不定积分教学设计（精选10篇）
高等教育院校作为我国的最高学府，每年都会吸纳很多人才，也会向社会输送很多人才.这些学生毕业后大多会从事科技研究工作，所以怎样让学生接受并学会枯燥无味的微积分知识，是摆在教育工作者面前的大难题.本文首先分析微积分的发展历史，进而从微积分发展的角度，针对高等数学的微积分教学提出几点教学建议.
摘要：微积分作为高等数学的必修课程，历来是高等院校的必开课程.微积分与实际生活密不可分，它应用于天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中，在科学技术飞速发展的今天，微积分更是有了越来越广泛的应用.
关键词：微积分;发展;高等数学
微积分对于高等数学的意义非常重大.一方面，微积分是所有高等数学知识的基础，如学习线性代数和概率，学生都要掌握微积分知识.另一方面，微积分是前人为了解决实际生活中的难题而发明的，所以微积分与实际生活密不可分.对于科技的发展，知识是前提，微积分涉及生活中的各个学科领域，所以，高等学校的学生要想更好地适应科技发展，就必须学习和掌握微积分知识.
一、微积分的发展
微积分主要包括极限、微分学、积分学.早在古希腊时期，学者阿基米德在研究有关球的问题时就已经涉及了积分学.至于极限学，作为微积分研究的基础，早在我国古代就已经开始应用，只不过那时人们没有将它单独规范为一门学科.
微积分的发展历史就是一部人类对自然认知的过程史.17世纪，人类的知识体系还不是很完善，对于一些计算问题束手无策，这就要求人类找到一种科学方法来解决这些疑问，于是科学家们开始研究微积分.困扰当时人类的难题主要为四类，第一类问题出现在物体运动中，即速度问题.第二类问题出现在曲线中，即曲线的切线问题.第三类问题出现在函数中，即函数的极值问题.第四类问题出现在力学中，即两个物体之间的作用力问题.人类的求知欲引导着科学家进行漫长的探索.
17世纪，各个领域的科学家在微积分领域开始了研究，他们的国度不同，语言不通，信仰不同，但对于研究的目标是一致的，那就是解决问题，虽然没有最终总结出完整的.理论，但他们的探索为后世的研究奠定了道路，也为微积分学说的提出作出了不小的贡献.
17世纪中叶，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨经过总结前人成果和自己的不断探索终于提出了微积分学说，但还只是初步.直到1671年牛顿写了《流数法和无穷级数》，提出了微积分的主要思想.1684年莱布尼茨发表了《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，这本书提出了精确的数学符号，也规范了微积分学说.
19世纪初，以柯西为首的法国科学家，开始整理前人的微积分理论，并建立了极限理论.后来维尔斯特拉斯又经过深入研究，最后终于完善了微积分理论.
从微积分漫长的发展史可以看出，微积分的发展过程就是人类对自然认知的过程，人类解决任何问题都是从直观的认识开始的，运用抽象思维，最终将问题由感性认识成功转化为理性结论.其实，高等数学的教学也是这样，下面从微积分发展的角度，针对高等数学的微积分教学提出几点教学建议.
二、从微积分发展的角度，针对高等数学的微积分教学提出几点建议
(一)教导学生认识微积分的重要性
微积分是高等数学教育的基础，是每个大学都会开设的一门基础学科.然而，学生们学习微积分，往往是为了应付考试，根本就无法将其应用到实际生活中.针对这一点，微积分教学时，教师首先应该帮助学生端正自己的学习态度，只有持有一个端正明确的学习态度，学生们才能真正用心地去学习微积分.微积分课程一般被安排在大学一年级，而一年级正是学生们刚刚步入大学的时期，对于微积分这类复杂的数学知识学生们还没有太合理的数学思维去适应并掌握它，且微积分理论不仅难于理解还很枯燥乏味，对于学生们和老师来说都感觉“食之无味，弃之可惜”，最后的结果就是为了应对考试而只能硬着头皮死记硬背.教师应该让学生明白微积分并不仅仅是一个数学知识，它还是解决很多实际问题的金钥匙，学生们要想做一个对社会有用的人，就要端正学习态度，绝对不能知难而退，要打好高等数学的基础，就要认真学习微积分.
(二)理论联系实际，具体地教授学生微积分知识
抽象的理论很难被学生接受，尤其是微积分这种生涩的知识，更是不易掌握.针对这一点，应该多借鉴微积分的发展史，科学家开始也只是借鉴了生活中的实例，高等教学也可以这样做，可以引进一些恰当的教学模型，如讲解极限时，可以借助球体.这样不仅让学生听到讲解，也要学生看到讲解的过程，便于学生全
面的掌握知识.如在高等数学微积分的教学中曾出现这样一个问题：已知圆柱体的侧面和底面的厚度相同，而顶部厚度为侧面厚度的2倍，容积为V=3π，求这个圆柱体的高和底面的直径的比?传统的教学中，教师直接运用公式解答，最后学生们听得一头雾水;而按照本文所说的教学模式，教师可以先找一个易拉罐来当模型，然后让学生们实际接触并加以研究，理论结合实际，一定会有助于学生建立良好的数学模型.
结束语
人们总是善于从生活中发现并提取知识，并从感性认知成功地过渡到总结并提出理性观念，微积分学说的成功提出正是验证了这一点，我们在做任何事时都是重复着这一过程.高等数学微积分教学是一个艰巨的任务，不仅考验学生的认知能力，也考验教师的传授方式，只有提高学生对微积分的认识，再将理论与实际有机地结合起来，才能帮助学生掌握微积分理论.
参考文献：
[1]曹桃云.微积分中蕴含的数学美[J].成都大学学报，(87).
一、逆向思维教学法
本方法主要针对第一换元积分法 (也叫凑微分法) 的教学, 第一换元积分法的基本思想是把所求的被积函数通过适当的变量代换, 化成积分公式中的某一形式, 然后再求出积分结果, 这种积分法在解决积分问题中经常被用到。
二、代换思维教学法
三、口诀联想教学法
本方法主要针对分部积分法的教学, 分部积分法也是一种基本积分方法, 主要用于解决被积函数是两类不同类型函数乘积形式的积分, 它是由两个函数乘积的微分运算法则推得的一种求积分的方法, 由微分中的乘法而来, 它是通过将所求积分的被积函数分割为两个部分, 从而将所求积分的计算转化为两个积分的运算, 以此来实现对不定积分问题的转化。
最后, 告诉学生有些积分问题并非只有一种解法, 而且大多数题目求解的过程也同时涉及到多种方法。在求解不定积分时, 不同的思路可产生不同的解法。
参考文献
[1]同济大学, 天津大学编.高等数学训练教程.高等教育出版社, 2004.
关键词： 不定积分 教学模式 任务单
本文所主张的教学模式主要是克服了以往教学中的一些不足.传统上教师主要是通过批改作业了解学生的学习情况，而留给学生的作业通常是解答几个指定问题.显然这种了解学生的情况是不全面的，其教学效果滞后.要全面了解学生的情况应该从以下两个方面把握：一是学生感兴趣的问题；二是学生感到疑惑或是困难的问题.这两者主要是通过学生的自我表述、自我发问才能获得.而本文提到的教学模式是“教思维”从“教提问”开始，通过提问调动每一位同学的积极性、主动性，形成交流、讨论的恰当背景，这样有利于发挥集体教育的作用.以下以《不定积分的概念》一节为例，进行教学设计.
教学目标：（1）通过不定积分公式的探索及推导过程，培养学生的“推理能力”、“等价转换”、“演绎归纳”的数学思想方法.（2）培养学生的类比、分析、归纳能力及对问题的探究意识.
教学重点：原函数概念，不定积分公式，导数与积分的关系.
教学难点：不定积分概念的理解及其几何意义.
一、教学过程
情境导入法：引导学生回忆，从小学到现在学了哪些运算，得出每种运算都有自己的逆运算，从而微分运算也不例外，有自己的逆运算，即不定积分，从而引出课题.开门见山地引入非常重要，使学生对新的知识点有了缓冲，而又自然而然地进入新的课题.
任务驱动法：提前给个小组发放任务书，根据任务书的要求完成相应任务.这就要求教师在课前准备时，必须准备充分，在任务书里要体现本讲的重点、难点知识.
问题探究法：在教学活动中，生生互动、师生互动，在师生思想的相互碰撞中，不断生成新的教学思想、教学内容及新的教学目标.本环节尤其重要，主要激发学生的数学兴趣，培养其数学思维.
合作学习：以各个学生的成绩和学习习惯为核心，将全体学生分成若干个合作性小组，各组中都有好、中、差的学生进行多向交流.
竞赛式教学：以个人竞赛和分组竞赛相结合，由教师的引导和学生分析、思考、讨论，然后参与竞赛（竞赛题由教师和学生轮流出题）.竞赛完毕后，教师除了公布竞赛结果外，还要进行总结归纳，使学生再次明确知识的要点和难点.
多样化的教学评价方式：参照个人竞赛分、个人参与度、个人进步度、闪光点及团队竞赛分等进行综合评分.多样化的评价系统，可以观察到每位学生的亮点，最主要的是增强学生的自信心，使得他们更愿意探索、思考问题.
其评价方式：自我评价→组内评价→小组评价→教师评价。
二、新课导入（复习旧知识，为新课做好准备）
提问1：从小学到现在所学的数学运算？
提问2：寻找这些数学运算的共性？
归纳总结：得出每种运算都有自己的逆运算，从而微分运算也不例外，它也有自己的逆运算，即不定积分，从而引出本课题.
三、教学环境及资源准备
多媒体、任务单。
四、任务单
五、布置作业
参考文献：
[1]黄国松.启迪创新思维培养创新方法[J].数学学习与研究，2016（2）.
[2]韩立福.《韩立福：有效教学法》[M].首都师范大学出版社，2012.
[3]盛建武.新课程教学问题解决实践研究[M].中央民族大学出版社，2006（2）.
1.教学目标
（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解
（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．
2.教学重点/难点
【教学重点】：
（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。
（2）数形结合的思想方法 【教学难点】：
利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．
3.教学用具
多媒体
4.标签
1.7.1 定积分在几何中的应用
教学过程
1. 作主语：The cat said, “To take roller coaster” is terrible.
不定式短语作主语时，可以直接放在句首，但在很多情况下，尤其是在疑问句和感叹句中，往往放在谓语之后，而用先行代词it作形式主语。
→ The cat said, “It’s terrible to take roller coaster.”
How long did it take you to take roller coaster?
How terrible it is to take roller coaster?
不定式作主语常见句型：
a) It is + adj. (easy, important, difficult…) + 不定式
b) It is + n. (a pity, a pleasure, one’s duty, a shame) + 不定式
eg. It’s my duty to teach you how to be a student of No.3 Middle School.
c) It takes/needs/requires + some time (hours, months, days, patience…) + 不定式
eg. It requires patience to be a good teacher.
2. 作表语：当句子的主语是aim, idea, policy, question, suggestion, wish, task, duty, job, purpose等或者主语是what引导的名词性从句时，后面可以用不定式做表语，用以说明主语所包含内容。
eg. Our most important task now is to make a plan.
注：作表语的不定式都带to，但当主语部分有实义动词do时，to可以省略。
eg. The only thing we can do now is wait and see.
3.作宾语
The cat said “Remember not to take it next time!”.
a) 可以直接用不定式作宾语的动词很多，常见的有：agree, afford, tend, ask, decide, determine, expect, fail, hope, learn, intend, manage, offer, plan, promise, refuse, want, wish等
天津卷12题：I don’t want _____ like I’m speaking ill of anybody, but the manager’s plan is unfair.
A. to sound B. to be sounded C. sounding D. to have sounded
当不定式短语比宾补长时，往往将不定式放到宾补后，而用先行代词it作形式宾语，常用动词有feel, think, find, believe, consider, make等。
The cat felt it terrible to take roller coaster.
b) 不定式一般不作介词的宾语，只有少数介词如but, except等后面可以跟不定式作宾语。一般情况下作介词宾语的不定式都带to，如果but或except所在句子里的谓语动词都是实义动词do, does, did时，通常省略to。
Eg. We have no choice but to wait.
Cf. We can do nothing but wait.
4. 宾语补足语
在SVOC句型中，许多动词都可以按不定式作宾语补足语。
a) 通常作宾语补语的不定式要带to，常用于以下动词之后：ask, tell, advise, allow, enable, expect, force, get, like, order, teach, want, invite, wish, beg等
You should get them to help you.
但在谓语动词believe, find, think, feel, consider, suppose, imagine, prove等后面跟to be…作宾补，不跟to do…
eg. They believe him to be honest.
b) 以下两类动词后跟不定式作宾补时不能带to
①一些表示“致使”意义的动词，如：let, have, make等
②一些表示感觉的动词，如：hear, feel, see, watch, notice等
Don’t let the children trouble you.
I heard someone open the door.
但当这两类动词为被动态时，不定式就成了主补。作主补的不定式必须加上to
His father made him go to bed early.
→He was made to go to bed early by his father.
5. 作定语
不定式可以在句子充当后置定语，修饰名词。
以下几类情况常用不定式作定语：
①能带不定式作宾语的动词，其同源名词可以带不定式作定语。常见的有attempt, decision, promise, plan等
eg. He hasn’t kept his promise to write to his parents regularly.
②常与不定式搭配的形容词，其同源名词一般可以用不定式作定语。常见的有ability, determination, anxiety, eagerness等
eg. His eagerness to finish his homework was quite clear.
③序数词形容词最高级或被only, last, next等修饰的名词可以用不定式作定语：
She was the only person to survive after the earthquake.
Tips: 不定式在作定语时，有时与被修饰的名词有意义上的主谓关系、同位关系、动宾关系，如果该不定式是不及物动词，它后面需要加上适当介词。
Eg. He’s always the first to come and the last to leave. 主谓关系
I’ve no time to listen to your excuse. 同位关系
She has a meeting to attend. (动宾关系=attend a meeting)
There’s nothing to worry about. (动宾关系=worry about nothing)
6. 作状语
不定式可以作状语，表示目的、结果、原因、条件等。
①to…, in order to …, so as to …(不能放在句首)作目的状语
20辽宁卷22题：All these gifts must be mailed immediately _____ in time for Christmas.
A. in order to have received B. in order to receive C. so as to be received D. so as to be receiving
②在so…as to, such….as to, only to …结构中不定式作结果状语，其中only to…用于表示意想不到的结果。
He hurried to the station only to find the train had gone.
③enough to, too…to结构
eg. The boy isn’t old enough to go to school.
= The boy is too young to go to school.
④形容词(happy, glad, lucky, fortunate, surprised, angry, anxious, ready, quick, slow, cruel, clever等)+ 不定式结构
eg. I’m glad to meet you.
The question is different to answer.
He is hard to get along with.
7. 作插入语，用来说明说话人的态度、看法、对整个句子进行解释，如to be frank(坦白地说)，to be sure(确实)等。
Eg. To tell you the truth, I hate you.
8. 作同位语
eg. The order to start the general attack soon came.
不定式的复合结构，以it为形式主语或形式宾语引导的复合结构，如果其前的形容词是指行为的性质就用：for sb. to do sth.这种复合结构在句中可作主语、表语、宾语、定语、状语等。
It is necessary for me to learn English well.
如果该形容词是指行为的性质，同时又指行为的人，则用of sb. to do sth.。这种句式中的常用形容词有：right, wrong, brave, careful, careless, clever, wise, stupid, cruel, foolish, good, honest, kind, nice, silly等。
eg. It’s very kind of you to come to see me.
连接代(副)词+不定式(包括whether, what, which, whom, where, when, how, 不包括why)，在句中起名词的作用，通常跟在诸如tell, know, show, decide, learn, wonder, explain等动词后作宾、主语或表语。
Eg. No one can tell me where to find John.
When to the exam is still unknown.
The problem is how to get enough money.
不定式的进行式、完成式和被动式
①不定式的进行式由to be + V-ing构成，用来表示谓语动词动作发生时，不定式的动作正在进行。
Eg. Some students pretended to be reading English when the teacher came in.
②不定式完成式由to have + V-ed构成，用来表示动作发生在谓语动作之前。
Eg. 年江苏卷No.25
--- Is Bob still performing?
--- I’m afraid not. He is said _______ the stage already as he has become an official.
A. to have left B. to leave C. to have been D. to be left
答案是A
③不定式的被动式分为一般式被动to be V-ing和完成式被动to have been V-ed。当不定式的逻辑主语是不定式所表示的动作的承受者时，不定式要用被动语态。
Eg. It is an honour for me to be invited to the party.
The book is said to have been translated into many languages.
2005年辽宁卷No.22
All these gifts must be mailed immediately _____ in time for Christmas.
A. in order to have received B. in order to receive C. so as to be received D. so as to be receiving
动名词
1. 动名词的句法功能：动名词由动词加ing构成，与现在分词的形式相同。动名词主要起名词作用，在句中担任主语、表语、宾语和定语。
①作主语，可以直接放在句首，也可以用先行代词it作为形式主语，而把动名词后置。
eg. Seeing is believing. (眼见为实)
Saying is easier than doing.
Collecting stamps is a good hobby. (单个动名词短语作主语时，动词用单数)
动名词作主语还有以下两个习惯表答法：
It is no use (good) + 动名词：做某事没有用
Eg. It’s no use crying over spilt milk. (覆水难收)
There is no + 动名词 (= It is impossible to do sth.)
Eg. There is no knowing what may happen.(未来的事无法知道)
②作表语：通常是说明主语的内容，注意它与谓语动词进行时的区别
eg. His hobby is collecting stamps. (此句为SVC结构) 可改为：Collecting stamps is his hobby.
Cf. He is collecting stamps. (is collecting是谓语动词进行时，此句为SVO结构)
不能改为：Collecting stamps is he.
③作宾语
A. 作及物动词 的宾语(enjoy, mind, finish, appreciate, avoid, consider, delay, escape, pratise, suggest, keep(on), miss)
eg. 2005年上海卷No.32
He got well-prepared for the job interview, for he couldn’t risk _____ the good opportunity.
A. to lose B. losing C. to be lost D. being lost
答案为B
有些动词(attempt, begin, continue, hate, like, love)后面既可以接不定式作宾语，也可以接动名词作宾语，意义差别不大。通常认为用动名词泛指一般的倾向性，用不定式则表示特定或具体某一种动作。
Eg. I like swimming but I don’t like to swim in winter.
动词prefer后面接不定式作宾语时，句子结构与按动名词作宾语是不一样。
eg. I prefer to drive rather than to be driven.
I prefer driving to riding.
有些动词，如forget, remember, regret等，后面接动名词表示的动作先于谓语动词动作，不定式表示的动作后于谓语动词。
Eg. 2005年北京卷No.30
When asked by police, he said that he remembered _____ at he party, but not ______.
A. to arrive, leaving B. to arrive, to leave C. arriving, leaving D. arriving, to leave
在下列句型中动名词作真正宾语：
动词+it(形式宾语)+宾补+动名词(真正宾语)
eg. I think it no use telling them.
We think it no good inviting to him.
B. 作介词的宾语
Eg. 2005年浙江卷No.3
The president spoke at the business meeting for nearly an hour ______ his notes.
A. bringing up B. referring to C. looking for D. trying on
be used to doing习惯于做;look forward to doing 盼望做;devote one’s life to doing 致力于做;spent time (in) doing 花时间做;be fond of doing 喜爱做;be good at doing 擅长做;be proud of doing 为做…而自豪;be tired of doing 对做…感到厌倦;feel like doing 欲想做; go on doing 继续做(原来的事);keep on doing 不停地做;what about doing 做…怎么样;think of doing 考虑做;be interested in doing 对做…感兴趣;have some difficulty/trouble (in) doing 做某事有困难;be busy (in) doing 忙于做;instead of doing 做…而不做…
eg. 2005年江苏卷No.23
Everybody in the village likes Jack because he is good at telling and ______ jokes.
A. turning up B. putting up C. making up D. showing up
答案为C
④作定语
动名词可作前置定语，表示所修饰的词的用途或目的，可用for改写;而现在分词作定语时，可用定语从句改写。
swimming pool waiting room walking stick
a sleeping car=a car for sleeping a sleeping child= a child who is sleeping
⑤作同位语
eg. That’s the queen’s full-time job, laying eggs. 这就是蚁后的专职工作--产卵。
2.动名词的逻辑主语
①人称代词做逻辑主语时应用所有格，即形容词性物主代词。
Eg. Do you minding my smoking here?
②逻辑主语是不定代词或指示代词时，很少用所有格，而用普通格。
Eg. He was awakened by someone knocking the door.
There’s no need for that being done.
③逻辑主语是名词时，用所有格，但是如果名词为无生命物体时，则用普通格。
Eg. Mary’s laughing made Tom angry.
There is no hoping of the factory making profit.
④在口语中，动名词如果不在句首，可以用名词普通格或人称代词宾格作逻辑主语。
Eg. 2005年安徽卷No.34
I really can’t understand _____ her like that.
A. you treat B. you to treat C. why treat D. you treating
3. 动名词的完成式、一般式被动和完成式被动。
Eg. After having finish his work, he went home.
He attended the meeting without being asked.
be＋不定式结构，如 I am to go，是很重要的用法。它可以用于以下几个方面：
1 传达命令或指示：
No one is to leave this building without the permission of the police．
未经警方人员的允许，任何人不得擅自离开这所房子。（没有人能离开）
He is to stay here till we return．
在我们回来之前他必须呆在这里。（他必须留下）
给出指示的这种语气比较超然，因而主要用于第三人称。与第二人称you连用时，它常常暗示说话人把别人所发出的指示传达给对方。请看以下两个句子：
（a） Stay here， Tom．
留在这里，汤姆。
（b）You are to stay here， Tom．
汤姆，要你留在这里。
它们之间的区别在于：（a）句中是说话人要汤姆留在这里，而在（b）句中他只是把另一个人的要求转达给汤姆。
在间接引语中自然就没有这种区别。be+不定式结构是可以用来表达间接命令的一种形式，尤其是在引导动词为现在时的情况下：
He says，‘Wait till I come．’
他说：“等到我来为止。”相当于：
He says that we are to wait till he comes．
他说我们得等到他来为止。
祈使句前面有一个从句时，也可以用这种形式：
He said，‘If I fall asleep at the wheel wake me up．’
他说，“如果我开车时打瞌睡，就把我叫醒。”
He said that if he fell asleep at the wheel she was to wake him up．
他说，如果他在开车时打瞌睡，她必须把他叫醒。
这种形式还用来把征询指示的请求变为间接引语：
‘Where shall I put it，sir？’he asked．
“先生，我把它放在什么地方？”他问道。相当于：
He asked where he was to put it．
他问他该把它放在哪里。
2 表达一种计划安排：
She is to be married next month．
她预定在下个月结婚。
The expedition is to start in a week’s time．
探险队预定在一周后出发。
这种结构常用于新闻报导：
The Prime Minister is to make a statement tomorrow．
首相将在明天发表声明。
在新闻标题中，be常被省略：
Prime Minister to make statement tomorrow．
（译文同上。）
过去时：
He was to go．
当时他是预定去的。（不定式的一般式）
He was to have gone．
他本来是预定要去。（不定式的完成式）
第一句并没有告诉我们计划是否执行了，第二句则用来表示一个未实现的计划。又如：
The Lord Mayor was to have laid the foundation stone but he was taken ill last night so the Lady Mayoress is doing it instead．
市长大人原订要来行奠基礼，可他昨天晚间病了，所以市长夫人替他代行。
B was／were+不定式结构可用来表达一种“命运”的意念：
He received a blow on the head． It didn’t worry him at the time but it was to be very troublesome later．
他的头上挨了一下子。他当时不感到怎么样，但是这事后来竟变得很麻烦。（结果是很／证明麻烦的）
They said goodbye，little knowing that they were never to meet again．他们相互道别，根本没有想到竟再也不能相见了。（命运注定不再相见）
C be about+不定式结构表示即将发生的动作：
They are about to start．
他们就要出发了。（他们正准备开门。）
加上副词just能使将来更加具有即时感：
They are just about to leave．
他们马上就要离开了。
这个句式同样也可以用于过去时：
He was just about to dive when he saw the shark．
他当时正待扎进水里，却看到了鲨鱼。
be on the point of+动名词与 be about+不定式意思相同，但比后者动作还要快一点。
上面各步中数a是一个常数, 其中变形是关键, 凑微分是核心, 换元是手段.在变形中要教会学生把f (x) 看成是某一个复合函数与它的中间变量的积, 这是教学的难点, 学生只要克服了这个难点, 掌握这种方法基本上就没有多大困难了.
在这道例题中, 因为tanx不是一个复合函数, 所以, 经过两次变形后就出现了含有复合函数的函数, 从而求得其解.
这道题中被积函数本身就是复合函数, 但不能把sin x作为中间变量, 而要利用三角恒等式变换后将cos x作为中间变量才可求得其解, 在变形过程中选择恰当的中间变量很重要.
这道题中被积函数有中间变量a2-x2, 但它的导数为-2x, 显然不合适, 经过变形选择x/a作为中间变量后迎刃而解.
摘 要：本文针对多元函数积分定义的微课设计作了初步的探讨。
关键词：多元函数的积分；定义；微课；设计
多元函数积分部分是高等数学课程的核心内容之一，也是这门课程的重点和难点。多年的教学经验告诉我们定义是数学的灵魂，它直接决定着学生对这部分知识掌握的程度。因此我们将多种多元函数积分的定义放到一起构成知识单元，通过类比的方法加深学生对各类多元函数积分概念的理解，达到复杂问题简单化的目的。下面就是我们具体的做法：
首先，教师在制作微课程之前应该对该部分内容做一个系统地设计（最好是图表形式，间接直观） ，给微课制作者提供一个可行的整体方案。
我们将各类多元函数积分的定义放到一起称之为一个单元，这个单元中包含了二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第二类曲线积分、第一类曲面积分和第二类曲面积分共六种多元函数的积分。为了更好地引入多元函数积分的定义，我们将定积分作为复习模块纳入这个单元，从而将单元划分为七个知识点；将每个知识点细分为引例、这类积分的思想方法、定义（符号）、几何或物理意义、积分域、你对这类积分的概念（符号）的理解、与定义有关的习题七个模块；说明每一个模块呈现的方式、方法（教案、视频、图片、讲义、试卷、题库等形式）；通过学习要求学生完成的线上作业，并说明此次作业成绩占单元成绩的百分比。
其次，教师团队按照之前制定的整体方案分工合作，将我们录制好的视频、图片以及讲义、试卷、题库等分类到不同模块，以不同形式上传到学校的网络教学平台，分享给学生使用。下面就以定积分和二重积分两个模块的设计来说明我们具体的做法：
定积分放到这个单元，目的是帮助学生回忆定积分的思想方法，温习定积分的定义以及它所代表的几何、物理意义，并和多元函数积分的定义形成类比。二重积分定义知识点（或其他知识点）与定积分定义知识点中的引例模块都是通过PPT教案的形式展现，通过学生线上自学完成教师提出的问题“曲边梯形面积的计算与曲顶柱体体积的计算有何异同？”。对比两类积分的引例，实质上它们采取的都是“以直代曲、以常代变、找近似和、取极限”的思想方法。为了达到学生能够灵活的运用这种方法自学其他类型积分定义的目的，这部分再通过教师讲解的微视频展现。定义（符号）以教师在纸上或黑板上讲解的有声图片形式呈现，通过类比使学生深刻理解定积分和二重积分实质上都是是离散和的极限值—也就是离散和的推广“连续和”（这样说有可能不科学，但学生可以会意地去理解），只不过它们作和的范围不同（积分域不同）；定积分在几何上代表的是曲边梯形的面积，在物理上代表变速直线运动的位移（由此引出定积分的基本公式），二重积分在几何上代表的是曲顶柱体的体积（由此引出二重积分的计算方法）。二者在物理上具有共同的特性：定积分代表直线型构件的质量，二重积分代表平面型构件的质量，并且这种物理解释可以延续到三重积分、第一类曲线和第一类曲面积分上。教师通过微视频讲解提醒学生注意，同时提出问题“如何求三维空间中的立体、曲线型、曲面型构件的质量”，这样后续模块的铺垫自然完成。
最后，教师搜集学生作业中出现的典型问题，通过线下课堂教学加以讲解纠正，将六类多元函数积分符号与其物理意义相对照书写出来（表格形式），加以比较，找到各类积分的共同点（没有方向的积分代表质量，有方向的积分代表的是功和流量）与不同点（积分域不同），让学生彻底理解各类多元函数积分的定义不过就是离散和的极限---连续和，只是不同类型的积分做和的范围不同而已。通过学生线上的学习，不仅节省了教师讲授的时间，而且使得教师的讲解更有针对性，使得像多元函数积分定义这样繁琐的问题一次性地类比解决，让学生看到多元函数的积分原来很容易，真正做到使复杂的问题简单化，轻松消化课堂上的难点，激发他们进一步研究各类积分的性质和计算方法的兴趣，达到提高教学质量的目的。
参考文献：
[1]同济大学数学系，高等数学第七版，高等教育出版社.
第八章 不定积分
教学要求：
1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。
2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。
3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。
教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；
教学时数：18学时
《数学分析》教案
可见，若 { │ 有原函数 Ｒ}.，则 的全体原函数所成集合为
原函数的存在性: 连续函数必有原函数.(下章给出证明).可见, 初等函数在其定义域内有原函数;若 则 在区间 上有介值性.在区间 上有原函数, 例2.已知 为 的一个原函数，=5.求
.2.不定积分—— 原函数族：定义； 不定积分的记法；几何意义.例3
;
.（二）不定积分的基本性质: 以下设 和
有原函数.⑴
(先积分后求导, 形式不变应记牢！).⑵
..(先求导后积分, 多个常数需当心！)⑶
时，（被积函数乘系数，积分运算往外挪！）
⑷
由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对, 有
《数学分析》教案
教学要求： 换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。
教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；
一、新课引入：由直接积分的局限性引入
二、讲授新课：
（一）.第一类换元法 ——凑微分法：
由
引出凑微公式.Th1 若
连续可导, 则
该定理即为：若函数
能分解为
《数学分析》教案
.凑法2.特别地, 有
.例9
.和.例10
例11.例12
=
凑法3
.例13 ⑴
⑵
例14
《数学分析》教案
.例23.例24.例25
例26
三、小结
.（二）第二类换元法 —— 拆微法： 从积分 出发，从两个方向用凑微法计算，即
=
=
=
引出拆微原理.Th2 设
是单调的可微函数,并且
又
具有原
函数.则有换元公式
(证)
《数学分析》教案
解 令 形, 有
有
.利用例22的结果, 并用辅助三角 =
=
例31
⑶正割代换: 正割代换简称为“割换”.是针对型如 根式施行的, 目的是去掉根号.方法是: 利用三角公式
有的 令
变量还愿时, 常用辅助三角形法.例32
解
.例33
.解法一
（用割换）
解法二
（凑微）
.《数学分析》教案
本题还可用割换计算, 但较繁.3.双曲代换: 利用双曲函数恒等式 掉型如 如:
的根式., 令 , 可去
.化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 例40
.本题可用切换计算,但归结为积分题课例3., 该积分计算较繁.参阅后面习例41
解
.例42
.解
《数学分析》教案
解法三(用初等化简, 并凑微)
例45
解 =.代换法是一种很灵活的方法.三、小结
（三）.分部积分法:导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一般原则.1.幂
X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数.代价是另一因子用其原函数代替(一般会变繁), 但总体上应使积分简化或能直接积出.对“幂
” 型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“
”求导以使其成为代数函数.例46
(幂对搭配，取对为u)
例47(幂三搭配，取幂为u)例48(幂指搭配，取幂为u)例49(幂指搭配，取幂为u)
《数学分析》教案
例56
=，解得.例57
= =，解得
三、小结
.§ 3 有理函数和可化为有理函数的积分(2学时)
教学要求：有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。
教学重点：使学生掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分，学会求某些有理函数的不定积分的技巧；求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。
《数学分析》教案
例5
求
例6 设
且具有连续导函数.计算积分
例7 , 求积分
二.含有二次三项式的积分:
例8
=
=
.例9
=
2017深圳积分入户政策是怎样的?哪些人可以办理户籍迁入？深圳积分入户的申请条件及流程又是怎样的？看2016年9月1日起施行的《深圳市户籍迁入若干规定》是如何规定的?
一、入户类别
户籍迁入划分为人才引进迁户、纳税迁户、政策性迁户和居住社保迁户四个类别。
本规定所称人才引进迁户，是指从深圳市外或市内非户籍人口中根据年龄、学历、技术技能水平等条件引进人才，按规定办理入户。
本规定所称纳税迁户，是指对在深圳市缴纳一定税额、符合入户条件的企业法定代表人、自然人股东、合伙企业出资(合伙)人、个人独资企业主、个体工商户业主及纳税达到一定数额的个人，按规定办理入户。
本规定所称政策性迁户，是指按照国家、广东省、深圳市有关规定，对符合特定政策的人员，按规定办理入户，包括夫妻投靠、老人投靠、未成年子女随迁、军转干部安置、军人家属随迁、军休及复员干部和退役士兵安置、招生和驻深机构人员入户等。
本规定所称居住社保迁户，是指对参加深圳市社会养老保险并在深圳市拥有合法住宅用途房产(或合法租赁住房)达到一定年限的人员，按规定办理入户。
二、申请条件 人才引进迁户
符合下列条件之一的人员，经核准可办理人才引进迁户：
(一)经深圳市认定的高层次人才，且符合该类人才认定标准对应年龄条件的人员。
(二)在国(境)外学习并获得学士以上学位的留学人员，或在国(境)外高等院校、科研机构工作(学习)1年以上、取得一定成果的访问学者和博士后等进修人员。本项所述人员年龄应在45周岁以下。
(三)具有普通高等教育本科以上学历，且年龄在45周岁以下的人员;具有普通高等教育专科以上学历，且年龄在35周岁以下的人员。
(四)具有高级专业技术资格，且年龄在50周岁以下的人员;具有中级专业技术资格，且年龄在45周岁以下的人员。本项所述人员需同时具有中专以上学历。
(五)具有高级技师职业资格，且年龄在45周岁以下的人员;具有技师职业资格，且年龄在40周岁以下的人员;具有高级职业资格，且在深圳市参加社会保险满3年以上、年龄在35周岁以下的人员。本项所述人员的职业资格证书需同时符合深圳市紧缺工种(职业)目录。
(六)在世界技能大赛和国家级一、二类职业技能竞赛中获奖人员，或获得“中华技能大奖”“全国技能能手”“广东省技术能手”“深圳市技术能手”称号人员，或受深圳市委、市政府表彰的人员。本项所述人员年龄需在45周岁以下。
符合本条规定条件的人员，由市(区)人力资源部门按有关规定审核后办理相关手续，具体实施办法和办理程序由市人力资源保障部门另行制定。市(区)人力资源部门应当按规定做好学历、技术资格、职业资格等核验或实测实操考核工作。
不符合本条规定条件，属于深圳市经济社会发展急需的其他人才，经市发展改革部门下达专项计划后，可由人力资源部门在计划安排额度内审批引进。
纳税迁户
符合下列条件之一的人员，经核准可办理纳税迁户：
(一)在深圳市依法登记注册的法人企业法定代表(负责)人，该企业在最近连续3个纳税内缴纳的税额累计在300万元以上。
(二)在深圳市依法登记注册的个人独资企业、有限责任公司自然人股东、合伙企业出资(合伙)人，在最近连续3个纳税内，以其投资份额占该企业实收资本的比例而分摊企业已缴纳的税额累计在60万元以上。
(三)在深圳市就业的个人，最近连续3个纳税内依法缴纳的个人所得税(限工资薪金所得和劳务报酬所得项目)累计在24万元以上。
(四)在深圳市依法登记注册的个体工商户，在最近连续3个纳税内缴纳的税额累计在30万元以上。
符合本条规定条件的人员，迁户时年龄应当在50周岁以下。纳税额超过以上规定纳税额1倍以上的，其迁户年龄可放宽至55周岁以下。前款第(一)项的企业法定代表(负责)人，前款第(二)项的个人独资企业主、自然人股东、合伙企业出资(合伙)人，前款第(四)项的个体工商户经营者，应在最近连续3个纳税以内在同一企业，且一直具备与申请事由相适应的身份资格。
纳税迁户人员办理入户手续时，应当向有关部门提交税务部门开具的完税凭证和纳税证明。企业或个人缴纳的各项税款必须是依法申报并已经完税的自缴税款(不包含代扣代缴、代收代缴及由税务、司法部门追缴入库的税款)。
政策性迁户
符合下列条件之一的人员，在计划安排额度内，经审批可办理政策性迁户：
(一)父母一方为深圳市户籍的，其未成年子女可以申请投靠入户。
(二)夫妻一方为深圳市户籍的，其配偶按下列要求申请投靠入户：
1.在深有就业，且同时符合本规定第八条条件的，直接办理人才引进迁户;
2.在深无就业，或者虽有就业但不符合本规定第八条条件的，分居时间满2年后可以申请入户。经深圳市认定的高层次人才及具有高级专业技术资格、高级技师或硕士以上研究生学历条件人员的配偶，可不受分居时间限制并予优先解决。
(三)迁入深圳市户籍连续满8年且仍拥有深圳市户籍的，其共同生活的父母可以申请投靠入户。父母婚姻在存续期间的，须同时提出入户申请，离异或丧偶后未再婚者除外。
(四)符合国家、广东省、深圳市规定的军转干部及其随迁随调家属、军休及复员干部和退役士兵、驻深部队随军家属，可以申请入户。
(五)深圳市高等院校在国家统招计划内生源新生可以申请入户。
(六)地级市以上人民政府驻深机构在编工作人员可以在指标额度内申请入户，其中省级(含副省级)政府驻深机构指标总额度为20名，地级市政府驻深机构指标总额度为10名。
(七)国家、广东省、深圳市规定的其他情形。
第(一)项所述人员迁户时，其年龄应当在18周岁以下，但在高中(含中职、中技)或大学在读学生的，其迁户年龄可以放宽至20周岁以下。第(三)项人员迁户时，其年龄应当同时达到男性60周岁以上，女性55周岁以上。第(六)项人员迁户时，其年龄应当在55周岁以下。
第(五)、(六)项所述人员入户后，其户籍须落在所属学校或单位的集体户，不可进行市内迁移，不可申请夫妻投靠、老人投靠迁户，完成在深学业或工作后须将户口及时迁出深圳。第(六)项所述人员入户后，其未成年子女可申请子女投靠迁户，其户口迁出时须将其尚未成年的随迁子女一并迁出。
居住社保迁户
持有深圳市居住证，且在深具备合法稳定就业和合法稳定住所(含租赁)条件的人员，在计划安排额度内，经审批可办理居住社保迁户。居住社保迁户以积分制办法实施，积分主要指标为参加深圳社会养老保险年限和拥有深圳合法产权住房年限(或合法租赁住房)，具体办法，由市发展改革部门会同市公安等部门另行制定。
符合规定人员迁户时，男性应当在55周岁以下，女性应当在50周岁以下。
有关人员迁户时，除应当符合《深圳市户籍迁入若干规定》外，还应当符合《深圳经济特区人口与计划生育条例》的有关规定，且无参加国家禁止的组织或活动的记录。
三、申请流程
各类迁户人员应当按以下规定办理相关手续，领取深圳市户籍迁入指标后，再到公安部门办理复核入户手续：
(一)符合人才引进迁户条件的人员，根据各自情况按规定向市、区(新区)人力资源(组织)部门申请办理相关手续。
(二)符合纳税迁户条件且同时符合人才引进迁户条件的人员，应向市、区(新区)人力资源(组织)部门申请办理相关手续;其他符合纳税迁户条件的人员，向市公安部门申请办理相关手续。
(三)符合政策性迁户条件的人员，按迁户类别分别向公安、人力资源、民政、经贸部门申请办理相关手续。
(四)符合居住社保迁户条件的人员，向市公安部门申请办理相关手续。
符合《深圳市户籍迁入若干规定》条件的人员迁户时，其户口性质仍登记为农业户口的，须同时申请办理深圳市“农转非”手续。
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