抛物线几何性质学案

抛物线几何性质学案（通用2篇）

抛物线几何性质学案 篇1

2xy12.整理得：x-2xy+y-6x-6y+15=0.说明：由于抛物线不在标准位置，所以采用抛物线定义求其方程.［例3］定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2x上移动，求AB中点到y轴距离 的最小值，并求出此时AB中点M的坐标.选题意图：考查对抛物线知识的综合运用能力.

解：如图，设F是抛物线y2x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，M点到准线的垂线为MN，N为垂足，则

｜MN｜=1（｜AC｜+｜BD｜）.213（｜AF｜+｜BF｜）≥.221.4根据抛物线定义得：｜AC｜=｜AF｜,｜BD｜=｜BF｜.∴｜MN｜=设M点的横坐标为x，则｜MN｜=x+∴xMN1315.4244等号成立的条件是弦AB过点F，由于｜AB｜＞2p=1.∴AB过焦点是可能的，此时M点到y轴的最短距离是即AB的中点横坐标为

5.45，4当F在AB上时，设A、B的纵坐标分别为y1、y2，则y1y2=-p=-21,从而 451222(y1+y2)=y1y22y1y222

42∴y1+y2=±2.∴此时AB中点的纵坐标为±

抛物线几何性质学案 篇2

性质1 (2001年全国高考题) 如图1, 设抛物线y2=2px (p>0) 的焦点为F, 经过点F的直线交抛物线于A, B两点, 点C在抛物线的准线上, 且BC//x轴.证明:直线AC经过原点O.

分析 此题可用代数方法证明三点共线, 即证kOA=kOC, 由于抛物线定义具有明显的几何性, 可考虑用平面几何中平行线分线段成比例的有关知识去证明.

证明 如图2, 过A作AD⊥l, D为垂足, 准线与x轴交于点E, 则AD//EF//BC, 连接AC与EF, 设它们相交于点N, 以下证明点N与O重合.

由平行线分线段成比例定理有:

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又由抛物线的定义有:|BC|=|BF|, |AD|=|AF|, ∴|EN|=|NF|, 即点N为线段EF的中点, 于是点N与点O重合, 故直线AC经过原点O.

点评 连接BD, 同理可证BD也经过原点O, 即直线AC与BD相交于原点O.而且性质1的逆命题为:设抛物线y2=2px (p>0) 的焦点为F, 经过点F的直线交抛物线于A, B两点, 连接AO, AO的延长线交抛物线的准线于C, 则BC∥x轴.我们也可证明此命题是真命题.

例1 (2009年湖北高考题改编) 如图3, 过抛物线y2=2px (p>0) 的焦点F的直线与抛物线相交于M, N两点, 自M, N向准线l作垂线, 垂足分别为M1, N1, 记△FM1M, △FM1N1, △FNN1的面积分别为S1, S2, S3, 求Sundefined与S1S3之比.

分析 利用解决解析几何问题常用的方法——方程的思想方法来解决.把直线的方程和抛物线的方程联立, 消去x, 得到关于y的一元二次方程, 再应用韦达定理.这种方法计算很复杂.

解 如图4, 记直线l与x轴的交点为F1,

则|OF|=|OF1|=p, 连接NM1, MN1,

由性质1知NM1和MN1经过原点O,

则MM1//NN1//FF1.

设|M1F1|=h1, |N1F1|=h2,

|MM1|=d1, |NN1|=d2,

则undefined

由平行线分线段成比例有undefined

undefined

undefined

, 得undefined, 即undefined

所以undefined

故Sundefined与S1S3之比为4.

点评 ①性质1还可推广至抛物线的非焦点弦的问题:过抛物线y2=2px (p>0) 的对称轴上一点A (a, 0) (a>0) 的直线与抛物线相交于M, N两点, 自M, N向直线l:x=-a作垂线, 垂足分别为M1, N1, 则M1N与N1M相交于坐标原点.

性质2 (2009年湖北卷文) 如图5, 过抛物线y2=2px (p>0) 的焦点F的直线与抛物线相交于M, N两点, 自M, N向准线l作垂线, 垂足分别为M1, N1, 求证:FM1⊥FN1.

分析 此题可用代数方法, 先证直线FM1与FN1的斜率之积等于-1, 从而得到FM1⊥FN1, 但代数方法运算量大, 注意到抛物线定义的几何特性, 可考虑用平面几何的基础知识和方法来证明.

证明 由抛物线的定义得

|MF|=|MM1|, |NF|=|NN1|,

∴∠MFM1=∠MM1F, ∠NFN1=∠NN1F.

如图, 设准线l与x轴的交点为F1,

∵MM1//NN1//FF1,

∴∠F1FM1=∠MM1F, ∠F1FN1=∠NN1F,

而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠N1FN=180°,

即2∠F1FM1+2∠F1FN1=180°,

∴∠F1FM1+∠F1FN1=90°,

故FM1⊥FN1.

性质3 如图6, 抛物线y2=2px (p>0) 的轴和它的准线l交于点E, 经过焦点F的直线交抛物线于P, Q两点, 则∠PEF=∠QEF.

分析 如果利用抛物线的定义和三角形相似来证明, 计算比代数法要简单得多, 给人一种意想不到的效果.

证明 如图7, 过P作PP′⊥l于P′,

过Q作QQ′⊥l于Q′,

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∴△PP′E相似于△QQ′E,

∴∠PEP′=∠QEQ′.

又 ∵l⊥x轴,

∴∠PEF=∠QEF.

例2 如图8, 设抛物线y2=2px (p>0) 的焦点为F, 准线与对称轴的交点为N, 过F作直线与抛物线交于P和Q, 并使∠NQP=90°, 过P作PM⊥x轴于M, 则PM=QM.

分析 本题可以用方程的思想来解决, 但计算繁琐, 若利用性质3和圆的性质可以轻松而巧妙的解决该题.

证明 由性质3, 得∠PNM=∠QNM.

∵PM⊥x轴于M,

∴∠PMN=∠PQN=90°,

∴P, N, Q, M在以PN为直径的圆上,

∴∠PNM=∠PQM, ∠QNM=∠QPM,

∴∠PQM=∠QPM,

∴PM=QM.

点评 ①其实性质3也可拓展到非焦点弦:抛物线y2=2px (p>0) 的对称轴上一点A (a, 0) (a>0) 的直线与抛物线相交于P, Q两点, 直线l:x=-a与对称轴的交点为E, 则∠PEF=∠QEF;②性质3还可以推广到其他的圆锥曲线.

参考文献