10考研高等数学强化

10考研高等数学强化（共6篇）

10考研高等数学强化 篇1

09考研高等数学第三章

新东方考研高等数学电子教材

主讲：汪诚义

欢迎使用新东方在线电子教材

教材说明：本教案是针对新东方在线使用的内部讲义，本讲义按章节提供。根据老师的意见，例题的解题步骤不给提供，在课件的板书上有显示，学员自己可以先做题目再听 老师的讲解效果会更好。

严禁翻印、在上网任意传播！

第三章

一元函数积分学

§3.1 不定积分

（甲）内容要点

一、基本概念与性质

1．原函数与不定积分的概念

设函数fx和Fx在区间I上有定义，若Fxfx在区间I上成立。则称Fx为fx在区间I的原函数，fx在区间I中的全体原函数成为fx在区间I的不定积分，记为fxdx。

原函数：

其中fxdxFxC

称为积分号，x称为积分变量，fx称为被积分函数，fxdx称为被积表达式。

2．不定积分的性质

设fxdxFxC，其中Fx为fx的一个原函数，C为任意常数。新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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则（1）FxdxFxC或dFxFxC或d[F(x)C]F(x)C 

（2）fxdxfx或dfxdxfxdx

fxgxdxfxdxgxdx

（3）kfxdxkfxdx

（4）3．原函数的存在性

一个函数如果在某一点有导数，称为可导；一个函数有不定积分，称为可积。

原函数存在的条件：比连续要求低，连续一定有原函数，不连续有时也有原函数。可导要求比连续高。

exdx 这个不定积分一般称为积不出来，但它的积分存在，只是这个函数的积分不能用初等函数表示出来

设fx在区间I上连续，则fx在区间I上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如22sinxdxcosxdx，，sinxcosxdxx2dx，dx，，edx等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，xxlnx故这些不定积分均称为积不出来。

二、基本积分表（略）补充公式：

(1)(2)x(a0)arcsinC

aa2x2dxdx1x(a0)arctanC 22aaaxdx1ax(3)2(a0)ln||C

2aaxax2(4)secxdxln|secxtanx|C(5)cscxdxln|cscxcotx|C

(6)dxx2a2ln|xx2a2|C

三、换元积分法和分部积分法

1．第一换元积分法（凑微分法）

设

则

fuduFuC，又x可导，fxxdxfxdx

令uxfuduFuCFxC这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。

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1x21u1x2221uedueCeC 例：xedxed(x)ux2222x2口诀（30）第一换元经常用；微分方程要背熟。

2．第二换元积分法 例：(1)dxx1令xt262tdt t1(2)6t5dt令xt

32ttx3xdx（3）遇a2x2令xasint 假如令axt；xat；x222222a2t2；dx?（不行）

令xasint；a2a2sin2ta1sin2tacos2tacost

dxacostdt

；遇a2x2令xatant；遇x2a2令xasect

133311xx2dx(x)2()2(x)2；xtant

22422

设xt可导，且t0，若

则

fttdtGtC，fxdx令xtfttdtGtCG1xC

1其中tx为xt的反函数。

33口诀（31）第二换元去根号；规范模式可依靠。

111212x1dx2x1d(2x1)令2x1uudu..u2(2x1)2

22233

3．分部积分法

设ux，vx均有连续的导数，则

uxdvxuxvxvxdux或 uxvxdxuxvxuxvxdx

x例1：xedxxdexxexexdxxexexC

1x212x12x12x12x2edx2xe2xde2xe2xedx

口诀（32）分部积分难变易，弄清u,v是关键

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100x例2：xedx x1001x1011101lnxdxlnxdxlnxx101dlnx 101101101x1011x1011100lnxxdxlnxx101C 2101101101(101)

（1）Pnxeax，Pnxsinax，Pnxcosax情形，Pnx为n次多项式，a为常数。要进行n次分部积分法，每次均取e，sinax，cosax为vx；多项式部分为ux。ax

（2）Pnxlnx，Pnxarcsinx，Pnxarctanx情形，Pnx为n次多项式取Pnx为vx，而lnx，arcsinx，arctanx为ux，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。

（乙）典型例题

例1．求下列不定积分（测试题，限15分钟）

（1）dxx2e1x

1解：（1）原式ed()exC

x1x1（2）xlnxlnx1dx

23532(lnx1)dxd(xlnx)

2解：（2）原式(xlnx)d(xlnx)(xlnx)2C

5（3）lnxx215x12dx

1x21原式dxd[ln(xx215)

2ln(xx1)5d[ln(xx15)][ln(xx21)5]2C

3223 4 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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（4）xlnx1lnx2dx

lnx1lnx)dx 2xx1lnxlnxd(1)21xx解：原式dxC

lnx2lnx2lnx(1)(1)(1)xxxd(cos2xsinx（5）dx sinxcosx1cosxed(cosxesinx)sinxesinxcos2xesinx

(cos2xsin2x)esinx解：原式dx sinxsinxcosxe(1cosxe)ucosxesinxdu11|Cln||C []duln|sinx1uu(1u)uu11cosxe（6）sin2xa2cos2xb2sin2xdx

（b2a2常数）

d(a2cos2xb2sin2x)2a2cosxsinx2b2sinxcosx2sinxcosx(b2a2)sin2x(b2a2)

21d(a2cos2xb2sin2x)解：原式2b2a2ba2a2cos2xb2sin2x

例2．求下列不定积分

a2cos2xb2sin2xC

2x3xdx

（1）x94x

（2）xaxb2dx2

ab

（3）dx ab

x2a2x2b2x21dx

（4）4x

1解：

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3xx232dx

（1）xdx32x94x123d12

332xln1223112lnxC

2ln3ln2312xxx13x2x

lnxC x2ln3ln232

（2）xaxb2dx21ab2111dx xaxb112dx 22xbxaxbxa11211dx 3xaxbxaxbab2lnxaC xb2

ab21

ab2

2xabab2xaxbab3

（3）dx111dx 2222x2a2x2b2b2a2xaxb

11x1xarctanarctanC 22abbbaa1111dxxx211xx2xC

（4）4dxdx2arctan1x1221x2x2xx

例3．求 dxxx3 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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解：

dx66t5dtt3t3x3x令xt11t3t26t1dt6t1dt

6t2t11t1dt2t33t26t6lnt1C

2x33x66x6ln6x1C

例4．求1x24x2dx

解一：



14x2dxx2tant1x212dt 2dt4tan2t2cos2dxtcos2tcost

cost14x24sin2tdt4sintC4xC（这里已设x0）

解二：倒代换

1x24x2dx1dx

x314x2

1x3dx112dx2

原式=11d4144x282114x4x21C4xCx0 x2

例5．求arcsinx2dx

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解一：

xarcsinx2222arcsinxdxxarcsinxxdarcsinxxarcsinx2dx 21x2

=xarcsinx2arcsinxd1x

2

=xarcsinx21x22

=xarcsinx21xarcsinx221x2darcsinx

arcsinxdx



=xarcsinx21x2arcsinx2xC 2

解二：令arcsinxt，则xsint，222arcsinxdxtdsinttsint2tsintdt 22

=tsint2tdcosttsint2tcost2costdt 

=tsint2tcost2sintC

=xarcsinx21x2arcsinx2xC 22

例6．设fx的一个原函数Fxln2x

解：I

x21，求Ixfxdx

xdfxxfxfxdxxFxFxC

2xx12lnxx21ln2xx21C 

例7．设Fxfx，当x0时fxFxxex21x2，又F01，Fx0，求fxx0

2解：2fxFxdx2FxdFxFxC1 x11exdexex

而dxdxdx 2221x1x1x1xxexexexexex

dxdxC2 221x1x1x1xexC，Fx1x2

F01，8 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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C0，又Fx0，因此Fxee 1x1xxxxx2121xe1xe2xe2221x

则fxFx 31x21x2

例8．设fsinx2xx，求Ifxdx sinx1x

解一：令usinx，则sinx2u，xarcsinu，fuarcsinuu

则Iarcsinx1xdxarcsinx1xd1x2arcsinxd1x

11xdx

=21xarcsinx21x

=21xarcsinx2xC

解二：令xsint，则

则I

=2tcost2costdt2tcost2sintC

=21xarcsinx2xC 2x1xsint，dx2costsintdt，costsinttcostsint2sintcostdt2tdcost

§3.2 定积分和广义积分的概念与计算方法

（甲）内容要点

一、定积分的概念与性质

1．定积分的定义及其几何意义

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baf(x)dxlimd0f()x

i1iin

2．定积分的性质

中值定理，设fx在a,b上连续，则存在a,b使得

fxdxfba

ab1bfxdx为fx在a,b上的积分平均值。

定义：我们称baa

二、基本定理

1．变上限积分的函数

定理：设fx在a,b上连续，则Fxftdt在a,b上可导，且Fxfx推广形式，设

axFx2x1xftdt，1x，2x可导，fx连续，

则Fxf2x2xf1x1x

2．牛顿一莱布尼兹公式

设fx在a,b上可积，Fx为fx在a,b上任意一个原函数，则有

三、定积分的换元积分法和分部积分法

1．babfxdxFxFbFa

abafxdxfttdt（xt在,上有连续导数，单调，a，b）

bb

2．uxvxdxuxvxvxuxdx

aaab

四、广义积分

定积分

又fx在a,b上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或fxfxdx的积分区间a,b是有限区间，ab推广到无界函数就是两种不同类型的广义积分。

1．无穷区间上的广义积分

定义：afxdxlimfxdx

bab

若极限存在，则称广义积分afxdx是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分afxdx是发散的。而发散的广义积分没有值的概念。

fxdxlimfxdx

aabb

同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的概念。

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fxdxfxdx1ccfxdxlimfxdxlimfxdx

aabccb0xdx，x0时无意义，称 x0为瑕点

2．无界函数的广义积分（瑕积分）

fx，则称b为fx的瑕点。

（1）设fx在a,b内连续，且limxb

定义limafxdx0abbfxdx

若极限存在，则称广义积分bafxdx收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分fxdx发散。

ab发散的广义积分没有值的概念。

fx，则称a为fx的瑕点

（1）设fx在a,b内连续，且limxa

定义bafxdxlim0bafxdx

若极限存在，则称广义积分fxdx收敛，且它的值就是极限值，ab若极限不存在，则称广义积分fxdx发散，它没有值。

ab1xdx2x

11x30dx

（3）设fx在a,c和c,b10a皆连续，且limfx，则称C为fx的瑕点定义

xcbafxdxfxdxfxdxlimaccbc1fxdxlim20bc2fxdx

（乙）典型例题 一、一般方法

例1．计算下列定积分

1e1

（1）1lnxdx1lnxdxlnxdxxlnxx1xlnxx21

11eeeee1e

（2）

（3）322min1,xdxdxxdxdx2112112311 311 22maxx,x2dxx2dxxdxx2dx201012 11 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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（4）201sin2xdx20sinxcosx2dx20sinxcosxdx

20sinxcosxdx24cosxsinxdxxcosxdxsin420

4

二、用特殊方法计算定积分

例1．计算下列定积分



（1）I2fsinx0fsinxfcosxdx（f为连续函数，fsinxfcosx0）

（2）I40ln1tanxdx



（3）I2dx01tanxa（a常数）（tanxa1）

（4）I4ln9x22ln9xlnx3dx

解：（1）令x2t，则sinxsin(2t)cost



I2fcots0fcotsfsintdt，

2I20dt2，I4

（2）令x4t，则

I＝0102ln1＋－tantd（－t）＝lndt, 41＋tant41＋tant

4ln2I，2I4ln2，I8ln2

（3）令x2t，则

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I0dttantat21cota201tantadt，

2I2101tantatanta1tantadt20dt2，I4

（4）令9xt3，则x39t，于是

I2lnt34lnt3ln9tdt4lnt32lnt3ln9tdt

因此，2I42dx2，则I1

例2．设连续函数fx满足fxlnxefxdxe1，求1fxdx

解：令e1fxdxA，则fxlnxA，两边从1到e进行积分，得

efee1xdx1lnxdx1Adxxlnxxe1Ae1

于是Aee1Ae1，eA1，A1e，则e1fxdx1e

例3．设fx连续，且xtf2xtdt102arctanx2，f11，求21fxdx

解：变上限积分的被积函数中出现上限变量必须先处理，令u2xt，则

xtf2xtdtx2xufudu2x2x2x02xxfuduxufuduu0

代入条件方程后，两边对x求导，得

22xxxfudu2x2f2xfx2xf2x2xfx1x即

22xxfudux1x4xfx

令x1代入，化简后得21fxdx34

三、递推方法



例1．设In20sinnxdx

n0,1,2,

（1）求证当n2时，In1nnIn2（2）求In

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sin2xdx12(1cos2x)dx

sin4xdx12(1cos2sin2x)dx12[1cos2(12(1cos2x)]dx sin3xdxsin2xd(cosx)(1cos2x)d(cosx)



解：（1）In1n1n20sinxdcosxsinxcosx220cosxdsinn1x

0

n122n2n20cosxsinxdxn1201sin2xsinxdx

n1In2n1In

nI1nn1In2，则InnnIn

2n2 I820sin8xdx

I78I7575375317531868.6I48.6.4I28.6.4.2I08.6.4.2.2 I66464264277I57.5I37.5.3I17.5.3



（2）I0220dx2，I10sinxdx1，当n2k正偶数时，I2k1nI2k2kI2k12k312k!2k22k2k22I02kk!222k!22kk!22

当n2k1正奇数时，I22nI2k2k1I2k2k222kk!22kk!2k12k12k12k13I12k1!2k1!

例2．设Jn20cosnxdx

n0,1,2,，求证JnIn n0,1,2,

证：令xt, J0nn2ncostdt2220sintdt

则 JnIn n0,1,2,



例3．设Kn40tan2nxdx n1,2,3,，求证 K1n2n1Kn

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

解：Kn40tan2n1xsecx1dx4tan2n1xdtanxKn1201Kn1 2n1

例4．计算Gnx1121dx（n为正整数）n

解一：令xcost

Gn1nsin2n1tdt122sinn2n1n2122n1n! tdt12I2n1n002n1!

解二：G111nx1nx1ndxn11x1ndx1n11

1nn1111nn1x1x11n11x11nx1n1dx

n1n1n21x1n1dx1n2

1nn!1n1n22n1x12ndx

1nn!22n11n22n12n1!x1112n1!n!2

四、广义积分

例1．计算Ixex01ex2dx

x

解：Ixex10ex12dxxde0ex12dxxd01ex1

x1ex100ex1dxI1I2

I1xlimxex1用洛必达法则xlim1ex0

Iex2exex1dx令exudu01uu1

11u1u1dulnuu11ln1ln12ln

215 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

09考研高等数学第三章

（这里limlnuln10）于是 II1I2ln2

uu1dx例2．计算I（难度较大，可不看）

01x41注：可以化为最简分式的形式，41x1x412x2x42x2(1x2)2(2x)2(12xx2)(12xx2)

但这样做太繁，故用其它技巧

1dt220t1t

解：令x，Idt 401t4t11t0x2dx 1x

4由于 0dxx2dx 4401x1x11dx111x21x21x

 Idxdx2201x42021201x2x2xx1x1xarctan

lim 0222  1 222222§3.3 有关变上（下）限积分和积分证明题

一、有关变上（下）限积分

例1．设fxax0，求Ifxdx et2atdt（a常数）

0a

解：Ixfxa0a0xfxdxxeax2aax1dx

0a 16 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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a0xea2x2dx12a0ea2x2da2x2

1a2x2a1a2ee1

0225，对所有x0,，t0,，2t1

例2．设fx在0,内可导，f1

均有 xtxfudutfuduxfudu，求fx

11口诀（33）：变限积分双变量；先求偏导后求导。

解：把所给方程两边求x求导，tfxttfx求导，得fttftt1t5fudu 把 x1 代入，得tfttfudu 再两边对t125ft 25155于是ft，则ftlntC，令t1 代入得 Cf1，所以fxlnx1

2t22

2例3．设fx为连续函数，且满足

2x0 xftdt2tf2tdt2x3x1，求fx在0,2上的最大值与最小值。

x0

解：先从方程中求出fx，为此方程两边对x求导

2x02xx

xftdt2tf2tdtxftdt2tf2tdt 0x00

2x02ftdt2xf2x2xf2xftdt

02x

而2xx18x6x 33

因此2x0ftdt8x36x2

两边再对x求导，得

2f2x24x212x62x62x fx3x3x 2

 fx6x3，令fx0得驻点 x1 2

又在0,2上fx没有不可导点，比较f00，f123，f26可知fx 在0,2上最大值为431f26，最小值为f

42 17 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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tf(t)dt

例4．设f(x)在0,上连续，且f(x)0，证明g(x)在(0,)内单调增加 f(t)dt0x0x

证：当x0时，因为

g(x)xf(x)f(t)dtf(x)tf(t)dt00xxf(t)dt0x2f(x)(xt)f(t)dt0xf(t)dt0x20

g(x)在(0,)内单调增加



二、积分证明题

例1．设f(x)在0,上连续，0f(x)dx0，f(x)cosxdx0，求证存在

01(0,)，2(0,)，12，使f(1)f(2)0

证：令F(x)

又0x0f(t)dt，(0x)则F(0)0，F()0，00f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosxF(x)sinxdx

000

F(x)sinxdx

如果F(x)sinx在(0,)内恒为正，恒为负则

0F(x)sinxdx也为正或为负，与上面结果矛盾，故存在(0,)使F()sin0，而sin0，所以F()0于是在0,和,区间上分别用罗尔定理，则存在1(0,)使f(1)F(1)0，存在2(,)，使f(2)F(2)0，其中12

例2．设f(x)在0,1上有连续的一阶导数，且f(0)f(1)0，试证：

证：用拉格朗日中值定理

f(x)f(x)f(0)f(1)x，其中1(0,x)

f(x)f(x)f(1)f(2)(x1)，其中2(x,1)

由题设可知f(x)f(1)xMx；又f(x)f(2)(1x)M(1x)

因此

10fxdxM，其中Mmaxf(x)

0x1410f(x)dxf(x)dx111M12012112f(x)dxMxdx1(1x)dx

02

M

884 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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例3．设f(x),g(x)在a,b上连续，证明

2baf(x)g(x)dxb2b2af(x)dxag(x)dx

证一：（引入参数法）

设t为实参数，则bf(x)tg(x)2adx0

b2ag(x)dxt22baf(x)g(x)dxtbaf2(x)dx0

作为t的一元二次不等式At22BtC0，则B2AC0

即B2b2AC，因此b2baf(x)g(x)dx2af(x)dxag(x)dx

证二：（引入变上限积分）

2令F(u)uaf(x)g(x)dxuaf2(x)dxuag2(x)dx

于是

F(u)2f(u)g(u)uf(x)g(x)dxf2(u)ug2(x)dxg2(u)uf2aaa(x)dx

u2f(u)g(u)f(x)g(x)f2a(u)g2(x)g2(u)f2(x)dx

uaf(u)g(x)g(u)f(x)2dx0

(ua)

则F(u)在a,b上单调不增

故ba时，F(b)F(a)0，2

即bb2b2af(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx0

证三：（化为二重积分处理）

令Ib2af(x)dxbag2(x)dx，则Ib2baf(x)dxag2(y)dyf2(x)g2(y)dxdy，D

其中区域D:axbayb，同理If2(y)g2(x)dxdy

D

2If2(x)g2(y)f2(y)g2(x)dxdy

D

a2b22ab，故2I2f(x)g(y)f(y)g(x)dxdy

D 19 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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因此，Ibaf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dxaa2b2bbabf(y)g(y)dyf(x)g(x)dx a2口诀（34）：定积分化重积分；广阔天地有作为。

bb2

例4．设f(x)在a,b上连续，证明f(x)dx(ba)f(x)dx

aa2

证：在例3中，令g(x)1，则

于是

2bag2(x)dxba

bf(x)dxbf(x)g(x)dxbf2(x)dxbg2(x)dxbabf2(x)dx

aaaaa

例5．设f0(x)在a,b上连续，且f0(x)0，证明

2baf0(x)dxba1dx(ba)2 f0(x)

证：在例3柯西不等式中，取f(x)为

f0(x)，g(x)为

b1f0(x)

则baf(x)dxf0(x)dx，g(x)dxaa2bb2a1dx，f0(x)2

而abbf(x)g(x)dxf0(x)a221dx(ba)2 f0(x)

因此babaf0(x)dxba1dx f0(x)

例6．设f0(x)在a,b上具有连续导数，且f0(a)f0(b)0，bb1222f(x)dxxf(x)dx

求证：0 0aa4baf0(x)dx1，2

证：在例3柯西不等式中取f(x)为f0(x),g(x)为xf0(x)

22bbb22

于是f0(x)dxxf0(x)dxxf0(x)f0(x)dx

aaa

21ba2x2b1b2112xdf0(x)f0(x)f0(x)dx

a2a42222 20 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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§3.4 定积分的应用

（甲）内容要点

一、平面图形的面积

1．直角坐标系

模型I S1yxyxdx，a21b

其中

y2xy1x，xa,b

模型II S2

xyxydy，c21d

其中

x2yx1y，yc,d

注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型I或模型II加以计算，然后再相加。

2．极坐标系 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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1

2模型I S1rd

2

模型II S2122d rr212

3．参数形式表出的曲线所围成的面积

设

曲线C的参数方程

xt

t yta，b，t在,（或,）上有连续导数，且t不变号，t0且连续。

b

则曲边梯形面积（曲线C与直线xa，xb和x轴所围成）

Saydxttdt



二、平面曲线的弧长（数学一和数学二）（略）

三、绕坐标轴旋转的旋转体的体积

（1）平面图形由曲线yfx0与直线xa，xb和x轴围成绕x轴旋转一周的体积

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Vxbaf2xdx

dVxf2(x)dx

2xf(x)dx

绕y轴旋转一周的体积

Vy2xfxdx

dVaby

（2）平面图形由曲线xgy0与直线yc，yd和y轴围成绕y轴旋转一周的体积

Vydcg2ydy

d

绕x轴旋转一周的体积

Vx2cygydy

四、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学二）（略）

（乙）典型例题

一、在几何方面的应用

例1．求曲线y2x在点,1处法线与曲线所围成图形的面积 212 23 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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解：先找出法线方程

2yy2，y1

,1211

yy11 2

法线方程 y11x

xy3 2399的另一交点为,3 ,3 222

曲线y22x和法线xy2316y

所求面积Sy dy332

21例2．设fx在a,b上连续，在a,b内fx0，证明a,b，且唯一，使得yfx，yf，xa，所围面积S1是yfx，yf，xb所围面积S2的三倍。

证：令FtS1(t)3S2(t)

bftfxdx3fxftdx

attbFa3fxfadx0

a 24 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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Fbfbfxdx0

ab

由连续函数介值定理的推论可知a,b使F0再由fx0，可知fx的单调增加性，则唯一

例3．设yfx在0,1上为任一非负连续函数。

（自己阅读）

（1）试证：x00,1，使0,x0上以fx0为高的矩形面积等于x0,1上以yfx为曲边的曲边梯形面积。

（2）又设fx在0,1内可导，且fx2fx，证明（1）中x0唯一。x

（1）证：设Fxxftdt，则F0F10，且Fxftdtxfx，对Fx在0,1上用罗尔定理xx11x00,1，使Fx00，即ftdtx0fx0证毕

x01

（2）证：令x

ftdtxfx，当x0,1时，x1xfxfxxfx

2fxxfx0（由（2）的已知条件）

因此在0,1内，x单调减少，x0是唯一的

2例4．求由曲线yx2x和直线y0，x1，x3所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。

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解一：yx22x解出x11y，平面图形A1绕y轴旋转一周所得旋转体体积

V11011ydy211 6

平面图形A2绕y轴旋转一周所得旋转体体积

V2271301ydy243 6

所求体积VyV1V29

解二：Vy231xx22xdx

2322x2xxdxxx22xdx

2123x42x4233

23x4143x29

22

例5．设D1是由抛物线y2x和直线xa，x2及y0所围成的平面区域；D2是由抛物线y2x和直线

（自己阅读）xa，y0所围成的平面区域，其中0a2。

（1）试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1；D2绕y轴而成的旋转体体积V2（如图）

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（2）问当a为何值时，V1V2取得最大值？试求此最大值

解：（1）V1432a 2xdx52225

V2 a2a

或

V22222a20ydy a4 2a0x2x2dx a4

432a5 a4（2）VV1V2

由V4 a31a0，得区间a,2内的唯一驻点a1。

又Va140, 因此a1是极大值点，也是最大值点。此时V1V2的最大值为

129 5

二、物理和力学方面应用（数学一和数学二）（自己阅读）

例：为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起污泥重2000N，提升速度3m/s，提升过程中污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳的功？

说明：（1）1N1m1J；m，N，s，J分别表示米，牛顿，秒，焦耳。

（2）抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。

解：所需作功WW1W2W3

W1是克服抓斗自重所作的功W14003012000

W2是克服缆绳重力作的功W2

W3是提取污泥所作的功W33005030xdx22500

3200020tdt57000

010

所以WW1W2W391500J

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三、经济方面应用（数学三和数学四）（自己阅读）

例1．设某商品每天生产x单位时固定成本40元，边际成本函数为Cx0.2x2（元/单位），求总成本函数Cx，最小平均成本。若该商品的销售单价为20元，且产品全部售出，问每天生产多少单位时才能获得最大利润，最大利润多少？

解：（1）Cx0.2x2，Cx

Ctdt40

0x0.2t2dt40

02x

0.1x2x40

Cx0.1x2

令

Cx0.1

Cx40，x400x120，x220（舍去），2xx120800，x3x120406。xx20

故生产20单位时平均成本最小为C200.1x2

（2）总收益

Rx20x，总利润

Lx20x0.1x2x40

2

18x0.1x40，令

Lx180.2x0x90，L900.20，因此，每天生产90单位时，才能获得最大利润。

最大利润为L9018x0.1x4022x90270（元）

t3A 96e（元）

例2．由于折旧等因素，某机器转售价格Pt是时间t（周）的减函数Pt，其中A是机器的最4A 48初价格。在任何时间t，机器开动就能产生Re的利润。问机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大？

4t 28 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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xA 3A 96

解：假设机器使用了x周后出售，此时的售价为Pxe，在这段时间内机器创造的利润是e48dt，044xt购买机器的价格为A。

xA 3A 96

所以，总利润Lxee48dtA，044xt

令 Lx0，得出x96ln32333，L96ln320，所以，机器使用了大约333 周后转售出去会使总利润最大。

例3．假设当鱼塘中有x公斤鱼时，每公斤鱼的捕捞成本是

2000kg，问从鱼塘中元，已知鱼塘中现有鱼1000010xkg鱼需花费多少成本？ 捕捞6000

解：设已经捕捞了x公斤鱼，此时鱼塘中有10000xkg鱼，再捕捞xkg鱼的成本为

C2000x，1010000x

所以，捕捞6000公斤鱼的成本为

C

60000200010010dx2000ln1829.59（元）。

10考研高等数学强化 篇2

1. 函数的极值和最值模型

函数的极值和最值的应用问题主要分为一元函数和多元函数的极值和最值的应用, 解决这类问题的思路是:第一根据实际问题中的数量关系列出函数关系式及求出函数的定义域;第二利用求函数极值和最值的方法求解。

例1 (91年数4) 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为p1, p2;销售量分别为q1和q2;需求函数分别为q1=24-0.2p1, q2=10-0.05p2;总成本函数为C=35+40 (q1+q2) 。试问:厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大?最大总利润是多少?

分析:这是一个典型的二元函数求最值问题.首先要根据题意求出总利润函数:

总利润=总收益-总成本;其次求出函数的定义域;最后根据二元函数求最值的方法求解即可。

问题归结为求总利润函数的最大值问题。解方程组

2. 积分模型

在积分的应用过程中关键要解决好两个问题:一是什么样的量可以用积分来表达;二是用什么样的积分表达, 即确定积分区域和被积表示式。

例2 (03年数1) 某建筑工程打地基时, 需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打, 都将克服土层对桩的阻力而作功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 (比例系数为kk>0) 。汽锤第一次击打将桩打进地下am。根据设计方案, 要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r (0<r<0) 。问:

(1) 汽锤击打桩3次后, 可将桩打进地下多深?

(2) 若击打次数不限, 汽锤至多能将桩打进地下多深?

(注:m表示长度单位米)

分析:本题属变力做功问题, 可用定积分进行计算, 而击打次数不限, 相当于求数列的极限。

解: (1) 设第n次击打后, 桩被打进地下xn, 第n次击打时, 汽锤所作的功为Wn (n=1, 2, 3…) 。由题设, 当桩被打进地下的深度为x时, 土层对桩的阻力的大小为kx, 所以

3. 微分方程模型

应用微分方程解决实际问题, 其实就是建立微分方程数学模型, 通过建立微分方程、确定定解条件、求解及对解的分析可以揭示许多自然界和科学技术中的规律。应用微分方程解决具体问题时, 首先将实际问题抽象, 建立微分方程, 并给出合理的定解条件;其次求解微分方程的通解及满足定解条件的特解;最后由所求得的解或解的性质, 回到实际问题。

例3 (04年数1) 某种飞机在机场降落时, 为了减少滑行距离, 在触地的瞬间, 飞机尾部张开减速伞, 以增大阻力, 使飞机迅速减速并停下。

现有一质量为9000kg的飞机, 着陆时的水平速度为700km/h。经测试, 减速伞打开后, 飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为k=6.0×106) 。问从着陆点算起, 飞机滑行的最长距离是多少?

注:kg表示千克, km/h表示千米/小时。

分析:本题是以运动力学为背景的数学应用题, 可通过利用牛顿第二定理, 列出关系式后再解微分方程即可。

解:由题设, 飞机的质量m=9000kg, 着陆时的水平速度v0=700km/h.从飞机接触跑道开始记时, 设t时刻飞机的滑行距离为x (t) , 速度为v (t) 。

4. 概率模型

关于概率论的应用题主要集中在古典概型、随机变量的分布以及随机变量的数字特征等方面。应用概率论的知识解决具体问题时, 首先要分析实际问题, 找出随机变量的关系及其分布;下来是列出它们的函数关系, 利用概率论的有关知识求解。

例4 (08年数4) 设某企业生产线上产品的合格率为0.96, 不合格产品中只有3/4的产品可进行再加工, 且再加工的合格率为0.8, 其余均为废品。已知每件合格品可获利80元, 每件废品亏损20元, 为保证该企业每天平均利润不低于2万元, 问该企业每天至少应生产多少产品?

分析:本题为概率论中的数学期望在经济中的应用, 有关数字特征的应用题主要是随机变量函数的数学期望、方差等, 求解这类问题的关键是找出函数关系.根据题设列出方程求解.

解:进行再加工后, 产品的合格率为

所以企业每天至少生产256件产品。

以上对高等数学研究生入学考试中的有关数学应用题的类型及其解法作了一些探讨, 主要以考研真题为例对历年来的研究生入学考试的命题特点进行了分析, 总结了考研数学应用题的解决方法。

参考文献

[1]刘三阳, 王世儒等.高等数学辅导[M].西安电子科技大学出版社.2000.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社.1993.

[3]张伟, 张华祝等译.经济数学[M].中国人民大学出版社.2006.

10考研高等数学强化 篇3

关键词： 高职院校 高等数学 教学效果 改善途径

高职院校的教学任务是对所开展的专业课程的学习进行专门的教育教学服务，而其中高等数学的教学质量直接关系到高职院校学生的学习技能和继续教育的水平。目前，我国众多高职院校的高等数学学习仍存在一些问题，本文将根据目前高职院校高等数学学习中的一些问题提出可以进行改善的有效措施。

1.高职院校高等数学教学的现状

1.1高职院校高等数学教学的内容

在高职教育对数学教学的要求中，要求教学课程以实际应用为教学目标，同时注重把数学概念知识转化为实际应用。这种对数学教学工作的要求体现了高职院校所具有的突出特点，更注重以其应用实践性提高学生的素质和能力。高职院校的数学课程教学对数学的基础知识学习非常重视，包括高等数学中各个部分的数学理论模块如微积分、概率论、线性代数几大内容，由于高职院校是以学科的专业不同进行针对性的学习，因此高等数学的学习会根据不同的专业进行不同的教学内容的学习。但在这种课程学习的分专业教学的过程中，没有对数学进行更深入的研究和抽象数学概念的细化教学。

1.2高职院校的高等数学教学方式问题

高职院校的高等数学教学过程中，教者对数学教材的全面严格执行，已经不能适应当前高职院校数学教育发展的需要。教者太注重对教材的对照性教学，并用数学知识的结论让学生通过练习实现对高等数学的学习，这在一定程度上过分强调了文化基础学习的教条性，缺乏一定的实用效果。这主要是由于高等数学的教学工作，在很大程度上忽视学生的数学技巧和能力的培养，同时缺乏对学生的数学逻辑思维能力及实际应用能力的培养，使得对学生高等数学学习缺乏一定的兴趣和积极性，让学生逐渐失去对这个专业的学习热情。

1.3高职院校学生的高等数学学习情况

大部分高职院校学生在学习高等数学的过程中，反映数学基础知识及能力比较欠缺，不具备基本的数学概念和运算能力，这使得学生无法实现对高等数学的相关知识的深层次理解和迁移综合应用。这其中主要是因为学生长期以来对数学学习的怠慢导致数学知识生疏而浅薄，很多学生在数学学习时甚至数学基础能力为零。

2.优化高职院校高等数学教学效果的方法和策略

2.1通过分层教学的方式打好学生的高等数学基础

在高职院校高等数学中，为了促使学生对数学基础知识的学习，提高数学能力，可以把相同学习能力的学生规划到同一班级，并根据班级学生的数学学习能力进行不同的数学内容和教学方法的教学。分层教学的方式能够提高教学效率，并让学生能够更好地从教学方式和教学内容上接受，让学生有更多选择的机会，这也是高等职业院校教育发展的特点，更好地促进了专业能力与通用能力的结合，促进了学生数学学习能力的提高，并让教者的教学方法更有针对性和策略性。

2.2激发学生学习高等数学的兴趣和主观能动性

高职教育为社会培养输出能够利用所学的专业知识能力进行有效实践和应用的技术实践型人才。因此在高职院校的高等数学教学过程中，教师不要过分追求对数学理论公式或者抽象知识进行重点教学。要把重点放在如何将抽象的概念、公式和定理用最直观的方式让学生理解上，只有让学生感受到数学知识与他们生活的联系，就会让学生产生学习兴趣和热情，同时让学生认识到数学知识是其他专业课学习的基础，也是培养学生适应社会需求变化的可持续发展的思维能力，从而不断调动学生学习高等数学主观能动性，认识到高等数学的重要性和广泛应用型。

2.3加强高等数学教学与实际生活的联系

高职学生在经过高职院校教育走出校门之后，会逐渐成为综合性技术型人才。因此在学习高等数学过程中，要注重将数学理论知识熟练地运用到社会实践中。这就要求教师要引导学生联系日常生活中相关的生活实例，并不断在生活中运用数学知识，这样可以让学生认识到数学知识就在身边，并逐步发挥学生自主学习能力提升职业技能。

2.4加强对数学学习策略的教学

为了优化高等数学教学效果和教学质量，教师要教会学生数学学科的学习策略，让学生在学习数学知识时，能够通过自己独到的学习方法解决问题并进行检查及时纠正，不断提高学生的独立学习能力。教师通过对学生进行系統的数学学习策略的引导，可以有效改善学生的学习质量和效果，更好地开展高职院校高等数学的有效教学。

综上所述，高等数学作为一门基础性的理论学科，其教学是职业教育教学的重点。它不仅为其他专业课程提供解决问题的思维方法，还在学习中形成数学文化和良好的思维方式。所以，高职院校要重视数学教学的方法和模式，并根据学生不同的学习差异进行针对性的教学安排，提高学生的数学学习积极性，从而为社会培养具有数学实践应用能力的技能型人才。

参考文献：

[1]叶红珍，刘晓红.如何提高《高等数学》的教学效果[J].科技信息，2010，（25）：262，342.

[2]黄运生，王庆灵.如何提高高职高专高等数学课堂教学效果[J].开封教育学院学报，2014，（6）：187-188.

考研数学高等数学定理定义 篇4

2015年考研数学复习已经开始，考研高等数学基本定理定义需要在备考初期扎实掌握。下面为大家提供2015考研数学高等数学第一章到第八章定理定义汇总。

第一章 函数与极限

1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中0

定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

单调有界数列必有极限。

6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。

不连续情形：1、在点x=x0没有定义;2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在;3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。

如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。

定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。

定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。

定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。

第二章 导数与微分

1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等。

2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续;函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。

3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。

4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导;函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。

第三章 中值定理与导数的应用

1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a

2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a

3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F’(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。

5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么：(1)如果在(a，b)内f’(x)>0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加;(2)如果在(a，b)内f’(x)

如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。

6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。

在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的.驻点却不一定是极值点。

定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f’(x0)=0，那么：(1)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为正;当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为负;当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f’(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。

定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)当f’’(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极小值;驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。

7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。

定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a，b)内f’’(x)>0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凹的;(2)若在(a，b)内f’’(x)

判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0，解出这方程在区间(a，b)内的实根;(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号，如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0，f(x0))不是拐点。

在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。

第四章 不定积分

考研数学8月强化复习建议 篇5

分阶段复习建议

（1）9月。 这个阶段是真正考验一个人意志的时候了，这段时间往往在考验着你，能否坚持到最后。因为有全天的时间供你支配，这段时间数学方面干什么呢？很简单重复上面的步骤，开始数学第二轮的复习。有人问我，数学为何不用五个月时间仔细看一遍，直接弄明白不就得了，为什么要分两轮呢？我当时是这么回答的：即使你第一遍学的再努力，时间再长，当你第二遍看的时候你也会感觉忘了一半了，真的，这轮开始的时候先别忙着崩溃，一半以上的题不会解，很正常，这个时候要重复第一遍的步骤，巩固知识点，其实这遍学起来就轻松多了。

（2）10月。考验你的时刻来临了，用一个月的时间做成套的历年真题，有人很诧异这么早做真题干什么。其实，从你学习复习全书那一刻开始，你已经进入真题中了，复习全书和讲义上好多例题都是历年真题，其实大部分题全做过了，有人问，看着全是熟悉的题，不别扭么？呵呵，我说看着全是熟悉的题你不会做，那才叫真的别扭，即使成套上的真题，你全做过了，但是你想答150，那还是根本不可能的。考研数学不是说你会解多少题，是你会不会用考研指定的那些知识点和方法去解题，其实每年的题不同，但是方法都是大同小异的`，你做了几套历年真题就会开始发现，都是一个路子下来的，这个时候你就会开心了，因为，明年考试题这是这个路子嘛，方法全会，爱出啥题咱也不怕。言归正传，这段时间还是要好好把握的，历年真题不是说会做了就行，一定要研究这个题考什么了，都用哪个知识点了，用什么方法了，用笔记记下来，要树立完全的真题观。

（3）11月。你的数学境界已经很高了，可以做些模拟题了，建议使用李永乐的全真模拟400题，或者别的模拟题也行，只要用心去做题就好了，训练你对知识点的掌握程度，有人可能会因为做模拟题只得个50分左右而郁闷老半天，千万不要啊！模拟题可不能和真题相比，你前一阵学的全是怎么解考研数学题，所以模拟题分低分高无所谓，就是练习下速度，和考试的感觉。

（4）12月。经历了郁闷的模拟题之后，请回到我们的真题中来吧，用一个月的时间再去研究真题，记住：是研究，至于怎么研究，呵呵，自己合计吧！我的建议是：你准备一个“错题集”，将自己在复习过程中做错的题或不会做的题收集起来，分析一下做错或者不会做的原因在哪个方面，是对题型不熟悉，还是对知识点不清楚，还是因为没有记清楚公式等等。隔一段时间回顾一下“错题集”中的内容，对知识的巩固和提高都是很有帮助的。

（5）1月。这个时候数学已经最重要的了，你要想在这个阶段大幅度的提高是不可能的。你要做的就是把你以往做错的题，特别是真题练习过程中做错的题，要翻出来再复习下，梳理下感觉凌乱的知识点，和那些不太扎实的地方。

10考研高等数学强化 篇6

下面我们重点说一下考研数学中最重要的分支――高等数学。高等数学是考研数学中所占内容最多的部分，在数一和数三中，高数部分占总分的56%，在数二中，高数部分占总分的78%，可见高等数学对考研数学的成绩起着至关重要的作用。

很多考生往往对高等数学的复习不得其法，下面，由考研专家为广大考生提供几点高等数学复习建议，希望对考生们有所帮助。

第一，基础是命根，把握住基础知识才能得高分。

考生们要明确考研数学主要考查的是基础知识部分，包括基本概念、基本理论、基本运算等，只有清晰掌握概念、基本运算，才能真正把握住考研数学。

而高等数学的基础应在极限、导数、不定积分、定积分、一元微积分的应用，当然其中还应包含中值定理、多元函数微积分、线面积分等内容。而考查的另一部分则是分析综合能力。因为现在考试中高数很少以一个知识点命题的，一般都是几个知识点的综合考查。要对这几个基础知识进行针对性复习，这样才能取得高分。

第二，高等数学知识点解析，充分把握重点。

关于不定式的极限，要求考生掌握不定式极限的各种求法，比如：四则运算、洛必达法则等。在此还有两个重点知识需要掌握：1.另外两个重要的极限的知识点;2、对函数的连续性的探讨。这也是需要重点掌握的知识点。

关于导数和微分，考试重点考查的知识点是导数的定义，也就是抽象函数的可导性。另外，还需要熟练掌握各类多元函数求偏导的方法以及极值与最值的求解与应用问题。

关于积分，历年来定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等各种积分的求法都是重点考查对象。在求积分的.过程中，特别注意积分的对称性，利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。二重积分的计算，当然数学一里面还包括了三重积分，这里面每年都要考一个题目。另外曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。

关于微分方程、无穷级数以及无穷级数求和等，这几个考点是有一定难度的，需要记忆的公式、定理比较多。微分方程中需要熟练掌握变量可分离的方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法，以及二阶常系数线性微分方程的求解，对于这些方程要能够判断方程类型，利用对应的求解方法，求解公式，能很快的求解。对于无穷级数，要会判断级数的敛散性，重点掌握幂级数的收敛半径与收敛域的求解，以及求数项级数的和与幂级数的和函数等。最后，制定复习计划，事半功倍。