一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系（精选10篇）

一元二次方程根与系数的关系 篇1

一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、2= 得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后是通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。

根与系数的关系也称为韦达定理(韦达是法国数学家)。韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组;韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。

通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。

通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

(二)重点、难点

一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。

(三)教学目标

1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。

2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

二、设计理念

根据教材内容和本人研究的课题《初中数学问题引探教学实验研究》，在教学中渗透新课标的精神，注重过程数学，注重创新教学，注重问题意识，关注学生的学习兴趣和经验，让学生主动参与学习活动，主动探索并获取知识，教师是组织者、引导者、参与者。

三、教法与学法

(一)教法

1、充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思过程，让学生经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。

2、采用“实践(练习)――观察――发现――猜想――证明”的过程教学。引导学生发现问题，师生共同解决问题。

3、分小组讨论交流，多渠道信息反馈。

4、问题引探，启发诱导，进行创新教学。

(二)学法指导

1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。

2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。

3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。

四、课时划分及教学过程

(一)课时划分

共分3课时

第一课时

1、根与系数的关系。

2、根与系数的关系的应用。

(1)求已知方程的两根的平方和、倒数和、两根差。

第二课时

1、已知两数求作新方程。

2、由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。

第三课时

方程判别式、根与系数的关系的综合应用。

第一课时 一元二次方程根与系数的关系(1)

一、教学目标

1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。

2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。

3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。

4、在推导过程中，培养学生“观察――发现――猜想――证明”的研究问题的思想与方法。

二、重难点

根与系数的关系是重点，由于式子的抽象性，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生理解和掌握的难点。

三、教学过程

(一)问题引探

问题1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么?b2-4ac的取值呢?同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系?今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。

问题2.解方程x2-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，计算两根的和与积，你能发现什么结论(现象)?

问题3.解下列方程：

(1)2x2+5x+3=0 (2)3x2-2x-2=0

并根据问题2和以上的求解填写下表

请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗?

问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的`关系：____________.

问题5.你能证明上面的猜想吗?请证明，并用文字语言叙述说明。

分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。

若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=，x2= , 则

x1+x2= + = ;

x1 x2= ・ =

=

即：如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2=。

由此得出一元二次方程的根与系数的关系;还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。

这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。

问题6.在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a、b、c的作用吗?(引导学生反思性小结)

①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程;

②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数;

③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况;

④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=

⑤当a≠0，c=0时，方程有一根为0。

说明：1、本设计采用“实践――观察――发现――猜想――证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。

2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论(即从感性认识上升到理性认识)的认知规律。

3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。

(二)尝试发展

试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积(方程两根为x1，x2、k是常数)

(1)2x2-3x+1=0 x1+x2=________ x1x2=_________

(2)3x2+5x=0 x1+x2=________ x1x2=__________

(3)5x2+x-2=0 x1+x2=_________ x1x2=__________

(4)5x2+kx-6=0 x1+x2=_________ x1x2=__________

(此试一试作为巩固知识而用)

尝试题1、已知方程6x2+kx-5=0的一个根为，求它的另一个根及k的值。

组织学生自己分析解决，然后一学生演板，其余学生在草稿本上练习。

学生练习：P32 2。

尝试题2、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的(1)平方和，(2)倒数和。

讨论：解上面问题的思路是什么?

一元二次方程根与系数的关系 篇2

一元二次方程的根与系数的关系 (以前的教科书叫韦达定理) :如果方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两个根是x1、x2, 那么x1+x2=-b/a, x1x2=c/a。也就是说, 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数, 两根的积等于常数与二次项系数的比。

一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式演变过来的, 下面是证明的过程:

对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) , 当判别式△=b2-4ac≥0时, 方程有两个实数根, , 故有x1+x2=-b/a, x1x2=c/a2。a该知识点的使用方法:先把一元二次方程化成一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) , 然后确定二次项系数、一次项系数及常数项 (特别是要注意这些系数的符号) , 最后再根据根与系数的关系, 求出相关值。

一、根与系数的关系的直接应用

例1:不解方程, 求出2x2+4x=1的两根的和与两根的积。

解:将原方程化为一般形式得:2x2+4x-1=0

确定a, b, c的值为a=2, b=4, c=-1

于是x1+x2=-c/a=-2, x1x2=c/a=-1/2。

二、根与系数的关系的几种变形

例2:x1、x2是方程2x2-3x-5=0的两个根, 不解方程, 求下列代数式的值:

解:由根与系数关系可知x1+x2=3/2, x1x2=-5/2

(3) 由2x2-3x-5=0可得:2x2-3x=5

故:原式= (x12+x22) + (2x22-3x2)

三、由根与系数的关系求字母的值

例3:已知关于x的方程x2+2 (m+2) x+m2-5=0有两个实数根, 并且这两个根的平方和比这两个根的积大16, 求m的值。

分析:方程有实数根, 则△≥0, 且x12+x22=x1x2+16, 联立解得m的值。

解上面方程组可得:m=-1或m=-15,

又由△≥0可知m≥-9/4

∴m=-15舍去, 故m=-1

四、根与系数的关系与反证法联系

例4:证明:方程x2-1997x+1997=0无整数根。

反证法:假设原方程有整数根

可得, x1、x2均为整数根,

∵x1x2=1997

∴x1、x2均为奇数

别为减负忽视根与系数的关系 篇3

中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）19-0102-01

人教版实验教科书把“根与系数的关系”用“观察与猜想”的形式，安插在初三代数《一元二次方程》一章的后面，没有练习题。而修改后的2009年3月第2版，只是将本内容改为选学内容，后面安排了两个求方程两根的和与积的练习题，还是未引起足够的重视。调查发现，很多数学教师在处理这一内容时，也没有引起必要的重视。我认为，这依然不可能动摇它与判别式是一元二次方程的两个重要理论的地位。实际应用中，它们常常结伴而行，相互依赖。本文试举几例。

例1 “希望杯”（2009年）培训题

当a<-1时，方程（a3+1）x2+（a2+1）x-（a+1）=0的根的情况（ ）。

（A）两负根 （B）一正根一负根且负根的绝对值大

（C）一正根一负根且负根的绝对值小

（D）没有实数根

（分析） 此题第一步要用△判别有无实根，再由根与系数的关系确定具体是什么样的根。

解 当a<-1时，a3+1<0，a2+1>0，a+1<0

而△=（a2+1）2+4（a3+1）（a+1）>0，可知方程有两个不相等的实数根，设方程的两根为x1、x2，则x1·x2=-<0，表明方程的两根为一正一负；

而x1+x2=->0，表明负根的绝对值小于正根，故选（C）。

例2 广东省（2009年）中考试题汇

已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=8，求c的取值范围。

集

（分析） 此题可根据根与系数的关系造出一个系数与c有关的新方程，再由△求出c的取值范围。

解 由已知，得a+b=-c，ab=故可把a、b看作关于X的方程x2+cx+=0的两个实数根，所以△=c2-≥0，即c<0或解得c<0或c≥23。

例3 黄冈市初中数学（2009年）中考题

已知菱形ABCD的边长为13，对角线AC、BD相交于点0，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2-（k-1）x+3（k+2）=0的两个实数根。

求（1）K的值；（2）OA、OB的长；（3）Rt△OAB斜边的高。

（分析） 解此题的关键是确定K的值，它既要△≥0，又要使方程的两根符号实际情况。而OA、OB既是方程的两根，又是直角三角形的两直角边。由OA、OB作为桥梁把所有的关系串联起来便可求出K的值。

解 （1）由菱形的性质，得OA2+OB2=132，则（OA+OB）2-2OA·OB=169，由根与系数的关系可知：OA+OB=K-1，OA·OB=3（K+2），所以（K-2）2-6（K+2）=169，解得K=18或K=-10。

经检验： K=18或K=-10都能使△≥0，但是当K=-10时，OA+OB<0，OA·OB<0，不符合实际，故取K=18。

（2）把K=18代入原方程，可求出符合题意的OA、OB的长分别为12和5。

（3）应用面积法这种简便方法求得Rt△OAB斜边上的高为。

例4 四平市初中数学（2009年）中考试题

已知方程x2+（2t+1）x+（t2+2t+1）=0有两实数根 、 ，求 2+ 2的最小值。

（分析） 此题的解答过程，实际上是判别式和根与系数的关系的综合应用。因为 、 既涉及到判别式，又是根与系数关系的载体。

解 由已知，得△=（2t+1）2-4（t2+2t+1）≥0，解得t≤-，

又 2+ 2=（ + ）2- =2t2-1

因为t≤-，所以当t=-时， 2+ 2有最小值。

一元二次方程根与系数的关系 篇4

1、观察、归纳、证明是研究事物的科学方法。此节课在研究方程的根与系数关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根与系数关系，最后对此猜想的正确性作出证明。这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值。

2、教学设计中补充了“简化的一元二次方程”的定义，对根与系数关系的叙述可以方便些。教学设计中还把根与系数关系作为两个互逆的定理提出，可加深理解两个性质的不同功能。韦达定理的原定理的.功能是：若已知一元二次方程，则可写出些方程的两根之和的值及两极之积的值。而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程。

方程的根与函数的零点教案 篇5

1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义;

2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系;

3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所 在区间的方法.

过程与方法

1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯;

2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识;

3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法;

4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力.

情感、态度与价值观

1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值;

2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯;

3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感.

教学重点与难点

教学重点：零点的概念及零点存在性的判定.

教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.

教学的方法与手段

方程的根与函数零点的说课稿 篇6

方程的根与函数的零点是普通高中课程标准实验教科书必修数学 1 数学（A 版）第三章第一节 第一课时的内容，学生学习了基本初等函数的图象和性质以及一元二次方程根的求解方法为本节奠 定了基础，本节课有着承上启下的作用，且承载建立函数与方程数学思想的任务；同时本课的内容 将为下一节用二分法求方程的近似解提供了理论依据。方程的根与函数的零点在高考中一般以选择 题或填空题的形式出现，且一般与其他知识点结合起来进行考查，像 20xx年全国及各省高考考查函 数与导数的题目中大约有 5%涉及到函数的零点，所以本节是函数的应用内容中的基础及重点之一。

二、教学目标

根据上述教材分析，结合课程标准的要求，本节课的教学目标为以下三个方面： 1．知识与技能目标 理解函数零点的概念；领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点的存在条件；掌握函数在某 个区间上存在零点的判定方法。

2.过程与方法目标 让学生经历探究函数零点与方程根的联系和函数在某区间存在零点的判别方法，使学生领悟方 程与函数的区别与联系，进一步体会数形结合方法。

3.情感态度与价值观目标 通过探究过程逐步形成用函数处理问题的意识。

三、教学重点、难点

为了实现上述教学目标，根据上述教材分析，结合内容特点，本节课的教学重点是函数的零点 与方程的根之间的联系，函数零点在某区间存在性的判定方法 重点 函数的零点与方程的根之间的联系，函数零点在某区间存在性的判定方法 由于高中生年龄特点及现阶段的认知能力，通过函数图象的直观认识得到其中所蕴含的某种性 质具有一定的难度，所以本课的教学难点是函数在某区间存在零点的判别方法。

难点 函数在某区间存在零点的判别方法。

四、教法与学法

针对教学内容的特点结合高中生具有探究原理心理愿望和有一定逻辑推理能力的特点，我采用 探究式的教学模式。在教学过程中通过数形结合的方法，并按照由特殊到一般的认知过程，突出教 学重点；运用实例的探究分析来突破教学难点。

根据以上的分析，我的教学过程是：

五、教学过程

1.导入 首先，我将一同与学生回顾以前所学习的一元二次方程根个数的判定方法。即根的判别式 ?，以此来引起学生的求知欲。

接下来我将向学生提出问题：一元二次方程根与相应二次函数图象之间有什么关系，先让学生 思考一下。2.新课教学 为了解决这个问题我将利用三个具体实例： ① ② ③x2 ? 2x ? 3 ? 0x2 ? 2x ?1 ? 0x2 ? 2x ? 3 ? 0 且它们的 ? 值分别是大于零、等于零、小于零的情况。为了突出重点，我将一同与学生对第一个方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 进行探讨。结和函数图象。通过与学生一同对方程根的求解和二次函数的观察得到当 ? ? 0 时一元二次方程的根就是 相应二次函数与 x 轴交点的横坐标。

然后利用这种方法类比分析第二个和第三个方程，总结归纳以上三个方程得到一元二次方 程的根就是相应二次函数与 x 轴交点的横坐标。接下来再与学生继续来分析第一个方程，通过函数 y ? x ? 2 x ? 3 当 y ? 0 时即得到了其对应的方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,与学生共同进行探讨，并且将函数对应方程的根叫做函数的零点，即引出本节课所要学习的函数零点的概念——函数零点为其对应方程的根。

进一步与学生对函数零点进行分析，结合之上的三个具体的实例以及函数零点的概念得到 函数零点的存在条件，即假设方程 f(x)? 0 有实数根可以得到其对应的函数 y ? f(x)的图象 与 x 轴有交点，同时等价于函数 y ? f(x)有零点。

为了加深学生对函数零点概念的理解和掌握，我将让学生求解上一章所学习的指数函数y ? a x 和对数函数 y ? loga x（其中 0 ? a ? 1或a ? 1）的零点，通过这个课堂练习，使学生进一步回顾上一章所学习的指数函数和对数函数的相关性质，体会了知识之间的联系。

为了使学生对函数零点进行进一步的认识，我将假设函数 y ? f(x)的图象在区间 ?a, b? 是 一条连续不断的曲线，且区间端点的函数分居以 x 轴的两侧，形如：引导学生分析，区间端点的函数分居以 x 轴的两侧，即说明 f(a)、f(b)的函数值异号，从而得到 f(a)? f(b)? 0，同时结合函数图象的分析可以得到函数图象在区间 ?a, b? 内一定得穿过 x 轴，由函数零点的概念得函数在区间 ?a, b? 内一定存在零点，引导学生总结得到函数在某 区间存在零点的判定方法。即函数 y ? f(x)的图象在区间 ?a, b? 是一条连续不断的曲线，且有f(a)? f(b)? 0，则有函数在区间 ?a, b ? 内一定存在零点。为了加深学生对判定条件的理解，我将利用学生所熟知的二次函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在区间?? 2,1? 和 ?2,4?进行探究，同时提出疑问：对于函数 y ? f(x)的图象在区间 ?a, b? 是一条连续不 断的曲线，若函数在区间 ?a, b ? 内存在零点，是否一定有 f(a)? f(b)? 0 呢？带着疑问我将与学生共同探究二次函数 y ? x 2 ? 2 x ? 1，得到判定条件的一个注意事项，即对于函数 y ? f(x)的图象在区间 ?a, b? 是一条连续不断的曲线，若函数在区间 ?a, b ? 内存在 零点，不一定有 f(a)? f(b)? 0。

3.例题 为了加深学生对本节课知识的掌握，我将共同与学生对教材中的例题一进行探讨，例一为 了求函数零点的个数。通过例题一的探究，加深了学生对函数零点概念和存在条件的理解，引 导学生得出要求函数零点的个数可以通过函数图象与 x 轴的交点个数得到，并且让学生体会函 数在某区间存在零点的判定条件。

4.小结 为了使学生对本节课的知识形成一个系统的知识，我将带领学生对本节课进行小结，与学 生一同回顾本节课所学习的函数零点的概念及其存在条件，以及函数在某区间存在零点的判定 条件。

5.作业 为了巩固本节课的知识，加深学生对函数零点的理解，我将教材 P88、2 布置为课外作业。

六、板书设计

例谈分式方程的增根与无解教学 篇7

关键词：增根,整式方程,最简公分母,方程化

在八年级数学分式这一章, 解分式方程中会出现增根的现象而导致分式方程无解, 因此解分式方程时必须检验。而同学们在做相关的练习题时, 有时会遇到无解, 有时会遇到增根, 那么无解与增根到底有怎样的区别呢? 近几年随着考试难度的降低, 这一知识点逐渐淡化出很多人的视线。总体上说分式方程的增根和分式方程分无解是两个不同的概念。

一、概念的意义不同

分式方程的增根是指解分式方程时, 在去分母的过程中, 方程两边都乘以了一个可以使分母为零的整式, 从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值。它是化简后整式方程的根, 但不是分式方程的根, 所以分式方程求解中的检验必不可少。分式方程的无解是无论未知数取何值, 都不能使方程左右两边的值相等。它包含着两种情况: ( 1) 原方程化去分母后的整式方程无解; ( 2) 原方程化去分母后的整式方程有解, 但这个解却使原方程的分母为0, 它是原方程的增根, 从而使原方程无解. 现举例说明如下。

二、分式方程有增根

三、分式方程无解

1. 无解 = 增根

很多同学受思维定式的影响, 会认为只要x的值是原分式方程的增根, 原分式方程无解。事实上原分式方程无解分两种情况讨论。①分母 = 0使分式方程无解; ②化简后的整式方程无解, 使分式方程无解。

如: 把原方程去分母得m - 3 = x - 1

对于这道题而言化简后的整式方程m - 3 = x - 1即x = m - 2永远有解, 所以无解和有增根求得的未知数的值是一样的。

只需把增根x = 1代入m - 3 = x - 1中得m = 3

我们顺利地解决了这道题, 接下来看下面的例子。

2. 无解≠增根

分析: 从两方面考虑分式方程无解的条件是: ①去分母后所得整式方程无解, 即 ( a - 1) x = a无解。

对于这个含字母系数的整式方程 ( a - 1) x = a, 当a - 1 = 0时, 即a = 1会出现0x = 1的情况, 此时方程无解。即无论x取何值, 此时都不存在未知数的值使分式方程的左边 = 右边, 我们说分式方程无解。

此时我们要注意不能求出一种情况就认为自己已经找到了正确答案, 此时还要考虑第②种情况: 分式方程有增根, 即当x = 0时方程无解, 并求出参数a的值为0。

这告诉我们两点: ①当方程中出现无解时要特别小心; ②当化简后的整式方程未知数的系数含有字母时, 更应小心。一定要特别留心未知数的系数是否含有字母, 若未知数的系数含有字母时, 我们一定要小心。

所以增根与无解既有联系又有区别, 考虑问题须全面缜密。方程无解要比方程有增根考虑的情况要多, 参数取得值也多。当然这种情况只限于参数做了未知数的系数。否则取得的值就和上面前两个例子一样了。

参考文献

[1]李亚军.正确理解分式方程的增根[J].中学教学参考, 2009, (11) .

[2]姜官扬.与分式方程根有关的问题分类举例[J].数理化学习 (初中版) , 2005, (07) .

[3]徐根林.分式方程的增根问题[J].中学生数理化 (初一版) , 2002, (12) .

[4]罗鹏江.利用增根求参数的值[J].初中数学教与学, 2008, (10) .

方程根与函数零点教学设计 篇8

(1)知识与技能：

结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。

(2)过程与方法：

培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。

(3)情感态度与价值观：

在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。

二、教学重难点

重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念

难点：函数零点与方程根之间的联系

三、教法学法

以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台

四、教学过程

1.创设问题情境，引入新课

问题1求下列方程的根

师生互动:问题1让学生通过自主解前3小题，复习一元二次方程根三种情形。

问题2填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x轴的.交点的关系?

师生互动:让学生自主完成表格，观察并总结数学规律

问题3完成表格，并观察一元二次方程的根与相应二函数图象与x轴交点的关系?

师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。

2.建构函数零点概念

函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

思考：

(1)零点是一个点吗?

(2)零点跟方程的根的关系?

(3)请你说出问题2中3个函数的零点及个数?(投影问题2的表格)

师生互动:教师逐一给出3个问题，让学生思考回答，教师对回答正确学生给予表扬，不正确学生给予提示与鼓励。

3.知识的延伸，得出等价关系

(1)方程f(x)=0有实数根(2)函数y=f(x)有零点

含字母系数的一元一次方程教案 篇9

教学目标

知识与技能：1．使学生正确认识含有字母系数的一元一次方程．

2．使学生掌握含有字母系数的一元一次方程的解法．

3．使学生会进行简单的公式变形．

过程与方法：学生在探索过程中，学会观察、总结、归纳，培养学生通过正确、灵活的运算，学会思考问题，进一步培养学生由特殊到一般、由一般到特殊的逻辑思维能力．通过公式变形例题，培养学生解决实际问题的能力，激发学生的求知欲望和学习兴趣．

感情与价值观：学生通过复习、总结、归纳，感受成功，充满着自信，体验数学学习活动充满着探索与创造，并在学习活动中学会与他人合作交流的能力。

三、教材分析

本节课是从实际问题情境与已有的知识基础着手，提出问题，引导学生自主发现，探索规律，教材利用生活实例，通过学生思考分析，进一步概括规律，再通过例题的讲解，使学生更熟悉方程，教材从设计上，使学生体验到数学是一个充满观察归纳和猜想的探索过程，这样的编排更让学生乐于学习。

教学重点：

(1)含有字母系数的一元一次方程的解法．(2)公式变形． 教学难点：(1)对字母函数的理解，并能准确区分字母系数与数字系数的区别与联系．

(2)在公式中会准确区分未知数与字母系数，并进行正确的公式变形．

教学方法

启发式教学和讨论式教学相结合教学过程

(一)复习提问

提出问题：

1．什么是一元一次方程？

在学生答的基础上强调：(1)“一元”——一个未知数；“一次”——未知数的次数是1．

2．解一元一次方程的步骤是什么？

答：(1)去分母、去括号．

(2)移项——未知项移到等号一边常数项移到等号另一边．

注意：移项要变号．

(3)合并同类项——提未知数．

(4)未知项系数化为1——方程两边同除以未知项系数，从而解得方程．

(二)引入新课

提出问题：一个数的a倍(a≠0)等于b，求这个数．

引导学生列出方程：ax=b(a≠0)．

让学生讨论：

(1)这个方程中的未知数是什么？已知数是什么？(a、b是已知数，x是未知数)

(2)这个方程是不是一元一次方程？它与我们以前所见过的一元一次方程有什么区别与联系？(这个方程满足一元一次方程的定义，所以它是一元一次方程．)

强调指出：ax=b(a≠0)这个一元一次方程与我们以前所见过的一元一次方程最大的区别在于已知数是a、b(字母)．a是x的系数，b是常数项．

(三)新课

1．含有字母系数的一元一次方程的定义

ax=b(a≠0)中对于未知数x来说a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程，今天我们就主要研究这样的方程．

2．含有字母系数的一元一次方程的解法

教师提问：ax=b(a≠0)是一元一次方程，而a、b是已知数，就可以当成数看，就像解一般的一元一次方程一样，如下解出方程：

ax=b(a≠0)．

由学生讨论这个解法的思路对不对，解的过程对不对？

在学生讨论的基础上，教师归纳总结出含有字母函数的一元一次方程和过去学过的一元一次方程的解法的区别和联系．

含有字母系数的一元一次方程的解法和学过的含有数字系数的一元一次方程的解法相同．(即仍需要采用去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等步骤．)

特别注意：用含有字母的式子去乘或者除方程的两边，这个式子的值不能为零．

3.练习：

⑴、方程ａx+ｂ=ｃ（ａ≠0）未知数，字母已知数未知项的系数

⑵、解方程：3（2ｘ-1）=ｘ+5（抽学生板演，教师总结步骤）

4．讲解例题

例1解方程ａｘ2+ｂ2=ｂｘ+ａ2(ａ≠ｂ)

与数字系数方程解法对比

强调注意：①∵ａ≠ｂ∴ａ-ｂ≠0

② 结果是分式形式是应化为最简分式或整式

例2解方程ax+b2=bx+a2(a≠b)． 解：移项，得ax-bx=a2-b2，合并同类项，得(a-b)x=a2-b2．∵a≠b，∴a-b≠0．

x=a+b．

注意：

a．在没有特别说明的情况下，一般x、y、z表示未知数，a、b、c表示已知数．

b．在未知项系数化为1这一步是最易出错的一步，一定要说明未知项系数(式)不为零之后才可以方程两边同除以未知项系数(式)．

c．方程的解是分式形式时，一般要化成最简分式或整式．

5.分层练习: ⑴.解方程ax=3（A层）提示：① a=0 ② a≠0

⑵.解方程 my+n2=ny+m2(m≠n)（B层）

(四)习题巩固

1.方程ax+4y=2(a≠0)

⑴关于x的方程的解是x=。

⑵关于y的方程的解是y=.2.方程ay=by-a+b(a≠b)的解是。

3.方程az=bz(a≠b)的解是z=.4.兴趣：解方程(a-2)x-3=0

（五）作业：

93页A组 2、4、5、6

一元二次方程根与系数的关系 篇10

为研究n阶常系数非齐次线性常微分方程解的问题,求证了n阶常系数非齐次线性常微分方程的通解和特解的.积分表达式.利用韦达定理和一个变量替换,对n阶常系数非齐次线性微分方程进行降阶,导出该方程的一个用积分表示的通解公式,并根据特征根的不同情形给出了通解的各种形式及相应的通解和特解公式.

作 者：唐生强 唐清干 作者单位：唐生强(桂林电子工业学院图书馆,广西,桂林,541004)

唐清干(桂林电子工业学院计算科学与数学系,广西,桂林,541004)