按比例分配教学设计

按比例分配教学设计（精选8篇）

按比例分配教学设计 篇1

篇一：按比例分配>教学反思

按比例分配是小学六年级的教学内容。学生在此前已经学习了平均分、分数乘法应用题、比的知识，这些知识是学生解决按比例分配的应用题的基础。小学生年龄小，平时接触较多的是平均分的方法，所以在教学时我从平均分问题入手，然后导入到按比例分配。这样导入，既体现了按比例分配的根源，课堂内容还由简到难，过渡比较自然，学生容易接受。经过对课的实际探索，我对数学的课堂教学有了新的感悟和体会。

一、>故事导入，激发学生探究知识的欲望，调动学习的兴趣

本课内容由于是解决问题，所以难免有些枯燥。故事是最能激发学生兴趣的。所以我根据教学内容，选取小动物们开>运动会的情境导入新课，让学生展开联想的翅膀，尽量吸引学生的注意，让学生在问题的情境中产生思维碰撞的火花，寻求打开通道的“钥匙”，激发学生的兴趣，散发学生的思维。如课的一开始，通过我对故事的口述和画面情境图的出示，让学生产生强烈的好奇心、求知欲。

二、提高学生的问题意识。

“问题是数学的心脏”。在教学中，要以问题为主线，通过创设问题情景来调动学生思维的参与，激发其内驱力，使学生真正“卷入”学习活动中，达到发展思维，培养能力的目的。在本堂课中，我主要设计了以下几个问题。

1.白兔和灰兔得到的萝卜的比是3:2，这句话你是怎么理解的？

这样就给学生插上了想象的翅膀，学生经过自己的理解积极发言，不仅活跃了课堂气氛，而且还使学生对这句话加深了理解。

2.对于学生的做法，我在给予肯定的同时，又让学生说说你是怎么想的，既增强了学生的信心，还使学生们明白了每一步的含义。

三、赞赏鼓励，创新民主和谐轻松的氛围，感受成功的体验

教学是由教师的教和学生的学构成的统一的活动，它是一个人际互动的过程，是一个情感交流的过程。我在教学中坚持认为“欣赏每一个学生，是学生发展性教育的前提”。本节课，我通过发挥有声语言和无声语言等体态效应，让每个学生都产生强烈的感情，感受到老师真诚的微笑，赞许的目光，温和的话语。如：“分析太精妙了、你们讨论真有成效„„”，这些话让学生甜在心里、乐在心里，体现了互亲互相爱的师生关系、体现了亲情、人文的关怀，让学生在平等、尊重、信任的氛围中受到激励，让学生在轻松、欢快的氛围中学习、交流，体验。

四、存在的不足

但是在课堂教学中，还有一些不尽如人意的地方。比如在学生得出了解决按比例分配问题的两种方法后，我应该让学生比较这两方法的相同点和不同点，进一步理清思路，而不只是分析其不同点。这一点处理的不够到位。而且在选择这两种方法时，虽然不强调算法优化，但也应该让学有余力的学生试着用这两种方法都做一做。

总之，在本课中进行的教学方面的实践，使我有了一定的>收获。今后还应不断反思，加以总结和改进，以不断提高自己的教学水平。

篇二：按比例分配教学反思

>数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验、生活经验基础之上，“比的应用”一课是按比例分配应用题在实际生活中的应用。通过从生活实际引人按比例分配的计算，并应用所学知识解决了一些简单的实际问题。

一、联系生活实际，激发学生兴趣。

“ 学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战的。” 在揭示课题，出示目标之后，我让学生根据根据自学指导自学，思考如何解决溶液配比的问题，这种贴近学生生活又有一定挑战性的实际问题，不仅能调动学生学习的积极性，还能培养学生解决实际问题的能力。并且这种学生熟悉的生活素材放入问题中，能使学生真正体会数学不是枯燥无味的，数学就在身边。

二。学生是课堂的主人。

新课程改革的一个核心任务就是要改变学生原有的单纯接受式的学习方式，向自主探究的学习方式转变。充分调动、发挥学生的主体性。学生在自学的过程中，已经初步感悟到了按比例分配的两种方法，即份数的方法和分数意义的方法，在尝试做题的过程中，交流、纠错，对这类应用题建立起了模型，讨论、交流、真正实现了学习方式的转变。每一个问题的提出，教师都给予学生充分的时间和空间，让学生亲自交流合作，然后再观察比较，最后得出结论。整个过程，对培养学生自主学习的能力是至关重要的。

三、尝试用所学知识解决实际问题达到学以致用。

让学生用今天所学的知识解决生活中的实际问题，但又不是简单的解题训练。在练习的设计上，采用多种形式步步提高，通过有层次和有坡度的一组问题，提高学生解决问题的能力。

四、多角度分析问题，提高能力

应用题解答的过程中，教师要鼓励学生对同一个问题积极寻求多种不同的解法，拓展学生思维，引导学生学会多角度分析问题，让学生充分实践体验，在探究中加深对这类应用题数量关系及解法的理解，提高能力，为学生进入更深层次的学习做好充分的准备。

篇三：按比例分配教学反思

一、课堂教学设计说明

本节课的复习部分：通过交流日常生活中某些物体或某些商品组成的部分的比，和与学生生活实际密切联系的题目为学习新知识创设情境，从而提出课题。学习新课部分中，例题的教学由扶到放，先让学生分交流讨论，之后独立完成，最后说说怎么想的，从而掌握解题关键。巩固反馈部分由易到难，逐步提高。计算长方形的长和宽，是学生很容易错的一道题，所以采用了判断的方法，指出易错的地方，引起学生注意。

本节课采用小组协作学习的教学方法，课堂气氛活跃，调动了学生学习的积极性和主动性。

二、反思

整个教学是成功的，具体表现在：学生始终以积极的态度对问题进行主动探究。在这一过程中，学生通过讨论、辩论，对“按比例分配”有了具体了解，并且了解了日常生活中比的应用。最终 使学生认识按比例分配应用题的结构特点和解题思路，能正确解答按比例分配应用题。

反思这一教学过程，具体分析如下：、创设了生活情境，激发了探究欲望。我 用生活中学生司空见惯的例子切入话题，展开讨论，将生活常识与数学科学知识“超链接”，激发学生的学习兴趣，使得知识点得以轻松展开并为学生所接受，在体验中建构新的概念体系。整个课堂教学中，我重视从学生的生活经验和已有知识中学习数学和理解数学。在教学设计上，我创造性地使用教材，精心设计贴近学生生活实际的学习材料，使学生充分运用生活经验体验和感悟数学是行之有效的。、在谈话中为如何解决问题做好了潜移默化的铺垫，这一个环节的设计是为了深化学生对 “ 按比例分配”的认识，整个过程始终体现了新课标的要求：学习生活中的数学，创设生活情境帮助学生了解数学，运用数学。数学源于生活，服务于生活。并且整个过程中我注意体现学生的主体作用，尊重学生的意见，让学生体验到了数学的快乐。、这节课，我改变以往过于注重知识传授、强调学科本位，而是更多地关注学生的学习过程和情感体验，让每个学生都积极投入到学习的探究过程，开展自学互学、小组交流、自由汇报等形式，使他们成了真正的“主角”，把时间和空间都留给学生进行思考。如本节课中，“ 你能根据农药的使用说明书，帮王老汉分析其中的原因吗？小组讨论一下，庄稼为什么枯黄？”和“看图编一道按比例分配应用题” 这两个环节的教学时，通过小组讨论，发表每个个体的意见，形成小组意见，又通过组际间的交流，得出综合完整较理想的结论，让同学们感到合作的力量，得到成功体验的机会。通过让学生在疑惑中去探索，在探索中去思考，在思考中去发现，提高了学生学习的积极性，感受合作中恍然有得的快感。

按比例分配教学设计 篇2

苏教版课程标准教科书第75页例5及相应的“试一试”，完成随后的“练一练”和练习十四第1—4题。

二、教材简析

本节内容是在学习了比的意义、比与分数、除法的关系和比的基本性质的基础上学习比的应用，解决按比例分配的实际问题。按比例分配就是把一个数量按照一定的比进行分配，它是“平均分”方法的发展。本单元教材例5教学是把一个数量按照已知的比分成两部分，没有给出按比例分配的名称，也没有指定的解法，通过学生独立思考、自主探索找到解法。“试一试”在例5的基础上，让学生探索并解决把一个数量按照已知的比分成三部分的问题，在这里结合具体问题第一次呈现三个数量的连比。由于连比的含义与两个数的比有所区别，教学时应予以指导。

“练一练”和第1—4题主要是让学生巩固解决按比例分配问题的基本思考方法。其中“练一练”第2题虽然与“试一试”的问题类似，但此题需要学生根据三个班级的人数自主确定比。通过解答这样的问题，学生能进一步加深对按比例分配问题的理解。

三、教学目标

1.通过学生亲自动手、独立思考，不断理解按比例分配实际问题的意义。

2.初步掌握按比例分配应用题的特征及解题方法，能正确、灵活解答按比例分配应用题。

3.在解决实际问题的过程中，引导学生主动探索，勤于实践，勇于发现，合作交流。

4.能结合具体情境，发现并提出数学问题，能尝试着从不同角度探索出解决问题的有效方法，促进学生创新思维的发展。

四、教学重难点

理解按比例分配实际问题的意义，掌握解决按比例分配问题的基本思考方法是解题的关键。

五、教学准备

水彩笔、方格纸、设计水果沙拉的表格、实物投影仪。

六、教学流程图

操作感知→实践应用→拓展创新。

七、教学过程

（一）操作感知，准备铺垫。

1. 动手涂一涂。（课件出示例题图。）

师：这个长方形被平均分成了几个方格?(停顿)

师：给这30个方格分别涂上红色和黄色，你怎么涂呢?两种颜色各涂几格?同时请写出两种颜色方格的比是几比几?(停顿)

操作后学生汇报，教师有选择地板书。当出现红色和黄色各涂15格时，问：这种涂法把30个方格各分成了15份，其实是什么方法?

2.（从刚才学生所说的比中选取3:

2)教师边读边说：看到这条信息，你会联想到些什么?(份数、各种比……)师适当板书学生说的：如红方格占总数的几分之几，黄方格占总数的几分之几……

[教师利用学生的好奇心，让他们独立思考、自主探索，利用这道操作性开放题激活学生的思维。在课堂上，学生争着表达自己的见解，出现了各种各样的分法，既认识了平均分是按比例分配的特例，又通过主动探索初步感知了按比例分配的意义，初步体验到了成功的喜悦;同时也注意了知识之间的内在联系，为新知学习作好了铺垫。]

（二）合作探究，概括方法。

1. 结合操作、合作探究。

师：根据我们刚才的分析，如果要求使红色与黄色方格数的比是3∶2，红、黄方格各涂多少格又应怎样算呢?把你的想法和同桌说一说，讨论后在本子上列式解答。(停顿)

组织学生交流，教师适当板书两种常见不同的解法。

师小结：根据“红色与黄色方格数的比是3∶2”，我们可以这样想：可以把红色的方格数看作3份，黄色的方格数看作2份，总格数就有这样的5份。把30个方格平均分成5份，3份涂红色，2份涂黄色。

师追问：“3+2=5”表示什么?“30÷5”表示什么?问什么还要“×3”?

根据“红色与黄色方格数的比是3∶2”，我们还可以这样想：从中可以看出红色的方格数占总格数的，黄色的方格数占总格数的。

师追问：分母3+2表示什么?表示什么?表示什么?(停顿)

师：刚才我们把上面的比转化成以前学过的方法求出了答案，像这样把30个方格按“3∶2”来分配的方法，通常称做按比例分配。按比例分配是一种常用的分配方法，在工农业和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。如果把“红色与黄色方格数的比是3∶2”改成“红色与黄色方格数的比是1∶1”，你想到了什么?(停顿)

师：其实，我们以前学过的平均分是按比例分配中的一种特殊情况。

[在实际教学中，出现了多种不同的解法，可以看出学生真正理解了按比例分配的内涵。在最后3∶2与1∶1的比较中，进一步明确了平均分与按比例分配的关系。]

2. 继续深化新知，拓展创新。

（1）完成“试一试”。

(1) 师：如果把上图的30个方格涂成红、黄、绿三种颜色，每种颜色各应涂多少格呢?

生：我认为没办法涂或只要随便涂就可以了。

师：你最怎么想的?

生：因为题目没有要求按怎样的比来涂色。

(这正是教师所期望的，说明学生理解了按比例分配的基本要素之一要有一个比才能分配，培养了学生的质疑和创新精神。)

师：如果让我们按“1∶2∶3”的比例来分配，你怎么想的?你能列式解答吗?把你的解答过程写在本子上。

学生汇报不同的解法，利用课件核对答案。师生共同小结。

(2) 比较：“例5和试一试”有什么相同点和不同点?

相同点：这两题都告诉我们总数，都是将30个方格按照“比”分成几部分，每一部分都可以看成占总数的几分之几。

不同点：例5是两种量的比，试一试是三种量的比。

（2）拓展。

(1) 师：我们学校为了锻炼同学们，把十二个楼梯口的卫生管理分给了我们六年级四个班，你们说该怎么分配呢?

A：按人数多少分，因为每个班的人数不一样。

B：好像不行，因为十二个楼梯口不能再把它分成分数或是小数了，不方便。所以应该是平均分比较好，也就是12÷4=3(个)。

大家附和表示同意。

师：(赞赏之情)了不起，能想得这么周到。下次这样的分配只要交给你们来设计了。

(2) 师：好，老师就把任务交给你们了：开学初，学校分给我们660本练习本，该怎样分配合适?

学生讨论交流后，一致指出，按人数分配比较合适，因为每个人发的本数应该是一样多的，所以只要知道四个班，每个班有多少人就可以了。

师：真是太了不起了，四个班的人数其实就是四个班的比。(课件打出)六(1)班有42人，六(2)班有41人，六(3)班有40人，六(4)班有42人，你能算出每个班应该分多少本吗?

[简析：两个例子，来源于南京武家嘴实验学校的真实素材，教师让学生带着问题，带着思考参与学习的全过程，在矛盾中加深理解了平均分是生活里必须的按比例分配的特例，又进一步深化了一般情况下按比例分配的实际应用，让学生在与实际生活的情境中学习数学，体现了新课标的理念。]

（三）走进生活，应用创新。

1. 生活中的例子。

师：像这种按比例分配的方法，在生活中应用是很广泛的，你了解到多少呢?

(学生说出了很多，如：调配油漆、牛奶、酒、饮料、农药，利润分配等。)

教师补充说明：在分配利润或其它物品时常听说：四六开、三七开等，其实就是一种按比例分配。

2. 拓展应用，自主创新。

师：喜欢吃水果的同学请举手。水果很有营养，多吃有益，现在我们就来做一个水果拼盘。

准备的果肉有：苹果、梨、香蕉、菠萝、葡萄干、哈密瓜、桃子、松仁。

目标：选择几样果肉，根据自己的品味与喜好，按一定比例，做一盘500克的水果拼盘。

[完成表格，然后在实物投影上展示成果，适当评价。]

（四）课堂小结。

师：今天，这节课学习了什么?你有什么收获?还有什么不明白的吗?有什么感受?

（五）课外延伸。

师：同学们，其实我们每个人身上也蕴藏着按比例分配的问题，请课后查一查有关人体各部分比例关系，量一量身高，再算一算各部分的长度。

八、教学反思

(一)本节课适当加工了教材的内容，结合学校实际，在学校六年级人数的素材中引发按比例分配的问题，让学生在解决实际问题的过程中探索解决问题的策略，学习有价值的数学。

土地补偿费按什么比例分配 篇3

我们村下辖11个村民小组。最近因小城镇建设和镇辖各部门的办公用地需要征收我村第二村民小组的土地。根据有关法律规定，安置补助费和青苗补偿费用于被征收土地的农户，土地补偿费用于集体。而我村前几届村民委员会和村民小组的土地补偿费分成是：村民小组占90%，村委会占10%。我村两委及部分村民认为按这种比例分配不合适。因土地的发包者是村委会，而村民只是承包者，且村民小组得到这部分钱后，又没有拿出办公益事业，只是每年年底拿出来按原承包人口分给各农户。我们认为，村里应该占多数，组里占少数，但被征地的村民小组却认为，土地是他们村民小组的，大头应该归他们。该问题经过多次协调，都没有达成一致意见。请问，土地补偿费究竟该按什么比例分配？

贵州 罗某

罗某读者：

土地补偿费是国家因征地行为对土地所有者和土地使用者在土地投入和收益方面造成损失的一种补偿。《土地管理法实施条例》规定，安置补助费必须专款专用，不得挪作他用。需要安置的人员，由农村集体经济组织安置的，安置补助费支付给农村集体经济组织，由农村集体经济组织管理和使用；由其他单位安置的，安置补助费支付给安置单位；不需要统一安置的，安置补助费发放给被安置人员个人，或者征得被安置人员同意后用于支付被安置人员的保险费用。地上附着物及青苗补偿费归地上附着物及青苗的所有者所有。而土地补偿费的归属，《土地管理法实施条例》明确规定，土地补偿费归农村集体经济组织所有。也就是说，土地补偿费究竟归谁所有，要看被征收的土地属于村集体所有还是属于村民小组所有。如果被征收的土地属于村民小组所有，那么土地补偿费应归村民小组所有。一般来说，依法属于村民集体所有的土地，由村集体经济组织或者村民委员会经营、管理；已经分别属于村内两个以上农村集体经济组织的农民集体所有的，由村内各该农村集体经济组织或者村民小组经营、管理；已经属于乡（镇)农民集体所有的，由乡（镇）农村集体经济组织经营、管理。但并不是说，发包方就是土地所有权人。《农村土地承包法》规定，村集体经济组织或者村民委员会发包的，不得改变村内各集体经济组织农民集体所有的土地的所有权。至于土地补偿费的使用，《土地管理法》第四十九条规定得十分明确：被征地的农村集体经济组织应当将征用土地的补偿费用的收支状况向本集体经济组织的成员公布，接受监督。禁止侵占、挪用被征用土地单位的征地补偿费用和其他有关费用。

按比例分配教学反思 篇4

本课内容由于是解决问题，难免有些枯燥。故事是最能激发学生兴趣的，所以我根据教学内容，选取小动物们开运动会的情境导入新课。让学生展开联想的翅膀，尽量吸引学生的注意，让学生在问题的情境中产生思维碰撞的火花，寻求打开通道的“钥匙”，激发学生的兴趣，散发学生的思维。如课的一开始，通过我对故事的口述和画面情境图的出示，让学生产生强烈的好奇心、求知欲。

二、提高学生的问题意识。

“问题是数学的心脏”。在教学中，要以问题为主线，通过创设问题情景来调动学生思维的参与，激发其内驱力，使学生真正“卷入”学习活动中，达到发展思维，培养能力的目的。

《按比例分配》教学设计 篇5

课标分析：

《数学课程标准》明确指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”数学知识、数学思想和方法必须由学生在现实的数学实践活动中理解和发展。

本节课是在学生理解了分数与比的联系，掌握简单的分数乘、除法应用题数量关系的基础上学习的，是把比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例，它是“平均分”问题的发展，并在实际生活工作中有广泛的应用，学习它能使学生深刻体会到数学源于生活，又高于生活，最后又服务于生活的辩证关系。掌握了按比例分配的解题方法，不仅能有效地解决生活、生产中把一个数量按照一定的比进行分配的问题，也为今后学习“比例”、“比例尺”奠定良好的基础。教材分析：

本节课是通过明明和爸爸的对话及文字介绍提供了人体内水分和其它物质的数据信息，借助“明明体内的水分和其他物质各有多少千克”的问题，引入对应用比的意义和基本性质解答有关按比例分配的实际问题的学习。

通过本节课的学习，学生能结合具体情境理解按比例分配的意义；掌握按比例分配的计算方法，并能较熟练地运用按比例分配的方法举一反三地解决实际问题，养成良好的分析理解能力。学情分析：

本节课是在学生理解比的知识及求一个数的几分之几是多少的应用题的基础上进行学习的，由于学生在平时对饮料、奶制品的配比问题还是比较熟悉的，所以本节课的内容学生还是容易理解和掌握的。教学目标：

1.让学生感受比在生活中的应用，会用自己的话解释按比例分配的意义。会画图分析问题，养成检验的好习惯。

2.学生在观察比较中，总结归纳出按比例分配问题的特征和解题方法。

3.学生在探索中，将按比例分配问题转化成份数、分数知识解答，并能找到解决问题的多种方法。体验解决问题策略的多样性。教学重点：

1.正确理解按比例分配的意义。

2.掌握按比例分配应用题的特征和解题方法。

教学难点：能正确、熟练地解答按比例分配的实际问题。教学过程设计：

一、创设问题，揭题导入

1.课件出示信息窗，呈现明明和爸爸的对话：明明：“我的体重是30千克。”爸爸：“我的体重是70千克。”

师引导：如果把明明体重平均分成两份，一份是水，另一份是其他物质，这时候我们就可以说：明明体内水分和其它物质的比是多少？

2.师继续引导：实际上，人体内水分与其他物质不是平均分配的，而是按一定的比来分配的。课件继续呈现信息：科学研究表明，儿童体内水分与其它物质的比是4:1；成年人体内水分与其他物质的比是7:3。

3.师：根据以上信息，你能提出什么数学问题？

生提问题：明明体内含的水分及其他物质各有多少千克？爸爸体内含的水分及其他物质各有多少千克？

【设计意图：从学生已经学过的“平均分”问题入手，找准知识的生长点，使学生体会到按比例分配问题是“平均分”问题的发展，从而初步理解按比例分配的含义。】

二、自主探究，解决问题 1.理解4:1的意义

师：弄清4:1的意思我们可以用什么方法？（引出线段图）（1）生独立思考。

（2）小组活动，研究4:1的意思。

（3）小组交流。演示线段图课件，回顾整理。学生根据题意，完整说说4:1的意义。

儿童体内，水分占（）份，其它物质占（）份，一共是（）份。水分与体重的比是（），其它物质与体重的比是（）。水分的千克数占体重的（），其它物质占体重的（）。

【设计意图：《数学课程标准》指出：“合作交流是学生学习数学的重要方式。”这一环节，使学生有了充分的探究时间和空间，在自主探索、亲身实践和合作交流的氛围中，解除困惑，弄清4:1的意思，并有机会分享自己和他人的想法。通过小组交流，又建立了按比分配的表象。最重要的是培养学生学会倾听和小组有序合作的学习习惯。】 2.借助线段图，解决问题。

师：我们借助线段图弄清了4:1的意思，知道了水分、其它物质和体重之间的关系，要解决这个问题还有困难吗？

生独立解答。师巡视，找到两种不同的方法，为接下来的交流做准备。

【设计意图：根据学生已有知识的特点，采用尝试教学法，给学生独立思考问题的空间和时间，使他们始终参与到探究问题、解决问题的过程中。然后安排他们交流解题思路，这样学生的学习更生动有效。在这个环节中，学生始终是学习的主题，教师是学习的组织者、引导者、合作者。同时培养学生敢于质疑和完整表达的习惯。】 3.全班交流，归纳两种不同的解题方法。生根据自己的理解用两种不同的方法解答。方法一：份数法

根据总份数是5份，用30/5表示出平均每份的千克数，再乘份数就得出了水分和其它物质的千克数。即：（1）求总份数；（2）先求一份是多少；（3）根据份数求出各部分的量。方法二：分数法

运用分数乘法的知识解答，把要求的水分和其他物质的千克数转化成占体重的几分之几来表示，再根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算的道理列式计算。即：（1）求总份数；

（2）求出各部分占总数的几分之几；（3）根据分数乘法，求出各部分量。

【设计意图：通过对比总结，进一步归纳按比例分配在实际应用中的解题思路，理清各种数量间的相互关系。】

4.寻求方法，进行检验。

师：那我们做得对不对，怎么办？引出检验方法。

方法一：把求得的小明体内水分质量和其它物质的质量相加，看是否等于小明的体重。方法二：把求得的小明体内的水分和其它物质写成比的形式，看化简后是不是4:1。【设计意图：这一环节的设计意在培养学生解答问题后能养成及时检验的习惯。】

三、走进生活，体会按比例分配的意义。

1.学生用按比例分配的知识解决前面提出的问题：爸爸体内的水分有多少千克？

学生独立解决问题。2.生活中有许多按比例分配的例子，你都知道哪些？ 学生交流。

【设计意图：通过举生活中的实例，进一步加深学生对“按比例分配”的理解，巩固所学知识，明白它在生活中的广泛应用，体会数学与生活的练习。培养学生善于观察、注重积累的学习过程，做生活中的有心人。】

四、巩固练习，发展提高。练习一：基础题

1.一种糖水是糖与水按1:19的比例配制而成的。要配制这种糖水2千克，需要糖和水各多少千克？

练习二：变式题

2.某农药厂要生产新型农药，药与水的比是2:3.现在已经准备好药粉14千克，需要加水多少千克？

练习三：提高题

3.按建筑标准，建造楼房的混凝土中，水泥、黄沙和石子的比2:3:5时最牢固。学校要建造一栋教学楼，但现在水泥只有4吨，黄沙有12吨，石子却有24吨，总重40吨。如果由你负责质量的监理，你会怎么想？你将如何处理？

【设计意图：通过进一步练习，理清按比例分配问题的解题思路，体会按比例分配的重要意义，进而提高根据已有信息分析问题的能力，同时渗透做人的思想教育。】

五、课堂小结，反思提高。学了这节课，你有什么收获？

【设计意图：学生通过回顾学习过程，反思自己的表现，养成学习后能自我反思提高的学习习惯。】

六、拓展延伸

学习了按比例分配，你能为自己配制一份饮料吗？根据自己平时喜欢的口味，利用量杯配制500毫升的苹果饮料。把自己的配制方案记录下来，写成一篇数学日记。

【设计意图：本题是一道开放性的练习题。主要是给学生提供自主探索的机会，感受数学的趣味和作用，有利于培养学生解决问题的能力和创新意识。】

《按比例分配》评测练习

课堂练习：

1.一种糖水是糖与水按1:19的比例配制而成的。要配制这种糖水2千克，需要糖和水各多少千克？

2.某农药厂要生产新型农药，药与水的比是2:3.现在已经准备好药粉14千克，需要加水多少千克？

3.按建筑标准，建造楼房的混凝土中，水泥、黄沙和石子的比2:3:5时最牢固。学校要建造一栋教学楼，但现在水泥只有4吨，黄沙有12吨，石子却有24吨，总重40吨。如果由你负责质量的监理，你会怎么想？你将如何处理？ 课后练习： 1.填一填。

（1）某班男女学生人数的比是4∶3，男生占全班人数的()，女生占全班人数的()。（2）学校图书馆科技书和故事书的比是3∶5，是把两种书的总本数平均分成了（）份，科技书是（）份，故事书是（）份。

（3）糖和水的比是1∶10，糖占糖水的（），水占糖水的（）。

2.研究发现，8岁以上的儿童按5∶3安排一天的活动与睡眠的时间是最合理的。一天的睡眠时间应是多少小时？

3.丹顶鹤是我国国家一级保护动物。全世界目前大约有丹顶鹤2000只，我国和其他国家拥有的丹顶鹤数量的比约是1∶3。我国比其他国家拥有的丹顶鹤少多少只？ 4.如果把右图的30个方格按1：2：3涂成 红、黄、绿三种颜色，你能算出三种颜色各 应涂多少格吗？

《按比例分配》效果分析

通过课堂教学效果看，学生能结合具体情境理解按比例分配的意义，能掌握按比例分配的计算方法，而且能较熟练地运用按比例分配的方法举一反三地解决实际问题。

课堂练习的第一题是基本练习，即一种糖水是糖与水按1:19的比例配制而成的。要配制这种糖水2千克，需要糖和水各多少千克？这道题有的学生用份数法解决，有的学生用分数法，正确率很高，只有个别学生在计算的时候出错。

课堂练习的第二题是变式练习，与例题不同，“ 某农药厂要生产新型农药，药与水的比是2:3.现在已经准备好药粉14千克，需要加水多少千克？”学生在做这道题的时候，大部分用份数法解决，思路比较清晰。只有少部分学生仍用例题的方法解决，没有找准已知量对应的分数。课堂练习的第三题是提高题，需要学生很强的分析问题能力。这道题有的学生能很快地找到解决问题的方法，有的学生不知从哪下手。通过全班交流，大部分学生能运用按比例分配的方法解决。

课后练习的完成情况较好。出错较多的是第三题，错因多是没有很好地理解问题，只是求出中国丹顶鹤的只数。

总的来讲，学生通过本节课的学习，理解了按比例分配的意义，掌握了按比例分配的计算方法，能运用按比例分配的方法解决实际问题，提高了分析问题的能力。

《按比例分配》课后反思

学习本节课之前，学生学习了分数乘法应用题、比的知识，这些知识是解决按比例分配应用题的基础。学生平时接触较多的是平均分的方法，按比例分配的方法学生平时也有一些体验，生活中的体验也是学生解决问题的基础。所以本节课采用了引导学生自主探索解决问题的学习方法，学生在自主探究的过程中，掌握了按比例分配的计算方法，并能较熟练地运用按比例分配的方法举一反三地解决实际问题，养成了良好的分析理解能力。

1．情境导入合理，练习贴近生活。

《标准》指出：“使学生感受数学与现实生活的联系”，“数学教学必须从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事例出发”。本节课通过明明和爸爸的对话及提供人体内水分和其他物质的数据信息，借助“明明体内的水分和其他物质各有多少千克”的问题，引入对应用比的意义解答有关按比例分配问题的学习。在练习环节，设计一个内容，让学生说说生活中有哪些按比例分配的例子，学生想到了磨豆浆时豆子和水需要按一定的比例，和面时水和面粉需要按一定的比例等等，这样一下子就拉近了学生与数学知识间的距离，让学生感觉按比例分配在生活中处处可见。设计的课后实践作业也与学生的生活密切联系，让学生在动手中进一步理解按比例分配的问题。2．注重学生知识的构建。

新课标积极倡导学生 “主动参与、乐于探究、勤于思考”，以培养学生获取知识、分析和解决问题的能力。本节课通过创设问题情境，学生在思考、交流、展示的过程中经历数学，获得感性经验，进而理解所学知识，同时也为学生多彩的思维创设良好的平台，由于学生的经历不同，认识问题的角度不同，促使他们解决问题的策略的多样化。

3.在交流合作中获得发展。

按比例分配教学设计2 篇6

主讲教师：庆城县驿马镇驿马小学

王

倩

教材简析：

“按比例分配”是人教课标版六年制小学数学上册48页例２的教学内容。按比例分配是在学生掌握了“求一个数的几分之几”的应用题的基础上学习的，是平均分配问题的延伸，其特点是已知分配总量和分配比例，求各数量是多少，通过把“几比几”转化为“求总量的几分之几”，从而沟通与分数乘法应用题的联系。本课是其中例2的教学。教学目标：

１、认知目标：理解按比例分配的意义，掌握按比例分配应用题的特征，能运用按比例分配的知识解决实际问题。

２、能力目标：培养学生分析，比较，概括和运用知识解决实际问题的能力。３、德育、情境目标：渗透转化的数学思想和方法，培养学生的探索精神和创新意识。体现数学知识生活化。教学重点：

认识比例分配应用题的结构和特点，掌握解题方法，能熟练解答有关题目。教学难点：

理解按比例分配的意义。找准被分配的量。教学准备：

课件，铅笔等。教学时间：

2011年11月20日

教学过程：

一、复习旧知，注重铺垫

１、口答：一个农场计划在100公顷的地里播种60公顷大豆和40 公顷玉米。

a、大豆和玉米各占这块地的几分之几？

b、大豆和玉米播种公顷数的比是():()(板书：比)

２、口答：大豆和玉米播种公顷数的比是3:2 a、大豆的公顷数占（）份

玉米的公顷数占（）份

这块地一共（）份（板书：份数）

b、大豆占这块地的（）

玉米占这块地的（）（板书：分数）

３、农场在一块24公顷的地里种粮食作物和经济作物，其中粮食作物占3/5，经济作物占2/5，两种作物各种多少公顷？

二、进行新课，注重启思

1、理解按比例分配的意义

师（手里举着十支铅笔）：今天××同学和××同学的复习作业做得真好，我想把这十支铅笔奖给他俩，该怎么分？

生甲：每人五支。生乙：把十支铅笔平均分给他俩。师：说得真好，把十支铅笔平均分给他俩，每人五支。

师（再拿出十支铅笔）：我还想把这十支铅笔奖给这次做作业获第一、第二名的同学，应该怎么分？（学生在下面议论争辩分法）

引导学生说出：按一定的比来分。

师：说得真棒。生活中有很多这样的例子，需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法就是按比例分配（板书课题：按比例分配的应用）

2、展示课件，引入新课：

师：同学们可以看到，我们校园这么漂亮，有足球场、篮球场，还有玩单双杠的场地，真是个锻炼身体的好地方。现在也有一个学校的校长要修建操场，他现在遇到了难题，请同学们给他当一回参谋，你们有信心吗？（出示自制题目）学校要修建操场，将操场分为篮球训练区和排球训练区，篮球训练区和排球训练区的面积比是5：3，两个训练区的总面积是640平方米。篮球训练区和排球训练区的面积各是多少平方米？

3、尝试练习：

师：思考如下问题：

（1）题目中已知什么，要求什么？

（2）引导学生弄清题意后，问：题目中要分配什么？是按什么进

行分配的？（分配640平方米的训练区；篮球训练区和排球训练区的面积比按5：3进行分配。）（3）问：“篮球训练区和排球训练区的面积比是5：3，是什么意思？（就是说在640平方米的操场上，篮球训练区面积占5份，排球训练区的面积占3份，一共是8份，篮球区占总面积的5/8，排球区占总面积的3/8。）

师：这个题老师还没有教，看看你们能不能动脑筋，自己来解答这个问题（请

两个学生板演）请学生讲解算式的意义：（学生说算式，教师板书）

（一）归一法：

（二）分数方法：

5+3表示（总面积平均分成的份数）5+3表示（总面积平均分成的份数）640÷8表示（每份的面积）

640×5表示（篮球区的面积）640×5/8 表示（篮球区的面积）640×3表示（排球区的面积）640×3/8表示（排球区的面积）

4、引导检验: 如何检验解答是否正确呢？（说明：检验的方法有两种：一是把求得的篮球 区的面积和排球区的面积相加，看是不是等于操场的总面积；二是把求得的篮球区的面积和排球区的面积写成比的形式，看化简后是不是等于5：3。）

5、引导学生说出每一种解法，师总结：（这样的题目告诉了我们几个量的和以及这几个量的比，然后把总量按这个比分成几个量，这就是按比例分配的应用题。解决这类题的关键是要搞清楚被分配的量。我们可以把比转化成份数使题目成为归一应用题，应用归一方法来解答；也可把比转化成分数使题目成为分数应用题，根据求一个数的几分之几是多少的方法来解答。）

三、课堂练习：

1、基本练习：如果把例题当中的面积比改为7：3，两个训练区的面积各是多少？（展示学生的做法）

2、补充练习

（1）出示题目：学校把栽280棵树的任务，按照六年级三个班的人数分配给 各班。一班有47人，二班有45人，三班有48人。三个班各应栽树多少棵？

（2）引导学生弄清题意后，问：题中要把280棵树按照什么进行分配？（着 重使学生明确要按照一班、二班、三班的人数的比来分配，即按47：45：48来分配。）

（3）根据一班、二班、三班的人数怎样算出各班栽的棵数占总棵数的几分之 几？（使学生明确：要先算三个班总共有多少人（即总份数），然后才能算出各班栽的棵数占总棵数的几分之几。）

（4）怎样分别算出各班应种的棵数？引导学生解答：

①三个班的总人数：47+45+48=140（人）

一班应栽的棵数： 280×

= 94（人）14045= 90（人）14048= 96（人）140② 二班应栽的棵数： 280×③ 三班应栽的棵数： 280×答：一班栽树94棵，二班栽树90棵，三班栽树96棵。

（5）学生进行检验。

四、巩固练习

发展应用：

A、师：下面我们来作个试验，看看你对自己有多了解。说说你的身高（很多学生都能说出来），再说说你头部的长度（对大部分学生来说有难度）师：我曾经看到这样一条信息：12周岁的儿童，头与头部以下的高度的比一般是2：13。2：13是什么意思？你能根据自己的身高算一算头部的长度吗？但是有一个要求，最后的结果保留整厘米数。

B、“六一”儿童节学校经过研究，决定从400元中把100元作为数学竞赛奖励基金，剩下300元钱按3：2：1的比例分配给获一、二、三 等奖的三名学生，三人各得多少元 ？

五、能力拓展

综合实践：

低年级老师要用30厘米长的铁丝制作一个长方形框架，这个长方形的长与宽的比是5：3。你能帮这位老师算出这个长方形的长与宽吗？ 六：课堂小结：

现在回顾一下，今天学习了什么知识？

七、布置作业

练习十二的1----4题。八：板书设计：

按比例分配应用题

例1：学校要修建操场，将操场分为篮球训练区和排球训练区，篮球训练区和排球训练区的面积比是5：3，两个训练区的总面积是640平方米。篮球训练区和排球训练区的面积各是多少平方米？

（一）归一法：

（二）分数方法：

5+3表示（总面积平均分成的份数）5+3表示（总面积平均分成的份数）640÷8表示（每份的面积）

论按要素分配与按劳分配的关系 篇7

按生产要素分配产品的规律是迄今一切社会形态共有的经济规律, 一种客观存在。这是取决于生产要素的重要性和稀缺性。生产要素的极端重要性, 决定了财富的创造非用它不可;生产要素的普遍稀缺性, 又决定了它不可能无限地随意地得到使用。这就导致了所有权的出现。生产要素的所有制体现在谁占有生产要素, 谁就掌握了生产的主导权, 谁就占有获得生产成果的权力。在现实社会的生产过程中, 各种各样的生产要素, 往往不为同一个所有者占有。这样, 生产的进行, 要求不同的生产要素的所有者把他们的各自占有的生产资料投入一个共同的生产过程。这个生产过程的成果, 变归这些生产要素所有者共同占有, 并按照各自投入生产要素的多少和质量的优劣论起贡献大小进行分配。

在市场经济社会中, 按生产要素分配产品的规律体现在市场交易过程中。生产、流通、分配、消费都是在市场交易中完成。生产资料也要进入要素市场, 作为商品完成社会资源的有效配置。作为分配形式的收入, 在市场上表现为生产要素的价格。劳动者的收入就是工资价格, 土地是地租价格, 资金是利息价格等等。分配形式完全体现为市场交易过程中, 供求变化引起的均衡的货币价格。

劳动力是生产要素中最主要最能动的要素。按劳分配是包括在当中的。马克思的按劳分配, 是以全社会共同占有全部生产资料为前提, 为条件的。在这样的条件下, 每一个人都只是平等的自身劳动力的所有者, 除了自己的劳动, 谁也不能向社会提供其他任何生产要素。所以, 生产的成果, 在社会做了必要的扣除之后, 每个人只能按照自己的劳动贡献进行分配产品。这也是体现了按生产要素分配的普遍规律, 只不过生产要素仅仅剩下了劳动力而已。“马克思条件”现实中还不具备, 历史上也未曾出现过, 只是理论中的逻辑推导。

现实社会, 除劳动力生产要素之外部分生产要素还被部分社会成员所占有, 作为个人的私有物投入生产过程。这部分生产要素的私人占有权体现在分配中, 要分的一部分生产成果。掌握在私人手里的生产要素越多, 所占比重越大, 用于按劳分配的部分就越少, 越是体现不出按劳分配关系。反之, 私人手里的生产要素越少, 所占比重越小, 用于按劳分配的部分就越多, 按劳分配关系体现得越充分。所以, “按劳分配为主体”的实现程度, 取决于生产资料公有制的实现范围和程度, 生产资料公有制的实现范围越大, 公有化程度越高, “按劳分配为主体”就体现得越充分。

我国现阶段正处于社会主义初级阶段, 以公有制为主多种所有制经济成分并存。“按照生产要素分配”原则进行社会财富的分配可以确认和巩固当前的所有制成分, 有助于社会资源的有效配置, 有助于节约使用各种生产要素, 大幅度的提高各种生产要素的使用效率, 为当前的经济转型, 经济结构调整作出积极贡献。

生产要素参与分配才能促进生产力的发展。只有承认各种生产要素对社会财富的生产所做出的贡献, 并根据贡献大小而给予各要素所有者应有的报酬, 才能鼓励人们不断提高劳动力的质量和数量, 不断增加积累和人力资本投资, 从而促进生产力的发展。生产要素参与分配有利于经济效益的提高。在生产要素不能按自己的贡献而取得相应报酬, 即生产要素无偿或低成本使用的情况下, 生产者就很可能主要通过要素投入来增加产出, 这属于粗放型增长。而一旦各要素能按贡献而取得报酬, 即要素的使用要按市场价格支付成本时, 生产者就会从控制成本出发, 加强管理, 精打细算, 从而促进经济效益的提高, 这就是集约型增长。“按照生产要素分配”原则进行分配, 也会带来一些副作用。例如:拉大收入分配差距, 增加社会不稳定因素, 败坏社会风气等。预防和根治这些副作用, 唯有社会生产力的发展水平大幅度提高, 社会财富极大地丰富, 生产资料公有制完全为全民所有制。但是, 社会生产力的发展水平并不取决于人们的主观愿望, 如果一味地追求生产资料的公有制为全民所有制, 一味的追求按劳分配的主体地位, 反而, 会受到社会经济发展的客观规律的惩罚。因此, 当前我们应该坚持与我国所处的社会主义初级阶段相适应的公有制占主体地位, 多种所有制并存的所有制形式。从根本上防止极少数社会阶层, 凭借占有绝大多数的基本社会生产资料而垄断占有绝大多数的社会财富, 演变成为一个不劳而获的社会阶级。加快法治建设步伐, 依法严惩非法收入、不合理收入, 完善税收制度调节好二次分配, 如提高所得税税率、开征遗产税、公开官员私人财产制度等, 平衡好经济发展与社会稳定大矛盾。继续深化推进社会保障制度, 做实社会养老金账户资金, 打破城乡差距使农民完全享受社会养老社会医疗的保障福利。实施积极的财政政策和货币政策增加就业。力求区域经济协调发展等。

总之, 厘清按要素分配与按劳分配的关系是有现实意义的。我们坚持强调按劳分配为主体、多种分配方式并存的按要素分配制度, 是为达到我国经济社会较好较快和谐发展。在我国经济结构调整、经济转型时期, 要贯彻效率优先、兼顾公平, 既要注重效率, 反对平均主义, 也要讲求公平, 防止收入差距过分扩大, 二者关系有着普遍的指导意义。

参考文献

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[7].王刚.现阶段我国个人收入分配政策的分析[D].山西大学, 2006

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[9].左金隆.按生产要素分配相关理论问题研究[D].郑州大学, 2002

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[11].彭昇.构建和谐社会的分配公平问题研究[D].中南大学, 2010

按比例分配教学设计 篇8

关键词 政治经济学；按比例发展定理；证明；扩大再生产；动态化

中图分类号 F224，F014.3 文献标识码 A

The Theorem of Development in Proportion

of the TwoSector Expanded Reproduction

TAO Weiqun

（ Nanjing Branch， The People’s Bank of China， Nanjing， Jiangsu 210004， China）

Abstract This paper gave the sufficient and necessary condition for the continuous process of expanded reproduction， under the condition that capital return rate of the first sector does not exceed that of the second sector and under the condition that capital return rate of the first sector exceeds that of the second sector， respectively. Thus， the principle of development in proportion is deepened to become "the theorem of development in proportion of the twosector expanded reproduction". This theorem indicates the taken value intervals of decision variables for adjusting and controlling and optimizing social reproduction.

Key words political economy； the theorem of development in proportion； prove； the expanded reproduction ； dynamic

1 引 言

按照马克思社会再生产理论，社会再生产中有生产资料、消费资料两种不同用途的产品和分别生产其中一种产品的两大部类.按比例发展原理是马克思社会再生产理论中的一条重要原理.这条原理指出：需要社会再生产中的生产资料部类和消费资料部类按照适当的比例发展，社会扩大再生产才能够持续进行.这条原理的含义是明确的、科学的，然而内容是笼统的、不确切的.因为两大部类之间适当的比例究竟是怎样的，并没有被确切地给出.按比例发展原理对于调节、控制和优化国民经济运行具有重大的理论指导意义.但是在把这条原理实际运用到调控国民经济运行时，需要具体知道调节和控制受到怎样的约束，以及调节和控制产生怎样的结果.因此有必要将按比例发展原理的内容具体化和确切化.

马克思社会再生产理论以两大部类社会再生产公式集中体现.在经典的再生产公式里，每个部类的资本有机构成、剩余价值率是固定不变的，因此在每个部类内部各部分之间的相互比例是固定不变的.一旦两大部类之间的比例确定，社会再生产中的全部比例关系就被确定.按比例发展原理当中所讲的两大部类之间适当的比例，可以具体为两大部类之间比例取值的某个确切区间.按比例发展原理当中所讲的社会扩大再生产持续进行，应当被界定为社会扩大再生产始终不中断.因为一旦中断，经过调整后重新开始社会扩大再生产，就可以看作是另一个新的扩大再生产过程.做出这样的辨识和界定之后，对于经典的再生产公式，按比例发展原理成为一个十分确切的命题.如果这个命题得到证明，按比例发展原理就可以成为“两大部类扩大再生产的按比例发展定理”.

已经有研究给出并证明了从某一年起两大部类平衡增长的充分必要条件是两大部类之间比例取值的一个确切区间（陶为群、陶川，2011） [1]；还有研究给出并证明了静态意义下的两大部类扩大再生产的充分必要条件，也是两大部类之间比例取值的一个确切区间（陶为群，2014）[2].当社会扩大再生产持续进行，就形成了扩大再生产的动态化.扩大再生产的动态化，需要任何一个年份的扩大再生产都得以实现.静态意义下的扩大再生产的充分必要条件将成为扩大再生产持续进行的必要条件.基于这些研究结果和可以借鉴的证明方法，可以严格地证明“两大部类扩大再生产的按比例发展定理”.

经 济 数 学第 32卷第2期

陶为群：两大部类扩大再生产的按比例发展定理

2 马克思再生产公式中的资本积累

均衡方程和状态转移方程

已经有研究指出，马克思社会再生产公式是表示了社会再生产中生产资料、消费资料两个部类的产品价值构成和生产资料、消费资料总产品的供给与需求平衡的一个线性方程组（陶为群、陶川，2011） [3].按照马克思社会再生产理论，社会生产部门划分成生产生产资料和生产消费资料的两个部类，分别记为第Ⅰ、Ⅱ部类.第j部类（j=Ⅰ，Ⅱ.下同）在t年初时点的总资本分解成用于购买生产资料的不变资本、购买劳动力的可变资本两个部分，分别记为C（t）j，V（t）j ，按照经典的马克思再生产公式中的假定，设C（t）j 和V（t）j都是每年周转一次，当年C（t）j作为中间消耗转移到产品当中，V（t）j在产品当中新创造出来，并带来它的剩余价值M（t）j.第j部类产品当中消耗的不变资本对于可变资本的固定不变倍数hj表示该部类的资本有机构成.剩余价值M（t）j与可变资本V（t）j之间保持固定不变的比率，以ej表示，是第j部类的剩余价值率.以Y（t）j，X（t）j分别表示第j部类新创造价值、总产值，那么在每个部类内部，不变资本、可变资本、剩余产品、新创造价值（产品）、总产值（产品）之间的关系被（1）式所定义的方程确定.

那么根据式（37），第Ⅰ部类新创造价值的增长率始终高于第Ⅱ部类；社会再生产的结构状态变量严格单调递减，社会总产品中的生产资料偏多状况越来越加剧，意味着社会再生产的结构越来越“重”.于是按照式（40）从理论上讲扩大再生产将处于持续进行但是结构却越来越“重”的状况.这种状况在现实经济中是无法存在的.因而假设的式（31）仍然不能够成立.

三种情况下假设的式（31）全都不能够成立，所以通过反证法，证明了式（23）是扩大再生产持续进行的必要条件.

综合以上关于充分条件、必要条件的证明，在第Ⅰ部类利润率高于第Ⅱ部类的情形下，式（23）是扩大再生产持续进行的充分必要条件.

至此，已经证明了“两大部类扩大再生产的按比例发展定理”.这个定理可以表述为：在第Ⅰ部类利润率不高于第Ⅱ部类的情形下，当且仅当第t年第Ⅱ部类与第Ⅰ部类新创造价值之间的比例φ（t）取值在式（11）表示的区间之内，社会扩大再生产能够持续进行；在第Ⅰ部类利润率高于第Ⅱ部类的情形下，当且仅当φ（t）取值在式（23）表示的区间之内，社会扩大再生产能够持续进行.

5 结 论

综合以上全部的建模求解和分析，可以得到这样的结论：对于经典的马克思社会再生产公式，将按比例发展原理作为一个十分确切的命题加以证明，可以形成“两大部类扩大再生产的按比例发展定理”.这个定理指明了社会扩大再生产系统中的时变状态变量的取值区间，从而得以确定调控两大部类扩大再生产的决策变量的定义域.运用这个定理，可以准确地研究两大部类扩大再生产的动态优化问题.

参考文献

[1] 陶为群，陶川. 马克思经济增长模型中的特征值及其理论蕴含 [J].经济评论，2011（3）：5-11.

[2] 陶为群. 两大部类扩大再生产的充分必要条件与求解[J].经济数学，2014，31（3）：36-42.

[3] 陶为群，陶川. 两大部类扩大再生产的广义拉格朗日乘子[J].经济数学，2013，30（4）：49-54.

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