第六单元 运算律教学设计（精选6篇）
一、填空(20%)
1.用字母表示加法交换律是( );
用字母表示乘法结合律是( )。
2.一个长方形的长是16厘米，宽是10厘米，求这个长方形的面积可以列式为( )，还可以列式为( )，面积都等于( )平方厘米。
3.在计算32+45+55时，可以加法结合律，先算( )。
4.根据运算律在下面的 上填上合适的数。
25+ = 38+ ×35 = ×96
118+159+182=( + )+159 46×25×4 = 46×( × )
5.450比105多( )，比680少( )。
6.学校一节课是40分钟，课间休息10分钟。早晨8：00上课钟声响，上第一节课。照这样计算，第三节上课的.钟声应该在( ： )响起。
7.把边长是6厘米的正方形铁丝框沿着一条边剪开，拉成一条线段，那么这条线段长是( )。要把这根铁丝围成一个长是8厘米的长方形，这个长方形的宽应该是( )，它的面积是( )。
二.判断(8%)
1. m+n=n+m 运用了加法结合律。 ( )
2. 78+43+22 = (78+22)+43 ( )
3. 146-98 = 146-100+2 ( )
4.两个数相乘，一个数扩大4倍，另一个数缩小4倍，他们的积不变。( )
三.选择(8%)
1. 125×7×8 = 7×(125×8) 这是运用了( )。
A、乘法交换律 B、乘法结合律 C、乘法交换律和结合律
2. 与451-51-49相等的算式是( )。
A、451-(51+49) B、(451+49)-51 C、451-49+51
3.在公园停车场停车，前两小时共需付款3元，以后每小时2元。王叔叔停了4小时，他应该付款( )。
A、9元 B、8元 C、7元
4.周长相等的长方形和正方形，它们的面积( )。
A、长方形较大 B、正方形较大 C、不能确定
四.计算(35%)
1.直接写出得数。(5%)
75+35= 98-79= 100÷4= 35×3= 130÷5=
180÷20= 490÷70= 9×5×8= 4×6×5= 87÷3=
2.竖式计算，并用交换律进行验算。(6%)
289+476= 28×64=
3.计算各题，能简算的要简算。(18%)
893+594+107 105+298 5×(17×24)
125×16 35×9×2 329+(471+86)
4.列式计算。(6%)
1.120加84除以7的商，和是多少?
2.703与295的差除以51，商是多少?
五.解决实际问题。(29%)
1.5箱蜜蜂一年可以酿375千克蜂蜜。照这样计算，20箱蜜蜂可以酿多少千克蜂蜜?(4%)
2.一艘轮船，从南京驶往向阳渔港，每小时行驶20千米，10小时到达;回来时，每小时行驶25千米，几小时可以回到南京?(4%)
3.晓勇家养了5头奶牛。平均每头奶牛每天产奶8千克。这些奶牛五月份全月共产奶多少千克?(4%)
4.一根绳子长175米，第一次用去38米，第二次用去62米，还剩下多少米?
(过程用简便计算 5%)
5.联华超市是1路和2路公交车的起始站。早晨6时10分1路车开始发车，以后每隔10分钟发一辆车;6时20分2路车开始发车，以后每隔15分钟发一辆车。这两路车第二次同时发车是什么时候?(你能通过列表找出答案吗?)(6%)
1路车 6：10
2路车 6：20
答：这两路车第二次同时发车是 。
6.大青山林场今年计划植树800棵。已经载了3天，每天载了140棵，剩下的打算用2天时间栽完，平均每天要栽多少棵?
先根据题目中你获得的信息填写下表，再分步列式解答。(6%)
一共要栽( )棵 已经栽了( )天 每天栽( )棵
苏教版教材在四年级下册把“运算律”单设单元, 来完成加法和乘法的5个定律, 单设单元集中教学几个“运算律”, 其目的是便于学生系统学习, 集中体现用字母表示几个运算规律的概括性和简洁性。但是笔者以为, 此时没有必要再花时间和创设情境来让学生经历几个运算律的发现、猜想和验证的过程。因为学生在一、二年级时, 对加法和乘法的意义以及几个运算律已经积累了一定的经验, 只不过这时的经验是感性的、模糊的、零碎的, 仅需要教师提供回顾、梳理、归纳和概括的平台, 让学生借助加法和乘法的意义, 从本源上来说清道理, 从“运算律”生长的“根”上来理性地分析。
一、基于学生对“运算律”已有认知经验的分析
笔者以为, 在学习交换律之前, 学生对加法和乘法的交换律的认知并不是一张空白纸, 如在一年级加法单元教学, 不同版本教材都创设学生熟悉的生活情境, 让学生在解决问题的过程中来建构加法意义和各部分名称。以苏教版教材为例:
教材创设了小朋友浇花的情境, 学生在回答“浇花的一共有多少个小朋友”的问题时, 由于还没有正式学过用一个加法算式来表示, 因而, 大部分同学用“数数”累加的方法。如先数正在浇花的有3个小朋友, 再数又来的2个小朋友, 也就是从3往后累加数2个, 即浇花的一共有5个小朋友。当然, 也有部分同学是从2往3来累加数的。然后, 教师会引导学生想:“怎样把刚才数的过程, 用一个算式来表示呢?”教师再适时介绍3+2=5或2+3=5这两个加法算式。从这里可以看出, 从一年级“加法认识”单元教学开始, 学生就已经接触了加法的交换律。先数左边3个同学再接着数右边2个同学与先数右边2个同学再接着数左边3个同学, 其结果是不变的, 这就是加法交换律的“雏形”, 是“具体”的、“情景化”的。随着经验的积累, 这种“雏形”将日益完善, 这个“规律”将被学生逐步内化成:把两个数合并成一个数用加法来计算, 合并是不考虑先后的认知经验的。
同样, 学生对乘法交换律的“雏形”, 早在二年级就已经有了初步的感知。如二年级上册第一单元“乘法认识”。教学时教材创设了这样的情境:
依托情境图让学生分别列出求各有多少只小动物, 然后让学生观察这些算式的特点都是求几个相同加数和的运算 (这就是乘法的意义) 。这种特殊的加法算式还可以用一道乘法算式来表示, 由此, 引出乘法算式。如2+2+2可以写成2×3或3×2。老教材突出2+2+2表示3个2相加, 写成乘法算式是2×3, 3+3表示2个3相加, 写成乘法算式是3×2;两位教授在《正》文中, 特别强调了此事, 说把“2×7和7×2看作是同一件事, 混淆了两种不同的计算过程, 使乘法交换律变得没有意义, 缺乏科学性。”其实, 若避开具体的情境来看2+2+2这个算式, 把这三个相同的加数写成两个相同加数的形式就是3+3, 同样, 3+3若写成三个相同加数的形式就是2+2+2。从这一点来说, 两个乘法算式的计算结果虽然是一样的, 所体现的过程 (实际上也是意义) 是不一样的, 如《正》文所说。但笔者以为, 教材不再让学生来区分2×3和3×2过程上的不同, 是基于教师易教、学生易理解的角度上考虑的。因而, 在后面的解决问题以及“乘法口诀”教学时, 只要是涉及用乘法列式的, 学生就不会考虑两个乘数的前后位置关系了。
加法和乘法的结合律, 是交换律的拓展, 可以把它看作一种“特殊”交换律来教学。因为有了两个加数交换位置和不变的经验, 学生便可类推出三个加数甚至更多个加数相加, 任意交换它们的位置和也会不变的。之所以可以这样说, 因为学生已有了加法和乘法意义的支撑。如口算2+3+4, 表示三个数合并在一起, 既然是合并 (累加) 就不分先后。同样, 在口算3×2×4时, 学生能体会到先算3×2得6, 6×4与4×6结果又是一样的, 因此, 3、2、4这三个乘数可以先任意两个数相乘。这就是加法结合律构建的“萌芽”时期, 这是在“做”中积累的经验。教学结合律时, 需要让学生进一步明白的是:三个数在一起计算, 是有一定顺序的, 不像两个数相加 (乘) , 只存在位置上的变化, 不存在顺序上的改变。为了体现这种运算顺序的改变, 在计算时, 我们一般要用“ () ”来表示, 这样, 便于让学生感知结合律就是交换律的拓展和延伸, 体会结合律产生的必要性和价值, 更突出了两个运算律的联系和区别。
同样, 乘法的分配律, 学生在二年级计算一位数乘法时, 也初步体会到这种规律的存在, 如对于12×4, 学生都知道它表示12+12+12+12相加的结果, 在用加法计算时, 需要4个2相加和4个10相加, 再把两次相加的结果合在一起。因此, 用4乘12时, 自然需要把12分成10和2的和与4相乘, 也就是 (10+2) ×4=10×4+2×4。这个等式从右往左看, 是和中的每一个加数都要与4相乘一次, 这是基于对12×4竖式计算运算合理性的一种表示;若从右往左看, 是10个4再加2个4, 结果是12个4, 左右是恒等道理一清二楚。从乘法计算的内部结构来建构乘法的分配律, 是寻“根”的过程。
二、意义框架下几个运算律教学的路径
(一) 加法的交换律和结合律
第一层次:可出示教材情境图
在学生得出28+17=17+28之后, 教师可唤起学生已有的经验, 不让学生举例, 引导学生回顾加法意义, 让学生运用已有的生活经验和认知经验来解释交换两个加数和不变的原因, 并概括出这一运算律。
第二层次:在学生得出28+17+23=?之后, 引导学生想一想:两个数相加可以交换两个加数位置和不变, 三个数相加也可以这样交换吗?为什么?进而得出三个数相加与两个数相加不同点是三个数相加有先后顺序, 交换位置, 意味着运算顺序改变了, 为了体现顺序的改变, 需要用“ () ”来表示, 并借机用字母概括出这一运算律。
(二) 乘法的交换律和结合律
第一层次:唤醒学生已有的乘法意义的认知。如3+3和2+2+2可以写成什么样的乘法形式?既然乘法是特殊加法算式的一种简便运算, 由加法两个运算律, 能类推出乘法是否也有这样的运算律?让学生运用乘法的意义和已有的生活经验加以解释和说明。在此环节, 也可配合使用《正》文中提及的“以形解数”的方法。如让学生数数这堆石子有多少颗?
...
...
最后得出不管竖着数还是横着数, 结果都是6, 所以2×3=3×2。
第二层次:引导学生想一想, 两个数相乘可以交换两个乘数的位置积不变, 三个数相乘也可以这样交换吗?为什么?同样得出三个数相乘, 有运算的先后顺序, 任意交换两个乘数的位置, 其运算顺序改变了, 需要用“ () ”来表示的道理, 并借机引导学生经历用字母概括的过程。
(三) 乘法的分配律
第一层次:师生交流, 乘法的交换律和结合律, 在乘法计算时, 有普遍的运用, 教师适时出示12×4的竖式计算题。引导学生回忆每一步计算的过程, 以及为什么可以这样计算?教师可适时用图来“以形解数”。如右图长方形面积可以怎样计算?
第二层次:引导学生想一想, 由乘法竖式计算还可以概括出一种什么样的运算律?并用字母概括这一规律。
三、基于意义框架下, 运算律单元教学整体思路的调整
教学思路由原来借助具体情境下解决实际问题, 依托列出的算式, 基于在发现、列举、验证和归纳中得出运算律的感性认知, 走向唤醒学生已有的认知经验, 依托算式内部的意义, 进行理性分析的过程。然后再把这一运算律进行抽象概括并在解决实际问题中加以运用。教学思路是:感悟、发现规律的存在—经历规律的寻根过程—规律的运用过程。“运算律”的存在, 是蕴含在算式的意义和计算的算理之中, 是“固有”的, 而不是依靠在解决同一问题时, 出现了几种不同的算式, 然后再进行验证、归纳、总结的过程, 这势必会有点“本末颠倒”之感。
关键词：数形结合；运算律；数学学习
数学课程标准指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。在数学世界，有四大基本思想：函数、转化与化归、分类讨论和数形结合。数与形是现实世界客观事物的抽象与反映，同时是数学的基石，在小学数学教材中，从始至终都贯穿着数形结合思想，由此可见其重要性。数形结合是根据数量与图形之间的关系，通过“以形助数，以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而解决数学问题的一种重要的思想方法。通常情况下，在应用数形结合思想方法解决问题时，往往偏重于“形”对“数”的作用，也就是经常利用图形的直观性帮助解决某些数学问题。
一个人学习数学，不只是为了“记住”数学，更重要的是在学习数学的过程中领悟数学的思想和方法，体会到数学学习的成功与快乐。
【教学片段——加法运算律】
讲“朝三暮四”的故事，引出3+4=4+3，让学生经历猜测—验证—结论的过程，经过学生的不完全归纳，得出加法交换律。但要说，更有说服力的线段图起了很重要的作用，让学生经历从不完全归纳到完全归纳的数学思想方法。
■
a+b=b+a代表无数算式，完全归纳了加法交换律。
同理，加法结合律和减法的性质也可以用线段图表示：
加法结合律：
■
a+b+c=b+c+a=a+c+b
减法的性质：
■
c-a-b=c-(a+b)
【乘法分配律教学探讨】
乘法分配律是重要的数学模型，在小学阶段的运算律中，它是学生最难理解和掌握的。有些学生在学习时就稀里糊涂，弄不明白乘法分配律这种形式上的变化；有些学生虽然能在课堂上机械地模仿，但遗忘地很快，更谈不上自觉和灵活地运用……许多教师一说到这一内容的教学纷纷抱怨：既让学生举例验证了，也让学生抽象概括了，学生也经历了学习的过程，为什么还会出现上述情况？
笔者认为，最主要的原因是教师在教学时只重视引导学生对规律的外在格式进行研究，忽视了对规律、算理的本质进行探究，导致学生对规律的本质体验得不到位，感悟得不够深。教师要始终抓住内在不变的“理”来说明外在变化的“形”，采用数形结合的方法，让学生借助直观丰富的表象理解乘法分配律，并真正使学生在这一过程中切实增强体验，不断获得真切感受，充分积累活动经验。
一、充分借助主题图
心理学研究表明：小学生的思维正处在具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们的抽象思维水平在很大程度上依赖于形象或表象的支撑，可以说形象思维和表象思维在小学生思维中占有很大的比重。为此，教师要充分用好主题图中的直观形象，让学生借助这根“拐杖”，丰富表象，逐步抽象。在教学时，教师除了要让学生会用两种方法解答教材中提出的问题“买3件上衣和3条裤子一共要付多少元”并说明算理外，还要引导学生借助具体图进一步理解算理。
情景设计：
学校购买校服。每件■35元，每条■25元。买这样3套校服，一共要多少元？■
分开算：上衣的价钱+裤子的价钱=校服的总价钱
横着看35×3+25×33个35+3个25
配套算：一套的价钱×套数=校服的总价钱
竖着看（35+25）×3 3个（35+25）
从图中可以明显看出，不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求买3件上衣与3条裤子一共要付多少元，即3个35与3个25的和一共是多少，所以（35+25）×3=35×3+25×3，从而从根本上进一步说明了算理。
二、巧妙运用数形图
在教学中，许多教师都让学生列举了大量体现乘法分配律外形特征的算式，并引导学生通过计算和比较，看结果是否相等以验证猜想是否成立。笔者认为，仅仅这样做还不够。因为学生只是通过计算从外形上发现两边结果相等，还未从本质上探明为什么两边得数会相等。为此，教师可以引导学生借助数形图进一步理解算理。如在学生举出（75+25）×6=75×6+25×6时，教师可让学生具体说明算式每一步的意义：等号左边（75+25）×6表示6个（75+25）的和一共是多少，等号右边75×6表示6个75的和是多少，25×6表示6个25的和是多少，75×6+25×6表示6个75与6个25的和一共是多少，并启发学生用数形图表示如下：
75 75 75 75 75 75………6个75的和
25 25 25 25 25 25………6个25的和
“分”别算（横看），列式为：75×6+25×6，“配”套算（竖看），列式为：（75+25）×6。不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求6个75与6个25的和一共是多少，所以（75+25）×6=75×6+25×6，与买衣服付钱同理，从而直观地显示了等式在形式上发生变化的原因。
上衣a元，裤子b元，买了c套。根据图形得到乘法分配律的字母表达式
■
对于（a+b）×c=a×c+b×c，“分”别算（横看），列式为：a×c+b×c，“配”套算（竖看），列式为：（a+b）×c。不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求c个a与c个b的和一共是多少，所以（a+b）×c=a×c+b×c。
这样从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性，学生逐步经历了“数学化”的过程，不但知其然，而且知其所以然，于是便可能有意义地接受规律。实践证明，有了主题图和数形图的支撑，既便于学生探索、发现和理解规律，建构规律模型，又便于学生在以后的学习中灵活运用规律，发展数学思维。
三、适当探究拓展式
学生仅仅概括出并理解了（a+b）×c=a×c+b×c还不够，因为它只是乘法对加法的分配律，而且是最简单、最一般的表达式，教师在教学时还应适当引导学生进行合理的联想和必要的扩展：如几个数的和乘同一个数还可以运用乘法分配律吗？乘法对减法有分配律吗？除法有分配律吗？……笔者在教学时，就引导学生分小组选择其中的一两个问题，仍然借助主题图、数形图或举例进行研究，让他们再次经历上述探究过程，从而使学生有更深的体验和更多的发现。这样，不但可以丰富和深化学生对乘法分配律内涵的认识，使其全面、透彻地理解和掌握规律，而且还可以帮助学生进一步积累研究问题的经验与方法，获得充分的数学活动经验，发展数学思维能力。
拓展：
（1）上衣比裤子贵多少元？可以得到乘法对减法的分配律。
（2）上衣、裤子、裙子三件套一共多少元？可以拓展到三个数相加或更多数相加的形式。
生活中寻找乘法分配律的影子
1.王师傅在给墙壁贴瓷砖（如图），他一共贴好了几块瓷砖呢？
分开算：黑色的+白色的=瓷砖总数
4×3+6×34个3+6个3
合起来算：一行的×3行=瓷砖总数
（4+6）×33个（4+6）
（4+6）×3=4×3+6×3
2.有两块宽都是4厘米，长分别是10厘米和6厘米的长方形，如果把他们合在一起组成一个大长方形，求大长方形的面积是多少。
进入高年级，学生在计算公式的推导方面对于乘法分配律的应用也很广泛，例如梯形面积、圆面积计算公式推导、环形面积问题的解决等对其也有涉及。数形结合也是数学课堂中的一大功臣。
■
除法的性质：
■
重视对规律实质的探寻，不但能让学生牢固地掌握规律的“外形”，而且能让学生准确地理解规律的“内理”，还能增强学生自主探究规律的本领和意识，学习在“变”中寻找“不变”的方法。
总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利、高效率地学好数学知识，更利于学生学习兴趣的培养、智力的开发和能力的增强，为学生今后的数学学习，甚至物理、化学等理科的学习打下坚实的基础。
摘 要：数形结合，主要是指数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数学结合的思想方法在应用上包含“以形助数”和“以数解形”两方面，本文主要从“以形助数”入手，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，以及数形结合的妙处。
关键词：数形结合；运算律；数学学习
数学课程标准指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。在数学世界，有四大基本思想：函数、转化与化归、分类讨论和数形结合。数与形是现实世界客观事物的抽象与反映，同时是数学的基石，在小学数学教材中，从始至终都贯穿着数形结合思想，由此可见其重要性。数形结合是根据数量与图形之间的关系，通过“以形助数，以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而解决数学问题的一种重要的思想方法。通常情况下，在应用数形结合思想方法解决问题时，往往偏重于“形”对“数”的作用，也就是经常利用图形的直观性帮助解决某些数学问题。
一个人学习数学，不只是为了“记住”数学，更重要的是在学习数学的过程中领悟数学的思想和方法，体会到数学学习的成功与快乐。
【教学片段——加法运算律】
讲“朝三暮四”的故事，引出3+4=4+3，让学生经历猜测—验证—结论的过程，经过学生的不完全归纳，得出加法交换律。但要说，更有说服力的线段图起了很重要的作用，让学生经历从不完全归纳到完全归纳的数学思想方法。
■
a+b=b+a代表无数算式，完全归纳了加法交换律。
同理，加法结合律和减法的性质也可以用线段图表示：
加法结合律：
■
a+b+c=b+c+a=a+c+b
减法的性质：
■
c-a-b=c-(a+b)
【乘法分配律教学探讨】
乘法分配律是重要的数学模型，在小学阶段的运算律中，它是学生最难理解和掌握的。有些学生在学习时就稀里糊涂，弄不明白乘法分配律这种形式上的变化；有些学生虽然能在课堂上机械地模仿，但遗忘地很快，更谈不上自觉和灵活地运用……许多教师一说到这一内容的教学纷纷抱怨：既让学生举例验证了，也让学生抽象概括了，学生也经历了学习的过程，为什么还会出现上述情况？
笔者认为，最主要的原因是教师在教学时只重视引导学生对规律的外在格式进行研究，忽视了对规律、算理的本质进行探究，导致学生对规律的本质体验得不到位，感悟得不够深。教师要始终抓住内在不变的“理”来说明外在变化的“形”，采用数形结合的方法，让学生借助直观丰富的表象理解乘法分配律，并真正使学生在这一过程中切实增强体验，不断获得真切感受，充分积累活动经验。
一、充分借助主题图
心理学研究表明：小学生的思维正处在具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们的抽象思维水平在很大程度上依赖于形象或表象的支撑，可以说形象思维和表象思维在小学生思维中占有很大的比重。为此，教师要充分用好主题图中的直观形象，让学生借助这根“拐杖”，丰富表象，逐步抽象。在教学时，教师除了要让学生会用两种方法解答教材中提出的问题“买3件上衣和3条裤子一共要付多少元”并说明算理外，还要引导学生借助具体图进一步理解算理。
情景设计：
学校购买校服。每件■35元，每条■25元。买这样3套校服，一共要多少元？■
分开算：上衣的价钱+裤子的价钱=校服的总价钱
横着看35×3+25×33个35+3个25
配套算：一套的价钱×套数=校服的总价钱
竖着看（35+25）×3 3个（35+25）
从图中可以明显看出，不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求买3件上衣与3条裤子一共要付多少元，即3个35与3个25的和一共是多少，所以（35+25）×3=35×3+25×3，从而从根本上进一步说明了算理。
二、巧妙运用数形图
在教学中，许多教师都让学生列举了大量体现乘法分配律外形特征的算式，并引导学生通过计算和比较，看结果是否相等以验证猜想是否成立。笔者认为，仅仅这样做还不够。因为学生只是通过计算从外形上发现两边结果相等，还未从本质上探明为什么两边得数会相等。为此，教师可以引导学生借助数形图进一步理解算理。如在学生举出（75+25）×6=75×6+25×6时，教师可让学生具体说明算式每一步的意义：等号左边（75+25）×6表示6个（75+25）的和一共是多少，等号右边75×6表示6个75的和是多少，25×6表示6个25的和是多少，75×6+25×6表示6个75与6个25的和一共是多少，并启发学生用数形图表示如下：
75 75 75 75 75 75………6个75的和
25 25 25 25 25 25………6个25的和
“分”别算（横看），列式为：75×6+25×6，“配”套算（竖看），列式为：（75+25）×6。不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求6个75与6个25的和一共是多少，所以（75+25）×6=75×6+25×6，与买衣服付钱同理，从而直观地显示了等式在形式上发生变化的原因。
上衣a元，裤子b元，买了c套。根据图形得到乘法分配律的字母表达式
■
对于（a+b）×c=a×c+b×c，“分”别算（横看），列式为：a×c+b×c，“配”套算（竖看），列式为：（a+b）×c。不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求c个a与c个b的和一共是多少，所以（a+b）×c=a×c+b×c。
这样从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性，学生逐步经历了“数学化”的过程，不但知其然，而且知其所以然，于是便可能有意义地接受规律。实践证明，有了主题图和数形图的支撑，既便于学生探索、发现和理解规律，建构规律模型，又便于学生在以后的学习中灵活运用规律，发展数学思维。
三、适当探究拓展式
学生仅仅概括出并理解了（a+b）×c=a×c+b×c还不够，因为它只是乘法对加法的分配律，而且是最简单、最一般的表达式，教师在教学时还应适当引导学生进行合理的联想和必要的扩展：如几个数的和乘同一个数还可以运用乘法分配律吗？乘法对减法有分配律吗？除法有分配律吗？……笔者在教学时，就引导学生分小组选择其中的一两个问题，仍然借助主题图、数形图或举例进行研究，让他们再次经历上述探究过程，从而使学生有更深的体验和更多的发现。这样，不但可以丰富和深化学生对乘法分配律内涵的认识，使其全面、透彻地理解和掌握规律，而且还可以帮助学生进一步积累研究问题的经验与方法，获得充分的数学活动经验，发展数学思维能力。
拓展：
（1）上衣比裤子贵多少元？可以得到乘法对减法的分配律。
（2）上衣、裤子、裙子三件套一共多少元？可以拓展到三个数相加或更多数相加的形式。
生活中寻找乘法分配律的影子
1.王师傅在给墙壁贴瓷砖（如图），他一共贴好了几块瓷砖呢？
分开算：黑色的+白色的=瓷砖总数
4×3+6×34个3+6个3
合起来算：一行的×3行=瓷砖总数
（4+6）×33个（4+6）
（4+6）×3=4×3+6×3
2.有两块宽都是4厘米，长分别是10厘米和6厘米的长方形，如果把他们合在一起组成一个大长方形，求大长方形的面积是多少。
进入高年级，学生在计算公式的推导方面对于乘法分配律的应用也很广泛，例如梯形面积、圆面积计算公式推导、环形面积问题的解决等对其也有涉及。数形结合也是数学课堂中的一大功臣。
■
除法的性质：
■
重视对规律实质的探寻，不但能让学生牢固地掌握规律的“外形”，而且能让学生准确地理解规律的“内理”，还能增强学生自主探究规律的本领和意识，学习在“变”中寻找“不变”的方法。
总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利、高效率地学好数学知识，更利于学生学习兴趣的培养、智力的开发和能力的增强，为学生今后的数学学习，甚至物理、化学等理科的学习打下坚实的基础。
摘 要：数形结合，主要是指数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数学结合的思想方法在应用上包含“以形助数”和“以数解形”两方面，本文主要从“以形助数”入手，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，以及数形结合的妙处。
关键词：数形结合；运算律；数学学习
数学课程标准指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。在数学世界，有四大基本思想：函数、转化与化归、分类讨论和数形结合。数与形是现实世界客观事物的抽象与反映，同时是数学的基石，在小学数学教材中，从始至终都贯穿着数形结合思想，由此可见其重要性。数形结合是根据数量与图形之间的关系，通过“以形助数，以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而解决数学问题的一种重要的思想方法。通常情况下，在应用数形结合思想方法解决问题时，往往偏重于“形”对“数”的作用，也就是经常利用图形的直观性帮助解决某些数学问题。
一个人学习数学，不只是为了“记住”数学，更重要的是在学习数学的过程中领悟数学的思想和方法，体会到数学学习的成功与快乐。
【教学片段——加法运算律】
讲“朝三暮四”的故事，引出3+4=4+3，让学生经历猜测—验证—结论的过程，经过学生的不完全归纳，得出加法交换律。但要说，更有说服力的线段图起了很重要的作用，让学生经历从不完全归纳到完全归纳的数学思想方法。
■
a+b=b+a代表无数算式，完全归纳了加法交换律。
同理，加法结合律和减法的性质也可以用线段图表示：
加法结合律：
■
a+b+c=b+c+a=a+c+b
减法的性质：
■
c-a-b=c-(a+b)
【乘法分配律教学探讨】
乘法分配律是重要的数学模型，在小学阶段的运算律中，它是学生最难理解和掌握的。有些学生在学习时就稀里糊涂，弄不明白乘法分配律这种形式上的变化；有些学生虽然能在课堂上机械地模仿，但遗忘地很快，更谈不上自觉和灵活地运用……许多教师一说到这一内容的教学纷纷抱怨：既让学生举例验证了，也让学生抽象概括了，学生也经历了学习的过程，为什么还会出现上述情况？
笔者认为，最主要的原因是教师在教学时只重视引导学生对规律的外在格式进行研究，忽视了对规律、算理的本质进行探究，导致学生对规律的本质体验得不到位，感悟得不够深。教师要始终抓住内在不变的“理”来说明外在变化的“形”，采用数形结合的方法，让学生借助直观丰富的表象理解乘法分配律，并真正使学生在这一过程中切实增强体验，不断获得真切感受，充分积累活动经验。
一、充分借助主题图
心理学研究表明：小学生的思维正处在具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们的抽象思维水平在很大程度上依赖于形象或表象的支撑，可以说形象思维和表象思维在小学生思维中占有很大的比重。为此，教师要充分用好主题图中的直观形象，让学生借助这根“拐杖”，丰富表象，逐步抽象。在教学时，教师除了要让学生会用两种方法解答教材中提出的问题“买3件上衣和3条裤子一共要付多少元”并说明算理外，还要引导学生借助具体图进一步理解算理。
情景设计：
学校购买校服。每件■35元，每条■25元。买这样3套校服，一共要多少元？■
分开算：上衣的价钱+裤子的价钱=校服的总价钱
横着看35×3+25×33个35+3个25
配套算：一套的价钱×套数=校服的总价钱
竖着看（35+25）×3 3个（35+25）
从图中可以明显看出，不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求买3件上衣与3条裤子一共要付多少元，即3个35与3个25的和一共是多少，所以（35+25）×3=35×3+25×3，从而从根本上进一步说明了算理。
二、巧妙运用数形图
在教学中，许多教师都让学生列举了大量体现乘法分配律外形特征的算式，并引导学生通过计算和比较，看结果是否相等以验证猜想是否成立。笔者认为，仅仅这样做还不够。因为学生只是通过计算从外形上发现两边结果相等，还未从本质上探明为什么两边得数会相等。为此，教师可以引导学生借助数形图进一步理解算理。如在学生举出（75+25）×6=75×6+25×6时，教师可让学生具体说明算式每一步的意义：等号左边（75+25）×6表示6个（75+25）的和一共是多少，等号右边75×6表示6个75的和是多少，25×6表示6个25的和是多少，75×6+25×6表示6个75与6个25的和一共是多少，并启发学生用数形图表示如下：
75 75 75 75 75 75………6个75的和
25 25 25 25 25 25………6个25的和
“分”别算（横看），列式为：75×6+25×6，“配”套算（竖看），列式为：（75+25）×6。不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求6个75与6个25的和一共是多少，所以（75+25）×6=75×6+25×6，与买衣服付钱同理，从而直观地显示了等式在形式上发生变化的原因。
上衣a元，裤子b元，买了c套。根据图形得到乘法分配律的字母表达式
■
对于（a+b）×c=a×c+b×c，“分”别算（横看），列式为：a×c+b×c，“配”套算（竖看），列式为：（a+b）×c。不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求c个a与c个b的和一共是多少，所以（a+b）×c=a×c+b×c。
这样从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性，学生逐步经历了“数学化”的过程，不但知其然，而且知其所以然，于是便可能有意义地接受规律。实践证明，有了主题图和数形图的支撑，既便于学生探索、发现和理解规律，建构规律模型，又便于学生在以后的学习中灵活运用规律，发展数学思维。
三、适当探究拓展式
学生仅仅概括出并理解了（a+b）×c=a×c+b×c还不够，因为它只是乘法对加法的分配律，而且是最简单、最一般的表达式，教师在教学时还应适当引导学生进行合理的联想和必要的扩展：如几个数的和乘同一个数还可以运用乘法分配律吗？乘法对减法有分配律吗？除法有分配律吗？……笔者在教学时，就引导学生分小组选择其中的一两个问题，仍然借助主题图、数形图或举例进行研究，让他们再次经历上述探究过程，从而使学生有更深的体验和更多的发现。这样，不但可以丰富和深化学生对乘法分配律内涵的认识，使其全面、透彻地理解和掌握规律，而且还可以帮助学生进一步积累研究问题的经验与方法，获得充分的数学活动经验，发展数学思维能力。
拓展：
（1）上衣比裤子贵多少元？可以得到乘法对减法的分配律。
（2）上衣、裤子、裙子三件套一共多少元？可以拓展到三个数相加或更多数相加的形式。
生活中寻找乘法分配律的影子
1.王师傅在给墙壁贴瓷砖（如图），他一共贴好了几块瓷砖呢？
分开算：黑色的+白色的=瓷砖总数
4×3+6×34个3+6个3
合起来算：一行的×3行=瓷砖总数
（4+6）×33个（4+6）
（4+6）×3=4×3+6×3
2.有两块宽都是4厘米，长分别是10厘米和6厘米的长方形，如果把他们合在一起组成一个大长方形，求大长方形的面积是多少。
进入高年级，学生在计算公式的推导方面对于乘法分配律的应用也很广泛，例如梯形面积、圆面积计算公式推导、环形面积问题的解决等对其也有涉及。数形结合也是数学课堂中的一大功臣。
■
除法的性质：
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重视对规律实质的探寻，不但能让学生牢固地掌握规律的“外形”，而且能让学生准确地理解规律的“内理”，还能增强学生自主探究规律的本领和意识，学习在“变”中寻找“不变”的方法。
第六单元《分数四则混合运算》单元分析一单元教材分析本单元在分数四则计算和简单应用的基础上，主要教学分数四则混合运算和稍复杂的求一个数的几分之几是多少的实际问题。这部分内容是五年级教学的分数知识的综合、提高和总结，对掌握和应用分数知识有很大的影响。在内容的编排上有以下几个特点。第一，教学计算，例题的内容容量很大。第二，教学解决实际问题，例题的编排细致。第三，不教学稍复杂的分数除法问题。二单元目标要求
1、使学生联系已有的整数、小数四则混合运算的知识，理解并掌握分数四则混合运算的运算顺序，并能正确进行分数四则混合运算；了解整数运算律对分数同样适用，并能应用运算律进行有关分数的简便计算。
2、使学生学会用分数乘法和加、减法解决一些稍复杂的实际问题，进行积累解决问题的策略，增强数学应用意识。
3、使学生在运用已有的知识和经验进行分数四则混合运算的过程中，进行体会数学知识之间的内在联系，体会数学知识和方法在解决实际问题的价值，获得成功的乐趣和体验，提高数学学习的兴趣和学好数学的信心。三单元设计意图教学计算，例题的内容容量很大,把按运算顺序计算和应用运算律简便计算有机结合起来，把口算和笔算结合起来，组建四则混合运算的认知结构，有益于理解和掌握计算知识，形成实实在在的计算能力。本单元解答稍复杂的求一个数的几分之几是多少的实际问题，一般列综合式计算。这样设计有两点原因：首先是前面刚教学了四则混合运算，学生具备列综合算式的能力。更重要的是，六年级（下册）列方程解答稍复杂的百分数应用题，要以现在的综合算式的数量关系为依托。例2和例3是稍复杂的分数乘法应用题，教学时利用线段图直观表达数量关系，帮助学生形成解题思路。
四
单元目标达成分析
课题：分数四则混合运算时间：
****年**月**日
教学目标：1:理解并掌握分数四则混合运算的运算顺序，按运算顺序正确进行计算；根据运算律和运算性质进行一些分数的简便计算2：进一步培养观察、比较、分析和抽象概括的能力。3：积累数学学习的经验，体会数学学习的严谨性和数学结论的确定性。重点与难点：课前准备板块 教师活动 学生活动
教学目标及达成情况
一、创设情境。
二、教学分数四则混合运算的运算
三、教学把整数的运算律推广到分数。算
1、出示教科书第80页的例题图。提问：要求“两种中国结各做18个，一共用彩绳多少米？”这个问题，可以怎样列式？
3、指出：在一道有关分数的算式中，含有两种或两种以上是运算，统称为分数四则混合运算。这两道算式都属于分数四则混合运算。（板书课题）、顺序。
1、谈话：根据以上计算整数、小数四则混合运算的经验，想一想，分数四则混合运算的运算顺序是怎样的？你会计算上面这两道式题吗？
1、引导：我们再来仔细观察例1的两种解法。比较一下，这两种解法之间有什么联系？哪一种方法比较简便？你有什么想法？要求学生自主列出综合算式，并尽可能列出不同的综合算式。
2、集体交流。教师根据学生的回答板书算式。×18+×18
（+）×18追问：列式时你是怎么想的？学生能准确列式计算。80%的人能正确计算，并能用简便计算。90%的人能说出运算顺序四、四、巩固练习。
五、全课小结。通过交流明确：整数的运算律在分数运算中同样适用。我们在进行分数四则混合运算时，要恰当地应用运算律使计算简便。
1、做练习十第1题。让学生按要求直接写出得数，再集体订正。
2、做练习十第2题。让学生独立计算，再选择一两题要求说说运算顺序。
3、做练习十第3题。让学生独立计算，然后说说每道题分别应用了什么运算律或运算性质。
4、做练习十第4、5题。学生独立解答后，指名说说解题思路。
这节课你学会了什么？你有什么收获和体会？进行分数四则混合运算时应该注意什么？学生分别计算，并指名板演。
2、提问：这两道式题的计算结果相等吗？运算顺序呢？第一道算式先算什么？第二道算式呢？
3、小结：分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同，也是先算乘除，后算加减，有括号的要先算括号里面的。
4、做“练一练”第1题。让学生先说出运算顺序再计算，然后交流、订正。80%的人正确计算。课题：分数四则混合运算时间：
****年**月**日
教学目标：1：能按运算顺序正确进行计算，并能进行一些分数的简便计算。2：用分数四则混合运算解决一些实际问题。重点与难点：用分数四则混合运算解决一些实际问题。课前准备板块 教师活动 学生活动
教学目标及达成情况
一、基本练习
二、综合练习
1、做练习十五的第6题。提示：都要写把方程的左边进行化简，再应用等式的性质求方程的解。提醒学生及时进行验算。
2、做练习十五的第7题。并要求学生说说分数四则混合运算的运算顺序，对学生容易出现的一些典型错误进行指导。
3、独立解每个方程。指名板演，评讲。提醒学生及时进行验算。做练习十五的第8题。做练习十五的第9题。
1、先让学生回忆等式的性质，指名说一说。
2、观察每个方程，说一说方程的特点。
3、独立解每个方程。指名板演，评讲。学生独立完成，指名板演，评讲。做练习十五的第7题。
1、让学生独立完成，指名板演，评讲。并要求学生说说分数四则混合运算的运算顺序，对学生容易出现的一些典型错误进行指导。
先说说梯形的面积公式，再运用公式独立进行计算，评讲。80%的学生能知道运算顺序。学生能知道典型错误原因。做练习十五的第10题。学生独立解答后，指名说说解题思路。
1、做练习十五的第11题。先让学生独立解答，再让学生联系实际问题中的数量关系解释自己的列式和计算过程。鼓励学生用多种方法解答。先求什么，再求什么？80%的学生能正确列示计算。课题：用分数乘法和减法解决复杂的实际问题时间：
****年**月**日
教学目标：
1、学生理解并掌握用分数乘法和减法解决一些稍复杂的实际问题。
2、学生进一步积累解决问题的策略，增强数学应用意识。重点与难点：课前准备
板块 教师活动 学生活动
教学目标及达成情况
一、复习导入。
二、教学例2。岭南小学六年级有45个同学参加学校运动会，其中男运动员占。男运动员有多少人？
1、出示例2岭南小学六年级有45个同学参加学校运动会，其中男运动员占。女运动员有多少人？（1）比较复习题与例2的不同（2）说说“其中男运动员占”的含义
（3）让学生在线段图上分别表示出男女运动员所占的部分。
（4）要求“女运动员有多少人？”可以先求什么？并列出综合算式。板书：45－45×独立解答，说说“其中男运动员占”的含义及解题思路。如果把问题改成：“女运动员有多少人？”就成了今天我们要研究的新内容了。问题不同：复习题要求“男运动员有多少人？”而例2要求“女运动员有多少人？是哪两个量比较的结果？比较时把哪个量看作单位“1”？单位“1”的是哪个量？独立完成在书上，评讲说说45×的含义，独立解答。学生能根据题目要求，想出多种方法。
90%学生能正确画图，并能正确分析数量关系。
三、巩固练习。
四、全课小结，揭示课题。
五、课堂作业（5）想一想，还可以怎样计算？板书：45×（1－）（6）小结：怎样解答这类应用题？、做练一练第1题。
2、做练一练第2题。独立完成，可以先画图思考，再列式解答。
3、做练习十六的第1题。独立解答，说说解题思路。
4、做练习十六的第3题。通过这节课的学习，你有什么收获？在解题时要注意什么？结合学生的回答，揭题板题。说说（1－）的含义，独立解答。先说一说可以怎样想，再独立解答。让学生先画线段图表示题中的已知条件和所求问题，再列式解答。先说说题中两个分数的含义，再列式解答。
6、做练习十六的第2、4题。95%学生能正确计算。课题：用分数乘法和加、减法解决复杂的实际问题时间：
****年**月**日
教学目标：
1、学生理解并掌握用分数乘法和加、减法解决一些稍复杂的实际问题。
2、学生进一步积累解决问题的策略，增强数学应用意识。重点与难点：用分数乘法和加、减法解决一些稍复杂的实际问题。课前准备板块 教师活动 学生活动
教学目标及达成情况
一、复习导入
二、教学例
3三、巩固练习
四、全课小结，揭示课题。
五、课堂作业林阳小学去年有24个班级，今年的班级数比去年增加了。今年比去年增加了多少个班级？如果把问题改成：“今年一共有多少个班级？”就成了今天我们要研究的新内容了。
1、出示例3林阳小学去年有24个班级，今年的班级数比去年增加了。今年一共有多少个班级？（1）比较复习题与例3的不同。（2）说说“今年的班级数比去年增加了”的含义。哪个量？（3）让学生在线段图上表示出今年班级的数量。（4）要求“今年一共有多少个班级？”可以先算什么？并列出综合算式。板书：24＋24×，说说24×的含义，独立解答。（5）（5）想一想，还可以怎样计算？
板书：24×（1＋），说说（1＋）的含义，独立解答。（6）小结：怎样解答这类应用题？先说一说可以怎样想，再独立解答。
2、做练习十六的第5题。独立完成，可以先画图思考，再列式解答。比较两题的解法有什么联系和区别。
3、做练习十六的第8题。比较两题的解法有什么联系和区别。
4、做练习十六的第9题。在解题时要注意什么？结合学生的回答，揭题板题。独立解答，说说“今年的班级数比去年增加了”的含义及解题思路。问题不同：复习题要求“今年比去年增加了多少个班级？”而例3要求“今年一共有多少个班级？”是哪两个量比较的结果？这两个量比时把哪个量看作单位“1”？单位“1”的是
1、做练一练的第1题。让学生先画线段图表示两题中的已知条件和所求问题，再根据线段图说说这两小题中的数量关系有什么不同，最后再列式解答。先让学生适当整理题中的条件和问题，再引导学生根据需要解决的问题选择合适的条件解答相应的问题。比较两题的解法有什么联系和区别。通过这节课的学习，说说有什么收获？做练习十六的第6、7题70%学生能正确分析数量关系。80%的学生能正确理解数量关系。课题：用分数乘法和加、减法解决复杂的实际问题的练习课时间：
****年**月**日
教学目标：1：使学生进一步掌握用分数乘法和加、减法解决一些稍复杂的实际问题。2：使学生进一步积累解决问题的策略，增强数学应用意识，提高解决问题的能力。重点与难点：课前准备板块 教师活动 学生活动
教学目标及达成情况
一、提出练习要求
二、基本练习
三、综合练习
1、做练习十六的第10题
2、做练习十六的第11题
3、做练习十六的第12题独立解答，指名说说题中两个“”各指这根钢条的哪一部分？怎样求问题？做练习十六的第13题
独立解答，比较题中两个“”的不同含义及解决问题的思路。做练习十六的第14题做练习十六的第15题独立完成，指名板演，评讲。独立完成，指名说说分别把谁看作单位“1”的量，单位“1”的“”是哪个量，单位“1”的“”是哪个量，要求两个年级一共植了多少棵树，要先求什么？独立解答，评讲，引导学生从问题出发分析数量关系、确定解题思路。独立解答，评讲，交流解题思路。70%的学生能通过对比练习掌握分数应用题的解决方法。
四、对比练习
1、一堆煤有5吨，用去了，用去多少吨？
2、一堆煤有5吨，用去了一部分后还剩吨，用去了多少吨？
3、一堆煤有5吨，用去了吨，还剩多少吨？
4、一堆煤有5吨，用去了一部分后还剩，还剩多少吨？
5、一堆煤用去5吨后还剩吨，这堆煤原来有多少吨
6、一堆煤有5吨，第一次用去，第二次用去，两次共用去这堆煤的几分之几？读题，比一比，再独立解答，集体评讲订正。80%学生能正确区别量和分率课题：整理与练习（1）时间：
****年**月**日
教学目标：1：帮助学生进一步并掌握分数四则混合运算的运算顺序，并能正确进行四则混合运算。2：使学生进一步体会整数的运算律同样适用于分数运算，能根据算式的数据特点选择简便的方法进行计算。能运用所学的分数运算解决一些稍复杂的实际问题，进一步感受数学知识的实际应用价值，提高解决实际问题的能力。重点与难点：课前准备板块 教师活动 学生活动
教学目标及达成情况
一、复习口答
二、课堂练习做教科书第87页“练习与应用”的第1题。直接写出得数，师巡视，核对，对于错的学生说说想法。
1、做教科书第87页“练习与应用”的第2题。
小组讨论：说一说分数四则混合运算的运算顺序。
1、举例说明整数的运算律对分数运算同样适用。独立计算，再说说哪几题可以简便计算，分别运用了哪些运算律。70%学生能完整的说出运算定律。
三、课堂小结
四、课堂作业做教科书第87页“练习与应用”的第3题。通过这节课的学习，你有什么收获和体会？做教科书第87页“练习与应用”的第4题。独立解答，再比较这两小题解法的相同点和不同点。85%学生能理解题意。课题：整理与练习（2）时间：
****年**月**日
教学目标：1：进一步感受分数四则混合运算等所学知识的实际应用价值，提高解决实际问题的能力。2：引导学生对自己在探究新知识过程中的表现和应用知识解决实际问题的能力作出实事求是的评价。重点与难点：课前准备板块 教师活动 学生活动
教学目标及达成情况
一、做“探索与实践”的第5题
二、做“探索与实践”的第6题
一、做“探索与实践”的第5题
二、做“探索与实践”的第6题先让学生画一个指定长、宽的长方形，并把这个长方形的长、宽分别增加，算出各是多少厘米？，再画一画。然后算出新长方形的面积以及新长方形的面积是原来长方形面积的几分之几？先让学生作出猜想，再按要求画图操作，并进行计算。交流不同数据的计算结果，你有什么发现？70%学生能通过实践画出图。
三、“评价与反思”
四、作业：练习册相关作业
三、“评价与反思”让学生在小组里对照评价指标说说自己的收获与存在的不足。根据自己的表现对自己笨蛋员的学习情况进行实事求是的评价。根据自己的表现对自己本单元的学习情况进行实事求是的评价。
7、一堆煤有5吨，第一次用去，第二次用去，还剩下这堆煤的几分之几没用完？
8、一堆煤有5吨，第一次用去吨，第二次用去吨，两次共用去几分之几吨？
9、一堆煤有5吨，第一次用去吨，第二次用去吨，还剩下几分之几吨没用完？
本单元内容包括：加法交换律和结合律，乘法交换律、结合律和分配律，应用加法和乘法运算律进行一些简便计算，应用加法和乘法运算律解决一些实际问题。这部分内容主要引导学生在已经理解并掌握了整数四则运算的意义，和整数四则混合运算的运算顺序，能正确解决有关实际问题的基础上，对加法和乘法运算中的一些规律进行概括和总结。加法和乘法的运算律，不仅对整数运算适用，对小数，分数的运算，乃至对中学阶段的有理数、实数的运算也同样适用，是小学数学知识体系中最重要、最基础的知识之一。学习这部分内容，不但有助于学生加深对四则运算意义和计算方法的理解，而且能有效发展学生灵活选择简便计算的策略，同时也为学生以后学习和探索有关小数，分数的简便计算奠定坚实的基础。鉴于本单元教学内容的特殊性，教学时我主要关注以下几方面培养学生自主简便计算的意识。
一、充分利用已有的知识经验，引导学生通过自主的活动理解并掌握运算律。
回忆在以前的学习中，学生对四则运算中的一些规律已经有了比较丰富的感性认识。
如，学习加法和乘法时，用交换加数或乘数的位置再算一遍的方法验算加法或乘法；口算12×3时，先算10×3=30,2×3=6，再算30＋6=36。教学中我主要引导学生通过自主的活动，把已经积累起来的感性经验上升为理性的认识，并应用这些规律进行一些简便运算，解决一些实际问题。教学时充分利用学生已有的知识和经验你，通过具体的实际问题，引导学生经历运用已有知识解决问题的过程，并在对不同解法的比较中发现并提出问题，再通过举例、比较和分析，完成对运算规律的有意义建构。这样，通过现实的问题情境，引导学生在解决问题的过程中，逐步把自身经验系统中的感性认识抽象成形式化的数学结论。
二、引导学生经历探索和发现运算律的过程，培养合情推理能力和符号意识。
教学时我精心设计学生的数学活动线索，在引导学生从现实的情境中发现和提出问题后，并没有立刻揭示有关结论，而是把学习的主动权交给学生，引导他们再举出类似的算式，通过计算、比较和分析，发现它们的共同点，并用自己能理解的方式描述规律。在此基础上，用含有字母的式子把发现的规律表现出来，使得规律的表达更准确、简明、形象。这样安排教学，有利于初步感悟归纳的数学思想和方法，发展合情推理能力，又有利于学生获得初步的符号意识，感受数学表达的严谨和简练，也为以后学习用字母表示数做一些准备和铺垫。
三、引导学生经历应用加法和乘法的运算律进行简便计算的过程，培养学生的运算能力。
学习和探索运算律，不仅可以加深学生对有关运算的理解，而且可以有效地丰富学生解决计算问题的策略，使计算方法更简便、更灵活，发展学生的运算能力。例如，我在教学加法交换律和结合律之后，我根据教材提供线索专门设置不同计算方法的简便计算，引导学生联系已有的计算经验解决问题。我主要设计这两类题型：127＋203 354+103 417+305 468+103 639-128-72 523-（23+46）156-56-44有其容易出错的题目，主要从算式的意义上让学生理解简便计算的合理性。
四、引导学生经历运用所学知识解决实际问题的过程，培养分析和解决问题的能力。
众所周知适当引导学生运用所学知识解决一些实际问题，不仅可以深化学生对所学的知识的认识和理解，还可以帮助他们体验把现实问题抽象成数学问题的过程，感悟运用所学知识解决问题的策略和方法，提高分析和解决问题的能力，增强应用意识。教学时精心选择练习，主要是相遇问题以及相关结构的习题，如：
这类问题引导学生经历解决问题的过程，并在不同解题方法中感受乘法分配律在解决问题中的应用，积累分析数量关系的经验，提高分析和解决问题的能力，培养应用意识。
五、关注学生运用新知识解决旧知能力，培养学生自主解决问题的能力。
本单元的 “探索与实践”第12题具有一定的综合性，解决问题时需要应用加法和乘法运算律、平均数等有关知识。教学时我更多地关注计算的过程，提醒学生怎样计算会更简便，而且又正确。解题过程如下：
纵观解题过程，看似步骤较多写起来较麻烦，但是整个过程全部口算完成，不会出现半点差错。我相信如果教学中能有较多类似的关注，学生的计算能力会有质的飞跃。而且这样的问题再也不需要写出太多的步骤。
六、积累素材，拓展书本知识，提高计算技能
在练习中不断训练学生的数感，关注特殊数字形成计算技能。如：125、8、25、4、15、2、35„„
再如：适当补充乘法分配律的拓展练习58×58+41×58+58
174×63+74×63
青岛版义务教育教科书四年级下册22～23页，乘法交换律和乘法结合律。(宋体小四)
【教材简析】(宋体小四加粗)
教材的信息窗中呈现的是快乐农场——为校园绿化采购花土和花肥的场景。信息窗中以采购记录单的形式提供了丰富的数学信息。教材通过引导学生解决“一共购买多少千克花土？”和“一共购买多少千克花肥”的问题，展开对乘法运算律的学习。
学生学习乘法的运算律是在学习了加法运算律的基础上进行的。学习乘法的运算律是对乘法计算规律的概括，是计算经验的提升。学好这部分内容，对学生进一步理解四则运算的意义，合理灵活的进行计算，提高计算能力起到重要的作用。(宋体小四)
【教学目标】(宋体小四加粗)
1.结合学生已有经验，创设具体的情境，学生发现理解乘法交换律和结合律，能用字母进行表示，应用乘法交换律和结合律进行简便计算。
2.学生经历学习乘法交换律和结合律的过程，体验猜想、验证、比较、归纳等数学方法。
3.通过乘法运算律的学习，学生形成运用运算律进行简便计算的意识和习惯。(宋体小四)
【教学重点】(宋体小四加粗)
探索、掌握乘法结合律和交换律。(宋体小四)【教学难点】(宋体小四加粗)
探索乘法结合律，能灵活运用学到的知识进行简便计算。(宋体小四)【教学方法】(宋体小四加粗)
谈话法、讲授法、合作学习法。(宋体小四)【教学具准备】(宋体小四加粗)
多媒体、课件、计算器。(宋体小四)【教学过程】(宋体小四加粗)
一、创设情境，感知规律(宋体小四加粗)
谈话：刚才我们一起观看了微课，大家和综合实践小组的同学一起经历了观察、猜测、验证的过程，回顾了加法结合律和交换律，今天让我们再一起走进花卉市场，看看还可以为校园绿化做哪些准备？
出示信息窗：
1、仔细观察花土和花肥的采购记录单，说说你知道了哪些信息？ 根据学生的回答，整理信息。
2、根据花土和花肥的这些信息，你能提出什么问题？ 根据学生的回答整理：（1）一共购进多少千克花土？（2）一共购进多少千克花肥？
3、同桌合作学习：
（1）选择一个喜欢的问题，算一算，并说说你的理由。
（2）根据学生的回答进行整理，对于算理正确的及时肯定，出示算式：（2×25）×20 2×（25×20）
（5×8）×10 5×（8×10）(宋体小四)
二、研究素材，猜测规律(宋体小四加粗)
1、观察思考：上面两组算式有什么相同点和不同点？
2、汇报交流，各抒己见
3、初步得出猜测规律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。(宋体小四)
三、讨论交流，验证规律(宋体小四加粗)怎样验证？举例子
（1）谈话：在答题纸上把你的例子写出来，并仔细观察有没有反例。（2）分享验证过程（3）归纳总结，得出规律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。
（4）尝试给规律命名 通过自己观察、猜测、验证从而得出了结论。前面我们研究了加法运算律，你能根据加法的运算律给我们刚刚发现的规律起个名字吗？
（5）字母表示运算律
（6）猜想：大家大胆地猜想一下，乘法还有其它的运算律吗？你能用字母表示吗? 小结：二年级学乘法的初步认识时，我们就根据一句口诀些两个算式，5×8和8×5的积都是20,还有在三年级两位数乘两位数的验算和解决问题时，我们可以交换因数的位置进行，这都是应用了乘法交换律。(宋体小四)
四、巩固拓展，应用规律(宋体小四加粗)
1、基础练习(宋体小四)
学生自主解答，集体订正。
2、变式练习
学生在答题纸上自主完成后集体订正 进一步体会运算律，比较感受加法运算律和 乘法运算律的区别。
3、拓展应用练习
学生直接解答，并说出理由，让学生感受运用乘法运算律的可以使得计算简便。
五、反思总结，自我建构。(宋体小四加粗)教师谈话：今天这节课上完了，你有什么收获？ 引导学生从知识上、能力方法上、情感态度上进行总结。(宋体小四)【教学反思】(宋体小四加粗)
【第六单元 运算律教学设计】推荐阅读：
乘法运算律练习题11-16
二年级数学下册第五单元教案《混合运算》12-02
四年下册数学《乘法运算律》评课稿11-04
第六单元单元教学目标12-24
三年级第六单元教学设计06-18
