小学数学二年级试题（共15篇）
5个十和9个一组成的数是，它的前后邻居是()和()。
3、7个6是()，40里面有()个5
4、从3799数起，一个一个地数，第三个数是()，第五个数是()。
5、1小时=()分。
6、一个两位数，个位上的数是6，十位上的`数比个位上的数多2，
这个数是()。
7、一十一十地数，把80前面的两个数和后面的两个数写出来。
()、()、80、()、()
8、写一写，读一读。
写作：写作：写作：
读作：读作：读作：
9、用数字3、6、9组成的最大三位数是()，最小三位数是()。
10把下面的数按照从大到小的顺序排列：
()>()>()>()>()>()
三、在里填上“>”、“<”、“=”。(6分)
135-08105210-100406000-5005000
550+9066048÷6+81634+3060
四、判断(6分)(对的打“√”，错的打“X”。)
1、计算7×3和21÷3用同一句口诀。()
2、()×5<45括号里最大能填8。()
3、1米等于100厘米可以用1m=100mm表示。()
4、最大的两位数比最小的两位数多89。()
5、488的接近数是490，88的接近数是90。()
6、320+568的和估计数是900。()
五、用竖式计算，前面有“*”的要验算。(12分)
33÷6=73÷8=*286+354=
563+218=431-176=*764-251=
六、解决问题。(24分)
1、一本书共有398页，小亮已经看了225页，还剩多少页没看?
2、芳芳做了14朵花，晶晶做了8朵花，芳芳给晶晶几朵花，两人的花就一样多?
3、水果店共进了637千克西瓜，上午卖出182千克，下午卖出310千克，还剩下多少千克?
1.命题p:偶函数一定没有反函数;
(A) p真q真. (B) p真q假.
(C) p假q真. (D) p假q假.
2.若不等式|x-m|<1成立的充分不必要条件是2<x<3, 则实数m的取值范围是 ()
(A) (2, 3) . (B) [2, 3].
(C) (-∞, 2) . (D) [3, +∞) .
3.设直角三角形的两直角边的长分别为a和b, 斜边长为c, 斜边上的高为h, 则a+b和c+h的大小关系是 ()
(A) a+b<c+h. (B) a+b>c+h.
(C) a+b=c+h. (D) 不能确定.
4.函数
的定义域是 ()
的解集是 ()
(A) a2. (B) b2. (C) 2ab. (D) a2+b2.
7.定义平面上的区域D如下:若P为D的任意一点, 则过P点必定可以引抛物线y=mx2 (m<0) 的两条不同的切线, 那么 ()
(A) 圆的一部分.
(B) 椭圆的一部分.
(C) 双曲线的一部分.
(D) 抛物线的一部分.
9.如图1, 点P和点Q分别是正方体的棱DH和BF上的两个动点, 且HP=BQ, 则平面PQC与平面ABCD所成角的取值范围是 ()
10.平面内有4个圆和1条抛物线, 它们可将平面分成的区域的个数最多是 ()
(A) 29. (B) 30. (C) 31. (D) 32.
二、填空题
12.已知函数
三、解答题
21.解关于x的不等式:
(1) 求双曲线C的方程;
(2) 若P为C上任一点, A为双曲线的右顶点, 通过P, O的直线与从A所引平行于渐近线的直线分别交于Q, R, 试证明|OP|是|OQ|与|OR|的等比中项.
23.已知函数
(1) 求y的定义域和值域, 并证明y是单调递减函数;
参考答案
一、选择题
2.不等式|x-m|<1的解集为
故选 (B) .
3.由直角三角形面积公式知
故选 (A)
由图3知, 定义域为
故选 (B) .
5.原不等式可化为
令tanx=t, 即
所以不等式的解集为 (arctan3, arctan5) .
故选 (B) .
6.如图4, 设P (x1, y1) , 则
故选 (A) .
7.设点P (a, b) 为区域D的任一点, 考虑过点P的直线l:y=k (x-a) +b, (显然与y轴平行的直线不是抛物线的切线) , l如果和抛物线相切, 则方程
今若要有两条不同的切线, 那么关于k的方程k2-4mka+4mb=0要有两个不同的实数解,
当m<0, 化简得ma2<b, 故
故选 (A) .
8.由条件有
表示双曲线的一部分.
故选 (C) .
9.如图5所示, 设平面PQC与底面ABCD所成角为θ, 正方体棱长为a, 则
在点P, Q的运动过程中, △PQC在底面ABCD上的射影不变 (△BCD) , 并且△PQC的面积与△QEC的面积相等.
10.一条抛物线可将平面分成2个区域, 记作a1=2, 增加1个圆, 此圆与抛物线最多有4个交点, 这4个交点将圆分成4段首尾相接的弧, 每段弧将原来所在的区域一分为二, 则有
再增加1个圆, 此圆与抛物线最多有4个交点, 和第1个圆有2个交点, 故此圆与原有曲线共有6个交点, 这6个交点将该圆分成6段,
故选 (B) .
二、填空题
交换x, y的位置, 反函数为
综上知
13.易知数列{dn}的公差为30, 故只需找出d1来.
它们的第1个公共项为29.
15.由条件知
又因为P, M, Q三点共线, 所以
若k2+4k-12>0, 不合题意,
当k2+4k-12<0时, 则f (x) 在x≥2时单调递增,
18.显然arccosx≠0, 所以
问题转化为求t的值域.
所以当arccosx=2时, tmin=6,
故t的取值范围是[6, +∞) .
19.设连接抛物线上两点A (x1, y1) , B (x2, y2) 的弦AB的长为1, 且AB的中点C的坐标为 (x, y) , 则
20.如图7所示, 设球心为O, O在底面的射影为O′, E为BC的中点,
设正四面体的棱长为x,
在Rt△OEO′中, OE2=OO′2+EO′2,
三、解答题
21.设t=logax, 则原不等式可化为
y2=a.
如图8所示, 画出函数y1=|t|+|t2-1|, y2=a的图象.
22. (1) 由条件知
抛物线方程可化为
焦点坐标为 (-5, 0) , 故
所以双曲线C的方程为
(2) 设P (x1, y1) , 则
23. (1) 显然, y的定义域是-1≤x≤1;且y在0≤x≤1上是单调递减的.
当-1≤x≤0时, 设-1≤x1<x2≤0,
故f (x) 在[-1, 0]上也是单调递减的, 从而y是单调递减函数,
两边平方有
原不等式解集为
关键词：小学数学；教学；特点；二年级
创新教学方法是让小学生对以往的教学印象改变认识的方法之一。小学数学是学生必须学习的一门基础性学科，小学二年级的学生学习的数学大多数以加减乘除为基础的运算，这些基础性知识主要培养学生的抽象能力、数学推断能力、基础数学的应用综合能力，教小学二年级的老师在教小学生学习数学的时候一定要注重教学方法，通过有特色的教学方法让学生对数学感兴趣，培养学生的判断性思维和自主学习的意识，为学生学好未来的学科打好基础。
一、传统小学二年级数学的教学方法
传统的小学二年级数学教学方法一般都是学生没有自主意识学习的灌输性教学，学生没有学习的主动性与主动接触新知识的兴趣，之所以应用这样的教学方法是因为一部分小学数学老师认为，处于小学二年级的学生还不适合没有老师的监督学习习惯，并且认为小学二年级的数学过于简单没有什么逻辑应用题，只是对简单的数的认识和基础算法的掌握，所以只要学生背会了基本的乘法口诀就可以解决加减乘除题。还有一点就是，小学的一部分老师在专业学术方面也存在教学缺陷。处于小学阶段的大部分老师认为小学数学是所有数学学习中最简单的阶段，校方认为只要能够教会学生熟练应用加减乘除的老师都可以作为小学数学老师，就因为如此，使得小学缺少专业的教学生学习数学的老师，使得不少开始接触数学的学生由于老师的授课不专业导致学生从开始学习就对数学学习失去兴趣，甚至开始厌恶学习数学。特别是小学二年级的数学虽然简单，但是这阶段的数学教学是培养学生对数学产生兴趣的阶段，所以要想让学生对数学感兴趣需要老师从小开始抓起。
二、创新教学方法
（一）应用创新型的情景教学方法
作为小学数学老师，应该在教学中创设情境，将教学思想融入情境中，例如，小学老师可以将应用数学乘法口诀解决运算问题的题引入生活中，摆脱学生因为不理解或者不对书上的枯燥的知识感兴趣带来的困扰，如，小学数学老师可以让学生在提前一天调查自己家的楼层有多高，每一层有几间房子，平均每户住多少人，等到学生调查清楚的时候，老师可以将他们引入他们熟悉的住宅区域中，教他们计算这一栋楼一共住了多少人，从而使学生不仅开始热爱学习数学，还能够提高课堂教学效率。
（二）应用多种多样的教学方法让学生学习数学
小学二年级的学生由于处于向外界学习的状态，所以，老师可以利用多媒体现代技术为学生播放一些媒体动态图片，让他们学习数学的运算，例如，老师可以利用现在小学生都喜欢看的喜羊羊与灰太狼的故事让学生学习数学基础运算，如，草坪上有喜羊羊、暖羊羊、美羊羊、沸羊羊、懒羊羊五只羊，突然灰太狼来了抓走了暖羊羊和懒羊羊，问学生剩下几只羊？老师还可以为了调动课堂气氛应用游戏的方法让学生合作完成，采用开始动手、运转大脑、动口等操作形式，调动课堂气氛，丰富课堂教学形式，让学生在游戏中学习数学知识。例如，为了学习如何画圆，老师可以让学生开动自己的大脑利用自己的经验来画圆，当然老师可以引导学生借助器材来画圆，那么到底应用怎样的方式才能画出规定中的圆呢？这样积极的教学方法不仅可以丰富数学课堂的教学方法、激发学生的创新潜能、调动学生的学习积极性，还可以满足学生的好奇心，让学生开始对数学感兴趣，乐于在数学中学习。
三、激发学生的学习兴趣
小学二年级的学生正处于好动活泼的年级，他们对生活中的一切都很感兴趣，但是如果引导他们的教师应用的方法不正确就会导致学生对所接触的事物失去兴趣，开始转移目标，重新选择感兴趣的东西。为了让处于小学二年级的学生对数学学习感兴趣，作为小学二年级的数学老师而言，老师应该为学生创建快乐的感兴趣的学习氛围。老师可以用生动活泼的语言带学生进入学习课堂，例如，在上课三分钟的时候老师可以问学生今天早上吃了什么，一共用了多少钱？每一份早点多少钱？假如早点的美味总分为十分，选十个人分别让他们对自己吃的早点打分，平均下来是多少分？这种结合实际又能够让学生对自己所接触的生活开始计算的方法来接触数学知识，可以让学生在上课之初就能够对课堂所学的知识有渴望，从而开始对数学感兴趣，开始认真学习
知识。
总之，小学数学的学习可以说是一名学生学习基础数学的启蒙阶段，在这个时期培养起来的学习兴趣和学习习惯，对一个人一生的学习都有重要的影响，并且这个时候所学习到的数学基础知识和学生个人总结到的学习方法都可能是一个人一生受用的方法之一。
参考文献：
[1]金成淑.小学数学构建情景教学的对策研究[J].现代阅读：教育版，2013（3）.
[2]钟训莲.小学二年级数学教学之我见[J].新课程：小学，2014（8）.
二( )得六 ( )四十二 四( )二十 ( )五十五 四( )十六 ( )五二十五
二.在( )里填上合适的数
5+5+5+5=( )×( ) 4×6+6=( )×( ) 3+2×3=( )×( ) 4+4+4+3=( )×( )+(2×6+4×6=( )×( ) 7+7+7+6=( )×( )-(
三.列式计算
1. 2个6相乘，积是多少? 2. 2个6相加，和是多少?
3. 4和6相加，和是多少? 4. 8除以2等于4。
5.被除数是12，除数是3，商是4。
6.把15平均分成5份，每份是3。
7.20个桃，每4个分成一份，分成了5份。
四.填一填
1. 左图中有( )个角，其中有( )个直角。
（1）6×9可以表示（）个（）相加是多少。
（2）5×7可以表示（）的（）倍是多少。
（3）3个7相加是（），再加上1个7是（）。
（4）8与（）相乘得64，（）个7相加是21。
（5）14里面有2个7和14是2的7倍表示的意义（）。
（6）9是9的（）倍，8是8的（）倍，是4的（）倍。
（7）我们所学过的乘法口诀中，积最大的算式是（）。
（8）8的乘法口诀要比5的乘法口诀多（）句。
（9）求几个相同加数的和用（）计算简便。
（10）两个加数都是6，和是（）。
二、括号里最大能填几？
6×（）＜48
（）×6＜5
5（）×9＜57
（）×7＜70
7×（）＜3
48×（）＜68
（）×6＜20
34＞5×（）
（）×5＜34
三、列式计算。
（1）4个6连加的和是多少？
（2）4乘5的积再加上13得多少？
（3）25减去3个5的和是多少？
（4）3乘5的积再减去9，差是多少？
（5）从80里连续减去2个40，差是多少？
四、小朋友们在游乐园玩碰碰车，每辆车可以坐2个人，4辆车可以坐几个人？
_____________________________________
五、同学们在操场上跳绳，每8个人一组，分成了2组，一共有多少人在跳绳？
_____________________________________
六、小松鼠摘松果，每个筐里放了5个松果，一共放了7筐，小松鼠一共摘了多少个松果？
_____________________________________
七、一只手有5个手指，那么1双手有几个手指？
_____________________________________
八、一块橡皮5角，一支铅笔8角，丫丫买了2块橡皮和8支铅笔，一共花了多少钱？
1、笔算加法时，要从()位加起，个位满十向()位进()。
2、笔算减法时，要从()位减起，个位不够减，从()位退1当()。
3、求几个相同的加数的和，用()法计算比较简便。
4、一个星期有7天，四个星期有()天，五个星期有()天，七个星期有()天。
5、一张正方形的纸有()个角，一条红领巾有()个角。
6、列竖式算减法时，把相同数位()，如果()不够减，就从()退1。
7、计算53-34时，3减4不够减，从()退1，个位要算()减()。
8、100厘米=()米
1米+50厘米=()厘米
9、写出用4、8组成的两位数()。
10、从1、3、5三个数字中，任选两个数字能组成的两位数有()个。
11、甲、乙、丙三人每两个人握一次手，三人一共握()次手。
12、买一本《数学竞赛题集》需6元。付钱的方法有很多种，请把下面几种方法补充完整。
①()张1元
②()张2元
③()张5元与()张1元
④()张2元与2张1元。
⑤()张5元与()张5角。
⑥付给10元，可以找回()元。
二、我会在()里填上“>”“<”或“=”。
52-18()25+842-7()63-1766-37()54-2559-28()23+97×7()509×7()6590-65()73-4822-6()64-5043()6×748()5×9
三、赛跑。
36+22=()-16=()-18=()+45=()-10=()56-43=()-12=()+7=()+28=()-6=()
四、生活中的数学。
1、妈妈给我买了8本故事书，买的科技书比故事书多3本，买了多少本科技书?
一、教学内容及其变动
人教版二年级下册数学教材是经过修订而成的, 它包括十个单元的内容。教材的内容较以前的教材有着明显的变化。具体说来, , 有以下几个方面的变动:
( 1) 本教材将表内除法分为两个单元进行了教学, 在某种程度上降低了学习除法的难度, 让学生能轻松的、有时间的学习和运用表内除法。 ( 2) 将 “有余数的除法”从三年级上册移到本册进行教学, 在学生学习到表内除法后开始有余数的除法的学习, 这种紧密的安排, 既让学生对之前学习的除法有着联系和巩固, 也在这种氛围下开始了新知识的学习和掌握。 ( 3) 教材将 “图形与变换”单元修订为现在的 “图形的运动 ( 一) ” 单元, 其中关于直角、锐角、钝角的认识前移到二年级上册 “角的初步认识”单元, 将认识轴对称图形后移至本单元教学, 内容简单明了, 现在只让学生直观认识轴对称图形、平移现象和旋转现象, 删掉了原来要求画轴对称图形的另一半以及在方格纸上辨认图形平移了多少格的内容, 基本上是学生自己动手操作的, 更形象、直观。 ( 4) 根据义务教育数学课程标准的规定, 教材中对 “统计”的内容进行了充分修订, 具体到本册编排的内容为 “数据收集整理”, 在这个单元中, 以前的以一当五的复式条形统计图被简单的统计图表代替了, 降低了难度。 ( 5) 将教材中的“万以内的加法和减法”后移到三年级上册进行教学, 只在本册教材中简单的介绍对万以内数的认识, 简单的计算题和估算。
二、教材内容特点
本册教材的内容十分丰富, 知识点多, 具有着自己的某些特点, 具体来说, 有以下几点:
1. 重视培养学生的解决问题的能力, 形成应用意识。在 《数学课程标准》中提出了有关解决问题教学的详细目标, 可以在第一学段要求学生能在教师指导下, 从日常生活中发现并提出简单的数学问题。教材这样的安排就正好体现课程标准的要求。在本册教材中, 在学生学习了基本的计算知识后, 有的题目是需要学生自己根据所给条件提出问题再解答, 并且对于提出的问题没有明确的规定, 只有少部分会明确提出使用加法还是减法的计算方式进行提问。教材的安排是要锻炼学生的解决问题的能力, 让学生试着学会自己通过所学知识来解决问题。
2. 表内除法分两个单元编排, 体现知识的形成过程。教材表内除法的安排, 是在二年级的教学内容学习过表内乘法的基础上, 紧接着安排这样的单元, 不仅是对以前知识的巩固, 还为新知识奠定了基础。本册教材中的除法学习部分是分为两个单元进行的, 学生2 - 6 的表内除法、7 - 9 的表内除法, 学生熟悉表内除法 ( 一) 后, 能解决简单的关于用除法运算的问题, 在积累了一定的经验后, 对于后面一个单元的学习就显得容易得多。这样的安排不仅有利于学生知识的形成, 还节省了很多时间, 降低难度, 这是知识的循序渐进的过程, 对于学生知识的巩固和教师的教学是很有帮助的。
3. 提供关于空间与图形的丰富素材, 促进学生的空间观念的发展。这部分教材用的主题图是游乐场的照片, 里面各种娱乐设施的移动, 就是本单元将要学习的平移和旋转。书本中出现的需要学生自己动手操作的环节是很多的, 比如拉一拉、做一做和剪一剪等。这些知识不仅使学生逐渐形成空间观念, 还让学生积极参与到教学中来。
4. 教材提供的学习素材联系生活实际。在教材中, 每个单元都有自己的主题图, 这些是与实际生活贴近的, 都是生活内容, 还包含所学数学知识的, 十个部分知识的教学都从学生在平时生活中有所体验的实际问题来引入的。
三、有关教材的建议
1. 教材主题图的内容未考虑学生的生活差异。教材中的主题图丰富多彩, 但其实没有考虑到生活在农村的学生, 主题图中提到的游乐场、公园等等, 对于城市的教师和学生而言是可以很好的接受学习的, 但对于农村的学生, 他们接触的东西是很有限的, 对于老师而言要在这样的教材内容下引起学生的共鸣是很困难的。2.概念性的知识模糊, 缺少明确的概念。在教材中有一些知识, 在教材中没有明确的规定它到底是什么。老师在教学的时候也是讲解它所具有的特点, 概念的东西缺少了。学生能够在练习中感受到, 但却不能准确的说出, 教材应该出现这些概括的内容, 在学生的头脑中逐步形成概念意识, 以便学生高年级抽象思维的发展。3. 教师布置作业环节困难。在本册教材中, 书本中过多的呈现图文结合的地方, 简单看起来是很能吸引学生兴趣的, 但在另一方面说明教师能够在书本上给学生布置的任务就少了。学生在课本上练习的东西少, 自然而然的会增加其他的巩固练习的任务, 这样增加了学生的课业负担。4. 教材的练习题有相似部分, 不利于学生自主思考的能力培养。在教材的习题部分, 有前后题目是可以互逆的, 有些题目还很雷同, 学生完成书上的作业感觉是在重复不断的做一件事, 学生在这样的情况下容易感到烦躁。有部分学生在面对这样的题目时, 就会捡漏, 不计算、不思考, 这些都是不利于学生动脑思考的。
参考文献
[1]王立松.对二年级数学教材 (人教版) 的几点体会和建议[J].中小学数学 (小学版) , 2008, 03:15-17.
[2]卢江.人教版《义务教育课程标准实验教科书数学二年级下册》介绍[J].黑龙江教育 (小学版) , 2004, Z3:6-9.
[3]刘丽, 赵中华.小学数学二年级下册单元教材分析[J.河北教育 (教学班) , 2014, 01:19-21.
兴趣是最好的老师，是推动人们去寻求知识、探索真理的一种精神力量。学生对数学的钟情往往是从兴趣开始的，由兴趣到探求，由探求到成功，在成功的喜悦中产生新的兴趣，如此往复循环，推动数学学习的不断前进。首先、巧设导语，引发学习的兴趣；其次，动手实践操作；第三、组织游戏，培养学生的学习兴趣；第四、教学生活化提升学习兴趣；第五、多样练习也起到延伸学习兴趣的作用
关键词：教育；喜学；实践操作；生活化；多样练习
中图分类号：G42
二年级第一学期是属于教育的初级阶段，在这个阶段里面，我认为应该以培养学生的数学兴趣尤为重要。
兴趣是最好的老师，是推动人们去寻求知识、探索真理的一种精神力量。学生对数学的钟情往往是从兴趣开始的，由兴趣到探求，由探求到成功，在成功的喜悦中产生新的兴趣，如此往复循环，推动数学学习的不断前进。但由于数学是一门具有高度抽象性、严密逻辑性和应用广泛性的学科，学生在理解、掌握、应用知识的过程中，总会感到有一定的难度。因此，教师在设计教学过程中，必须激发学生的学习兴趣，使他们由厌学、苦学变为喜学、乐学，这必然激活和加速学生的认知活动。下面就是自己对此谈的一些见解：
巧设导语，引发学习的兴趣
人常说：“良好的开端是成功的一半，”精彩的开头如同一副“兴奋剂”他能使学生精神饱满、情绪高涨、注意力集中、求知欲强。为此，要经常了解学生流行什么，然后设置好导语。如：在认识厘米和米里面我是这样导入新课的。同学们，今天我给大家讲“机器猫”的故事，有一天，大雄和机器猫都说自己比较高，他们用尺子量了一下自己，结果，大雄145厘米，机器猫135厘米，同学们，你说他们谁高？你们有他们高吗？他们是多少米高呢？这时候，同学们急不可待的想知道答案，还有自己有没有他们高，就集中注意力听老师讲，激发了学生的学习兴趣。实践证明新课导入的成功，确有事半功倍之效。
二、动手实践操作。
小学生一般自我控制能力较差，好动，注意力集中的时间短。若让学生干巴巴地坐着听课，就会出现注意力分散、开小差，影响课堂教学效果。在教学过程中，我针对学生实际，结合教学内容，精心设计问题，有的放矢的引导，启发，让学生动手，动脑，动口，探索学习。如：在认识对称图形时，我先让学生自己动手剪出来，然后看这些图形的边有什么特点。同学们个个思维活跃，争先恐后地发表自己的意见。此时，我抓住“火候”继续启发、引导、设问，让学生自己动手摆一摆，动脑想一想，动口说一说，它们的角有什么特点，践证明，学生积极主动的参与学习，不仅激发了学生的学习兴趣，还使学生省时、省力、轻松、愉快地获得知识。
三、组织游戏，培养学生的学习兴趣
小学低年级学生生性好动，游戏像磁铁一样吸引着学生。若把知识融入游戏中，能激发学生的学习兴趣。我在数学教学中，创设和设计了许多有趣的游戏。如：“找朋友，对口令、出示手指、帮小动物找家等等”。把枯燥乏味的计算变成丰富多彩的游戏。学生的兴趣浓了，情绪高了，思维活了，反应快了，学生在玩耍中，轻松愉快中获取知识，提高了能力。如：我在教二年级数学中乘法口诀时，问：“同学们，你们喜欢交朋友吗？”“喜欢，”学生们异口同声地回答。好！今天我们做找朋友的游戏，好吗？“好”！接着我给学生发了些“数字卡片与算式卡片”让拿数字卡片的同学边跳边说：“72、72我的朋友在哪里。”拿“9x8算式卡片”的同学也边跳边说：“72、72你的朋友在这里。”然后这两个同学一齐问：“我算的对吗？”全班同学回答：“对！对！对！”最后全班同学鼓励。活跃了学生的课堂气氛，调动了学生的积极性，还激发了学生的学习兴趣，使学生在轻松、愉快、喜悦中获取知识。
四、教学生活化提升学习兴趣
学生熟悉的内容在情感上越容易引起学生的共鸣。因此，我细心挖掘教材中一切与生活有联系的内容，充分发掘数学中的生活内涵，使生活材料数学化，数学教学生活化，让学生体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和价值，对数学产生亲切感。引导学生自己去认识现实生活中的数学问题，领悟数学知识在实际生活中的作用与价值，使他们认识到“数学是生活的组成部分，生活离不开数学”。在教学这“认识厘米和米”时，还会问到，现实中什么东西要用米表示，什么要用厘米表示，为什么要这样表示。接着要学生说一下平时家里人什么时候会说一下关于长度的东西等等。平时讲其他的内容时，也要多联系生活上的东西，例如：买东西时、跑步计时、骑自行车等都会用上数学，从而引发学生的思考。
这样，通过教学知识在日常社会生活中的应用情况，如知识用在日常的什么地方、什么时间、用于什么问题等，使知识的学习密切地学生的现实生活及已有经验联系起来，使学生深刻理解所学知识的现实意义，既了解和掌握了数学知识的用途，也增强了他们学习数学的信心和兴趣。使他们深深地体会到数学源于生活，用于生活，与现实生活是紧密相联系的，离开数学将寸步难行。
五、多样练习也起到延伸学习兴趣的作用
练习是学生学习知识，形成技能、技巧的必要途径，是教学的一个重要环节，要使课堂练习达到“高效”“低耗”，使学生保持愉快的心情、振奋的精神，那么练习设计必须符合学生的心理，应采用灵活多样的练习形式。如：师生间经常组织讨论、争论，开展学习质量自我评估（自编评估题，同学间互测、互批），加强直观演示及学具的使用，一式多变，一题多变、多问、多解猜一猜、算一算等形式，让学生通过练习，在解决知识的新旧矛盾沖突中，提高对学习的兴趣，在实践活动中增强学习数学的自信心，认识数学知识在社会生产、生活中的价值和作用，进而，提高他们的对数学的兴趣，以及提高他们的数学素养。
△=( ) □=( )
2、你会填吗?
( )-1-4=12 8-3+( )=10
3+( )+5=8 8-2-( )=2
3、( )里最大可以填几?
2+( )6 ( )+47
10( )3 4+( )9
4、在2、4、7、9中选出3个数写四道算式。
5、按规律再画4个。
☆○○☆○○☆
6、朋友排队做操，小红的前面有6个小朋友，后面有5个，这一队一共有多少个小朋友?
班级：
姓名：
7×7
＝
9×7
＝
26＋26＝
8×4
＝
6×5
＝
54－9
＝
7×
＝
63＋15＝
8×3＝
58－39＝
7×6＝
44＋14＝
8×6＝
8×
5＝
23＝
4×9
＝
×
7＝
4×4＝
80－23＝
43＋57＝
×
9＝
53－36＝
24－9
＝
×6
＝
4×5＝
5×4＝
9×
9＝
89－18＝
59＋18＝
×
6＝
9×8＝
44－32＝
40－18＝
3×6＝
62－7＝
55－15＝
64＋9
＝
66－33＝
×
9＝
63－8＝
94－18＝
×
6＝
×
9＝
×
7＝
5×4＝
8×8＝
26＋38＝
6×
＝
4×7＝
×4＝
25－27＝
38＋48＝
6×3＝
5×7＝
23＋75＝
63－26＝
7×
＝
28＋64＝
90－18＝
×
9＝
55－34＝
2×9＝
×
8＝
2×8
＝
4×9
＝
61－25＝
×
8＝
55＋27＝
90－23＝
81－9＝
36－22＝
46－53＝
42－28＋15＝
7×8－
＝
6×
5＋9
＝
6×7－34＝
17＋23－10＝
56－28－12＝
4×8＋18
＝
85－43＋7
＝
34＋17＋32＝
5×
5＋
＝
97×
8－8
＝
52－20－5
＝
6×
5＋20
＝
7×
7－
＝
63－33－
4＝
18＋62－20＝
5×
9－
40＝
8×8＋8
＝
3×
3－
＝
×
6＋
8＝
8×9＋12
＝
6×6＋
＝
72－52＋16＝60-22＋9
关键词：小学；数学教学；有效性；初探
新课标时代的到来，对小学数学教师的专业素养、执教水平等提出了更高的要求。而提高小学数学教学有效性，将是我们新课改的主攻方向。希望各位小学数学教师本着以学生为主体的教学思想，通过设立情境、课堂调控、营造课堂氛围等提高小学生数学学习效果。下文便对相关问题加以探讨。
一、情境教学的有效性
小学数学教师有目的地引入或创设具有一定情感色彩的，以形象为主体的生动具体的场景，以激发学生学习兴趣，从而帮助学生理解、掌握知识的教学方法，就是情境教学。例如，笔者在《角的初步认识》教学过程中，首先在三角形知识的基础上创立了教学情境：“同学们已经学习了三角形知识，那么现在老师将三角形的一条边去掉，它还是三角形吗？这就是我们今天要学习的新知识——角”，而后将《角的初步认识》引入教学正题。
二、课堂调控的有效性
在开展教学活动过程中，教师要擅长利用、开发教学资源，并对学生的表现做出即时、多元化的评价。笔者根据自己的工作经验，建议广大小学二年级教师吃透教材，把握住教材的知识体系；灵活处理使用教材。另外，教学过程中要通过多样化的鼓励措施，增强学生学习的信心，激发学生学习的兴趣。
三、课堂氛围的有效性
1.营造轻松愉悦的学习氛围。兴趣是最好的老师，提高学生学习兴趣，对提高教学质量十分有益，教师在课堂应鼓励学生积极踊跃发言，让学生做课堂的主角，在快乐中收获知识。教师应着力改变师生“不平等”的教学关系，促使师生平等的交流沟通，加深彼此之间的了解。民主、和谐的学习氛围，有助于学生提高学习效率。
2.讲练结合。新课标一直强调要减轻小学生的课业负担，故教师把教学重点放在了教学方面，而忽视了练习对学生巩固知识的重要性。教师应根据学生学习状况，进行设置课堂练习、课后作业。通过讲练结合，加强学生对知识的理解掌握程度，从而促进学生身心健康发展。
总而言之，新课程改革给教师带来了严峻的挑战。教师应通过不断学习，转变教学理念、改善教学方法、提高教学水平等方式，成为一名优秀的高素质、高能力的小学数学教师。在提高小学数学教学方面还有很大的有待进步的空间，期待中国未来的小学教学教育改革可以取得显著性的成功。
参考文献：
梁小红.如何提高小学数学课堂教学有效性初探[J].现代阅读：教育版，2013（02）：259.
师:今天, 老师将与同学们一同上一节复习课。
师:同学们, 你们认为本学期所学知识中哪部分的内容最困难?
生:应用题部分 (绝大部分同学) 。
师:数学应用题部分内容确实很困难, 但是老师告诉大家, 这部分内容是十分重要的。
师:我们每一位同学都不是困难的懦夫, 老师相信你们每一位同学都能勇敢地战胜困难。 你们说是不是?
生:是! (齐声说)
分析:老师言语和蔼、态度可亲。 如“一同、大家、我们”等字眼无形中把老师和同学融为一体。 师生成为共同学习、共同探讨的伙伴, 消除了学生的畏惧心理。 老师激励性的问话恰到好处, 增强了学生学习的信心和战胜困难的决心。 此“导入”突出了高度尊重学生, 相信学生, 全面依靠学生。 强调学生是教育的真正主体, 是学习的真正主人的生本理念, 为师生共同学习营造了良好的课堂气氛。
二、研讨求知
第一板块:
看图编题并解答。
师:出示多媒体。
师:上面画了些什么?
生:苹果和桃子 (齐声答) 。
师: (追问) 谁能很快说出上面画了几个苹果? 几个桃子?
大部分能急着点数, 有少部分能急切地大声说:“12个苹果, 6个桃子”, “6个桃子, 12个苹果”。
师:好!你们真是眼明手快呀! 就是12个苹果, 6个桃子 (板书:12个苹果, 6个桃子) 。
师:谁愿意给大家讲一讲, 你是怎样很快说出12和6的?
生纷纷举手, 有部分定睛不语。
生1:有3行苹果, 每行4个, 一共12个;桃子就是6个, 我一眼就看出来了。
生2:有4行苹果, 每行3个, 一共12个;桃子就是3个3个的数, 3加3就是6个。
生3:老师, 我还有办法, 把苹果从中间分左右两部分, 每部分6个苹果, 一共6×2=12个;桃子不用数就行。
其他学生茅塞顿开, 跃跃欲试。
师:同学们, 你们表现得都很勇敢也很聪明 (特别是生3) 。下面看看题目是怎么要求我们的?
【块一分析 】教师提出问题有很强的激励性, 而问题又具有竞争性和挑战性。 这样很好地把握了二年级小学生爱表行自己的心理特点。 注重“以学定教”, 重视学生主动参与课堂学习, 营造民主、平等、激励、和谐的人文课堂环境;把学生当做学习任务的“首要责任人”, 把思考的权利、时间和空间还给学生, 让学生有充分表达自己思想和展示思维过程的舞台。 学生表现积极踊跃, 有效培养了学生勇敢的品质, 培养了观察和语言表达能力。 特别是生3的回答无疑是创新。 教师及时给予鼓励, 培养了学生的创新精神。
第二板块:
生:读题 (同桌议2分钟) 。
师:你怎么想的就怎么说。 谁想试一试?
生1:有12个苹果, 6个桃子。苹果桃子共有多少个?
12+6=18 (个)
生2:有12个苹果, 6个桃子。 苹果是桃子的多少倍?
12÷6=2
生3:有12个苹果, 6个桃子。桃子比苹果少多少个?
12-6=6 (个)
生4:我也能编将它们分装在盘子里, 每个盘子装6个, 需要几个盘子?
(12+6) ÷6=3 (个)
师引导学生:能不能结合我们的生活实际, 把题编得更有意义些呢?
生1:姥姥生病了, 我买了12个苹果, 6个桃子去看望姥姥。
师:编完了吗?
生:编完了。 其他学生有疑惑 (缺少问题) 。
师:哪位同学愿意把这道有意义的题补上问题呢?
生2:姥姥吃了1个苹果1个桃子还剩多少个水果?
12+6-2=16 (个)
生3: (再次补充问题) 买的苹果是桃子的多少倍?
12÷6=2
生4: (我也能编) 我也能编平均分给9个小朋友吃。 每个小朋友吃几个水果? (12+6) ÷9=2 (个)
师: (追问) 有12个苹果, 而桃子只有6个, 平均分给9个小朋友吃, 从总数上讲是平均的。 可是从生活角度上讲9个小朋友吃到的水果一样吗? “平均”分得合理吗?
学生大都疑惑不解, 有个别学生恍然大悟, 说:“有人吃不到桃子”;“还有人吃到2个桃子呢”。 (看法种种)
师:对呀! 那么, 问题出在什么地方呢?
多数同学恍然大悟, 说:“6个桃子不够9个人分。 ”
师:生活中, 如果我们遇到这种情况, 应该怎么办呢? (前提是很爱吃的桃子)
生1:我爱吃苹果。
生2:我把桃子让给别的小朋友吃。
师:两位同学发言都很诚实。 我们学习数学不但要从数学的角度分析问题, 还要结合生活实际。 生活中, 当然要学会“礼让”, 这是我们民族的美德。 但是, 这道题应该怎样改一下呢?
生1:平均分给3个小朋友吃。
生2:平均分给2个小朋友吃。
生3:平均分给6个小朋友吃。
师:三位同学改编得都很好, 那么, 怎样分才最合理?
【块二分析 】课堂 “放开”畅所欲言, 关注学生学习水平、兴趣爱好和个性特征上的差异, 善待、宽容、欣赏学生, 捕捉每个学生身上的闪光点, 让每位学生在师生的激励下不断超越自我, 获得身心全面发展, 使学生潜在的智能得以充分的开发与展示。 教师积极肯定学生参与, 为进一步学习起到“加油”作用。 学生不拘一格的发言烘托了课堂气氛, 老师恰如其分的引导使枯燥的数学教学变为兴趣教学。 本版块的品德教育十分得体, 体现了教育以育人为本的教育目标。
第三板块:
师:让同学们分组讨论 (怎样分最合理) 。
生:小组讨论 (平均分给2人、3人、6人怎样合理分) 。
生:小组汇报结果 (12÷2=6 (苹果) , 6÷2=3 (桃子) ;3人分……, 6人分……)
【块三分析 】分组讨论旨在培养学生团结协作, 共同探索的良好品质。 本版块设计实现了在这一目标。
三、巩固拓展
师:布置作业 (留意生活, 用所学数学知识自编自解十题) 。
考试时间：
班级 姓名 分数 一、我会口算（共10分）72－8= 5×9= 36－9= 57+9= 30+70= 76－40= 8×4= 7×5= 70－7= 35+8= 9+44= 5×4= 9×6= 24－7= 3×8= 7×8－20＝ 4×9＋4＝ 32－20+50＝ 7－3×2＝ 二、我会填。（每空一分，共28分）1.）在括号里填上适当的单位名称。
①一张床长约200（）②长颈鹿高约3（）③一本语文课本厚约2（）④一座楼房高12（）⑤小学生每天在校时间是6（）。
⑥看一场电影的时间是120（）。
2.）小丽的身高是83厘米，小兵身高1米，小丽比小兵矮（）厘米。
3.）7+7+7+7=（）写成乘法算式是（）读作（）；
4.）两个乘数都是8，积是（）。
5.）你能用0、3、5 这三张数字卡片组成（）个不同的两位数，其中最大的数是（），最小的数是（），它们相差（）。
6.）2和7的和是（）2个7的和是（），2个7的积是（）7.）8.）在〇里填上“﹥”、“﹤”或“=”。
26〇17+18 31﹣8〇3×7 100厘米〇98米 9.）括号里最大能填几？ 8×（）＜60 42＞（）×6 27＞4×（）（）×5＜36 70＞9×（）（）×3＜22 三、我会选（将正确答案的序号填在括号里）（每题1分，共5分）1.）4个3列成加法算式是（）。
①3+3+3+3 ②4+4+4 ③4×3 2.）明明有3件不同的衬衣，2条颜色不一样的裙子，一共有（）种穿法。
①5 ②6 ③3 3.）下列图形中，有二个直角的是（）。
4.）下列线中，线段是（）。
5.）可以用测量物体长度单位的是（）。
①时 ②角 ③分 ④米 四、我会用竖式计算。（每题2分，共12分）90-54= 38+44= 38＋59＝ 60-27-9= 100-（42+19）＝ 86-（52-28）= 五、我会画我会画（共6分）1.）画一条比5厘长的线段。
2.）在下面分别画一个锐角，一个钝角和一个直角。
六、我会动脑（每空1分，共9分）1.）观察物体（将正确答案的序号填在括号里）小狗看到的是图（）；
小猴看到的是图（）；
小羊看到的是图（）。
2.）用两种方法表示下面的时刻 七、我会解决问题。（每题5分，共30分）1.）看图列式计算。
2.）一个餐厅有3张8人坐的桌子和1张6人坐的桌子。这个餐厅共要配几把椅子？ 3.）买东西 ①电吹风比手表贵多少钱? ②小刚的妈妈带了50元钱，买一个电吹风和一个台灯，钱够吗？还差多少元？ ③买一块手表、一个台灯和一个电吹风共需要花多少钱？ ④你还能提出什么数学问题？提出来，并解决它。
本次二(1)和二(2)共有120人参加考试。二(1)班平均成绩92.71分，及格率100%，优秀率79%，位于年级第一名;二(2)平均成绩89.07分，及格率100%，优秀率61%，位于年级第三名。
二.试卷情况分析
这次考试共设六道大题，包括了二年级下册所学内容，题型多样，涵盖面广，有计算、填空、选择、判断、测量、统计和解决问题，体现了新课标的教学目标，也体现了双基。从卷面来看，学生的字迹比较工整，书写非常认真，基础知识掌握得比较扎实。
1、口算部分是加减乘中最简单的一步计算，考查学生的口算能力，学生做题较好，80%的学生全对。
2、填空：容易出错的是第4、8、9小题。第4小题：找规律填数的第2小题650、(630)、680、695、(710)，一部分同学不知道是每次减15。第8小题是考查和5、7有关的口诀。第9小题中出错较多的是,个别学生不细心，没有认真计算。
3、第三大题选择：这个题目的第1小题，大部分学生因不理解讲台是什么而理解成讲桌出错，第4小题是谁家离得近，少数学生因对题不理解，得分率较低。
4、第四大题判断：出错最多的是第4小题，其次是第5小题。第4小题出错的原因是学生认为锯掉一个角可能会是三个角，没有考虑到五个角的情况而出错。第5小题是加画一条线就增加了2个直角，这道题学生没有考虑到如果随意画有可能不是直角的情况。
2.sin 18°cos 36°= () .
4.有能力互异的3人应聘同一公司, 他们按照报名顺序依次接受面试, 经理决定“不录用第一个接受面试的人, 如果第二个接受面试的人比第一个能力强, 就录用第二个人, 否则就录用第三个人”, 记该公司录用到能力最强的人的概率为p, 录用到能力最弱的人的概率为q, 则 (p, q) = () .
5. (理) 设A, B是曲线C:x2-y2=1 (x>0) 上两点, 则的取值范围是 () .
6. (理) 杨辉三角, 又称贾宪三角形, 它是以组合数C0n, C1n, …, Crn, …, Cn-1n, Cnn (n∈N*) 顺次组成第n行的一个呈三角形的数表;在欧洲, 这个数表叫帕斯卡三角形.据数学史记载, 帕斯卡 (1623—1662) 是在1654年发现这一规律的, 比我国古代数学家杨辉、贾宪分别迟393年和600年.现把这个表中的全部数转换成二进制, 发现第k行全是1, 则k= () .
(A) 2n (n∈N) (B) 2n-1 (n∈N)
(C) 2n±1 (n∈N) (D) 2n+1 (n∈N)
(文) 杨辉三角, 又称贾宪三角形, 它是如下形式的一个数表:
在欧洲, 这个数表叫帕斯卡三角形.据数学史记载, 帕斯卡 (1623—1662) 是在1654年发现这一规律的, 比我国古代数学家杨辉、贾宪分别迟393年和600年.观察发现第k (k>1) 行存在三个数成等差数列, 则k的最小值是 () .
(A) 5 (B) 7
(C) 14 (D) 15
8.把函数y=f (x) 的图象向左平移π/6个单位, 再关于y轴对称, 得到函数y=sin 2x的图象, 则函数y=f (x) 的递增区间是 () .
9.天气预报说“今后三天中每天下雨的概率为0.4”, 学生甲编程模拟“这3天中恰有2天下雨”的概率P, 如图3.他规定1, 2, 3, 4表示下雨, 其他数字0, 5, 6, 7, 8, 9均表示不下雨;用随机函数生成1个三位数X=INT (1000*RAND () ) 算一次试验, 若其中恰有两位上出现1, 2, 3, 4之一, 事件“这3天中恰有2天下雨”.他设计的程序框图如图3.
如果他输入N=20, 运行程序得到20个这样的三位数“907, 966, 191, 925, 271, 932, 812, 458, 569, 683, 431, 257, 393, 027, 556, 488, 730, 113, 537, 989”, 那么, 输出的P= () .
(A) 0.250 (B) 0.300
(C) 0.288 (D) 0.504
10.函数f (x) =x3-3x2+5x-3的对称性结论是 () .
(A) 对称轴x=1, 对称中心 (1, 0)
(B) 没有对称轴, 只有对称中心 (1, 0)
(C) 只有对称轴x=1, 没有对称中心
(D) 既没有对称轴, 也没有对称中心
11.某几何体的三视图如图4所示, 其中正视图的面积是s, 线段EF与侧面BCC′B′在原几何体中的距离是d, 则该几何体的体积V= () .
(A) 充分不必要条件
(B) 充要条件
(C) 必要不充分条件
(D) 既不充分又不必要条件
(文) 以下不等式恒成立的是 () .
二、填空题:本大题共4小题, 每小题5分, 共20分.把答案写在题中的横线上.
13.多项式 (1-x) 4 (1+x+x2+x3+x4+x5) 的展开式中, x2项的系数是________.
16.已知a, (1/2) b, c成等差数列, 记直线l:ax+by+c=0被圆x2+y2=4截得弦AB的中点为M, 则动点M的轨迹方程是________.
三、解答题:本大题共8小题, 共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分) 已知函数f (x) =2x3+5x-2, x∈R;对非零实数q∈ (-1, 1) , 无穷等比数列{a1qn-1}的各项和.
(Ⅰ) 证明:f (x) 有唯一零点r;
(Ⅱ) (理) 证明:存在唯一一个由正整数构成的无穷等差数列{an}, 满足.
18. (本小题满分12分) (理) 一个质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别标记1, 2, 3, 4字样.抛掷该骰子一次称作一次试验, 连续抛掷该骰子4次称作一轮试验, 按照朝下一面的数字将一轮试验表示为4元数组A= (a1, a2, a3, a4) , 并以S (A) 记其元素集合, 定义B={A|card (S (A) =4) }.
(Ⅰ) 写出所有4元数组A的个数以及card (B) ;
(Ⅱ) 任取X∈B, 定义X=|a1-1|+|a2-2|+|a3-3|+|a4-4|, 写出随机变量X的概率分布, 并计算E (X) 以及P (X≤2) .
(文) 有A, B, C, D, E五位工人参加技能竞赛培训.现分别从A, B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次.用茎叶图 (图5) 表示这两组数据如下:
(Ⅰ) 现要从A, B中选派一人参加技能竞赛, 从平均状况和方差的角度考虑, 你认为派哪位工人参加合适?请说明理由.
(Ⅱ) 若从参加培训的五位工人中选两人参加技能竞赛, 求A, B两人中至少有一人参加技能竞赛的概率.
19. (本小题满分12分) (理) 如图6, 在直三棱柱ABC-A′B′C′中, BA=BC, D∈BB′, 且满足平面DA′C⊥平面ACC′A′.
(Ⅰ) 求证:D是侧棱BB′的中点;
(Ⅱ) 若AA′=AB, 且∠ABC=60°, 求平面A′DC与平面A′B′C′所成锐二面角的度数.
(文) 如图7, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, E是棱AC的中点.
(Ⅰ) 求证:AB1∥平面BEC1;
(Ⅱ) 设E1是棱A1C1上的一点, 且平面AB1E1∥平面BEC1, 试确定点E1的位置.
(Ⅰ) 求动圆圆心M的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 过曲线C上的动点P (x0, y0) (x0>2) 作圆x2+y2-2x=0的两条切线, 分别交y轴于B, D两点, 求△PBD面积S的最小值.
(文) 如图8, 圆F1:x2+y2+2x-15=0上有一动点M, 定点F2 (1, 0) , 记线段MF2的中垂线与半径MF1相交于点P.
(Ⅰ) 求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 过点A (1, 3/2) , 作曲线C的两条倾斜角互补的动弦AE, AF, 求△OEF面积S的最大值.
21. (本小题满分12分) (理) 已知f (x) =ln (1+x) -ax, 其中a∈R.
(Ⅰ) 求实数a的值, 使得f (x) ≤0对一切x∈ (-1, +∞) 都成立;
(Ⅰ) 求f (x) 在 (0, +∞) 上的最小值;
(Ⅱ) 设点M (a, b) , 使得函数y=f (x) 的图象恰有三条切线都过点M, 试求a, b满足的关系式.
请考生在22, 23, 24题中任选一题作答.如果多做, 则按所做的第一题计分.
22. (本小题满分10分) 选修4-1:几何证明选讲
如图9, 点P位于单位圆在第一象限的圆弧 (不含端点) 上, 射线OP与单位圆在点A (1, 0) 处的切线相交于点T, 记∠AOP=x∈ (0, π/2) , 用平面几何方法, 证明:
(Ⅰ) sin x<x<tan x;
(Ⅱ) sin x+tan x>2x.
23. (本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程
如图10, 线段OP=1, ∠xOP=π/6, 过点P作倾斜角为π-θ的直线l.
(Ⅰ) 写出直线l的参数方程;
(Ⅱ) 记直线l分别交x轴正半轴和y轴正半轴于点A, B, 当θ变化时, 求f=│OA│+│OB│-│AB│的最大值.
24. (本小题满分10分) 选修4-5:不等式选讲
(Ⅰ) 求函数f (x) =│2x-1│+│3x-2│ (x∈R) 的最小值;
(Ⅱ) 求实数a的取值范围, 使得不等式│2x-a│+│3x-2a│≥a2对一切x∈R都成立.
3.A.全称命题的否定是特称命题.
4.D.用“1, 2, 3”依次标记能力“由最强到最弱的3个应聘者”, 他们共有如下6种面试顺序:1, 2, 3;1, 3, 2;2, 1, 3;2, 3, 1;3, 1, 2;3, 2, 1.
按照公司经理的决定, 有3种面试顺序“2, 1, 3;2, 3, 1;3, 1, 2”能录用到能力最强的人, 所以p=3/6=1/2.只有1中面试顺序“1, 2, 3”录用到能力最弱的人, 所以q=1/6.
12. (理) C.作出函数f (x) =x (|x|-1) 的图象, 易知选C.
13.3.x2项的系数与x3+x4+x5无关, 由 (1-x) 4 (1+x+x2) = (1-x) 3 (1-x3) , 可知x2项的系数只与 (1-x) 3有关.故x2项的系数是3.
16.x2+y2-x+y=0.若直线l:ax+by+c=0被圆x2+y2=4截得的弦的中点为M, 则满足OM⊥l.
整理得x2+y2-x+y=0.
故点M的轨迹方程为x2+y2-x+y=0.
所以函数f (x) =0存在唯一零点x=r∈ (0, 1/2) .
下面证明an=3n-2 (n∈N*) 是由正整数构成的满足等式 (※) 的唯一无穷递增数列.
反证法:假设另有一个由正整数构成的无穷递增数列{bn}满足 (※) , 则
ra1+ra2+…=rb1+rb2+…. (☆)
因为两个无穷数列{an}与{bn}是不同的, 所以删除等式 (☆) 两边相同的项, 剩下一个等式如下ri1+ri2+…=rj1+rj2+…, 其中1≤i1<i2<i3<…以及1≤j1<j2<j3<….
故唯一性得证.
18. (理) (Ⅰ) 所有4元数组A的个数是44=256.因为B中每个4元数组都是1, 2, 3, 4的全排列, 所以card (B) =4!=24.
(Ⅱ) 因为|a|的奇偶性与a的奇偶性相同, 所以X是偶数, 所有可能取值是0, 2, 4, 6, 8.
为便于理解, 我们把与X的取值相对应的数组A也列在概率分布列中.
(Ⅱ) 任派两个人参加技能竞赛, 其总的基本事件有 (A, B) , (A, C) , (A, D) , (A, E) , (B, C) , (B, D) , (B, E) , (C, D) , (C, E) , (D, E) , 共10个, 而A, B两人都不参加的基本事件有 (C, D) , (C, E) , (D, E) , 共3个, 所以A, B两人中至少有一人参加技能竞赛的概率为.
19. (理) (Ⅰ) 如图3, 取AC的中点E, 连结BE, 则BE⊥AC.
因为ABC-A′B′C′是直三棱柱,
所以平面BAC⊥平面ACC′A′, BE⊥平面ACC′A′.
作DF⊥A′C于F, 连结EF.
由平面DA′C⊥平面ACC′A′, 得DF⊥平面ACC′A′.
所以BE∥DF.
又BB′∥平面ACC′A′, D∈BB′,
所以BE=DF.
故四边形BEFD是矩形, 从而BD=EF.
由EF的取法可知, EF是△CAA′的中位线, AA′=2EF.
所以2BD=2EF=AA′=BB′=BD+DB′.
故BD=DB′, 即D是侧棱BB′的中点.
(文) (Ⅰ) 连结B1C, 设BC1∩B1C=F, 则F是B1C的中点.
所以EF是△AB1C的中位线.所以AB1∥EF.
因为AB1平面BEC1, EF⊂平面BEC1, 所以AB1∥平面BEC1.
(Ⅱ) 因为平面AB1E1∥平面BEC1, 平面AB1E1∩平面AA1C1C=AE1, 平面BEC1∩平面AA1C1C=EC1,
所以AE1∥EC1.
又因为AE∥E1C1,
所以四边形AE1C1E是平行四边形.
所以E1是棱A1C1的中点.
20. (理) (Ⅰ) 由题设, 动点M到定点F的距离等于它到定直线l:x=- (1/2) 的距离, 所以动点M的轨迹C的方程为y2=2x.
(Ⅱ) 如图5, 设B (0, b) , D (0, c) , b>c, y20=2x0, x0>2.
同理, 由PD∶ (y0-c) x-x0y+cx0=0与圆 (x-1) 2+y2=1相切, 得到
(x0-2) c2+2y0c-x0=0. (※)
故Smin=8.
(文) (Ⅰ) 由题设, 圆F1的方程为 (x+1) 2+y2=16, 所以F1 (-1, 0) .
由题设几何性质, |PF1|+|PF2|=|F1M|=4.
按椭圆的定义, 动点P的轨迹是以F1, F2为焦点的椭圆, 且2a=4, 即a=2, c=1, .
故所求实数a=1 (必要条件) .
下面证充分性:f (x) =ln (1+x) -x≤0, ∀x∈ (-1, +∞) .
所以由f′ (x) =0, 得x=0.当x变化时, f′ (x) , f (x) 的变化情况如下表:
所以[f (x) ]max=f (0) =0, 从而f (x) =ln (1+x) -x≤0, ∀x∈ (-1, +∞) .
所以所求实数a=1 (充要条件) .
故不等式得证.
令f′ (x) =0, 得x=1.
当x∈ (0, 1) 时, f′ (x) <0, 当x∈ (1, +∞) 时, f′ (x) >0, 易得x=1为f (x) 的极小值点, 也是最小值点.
所以[f (x) ]min=3.
(Ⅱ) 过点P作函数y=f (x) 的图象的切线PT, 记切点T (x0, f (x0) ) .
令g (x) = (b-2a) x3-3x+2a, x∈R, 则g′ (x) =3[ (b-2a) x2-1].
若b-2a≤0, 则g′ (x) <0, g (x) 在R上递减, 方程 (※) 有唯一解x0, 与题意不符;
列表如下
因为按题意, 方程 (※) 有三个不等实数根x0, 条件是
22. (Ⅰ) 如图7, 连结AP, 则S△OAP<S扇形OAP<SRt△OAT.
(Ⅱ) 即证明tan x-x>x-sin x, 亦即证明图8中弓形 (阴影部分) 的面积小于圆外曲边图形 (阴影部分) 的面积, 由于是曲边图形面积不便比较, 过点P作单位圆的切线交AT于点K, 目标进一步转证S△PAK<S△PTK, 如图9.
因为KA与KP都是单位圆的切线,
所以由切线定理, 得AK=PK.
又在Rt△KPT中, TK>PK (斜边大于直角边) ,
所以TK>AK, 从而S△PAK<S△PTK.
故sin x+tan x>2x.
(Ⅱ) 直线l与x轴正半轴和y轴正半轴都相交的条件是θ∈ (0, π/2) .
24. (Ⅰ) 由绝对值的性质, 得
(Ⅱ) 当a=0时, 满足题设;当a≠0时, 换元x=ay, 则题设不等式化为│2y-1│+│3y-2│≥│a│对一切y∈R都成立.
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