二项式定理的十大应用（推荐6篇）
一、多数人的共同知觉,才是真正的舆论
舆论是什么?西方有许多定义,比如舆论是民众就他们共同关心或感兴趣的问题公开表达的意见综合(《美利坚百科全书》);舆论是人们对事件发表的意见,以影响人们的思想与行动(《不列颠百科全书》);舆论是公众讨论公共问题的集体行为(维基百科);等等。这类定义指出的仅是这一概念的外延,没有揭示出其内涵,这种语文定义(又称词语定义)是各类词典的定义方法。真正鉴别舆论,必须从学科角度对其内涵和外延一起考察,通常由社会科学辞典做出界说。
西方更多的权威学者考察舆论,重视揭示它的内涵,即多数人是否依据共同知觉表达意见,才是舆论的本质。法国社会学学者古斯塔夫·勒朋1895年在《集群心理学》一书中,用法国大革命民众运动的例子论证了舆论的群体精神,称为“集群心”,即群体对事物的知觉。法国社会学家加布里埃尔·塔尔德1899年在《舆论与群氓》一书中又把群体知觉称作“群集心”。法国学者爱米尔·涂尔干(E.Durkheim)在1897年出版的《自杀论》一书中认为,自杀源于“社会事实”,社会事实是由思想、感情、行为方式、制度、思潮、舆论等价值观、社会规范构成的意识总体。意识总体又可称为集合意识,是社会知觉的另一种说法。黑格尔说:“舆论意味着公众或社会的知觉连同对知觉的估价。”[1]
詹姆斯·杨(JamesT.Yong)1923年在《美国新政府及其工作》一书中认为:“舆论就是一个有自我知觉的群体,就共同关注的问题展开公共性的讨论后得出的社会性判断。”克莱德L.金于1928年在《政府中的公众意见》一文中也认为,舆论是在有意识的理性的公共讨论之后形成的对一个问题的社会判断,而这个问题对于一般的公众来说是重要的,因为这是他们知觉的反映。1933年日本新闻学者长谷川在《舆论与新闻》一文中也曾说:“舆论表示社会是在怎样的知觉状态。”
西方的舆论研究,对其外延的归纳逐步趋于全面,这些外延主要包括:(1)谁的意见,即人们所说的公众;(2)主要论题———特定的、重要状况,事件、人物、政策或争议问题;(3)一致性,公众意见的“充分一致”[2];(4)意见的强度,比如有权威性、有影响力、立场坚定等。
2005年《美国政府》一书对舆论做出最新描述:“公众舆论是一个不易把握的概念,部分原因在于有许多公众,有许多不同的舆论;还由于关于简单而又彼此相关问题的意见,总是倾向于所知不多、不稳定、易于受到民意测验提问方式的影响,但还是大都表明民众的理智性判断。”[3]这些不同范围的舆论有很大区别,但都产生于人们的理智性判断,就是产生于共同知觉。《维基百科》对知觉(perception)的界定是:“客观事物直接作用于感官而在头脑中产生的对事物的整体认识,是一种感知和洞察力。”
人们识别舆论,不是简单考察发表意见的人数的多少,那些被强迫、被诱导、被收买的人即使数量很大,一致意见看上去很热烈,也不是真正的舆论。只有那些发自人们的知觉而作出的判断形成的多数人的一致意见,才是真正的舆论。这个定理用于观察议会表决和民意测验,可以了解民众的真正意愿,揭穿以简单多数冒充民意的种种假象。
二、言论自由是正确舆论形成的前提
公众的自由表达使民智得以汇聚,道德信仰得以建立,也给人们发现真理提供了可能。这意味着,言论自由是正确舆论形成的前提,成为西方舆论学的第二个定理。英国学者约翰·斯图亚特·密尔在1859年出版的《论自由》一书中认为,只有言论自由,公众才能听到更多的意见,从而选择正确的意见。有了言论与思想自由,公众有了表达权,智慧和英明见解才会出现,好的舆论也才会随之形成。詹姆士·富兰克林在1722年指出:“没有思想自由,就不会有智慧;没有言论自由,就不会有公民自由。这是每个人的权利,只要他不伤害或控制他人,这是唯一应受的限制,是他唯一应知道的界限。”[4]美国学者约翰·罗尔斯指出:“即使是在民主政体中,革命性言论也可能会激发各种爆炸性和毁灭性的力量,这些力量潜伏在政治生活的表面平静之下,尚未被人们所认识。一旦它们以无法控制的力量突然爆发,就会横扫一切。然而,如果自由言论得到保证,那些严重的苦情怨恨就不会不为人们所认识,也就不会突然成为高度危险的东西。”[5]因为人们的自由发泄可以减缓怒气,政府也可事先知道它而采取措施预防它的爆发。
在西方学者看来,在人拥有的自由中,使用最频繁的是不受政府干预的言论自由和出版自由,每个人都有权说他们要说的,而且所有人都有权倾听其他人所说的。正是这种自由使他们能够找到一个共同思想,某些意见才能高度一致。罗伯特·达尔在《美国的多元民主:冲突和一致》一书中认为,社会存在着意见的多元性,允许充分的言论自由,从而阻止一个具有持久性和强大的权力中心的出现,但言论自由并不妨害舆论一致。达尔强调:“美国人在一些基本的思想问题上异乎寻常的一致性,从而使社会制度保持稳定。”[6]西方对言论自由的追求和实现,是他们的主要理想,这不仅保证正确舆论的形成,而且也能揭穿任何奴役、丑恶、欺骗和专制对民众的压迫与愚弄。
《舆论学概论》
三、公意永远是公正的
“公意永远公正”,许多人都知道卢梭的这个舆论定理。卢梭在《社会契约论》中的推理是:如果我们撇开社会公约中的一切非本质的东西,我们就会发现社会公约可以简化为如下的词句———“我们每个人都以其自身及其全部的力量共同置于公意的最高指导之下,而且我们在共同体中接纳每一个成员作为全体的不可分割的一部分”。这一结合立刻就产生了一个道德的与集体的共同体,使公共的大我成为人民。如果说个别利益的对立使社会的建立成为必要,那么正是个别利益的一致才使社会的建立成为可能。可见公意永远是公正的,而且永远以公共利益为依归,因为人民总是愿意自己幸福而决不会被腐蚀。[7]
卢梭还把舆论划分为众意与公意,两者之间经常有巨大的差别。公意只考虑公共利益,而众意只是个别意志的总和。美国舆论学者亨尼希(Bernard C.Hennessy)1965年在《公众舆论》一书中认为,人们为了生存,通过自由协议结为共同体,这种自由协议即为最初的约定或公共的意愿。“公意”一词含有“普遍的意志”(general will)、“有机结合的意志”(organic will)的意思,也就是民意。[8]
早在中世纪,“公众的声音就是上帝的声音”流行起来,民意的力量变得越来越强大,被认为就像上帝那样万能和正确,后来在帕斯卡尔、伏尔泰、霍布斯、洛克、休谟甚至莎士比亚和台姆坡的著作里都一再强调。文艺复兴时期,民意有时被形容为奇妙无比的力量,斯密特说:“公众的光亮就是文艺复兴的光亮,一种从迷途、幻影和野心诡计中走出的解放。公意扮演了纯粹的矫正物的作用。”(Schmitt,《议会民主的危机》,p.38,1985)②洛克提出,所有人都要依据感知到他人的言论压力来行事,公意成为人们行为的尺度和标准,这个被寇瑟勒克(Koselleck)称作洛克定律的定理,成为谴责恶行的道德标准和规制(Koselleck:《批判与危机》,p.55,1988)。
在当代,英国社会学者卡尔·波普尔对民意的杂沓、正确与权威性也做了基本肯定。他说:“如果他们(人民)偶尔在一定程度上异口同声,那他们所说的未必就是隽言妙语。他们可能正确,也可能错误。但我还是认为,在vox populi(人民的呼声)的神话中,隐藏着真理的内核。他们常常还是比他们的政府明智,如果不是更明智的话,那也怀有更美好和更慷慨的意图。”(波普尔:《猜想与反驳》,P.495,2001)公意作为人民的愿望和意志,其公正性产生于人民整体利益与要求的正当性。
四、恐惧孤立与追随声势的众意增减律
美国学者布赖沃·史密斯(Brewer Smith)在1970年通过大量实证研究得出一个定理:人们是大声表达观点,还是保持沉默,取决于面对的舆论是否和自己的意见相同并有声势。一个支持者众多的阵营大声地宣讲自己的政治信念,声势浩大,追随的人会越来越多,舆论就会增长;其他小阵营的支持者为了免于被社会孤立,倾向于保持沉默,这种舆论就会越来越低沉和消减。[9]
对这一定理,后来德国学者也得出相似的结论。1973年德国的舆论学者伊丽莎白·诺利·纽曼(Elisabeth Noelle Neumann)发表《重归大众传媒的强力观》一文,她认为,大众传媒在影响公众舆论方面有很强的效果,在具有争议性的问题上,人们试图判断自己的意见是否属于大多数,如果他们发现自己的意见背离民意,就会倾向于对该议题保持沉默。大众传媒突出主导意见,给人们留下深刻的印象,主导意见会不断增强。舆论的形成与增减,主要取决于人们对意见气候的理解,意见气候与个人意见相左,人们则会由于害怕孤立而保持沉默。她把这种舆论现象称作“沉默的螺旋”。1980年她出版专著,对上述观点进行了系统阐述(Neumann,《沉默的螺旋》,p.108,1984英文版)。
这就是恐惧孤立与追随声势的舆论增减律,但它只适用一部分受众,所以本文把它称为众意增减律。自主意识强烈,具有广博知识和信念的人,发表意见并不依据声势或害怕孤立,而是依据个人对议题的知觉。美国学者拉索沙(Lasorsa)在1991年进行的一次调查证实,对政治问题的直言不讳不仅受个人对意见气候感知的影响,同时也受年龄、受教育程度、收入、对政治的兴趣、个人实力的大小、个人与议题的相关性、个人对新闻媒介的使用,以及对其地位是否抱有信心等变量的影响(Lasorsa,《直言不讳的政治》,p.13,1991)。拉索沙认为,人们面对公众舆论,并不都像诺利·纽曼所说的那样无助,沉默的螺旋理论是有局限性的,它只适用一部分公众。
五、舆论领袖左右舆论的流向
舆论不仅受各种事件的影响,而且常被精英人物所左右,很多时候,舆论领袖支配舆论流向。著名传播学者保罗·拉扎斯菲尔德(Paul Lazarsfeld)在《人民的选择》一书中认为,舆论领袖通常可以广泛接触某些方面的信息,不仅可以很快地抓住信息,而且能正确评价这些信息。他们不一定在政府或群体中有一官半职,不一定是专业人员,不一定受过高等教育,在工人、艺术家、学生、家庭主妇、办事员、推销员、出租汽车司机等各种各样的人中都会有社会舆论领袖。他们凭借个人优势,利用人们在社会、政治或经济方面的不满情绪制造舆论,引导人们的意见,决定社会舆论的方向。
美国学者卡兹(Elihu Katz)经过大量调查证明,这一舆论定理是有根据的。他在超过700位的女士受访者中,发现专门的意见领袖似乎都是社会地位高、善于社交的女性。大量民间的社会意见领袖通常是在非正式的、不自觉的情况下扮演引导舆论的角色,这类群体意见领袖没有权威性,却成为交换意见的主动沟通者(Katz,《个人的影响力》,p.46,1955)。美国政治学家V.O.基(Key,V.O.)还发现,政治活动家、领导集团及有影响力的权势人物的观点,左右国家的政策,比民众的思想倾向更易与政府相一致。李普曼认为,舆论领袖容易受到注意,说话的声调更令人信服。公众不仅都受到那些与他们有着亲密联系的群体意见领袖的影响,还受到正式的舆论领袖的影响,如总统、游说者、国会议员或新闻评论员。
斯密特(Schmitt,C.)指出,社会舆论领袖利用大众媒介发挥引导民众的作用,把公共议题变为大众的立场。大众媒体确定了公共议题,显著地引起公众的注意,舆论领袖便把他们的见解转移给大众媒介,大众媒介就会更有效地影响舆论(Schmitt,《议会民主的危机》,p.231,1985)。但那些非理性、背离民众意愿的舆论领袖无法左右舆论,最终还可能受到民众的批评。
六、民众同意是政府合法性的基础
布鲁姆、塞尔茨内克和达罗赤说:“当权力合法时,它便被称为权威。权威来自社会承认或赞同。然而,人们可能不会轻易地给予这种造成合法性权威的赞同,而且它也可能因被操纵而受到歪曲。因此,赞同的本质就成了主要问题,尤其是它是以理性的参与为基础的还是由操纵民意造成的。”[10]根据这一原理,西方的舆论学者和政治家认为,一个政府是否合法,要由民意的赞同程度来确定,又称“多数决”。这一定理,实际是说民主选举产生的政府才是合法的。
《民主新论》
有关“多数决”的概念,卢梭的见解十分深刻。在一般多数(ordinary majority)和绝大多数(extraordinary majority)的行使上,卢梭认为,凡是比较严肃与重要的问题付诸讨论时,越接近全体一致最好,其次,凡是问题需要很快解决的,对于需要通过票数的限制也就愈小,票数的差距小一些,不必太计较。到了问题必须解决的时候,就是一票之差也足够了。前者似乎比较符合法律的观点,后者则偏重现实的考虑。“多数决”如何适度,应配合上述两种考量,以决定适当的比例。[11]
在西方,政府应依民意及民意的代表者同意而产生和运作,但他们也指出:“一个更准确的说法是,政府‘越自由民主’,就越有必要控制民众的思想,以确保他们对统治者的服从。民众必须服从这一点,在各个领域都被看作是理所当然的。在一个民主社会,民众有权表示同意,除此之外就没有任何权利了。用现代进步思想的术语来说,民众是‘观看者’,而不是‘参与者’,除了偶尔可以在各派当权的领导者之间作一些选择,那也只限于政治方面。”[12]今天在西方,民众的同意是政府合法性的基础这一定理还没有完全实现,政党和资本势力实际上支配政府的产生和运作。
七、民意政治就是民主政治
英国学者安德鲁·海伍德(Andrew Heywood)在《政治学》中说:“民主政治就是民意政治,而为实现民意政治,就有代议制度和多数决方法。”这一舆论定理,简洁地把民主归结为听从民意的决定。乔·萨托利在《民主新论》中指出,有大量的证据证明,民主制度若不能成功地逐渐创造出和谐一致的基本共识,就是一个难以运转和脆弱的制度。全民的共识就是民意。有共识才有民主,民众的意见四分五裂,民主就会消失。但在这个定理中还包括另一面,即共识允许不同意见的讨论,保护少数人的意见。这也是民主的基本任务之一。
萨托利在《民主新论》中引用著名政治家的论断说,随着19世纪政党和政党制度的发展,人们逐渐认识到,多元主义的共识或多元的异见,不但适合而且有利于良好的政体。在多元主义的社会和历史观中,异见、反对派、政治争论和竞争等概念,都获得了正面的价值和作用。所以民主理论从其多元主义母体中推论出来的不是、也不可能是对“冲突”的赞美,而是一个多种意见动态交流的过程。基于这样的原则,无论自称为正确或真理的观点是什么,它必须经受批评和异议,从而在一些基本问题上才能达成共识。
K.贝克强烈主张,“一切民主制度的基础和本质”是“受讨论的统治”。这便是各种异议、异见和反对派出现的背景。对这一点几乎无须辩解,只是应当记住,对于政策的异见和对政府的反对,所针对的是统治者,而不是统治的形式。假如针对的是后者,受到动摇的便是基本共识或程序共识,或者两者兼而有之(Baker:《法国革命》,p.312,1990)。这一舆论定理的最终结论是,依据民意解决社会问题是民主的根本,保留异见讨论则是民主的形式。
八、谎言重复千遍被误认为真理
今天的知识界都知道,二战期间希特勒的宣传部长戈培尔(Paul Joseph Goebbels)曾说过一句话:谎言重复千遍就变为真理(a lie told a thousand times becomes the truth)[13]。这已被舆论学者公认为“谎言屡听成真”的定理。当民众不了解事实真相,强大、虚假的信息流反复注入头脑,相当多的公众就会相信一种说法的真理性,其中包含“认知失调”“自发效果”和“多数人效果”的心理机制。
但舆论错觉终有一天会被揭破,这一定理的成立是有时间和范围限度的。戈培尔本人也没有把这一定理视为舆论的固有规律。在纳粹党篡夺德国政权前后,他曾主张:“好的宣传不需要说谎,事实上它不可能说谎,它没有理由害怕真理。相信民众不能掌握真理是错误的,他们能够持有真理,但他们理解真理的方式是另一回事,宣传不能按照群众理解真理的不好的方式进行,因为从长远看这是不能成功的……我们的斗争和我们的宣传有一个最高原则:以事实和真理为我们宣传的基础。”“我们的宣传对象是普通老百姓,因而宣传的论点须击中要害、清晰有力。”[14]
当纳粹政府的战争阴谋和血腥屠杀引起越来越多的人的惊醒和憎恨时,希特勒、戈培尔开始利用屡听成真的舆论定理,大肆鼓吹虚假宣传的有效性,掩盖其战争罪行。此时戈培尔说:“宣传的基本原则就是不断重复有效论点,谎言要一再传播并装扮得令人相信。”“即使一个简单的谎言,一旦你开始说了,就要说到底。”“谎言重复千遍就变为真理。”希特勒也认为:“一般的人,倒不是有意要想作恶,而是本来就人心败坏。他们头脑简单,比较容易上大谎的当,而不是小谎的当。他们自己就经常在小事情上说谎,而不好意思在大事情上说谎。大谎是他们想不出来的,就算是听到弥天大谎,他们也不能想象能有这么大的弥天大谎。”[15]
戈培尔和希特勒之所以肆无忌惮地鼓吹撒谎,是因为在思想专制、言论控制的制度下谎言的效果才更为明显。法国社会学家雅克·埃吕(Jacques Ellul)1962年在《宣传:人的态度形成》一书中强调,被别人长期奴役,不能为自己命运做主的人,特别容易接受宣传。从来没有得到说理机会的人,习惯别人怎么说,自己就跟着怎么相信。宣传利用的就是人们的这种焦虑和害怕的感觉。
九、科学的民意测验,才能证实舆论的存在
西方许多学者不赞成从性质上界定舆论,认为舆论由民意测验才能证实它的存在,没有民意测验就无从把握舆论。这一舆论定理使舆论研究成为一门精确科学,正如马克思和达尔文都提倡的那样,没有使用数学的科学,不成其为科学。
其中比勒(Beyle)对舆论的界定最有代表性。他于1931年在《属性群体的分辨与分析》一书中指出:“舆论不是一个事物的名称,而是一组事物的分类。它是在一个概率分布的统计、整理的基础上,提出的引起注意和兴趣的基数和概率。”(Beyle,1931,p.183)拉扎斯菲尔德(Lazarsfeld)也这样揭示过舆论的含义:“现在,我们有民意调查的事实,我们将毫不怀疑地坚持把舆论称作一个经过充分分析的态度分布。”在美国《舆论季刊》(Public Opinion Quarterly)创刊50周年纪念日发表的一篇文章中,詹姆斯·本尼格(James Beniger)提到艾伯特·高林(Albert Gollin)的“现在普遍认同的舆论定义是民意测验者所收集到的个人意见的集合”,是有一定说服力的。
没有经过民意测验的数据证实,我们所说的某种舆论,只是一种感觉或推测。这种感性认识不一定错误,但没有确凿的根据。民意测验依据心理学和社会学知识,对人们的态度、动机、情况和各种动因全面纳入测验范围,运用“数学或然率”与统计方法确定某种意见的量度、态度强度及其分布。瑞士数学家伯诺利(Jean Bernoulli)1713年就提出测量民众态度的数学或然率的理论,要求用随机抽查的方式从民众态度的单一元素或组合元素中统计出民众的意向,再去掉由实际经验得出的误差,最后综合出民众的整体意向。根据数据确认一种舆论的存在,需贯彻严格的科学测验方法才能达到,西方多数民意测验都有缺漏和手脚,屡屡使预言落空,这并非证明这一定理不能成立,而只能证明非科学的民意测验必然徒托空言。
十、离投票当天越近,民意测验结果越准确
美国社会心理学家泰勒等人认为,大选中的民意测验具有易变性,“因为很多选民直到最后才做出自己的决定。实际上,离投票当天越近,民意测验结果会越准确”[16]。民调是对民众在特定时刻对特定问题的意见和偏好的快速扫描,调查出错很容易发生。1980年美国总统大选前夕的民调显示,吉米·卡特将击败罗纳德·里根,选举前一周对民意测验“仍未拿定主意”的应答者有巨大数目,在最后时刻,这些选民大规模地转向了里根,里根最终赢得了大选。[17]
《美国选民》一书提出的观点在西方有很深远的影响,认为选民根据自己的政党认同(party identification)作出决定,根据这一点民意测验能够大体准确预测公众的投票行为。[18]如果政党认同在投票时真的有决定性作用,那么又如何解释离投票越近的民意测验越可能发生变化呢?后来政党认同的观点被修正,多数人认为,投票的选择受到当前政治和经济现实的影响,不仅仅受政党认同这种长期心理趋势的支配。选民会理性地衡量执政者的现状以决定是否投赞成票,民意测验更多要受当前人们态度变化的影响。
西方民意测验研究者们发现,在接近投票前经济表现不佳,竞选人在台上的一般都会失利,而经济出现好的征兆,则支持率就会升高。[19]另一个重要因素是选举前总统候选人的最后一次电视辩论,谁在电视辩论中表现优秀,就会把中间选民争取过来,使辩论后的民意测验获得准确的数据。1992年的美国总统竞选,大概有9000万人次观看了3场电视辩论,1980年在总统竞选投票前一周举行的卡特与里根的辩论被认为对里根的最终胜利产生了主要作用。CBS电视台在辩论之后的民意测验表明,辩论把7%的卡特的支持者拉到了里根阵营。当时,美国很多选民众口一词地认为里根赢了该场辩论,有10%支持卡特的人也认为里根获胜,这次民意测验实际获取赞成里根的人数提高了10多个百分点。
媒体对竞选人丑闻的报道更能吸引公众的目光,引起选民态度的变化。1972年当尼克松的私人谈话成为媒体头条新闻后,尼克松掩盖事实的行为引起民众的不满,3天后的民意测验表明希望对他弹劾的人增长了15%。当竞选进入最后阶段,选民才能确定哪个候选人丑闻较少,才会在民意测验中支持这位候选人。美国总统竞选一开锣,不同政党倾向的媒体就开始互揭对立候选人的丑闻和不良政治记录,随着选战的深入,有的候选人曝光率绵延不绝,有的越来越少,到大选前夜,才能确定哪位候选人洁身自好,选民就会在民意测验中表达对他的支持,这使民意测验的精准率大大提高。
摘要：西方舆论学的十大定理,源自公众的共同知觉,渗入政治生活的各个领域。舆论是集群心、公意的公正性、舆论领袖决定舆论流向、民意决定政府的合法性、民意政治就是民主政治等定理,奠定了议会政治的理论基础,支配西方民众的政治理念,也在一定意义上支配西方的政治运作。
一、求特定项或特定项的系数
这是二项式定理的典型题型，解法是确定通项公式中r的值或取值范围，但应注意二项式系数与项的系数的区别和联系。
例1：在（1-x2）20的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值.
解析：
由题，得4r-1=r+1或4r-1+r+1=20，解得r=4.
例2：若展开式中前三项系数成等差数列，求展开式中含x的七次幂的项及其系数.
解析：
由得n=8，由，令解得r=7.所以x七次幂的项为，含x的七次幂项的系数为.
二、求多项式和或积中特定项的系数
解此类题要注意观察多项式的结构特征，可先求和再求含特定项的系数或用赋值法（赋值要恰当）。
例3：的展开式中，的系数等于 .
解析：
因（x+1）+（x+1）2+（x+1）3+…+（x+1）6=（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）6，所以展开式中的系数为===.
例4：若，则的值为 .
解析：所求变形为，而与分别是已知式在时的值.所以=.
三、求系数的最值
解此类问题应注意所求项的系数与二项式系数的区别和联系，并注意符号的变化规律。
例5：（x-1）9按x降幂排列的展开式中，系数最大的项是第 项？
解析：
因n=9，展开式中共10项，故中间两项，即第5项和第6项的二项式系数最大.但第6项的系数是负值，所以第5项的系数最大.
四、三项式转化成二项式
本题运用转化思想：转化时式子的变形要灵活;善于变换项的位置利于计算;注意展开式中r，k的关系和取值范围。
例6：求展开式中的常数项.
解析：
因可看作二项式，其通项为，其中k=0，1，2，3，10，若求原式常数项只需求展开式的常数项.因 ，其中r=0，1，…，k，所以由题意令k-3r=0，则k=3r，即k是3的倍数，k=0，3，6，9.当k=0时，r=0，;当k=3时，r=1，;当k=6时，r=2，;当k=9时，r=3，.故原式的展开式中的常数项是.
五、求参数
关键求展开式中某项的系数，再结合条件求参数。
例7：已知的展开式中x3的系数为，求实数a的值.
解析：
因，由题意知，解得r=8.所以含x3的项为第9项，其系数为，解得a=4.
六、整除和求余数
关键是把所求问题转化为二项式问题，但要注意结合二项式展开式和整除的有关性质。
例8：①求证：能被31整除;
②求除以9的余数.
解析：
①证明：因，展开等于，显然括号内为整数，所以原式能被31整除.
②解：，由展开等于，进一步整理，可得，显然括号内的数是正整数，故S被9除的余数是7.
七、求近似值
对估算求值问题，常借助二项式定理求解。
例9：计算1.056.（精确到0.01）
解析：
1.056=（1+0.05）6=1+C26·（0.05）2+C 36·（0.05）3+…=1+0.3+0.0375+…≈1.34.
所以1.056≈1.34.
八、证明不等式
用二项式定理证不等式时，根据n的最小值，确定展开式的项数的最小值，然后视具体情况取定其中的几项即可。
例10：求证：.
解析：
证明：因为，所以的展开式中至少有四项.又因为，所以.
九、求和
二项式定理从右往左看，是把一个多项式合并，或者是一个求和公式，利用它可解决求和问题。
例11：在（1+x）n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则（1-x2）n等于（ ）
A.0 B.pq
C.p2-q2 D.p2+q2
一、用赋值法解决二项式系数的有关问题
例1.已知 (1-3x) 9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9, 求值:
(1) a0+a1+a2+…+a9; (2) |a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|; (3) a0+a2+a4+a6+a8.
分析:此题是利用二项展开式求有关系数的问题, 可以用赋值法令x=1得所有系数之和, 令x=-1可得奇数项的系数与偶数项的系数之间的关系, 即f (-1) = (a0+a2+a4+a6+a8) - (a1+a3+a5+a7+a9) .
解: (1) 设f (x) = (1-3x) 9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9
令x=1, 得:a0+a1+a2+…+a9=-29.
(2) 在 (1-3x) 9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9中, a0, a2, …, a8为正数, a1, a3, …, a9为负数,
则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|= (a0+a2+a4+a6+a8) - (a1+a3+a5+a7+a9) =f (-1) =49.
二、与构造法相结合的赋值
例2.若 (x2+1) (2x+1) 9=a0+a1 (x+2) +a2 (x+2) 2+…+a11 (x+2) 11, 求a0+a1+a2+…+a11的值.
分析:上式右边是有关a0, a1, a2, …, a11的式子, 只是多了x+2这一因式, 若令x+2=1, 右式即为所求.
解:令x+2=1, 即x=-1, 原等式可化为
所以a0+a1+a2+…+a11=-2.
例3.若 (2x+3) 3=a0+a1 (x+2) +a2 (x+2) 2+a3 (x+2) 3, 求a0+a1+2a2+4a3.
分析:乍一看, 此题a0, a1, a2, a3系数各不相同, 用赋值法貌似很难处理, 但如果将上式拆分成a0, a1+2a2+4a3两部分.令x+2=0, a0易求得;而a1, a2, a3的系数分别为1、2、4, 刚好成等比数列, 且公比为2, 只需令x+2=2即可解决这一问题。
解:令x+2=0, 即x=-2, 可得a0=-1
令x+2=2, 即x=0, 可得27=a0+2a1+4a2+8a3
从而2a1+4a2+8a3=28
即a1+2a2+4a3=14
所以a0+a1+2a2+4a3=-1+14=13
三、综合应用
例4.若 (1-2x) 2012=a0+a1x+a2x2+…+a2012x2012 (x∈R)
分析: (1) 观察待求式, 可将其化为 , 只需在原式中令 即可, 另外a0可令x=0求得.
(2) 所求式中各项系数分别为1, 2, 3, …, 2012, 与原等式中x的次数刚好一致, 而 (xn) ′=nxn-1, 所以可对原等式先求导再赋值.
一、 解三角形
正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题:① 已知两角和任一边,求其他两边和一角;② 已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角及其他的边和角.
余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题:① 已知三边,求三个角;② 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
例1在△ABC中,a=2,b=6,A=30°,则边c= .
解法一 由正弦定理,得sinB==.又0
当B=60°时,c=90°,c==
4;而当B=120°时,C=30°,c=
2.
解法二 由余弦定理,得cosA=,即c2-6c+24=0,解得c=2或4.
点评 已知两边及其中一边的对角,解三角形时,需考虑解的个数.
二、 判断三角形的形状
利用正、余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.一般地,利用正弦定理的公式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,可将边的关系转化为角的正弦关系,然后利用三角恒等变换公式进行化简,其中往往要用到三角形内角和定理A+B+C=π;利用余弦定理的公式cosA= ,cosB=,cosC=,可将角的余弦关系转化为边的关系,然后充分利用代数知识来解决问题.
例2在△ABC中,若=,判断△ABC的形状.
解法一 由正弦定理,得=,即=,所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或 2A=180°-2B,即A=B或A+B=90°,所以△ABC为等腰或直角三角形.
解法二 由题设,有=,得=,化简,得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或 a2+b2=c2,所以△ABC为等腰或直角三角形.
点评 已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,有两条思路:① 化边为角,再进行三角恒等变换,求出三个角之间的关系式;② 化角为边,再进行代数恒等变换,求出三条边之间的关系式.两种转化主要是应用正弦定理和余弦定理.
三、 证明三角形中的恒等式
例3在△ABC中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.
证法一 a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2•2sinBcosB+(2RsinB)2•2sinAcosA=8R2sinAsinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2•2RsinA•2RsinB•sinC=2absinC,
所以原式得证.
证法二 左边=a2•2sinBcosB
+b2•2sinAcosA=a2••+b2••=2ab•=右边,
所以原式得证.
点评 此题所证结论为△ABC的一种边角关系,证明考虑两种途径:一是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理的公式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;二是把角的关系转化为边的关系,若是正弦形式,则通过正弦定理,若是余弦形式,则通过余弦定理.
四、 解决实际问题
例4某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°,距离为10 n mile的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢,于是我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间.
分析 如上图,设舰艇与渔船在B处相遇,设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为xh,∠1,∠2可以求出,而AC已知,BC,AB均可用x表示,故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题,则利用余弦定理建立方程来解决较好.而有了路程后,在已知速度的情况下,时间便很好求了.
解 有AB=21x n mile,BC=9x n mile,AC=10 n mile,∠ACB=∠1+∠2=45°+(180°-105°)=120°,
根据余弦定理,可得AB2=AC2
+BC2-2AC•BCcos120°,得(21x)2=102+(9x)2-2×10×9xcos120°,即36x2-9x2×10=0,解得x1= ,x2=-(舍去).
所以AB=21x=14,BC=9x=6.
则cos∠BAC===0.928 6,所以∠BAC=21°47′.
45°+21°47′=66°47′,小时即40分钟.
答:舰艇应以66°47′的方位角方向航行,靠近渔船需要40分钟.
点评 解好本题需明确“方位角”这一概念,方位角是指由正北方向线顺时针旋转到目标方向线的角,其范围是[0°,360°).设出未知量x,将由两个出发点及一个相遇点构成的三角形的各边、角用含x的式子表示,则可利用余弦定理建立方程求出x.
1. 在△ABC中,∠A=45°,a=2,c=,解此三角形.
2. 在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,判断△ABC的形状.
3. 在△ABC中,若a2=b(b+c),求证:A=2B.
4. 在△ABC中,已知内角A=,边BC=2.设内角B=x,周长为y.
(1) 求函数y=f(x)的解析式和定义域;
(2) 求y的最大值.
1. b=+1,∠C=60°,∠B=75°或b=-1,∠C=120°,∠B=15°.
2. 法一 根据正弦定理,有2sinB=sinA+sinC,由B=60°,可解得A=60°,C=60°,因此△ABC是正三角形.
法二 根据余弦定理,得2=a2+c2-2accos60°,整理得(a-c)2=0,所以a=c,所以△ABC是正三角形.
3. 法一 因为cosB====,所以cos2B=2cos2B-1=2×-1===.
又因为cosA===,所以cosA=cos2B,而A,B是三角形内角,所以A=2B.
法二 由a2=b(b+c),可得sin2A=sinB(sinB+sinC),
所以sin2A=sin2B+sinBsin(A+B),所以sin(A-B)sin(A+B)=sinBsin(A+B),
所以sin(A-B)=sinB,则A=2B.
4. (1) 由A+B+C=π,A=,B>0,C>0,得0 应用正弦定理,知AC=•sinB=sinx=4sinx,AB=•sinC=4sin-x. 所以y=4sinx+4sin-x+20 (2) 由(1)知y=4sinx+cosx+sinx+2=4sinx++2 关键词：动量定理；应用；变力问题；图像问题；光学问题 合外力的冲量是动量变化的原因，合外力的冲量是对时间的积累，与物体的初末动量无关。应用动量定理比应用牛顿定律解题有独到的优越性，且应用广泛。 一、用动量定理解释现象 例1.如图，把重物G压在纸带上，用一水平力缓慢拉动纸带，发现重物会随着纸带运动，若迅速拉动纸带，重物几乎不动，解释这些现象的正确说法是：（CD） A.缓慢拉动纸带时，重物和纸带间的摩擦力大 B.迅速拉动纸带时，重物和纸带间的摩擦力小 C.缓慢拉动纸带时，纸带给重物的冲量大 D.迅速拉动纸带时，纸带给重物的冲量大 解析：在缓慢拉动时，两物体之间的摩擦力是静摩擦力，在迅速拉动时，它们之间的作用力是滑动摩擦力，静摩擦力小于滑动摩擦力，因此一般情况是：慢拉摩擦力小，快拉摩擦力大。A、B错。缓拉纸带时，摩擦力虽小，但作用时间很长，故重物获得的冲量很大。迅速拉动纸带时，摩擦力虽大，但作用时间很短，故重物获得的冲量很小。C、D正确。 评析：用动量定理解释的现象一般分为两类：一类是物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；力的作用时间越长，力就越小。另一类，作用力一定，力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小。分析问题时，要把哪个量一定、哪个量变化搞清楚。 二、用动量定理解决变力问题 例2.在强度为B的匀强磁场中，一个电量为q的粒子（重力不计），以速度v在垂直于磁场方向上做半径为R的圆周运动，则粒子在运动的二分之一周期内，洛仑兹力的冲量大小为：（B） A.πqBR B.2qBR ?摇C.■BR D.qBR 解析：粒子在做圆周运动过程中，由洛仑兹力提供向心力，qvB=mv2/R根据动量定理，I=△P=mv-（-mv）=2mv=2qBR，因此B正确。 评析：用I=Ft求的是恒力的冲量，本题中洛仑兹力是变力，因此I=Ft不能用，变力的冲量只能通过动量定理求解。 三、用动量定理求解平均力问题 例3.质量为60Kg的建筑工人，不慎从高空跌下，由于弹性安全带的保护作用，最后使人悬挂在空中，已知弹性安全带缓冲时间为1.2s，安全带原长5m，求安全带所受的平均作用力。（g=10m/s2） 解析：人开始下落为自由落体运动，下落到弹性安全带原长时的速度为：v02=2gh，得：vo=10m/s。取人为研究对象，在人和安全带作用的过程中，人受到重力mg和安全带的平均冲力F，取力F方向为正方向，由动量定理得：（F-mg）t=0-（-mv0） F=mg+mv0/t=1100N（方向竖直向上），安全带所受的平均作用力F'=1100N（方向竖直向下）。 评析：弹性安全带的作用力实际是一个变力，若求一段时间内的平均值，则按恒力来处理，可按动量定理求解。 四、用动量定理解决图像问题 例4.水平推力F1和F2分别作用于水平面上原来精致的、等质量的a、b两物体上，作用一段时间后撤去推力，物体将继续运动一段时间停下，两物体的v-t图像如图所示，已知图中线段AB∥CD，则（AC） A.F1的冲量小于F2的冲量 B.F1的冲量等于F2的冲量 C.两物体受到的摩擦力大小相等 D.两物体受到的摩擦力大小不相等 解析：由v-t图像可知，撤去F后，只受摩擦力的作用，因为AB‖CD，说明ab加速度相同，所以fa=fb。由图像可知：F1>F2但t1 评析：本题是图像问题，既考查了对图像的认识，也考查了动量定理应用的妙处。 五、用动量定理解决光学问题 科学家设想在未来的航天事业中用太阳帆来加速星际宇宙飞船，按照近代光的粒子说，光由光子组成，飞船在太空中张开太阳帆，使太阳光垂直射到太阳帆上，太阳帆面积为S，太阳帆对光的反射率为100%，设太阳帆上每单位面积每秒到达n个光子，每个光子的动量为p，如飞船总质量为m，求飞船的加速度的表达式。 解析： 设经过时间为t，则时间t内的光子数为：N=nst ① 对光子由动量定理：Ft=Np-（-Np） ② 对飞船：F=ma ③ 由①②③联立：a=2nsp/m 微分中值定理是指罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西定理.微分中值定理在高等数学中的地位是不容置疑的, 且在解题中的应用也是十分广泛的.以下通过实例说明微分中值定理在解决数学问题中的广泛应用. 1 讨论方程根的存在性问题 在我们要讨论的方程中, 除了二次方程根的问题容易讨论之外, 如果遇到复杂的方程, 往往无从下手.对于存在性问题, 我们一般通过分析题设条件, 结合已学过的定理进行分析并解决.微分中值定理的条件很宽松, 给一个定义在闭区间[a, b]上的函数, 只需函数在这个区间连续, 可导 (并不要求区间端点可导) , 再加一个看似苛刻但实不苛刻的条件f (a) =f (b) , 用罗尔定理, 就可以解决一些复杂的代数方程的判根问题, 其步骤相当简单, 一般是:命题条件→构造辅助函数F (x) →验证F (x) 满足罗尔定理的条件→命题结论. 例1 若f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导 (a>0) , 证明:在 (a, b) 内, 方程2x[f (b) -f (a) ]= (b2-a2) f′ (x) 至少存在一个根. 证明 令 F (x) =[f (b) -f (a) ]x2 - (b2-a2) f (x) , 显然, F (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 而且 F (a) =f (b) a2-b2f (a) =F (b) . 根据罗尔定理, 至少存在一个ξ, 使 2ξ[f (b) -f (a) ]= (b2-a2) f′ (ξ) . 故在 (a, b) 内, 方程 2x[f (b) -f (a) ]= (b2-a2) f′ (x) 至少存在一个根. 2 证明不等式 不等式是数学中的重要内容, 也是数学中的重要方法和工具.在微分学中, 微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用.我们可以根据不等式两边的代数式选取不同的F (x) , 应用微分中值定理得出一个等式后, 对这个等式根据x取值范围的不同进行讨论, 得到不等式.以下通过一个例子来说明微分中值定理在证明不等式中的运用. 例2 求证ln (1+x) ≤x (x>-1) . 证明 当x=0时, 显然 ln (1+x) =x=0. 设x≠0, 对f (t) =ln t在以1与1+x为端点的闭区间上用拉格朗日中值定理, 有介于1与1+x之间的ξ, 使 f (1+x) -f (1) =f′ (ξ) (1+x-1) , 即 当x<0时, 当x>0时, 3 用来求极限 对于有些求极限的题, 如果使用洛必达法则, 则求导数的计算量很大.微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效的方法.其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数, 使用微分中值定理, 然后求出极限. 例3 求 解 对f (x) =ax应用拉格朗日中值定理, 有 其中 4 讨论级数的敛散性 泰勒公式事实上就是含有高阶导数的微分中值定理.它不仅在理论分析中具有很重要的作用, 而且为我们提供了用多项式逼近函数的一种方法.在讨论级数的敛散性中有广泛的应用, 下面的例子说明它的应用. 例4 设f (x) 在x=0的某领域内有二阶连续导数, 且 证明 由 因为|f″ (x) |≤M, 故 取 由于 5 讨论函数的单调性, 并利用函数的单调性求极值 利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性, 其方法是:若函数f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 则有:如果在 (a, b) 内f′ (x) >0, 则f (x) 在[a, b]上单调增加;如果在 (a, b) 内f′ (x) <0, 则f (x) 在[a, b]上单调减少.另外, f (x) 在 (a, b) 内除有个别点外, 仍有f′ (x) >0 (或f′ (x) <0) , 则f (x) 在[a, b]上仍然是单调增加 (或减少) 的, 即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性. 再利用函数的单调性及函数图像上峰值点与各值点的性质, 便可以很方便地求出函数的极值。其方法为:确定函数的定义域, 并求出f′ (x) , 然后求出定义域内的所有驻点, 并找出f (x) 连续但f′ (x) 不存在的所有点, 讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近f′ (x) 的符号变化情况, 从而确定函数的极值点, 并求出相应的极大值或极小值. 例5 求证x>0时, 证明 令 因为f (x) 在[0, +∞]上连续, 在 (0, +∞) 内可导, 且 当x>0时, 例6 求 解 函数的定义域为 (0, 1) ∪ (1, +∞) . 而 解得驻点x=e, 且该函数在定义域内没有导数不存在的点. 而当x<e时, y′<0;当x>e时, y′>0. 所以, x=e是函数f (x) 的极小值点, 其极小值为f (e) =e. 6 求近似值 微分中值定理为我们提供了一种计算近似值的方法, 只要构造出一个适当的函数, 应用微分中值定理就可以得出其近似值. 例7 求 解 令x0=1, x=x0+Δx, 即Δx=-0.03. 由微分中值定理得 7 用来证明函数恒为常数 导数是研究函数性态的重要工具, 但用导数研究函数性态的着眼点在局部范围.而在整体上或比较大的范围运用导数这一工具来研究函数性态, 主要工具还是微分中值定理, 它是应用导数研究整体性问题的重要工具.证明函数恒为常数这是函数的整体性质, 在这个应用中微分中值定理很实用. 例8 设f′ (x) 在[0, 1]上连续, f′ (c) =0, c∈ (0, 1) 且在 (0, 1) 内恒有|f″ (x) |≤k|f′ (x) |.其中为小于1的常数, 试证:f (x) 为常数函数. 证明 ∀x∈[0, 1], 不妨设c<x, 则x-c<1, 而f′ (c) =0, 所以有 |f′ (x) |=|f′ (x) -f′ (c) | =|f″ (ξ1) (x-c) | ≤k|f′ (ξ1) |, 其中c<ξ1<x. 同理, |f′ (ξk) |=|f″ (ξk+1) (ξk-c) | ≤k|f′ (ξk+1) |, c<ξk+1<ξk, 其中k=1, 2, …, n. 所以, |f′ (x) |≤k|f′ (ξ1) |≤k2|f′ (ξ2) | ≤…≤kn|f′ (ξn) |, 其中c<ξn<1. 又f′ (x) 在[0, 1]上连续, 从而f′ (x) 有界.故 即f′ (x) =0 (当c>x时同样成立) , 从而, f′ (x) =0, x∈ (0, 1) . 故在[0, 1]上f (x) 为常数函数. 微分中值定理应用非常广泛 (在使用时应特别注意验证定理的条件) , 以上只介绍了几种常见的应用.通过对微分中值定理的研究, 加深了对微分中值定理的理解, 有助于更好掌握该定理的解题应用. 参考文献 [1]陈传璋.数学分析 (上) (第2版) [M].北京:高等教育出版社, 1983. [2]无良森.数学分析学习指导 (上) [M].北京:高等教育出版社, 2004. [3]谢惠明.数学分析习题课讲义 (上) [M].北京:高等教育出版社, 2003. [4]刘玉琏, 傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社, 1999. 【二项式定理的十大应用】推荐阅读： 勾股定理的应用方法小结06-28 切线长定理的教学反思06-10 三角形的内角和定理教案09-14 动能定理总结07-22 基尔霍夫定理的验证实验报告(含数据处理)09-16 正弦定理试讲反思06-02 动能定理知识总结09-16 余弦定理说课稿07-03 高中数学公式和定理07-24 勾股定理教案一06-25动量定理的应用 篇5
微分中值定理的应用 篇6
