高中数学二次函数

高中数学二次函数（通用12篇）

高中数学二次函数 篇1

一、知识回顾

1、二次函数的解析式

（1）一般式：顶点式：双根式：求二次函数解析式的方法：

2、二次函数的图像和性质

二次函数fxax2bxc(a0)的图像是一条抛物线，对称轴的方程为。

（1）当a0时，抛物线开口，函数在上递减，在上递增，当x

（2）当a0时，抛物线开口，函数在上递减，在上递增，当x

（3）二次函数fxaxbxc(a0)2b2a时，函数有最值为b2a时，函数有最为。

当时，恒有 fx.0，当时，恒有 fx.0。

2（4）二次函数fxaxbxc(a0)，当b4ac0时，图像与x轴有两个交点，2

M1(x1,0),M2(x2,0),M1M2x1x2a.3.常见的实根分布情况设x1x2为f(x)=0（a>0）的两个实根。

（1）当x1m,x2m时，则有___________________

（2）当在区间（m,n）有且只有一个实根时，则有：__________________________

(3)当在区间（m,n）有两个实根时，则有：_________________________________

(4)当在两个区间中各有一个实根mx1npx2q时，——————————

二、基础训练

1、已知二次函数fxaxbxc(a0)的对称轴方程为x=2,则在f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)中，相等的两个值2

为，最大值为。

22函数fx2xmx3，当x(,1]时，是减函数，则实数m的取值范围是3函数fxx2axa的定义域为R，则实数a的取值范围是（4已知不等式xbxc0 的解集为11），则bc23

5若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且他的值域为（-∞，4]，则6 设二次函数y=f(x)的最大值为13，且f(3)= f(-1)=5，则7已知二次函数f(x)x4ax2a6(xR)的值域为[0,),则实数a

三、例题精讲

例1 求下列二次函数的解析式 2

(1)图像顶点的坐标为(2,-1),与y轴交点坐标为（0，11）；

(2)已知函数f(x)满足f(0)=1,且f(x+1)-f(x)=2x；

(3)f(2)=0,f(-1)=0且过点（0，4）求f(x).例2 已知函数f(x)ax2(b8)xaab，当x(3,2)时，f(x)0,当x(,3)(2,)时，f(x)0。（1）求f(x)在[0,1]内的值域。

（2）若axbxc0的解集为R，求实数c的取值范围。

例3 已知函数f(x)ax2bx(a0)满足条件f(x5)f(x3)且方程f(x)x有等根，（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m,n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]？如果存在，求出m,n的值；若不存在说明理由。

2例4已知关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0①若存在正根，求实数m的取值范围②2个正根m的取值范围③一正一负根m的取值范围④2个负根的m的取值范围

四、巩固练习

1.2.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意 x∈（0，1]恒成立，则 m的取值范围为不等式ax2+bx+c＞0 的解集为（x1,x2）(x1 x2<0),则不等式cxbxa0的解集为

223 函数y2cosxsinx的值域为x

axb4 已知函数f(x)(a,b为常数且ab0)且f(2)1，f(x)x有唯一解，则yf(x)的解析式为

225.已知a,b为常数，若f(x)x4x3,f(axb)x10x24，则5ab26.函数f(x)4xmx5在区间[2,)上是增函数，则f(1)的取值范围是

7.函数f(x)=2x-mx+3, 当x∈[-2,+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2]时是减函数，8.若二次函数f(x)axbxc满足f(x1)f(x2)(x1x2)则f(x1x2)9.若关于x的方程ax2x10至少有一个负根，则a的值为

10.已知关于x的二次方程x+2mx+2m+1=0

(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围。（2）若方程两根均在（0，1）内，求m的范围。

11.若函数f(x)=x+(m-2)x+5的两个相异零点都大于0，则m的取值范围是

高中数学二次函数 篇2

一、深入理解函数概念

用映射观点来阐明函数。二次函数是一个集合A (定义域) 到集合B (值域) 上的映射f:A→B, 使集合B中的元素y=ax2+bx+c (a≠0) 与集合A的元素x对应, 记为f (x) =ax2+bx+c (a≠0) .ax2+bx+c既表示对应法则, 又表示定义域中的元素x在值域中的象, 从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。在学生掌握函数值的记号后, 让学生解答如下问题:

例1:已知f (x) =x2-2x-3, 求f (x+1) .

分析:这里不能把f (x+1) 理解为x=x+1时的函数值, 只能理解为自变量为x+1的函数值。

例2:设f (x+1) =x2-4, 求f (x) .

分析:这个问题理解为:已知对应法则f下定义域x+1的象是x2-4, 求定义域中元素x的象, 其本质是求对应法则, 一般有两种方法:

(1) 把所给的表达式表示成x+1的多项式。

f (x+1) = (x+1) 2-2 (x+1) -3, 再用x代x+1得f (x) =x2-2x-3.

(2) 变量代换:它适应性强, 对一般函数都可适用。

令x+1=t, 则x=t-1,

从而f (x) =x2-2x-3.

二、二次函数的最值, 图像与单调性

二次函数0时为单调减区间, a<0时为单调增区间;区间为在a>0时为单调增区间, 在a<0时为单调减区间。教学时充分利用图像的直观性, 采用数形结合的思想方法, 让学生对函数的性质从感性上升到理性。

例3:作出函数图像, 并通过图像研究其单调性。

分析:这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示, 然后画出其图像。

例4:设f (x) =x2-2x-1, 在区间 (t, t+1) 上的最小值是g (t) , 求:g (t) 并画出y=g (t) 的图像。

分析:f (x) = (x-1) 2-2, 在x=1时取最小值-2

当1∈ (t, t+1) 即0≤t≤1, g (t) =-2

当t>1时, g (t) =f (t) =t2-2t-1

当t<0时, g (t) =f (t+1) =t2-2

首先要让学生弄清题意, 一般一个函数在实数集R上或只有最大值或只有最小值, 但当定义域发生变化时, 最值也随之变化, 因此, 需要灵活把握。

三、利用二次函数巧解一元二次方程和一元二次不等式

二次函数的图像上既写有一元二次方程的根, 也写有一元二次不等式的解集, 这就是在检验我们的识图能力。

例5:已知f (x) =x2-x-6, 试问:

(1) x取何值时, y=0

(2) x取何值时, y>0, x取何值时, y<0

分析:

(1) 计算判别式:△=25>0, x1=-2, x2=3.

(2) 画简图:开口向上, 与x轴交于点

(3) 得结论:当x∈ (-∞, -2) ∪ (3, +∞) 时, y>0;当x∈ (-2, 3) 时, y<0.

一元二次方程和一元二次不等式与二次函数有着密切的关系, 方程的解就是图像与x轴交点的横坐标。不等式ax2+bx+c>0 (或ax2+bx+c<0) 的解集就是使二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 的函数值大于0 (或小于0) 的自变量的取值区间。

二次函数在高中数学中的应用浅探 篇3

1.考查热点：二次函数的性质及应用，尤其是“三个二次”的综合应用，常与数形结合和等价转化思想联系在一起.

2.考查形式：选择题、填空题、解答题均可能出现.

3.考查角度：一是以二次函数的图像为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间，最值问题及与此相关的参数范围问题；二是一元二次方程根的分布问题；三是考查二次函数、二次方程及二次不等式的关系，其中以二次函数为核心，通过二次函数的图像贯穿始终.

4.命题趋势：与其他初等函数复合在一起考查函数性质.因三次函数的导数为二次函数，所以与导数结合在一起也是高考的命题方向.

一、进一步深入理解函数概念

学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，特别是以二次函数为例来更深刻地认识函数的概念.二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A中的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

类型Ⅱ：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

二、二次函数的图像、单调性及最值

在高中阶段学习二次函数的性质时，必须让学生加深对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像、开口、对称轴以及定义域和值域的理解，在区间（-∞，-上的单调性用定义进行严格的论证.

类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并求出函数的单调区间.

（1）y=x2+2|x+1|-1；

（2）y=|x2-5x+6|.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像.

类型Ⅳ：（定轴动区间上的最值问题）设f（x）=2x2-x-1在区间[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表达式.

变式训练：已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]时有最大值2，求a的值.

（1）（动轴定区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

分析：函数的对称轴为x=-a，当-5<-a<5时，则f（-a）≥0；当-a≥5时，则f（5）≥0；当-a≤-5时，f（-5）≥0.该题主要考二次函数的单调性及数形结合的思想方法.

（2）（动轴动区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围.

分析：分类讨论，结合函数图像，利用函数单调性解决函数的最小值问题.（解答过程省略）

若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；

若函数f（x）在x=a处取得极小值，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性.

分析：该题主要涉及二次函数的单调性及最值问题.同时也考查了导数中的基本性质及导数与二次函数的结合.

三、与二次函数紧密相关的二次方程的根的分布情况

类型Ⅴ：设二次函数f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.

（1）若方程的两根均大于1，求实数a的取值范围.

（2）若方程的两根，一根大于1，一根小于1，求实数a的取值范围.

分析：该题考查二次方程根的分布情况，一种是两根在同一区域，另一种是两根在不同区域，运用数形结合来解决，要考虑到对称轴、判别式以及x=1的函数值的符号等.endprint

笔者通过对近三年高考试题的统计分析，发现有以下的命题规律.

1.考查热点：二次函数的性质及应用，尤其是“三个二次”的综合应用，常与数形结合和等价转化思想联系在一起.

2.考查形式：选择题、填空题、解答题均可能出现.

3.考查角度：一是以二次函数的图像为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间，最值问题及与此相关的参数范围问题；二是一元二次方程根的分布问题；三是考查二次函数、二次方程及二次不等式的关系，其中以二次函数为核心，通过二次函数的图像贯穿始终.

4.命题趋势：与其他初等函数复合在一起考查函数性质.因三次函数的导数为二次函数，所以与导数结合在一起也是高考的命题方向.

一、进一步深入理解函数概念

学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，特别是以二次函数为例来更深刻地认识函数的概念.二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A中的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

类型Ⅱ：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

二、二次函数的图像、单调性及最值

在高中阶段学习二次函数的性质时，必须让学生加深对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像、开口、对称轴以及定义域和值域的理解，在区间（-∞，-上的单调性用定义进行严格的论证.

类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并求出函数的单调区间.

（1）y=x2+2|x+1|-1；

（2）y=|x2-5x+6|.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像.

类型Ⅳ：（定轴动区间上的最值问题）设f（x）=2x2-x-1在区间[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表达式.

变式训练：已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]时有最大值2，求a的值.

（1）（动轴定区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

分析：函数的对称轴为x=-a，当-5<-a<5时，则f（-a）≥0；当-a≥5时，则f（5）≥0；当-a≤-5时，f（-5）≥0.该题主要考二次函数的单调性及数形结合的思想方法.

（2）（动轴动区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围.

分析：分类讨论，结合函数图像，利用函数单调性解决函数的最小值问题.（解答过程省略）

若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；

若函数f（x）在x=a处取得极小值，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性.

分析：该题主要涉及二次函数的单调性及最值问题.同时也考查了导数中的基本性质及导数与二次函数的结合.

三、与二次函数紧密相关的二次方程的根的分布情况

类型Ⅴ：设二次函数f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.

（1）若方程的两根均大于1，求实数a的取值范围.

（2）若方程的两根，一根大于1，一根小于1，求实数a的取值范围.

分析：该题考查二次方程根的分布情况，一种是两根在同一区域，另一种是两根在不同区域，运用数形结合来解决，要考虑到对称轴、判别式以及x=1的函数值的符号等.endprint

笔者通过对近三年高考试题的统计分析，发现有以下的命题规律.

1.考查热点：二次函数的性质及应用，尤其是“三个二次”的综合应用，常与数形结合和等价转化思想联系在一起.

2.考查形式：选择题、填空题、解答题均可能出现.

3.考查角度：一是以二次函数的图像为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间，最值问题及与此相关的参数范围问题；二是一元二次方程根的分布问题；三是考查二次函数、二次方程及二次不等式的关系，其中以二次函数为核心，通过二次函数的图像贯穿始终.

4.命题趋势：与其他初等函数复合在一起考查函数性质.因三次函数的导数为二次函数，所以与导数结合在一起也是高考的命题方向.

一、进一步深入理解函数概念

学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，特别是以二次函数为例来更深刻地认识函数的概念.二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A中的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

类型Ⅱ：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

二、二次函数的图像、单调性及最值

在高中阶段学习二次函数的性质时，必须让学生加深对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像、开口、对称轴以及定义域和值域的理解，在区间（-∞，-上的单调性用定义进行严格的论证.

类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并求出函数的单调区间.

（1）y=x2+2|x+1|-1；

（2）y=|x2-5x+6|.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像.

类型Ⅳ：（定轴动区间上的最值问题）设f（x）=2x2-x-1在区间[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表达式.

变式训练：已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]时有最大值2，求a的值.

（1）（动轴定区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

分析：函数的对称轴为x=-a，当-5<-a<5时，则f（-a）≥0；当-a≥5时，则f（5）≥0；当-a≤-5时，f（-5）≥0.该题主要考二次函数的单调性及数形结合的思想方法.

（2）（动轴动区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围.

分析：分类讨论，结合函数图像，利用函数单调性解决函数的最小值问题.（解答过程省略）

若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；

若函数f（x）在x=a处取得极小值，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性.

分析：该题主要涉及二次函数的单调性及最值问题.同时也考查了导数中的基本性质及导数与二次函数的结合.

三、与二次函数紧密相关的二次方程的根的分布情况

类型Ⅴ：设二次函数f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.

（1）若方程的两根均大于1，求实数a的取值范围.

（2）若方程的两根，一根大于1，一根小于1，求实数a的取值范围.

九年级数学二次函数 篇4

12 函数y=ax?(a不等于0)的图像和性质

用表里各组对应值作为点的坐标，进行描点，然后用光滑的曲线把它们顺次联结起来，就得到函数y=x?的图象这个图象叫做抛物线函数y=x?的图像，以后简称为抛物线y=x?这条抛物线是关于y轴成对称的我们把y轴叫做抛物线y=x?的对称轴对称轴和抛物线的焦点，叫做抛物线的顶点

13 函数y=ax?+bx+c(a不等于0)的图像和性质

抛物线y=ax?+bx+c的顶点坐标是(-b/2a，4ac-b?/4a)，对称轴方程是x=-b/2a，当a〉0时，抛物线的开口向上，并且向上无限延伸;当a〈0时，抛物线的开口向下，并且向下无限延伸

当a〉0时，二次函数y=ax?+bx+c在x〈-b/2a时是递减的，在x〉-b/2a时是递增的;在x=-b/2a处取得y最小=4ac-b?/4a当a〈0时，二次函数y=ax?+bx+c在x〈-b/2a时是递减的;在x=-不/2a处取得y=4ac-b?/4a

2 根据已知条件求二次函数

21 根据已知条件确定二次函数

22 二次函数的值或最小值

数学二次函数解题技巧 篇5

函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量"。函数自产生就和图形结下了不解之缘。其实，我们现在研究函数也要依据函数的图像，由图像看性质、由性质看图像，无论是函数概念还是性质的教学都离不开图像，都需要图像的支撑，因为函数和它的图像是分不开的一个整体。所以函数知识的教学中，教师一定要帮助学生养成未解题，先作图的习惯，函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作

通过计算机演绎各种函数的变化过程，使学生从直观状态下，发现函数的各种性质，并且，强烈的视觉效果引发的学习积极性，可以使记忆保持得更持久。函数概念的教学过程中，在教学方式的选择上除了重点之处教师必不可少地讲解之外，而对于学生容易认识不清的地方，教师可以创设适当的情境后，让学生采用合作学习的方式，进行充分的交流与讨论，凸现出问题，以便能及时发现学生思想上的错误认识，澄清是非，帮助学生更好地学习和理解函数。

关注函数模型解题。

在利用数学解答实际问题的教学中，我们在进行行之有效的训练，并掌握各种类型问题的基础上，应及时总结应用问题与数学问题的联系，归纳其归属哪类问题。例如现实生活中，广泛存在的用料最省，造价最低，利润最大等最优化问题归于函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。

高中数学二次函数 篇6

一、教学目标

1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值． 2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．

二、课时安排 1课时

三、教学重点

掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．

四、教学难点

运用二次函数的知识解决实际问题．

五、教学过程

（一）导入新课

引导学生把握二次函数的最值求法：(1)最大值：(2)最小值：

（二）讲授新课 活动1：小组合作

如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？

(2)设矩形的面积为ym,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?

2解：1设ADbm,易得b3x30.4 332yxbx(x30)x230x4432x20300.4b4acb2或用公式:当x20时,y最大值300.2a4a活动2：探究归纳

先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲

例题:某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?

解：由4y7xx15.得y157xx.4x2157xxx2

窗户面积S2xy2x()2427157152x2x (x)22214225

.56b154acb2225 当x1.07时,s最大值4.02.2a144a56即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m.（四）归纳小结

“最大面积” 问题解决的基本思路： 1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.（五）随堂检测

1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm．

2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．

23．（潍坊·中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．

（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？

（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？

4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．

（1）求y关于x的函数关系式.（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y 12，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ m

5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．

（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．

【答案】 1.12.5 2.根据题意可得：等腰三角形的直角边为2xm矩形的一边长是2xm,其邻边长为20422x21022x,

1所以该金属框围成的面积S2x1022x2x2x

2 10当x30202时,金属框围成的图形面积最大.322此时矩形的一边长为2x60402m,另一边长为10221032210210m.

S最大3002002m2.3.解;（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意 得：4x＋（100－2x）（80－2x）＝5 200，整理得x－45x＋350＝0，解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则

y＝30[4x＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)] 即y＝80x－3 600x＋240 000，配方得 y＝80（x－22．5）＋199 500，当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199 500，所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元． 4.⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED，22222∴BFBEy8x, ∴ CECDxm8xx2即y

m

8xx212,化成顶点式: yx42 ⑵当m=8时，y888xx12（3）由y，及y得关于x的方程: mmx28x120，得x12，x26

∵△DEF中∠FED是直角，∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时，Rt△BFE≌Rt△CED，∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.5.解：（1）依题意得：y=(40-2x)x． ∴y=-2x+40x．

x的取值范围是0< x <20．

（2）当y=210时，由（1）可得，-2x+40x=210． 即x-20x+105=0．

∵ a=1，b=-20，c=105，∴(20)2411050，∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米． 六．板书设计

2.4.1二次函数的应用 2

2探究： 例题:

“最大面积” 问题解决的基本思路： 1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.七、作业布置 课本P47练习练习册相关练习

高中数学二次函数 篇7

问题求函数y=x2-2x+3的值域.

设计意图函数值域是函数的构成三要素之一,其指自变量取遍定义域中每个值时对应函数值的集合.在初中学生学过二次函数最值问题的解法,是用配方法或借助其图像观察求得.在此以初中已学过的熟知内容切入,意在温故,为知新铺垫.

解法1(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,

即函数的值域是[2,+∞).

解法2(图像法)略.

解法3(判别式法)由y=x2-2x+3得

可得函数的值域是[2,+∞).

点评本题的前两种解法是对学生初中所学内容的复习,解法3应用了一元二次方程的判别式,体现了函数与方程的转化思想,既复习了二次方程知识,又对二次方程的内容和工具作用适当延展,体现了转化的数学思想.

引申1求函数y=x2-2x+3,x∈[1,2)的值域.

解法1(图像法)画出函数y=x2-2x+3的图像,找出自变量x的对应区间,在此抛物线上标出x∈[1,2)时对应的图像(抛物线的一部分),然后找出这段图像上每一点对应的纵坐标,这些纵坐标的集合就是函数的值域.

解法2(直接法)∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2,x∈[1,2).∵1≤x<2,∴0≤x-1<1,∴0≤(x-1)2<1,

∴2≤y=(x-1)2+2<3,可得函数的值域是[2,3).

引申2求函数y=x2-2x+3,x∈(-2,2)的值域.

引申3求函数y=x2-2x+3,x∈(-2,0)的值域.

解略

点评初中研究的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),定义域为R时,函数有最大值或最小值;把定义域限定于给定区间,深化更新了函数内容,使学生对函数的值域的概念有了更深层次的理解,对二次函数的值域问题的求解方法能更好地掌握,必将促进初高中更好的衔接.

引申4求函数y=x2-2ax+3,x∈[-2,2]的最小值g(a).

解y=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2对称轴是x=a.

当x=a≤-2时,函数在x∈[-2,2]是递增函数,函数的最小值是7+4a;

当x=a∈(-2,2)时,函数在[-2,a]上是递减函数,在[a,2]上是递增函数,函数的最小值是-a2+3;

当x=a≥2时,函数在x∈[-2,2]是递减函数,函数的最小值是7-4a.

当x=1≤t时(即t≥1),函数在x∈[t,t+1,]是递增函数,函数的最小值是t2-2t+3;

当x=1∈(t,t+1)(即0<t<1)时,函数在[t,1]上是递减函数,在[1,t+1]上是递增函数,函数的最小值是2;

当x=1≥t+1(即t≤0)时,函数在x∈[t,t+1]是递减函数,函数的最小值是t2+2.

点评学生在初中学习的二次函数,定义域是R,是整体的,系数一般不含参数,属于静态的,高中对二次函数的研究大多是局部的、动态的.上面的引申4题是轴动区间定的,引申5题是轴定区间动的,在求解这样的问题时必须将对称轴与区间的相对位置进行讨论,结合图像,分三种情况来处理.这必将使学生对二次函数的图像与性质有更深刻的理解,并在此基础上掌握基本题型、基本方法,必将减缩衔接之过程,提升数学素质.

点评初中研究的二次函数问题大都是直接指向二次函数本身的有关问题,基本都是显性的、单纯的二次函数;高中教材中不断深化对二次函数的认识与应用,它们往往需要通过适当的变形转化等途径转化为二次函数问题,具有隐性的、繁复的特点.本题通过换元转化,使问题获解.也使学生的思维得以提升,使学生的视野得以拓宽,有效地促进初中向高中的过渡.

浅谈二次函数在高中阶段的应用 篇8

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为f(x)=ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知f（x）= 2x2+x+2，求f（x+1)

这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ：设f（x+1）=x2－4x+1，求f（x）

这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

1.把所给表达式表示成x+1的多项式。

f（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2－6x+6

2.变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t=x+1，则x=t-1，∴（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6从而f（x）= x2－6x+6。

二、二次函数的单调性，最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b/2a]及[－b/2a，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

1.y=x2+2|x－1|－1

2.y=|x2－1|

3.y=x2+2|x|－1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

类型Ⅳ：设f（x）=x2－2x－1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）。

求：g（t）并画出y=g（t）的图象。

解：f（x）=x2－2x－1=（x－1）2－2，在x=1时取最小值－2

当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=－2

当t＞1时，g（t）=f（t）=t2－2t－1

当t＜0时，g（t）=f（t+1）=t2－2

t2－2，（t<0）

g（t）=-2，（0≤t≤1）

t2－2t－1，（t>1）

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。

如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维

类型Ⅴ：设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）方程f（x）－x=0的两个根x1，x2满足0

解题思路：本题要证明的是x

因为00，又a＞0，因此f（x）＞0，即f（x）-x＞0。至此，证得xf（0），所以当x∈（0，x1）时，f（x）

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

初三数学二次函数知识点 篇9

值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a，

正无穷);②[t，正无穷)

奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。

周期性：无

解析式：

①y=ax^2bxc[一般式]

⑴a≠0

⑵a>0，则抛物线开口朝上;a<0，则抛物线开口朝下;

⑶极值点：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ>0，图象与x轴交于两点：

([-b-√Δ]/2a，0)和([-b√Δ]/2a，0);

Δ=0，图象与x轴交于一点：

(-b/2a，0);

Δ<0，图象与x轴无交点;

②y=a(x-h)^2k[顶点式]

此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;

③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)

对称轴X=(X1X2)/2当a>0且X≥(X1X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≤(X1X2)/2时Y随X

的增大而减小

此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连

用)。

交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1X2值。

26.2用函数观点看一元二次方程

1.如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一个根。

2.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

26.3实际问题与二次函数

高中数学二次函数 篇10

（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

（2）求这条抛物线的解析式；

（3）若要搭建一个矩形“支撑架”ABCD，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量（单位：吨）与费用（单位：万元）之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图1）；该产品的年销售量（单位：吨）与销售单价（单位：万元/吨）之间函数的图象是线段（如图2），若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量是多少吨时，所获毛利润最大，最大利润是多少（毛利润=销售额-费用）．

某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高20

/9

m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．

（1）

建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行高度y与运行水平距离x之间的函数关系式

（2）

问此球能否准确投中；

（3）

此时对方队员乙前来盖帽，已知乙的最大摸高为3.19m，问他如何做才能盖帽成功？

抛物线y=x2-2x-3与x轴交与A,B两点（A点在B点的左侧）

抛物线上有一个动点p，求当点p在抛物线上滑动到什位置时，△PAB的面积为10，求出此时点P的坐标

抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由

某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R=500+30x，P=170-2x．

（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？

已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A．二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上．

（1）求点A与点C的坐标；

（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y=ax2+bx的关系式．

直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=x2-x-6与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．如果点M在y轴右侧的抛物线上，S△AMO=S△COB，那么点M的坐标是________________

答案：（4，6）（1，-6）

高中数学二次函数 篇11

关键词：高中数学；二次函数；课堂质量

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）21-080-1

二次函数作为初中知识，学生们已有大致的了解。步入高中以后，教师要将初中函数的内容融合高中二次函数进行更深层次的讲解，二次函数属于高中数学重点讲解内容，提高二次函数的教学质量的同时也为学生日后的数学学习打下坚实的基础。如何提高二次函数教学质量，形成高效课堂，教师作为课堂的引导者，扮演着重要的角色。同时提高学生的积极性对教学质量的提升也会带来不同程度的帮助。因此，要提升二次函数教学质量离不开教师和学生共同努力。

一、提高学生对二次函数定义和概念的理解

高中与初中的二次函数不同点在于高中二次函数采用集合之间相对应关系实现二次函数定义解释。这对大部分刚进入高中的同学而言，具有一定的难度。因此，教师为了提高二次函数的教学质量，结合初中所学的二次函数定义和内容进行全面的复习回顾，教师再结合高中的知识，两者除了进行对比教学外，要让学生习惯高中二次函数的思维模式，二次函数中基本知识内容要充分把握，例如定义概念、对应关系和定义域、值域等基础内容，往后的教学都是基于这些基础知识拓展出来。例如一道定义理解的练习题：f（x）=x2+1，求f（2），f（a），和f（x+1）的表达式。看到这样的题目，对于那些对概念理解到位的同学，第一反应就清楚这道题的解题关键知识就是对自变量进行代换。教师在引导的过程中，解答的时候对二次函数的概念再一次巩固，一些容易混淆的部分，例如二次函数f（x+1）=x2+2x+2中，不能够将f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，要理解为自变量x+1的函数值。

二、提高学生的数学解题能力

在高中数学中，数形结合作为常见的解题方式，广泛应用在各类型的数学问题中。为了提高二次函数的教学质量，数形结合的思维模式利于学生对二次函数的图像和性质有全新的理解。二次函数中常出现最值、对称性、奇偶性、函数性质等数学问题，教师采用循序渐进的教学方式，把握教学的难易度，数形结合的思考模式需建立在扎实的基础知识上。二次函数的图像可以通过数形结合的方式对性质变化进行总结归纳。绘制基础二次函数像时，例如用描点法画出f（x）=x2、f（x）=-x2与f（x）=x2+1。在完成图像绘制时，教师可以顺便提出单调性、值域等问题，例如“在已知二次函数中f（x）=2x2-4x+1，且在-2

三、注重学生学习能力、思维能力的培养及提升

二次函数不仅作为独立的知识出现在题目中，而且还会在其他数学内容中通过细节体现出来。为了提高二次函数的教学质量，要求学生掌握二次函数知识的同时，也能够在各种题型中发现利用二次函数的方法来解决问题。因此，教师在教学的过程中，教师不仅要对学生授予二次函数学习方法，也要培养学生数学思维能力，并且学生能够灵活地运用各种不同题型中。这里对二次函数的内容又将得到再一次的延伸，学生要发挥学习的主动性，对教师讲过的题型和各种方法技巧进行汇总整理，数学思维能力才能进一步提高。

韦达定理是常用的二次函数解题技巧，该方法有利于培养数学思维和推断能力。已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的两个根x1，x2，满足0

下面这道例题同样也是根据数形结合和分类讨论的方法完成该题的解题过程，已知f（x）=ax2+bx+c（a>0），且方程f（x）-x=0的两个根x1，x2符合0

提高高中二次函数的教学质量，无论从教学内容还是在教学方式上，都要坚持以生为本的原则，只有学生充分吸收所讲的知识，才真正意义上实现教学质量的提升。

[参考文献]

[1]刘光新.如何提高数学课堂教学的有效性探析[J].科技信息，2010（22）.

[2]许泽峰.如何进行数学有效练习设计[J].学生之友（高中版），2010（04）.

初中数学二次函数的教学策略管窥 篇12

一、指导学生理解二次函数的概念, 实现由方程向函数的转变

二、培养学生学会数形结合的方法, 实现数与形的相互转化

数形结合是学生学习和掌握二次函数性质的最有效方法之一, 它不仅直观、形象, 还能培养学生的观察能力. 如果学生看见数学函数式就能想到相应的数学图像, 看到数学图像就能想到相应的数学函数式, 将非常有助于学生理解和学好二次函数. 为了培养学生数形结合方法, 笔者首先通过描点法, 将二次函数y = x2、y = x2+ 1 和y = x2- 1 的图像描绘出来, 以此来启发学生理解y =ax2与y = ax2+ k的图像间的关系, 并实现学生处理二次函数问题时能够由数到形的转化.同理, 通过观察y = a (x - h) 2与y = a (x - h) 2+ k的图像形状和位置关系, 描述二次函数式与图像之间的关联. 如此引导之后, 学生们就会认识到:如果两个二次函数的二次项系数相等, 那么它们的抛物线图像的开口大小和开口方向就一样, 即抛物线y = a (x - h) 2+ k的图像是由y = ax2的图像经过平移所得. 在上述总结的基础上, 再结合图像引导学生进一步研究二次函数的增减性和最值问题, 使学生能够通过函数图像的形状就能判断出二次函数中a、b、c的值以及△等与其相关的代数符号的意义, 从而实现数与形之间的相互转化.

三、正确合理地利用计算机软件, 降低学生学习的难度

初中是数学学习的重要阶段, 也是学生发展逻辑思维能力, 并取得不断成长的关键阶段. 众所周知, 数学是培养学生逻辑思维技能的基本科目, 因此, 数学教师在教授二次函数内容时, 一定要结合二次函数的有关知识, 培养学生的推理、判断能力. 同时, 我们数学教师要认识到, 逻辑思维能力的培养具有长期性, 而不是短期就能收到很好效果的, 教师只有通过耐心、长期、科学、正确的辅导, 才能使学生获得此项技能. 在学习二次函数知识时, 无论是函数概念还是函数图像, 都有抽象的部分, 此时, 如果想仅靠简单的板书就达到理想的教学效果是不容易实现的. 然而, 计算机技术为初中数学二次函数的教学提供了很多便利条件, 尤其是多媒体技术的迅速发展为学生理解抽象数学知识提供了良好的支持. 在二次函数教学过程中, 教师可以用几何画板、超级画板等计算机软件展示二次函数的形成过程, 从而直观、动态地模拟二次函数的各种变化, 降低学生学习该知识点的难度, 实现教学方式的多元化. 如在学习二次函数顶点式y = a (x - h) 2+ k时, 一些学生对字母系数对图形变化的影响方面认识不清, 理解不透, 这时教师就可以利用几何画板展示二次函数的字母系数与函数图像的变化之间的内在关系, 从而帮助学生加强对此内容的记忆和理解.

四、引导学生区分二次函数与其他相似内容, 加深对二次函数的理解

数学学习不仅要使学生在数学基础知识、 基本技能、思维能力、运算能力、空间想象能力等方面得到训练和提高, 还应使学生学会提出问题并明确探究方向, 让学生能够运用已有的知识进行交流, 并将实际问题抽象为数学问题. 由于中学数学课程内容之间具有密切联系, 如何区分函数与其他相似的内容就成了教师的主要任务. 例如: 二次函数和一元二次方程式, 二次函数与一次函数、反比例函数的区别和联系, 通过各种例题的讲解和学习让学生有效的归纳出:一次函数的未知数x的最高次数为1, 二次函数的未知数x的最高次数为2, 反比例函数实际就是常数项为0 的x的-1 次式, 即函数的名称与未知数x的次数有联系这样的结论. 这样能让学生对的函数认知发生了根本的变化, 同时也加深了对二次函数的理解.

五、结束语

总而言之, 二次函数是初中数学教学中的关键内容, 教师一定要高度重视对此部分内容教学策略的研究, 用心阅读课本, 认真备课, 参透原理, 合理使用多媒体教学手段, 正确处理学生学习过程中遇到的疑惑, 努力让学生能够愉快、轻松地学好二次函数的相关内容.

参考文献

[1]范小琴.初中数学“二次函数”的教学实践探微[J].中学课程辅导, 2015 (11) .