结果写在练习本上。
①学生合作分类。
〖活动目的：让学生感受到研究数学可以用分类的方法，分为“交叉和不交叉”用数学语言应该说“相交和不相交”。〗
②教师巡视，指导分类。
③☆展示学生讨论的结果。（强调明显相交、和不相交）
师：请1小组同学上讲台进行分类。
师：那个小组愿到前面分给大家看看。生：汇报。相交的①②，不相交③④⑤
师：给大家讲讲你们分的理由。生：说理由。
师：对于这组的分法，你有没有不同的想法。
生1：5号图是相交的。(看似不相交又相交到底属于哪一类。)
生2：5号图的直线是不相交的。〖学生出现思维碰撞〗
师：说说理由。生：我把直线延长了就相交了。
师：这个同学观点，认为5号作品也是相交的。你们认为呢？生：对。
师：为什么？谁能再说说？
师：大家说能再画长一些吧？为什么？画到这不是到边了吗？生：因为直线是无限长的。师：画到这还可以怎样？生：还可以延伸。
师：谁能在说说?也就是说这幅作品把相交的部分没画出来。那它相交了没有呀？
生：相交了。
〖活动目的：心理学研究表明，如果仅有学习的愿望和行动，但行动结果没有满足感，则难以产生兴趣。因此，让学生体验成功与快乐，获得成就感和满足感，就要大胆鼓励学生质疑和发问。通过质疑，让学生互相产生思维碰撞，通过学生的说理，让所有的孩子都明白像5号图是属于相交的，因为直线可以向两端无限延长。〗
师：那它应该放在哪一类。生：因该把它和相交的放一块。
师：谁还有调整的意见。生：3号图也是相交的。
师：说说理由。生：再延长一点就相交了。
师：谁上来画画试试。请学生延长。
师：这样它就相交了，所以也应该把它归到第相交的那一类。
师：(提升)同学们看，我们把这些作品分成两类。这一类是两条直线相交的。
师：那这一类相交了吗？生：（是、不一定）是不是这两条线画得太短了。
师：有什么办法证明吗？生1：用直尺量。生2：延长直线两端。
师：他说用直尺量量（请学生再解释再量一量）生：量一量，两边都是15毫米。
师：两边都是15毫米。画得再长些会不会相交？生：不会师：为什么？
师：偏一毫米，基本上开不出来，行不行？生：
师：如果偏一毫米，把直线延长再延长，还是会相交，也就是说相交的部分永远存在的。师：也就是说它们偏一点点也不行，两边要一样宽窄。像这样在同一平面内的两条直线画得再长再长也不会相交。（用课件演示：延长两条直线，发现直线永不相交）
师：（揭示概念）像在同一平面内永远也不相交的两条直线，在数学里叫什么吗？生：平行。板书：互相平行
师：谁能用自己的话说说？什么叫互相平行。生：距离不会变。
师：说明它们怎样呢？生：互相平行。
师：评价：说得不错。谁能再说说。生：两条直线永远也不相交。
师：就叫做什么？生：互相平行。
师：请同学们看屏幕，自己读一读吧。（课件：平行概念）
师：那么，这两条直线叫什么呀？生：平行线。
师：你们知道为什么要加上“互相”这个词吗？
生1：因为它是两条线。生2：一条直线就不叫互相。
师：一条直线就不行了，必须是两条或两条以上的，对不对呀。好。
师：刚才我们研究了两条直线不相交的情况，现在咱们来看相交的情况。
师：在两条直线相交的这几种情况里，它们都形成了角。
师：那出现那些角呢？生：直角，钝角，锐角。
师：那幅作品相交成直角呀。生：2号。评价：你研究问题真是严谨。师：你的意思是必须给量量，用眼睛看不行。这种研究态度真是一丝不苟。生：你上来量量吧。
师：他的方法只量一个其他3个都是直角。我们给直角标上直角符号。
师：如果有一点点斜，它是不是直角。生：不是。
师：看来只有2号作品两条直线相交成直角。
师：你们知道在同一平面两条直线相交成直角叫什么吗？生：垂直。
师：叫互相垂直
师：谁能用自己的话说说什么叫互相垂直。（评价：说得太好了）
师：请同学们看屏幕，自己读一读吧。（课件演示垂直概念）
师：继续看屏幕，这条直线就叫做这条直线的垂线。（两条）它们的交点叫垂足。有一个特别的名字叫什么呀？生：垂足
(四)活动四：练习。
1、在书64页主题图中找平行、垂直现象。
师:在咱们运动场藏着很多的平行、垂直现象，谁能找一找，说一说？
师:她指得对不对？师：双杠两根杆互相平行。有谁能找到互相垂直吗？生：说
师:还有谁想说，这么多同学都想说，这样吧！同桌两人说一说。
〖活动目的：学习了概念后，让学生用概念判断运动场上的平行、垂直现象。〗
2、①图形判断。下面那些平行和垂直现象?
师：机灵的孙悟空看到同学们学得这么认真，想来考考咱们，看看咱们是不是真正认识垂直与平行。第一个图谁愿意来？
〖活动目的：用图形判断加深学生对平行和垂直的理解〗
(五)活动五：拓展与延伸，发展空间观念
1、做一做1同学们想一想在生活中还有那些垂直和平行的现象？
演示课件：生活中的例子。让学生到讲台上指一指垂直和平行。
小结：只要你细心观察一定能找到这些现象。
〖活动目的：用图形判断加深学生对平行和垂直的理解〗
2、做一做（每人三根小棒）独立思考，同桌交流，全班汇报。（提升）
下面咱们一起来做个游戏，摆一摆
（1）把两根小棒都摆成和第三根小棒平行。看一看，这两根小棒互相平行吗？观察发现什么规律。
（2）把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直。看一看，这两根小棒有什么关系？观察发现什么规律。
(六)活动六：回顾整节课。今天你有什么收获？
我们今天只是初步认识在同一平面内两条直线的位置关系，即垂直与平行现象。在这两种现象中还蕴藏着非常多的知识，让我们在今后的学习中再去研究吧。
【教学反思】
1．在这节课中，我用孩子们非常喜爱的“孙悟空”的形象贯穿整个教学过程，使教学内容更加鲜明、生动、直观，刺激学生多种感官参与学习，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，从而使学生在充满儿童生活气息的教学氛围中，兴趣昂然地体验、探究有趣的数学。
2、我充分让学生体验了直线特点和同一平面的含义，为更好地帮助学生理解同一平面内的两条直线的位置关系，在引导学生对两条直线会出现的情况进行分类，从分类中理解相交与不相交的含义，然后抽象出平行的概念，又让学生理解“互相”一词的含义，在设计练习时，我注意了练习的层次性，不仅让孩子从图中找出平行与垂直的现象。
3、在课堂上，有些同学认为5号图的直线是相交的，有些同学则不这么认为。当时我立
刻感觉到这是一个引导学生质疑、探索、分析、发现的好机会。我首先肯定了学生能够大胆
说出自己观点的勇气，同时也提议让学生先相互讨论，然后再次发表自己的观点，最后使他们在讨论中达成共识。这一偶发环节不仅掀起了课堂教学中一个小小的高潮，也起到了意想不到的教学效果，使学生更加透彻的理解了“相交”的内涵。通过这次经历，让我感受到，学生大胆的质疑有时会引起他们强烈的好奇心和学习兴趣，使其处于一种“心求通而未得，口欲言而不能”的状态，这时老师若能够顺势点拨其求知的心弦，燃起其智慧的火花，便能激起其求知的欲望，使学生在学会分析问题、解决问题的同时，也让学习在不知不觉中变得轻松而有趣。
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