离散数学期末复习

离散数学期末复习（精选8篇）

离散数学期末复习 篇1

内容：第一章~第七章 题型：

一、选择题（20%，每题2分）二．填空题（20%，每题2分）

三、计算题（20%，每题5分）

四、证明题（20%，每题5分）

五、判断题（20%，每题2分）

第1章 数学语言与证明方法

1.1 常用的数学符号

1.计算常用的数学符号式子 1.2 集合及其表示法

1.用列举法和描述法表示集合

2.判断元素与集合的关系(属于和不属于)3.判断集合之间的包含与相等关系，空集(E)，全集()4.计算集合的幂集

5.求集合的运算：并、交、相对补、对称差、绝对补

6.用文氏图表示集合的运算 7.证明集合包含或相等

方法一： 根据定义, 通过逻辑等值演算证明

方法二： 利用已知集合等式或包含式, 通过集合演算证明

1.3 证明方法概述

1、用如下各式方法对命题进行证明。 直接证明法：AB为真

 间接证明法：“AB为真”  “ ¬B ¬A为真”  归谬法(反证法)： A¬B0为真

 穷举法： A1B, A2B,…, AkB 均为真

 构造证明法：在A为真的条件下, 构造出具有这种性质的客体B  空证明法：“A恒为假”  “AB为真” 平凡证明法：“B恒为真”  “AB为真”  数学归纳法： 第2章 命题逻辑

2.1 命题逻辑基本概念

1、判断句子是否为命题、将命题符号化、求命题的真值（0或1）。

命题的定义和联结词(¬, , , , )

2、判断命题公式的类型

赋值或解释.成真赋值,成假赋值；重言式(永真式)、矛盾式(永假式)、可满足式:。2.2 命题逻辑等值演算

1、用真值表判断两个命题公式是否等值

2、用等值演算证明两个命题公式是否等值

3、证明联结词集合是否为联结词完备集 2.3 范式

1、求命题公式的析取范式与合取范式

2、求命题公式的主析取范式与主合取范式（两种主范式的转换）

3、应用主析取范式分析和解决实际问题 2.4 命题逻辑推理理论

1、用直接法、附加前提、归谬法、归结证明法等推理规则证明推理有效 第3章 一阶逻辑

3.1 一阶逻辑基本概念

1、用谓词公式符号命题（正确使用量词）

2、求谓词公式的真值、判断谓词公式的类型 3.2 一阶逻辑等值演算

1、证明谓词公式的等值式

2、求谓词公式的前束范式 第4章 关系

4.1 关系的定义及其表示

1、计算有序对、笛卡儿积

2、计算给定关系的集合

3、用关系图和关系矩阵表示关系 4.2 关系的运算

1、计算关系的定义域、关系的值域

2、计算关系的逆关系、复合关系和幂关系

3、证明关系运算满足的式子 4.3 关系的性质

1、判断关系是否为自反、反自反、对称、反对称、传递的2、判断关系运算与性质的关系

3、计算关系自反闭包、对称闭包和传递闭包 4.4 等价关系与偏序关系

1、判断关系是否为等价关系

2、计算等价关系的等价类和商集

3、计算集合的划分

4、判断关系是否为偏序关系

5、画出偏序集的哈期图

6、求偏序集的最大元、最小元、极小元、极大元、上界、下界、上确界、下确界

7、求偏序集的拓扑排序 第5章 函数

1.判断关系是否为函数 2.求函数的像和完全原像

3.判断函数是否为满射、单射、双射 4.构建集合之间的双射函数 5.求复合函数

6.判断函数的满射、单射、双射的性质与函数复合运算之间的关系 7.判断函数的反函数是否存在，若存在求反函数 第6章 图

1.指出无向图的阶数、边数、各顶点的度数、最大度、最小度

2.指出有向图的阶数、边数、各顶点的出度和入度、最大出度、最大入度、最小出度最小入出度

3.根据握手定理顶点数、边数等

4.指出图的平行边、环、弧立点、悬挂顶点和悬挂边 5.判断给定的度数列能否构成无向图

6.判断图是否为简单图、完全图、正则图、圈图、轮图、方体图 7.求给定图的补图、生成子图、导出子图 8.判断两个图是否同构 6.2 图的连通性

1.求图中给定顶点通路、回路的距离

2.计算无向图的连通度、点割集、割点、边割集、割边 3.判断有向图的类型：强连通图、单向连通图、弱连通图 6.3 图的矩阵表示

1.计算无向图的关联矩阵 2.计算有向无环图的关联矩阵 3.计算有向图的邻接矩阵 4.计算有向图的可达矩阵

5.计算图的给定长度的通路数、回路数 6.4 几种特殊的图

1、判断无向图是否为二部图、欧拉图、哈密顿图 第7章 树及其应用 7.1 无向树

1.判断一个无向图是否为树

2.计算无向树的树叶、树枝、顶点数、顶点度数之间的关系 3.给定无向树的度数列，画出非同构的无向树 4.求生成树对应的基本回路系统和基本割集系统 5.求最小生成树 7.2 根树及其应用

1.判断一个有向图是否为根树

2.求根树的树根、树叶、内点、树高 3.求最优树

4.判断一个符号串集合是否为前缀码 5.求最佳前缀码

离散数学期末复习 篇2

一、开展全面的学情调查与分析,确定复习的重难点和关键

我们要做到期末复习的针对性,必须做好期末复习的一些重要工作,即对本学期教材的再梳理和再认识,对本学期教学重点、难点和关键点的再审视。此外,更重要的工作是,复习前要对全班同学本学期的学情情况进行一个全面的调查与分析,从而确定接下来复习的重点、难点和关键点,我们可以从以下两个方面进行。

1. 针对学生平时的学习情况进行全面分析

如果我们平时能注意收集和记录学生学习数学的情况,那就更好了。我们可以对本学期一个一个知识块的所有错题进行搜集、整理、统计分析,弄清是个别性错误、偶尔性错误还是普遍性错误,如果是普遍性错误,要弄清错误率,还要和教师指导后,学生练习时的错误进行对比,看正确率提高了多少。如果是普遍性错误,还要分析和反思错误的所有可能性,还应当再次翻阅前面每个单元测试的具体情况:错误率统计和分析,特别是对错误率比较的高知识点,我们必须重点加以关注和再分析学生出现问题的可能情况,并还要与后来的补救性练习后,学生的错误情况进行比较,了解学生的提升程度。

我们教师必须弄清,有些普遍性错误可能是暂时的,经过一段时间练习后,学生就能掌握了,如,一些计算性知识,但有的数学知识是需要学生长时间地练习、运用、感悟,才可能理解和掌握的。如,“比多(少)”实际问题的数量关系,分数的意义等。

2. 针对期末复习前测结果进行重点分析

只对学生平时的作业、单元检测的统计和分析还是不够的。因为,那只是在某一时间节点学生对某一个认知点的理解和掌握情况的了解,一个学期下来学生多个知识的叠加,再与以前的学习内容相互交织,可能会产生多种不可预测的“物理”或“化学”反应。原来学生不会和不理解的,由于受到新知识的启发和影响,现在学生可能会了,理解了。而原来学生会的和理解的,由于受到新知识的影响和干扰,或长时间不复习、不应用,现在又模糊了,又开始生疏了,不会了,产生误解了。

因此,在期末总复习前有必要根据学期教学目标、教学重点、以及上面对学生平时的学习情况分析,进行一个全面的期末复习前测,前测内容要全面,难度在中等偏下,要将学生平时和单元检测时错误率高的知识点重点考虑进去。检测后,要对前测进行全面的统计、整理、分析,要分析小学生对各块知识的目标达成情况,对教学重点的知识掌握情况,对难点知识的理解程度,要认真考虑学生平时和单元测试中高错误率知识点的现在状况。

最后,制定期末复习计划,确定复习重点、难点、关键点。弄清楚哪些知识学生还没有理解,还需要教师帮助,哪些知识点学生已经理解,还需要加以训练和巩固,哪些知识学生已完全达标,不必纠缠它了,腾出时间去解决学生普遍性存在的问题。当然,还应当考虑,今后哪些数学知识可以在本学期末复习中进行渗透和铺垫。

二、真正落实主体和主导地位,让学生先复习教师后指导

上面只是根据平时学情和前测情况的主观判断,复习计划也只是纸上谈兵,我们要做好提高复习质量的准备,还应当根据复习中随时出现的情况随时调整复习计划、复习内容、复习进度和复习策略。

1. 学生先整理,教师后帮助梳理

期末复习中,教师要有计划地让学生首先对一类知识复习整理,这符合学生的认识规律,也符合学生的学习现状,因为复习的所有数学知识,都是学生前面学习过的,不是陌生的。让学生先进行复习整理,给学生重新进行知识重组提供机会,给那些还不太理解,掌握得不太熟练,或理解不太全面等情况的学生再学习和再认识的时间,给那些理解和掌握较好的学生展示学习成果和提高学习信心的机会。当然,更给我们教师自己再次了解学生的机会,为下一步有针对性地帮助学生梳理知识脉络、重建知识组块、找准切入点做好了准备。

2. 学生先练习,教师再进行点拨

期末复习,更多的是让学生原有的认知结构更优化,让点状的知识组成线,让线状的知识组成网,是为学生以后在运用这些知识时容易提取,便于应用。所以,期末复习时组织学生练习(应用)极其重要。让学生先练习,教师再进行点拨,和前面提的让学生先进行整理一样,学生先行练习,在练习中,我们有时间巡视,容易发现普遍性问题,为后面针对性的指导提供帮助,也有利于我们教师发现学生的个别问题,为特殊的个别辅导提供时间和空间。

不论是学生先进行整理,还是先行练习,紧接着的都应该留给学生互动、展示和提问的时间。学生交流、学生展示、学生质疑,生生互评,不但可以培养小学生的表达能力、思维能力、提出问题能力,还可以培养学生创新意识和合作意识,同时还为学生创造了“巅峰体验”,从而提高小学生学习数学的信心。当然,更多地也为教师更有针对性的现场指导提供契机。

摘要：小学数学期末复习的作用毋庸置疑,但不少复习课要么讲风太盛,要么题海战术,要么以考代练,要么面面俱到,没有重点,特别缺乏复习的针对性。期末复习必须具有针对性,要做到复习的针对性,就要了解学生平时和现在的学习状况,还应当重视复习的策略,并随时关注学生复习中的状态。

八年级数学期末复习检测题 篇3

1.若关于x的方程-=0有增根，则m的值是（）。

A.－2B.2C.5D.3

2.若+=，则+=的值为（）。

A.1B.-1C.0D.2

3.下列命题正确的是（）。

① 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

② 平行四边形、矩形、等边三角形、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形

③ 旋转和平移都不改变图形的形状和大小

④ 底角45°的等腰梯形，高是h，则腰长是h

A.全对B.①②④C.①②③D.①③④

4.小明家刚买了一套新房，准备用地板砖密铺新居厨房的地面，若只用一种正多边形的地砖密铺，则下列正多边形中不适用的是（）。

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

5.正比例函数y=x与反比例函数y=的图像相交于A、C两点。AB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，则四边形ABDC的面积为（）。

A.1B.C.2D.

6.若点（-2，y1）、（1，y2）、（3，y3）都在反比例函数y=-的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（）。

A.y1

7.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2,则斜边长为（）。

A.80cmB.30cmC.90cmD.120cm

8. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形（如图1），其中正确的是（）。

9. 某市为处理污水需要铺设一条长为4 000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务。设原计划每天铺设管道x米，则可得方程（）。

A.-=20B.-=20

C.+=20D.-=20

10.某品牌皮鞋店销售不同尺码的同种品牌男鞋，采购员再次进货时，对于男鞋的尺码，他最关注下列统计资料中的（）。

A.众数B.中位数C.加权平均数D.平均数

二、填空题

11.把命题“平行四边形的两条对角线互相平分”改写成“如果…，那么…”的形式是______________________。

12.若分式无意义，则x的值为____________。

13.已知=+（所有字母均不为零），则R=________。

14.将n个边长都为1cm的正方形按如图2所示的方法摆放，点A1、A2…An分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为____________cm2。

15.如图3是某广告公司为某种商品设计的商标图案，若图中每个小正方形的面积都是1，则阴影部分的面积是______。

16.如图4，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，

（1）如在所给的网格内画出以线段AB、BC为边的菱形ABCD，则点D的坐标是_________。

（2）线段BC的长为_______，菱形ABCD的面积等于__________。

三、解答题

17.某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加。按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据(单位：个)。经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可以将数据中的其他信息作为参考。

请你回答下列问题：

（1）根据上表提供的数据填写下表：

2）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班?简述理由。

18.已知：（1）＝， （2）+＝，

（3）++＝，

……

（1）请按以上规律写出第4个等式；

（2）请按以上规律写出第n个等式，并说明理由。

19.甲、乙两地相距300km，一辆货车与一辆轿车都从甲地开往乙地，货车比轿车早出发5小时，轿车比货车晚到30分钟，已知轿车与货车的速度比为5∶2。

（1）求两车的速度。

（2）由于石油资源紧缺，97＃汽油价由原来的3.15元/升涨到现在3.40元/升，若该辆货车行驶100公里耗油10升，每天在甲、乙之间往返一次，则该辆货车现在一个月（30天）用油款比原来多多少元？

20.如图5，若反比例函数y=与一次函数y=mx-4的图像都经过点A（a，2）。

（1）求点A的坐标；

（2）求一次函数y=mx-4的解析式；

（3）设O为坐标原点，若两个函数图像的另一个交点为B，求△AOB的面积。

21. 如图6所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16。动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。

（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形。

苏州大学离散数学期末试卷 篇4

一、名词解释

1、等势：

2、阿贝尔群：

3、偏序关系：

4、命题：

5、平面图：

二、求(p∧r)∨(p←→q)的主析取和主合取范式。

三、符号化下面的命题并推证其结论。

任何人如果他喜欢音乐，他就不喜欢美术，每个人或者喜欢美术或者喜欢体育，有的人不喜欢体育。所以存在有人不喜欢音乐。

四、证明：

1）A∩（A∪B）＝A 2）若关系R是对称和传递的，试证明R°R=R。

五、已知映射f和g，f和g都是双射，试证明f°g也为双射。

六、证明：[0,1]是不可数的。

七、设是一个分配格，那么，对于任意的a，b，c∈A,如果有：

a∧b＝a∧c，a∨b＝a∨c 成立，则必有b＝c。

八、有关独异点的证明，证明某一代数系统是可交换的独异点。

九、简单无向图G，有N个结点，N+1条边，证明G中至少有一个结点的次数大于等于3。

十、简述欧拉定理，并证明该定理成立。

大学离散数学复习试题 篇5

一、选择题

1．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列各式中____D______是错的。

A、A； B、{6，7，8}A； C、{{4，5}}A； D、{1，2，3}A。

2.已知集合A={a,b,c},B={b,c,e},则 A⊕B=___C___________ A.{a,b} B={c} C={a,e} D=φ

3.下列语句中，不是命题的是____A_________ A.我说的这句话是真话； B.理发师说“我说的这句话是真话”； C.如果明天下雨，我就不去旅游； D.有些煤是白的，所以这些煤不会燃烧；

4.下面___D______命题公式是重言式。

A.PQR ； B.(PR)(PQ)；C.(PQ)(QR)；

D、(P(QR))((PQ)(PR))。

5.公式(p∧q)∨(p∧～q)的主析取范式是____B_______ A.m1∨m2 B.m2∨m3 C.m0∨m2 D.m1∨m3

6．设L(x)：x是演员，J(x)：x是老师，A(x , y)：x钦佩y，命题“所有演员都钦佩某些老师”符号化为___D______。

A、x(L(x)A(x,y))； B、x(L(x)y(J(y)A(x,y)))； C、xy(L(x)J(y)A(x,y))； D、xy(L(x)J(y)A(x,y))。7.关于谓词公式（x）(y)(P(x,y)∧Q(y,z))∧(x)p(x,y),下面的描述中错误的是__B_____ A．（x）的辖域是（y）（P（x,y）∧Q(y,z)）

B．z是该谓词公式的约束变元

C．（x）的辖域是P（x,y）D．x是该谓词公式的约束变元 8． 设SAB，下列各式中____B___________是正确的。

A、domSB ； B、domSA； C、ranSA； D、domS  ranS = S。9．设集合X，则空关系X不具备的性质是____A________。

A、自反性； B、反自反性； C、对称性； D、传递性。

10.集合A，R是A上的关系，如果R是等价关系，则R必须满足的条件是__D___ A.R是自反的、对称的 B.R是反自反的、对称的、传递的 C.R是自反的、对称的、不传递的 D.R是自反的，对称的、传递的 11.集合A={a,b,c,d},B={1,2,3},则下列关系中__ACD______是函数

A.R={(a,1),(b,2),(c,1),(d,2)} B.R={(a,1),(a,2),(c,1),(d,2)} C.R={(a,3),(b,2),(c,1)} D.R={(a,1),(b,1),(c,1),(d,1)} 已知集合 RA,且R={(1,2),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1)},则顶点2的入度和出度分别是___D_______ A.2,3 B.2,4 C.3,3 D.3,4 13.设完全图Kn有n个结点(n≥2)，m条边，当下面条件__C____满足时，Kn中存在欧拉回路．

A．m为奇数 B．n为偶数 C．n为奇数 D．m为偶数 14.下面叙述正确的是____B______ A.二部图K3,3是欧拉图 B.二部图是平面图

K3,3是哈密尔顿图

C.二部图 K3,32

D.二部图K3,3是既不是欧拉图也不哈密尔顿图

15.已知某平面图的顶点数是12，边数是14，则该平面图有__D___个面 A.3 B.2 C.5 D.4 16．设G是n个结点、m条边和r个面的连通平面图，则m等于___A____。

A、n+r-2 ； B、n-r+2 ； C、n-r-2 ； D、n+r+2。17.下面几种代数结构中，不是群的是___D____ A. B. C. D.(这里Z，Q，R，N分别表示整数集、有理数集、实数集、自然数集，+普通加法)

二、问答题

1.在程序设计过程中，有如下形式的判断语句： if(a>=0)if(b>1)if(c<0)cout<

请将这段程序化简，并说明化简的理由。解：简化的程序：

if(a>=0 && b>1 && c<0)cout<

设置命题变量： p: a>=0；q:b>1;r:c<0;s:cout<

A=P→(q→(r→s))经过等值演算可得，A与下面的公式是等值的 P∧q∧r→s

2.集合A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }，R={(x,y)| x|y}, ①证明R是偏序关系。

②写出偏序集（A，R）的极小元、极大元；最小元、最大元 ③写出A的子集B={1,2,3,6}的最小上界、最大下界

解：①根据整除性质可知，R满足自反性，反对称性，传递性。所以R是A上的偏序关系。

②偏序集（A，R）的极小元：1，极大元：5, 6，7，8，9 最小元：1； 最大元：无

③子集B={1,2,3,6}的最小上界：6 子集B={1,2,3,6}的最大下界：1

3.(1)m个男孩子，n个女孩排成一排，任何两个女孩不相邻，有多少种排法？

(n<=m)插空问题

(2)如果排成一个园环，又有多少种排法？

解：(1)考虑5个男孩，5个女孩的情况

男孩的安排方法： _B_B_B_B_B_ 排列总数P(5,5)女孩的安排方法：6个位置安排5个女孩，排列中数 P(6,5)所以：总的排列方法数是 m!*p(m+1,n)

(2)考虑男孩的圆排列情况，结果是(m-1)!*p(m,n)

4.某商家有三种品牌的足球，每种品牌的足球库存数量不少于10只，如果我想买5只足球，有多少种买法？如果每种品牌的足球最少买一只，有多少种买法？

解：①这是一个多重集的组合问题

类别数是k=3，选取的元素个数是 r=5 多重集组合数的计算公式是 N所以：N=C(3+5-1,5)=c(7,5)=21 ②可自由选取的球只有2个 k=3,r=2 N=C(3+2-1,2)=C(4,2)=6

(rk1)!C(kr1,r)

r!(k1)!

5．某软件公司将职工分为三种岗位。该公司65人，有些职工（例如项目管理人员、设计人员）可能从事不止一个岗位的工作。每个职工至少被分在一个岗位。现在软件设计岗位（岗位A）（包括需求分析、概要设计和详细设计等工作）的人数是15人，代码编写岗位（岗位B）的人数是32人，软件测试岗位（岗位C）的人数是28人，同时参加岗位A和岗位B的有12人, 同时参加岗位B和岗位C的有8人, 同时参加岗位A和岗位C组的有3人，问，三个岗位参加的有多少人？

解： 已知 |A|=15，|B|=32，|C|=28，|A∩B|=12，|B∩C|=8，|A∩C|=3 设S表示全班同学总人数，则 |S|=65 求：|A∩B∩C|=？

根据容斥原理：

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C| 所以|A∩B∩C|=|A∪B∪C|-|A|-|B|-|C|+|A∩B|+|B∩C|+|A∩C| 因为每个同学至少参加一个小组，所以：|A∪B∪C|=|S| 因此：|A∩B∩C|=65-15-32-28+12+8+3=13 答：三个小组都参加的人数是13人

6.证明组合恒等式C(n,r)= C(n-1,r-1)+ C(n-1,r)

说明：也可以直接利用组合演算公式进行演算 7.求1228的个位数是多少? 解：1228的个位数就是1228 mod 10的余数1228mod10(12mod10)28mod1024*7mod10(27mod10)4mod108mod1064

8.已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于2, 问G至少有多少个顶点?

解：由握手定理∑d(v)=2m=20，度数为3的顶点有3个占去12度，还有8度由其余顶点占有，而由题意，其余顶点的度数可为0，1，当均为1时所用顶点数最少，所以应有8个顶点占有此8度，即G中至少有8+4=12个顶点。

9刑侦人员审一件盗窃案时，已经掌握的线索如下：（1）甲或乙盗窃了电脑。

（2）若甲盗窃了电脑，则作案时间不能发生在午夜前。（3）若乙证词正确，则在午夜时屋里灯光未灭。（4）若乙证词不正确，则作案时间发生在午夜前。（5）午夜时屋里灯光灭了。

请通过命题逻辑推理，推论出谁是真正的盗窃犯？（写出详细的推理步骤）解 设p： 甲盗窃了电脑，q： 乙盗窃了电脑，r： 作案时间发生在午夜前，s： 乙证词正确，t：午夜时屋里灯光灭了。

前提： p∨q，p→~r，s→~t，~s→r，t(7)非p。。

10.插入排序算法的时间T与数据规模n的递推关系如下，求出T与n的显示关系表达式

T(n)T(n1)n1 T(1)0

解：

T(n)T(n1)n1 T(n2)n2n1T(n3)n3n2n1 T(nk)nkn2n1T(nk)kn-(12k)k(k1)T(nk)kn2令n-k=1，那么 k=n-1，所以：

n(n1)n(n1)n(n1) T(n)T(1)0222答：T与n的显示关系是：T(n)

11.解下列一阶同余方程组

n(n1)2x1(mod 3)x2(mod 4)x3(mod 5)解：已知a11,a22,a33;m13,m24,m35 方程组的齐次通解是：xkLcm(1,2,3)6k 60k 根据中国剩余定理，特解是：

x0a1M1(M1mod m1)a2M2(M2mod m2)a3M3(M3mod m3)M1m2m320,M2m1m315,M3m1m212 111M1mod m1是下列同余方程的解

3)，解得：x=2，即M12 M1x1(mod m1)即20x1(mod11同理可解得：M23，M33 11 7

x0a1M1(M1mod m1)a2M2(M2mod m2)a3M3(M3mod m3)mod m（120221533123）mod 60111所以：(4090108)mod 60238mod 6058

同余方程组的解是 xxx06k58 60k

12.假设需要加密的明文数据是a=8,选取两个素数p=7,q=19,使用RSA算法： ① 计算出密钥参数

② 利用加密算法计算出密文c ③ 利用解密算法根据密文c反求出明文a 解：① 取 p=7,q=19;计算 n=p*q=7*19=133 计算φ(n)=(p-1)*(q-1)=(7-1)*(19-1)=108 选取较小的数w,使w与108互质, 5是最小的,于是w=5 计算d,使d*w≡1(mod φ(n)),即d*5 mod 108=1,取d=65，d*5除以108余数为1, 于是算出d=65 至此加密、解密参数计算完成：

公钥w=5,n=133.私钥d=65,n=133.② 加密

cmwmodn85mod133((82mod133)*(83mod133))mod133

(64*113)mod13350③ 解密

acdmodn5065mod133

aA0A6 其中，A050, Ai(Ai1)2

根据上述递推公式可以计算出：A1502mod133106,A21062mod13364

A3642mod133106，„„, A61062mod13364 aA0A6(50*64)mod1338

解密后的明文与原来的明文是相等的，所以算法正确。

13.设A={1，2，3，4，6，9，12，24},R定义为R{(a,b)|ab(mod 3)}，（1）证明R是一个等价关系；（2）写出A的商集；

14.基于字典序的组合生成算法

问题说明：假设我们需要从5个元素中选取3个的所有组合，已知组合个数为 C（５，３）＝１０，按字典序，其具体组合为： 123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 所谓按字典序生成组合，就是已知当前的组合（例如135），求下一个组合（例如，145）。下面给出算法的函数头：

//数组s[]:函数运行前，保存当前的组合，函数结束后，是新生成的下一个组合 //n,r:表示从n个元素中选取r个元素的组合 void next_comb(int s[],int n,int r)解：

void next_comb(into s[],int n,int r){

int j,m,max_val;

max_val=n;

m=r;

while(s[m]==max_val)

{

m=m-1;

max_val=max_val-1;

}

s[m]=s[m]+1;

for(j=m+1;j

s[j]=s[j-1]+1;}

离散数学期末复习 篇6

答案及评分细则

课程名称： 离散数学 考试形式： 闭卷 考试日期：2013 年 月 日 考试时长：120分钟

I.Multiple Choice(15%, 10 questions, 1.5 points each)C, C, B, A, B, B, D, A, B, C II.True or False(10%, 10 questions, 1 point each)F, T, T, T, F, F, F, F, T, F

III.Fill in the Blanks(20%, 10 questions, 2 points each)27=128, [-1,1], (aa)(bb)(cc)(ab)(ba), (12)(23)(33)(42), Some tests are easy, gcd（45，12）=3=12  4  45 (1), 6!, 52, ∀x ∃y(xy <>0), {(a,b)2|ab}

IV.Answer the Questions(35%,7 questions, 5 points each)： 1．

(1 point for each row)

2.Ans:(a)0123

(3points)

(b)[612).(2points)113.Ans: 001110011100.(one entry 1 point)114.Ans:

(one point for each step)

5.Ans: Encrypted form: CTOA.(one character 1 point)6.Ans: 5  11k.(the inverse of 5 module 11 is 9, 3 points, the result 2 points)7.Ans: The graphs are isomorphic(2 points): A–7, B–4, C–3, D–6, E–5, F–2, G–1.(3 points)

V.(6%)

(a)R is reflexive:(a, b)and(a, b)lie on the same line through the origin, namely on the line y = bx/a(if a≠0), or else on the line x = 0(if a = 0).(1 point)

R is symmetric: if(a, b)and(c, d)lie on the same line through the origin, then(c, d)and(a, b)lie on the same line through the origin.(1 point)R is transitive: suppose(a, b)and(c, d)lie on the same line L through the origin and(c, d)and(e, f)lie on the same line M through the origin.Then L and M both contain the two distinct points(0, 0)and(c, d).Therefore L and M are the same line, and this line contains(a, b)and(e, f).Therefore(a, b)and(e, f)lie on the same line through the origin.(1 point)Note: The proof that R is an equivalence relation can be carried out using analytic geometry: if(a, b)and(c, d)lie on the same nonvertical line through the origin, then the slope must equal b/a because the line passes through(0, 0)and(a, b)and the slope must also equal d/c because the line passes through(0, 0)and(c, d);thus, b/a = d/c, or ad = bc.If(a, b)and(c, d)lie on the same vertical line through the origin, then the points must have the form(0, b)and(0, d), and again it must happen that ad = bc.Therefore,(a, b)R(c, d)means that ad = bc.This equation can be used to verify that R is reflexive, symmetric, and transitive.(b)Each equivalence class is the set of points of A on a line of the form y = mx or the vertical line x = 0.(2 points)(c)If A is replaced by the entire plane, R is not an equivalence relation.It fails to satisfy the transitive property;for example,(1, 2)R(0, 0)and(0, 0)R(2, 2), but(1, 2)R(2, 2)because the line passing through(1, 2)and(2, 2)does not pass through the origin.(1 point)

VI(7%)

Using the variables: p: Lynn works part time;f: Lynn works full time;t: Lynn plays on the team;b: Lynn is busy, the argument can be written in symbols:

(3 points)If p∨f;t →p;t → b;f Then b

(1 point)One method to find whether the argument is valid is to construct the truth table:

We need to examine all cases where the hypotheses(columns 5, 6, 7, 8)are all true.There is only one case in which all four hypotheses are true(row 5), and in this case the conclusion is also true.Therefore, the argument is valid.(3 points)Alternately, rules of logic can be used to give a proof that the argument is valid.We begin with the four hypotheses and show how to derive the conclusion, b.1.p∨f;premise 2.t →p premise 3.t → b premise 4.f premise 5.p disjunctive syllogism on(1)and(4)

(1 point)6.p → t contrapositive of(2)

7.t modus ponens on(5)and(6)

(1 point)8.b modus ponens on(7)and(3)

(1 point)

VI I(7%)

Ans: {a} {a, b} {a, b, c}

《离散数学》教学方法探讨 篇7

合理调整、安排教学内容

由于高校的持续扩招, 生源的素质和基础已是今非昔比。《离散数学》的教学内容多且抽象, 其教授过程即使在学生情况很好的时候一般也要花100左右学时。为了给学生减负, 目前课时已被压缩到了64学时, 加之大班化教学、时间又是安排在一年级第二学期, 其结果就可想而知了。

鉴于以上原因, 笔者根据实际情况对教学内容进行了取舍, 力争让学生在较少的学时内, 实实在在地掌握《离散数学》的基本理论和思想方法, 而不再过分拘泥于具体的内容。在这64学时内, 只安排了数理逻辑、集合论、关系和图论等基本内容, 满足了绝大部分学生的实际条件和需要, 学生反映非常不错。对于更加抽象的代数系统、格和布尔代数等内容则放在了三年级时作为选修课开设, 并定为32学时。那些有进一步学习要求、特别是有考研愿望的学生可以参加选修。如此一来, 分散了教学的难度, 使得教师在各个阶段都比较容易掌控教学进程, 既保证了相关后续课程的学习不受影响、又不会给大部分同学造成不必要的负担, 同时还保证了有兴趣和能力的同学有深入学习的机会, 可算是三全其美。

采用形式多样的教学方法

概念多、内容抽象是《离散数学》固有的特点, 如果完全使用传统的、单调呆板的课堂教学方法, 很难唤起学生的学习兴趣和热情, 必须更新教学观念, 改进教学方法, 激发学生学习的兴趣, 这样才能改善教学效果。

1. 认真重视课堂教学。

由于课堂教学是全日制本科教学的最主要的形式, 也是《离散数学》教学的最重要的环节, 所以必须结合课程特点、充分利用好课堂内的时间, 以达到最好的效果。

2. 讲解速度快慢得当。

对于刚刚接触《离散数学》的学生来说, 课程中的一系列思考问题、处理问题的方式和方法同他们以前接触的数学方法是很不同的, 此时如果按照正常的教学进度进行的话, 势必造成绝大部分学生疲于应付, 一般达不到非常好的教学效果。

为此, 笔者在具体讲授时, 基本是依据知识的难易程度和学生对该类知识的熟悉程度来分配时间。比如“命题逻辑”开头的内容其实并不很难, 但由于学生是初次接触这类知识, 接受速度不会太快, 而这些基本的概念对于此章以及“谓词逻辑”的学习有着非常重要的意义, 所以我们安排了比较多的时间, 做了细致的讲解, 使学生对相关基本概念有了很好的掌握。又如“集合论”基本内容是学生已经熟知的, 因此只花较少时间复习了一下重点概念, 基本没有影响后续内容的学习。

3. 提高课堂教学表现力。

教书是艺术, 讲台就是舞台, 教师是导演和演员, 备课内容是剧本, 讲台下的学生则是观众。演出效果的好坏与剧本的选择、导演操控能力以及演员的表演才能都有着非常大的关系。由于初学时大部分学生认识不到《离散数学》对计算机专业的重要性, 加上课程内容本身较难, 上课容易开小差, 教师授课时采用了具有感染力的讲授方式来吸引学生的注意力, 充分发挥了教师的主导作用, 驾驭好课堂时间, 增强了课堂教学效果。

4. 培养学生的学习兴趣。

兴趣是学习最有效的动力, 兴趣可以使学习从被动转为主动。在具体讲解时, 我们将《离散数学》知识的应用场景都解释清楚, 让学生充分认识到这门课程在计算机科学中的重要性。同时, 将计算机学科中最基本研究思路及研究方法传授给了学生, 着力培养学生的抽象思维能力, 增强他们对《离散数学》在计算机专业的地位的认识, 从而提高了他们学习的主动性和自觉性。

5. 注重师生间互动和双向交流。

课堂上我们注重了师生间的互动, 多采用提问式、疑问式、反问式的语句。同时, 为了随时检验课堂内容的教学效果, 在课堂教学过程中, 也适当地请学生上黑板上来做题, 并且由其它学生对该同学在黑板上做出的结果进行批改, 以此充分调动学生的学习积极性, 实现双向交流, 提高了学生的听课效率。

6. 适时小结。

《离散数学》内容多、前后依赖性强, 学生一节课的疏忽可能就会影响之后的听课兴趣, 因此必须经常进行小结。《离散数学》一般都会安排两节课连续上, 第一节课开始会对上一次课的内容进行小结, 第二节课开课前会对第一节课的内容进行小结。每节、每章讲完后也适当进行小结, 总结了应该掌握的知识点, 给同学们一个总的印象, 让同学们在小结中进行自我评价、自我提高。

7. 重视习题和习题课的安排。

在课堂上学习的知识要通过一定的练习来巩固, 《离散数学》课程的作业尤其重要。每次课后都会安排一些习题, 并强调独立完成, 反复申明练习是一个双向检查的过程, 不光是在检查学生学习的情况, 也是检查教师教学效果, 学生有责任真实地反映实际的情况。

在认真批改学生作业的基础上, 我们不断总结课堂教学情况, 对于错误比较多的题目, 及时进行了讲解, 必要时还选择重讲相关内容。另外, 在计划教学进度时适当地设置一些时间给习题课, 并灵活安排在恰当的时候, 一方面总结阶段学习的情况, 另一方面解决习题中集中出现的严重问题。此外, 还准备一些综合性的习题给学生练习, 让学生的认识有更进一步的提高。

合理运用多媒体教学手段

《离散数学》的相关专题都是建立在大量的定义、定理基础上的, 我们采取了多媒体的手段制作课件, 这样既能用更加生动直观的图、表来表达内容, 又可以让老师从大量的板书中摆脱出来, 有更多机会与学生进行互动和交流。另外, 对于有些章节, 如“图论”部分, 使用了动画制作技巧后, 可以非常简单、生动地将图形的变化过程描述清楚, 而以往则需要老师口干舌燥地解释半天, 也未必能达到理想的效果。

充分利用网络教学手段

当今时代, 网络上视频教学材料、教案、习题等各种教学资源应有尽有, 我们充分地利用这些资源, 提高了自身的业务素质, 从而能更好地进行离散数学的教学组织活动及教学改革实践。此外, 我们还积极引导学生主动利用这些网络资源, 并学会在网络环境中与老师、学长以及其他网友进行有关问题的交流, 解决自己的疑难问题。

离散数学期末复习 篇8

【中图分类号】G？摇 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）01A-

0109-02

每到期末复习，总有许多低年级的老师发出这样的感叹：“真累。”“学生根本听不进去。”……其实不只是老师累，学生也很烦。究其原因主要有两方面：一是学生觉得自己已经学过了，什么都懂了，所以不想听课；二是许多老师没有注意复习的方法，常炒旧饭，机械地做练习。尤其是数学课，往往是不停地讲、练、考，反反复复，久而久之，学生就会对期末复习课产生厌恶感。同时，由于低年级学生年龄小，在他们心目中几乎没有“复习”这个概念，不懂得复习的重要性。种种原因，决定了在低年级开展数学复习的难度，上复习课也就成了低年级数学教师最头疼的事情。如何上好低年级数学期末复习课？通过多种复习方法来提高其有效性应成为我们每一位教师思考的问题。笔者就自己的教学探索与同行们交流探讨。

一、巧设疑，让学生把复习课看成是一种需要

心理学认为，学习需要是学习动机的一种重要的内在激活因素，是学生学习积极性的源泉，对学生的学习活动起着重要的推动作用。由此可见，只有当复习成为学生的一种需要时，它才会促使学生自觉地复习，变“要我复习”为“我要复习”。作为数学教师，怎样使学生认为每节复习课都是一种需要呢？笔者认为，巧设疑难是一个很好的方法，即让学生在教师所设计的难题中有一种“我对这部分知识还掌握得不够好，需要再进一步复习巩固”的感受。

如，在复习人教版三年级数学上册《分数的初步认识》时，根据笔者对学生所掌握知识程度的了解，如果只是出一些简单的看图写分数、比较分数大小、计算分数加减法让学生做练习，学生一定没有什么兴趣。于是笔者决定先出两道有一定难度的题目来激起他们“想复习”的需要，然后再引导学生整理复习这个单元。这两道题目是这样的：①仔细观察下图，说出图中的涂色部分占大长方形的几分之几？②一瓶橙汁，妈妈喝了■，小明喝了■，还剩多少？只有少数几个学生经过作图分析后得出了答案，而大部分学生则不知从何下手解决。于是笔者顺理成章地说：“恭喜能答对的同学，这么难的题目都没能难倒你们。其他同学想不想像他们一样很快想出答案呢？”学生一致回答：“想！”“等一下我们对《分数的初步认识》这个单元进行复习后，你准也有办法解决它。”经过这一有坡度的练习设计，不仅使学生知道自己对分数还有许多不懂的地方，还能促使他们把复习转化成自己的一种内在需要。

二、巧激趣，激发学生的复习兴趣

“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”。想让学生“乐之”，就需要激发学生的复习兴趣。当学生对复习课有了兴趣，便有一种内在的、强有力的力量推动他们积极地复习，使复习更有效。为此，我们应做到以下几点：

（一）采用灵活多样的复习方式唤起学生的复习热情

低年级学生常常认为“自己早就学过了，已经懂了”。所以上复习课时，他们常表现出极大的“冷漠”，似乎“事不关己”，常在课堂上做自己的事情。怎样才能唤起学生复习的热情呢？关键是教师要想方设法采取灵活多样的复习方式。如，可以开展小组间的竞赛活动、知识抢答活动等。更重要的是教师要摒弃“一言堂”的坏习惯，可以让学生小组间合作交流、同桌“一帮一”等，甚至还可以请一些学生当小老师来讲解某些题目或知识点，学生在讲解过程中加深了对一些知识点的理解，其余学生也饶有兴趣地听，达到了复习巩固的目的，可谓一举两得。一节复习课里，不同的复习方式穿插使用，可以让学生在动脑、动手、动口中始终保持复习的热情。

（二）增强复习内容的新颖性，吸引学生的注意力

在复习过程中，我们应采取多种有效方法吸引学生的注意力，努力提高复习课的效益。由于低年级学生容易对新鲜事物产生好奇，增强复习内容的新颖性就显得尤为重要。我们都知道，复习课不是旧知识的简单再现和机械重复，当然也不同于新授课和练习课。因此，复习课既要上出“复习的味儿”，又要体现出“新味儿”。

例如，在复习人教版一年级数学上册《20以内的进位加法》时，笔者是这样进行的：（1）让学生自己写出得数是11～20的加法算式，比一比谁写得多。（2）小组合作：有规律地排列算式，整理出进位加法表。（3）汇报本小组所排列的算式有什么规律。（4）变式练习：①听算（老师讲算式，学生写得数）；②同桌各出10个加法算式互考；③把算式按要求排列；④速算比赛等。在这里，复习不再是知识的回忆和再现过程，更不是知识、技能在低层次上简单重复，而是教师引导学生自主整理，促使知识系统化的过程，是学生认知结构得以拓展和延伸、综合应用能力得以提升的过程。在这一过程中，学生的注意力始终保持高度集中，在教师的引导中不知不觉地整理复习了《20以内的进位加法》。

（三）采用以激励为主的评价方式，充分调动学生复习的积极性

在期末复习过程中，大部分学生经过复习对所学的内容基本达到熟能生巧的地步，而少数学生由于学习能力问题，尽管多次讲、练、考、改，还是不尽如人意。这时，作为教师如果不注意采取以激励评价为主的复习方式，“优生”会认为自己什么都懂了，失去复习的兴趣；而“潜力生”则因学不会，丧失了复习的信心。当两者都没有了复习的积极性时，那我们还组织期末复习有什么意义呢？因此，教师应在复习中给予学生正确、恰当地表扬和鼓励，哪怕是上课过程中一个期待的眼神、一个宽容的微笑、一朵小红花、一颗智慧星，都能充分调动学生复习的积极性，尤其是对待学习较吃力的学生，应适当降低标准，侧重表扬，鼓励其进步，学生在教师的热情鼓励和真诚赞赏中始终处于积极的复习状态中，对所学的内容就会掌握得很好。

三、巧讲评，让学生真正领悟到自己测验和练习中错误的地方

复习过程中，讲评练习和测验试卷是一个很重要的环节，如何让学生做到专心地倾听讲评，达到使其自省自悟的目的，这需要我们教师花一番心思构思讲评的方式和窍门，方法得当、窍门对路，学生则会听得津津有味。如，学生做完练习后，教师讲评时，就可以同桌交换改，这样的效果比学生自己改要好许多，因为学生在改作业时，他要认真听才知道同桌做得对不对，否则容易改错，这样就无形中促使学生去专心听老师讲评。当然，互改前我们一定要提出要求，如要做到不能改错，比一比谁是合格的小老师等。

又如，测验试卷的讲评，如果教师把批改好的试卷发到学生手中，然后一题一题地讲评，那教师肯定会白忙活一场，毕竟是低年级的学生，他们的注意力多半放在自已的分数上，没顾及错误的地方，大多数学生认为自己已经会了，所以也根本听不进去。笔者认为可以采取两种方式：一是教师批改完试卷后，归纳整理出共性的错误，把这些错题抄到小黑板上，然后重点讲评，再发试卷给学生改正错误；如果只是个别学生弄不明白的，可以个别指导。二是学生测试结束后，教师先不批改，把在考试过程中发现的共性错误拿出来讲评，这种先讲评，后改正，最后批改的方式特别适合低年级学生，学生为了考取好成绩，他们会很认真地听。当然，讲评完后，黑板上的答案必须擦掉，否则会让学生养成一种抄答案的坏习惯，而且要讲明只能自己改正，不允许讨论。实践证明，这两种讲评的方式都很受低年级学生的欢迎，达到了在乐中复习，在复习中有所收获的目的。

总之，教师只有充分调动学生学习的主动性，让学生成为课堂教学的发现者、探索者，对课堂活动积极参与，对问题积极思考和主动探索，才能帮助学生在复习过程中真正理解和掌握基本的数学思想和方法。也只有这样，我们的期末复习才能有效地进行。