高中数学：排列组合与二项式定理测验试题

高中数学：排列组合与二项式定理测验试题（精选4篇）

高中数学：排列组合与二项式定理测验试题 篇1

班别：学号：姓名：成绩：

一、填空题：(每空2分，共30分)

1.加法原理和乘法原理的主要区别在于：加法原理针对的是问题；乘法原理针

对的是问题。

2.一般地，从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照排成一列，叫

做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

3.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关，与顺序的属于组合问题。4.从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的，叫做从n个不同元素

中取出m个元素的组合数。

5.乘积(a1a2a3)(b1b2)(c1c2c3c4)展开后共有

6.从3个不同元素a、b、c中任取2个元素的所有组合是。7.A

1A2A3A4。C1C2C3C4

444



8.已知9!=362880，则A7

99.已知A323206840，则C19C19

10.(nm1)!(nm)!

11.(x3x)1

2的展开式共有13项，其中，中间的项是第项。

12.(x

32x)7的展开式的第6项的二项式系数是6项的系数是

二、选择题：(每题3分，共15分)

1.下列各式中，不等于n!的是()。

A．An

nB．

1n

1An1nn1

n1C．An1D．nAn12.已知Cn1

n121，那么n等于()。

A．5B．6C．7D．8

3.5名同学听同时进行的4个外语讲座，每名同学可自由选择听其中1个讲座，不同选

法的种数是()。

A．4

5B．5

4C．C44

5D．A5

4.在(1+x)11

展开式中，C0210131111C11C11()C11C11C11

。A．>B．=C．>D．无法确定5.凸8边形的对角线的条数是()。A．872B．87C．85

2D．85

三、计算题：(每题8分，共40分)

1.(1)用1，2，3，4，5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数，其中有多

少个是偶数？

(2)壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种不同的币值？

2.从1、3、5、7、9中任取三个数，从2、4、6、8中任取两个数，组成没有重复数字的五位数，一共可组成多少个？

3.幼师某实习小组7名同学站成一排照相，(1)如果甲、乙两人必须站在两端，有多少种

照相方法？(2)如果7名同学站两排，其中3个女同学站在前排，4个男同学站在后排，四、证明题：(15分)m1m1mm11．求证：CnCn2CnCn2(7分)有多少种照相方法？

4.区教育厅幼儿园某兴趣班有10名小朋友,其中正副班长各1名，现选4名小朋友参加

某项活动：(1)如果正副班长必须在内，有多少种选法？

(2)如果正副班长至少有一人参加，有多少种选法？

5.在(11

2x)10展开式中，求含x-5的项的系数。

高中数学：排列组合与二项式定理测验试题 篇2

§16.1 计数原理1—乘法原理（分步计数原理）

一、问题引入

常见船上悬挂有红、蓝、白三种颜色的旗帜，代表了不同的信号、不同的含义，随着排列顺序不同、悬挂数目不同，能表达多少种不同的信号？

路上有10盏路灯，为了节能，关闭其中三盏灯有多少种关法？如果三盏灯还要不相邻，又有多少种关法？

这便是我们这一章节主要要学习、讨论的内容，先从最基本的计数原理讲起．

二、教学过程

1、（1）参照《课本》P49图，讨论从A到B的不同走法情况．

答：

（2）从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

2、乘法原理

①一般地，如果做成一件事情要分为n个步骤，而完成其中每一步骤又有若干种不同方法，则做成这件事情的方法总数，可以用分步计数原理得到． 乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，„„，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同的方法． ②注意：m1、m2、mn对应的都是完成每一相应步骤的方法数，必须所有步骤都完成后，整件事情才算

完成．

例

1、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？（3）4名同学争夺跑步项目的前三名，有多少种可能？（4）4名同学中选3人分别报名跑步、跳高、跳远三个项目，有多少种报名方法？（5）3封信投4个邮箱，几种投法？（6）四种型号电视机搞促销，3个顾客各选购一台，几种选法？（7）四台不同型号电视机搞促销呢？（8）5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座

例

2、（1）a1a2a3b1b2b3b4c1c2展开后共有多少项？（2）540的不同正约数有多少个？

2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

例

3、已知x1,2,3,4,5，y3,4,5,6，则Mx,y共可以表示多少个不同的点？多少个第2象限点？多少个不在直线yx上的点？

例

4、（1）0、1、2、3、4、5能组成多少四位数？

（2）0、1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的四位数？（3）0、1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的四位奇数？（4）1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的三位偶数？

例

5、（1）已知A0,1,2,3，若a,b,cA，且a,b,c互不相等，则可表示的所有一元二次方程ax2bxc0有多少？

（2）若a1,2,3,5，b1,2,3,5，则能表示多少条不同的直线ybx？ a22（3）若a3,4,5，b0,2,7,8，r1,8,9，可表示多少不同的圆xaybr2？

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§16.2 排列

一、教学过程

1、排列：一般地，从n个元素中取出m（mn）个元素，按照一定次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 特点：元素顺序不同，对应了不同的情况． 如果问题3中改为选取2人充当主持而不分正副，则还是排列问题吗？

2、如何判断两个排列是否相同？ 答：判断元素是否相同；排列顺序是否相同． 例

1、判断下列问题是否排列问题：

（1）从1，2，3，5中任取两个不同的数相减（除），可得多少种不同的结果？（2）从1，2，3，5中任取两个不同的数相加（乘），可得多少种不同的结果？（3）有12个车站，共需要准备多少种普通票？（4）在（3）中共有多少种不同的票价？

（5）某班有50名同学，假期约定每2人通一次信，共需写信多少封？（6）把（5）中写信问题改为会面，共需通电话多少次？（7）把（5）中通信换成互赠照片，共需准备照片多少张？

3、排列数 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pnm表示． 注：关于排列数的计算，Pn1表示n个元素里选取1个元素排成一列的情况，即n个元素选1个元素的选法，所以Pn1n，至于其他情况，有如下分析．

4、排列数公式：一般地，排列数Pnm可以按从n个不同元素中取出m个元素依次填入m个空位来考虑． Pnmnn1n2nm1 共m项

例

2、用排列数表示nmnm1nm15，其中m,nN，mn．

5、全排列

①n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． 这时，排列数公式中的mn，即有 

Pnnnn1n2321 这就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积． ②正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示． 规定，0!1． ③Pnnn!为了保证全排列mn时也能成立，我们规定0!1．

例3、1!2!3!4!5!100!的个位数字是多少？

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例

4、解方程：（1）n3!1m1 

（2）P23n10Pn

3（3）5P9m3mP10n2!3

nn1n例

5、求证：PmnPmPm1．

例

6、从0，1，2，3，4中选取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中比200大的三位数有几个？

例7、15支球队进行双循环赛，即每队都要与其余各队在主客场分别比赛1场，共进行多少场比赛？（如改为单循环赛呢？）

例8、10个人排队，按以下要求有多少种不同排法？（1）任意排成一排；

（2）排成两排，每排5人；（3）甲不在队首；

（4）甲乙丙必须在奇数位上；

（5）甲在奇数位上，乙丙在偶数位上；（6）甲乙丙三人必须在一起；

（7）甲乙丙三人必须在一起，丙又在甲乙中间；（8）甲乙丙三人中任意两人不排在一起；（9）甲始终坐在乙的右侧．

例9、5男5女共10个同学排成一行，（1）女生都排在一起，有几种排法？（2）女生与男生相间，有几种排法？

（3）任何两个男生都不相邻，有几种排法？（4）5名男生不排在一起，有几种排法？

（5）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？（6）5名男生坐在一起，男生甲在乙的右侧，有几种排法？

例

10、用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字的七位数中，若2，4，6次序一定，有多少种不同的七位数？如改为1，3，5，7次序一定呢？2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.3 计数原理2—加法原理（分类计数原理）

一、教学过程

1、加法原理

如果完成一件事有n类的办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„„，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同的方法．

2、注意

①各类方法间相互独立，通过每一类方法都能完成整件事； ②分类时，确定一个分类的标准，不重复不遗漏； ③分类时要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性；分步时要注意“步”与“步”之间的连续性． 例

1、给定数字0，1，2，3，4，5，每个数字最多用一次，（1）可以组成多少个自然数？（2）可以组成多少个奇数？（3）可以组成多少个四位偶数？

（4）可以组成多少个比2300大的四位数？（5）可以组成多少个比240135大的数？（6）可以组成多少个能被5整除的四位数？（7）可以组成多少个能被25整除的四位数？

例

2、在3000和8000之间，有多少个无重复数字的奇数？

例

3、某天课程表排入数学、物理、化学、语文、英语、体育各一节，（1）体育不排第一节，也不排第三节，几种不同排法？（2）第一节不排体育，第三节不排数学，有多少种不同的排法？

二、课后练习

1、将a、b、c、d、e、f六个不同元素排成一列，其中a不排在首位，b不排在末位，有几种排法？

2、从9本不同的书中取出6本排在书架上，满足下列条件之一，分别有几种方法？（1）某一本书必须排在左端或右端；（2）某一本书不能排在两端；

（3）某两本书，A不能排在左端，B不能排在右端．2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.4 组合

一、教学过程

1、组合：一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的次序有关，而组合与元素的次序无关．

2、如何判断两个组合是否相同？ 元素相同（不管元素的次序是否相同）

3、组合数 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示． 1注：关于排列数的计算，Cn表示n个元素里选取1个元素的情况，即n个元素选1个元素的选法，所100nPn1n；Cn1；Cn以Cn表示n个元素里一个都不选的选法数，显然Cn表示n个元素里选取n个元素的选法数，显然，Cnn1，至于其他情况，有如下分析． Pnmnn1n2n!nm1

4、组合数公式：Cm，其中mn． m!m!nm!Pmmn例

1、解方程：CCC．

m1m1m例

2、证明：CnCn1．

n

15、组合的应用题

例

3、现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，（1）男甲、女A都必须当选，有几种选法？

（2）男甲必须当选，女A不能当选，有几种选法？（3）至少有一个女同学当选，有几种选法？（4）最多有三个女同学当选，有几种选法？

例

4、要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？（1）A、B、C三人必须入选；（2）A、B、C三人不能入选；（3）A、B、C三人只有一人入选；（4）A、B、C三人至少一人入选；（5）A、B、C三人至多二人入选．2n2n12n2 2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

例

5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？

（3）甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

例

6、（1）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷．现从这11人中选出4人排版、4人印刷，有几种不同的选法？

（2）由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌，也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？

6、组合数的性质 ①性质

1、CnmCnnm mm1m1CnCn②性质

2、Cn1 例

7、计算：CC

例

8、解方程：

x12x283C17Cn（1）C17

（2）Cn

n3n12n3C21例

9、求值：（1）C338（2）C2nnnn；3Cn1

例

10、计算：

***6C4C5C6C7C8C9C6C7C8C9C7C8C9（1）C4；（2）C5；（3）C52C6

13m12C32C4CmCm例

11、证明：C211 1315810 2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.5 二项式定理

一、教学过程

1、二项式定理： ①一般地，对于任意正整数n有 abn0n01n112n22nrrnrn11n1n0nCnabCnabCnabCnabCnabCnab ②右边的多项式叫做ab的二项展开式，它一共有n1项，其中各项的系数Cnr（r0，1，2，）叫做二项式系数，式中的Cnranrbr叫做二项展开式的通项，它是二项展开式中的第r1项，用Tr1表示，即 rnrrTr1Cnab． n例

1、求1的二项展开式．

x14

1例

2、求2x的二项展开式．

x6

12例

3、（1）求xa的二项展开式的中间项；

1（2）求x的展开式中第四项的系数及二项式系数；

x91（3）求2x的展开式中x3的系数及二项式系数；

x912（4）求x的二项展开式中x的系数．

x8

x3例

4、（1）求的二项展开式中的常数项；

x31（2）求3x的二项展开式中的常数项；

x2（3）求x4的二项展开式中的有理项；

x15（4）若x2的二项展开式中x3的系数为，求a的值．

ax2691516

2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

1例

5、已知x4的二项展开式中，前三项系数成等差数列，求二项展开式中的所有有理项．

2xn

1例

6、（1）设x2的展开式中含有非零常数项，求正整数n的最小值；

2xn（2）若x2xnxn1ax3bx2cx2n（nN，n3）且a:b3:2，求n．

例

7、计算：

1n12n2rnrn（1）2nCn； 2Cn21Cn21Cn01n1nCnCnCn（2）Cn；

12n1n4Cn2n1Cn2nCn（3）12Cn；

例

8、求5051被7除所得的余数．

二、二项式系数性质： nrn1、观察二项式系数表，探究规律 ①每一行中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等； ②每一行两端都是1，其余位置的每一个数都等于它“肩上”两个数的和； ③每一行中，二项式系数先是逐渐增大至最大，然后逐渐减小，越靠近中间越大，左右对称．

2、一般地，二项式系数有如下两个性质： ①性质

1、ab的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等； 这一性质可直接由公式CnmCnnm得到． ②性质

2、ab的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n． 1n1n将ab1分别代入ab和它的二项展开式中，即有2nCn0CnCnCn． nnn

例

8、求证：在ab的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

高中数学排列组合的复习教学设计 篇3

稿件提供人:北辰区高中数学教研员 姜德华

教学目标 1．知识目标

（1）能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题；（2）进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能；（3）熟练应用排列组合问题常见解题方法；

（4）进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力。2．能力目标

认清题目的本质，排除非数学因素的干扰，抓住问题的主要矛盾，注重不同题目之间解题方法的联系，化解矛盾，并要注重解题方法的归纳与总结，真正提高分析、解决问题的能力。3．德育目标

（1）用联系的观点看问题；

（2）认识事物在一定条件下的相互转化；（3）解决问题能抓住问题的本质。教学重点：排列数与组合数公式的应用 教学难点：解题思路的分析

教学策略：以学生自主探究为主，教师在必要时给予指导和提示，学生的学习活动采用自主探索和小组协作讨论相结合的方法。

媒体选用：学生在计算机网络教室通过专题学习网站，利用网络资源（如在线测度等）进行自主探索和研究。教学过程

一、知识要点精析

（一）基本原理

1.分类计数原理：做一件事，完成它可以有 类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中有 种不同的方法，„„，在第 类办法中有 种不同的办法，那么完成这件事共有： „ 种不同的方法。

2.分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 个步骤，做第一步有 种不同的方法，做第二步有 种不同的方法，„„，做第 步有 种不同的办法，那么完成这件事共有： „ 种不同的方法。

3.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关即“联斥性”：（1）对于加法原理有以下三点： ①“斥”——互斥独立事件；

②模式：“做事”——“分类”——“加法”

③关键：抓住分类的标准进行恰当地分类，要使分类既不遗漏也不重复。（2）对于乘法原理有以下三点： ①“联”——相依事件；

②模式：“做事”——“分步”——“乘法”

③关键：抓住特点进行分步，要正确设计分步的程序使每步之间既互相联系又彼此独立。

（二）排列

1．排列定义：一般地说从 个不同元素中，任取 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中，任取 个元素的一个排列。特别地当 时，叫做 个不同元素的一个全排列。2．排列数定义：从 个不同元素中取出 个元素的所有排列的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的排列数，用符号 表示。3． 排列数公式：（1）„，特别地

（2）且规定

（三）组合

1．组合定义：一般地说从 个不同元素中，任取 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合。

2．组合数定义：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数，用符号 表示。3． 组合数公式：（1）

（2）

4．组合数的两个性质：（1）规定（2）

（四）排列与组合的应用 1.排列的应用问题

（1）无限制条件的简单排列应用问题，可直接用公式求解。

（2）有限制条件的排列问题，可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法”求解。2．组合的应用问题（1）无限制条件的简单组合应用问题，可直接用公式求解。

（2）有限制条件的组合问题，可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法”求解。3．排列、组合的综合问题

排列组合的综合问题，主要是排列组合的混合题，解题的思路是先解决组合问题，然后再讨论排列问题。

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：（1）限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “相邻”与“不相邻”

在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：

①“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”，可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法。

②“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”。

③“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置。

④元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后利用规定顺序的实情求出结果。

（2）限制条件的组合问题常见命题形式： “含”与“不含” “至少”与“至多”

在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”。

（3）在处理排列组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重复，不遗漏按事件的发生过程分类、分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列问题的最基本，也是最重要的思想方法。

4、解题步骤：

（1）认真审题：看这个问题是否与顺序有关，先归结为排列问题或组合问题或二者的综合题，还应考虑以下几点：

①在这个问题中 个不同的元素指的是什么？② 个元素指的又是什么？ ②从 个不同的元素中每次取出 个元素的排列（或组合）对应的是什么事件；（2）列式并计算；（3）作答。

二、学习过程 题型一：排列应用题

9名同学站成一排：（分别用A，B，C等作代号）（1）如果A必站在中间，有多少种排法？（答案：）（2）如果A不能站在中间，有多少种排法？（答案：）

（3）如果A必须站在排头，B必须站在排尾，有多少种排法？（答案：）（4）如果A不能在排头，B不能在排尾，有多少种排法？（答案：）（5）如果A，B必须排在两端，有多少种排法？（答案：）（6）如果A，B不能排在两端，有多少种排法？（答案：）（7）如果A，B必须在一起，有多少种排法？（答案：）（8）如果A，B必须不在一起，有多少种排法？（答案：）（9）如果A，B，C顺序固定，有多少种排法？（答案：）题型二：组合应用题

若从这9名同学中选出3名出席一会议

（10）若A，B两名必在其内，有多少种选法？（答案：）（11）若A，B两名都不在内，有多少种选法？（答案：）

（12）若A，B两名有且只有一名在内，有多少种选法？（答案：）（13）若A，B两名中至少有一名在内，有多少种选法？（答案： 或）（14）若A，B两名中至多有一名在内，有多少种选法？（答案： 或）题型三：排列与组合综合应用题 若9名同学中男生5名，女生4名

（15）若选3名男生，2名女生排成一排，有多少种排法？（答案：）（16）若选3名男生2名女生排成一排且有一男生必须在排头，有多少种排法？（答案：）

（17）若选3名男生2名女生排成一排且某一男生必须在排头，有多少种排法？（答案：）

（18）若男女生相间，有多少种排法？（答案：）题型四：分组问题

6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？（19）一堆一本，一堆两本，一堆三本（答案：）（20）甲得一本，乙得两本，丙得三本（答案：）（21）一人得一本，一人得两本，一人得三本（答案：）（22）平均分给甲、乙、丙三人（答案：）（23）平均分成三堆（答案：）

（24）分成四堆，一堆三本，其余各一本（答案：）（25）分给三人每人至少一本。（答案： + +）题型五：全能与专项

车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？

题型六：染色问题

（26）梯形的两条对角线把梯形分成四部分，用五种不同颜色给这四部分涂不同颜色，且相邻的区域不同色，问有（）种不同的涂色方法？（答案：260）

（27）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）。现在栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相 邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种。分析：先排1、2、3排法 种排法；再排4，若4与2同色，5有 种排法，6有1种排法；若4与2不同色，4只有1种排法； 若5与2同色，6有 种排法；若5与3同色，6有1种排法 所以共有（+ +1）=120种 题型七：编号问题

（28）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有多少种？（答案：144）

（29）将数字1，2，3，4填在标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填上一个数字且每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有多少种？（答案：9）题型八：几何问题

（30）：（Ⅰ）四面体的一个顶点为A，从其它顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一个平面上，有多少种不同的取法？（Ⅱ）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？

解：（1）（直接法）如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有 5个点，从中取出3点必与点A共面共有 种取法，含顶点A的 三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法。根据分类计数原理，与顶点A共面三点的取法有 +3=33（种）

（2）（间接法）如图，从10个顶点中取4个点的取法有 种，除去4点共面 的取法种数可以得到结果。从四面体同一个面上的6个点取出4点必定共面。有 =60种，四面体的每一条棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形（对棱中点连线两两相交且互相平分）故4点不共面的取法为

-（60+6+3）=141 题型九：关于数的整除个数的性质：

①被2整除的：个位数为偶数；

②被3整除的：各个位数上的数字之和被3整除；

③被6整除的：3的倍数且为偶数；

④被4整除的：末两位数能被4整除；

⑤被8整除的：末三位数能被8整除；

⑥25的倍数：末两位数为25的倍数；

⑦5的倍数：个位数是0，5；

⑧9的倍数：各个位数上的数字之和为9的倍数。

（31）：用0,1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，其中5的倍数有多少个？（答案：216）

题型十：隔板法：（适用于“同元”问题）

（32）：把12本相同的笔记本全部分给7位同学，每人至少一本，有多少种分法？ 分析：把12本笔记本排成一行，在它们之间有11个空当（不含两端）插上6块板将本子分成7份，对应着7名同学，不同的插法就是不同的分法，故有 种。

三、在线测试题

1．以一个正方形的顶点为顶点的四面体共有（D）个（A）70（B）64（C）60（D）58 2．3名医生和6名护士被分配到3所所为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（D）

（A）90种（B）180种（C）270种（D）540种

3．将组成篮球队的12个名额分配给7所学校，每校至少1个名额，则不同的名额分配方法共有（A）

（A）（B）（C）（D）

4．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（B）（A）480（B）240（C）120（D）96 5．编号为1，2，3，4，5的五个人分别去坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，至多有两个号码一致的坐法种数为（C）

（A）90（B）105（C）109（D）100 6．如右图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现在4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（B）种（用数字作答）（A）48（B）72（C）120（D）36 7．若把英语“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（A）。（A）19（B）20（C）119（D）60 8．某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分，一球队打完15场，积分33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况有（D）（A）6 种（B）5种（C）4种（D）3种

四、课后练习

1．10个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于盒子的编数，问有 种不同的放法？

2．坐在一排9个椅子上，相邻两人之间至少有2个空椅子，则不同的坐法的种数是 3．如图A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有 种。

4．面直角坐标系中，X轴正半轴上有5个点，Y轴正半轴有3个点，将X轴上这5个点或Y轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个。5．某邮局现只有邮票0.6元，0.8元，1.1元的三种面值邮票，现有邮资为7.5元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最小，且邮资恰为7.5元，则至少要购买 张邮票。6．（1）从1，2，„，30这前30个自然数中，每次取出不同的三个数，使这三个 数的和是3的倍数的取法有多少种？

（2）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个能被3整除的四位数。

（3）在1，2，3，„，100这100个自然数中，每次取出三个数，使它们构成一个等差数列，问这样的等差数列共有多少个？

（4）1！+2！+3！+„+100！的个位数字是

7．5个身高均不等的学生站成一排合影，若高个子站中间，从中间到两边一个比一个矮，则这样的排法种数共有（）

（A）6种（B）8种（C）10种（D）12种

8．某产品中有4只次品，6只正品（每只产品均可区别），每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止，则第五次测试发现最后一只次品的可能情况共有多少种？

《排列和组合的综合应用》多媒体教学的教师小结

数学教师在传统教学环境下也许会遭遇诸如以下的困难： ——我怎样向学生提供更多的相关的学习资料？ ——我如何有效地进行课堂检测并及时反馈？

——我怎样让每个学生都参与讨论并且使讨论的结果都呈现出来？

这种在教学资源、教学检测、教学组织上所体现出来的局限，不仅在传统教学环境下难以改变，即使在多媒体辅助教学下也是捉襟见肘。它不仅影响了数学教学效率的提高，更是阻碍了数学教改的进程。

幸而，计算机技术的发展已经到了网络时代，基于Web的网络教学给我们的数学教学带来了革命的曙光。鉴此认真分析教材特点，学生特点开了《排列和组合的综合应用》这堂网络课，现对此进行课后总结：

《排列和组合的综合应用》这堂网络课，教学重点是几种常见命题的形式的解题思路及有关应用。首先，通过排列和组合有关知识的学习，对排列和组合有一个整体上的认识，给学生打下了很好的基础。其次，在教学中，本着以学生为本的原则，让学生自己动手参与实践，使之获取知识。在传统教学过程中，学生主要依靠老师，自主探索的能力不强，因此在本节课学习中，教师在课堂上适时抛出问题，使学生有的放矢，有针对性，知道自己下一步应该做什么，同时组织学生以小组进行讨论学习，防止出现学生纯粹浏览网页这种现象。在强大的网络环境下，让学生探讨排列和组合的区别与联系，自主发现结论，以人机交互的方式，使个性化学习成为可能，体现了学科教学与教育技术的整合。第三、针对数学学科的特点，在学生自主探索发现结论后，还需在理论上给予支持。因此，对各种常见的类型，教师在课堂上分别给予小结，目的是让学生在今后的自主学习中，若遇到同样的问题，有能力自己解决。从而让学生逐步熟悉、形成较为完整的一套自主学习的方法。

在上课的过程中，充分体现出计算机的交互和便捷的特点，学生可以根据需要，在老师的引导下，选择自己学习的进度和内容，去自主的学习和探索。通过实际操作，帮助理解和掌握本节课重点内容。在上课过程中，学生积极思考，相互协作讨论，踊跃回答问题，气氛活跃，教学效果好。在学生课后的反馈中，总体的反映都觉得各自获益匪浅，从中学到了不少的东西，切实掌握了排列和组合的有关知识。

当然，本节课还有许多需要改进的地方，如课堂上安排节奏比较快，例题，练习留给学生探索，动手的时间还可以再多一些；另外由于学生电脑的水平以及数学学科的特点，所以许多学生不能很熟练地操作电脑，许多数学符号，公式无法在讨论区中体现。

高中数学：排列组合与二项式定理测验试题 篇4

排列

课题：排列的简单应用(2)

目的：使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解．

过程：

一、复习：

1．排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式；

2．常见的排队的三种题型：

⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法；

⑵某些元素要求连排（即必须相邻）——捆绑法；

⑶某些元素要求分离（即不能相邻）——插空法．

3．分类、分布思想的应用．

二、新授：

示例一： 从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演

员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？

解法一：（从特殊位置考虑）A1

9A9136080

69解法二：（从特殊元素考虑）若选：5A若不选：A

则共有

解法三：（间接法）A6

105A955＋A＝136080 69A9136080

示例二：

⑴ 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？

略解：甲、乙排在前排A42；丙排在后排A41；其余进行全排列A．

所以一共有A42

A4A5

＝5760种方法．

⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a, b两种商品必须排在一起，而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？

略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a, b捆在一起与e进行排列有A22；

此时留下三个空，将c, d两种商品排进去一共有A；最后将a, b“松

绑”有A22．所以一共有A22

☆⑶

A3A2

＝24种方法．

6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间

而坐，则不同的坐法有多少种？ 略解：（分类）若第一个为老师则有A所以一共有2A示例三：

⑴ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？ 略解：A

A

3；若第一个为学生则有A

A3

A3

＝72种方法．

A5A5A5A5325

234

5⑵ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？

解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有A方法；另一类是首位不为1，有A41A44种方法．所以一共有A

A3

种个

A3A4A4114

4数比13 000大．

解法二：（排除法）比13 000小的正整数有A个，所以比13 000大的正

整数有A

A3

＝114个．

示例四： 用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列． ⑴ 第114个数是多少？⑵ 3 796是第几个数？ 解：⑴ 因为千位数是1的四位数一共有A

60

个，所以第114个数的千

12

位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有A42

个；

同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3 968”排在第6个位置上，所以“3 968” 是第114个数．

⑵ 由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3 796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3 796是第95个数．

示例五： 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中

⑴ 能被25整除的数有多少个？⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个？

解： ⑴ 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为

50的四位数有A42个，末尾为25的有A＝21个．

注： 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种

情况．

⑵ 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有A

A3个，所以一共有A

4＋A

A

3A5300

个．因

为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所．．．．

以十位数字比个位数字大的有

A5A5150

个．

三、小结：能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，此外能够借助一题多解检验答案的正确性．