小学数学教学论文 数学开放题（通用15篇）
人类已进入二十一世纪的信息时代，国民创新素质的高低将成为衡量一个国家竞争力的重要标志。江总书记曾指出：“创新是一个民族的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。”因此提高全民族素质，培养学生的创新意识、创新精神也就必然成为小学数学教学所面临的迫切任务。反观我国的基础中小学数学教育中，课程仍在“学科中心”理念的支配之下，教材还一直采取“定义—定理—练习”的编写方式，只突出学科系统性的编写方法，而把学生的个性发展置于无足轻重的地位；教学模式也过分单一，教学要求同一化；学生厌学，产生大量的“差生”，学有余力的学生的兴趣和能力也得不到充分发展；学生只埋头于题海中、“模拟试卷”中，学生被训练成了解题机器；而数学教材中的习题又基本是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的，学生在学习过程中产生了以死记硬背代替主动参与，以机械模仿代替智力活动的倾向……。为了突破我国数学教育当前的局面，改变这一状况，顺应时代的发展和需要，我们在数学教学中，引进了数学开放题，作为积极推进数学素质教育、创新教学的一个切入口，同时希望通过开放题的引入，促进数学教育的改革和发展。
一、数学开放题的含义
1、特征
数学开放题相对于传统的封闭题而言。传统的数学习题条件完备、结论确定，此类题称为封闭题。而数学开放题通常是指那些条件不完备、结论不确定的习题，或称为“问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余”的习题。数学开放题一般具有下列特征：
⑴ 问题的条件不完备
开放题的条件可以不足，也可以多余。条件不足时要求学生予以补充，条件多余时可要求学生有所选择。
例
1、小敏有一些1元和5角的硬币，合起来是10元钱。小敏有几个硬币？
在本题中，给出的条件不足以确定硬币的个数，学生需要补充一些条件才能得出结论。正是由于条件的不足，从而使本题的结论具有很大的开放性。
例2、从2、3、4、5、6、7、8这七个数中，挑出六个数填在下面的括号内，使等式成立
（）+（）=（）+（）=（）+（）
在本题中，可根据七个数中的某六个数就可确定算式，条件是多余的。多余的条件使本题的解题策略具有开放性。
⑵ 问题的答案不确定
开放题的答案具有多样性，它决定了能够满足各种层次水平的学生的需求，使他们可以在自己的能力范围内解决问题，从而体现出层次性。
例3、小刚家离学校45米，小红家离学校55米，小刚家与小红家之间有多少米？
在道题有三种不同层次的解答思路：①小刚和小红家在一条直线上且在学校的两边，俩家相距 45+55=100（米）②小刚和小红家在一条直线上且在学校的一边，俩家相距 55－45=10（米）③小刚和小红家不在一条直线上，俩家相距大于10米，小于100米
⑶问题的解决策略具有创新性
解答开放题时，没有一般的解题模式可以遵循，有时需要打破原有的思想模式，从多个不同的角度思考问题，有时发现一个新的解答需要一种新的方法或开拓一个新的研究领域。
例
4、一次，小敏、小红、小丽三位朋友合乘一辆出租车，大家商定，出租车费一定要合理分摊，小敏在全程三分之一处下了车，到了三分之二处，小红也下了车，最后小丽一个人坐到终点，付出18元钱，他们三人如何承担车费比较合理。
本题的一般解题方法是：按路程的多少来合理分配车费。因路程的比是1∶2∶3，所以小敏：18÷（1+2+3）=3（元）；
小红：18÷（1+2+3）×2=6（元）；
小丽：18÷（1+2+3）×3=9（元）。
本题还有特殊的解题方法：共有三段路，每段6元，每段路所花的钱平均分配。第一段路三人都乘，每人应付2元；第二段路小红和小丽合乘，两人各付3元。这样每人应承担的车费如下：
小敏：2（元）小红：2+3=5（元）小丽：2+3+6=11（元）
如果考虑出租车的起步价，车费的分配又有所不同。
解答本题时并没有一定的解题模式可以遵循，思维呈发散性，如能找到一个新角度，就可以发现新的解答。
2、分类
对数学开放题进行分类，这不但有助于我们对开放题有一个深入的认识，而且也有利于开放题的各种研究工作。数学开放题可以选择不同的标准进行不同的分类。以下仅从思维形式这一角度对开放题进行分类。数学命题一般可根据思维形式分成“假设—推理—判断”三个部分。
⑴一个数学开放题若其未知的要素是假设，则为条件开放题。这类开放题给出了结论，要求从多种不同角度去寻求这个结论成立的条件。
例
5、有三个整数，问这三个数具备什么条件时，它们的和能被3整除？
⑵一个数学开放题若其未知的要素是推理，则为策略开放题.这类开放题一般都给出了条件和结论，而怎样由条件去推断结论或怎样根据条件去判断结论是否成立的策略未知。
例6 制作书架时需要一块长100厘米，宽20厘米的木板，现只有一块长80厘米，宽30厘米的木板。问怎样将木板锯开，可以拼接成所需尺寸的木板？
⑶一个数学开放题若其未知的要素是判断，则为结论开放题。结论开放题就是给出了一定的条件，满足条件的答案有多个。
例
7、在2、4、6、7、10的五个数中，哪一个与众不同？
⑷有的问题只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论要求主体在情境中自行设计与寻找，这类题称为综合开放题。
例
8、在一个3×4（米）的长方形地块上，欲辟出一部分作为花坛，使花坛的面积是长方形地块的一半，请给出你的设计。
二、数学开放题的使用价值
由于开放题的特点是条件开放、结论开放、策略开放的问题，开放题教学作为一种新的教学形式，为学生由课堂走向社会实际架起了一座桥梁，为新知和学做的结合开辟了课程的新渠道。本人通过对开放题教学的研究，觉得数学教学中引进开放题是必要的也是必须的，其独特的作用主要有以下几个方面：
1、有利于全体学生的积极参与
素质教育的本质应该体现在面向全体和全面发展上，而每个学生发展的关键是要在教与学的活动中给每个学生 提供参与机会，使他们在参与中得到发展。新鲜而具有丰富答案的开放题使每个学生都可以从事自己力所能及的探索，优生可做得多而深一些，基础差的学生也不至于无从下手，而通过自己的努力发现的结论或设计的方案，无论程度如何，都会给学生带来快乐，而没有无可奈何的被迫练习的感觉，这样的参与带有极大的主动性。每个学生在这样的参与中都得到更好的发展。开放题教学让每个学生在积极参与中求得了发展。
2、有利于学生的主体地位得以保障、自信心得以增加
素质教育观中，主体性是衡量学生学习质量高低的主要标志。学生的主体性越突出，独立探索的机会就越多；创造性情感就越强；其创新意识和实践能力越有可能得以培养。在开放题教学中，由于学生的活动是开放的，学生自己可以提出问题来展开并进一步发展教学内容，学生可以按自己的意愿来选择其所喜欢的思维方式解决问题。这样的学习，可以使学生的自主权受到尊重，使他们的主体地位得以保障。同时学习的内容和方式是学生自己感兴趣的，从而激发了他们的学习积极性和主动性，增强了他们对学习的自信心。
3、有利于培养学生的创新意识和能力
素质教育的制高点就是要培养学生的创新意识和能力，开放题教学具有此功能。在解决开放性问题时，学生探求多种答案，有利于培养思维的独创性、发散性；学生发现使结论成立的多种条件时，有利于提高学生联想、猜测、直觉等非逻辑思维能力及分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力；学生在寻找多答案中的最优解与在寻找多种条件中最优条件时，训练了学生的创造性思维能力。又开放题教学能够提供学生提高创新思维的空间。学生间的讨论、师生间的交流、学生提出质疑时，学生发展了自己、超越了自己，使创新思维能力得到有效提高。
4、有利于因材施教，发掘每个学生的潜能
心理学家加德纳（Howard Gardner）曾指出：每个人都具备有多种智慧，其差异之一，仅仅是某人这几方面的智慧占优势，某人那几方面的智慧占优势；
其差异之二，某些智慧已被人所显示（显能），某些智慧还没有被人所显示（潜能）；人人都具有多方面的智慧。这告诉我们，起主导地位的教师应该为每个学生创设一个良好的情境，以使每个学生的智慧得以展示，使每个学生的潜能得以发掘。以开放题为载体的开放式教学就为学生创设了一个这样好的情境：开放题由于答案、条件的不唯一性，方法的多样性，起点低、层次多，适应多层次的学生，为因材施教提供了好的材料，为每个学生提供了更多的参与机会和成功可能。
20世纪已离我们远去了，数学教育的观念已发生了巨大的变化，数学不再仅仅是为未来的科学家和工程师作准备，而是21世纪每一个公民的基本素质之一。在这种观念下，我们可以看到，数学开放题较为有效地反映了学生高层次的思维，在开放题的解答过程中，往往没有固定的、现成的模式可循，仅靠死记硬背、机械模仿不可能找到问题的解答，学生必须充分调动自己的知识储备，积极开展探索活动，从多角度用多种思维方法进行探索。课堂中引进数学开放题，可以较好地培养学生的创新意识和能力，数学开放题，创新教学的切入口。
参考文献
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数学教学，1999年第4期
〔4〕戴再平。《小学数学开放题集》上海教育出版社。2000年5月
一、 数学问题解决的提出
1. 提出 “四能” 的背景
我国传统数学教学习惯性要求学生按照一定的解题思路反复训练, 在量的积累中实现质的飞跃, 从而形成相应的数学学习能力。 随着新技术革命的不断发展, 特别是以互联网技术为核心的信息技术的快速发展与普及, 人类正面临一个日新月异的、 开放的社会。 未来数学教育的最大使命就是要培养出具有更高数学素质、 更具创新能力的人才。 在 《义务教育数学课程标准 (实验稿) 》 引领的新课程改革中, 不断改革、 实验、 总结与反思, 愈发深刻体验到传统数学教学最大的弊端为: 学生在校时间越长, 解题技能越强, 但问题意识越弱, 创新精神越贫瘠。
从现实的视角来考察, 发现问题和提出问题的能力正是我国学生数学学习中最为薄弱的环节。 根据课改十多年的实践经验, 顺应世界数学教育的时代潮流, 《义务教育数学课程标准 (2011 年版) 》 对数学教学 “课程目标” 首次创新性地提出了 “增强学生发现和提出问题的能力、 分析和解决问题的能力”, 第一次把义务教育阶段的数学教学的总体目标由实验稿中的 “两能” (分析问题的能力、 解决问题的能力) 发展为 “四能” (发现问题的能力、 提出问题的能力、 分析问题的能力、 解决问题的能力) , 即问题解决的能力, 就在于弥补不足, 呈现一个思维的完整过程。
2. “四能” 的内涵解读
“问题是数学的心脏”, 数学的发展正是伴随着不断发现和提出问题, 并不断加以解决的历史。 对于小学生而言, “发现问题的能力” 是指学生在已有知识经验的基础之上, 在数学学习和问题探索活动中, 发现新的困惑或在显而易见之处发现新 “问题” 的能力。 这种发现可以是书本上不曾学过的新方法、 新观点与新途径, 也可以是过往未曾知晓的新知识。
“提出问题的能力” 是指将某些问题用数学语言表达出来的能力, 究其本质是将发现的问题数学化的过程, 核心在于数学的抽象、 建模的相关能力。
“分析问题的能力” 是指运用数学思维方法寻找已知条件与问题结论之间的内在逻辑关联的能力。 而“解决问题的能力” 指的是依靠数学分析, 借助已有知识技能及解题技巧, 运用数学模型解答问题的能力。 这两种能力在我国传统数学教育中着墨较多, 积累了比较成功的经验, 值得传承。
“发现问题” 是 “提出问题” 的基础和前提, 但两者也有明显的区别, “发现问题是指头脑中产生的疑问, 但这种疑问未必非常明确。 提出问题则是将头脑中产生的疑问用明确的语言表达出来, 这中间往往要经历逻辑思维和组织语言的过程。”“发现问题” 通常只在头脑中存在, 不用说、 写等形式外显出来。“提出问题” 则需将大脑中认识到的事物用某种方式表达出来, 这种陈述性过程就是对“发现问题” 内容的进一步理解、 加工、 分析的过程。
“发现问题”“提出问题” 为 “分析问题” 提供了源头活水, 为 “分析问题” 提供了更为广阔的视域和空间, 也为 “分析问题” 指明了思路和方向, 从而为 “解决问题”打下了坚实的基础。 一个完整的问题解决过程必然要经历发现问题、 提出问题、 分析问题、 解决问题的历程, 显然这四种能力之间也相辅相成、 彼此依存、 不可或缺。 在大量的实际问题解决过程中, 这四种能力也彼此呼应, 息息相关, 彼此共长, 相互促进, 从而推动学生个体数学问题解决能力的螺旋上升。
二、 开放题问题解决的价值
从数学教育内部来看, “新数” 运动的急剧衰落, 人们在对历史的反思中认识到数学教学模式应在综合化的过程中得到优化, 在这一过程中, 开放题被认为是最富有教育价值的一种数学问题的题型, 它的出现是社会发展的必然结果。
1. 公平的学习机会
确立学生课堂学习主体地位是新改革的一个重要理念, 倡导不同的学生在数学上得到不同的发展, 即因材施教。学生的主体意识的形成和确立, 需要有合适的时机和平台。开放题问题解决过程中所呈现出的挑战性能有效激发学生的好奇心和求知欲, 从而为学生主动学习创造了条件。 开放题问题答案的不唯一, 解题方法的不唯一使得每一个学生都有问题获解的机会, 并在亲历解决问题的活动中获取一定的知识或者学习方法。
2. 优效的思维锻炼
开放题教学, 从教学形式上看, 变传统意义的单一教师讲解、 提问为师生共同研究问题的知识与能力的综合训练, 变传统的个体操作为群体交流合作, 在活动中碰撞思维的火花。 开放性问题引入课堂, 给学生提供了从多角度去思考问题的机会, 学生能从不同方向对问题发起攻击, 亲历知识的发现、 掌握、 内化, 主动建构知识体系, 在问题解决的进程中, 培养锻炼学生思维的深刻性、 灵活性、发散性和批判性等良好品质。
3. 活跃的创新能力
21 世纪中国教育的主旋律就是激发学生的创新意识, 培养学生的创造能力, 作为基础教育源头的小学教师, 理应顺应时代发展的潮流, 更新教学思想, 创新教学方法, 选用对学生创造能力更有帮助的数学习题。 在开放题解答过程中, 能主动将自己的角色定位为学习的示范者、 启发者、 鼓励者、 指导者、 合作者, 不再是讲授解答的权威。通过课堂观察, 洞悉学生的需求, 及时调控研究方向, 给予学生在学困处、 学疑处必要的帮助、 点拨、 指导, 为每个孩子提供探索、 发现、 创造的机会, 激发孩子的创造力, 使孩子得到个性发展和提高。
4. 厚重的经验积累
小学开放题解决问题的过程中, 学生经过思考、 分析、讨论、 尝试、 回顾、 总结等一系列思维活动, 会形成一定的经验, 形成知识烙印, 就像现场照片一样储藏于大脑之中。 这种经验有可能具有共性, 在遇到类似习题时能随时调用, 成为新问题解决的催化剂; 也可能不可复制, 是孤独的个性经验。
三、 开放题问题解决的模型
1. 问题解决的一般路径
数学教学从侧重于关注解决问题的传统“两能”发展到关注问题解决的 “四能”, 从这个意义上来说, 开放题更加倾向于关注学生数学综合素养的提升, 创新能力的挖掘与培养。 从宏观的视角上看, 数学问题解决就是以学生的数学学科知识为载体, 引领儿童在积极主动地完成数学学习任务的过程中, 获得数学活动经验, 从而开发学生的数学创造性潜能。
郑毓信教授曾这样定义 “问题解决” 是在一个新情境下, 根据已有的知识和经验对发现的问题寻找答案的心理过程。 问题是新的, 用原来的知识、 方法和策略无法直接来解决问题, 至少要对原来的知识、 方法和策略进行重组和加工, 形成新的方法和策略, 从而解决问题。
2. 开放题问题解决模型
数学开放题作为一种与只有唯一答案的传统习题类型相对应的全新习题类型, 因为其设问方式的不唯一, 问题答案的不唯一, 为学生的数学问题解决提供了新的挑战与机遇。 和传统数学习题问题解决相比, 开放题问题解决为学生发现问题、 提出问题能力培养提供了更为广阔的空间。以四名学生组成的学习小组为例, 在遇到一个数学问题时, 四名同学可以单独审读题目, 初步整理信息, 顺利的话由个人进行辨识。 遇到困难时既可以自觉在小组内进行交流, 也可以个体或小组向教师求助, 在此基础上重新进行辨识, 进而展开进一步的探索活动。
开放题设问方式的不唯一, 条件呈现的不足或多余能引发学生问题意识, 他们能从条件的梳理中显而易见地发现矛盾, 形成认知冲突, 从而发现并提出问题, 引发不同的问题解决的设想或猜测, 指引不同的思维路径。教师指导解题的过程中要着力引导学生从无序中寻找规律, 有序推进逐步逼近问题本质, 尽可能避免答案重复或遗漏……值得注意的是有些开放题条件的无序、繁杂、隐晦甚至不着边际, 导致问题解决似乎无从下手。这时候学生可能会“变开为封”向封闭题方向思考, 调用成熟的已有知识经验, 遵循封闭题的路径寻找符合问题的一种答案, 进而拓宽视域、引发联想, 寻求符合问题的其他正确解答。
四、 开放题问题解决的思考
1. 兼容并蓄, 能力提升
数学开放题的小学实践为学生的思维发展新辟了一条蹊径, 从已有研究实践来看, 数学开放题学习能有效增强学生的问题解决意识, 对学生发现问题、 提出问题能力的培养大有裨益, 特别是在问题解决过程中, 学生的发散思维、 评判思维、 抽象思维等得到了进一步的锻炼。
当然我们也不能因噎废食, 在认同开放题对学生的创新意识激发、 创新能力挖掘方面有事半功倍作用的同时, 也应清醒地认识到传统封闭题在培养学生严谨的逻辑思维能力方面有其特定的作用。 在传统数学占绝对优势的当下, 我们不妨将开放题植入日常课堂教学之中, 在完成基本知识传授、 基本技能训练、 基本思想方法渗透、 基本活动经验积累的同时, 在教材解读上下足功夫, 积极重组改造教材, 改变问题设问方式引向开放, “变封为开”, 或创生与学习内容密切相关的开放习题。 于传统数学课中融入开放题元素, 将开放题与封闭题有机融合, 以学生的思维发展为指向, 给学生充足的时空进行自主、 合作、 探究, 在交流中碰撞出思维的火花, 彰显两种习题类型各自独特的价值优势, 实现课程的融合, 更好地服务于学生数学素养的提升。
2. 过程评价, 着力思维
从教学现场来看, 不同能力水平的学生即使同时解答出同一开放题, 其给出问题答案数量也有差别, 有些学生能够给全正解或能明晰问题答案的所有类型及问题答案的总数或规律, 有些学生只能获得其中部分的问题答案, 即使做出相同的问题答案, 其考虑问题的视角也不尽相同。教师在评价学生问题解决时不能仅以问题答案的多少作为衡量标准, 而要多多关注学生问题解决过程中思维的发展状况, 鼓励学生努力做出更多符合问题要求的答案, 并能逐步有序思考, 找全正解。
教师在学生开放题问题解决的过程中, 不仅要时刻关注个体学生或学习小组的学习状况, 在遇到困难时应邀参与讨论, 及时给予学生必要的指导; 更为重要的是, 要注意观察并记载学生问题解决中所呈现的不同思维状态, 为学生提供更为个性化的服务。
总之, 小学数学开放题问题解决作为一个新的研究领域, 其理论研究尚处于起步阶段, 开放题问题解决的模型还需在实践中进一步加以矫正、 调整。
摘要：《义务教育数学课程标准 (2011年版) 》对数学教学“课程目标”首次创新性地提出了“增强学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”, 意图弥补传统教学中长期忽视学生发现问题和提出问题能力培养的不足, 希冀呈现一个思维的完整过程。数学开放题作为一种全新的习题类型, 其问题解决对“四能”培养的独特价值引发广泛关注, 其问题解决的模型值得探寻建构, 其与封闭题的融合值得深入推行。
关键词：小学开放题,问题解决,价值,思维,模型
参考文献
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由于数学开放题具有不同的结构特点，其教学策略更加灵活多变。如何更好地提高数学开放题教学的实效呢？本文拟根据开放题的类型特点提几点意见供参考。
一、条件开放型教学策略
条件开放型开放题具有多种表现形式：可以是条件不充分或条件有余，可以是解决问题的条件具有多种可能性。解决这类问题的关键在于引导学生抓住问题的本质和要害，从众多已知条件中排除各种表象的干扰。同时要防止长期解答封闭题形成的思维定势影响。其教学策略可概括为“认真审题、深刻分析、准确思考、创造性解决问题”。
例1，习题“少年宫美术组有24人，航模组比美术组少6人，书法组的人数是美术组的3倍，美术组和航模组一共有多少人？”通过审题分析条件和问题可知：书法组人数是美术组的3倍为多余条件。面对多余条件，教学的重点是训练学生不受干扰，不因思维定势影响正确解题。
例2，习题 “李强有5角硬币1枚，2角硬币4枚，1角硬币8枚，他想从这些钱中拿出8角购买水笔，请问他可以怎样拿？”本题的结果就是要拿出8角钱买笔，而怎样从这些硬币中拿出8角就变成这一结果的条件，是典型的条件开放题。教学的关键在引导学生思考：用这些硬币组成8角钱有几种可能性？同时在分析各种可能性的同时培养学生思考及解决问题的条理性，学会用枚举的方法有序分析、全面考虑、一个不漏，最后用列表的方法将分析思考的结果表示出来。
例3，习题“从58盒牛奶中拿走几盒后，余下的能够平均放在8个盘子中吗？”本题的“拿走几盒”是使余下的能平均放在8个盘子里的条件。因此属于条件开放且要补充完整的题型。其解题策略的关键在于让学生理解“余下的能平均放在8个盘子中”，并将其转化成余下的数量可以平均分成8份这个数学模型。在学生很快想到56之后，还要启发学生思考还有无其他可能情况，培养其开放思维及勇于探索的意识。并通过本问题的解决培养学生思维的条理性、求异性，并从中悟到拿出的盒数与“2”和“8”的关系，从而建立数学模型。
二、结论开放型教学策略
结论开放型习题，其答案不唯一是因为这类问题的条件和情境存在多种可能性，这就需要教师在教学过程中适时对学生进行组织、管理与调控，并辅以必要的巡视、聆听、指导与纠错，以促进学生学习方式的转变并掌握一定的学习方法。
例4，习题“小明家离学校450米，小红家离学校550米，小明与小红他们两家之间大约相距多少米？”教学这道题时，教师先组织学生在理解题意的基础上联系生活实际进行想象、思考和讨论：小明、小红的家与学校这三幢建筑物可能存在怎样的空间位置关系？教师引导学生用线段图或直观空间图帮助理解，并在此基础上寻求解决问题的方法。学生在画图理解的基础上就能从几个角度来思考：即小明与小红的家与学校都在同一条直路上，或小明、小红的家与学校都不在一条路上。而三者都在同一条直路上又存在几种不同情况。通过联系生活实际学生都能得出小明与小红两家之间的距离在100米到1000米之间。这样的教学，使学生逐步学会用运动变化的观点分析和解决问题，领悟数学思考的方法和魅力。
例5，习题“把24个边长为1厘米的小正方形拼成一个大长方形，拼成的长方形的周长与面积各是多少？”这类题型的教学策略关键在引导学生动手操作，通过实际的拼摆，学生化抽象为具体，能够较好地理解题意。同时教师还要引导学生在计算每个拼摆成的长方形周长与面积后去探索发现，并总结得出“虽然拼成的长方形面积都一样大，但它们的周长却各不相同”。在此基础上又组织学生研究“用一根24厘米长的细铁丝围成一个长方形，长方形的面积是多少？”有上一题的教学做基础，学生有了学习与思考方法的牵引，他们通过画图分析和思考，把本题的条件转化成为已知拼成的长方形周长24厘米，并通过推导得出这个长方形的一条长与一条宽的和是12厘米。在此基础上通过数形结合，把12分拆成“1+11、2+10、3+9、4+8、5+7、6+6”这六种情况。最后在学生计算出每个长方形面积的基础上，引导学生进一步归纳发现：周长相等的长方形，他们的面积不一定相等。通过这样的两道题的学习，学生对长方形的面积与周长的意义有了进一步的理解，并不断地进行对比、发现，也对学生巩固长方形面积与周长的计算起到较好的促进作用，以此方式学到的知识都是活的数学知识。
类似的还有策略型、综合型开放题的教学，其关键是在教学中创设宽松和谐的学习氛围，引导学生积极、主动、创造性地思考，通过师生共同研究，集体合作等方式，让学生体验做数学开放题的乐趣，提高学生的数学素养。
小学数学例题的开放
数学学习过程是一个不断地探索和思考的过程。在数学教学中，是单纯地给学生现成的知识，还是为学生创设一定的问题情景，使学生有更多的机会去探索和思考，以便发挥其潜在能力，这是数学教学改革的核心问题，是要“应试教育”还是要素质教育的大问题。一般地说，数学教科书中的例题是学习的范例，学生要通过例题的学习，了解例题所代表的一类知识的规律和理解方法。但这并不是说，只要学生学会了书本上的例题就可以自然而然地解决与之相似的问题。要能举一反三，就还需要学生有一个深入思考的过程，甚至要经过若干次错误与不完善的思考，这样才能达到一定的熟练程度。这更需要学生把书本上的知识内化为自己的知识。要达到这样的目的，教师在教学中要结合具体的教学内容，为学生提供独立思考的机会，给学生留有充分的思考余地，让学生根据自己对问题的理解和思维发展水平，提出自己对问题的看法，不同学生的不同方法反映出学生对一个问题的认识水平。学生学习时说出自己的方法，表面上看课堂教学缺乏统一性，但教师从学生的不同回答中可以了解学生是怎样思考的，哪些学生处于较高的理解层面，哪些学生理解得还不够深入或不够准确，并从中调整教学的内容和方法，以恰当地解决学生学习中存在的问题。在这样的教学过程中，学生能够养成一种善于思考、勇于提出自己想法的习惯，这对学生学习新内容、研究新问题是非常重要的。相反地，在教学中，教师如果不给学生提供独立思考的机会，只是让学生跟着教师的思路走，一步一步引导学生说出正确的解题方法，虽然这样可以比较顺利地完成教学任务，但长此以往，学生就会养成惰性。所以，教师在课堂教学中要特别注意为学生创造更多的思考机会，充分激发学生的内在动机，努力发展学生的.潜在能力，使学生在认识所学的知识、理解所学知识的同时，智力水平也不断提高。“旧教材”中的部分例题，脱离学生的生活实际，形式单一，激发不起学生的学习兴趣。而教材又是重要的教学资源，我从开发教学资源的效益考虑，开放教材例题，使例题更富有课改气息，更富有挑战性，也激活了教材。一、例题形式的开放例题形式单一、陈旧，不利于学生的有效参与。例题形式的开放，特别是让学生用自己喜欢的形式呈现，学生就会兴趣盎然踊跃参与。如教学“解比例”一课后，我设计了一道这样的例题：判断下面的两个比能否组成比例?你是怎样判断的?6∶3和8∶5学生肯定它们不能够组成比例。我接着说：你们能从6∶3和8∶5这两个比中换掉其中的一个项，使这两个比组成比例吗?学生自由讨论发言，而且说得很好。我又接着说：如果指定把“3”换掉，使这两个比能组成一个比例，可以用怎么样的形式出这道题?提出你们各自的建议。学生讨论后汇报：学生甲：我设这个数为X，求解6:X=8:5。学生乙：我出的是问答题，说一说6比几与8比5能组成比例?学生丙：我出填空题，6:( )=8:5。学生丁：我出的是选择题，若6:( )=8:5。 ①4 ②3 ③334 。……我对他们的建议给予充分的肯定和表扬。从学生的表现可以看出，他们的学习兴趣很高，比再被老师牵着鼻子走;学得更加自主了，思考量也更大了，还培养了创新思维。二、例题条件的开放开放例题的条件，可以激发学生的思维兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。一般有三种方式：(1)条件有余，可以防止学生滥用题目条件，提高分析处理信息的能力;(2)条件不足，让学生补充条件分析解答，使不同解法应运而生，学生的创新思维得到训练;(3)条件可用可不用，有利于培养学生的分析能力。在教学“工程问题”的时候我是这样设计的：一段公路，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。两队合修，几天可以完成?请同学们思考讨论后说出你们的建议。学生1：我认为题目是求合修天数，可以用“工作总量÷工作效率=工作时间”计算。学生2：好象题目条件不够，缺这段公路的长度。……针对学生2的建议，我让他自己补充一个公路长度后再列式计算。再让全班同学独立解答，然后同桌互相说说列式理由。最后展示：解法一：假如公路长30千米。30÷(30÷10+30÷15)=6(天)解法二：公路长用单位“1”表示。1÷(1÷10+1÷15)=6(天)解法三：设公路长为600千米。600÷(600÷10+600÷15)=6(天)……我接着说：看了这些解答过程和结果，你们发现了什么吗?请你们讨论一下。学生很快就发现用单位“1”表示工作总量比用假设公路长度法更简单。学生用原有的知识，发现条件不足。补充条件列式计算，使得不同条件的多种列式纷呈出来。这样，既能让学生用自己喜欢的数字当作公路总长，又在探索中巩固了已知，更为新知识的探索作了丰富的铺垫。三、例题思路的开放让学生用自己的解题思路从不同的角度去思考例题，便会得到不同的解题方法，这有利于培养学生思维的发散性和灵活性。如在教学“解比例”时，我让学生自己独立解答，再汇报：(1) 6׃x=8׃5)2( 6׃x=8׃5解：6׃х=1.6 解：6׃x=85х=1.6÷6 х=6÷85х=3.75 х=3(3)6׃x=8׃5)4( 6׃x=8׃5解：24׃(4х)=24׃15 解：8х=6×54х =15 x=х=15÷4 х = 3х=3其中既有用旧知先求出8׃5的比值的;又有对新知探索，利用了比例的基本性质的解法;更出人意料的是还出现了利用比的基本性质的解答方法。经过交流讨论，学生达成共识，用第四种方法解答最佳。这样教学，不同于单纯地引导学生运用比例的基本性质来解答，它更有利于培养学生解决问题的策略意识、优选意识，有利于培养学生应用所学知识解决问题的能力。四、例题问题的开放开放例题的问题，有助于贯彻因材施教的教学原则，做到面向全体学生，使每个学生都得到发展。例如，“百分数的应用”例3的教学，我是这样教学的：课件出示：一个乡去年计划造林12公顷，实际造林14公顷，请你用数学的方法说明这个乡去年造林任务完成情况怎样?学生经过思考、讨论后汇报：(1)此乡去年造林超额完成计划任务，超过计划2公顷。(2)也可以说此乡去年实际造林约是计划的116.7%。(3)此乡去年实际造林是计划的14÷12 =1.(倍)。(4)此乡去年实际造林超过计划的。接下来我又问：还能够用百分数的知识来表达该乡造林任务完成情况吗?学生很快就说出以下几种情况：(1)实际造林比计划多2公顷，多的量相当于计划的16.7%。(2)实际造林相当于计划的116.7%，就是比计划多16.7%。(3)实际造林比计划多，也可以说成实际造林比计划多16.7%。把例题的问题“这个乡去年实际造林超过计划的百分之几”改为“这个乡去年造林完成情况怎样”，给学生提供了一种良好的创新情境，学生可以自主地从不同方向提出问题、思考问题，既带出了旧知的回顾，也作出了新知的探究，从而使学生的创新能力得到了培养。数学教学的关键不在改变数学知识本身，而是要改变教学思想、教学方法，要有先进的思想意识，要不断地将教学内容结构化，不断地将结构化的知识纳入到学生的认知结构中。在小学数学教学中，教师应注重因材施教，增加每个学生参与学习的机会，发展学生的潜能。只有这样，我们才能真正的使每个学生得到充分而全面的发展;才能充分展示《新课程》所赋予我们的内涵。
班别： 姓名： 分数：
一、口算。（20分）
50+790= 18×6= 862÷2= 60÷4= 800÷4= 360×3= 138+92= 0÷6= 560－90= 6000÷3= 160×4= 3500÷7= 108×7= 80×80= 405÷5= 478+97= 260÷5≈ 68×12≈ 43÷6= 55÷6=
二、（）里最大能填几？（8分）
7×（）＜46（）×6＜35
8×（）＜30 54＞（）×7
三、列竖式计算。（36分）（1—6每题4分，7、8每题6分。）1、258+49 = 2、645－376= 3、405－316= 4、93+618= 5、56×34= 6、650÷7= 7、780÷9= 8、18×78=
验算： 验算：
四、递等式计算。856+72÷9 53
（86－48）×86 364
68×42+59 264
（86－48）×86
一.判断题
1.大于0而小于1的小数有9个。
2.和0.6相邻的两个小数是0.5和0.7。
3.5.8和5.80是同一个计数单位。
4.自然数都是整数，整数也都是自然数。
二.填空题
1.1除以7的商用循环小数表示（），商的小数点后面第2008位上的数字是（）。
2.把一根4m长的木棒据成同样长的小段，六次锯完，每小段占全长的（），每小段长（）。
3.三一零四百五十万五千米写作（），改写成以“亿”为单位的数是（），省略亿后面的尾数约是（）。
一、开放教学内容, 让数学题充满趣味
《数学课程标准》中指出: “数学教学要实用化、生活化, 要把数学作为人们生活中必不可少的工具. ”充满生活化的数学题让学生感到数学的趣味与实用价值. 例如: 学校要新建一个占地长120米、宽100米的体育场, 请同学们自主设计体育场形状, 必须满足这样的条件: 1跑道必须是直线或圆弧连接起来; 2跑道一共有八道同时内圈长度为300米;3每道跑道宽1. 22米. 在这道题的解题过程中学生展现了惊人的想象力. 有的学生觉得不能造出满足要求的体育场, 他认为体育场应有两个半圆和一个矩形. 经计算跑道内圈怎么样都不能满足300米的题目要求. 也有学生认为能造出满足要求的体育场, 由四个四分之一圆弧及五个矩形构成. 还有学生把体育场设计成弯道部分由三段圆弧组成, 认为这样才是体育场. 更有学生把体育场设计成花园式, 跑道全部由圆弧组成, 他们认为这样的体育场更美. 在实际教学中, 我们更要利用好现在的资源, 再结合社会背景, 在学生已有的知识基础上, 让教学内容充满了趣味性, 让学生们在轻松愉悦的心情中学习数学知识.
二、树立开放意识, 培养学生创新思维
所谓开放题就是我们通常所做的改变命题结构, 或改变设问的方式来增强问题的探索性. 在解决问题的过程中需要多角度地进行思考, 对命题赋予了新的解释, 并形成与发现新的问题. 例如: 关于函数f ( x) = 4sin (2x +π/3) ( x∈R) , 有下列命题: 1由f ( x1) = f ( x2) = 0可得x1- x2必是π的整数倍; 2y = f ( x) 的表达式可改写为y = 4cos (2x-π/6) ;3y = f ( x) 的图像关于点 (-π/6, 0) 对称; 4y = f ( x) 的图像关于直线x =- π/6对称. 其中正确的命题是1 . x表示时间 ( 单位: s) , y表示速度 ( 单位: m/s) , 开始计时后质点以10 m / s的初速度做匀加速运动, 加速度为2 m / s2, 5秒后质点以20 m/s的速度做匀速运动, 10秒后质点以 -2 m/s2的加速度做匀减速运动, 直到质点运动到20秒末停下. 函数概念的形成, 一般是从具体的实例开始的. 但在学习函数内容时, 往往很少考虑其实际的意义. 这道题的目的是通过学生已有的知识与经验给出函数定义的解释, 从而体会到数学概念的一般性与背景的多样性. 这就是对问题理解上的开放.
三、利用开放性问题, 实施因材施教教育
学生对问题理解的差异与数学学习水平的差异总是存在的. 数学教学要在承认这种差异的基础上进行, 并且为每名学生创造可以施展才华的空间. 例如: 在教学等差数列与等比数列时, 就给学生提出了这样的问题: 关于正整数数列3, 9, …, 2187, …问: 2187是该数列的第几项? 由于本问题没有指明正整数数列具体是什么数列, 学生可以根据自己的理解和经验假定是等差、等比或构造成其他什么数列, 教师可以从学生的解答中看出他们的基础与能力的差异, 进而进行因材施教. 由于刚学过等差、等比数列的通项公式, 多数同学自然而然地想到从等差或等比数列去考虑, 很快得到: 1设数列是公差为6的等差数列, 2187是数列的第365项; 2设数列是公比为3的等比数列, 2187是数列的第7项. 这是直接运用刚学过的知识来解决问题. 对于极少数不知如何下手的同学, 教师及时点拨, 帮助他们分析问题的原则要求是什么, 应该如何补充条件能确定数列的项, 具体怎样做则让他们自己完成. 其中既有模仿已经知道的数列, 又有运用刚学过的知识, 更有创造性的巧妙构造.
四、掌握编制方法, 培养学生解题能力
教师应该以一定的知识结构为依托, 努力寻找编制开放性问题的切入点. 以一定的知识为背景, 编制出开放性的数学问题, 面对实际的数学问题情境. 引导学生分析问题, 根据自己的理解构造出具体的数学问题. 接着尝试求解形成的数学问题并完成解答. 1以某一数学定理或公设为依据, 编制出开放题. 2由封闭题引申出开放题. 我们平时所用习题多数是具有完备的条件与确定的答案, 这样的题型是封闭题. 在封闭性问题基础上, 让学生的思维向纵深处发展, 发散开去能够启发学生有独创性的理解, 这样就形成开放题. 3在研究性学习中首先呈现给学生封闭题, 等解答完后进一步引导学生开展探究活动, 如探究更一般的结论, 探究更多的情形, 或探究该结论成立的其他条件, 等等. 4为体现或重现某一数学研究方法编制开放题. 在实际问题中, 条件往往不能完全确定, 即条件的不确定性是自然形成的或是实际情况的需要, 其不确定性是合理的.
总之, 在高中数学教学中对开放题的研究已成为教学的热点问题. 开放题为培养学生的思维能力提供了一种可能, 要求学生有较强的主动参与意识, 要求教师有较强的课堂驾驭能力. 只有在教学实践中逐步探索, 我们教师才能真正有效地体现数学开放题的教育价值.
摘要：开放题是近年来高考数学试卷中的新题型, 它是相对于传统的封闭题而言的.数学中的开放题能培养学生的创新思维与创造能力, 它大大地激发了学生独立思考问题的能力, 是一种崭新的教育理念, 我们应当努力探索.
关键词：高中数学,开放题,创新
参考文献
[1]邓婷.新课程理念下数学开放题探究[J].中学教学参考, 2011 (3) .
[2]丁书召.开放题教学有利于学生创造能力的培养[J].文理导航, 2012 (9) .
【关键词】高年级数学；开放题；设计；策略
新的小学数学课程标准要求，大力提倡开放式教学，开放课堂，开放学生的思维。开放的课堂教学包括很多内容，而最显著的自然是体现在开放性的习题上。一般把具有完备条件和固定答案的数学题称为封闭题或常规题，而把条件不完备或答案不唯一的数学题称为开放题。研究设计数学开放题并用之于教学具有特别重要的现实意义，掌握开放题的一些设计方法，是数学教师应该具备的一项重要教学技能。数学开放题的设计，可以从以下几方面考虑：
一、开放题的设计与应用首先应确立开放的思想
无论何种内容何种形式的学习，其教育价值在于培养学生会学习的能力。通过多形式、多层次的开放性习题训练，可以发展学生思维的灵活性、变通性和独特性，联系实际知识点向课外延伸，提高学生的知识运用能力和实际问题解决能力，激发学生的再认识、再发现、再创新。
二、数学开放题一般具有下列特征
1.不确定性：所提的问题常常是不确定的和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解的题目。2.探究性：没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。3.非完备性：有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的還不是答案本身的多样性，而在于寻求解答的过程中主体的认知结构的重建。4.发散性：在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括性的结论。5.层次性：常常通过实际问题提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。6.发展性：能激起多数学生的好奇性，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平。7.创新性：教师难以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者、合作者。
三、根据开放题的定义和特征可分为以下四类
1.条件开放：一般在应用题教学中常见的：让学生通过对题目先从不同的角度补上条件，然后解答。2.策略开放：如适合五年级上半学期学生解答的一道开放题：“阳光牌袜子6双21.6元，菊花牌袜子12双28.8元。请通过计算说明哪种袜子价格便宜？”可以有多种不同的方法进行比较，如：①分别计算出单价进行比较；②根据“双数”的倍数关系比较两种袜子的总价…… 3.答案开放：如适合六年级下学期学生解答的一道开放题：（ ）：2= 3：（ ）。4.综合开放：如：“如果学校有一水池，请估计水池中有多少水？说出你是怎么想的？”
四、开放题设置的注意事项
小学数学高年级教学与作业设计中引入开放题，主要目的是给学生提供一个自主探索的机会，给学生的思维创设一个更广阔的空间，从而更好地培养他们的创新思维能力。我们设置开放题要注意以下几点：1、了解学生必须具备解决问题的相关知识基础和解题策略。如：在梯形面积计算教学中，可以放手让学生进行自主探究学习，给出一个标有相关数据的梯形，“你能用学过的知识求出它的面积，推导出梯形面积计算公式么？”这就是一个策略开放性的数学问题。学生因为有了解决问题相关的知识基础和策略，就有可能独立探究解决，同样类似的问题。2、难度适当，“因人而异”，适当改编，让不同学习水平的学生体验不同程度的成功。一般人都认为，开放题往往比封闭题难度大，但事实并不尽是这样。即使基础较差的学生也常常能找出一两个答案或解题方法，体验到成功的喜悦。而基础好的学生，则能找出更多答案或解答方法。我们选用开放题时，就要尽量使用一些难度适中，大部分学生都能产生兴趣的开放题。适合于各种层次的学生，可以说是较好的开放题。3、在教学中要注意：引入开放题，不等于是要用它来取代常规题（即封闭题）。我们在教学中引入开放题，强调开放题在数学教育中的重要性，但并不等于说要以开放题来全面代替封闭题。事实上，在日常教学中，仍是应该以常规题也就是封闭题的练习为主。在小学数学课本中，绝大部分的例题或练习题都仍然是封闭题。开放题和封闭题在数学教学中应该并存而不是互相排斥的。4、充分预设、把握生成。 数学开放题的教学需要教师备课时充分预设学生可能出现的解题障碍，及各类可能出现的答案。课堂的组织要面向全体、也要顾及差异，可以合理安排独立思考、小组讨论的时机，并进行恰当的教师提示等。只有教师的合理调控、组织才能使开放题在课堂上绽放光芒，让学生真正从中得益。
【参考文献】
《数学开放题及其对小学生思维品质优化的研究》——孙雪林
《开放题--数学教学的新模式》—— 戴再平
《引导学生创建新型的数学学习方式》——谭泽林
《小学数学开放题教学及其转变学生学习方式的研究》——蔡荣明
从一次失败的较量说起……
全体师生准备了近两个周的计算题比赛终于落下了帷幕。考试一结束，每个孩子都期待着自己能有个优异的成绩，每位老师也都盼望着……
一上午紧锣密鼓似地阅卷节奏，令老师们头晕心焦，成绩的揭晓更使得我烦躁不安，倒数第二的成绩到也罢，真正让我受刺激的是竟有10人待合格，其中有3人没超过10分，有3人30分……这几个小分个个象一秤砣结结实实地炸在了我心里，我该怎么办呢？执著地训练竟没有带来显著地改变，真有种“路漫漫其修远兮，吾将上下而何求索？”的无奈心态。
与同类班相比，为什么他们能考好？想起阅读的《没有任何借口》一书，心情反而平静，顿觉豁然开朗：别找借口！好好反思一下在计算题教学中的一些行为吧！
观一：逐一翻阅学生的考卷，仔细审来，错误之因有数和运算符号抄错，有小数点点错，有单纯计算性错误，除了几个特困生外，从方法和技巧上看，是不存在问题的。
观二：从整体卷面书写看，一些学生出现的`潦草现象所带来的不良连锁反应是系列的，写的工整、认真与做题的正确率基本上是成正比例的。
思一：课堂上尽管我自认为安排地紧凑、有序，其实还存在着一些细节的漏洞，如部分学生跟不上节奏、有掉队现象；还有部分学生在他人的监督下可以完成，一旦离开拐杖就盲目地六神无主；很多时候做起题来没有详细地落实到位，而是在小组内完成。通过这一点，我深知：不管做什么事情都要认真、仔细地深入下去，并且老师要眼见为实，因为有的时候、有的事情在孩子手中是把握不准的。
思二：关于计算题，我从思想上的认识还不够，认为只要孩子掌握方法、感悟做题技巧、认真仔细就不成问题了，不必要进行强化训练，太过枯燥和乏味了，可访问了考试优胜班的秘诀：他们近阶段每天都要进行几次限定时间、限定题量的测试练习，做、改是主旋律，而痛定思痛，也的确如此，孩子题做得少，自然计算能力就形不成，这也是我的主导造成孩子考试失败的主要原因之一。在新课改倡导下的如今课堂，我往往过于地关注了孩子的思维：创新思维、求异思维、逻辑思维……也太过关注了孩子的个性发展，而一些基础性的东西却在不经意中忽略了。记得一本教育杂志上有句话：教改如果使得学生的基础知识和基本技能都削弱了，那课改就是失败的。
思三：古语说得好“凡事预则立，不预则废”，本次测试又让我深信此话，也希望自己能在以后的工作、生活和学习中引以为戒，做事要突破重点，游刃有余！
思四：面对连计算题做起来都困难的孩子，我真的感到心痛、心酸，他们的水平已不知从几年级补起，从一个母亲的角度，我不忍心扔下他们，但辅导的效果又很难体现在考试成绩上，对于这类角落里的孩子、角落里的付出究竟值不值？是啊，哪能用值不值去衡量，真要这样那也就没有资格做一个真正意义上的老师了！
杨柳街小学一年级五班邹语瑄
1．一头猪换2只羊，一只羊换4只兔，2只羊换（）只兔，1头猪换（）只兔
2．按规律填数字
（1）3、5、7、（）9（2）6、9、12、15（）
（3）（）11、9、7、（）（4）1、8、1、10、1、12、（）（）
3.从前面数起，小林是第5个，从后面数起，小林第4个，一共有（）个。
4、11个小孩子站成一行，从前往后数，林林站在第3个，从后往前数，东东站在第3个，林林和东东中间还有（）个小朋友。
5、一根钢丝长8米，要截成8小段，需要截（）次。
6、学校插了6面彩旗，在两面彩旗之间又插了黄旗，黄旗有（）面。
关键词：高中数学；开放意识；问题意识
中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）09-320-01
经过几年的教育改革和教材的变更，学生们在课堂上的接收知识的能力和效率越来越受到重视和关注。如何将数学课堂生机勃勃，提高学生的数学能力，需要学生一定的开放意识。在教材还没有提供足够的开放题之前，好的开放题从那里来？我认为最现实的办法是让“封闭”题“开放”。
一、开放意识的形成
学习的更高境界是提出新问题、提出解决问题的新方案。因此首先必须改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识，为此，我们选择了数学开放题作为一个切入口，开放题的引入，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。
关于开放题目前尚无确切的定论，通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。例如2000年理19文20题。
函数单调性的参数取值范围问题（既有条件开放又有结论的开放，条件上，对 ，是选择 ，还是选择 ？选择前者则得 ，以后的道路荆棘丛生，而选择后者则有 ，以后的道路一片光明；结论开放体现在结论分为两段，一段上可使函数单调，另一段上不单调，且证明不单调的方法是寻找反例）；
二、开放问题的构建
有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。开放问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解法的开放而获得新思路。根据创造的三要素：“结构、关系、顺序”，我们可以为学生构建由“封闭”题“开放”的如下框图模式：
例1：由圆x2+y2=4上任意一点向x轴作垂线。求垂线夹在圆周和x轴间的线段中点的轨迹方程。（《高中平面解析几何》复习参考题题）
问题本身开放：先从问题中分解出一些主要“组件”，如：A、“圆x2+y2=4”；B、“x轴”；C、“线段中点”等。然后对这些“组件”作特殊化、一般化等处理便可获得新问题。
对A而言，圆作为一种特殊的曲线，我们将其重新定位在“曲线”上，那么曲线又可分解成大小、形状和位置三要素，于是改变条件A（大小或形状或位置）就可使问题向三个方向延伸。
如改变位置，将A写成“（x-a）2+（y-b）2=4”，即可得所求的轨迹方程为（x-a）2+（2y-b）2=4；再将其特殊化（取a=0），并进行新的组合便有问题：圆x2+（y-b）2=4与椭圆x2+（2y-b）2=4有怎样的位置关系？试说明理由。
简解：解方程组 得 y=0 或y=2b/3
当y=0时，x2+b2=4，（1）若b<-2或 b>2，圆与椭圆没有公共点；
（2）若b=±2，圆与椭圆恰有一个公共点；
（3）若-2 当y=2b/3时，x2+b2/9=4，同理可得解。 上面的解法是从“数”着手，也可以从“形”着手分析。 再进一步延伸，得：当b>6时，圆x2+（y-b）2=4上的点到椭圆x2+（2y-b）2=4上的点的最大距离是多少？这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化。 对B而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点，同样可以使其推广到一般，若对由此产生的结果继续研究就会发现以往的一些会考、高考试题。 三、开放问题的探索 开放的行为给上面三个简单的问题注入了新的活力，推陈出“新”、自己给自己出题是人自我意识的回归。开放的过程说白了就是探索的过程。 例2：已知抛物线 ，过焦点F的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x1，y）两点，P（x0，y0）是线段AB的中点；抛物线的准线为l，分别过点A、B、P作x轴的平行线，依次交l于M、N、Q，连接FM、FN、FQ、AQ和BQ（图略） （1）试尽可能地找出：点A、B、P的纵、横6个坐标所满足的等量关系； 图中各线段的垂直关系。 （2）如果允许引辅助线，你还能发现哪些结论？ 分析与解：（1）（a）点A、B、P的6个坐标x1，y1；x2，y2；x0，y0之间至少有下列等量关系： ① ；② ；③ ； ④ ；⑤ ；⑥ “所有的画都是以只有3种原色的方式构成的。每当我们把某样东西说成是新的的时候，我们真正谈论的是现有元素独特的存在方式。”具备对“封闭”题“开放”的意识的学生，事实上就有了创造意识，这种意识驱动下的实践自然会使创造力得以发展；同时，随着高考命题改革的进一步深入，我想这样的“开放”会在高考中更显示其生命力。 一、开而不散 在传统的课堂教学中, 教师按部就班地传授知识, 学生循规蹈矩地接受知识。我们经常会在课堂教学中看到这样的情景:教师在教学中让学生先看一个例题, 以使学生看到学习新概念的需要, 并希望学生运用已有的知识经验去发现新概念。如果问题是实际情景, 教师还要引导学生找到数学模型, 进而得出结论。然后教师板演例题, 学生模仿解题, 最后进行课堂小结, 布置作业。 在这样的教学模式中, 教师和学生都处于一个封闭的系统中, 教师总结出一套教学程序, 几十年如一日的使用;学生进入教师设计好的圈子中, 被迫地接受知识, 对教学内容只知其然, 不知其所以然。久而久之, 学生的思维单一, 缺乏创新的意识和能力。而数学开放题由于自身的不确定性, 求解过程往往通过多个角度、多个方面进行思考和探索, 没有现成的解题模式可以套, 容易激发学生的求知欲和好奇心, 学生有一定的思维空间。但在开放题教学中, 如果教学没有目标, 没有中心, 教师只是为追求形式上的开放, 那么, 课堂教学就会如一盘散沙, 学生也会感到无从下手, 教学也就无法达到预期的目标。 正如郑毓信先生所说, “学习空间的拓展并不等于已经取得好的教学效果。”因此, 在开放题教学中, 应使教学围绕问题展开。以问题为中心, 从不同方面、不同角度发散出去。但还要把思维收到问题上, 即回到核心, 回到问题的核心性质上, 这样才能做到开放而不失集中, 发散又不失收敛。例如, 在探索等腰三角形性质时, 学生自主找到比较多的结论, 但教师在引导学生得出结论的同时, 应启发学生理解所有的结论中最核心的是:等腰三角形是一个轴对称图形。其他的结论都是由这分散得到的。在开放题教学中, 教师引导学生进行比较和分析, 归纳出最为优秀的方法, 才能提高学生更高层次的能力。 二、循序渐进 在传统教学中, 教学的主动权掌握在教师的手中。教师控制着课堂教学节奏, 教学的效率高, 学生拥有扎实的“双基”。而开放题教学的主动权由学生决定, 如果不合理安排教学内容, 就容易出现“高消耗, 低收成”的现象。在教学准备中, 教师必须考虑教材中有关教学内容的开放性和开放度:分析哪些内容学生可以自主探究获得, 哪些内容不适合进行开放题教学, 学生对于教学内容的理解应具备的认知基础和思维。还要考虑开放题教学采用的方法和策略是否处于学生的“最近发展区”, 是否能使各层次的学生都参与到问题的讨论中。因此, 开放题教学的教学内容必须精心组织, 合理安排, 教学时循序渐进, 注意内容的层次结构, 使知识的发生发展更符合学生实际, 促使学生参与。 三、多维思考 数学开放题是特殊的数学题目, 它们有的有多个条件, 有的有多个答案, 有的有多种解法。其中有的问题不可能由一个学生在有限的时间内完成, 而需要几个人的力量和集体的智慧。因此, 在数学开放题教学中, 可采用个人独立学习、小组合作学习等学习形式, 其中以小组合作学习为主, 其他方式结合交互进行。根据合作学习理论, 学生在小组中有不同的角色地位, 每个人都应明确责任。学生有独立、竞争、合作三种意识, 在这个过程中, 教师要发挥好教学组织者、调控者的作用, 使课堂环境井然有序。当小组讨论遇到困难和挫折时, 教师应给予帮助和鼓励, 及时帮助小组走出困境;当小组讨论有成果时, 教师应给予恰如其分的赞扬, 并引导他们的思维转向高一级活动。小组讨论的成果可组间竞争、全班交流的形式, 让学生真正与数学活动融为一体。 四、注重过程 由于开放题教学的特殊性, 其教学效果不太可能立竿见影。在教学中, 教师不应该只看重答案是否正确, 更应注意解题中学生的思维过程, 把解题看作是数学探索、数学发现的过程, 在教学过程中让学生充分感受到数学的美和解决问题的快乐。不要过分受到课时的束缚, 过分追求课堂教学效率, 而应把握教学的有序性和有效性。一节课上不能完成的问题, 也可安排到课后完成或安排两节课。评价方式可选用过程性评价, 将学生在课堂上的各种行为表现记录下来, 为课后反思和总结寻找、收集资料, 为下一节开放题教学课做好准备。 五、及时总结, 寻找规律 当开放题教学进入尾声, 即各种解题策略都运用了, 结论都推断出来时, 应及时让学生总结。传统教学的课堂总结是教师较容易忽略的环节, 可有可无, 有时教师索性越俎代疱, 匆匆在最后阶段总结本节课的定义、定理及解题方法, 这就只起了强化记忆的作用。而开放题教学的课堂总结应作为画龙点睛的环节, 让学生比一比各种策略孰优孰劣, 找一找各种结论的规律性。教师要做好最后的评判, 归纳总结, 启发学生对结论形成一般化的认识, 并寻找数学学习规律。 六、数学开放题教学的原则 一、填空(每空1分，共10分) 1.1米=( )厘米 500厘米=( )米 2.24 ， 32 ， 40 ，( )， 56 ，( )，( )。 3.一根图钉长约( )。 4.鸡蛋比鸭蛋多8个，也可以说鸭蛋比鸡蛋( )。 5.用直角和锐角拼出的一定是( )角。 6.求几个相同加数的和用( )法计算比较简便。 7. 3×6=18 读作( )。 二、判断(对的打“√”，错的.打“×” 5分) 1.用 这样的一张纸能折出直角。 ( ) 2.桌子上的直角比书上的直角大。 ( ) 3. 5×2=10表示2个5相加，或5个2相加。 ( ) 4. 这是一条线段。 ( ) 5.米尺上的刻度，从1到5是5厘米。( ) 三、计算(40分) 1.口算(每小题1分，共14分) 2×3= 3×4= 35+40= 53―9= 42―0= 4×5= 6×3= 78―4= 8+64= 90―7= 3×5―8= 2×4+3= 66―3+9= 52―(6+34)= 2.在○里填上“”、“”或“=”。(每小题2分，共12分) 42―8○35 45○82―25 1米―30厘米○70厘米 72+9○83 79○94―16 14厘米+86厘米○1米 3.笔算下面各题。(每小题2分，共14分) 65―37= 80―23= 45+38= 36+47―29= 95―28―19= 48+25+17= 81―33+26= 四、画一画(每小题3分，共9分) 1.画一个直角，并标出各部分的名称。(3分) 2.画一条比5厘米短2厘米的线段。(3分) 3.第一组 第二组比第一组少3。(3分) 画出第二组 五、解决问题(每小题4分，共24分) 1.食堂买来40棵白菜，吃了一些后，还剩5棵，吃了多少棵？(4分) 2.一卷铁丝长76米，先用去24米，又用去27米，还剩多少米？(4分) 3.一辆小汽车限坐4人，这样的5辆小汽车最多能坐多少人？(4分) 4. 小精灵要买3个面包和1杯饮料共需多少元？(4分) 4元1杯 6元1个 5.水果批发店早上运来45箱橘子，卖出去29箱，下午又运来12箱，现在水果店有多少箱橘子？(4分) 30+6×6= (387-387)+0= 16-16÷8= 7+5+5-7= 9+8-9+8= 25+4+70= (111+189)×3= 4×3÷4×3= 125×8÷100= 396×25×0= (1+7)×(16-6)= 81×4÷4= 33÷11+4×9= 187+29-29= 587+496= 26+26÷26= 1537÷1537= 32÷(32÷16)= 300-(300-222)= 2、在下面每个条件后面补充合适的问题。 (1)一班有37人，二班有42人，_________________________? (2)一辆汽车4小时行驶320千米，_________________________? (3)小利拿20元钱去买4元1千克的苹果，_________________________? (4)小光每小时生产7个零件，他每天工作8小时，_________________________? 3、在每个问题的下面补充解决这个问题所需要的条件。 (1)甲、乙两组一共生产多少台机器? _________________________ (2)这辆汽车共行驶多少千米? _________________________ (3)实际比原计划多生产多少台电视机? _________________________ (4)生产这批零件一共需要多少小时? _________________________ 4、列式计算。 (1)486与114的和除以2789与2783的差，商是多少? (2)305减去15乘以18的积，差是多少? 5、应用题。 (1)甲、乙两个单位去植树，甲单位共植树210棵，乙单位25人，平均每人植树6棵，甲、乙两单位一共植树多少棵? (2)一班有35人，二班有45人，两个班平均每人买了8本练习本，一共买了多少本? (3)买4本书用了12元钱，买120本同样的书，一共要用多少钱? (4)一辆汽车3小时行驶270千米，照这样计算，行驶540千米需要几小时? 一、开放题的类型 数学命题一般可根据思维形式分成:假设——推理——判断三个部分。作为培养学生创新能力的数学开放题大致可分为以下四种类型: (1) 条件开放题 就是指给定结论, 而条件未给出或不全给出, 需解题者探求与结论相对应条件的一类试题。 例如: (如图1) ⊙O的直径CD与弦AB交于点M, 添加条件 (写出一个即可) :_______, 就可得到M是AB的中点。 (2) 策略开放题 就是指条件和结论已知或部分已知, 需解题者探寻解题方法或设计方案的一类试题。 例如:钟面上有12个数, 请在某些数的前面添上负号, 使钟面所有数的代数和为零。 (3) 结论开放题 就是指给定条件, 而结论未给出或不全给出, 需解题者根据所给条件得出某些 (或某个) 结论, 然后予以解答的一类试题。 例如: (如图2) Rt△ABC中, ∠ACB=Rt∠, CD⊥AB于D, 试尽可能多地找出其中图形的形状和大小之间所存在的各种关系。 (4) 综合开放题 就是指条件、结论解题方法都不全或未知, 只创设一种问题情境, 需解题者补充条件, 猜想结论并探求解法的一类问题。与前三种类型相比, 它更具开放性, 思维环境更宽松, 创新空间更广阔。 例如: (如图3) 在平行四边形ABCD中, E, F在对角线AC上, 且AE=CF, 请你以F为一端点, 和图中已标明字母的某一点连成一条新线段, 猜想并证明它和图中已有的某一线段相等 (只需证明一线段相等即可) (1) 联结__________; (2) 猜想____=______; (3) 证明。 二、开放题的特点及价值 由于开放题的答案不是唯一的, 所以就给学生提供了提出自己新颖独特方法较多的余地。在求得多种答案的过程中, 有利于培养学生思维的广阔性、灵活性、独创性, 培养学生的发散性思维。尤其是学习成绩不太好的学生, 也通过自己的观察和思考, 提出自己的解题思路, 找到正确的答案, 从而培养自信心。因此它在唤起了学生的主体意识, 激发了学生的学习兴趣方面, 更有积极意义。 由于开放题的解决策略具有非常规性、发散性和创新性、探索性和发展性, 没有一般的解题模式可以遵循。有时需要打破原有的思维模式, 从多个不同的角度思考问题。有时发现一个新的解答需要一种新的方法或开拓一个新的研究领域, 因而可以开阔学生的视野和能力范围, 培养学生的创新能力。 开放题所具有“开放性”, 也在于其提供的数学信息也是开放的。它提供给学生更多的读写机会, 同时也要提供给学生更多表达自己思想和倾听别人想法的机会。因为说到底, 数学其实是一种语言, 是一种交流形式, 是自然语言的补充。开放题由于在解答时具有灵活性、多向性、开放性, 所以学生在解答开放题的过程中, 已经感到有的题目是有很多答案的甚至有无数个答案, 其中有的题目靠一个人的力量在有限的时间内无法完成。这就要求学生在解决过程中根据教师提供的系统材料和问题展开研讨和交流, 使学生群体之间的互补作用得到发挥, 合作能力得到发展, 知识方面相互补充, 学习方法相互借鉴。 三、开放题的编写及设计 开放题的编写要注意以下几点: (1) 取材于教材。根据教材的教学目的, 展现数学知识的成因、发展的方向, 对教材的例题、习题进行必要加工改造, 使之具有开放性。 (2) 尽量使用学生所熟悉的事件和社会所关注的事件作为开放题的载体。其内容应该是有趣的, 是学生所愿意研究的。应以实践活动为突破口, 以学生自己所熟悉的事为内容, 让数学知识体现在具体的生活情境中, 把学生推到解决数学问题的主体地位, 再辅以情感因素, 增强学生对数学知识的亲切感。 (3) 对数学能力水平的要求不能太高, 以知识延伸为突破口, 从易到难, 从具体到抽象, 从简单到复杂, 从单一到综合, 层层递进, 应使学生能获得各种水平程度的解答。学生所做出的解答彼此可以是互不相同的。开放题所反映现实生活或数学的情境中的多种变因, 使学生在解答的过程中必须探求某种策略, 增强学生从一个知识向另一个相关知识迁移、一种方法向另一种方法转化、一种普遍的结论向另一种新的问题延伸的能力, 促使学生解决问题的能力向更高层次、更高水平迈进, 以求达到创新的境界。 【小学数学教学论文 数学开放题】推荐阅读： 小学数学开放题的09-27 浅谈小学数学开放题06-30 《开放的小学数学教学》读书心得10-23 浅析小学数学开放式教学的魅力10-14 小学趣味数学训练题09-26 小学数学上册口算题11-15 小学二年级数学推理题05-29 逻辑推理题小学数学10-23 小学三年级数学计算题混合06-21 人教版小学数学三年级下册计算题专项练习10-03初中数学开放题教学策略举隅 篇12
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