一元一次方程应用学案
学习目标：
1、会根据题意找出利润问题中蕴涵的基本等量关系，并能根据等量关系列出一元二次方程。
2、在用一元二次方程解决实际问题的过程中，进一步渗透方程的模型思想及利用方程解决问题的方法。
3、在小组合作学习中，培养积极思考，团结合作精神，培养学生团结合作的意识。学习重点:列一元二次方程解利润问题应用题。
学习难点:发现利润问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题。
学法指导: 课堂上通过独立思考及小组合作,得到利润问题的解决方法,通过几种不同方法的比较,找到最简单的方法和最常用的方法,独立完成导学案.一．知识链接:
一个喜洋洋笔袋进价10元，售价15元，可得利润元（列式表示）（1）若涨价2元，则售价元，利润元（列式表示）。（2）若涨价x元，则售价元，利润元（列式表示）。（3）若降价x元，则售价元，利润元（列式表示）。总结：每件商品的利润=－_________ 二.探索新知：
某种品牌的拍球原来每天可销售100个，后来进行价格调整。
1、市场调查发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多销售2个。
（1）如果降价2元，则多卖个，每天销售量为个（2）如果降价x元，则多卖个，每天销售量为个总结: 降价后商品的销售量=________________________________________
2、市场调查发现，该商品每涨价3元，商场平均每天可少销售5个。以下全部列式表示
（1）如果涨价6元，则少卖个，每天销售量为个（2）如果涨价9元，则少卖个，每天销售量为个（3）如果涨价x元，则少卖个，每天销售量为个 总结：涨价后商品的销售量=__________________总利润=__________________________________________
三、典例精析：
例
2、新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元。市场调研表明：当售价2900元时，平均每天能售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
四.课堂练习
1、某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查发现，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。设应涨价x元才能实现平均每月10000元的销售利润，根据题意，下面所列方程正确的是（）
A．(40－30)(600－10x)＝10000B.(40＋x－30)(600－x)＝10000 C.(40＋x－30)(600＋10x)＝10000D.(40＋x－30)(600－10x)＝10000
2.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，为了尽快减少库存,老板决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若要平均每天获利2240元，每千克核桃应降价多少元？
拓展延伸：
※ 1.某种文化衫平均每天可销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天多售10件，如果每天要盈利1350元，每件应降价多少元？
※2.某经销单位将进货单价为40元的商品按50元售出时一个月能卖出500个。已知这种商品每涨价1元，其销量就减少10个。为了赚得8000元的利润，销量又不超过300个，售价应定为多少？这时应进货多少个？
五.课堂总结：
学习了这节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑? 六.目标检测：
某种进货价126元的服装以170元售出,平均每天可销售20件,若每件降价1元,则每天可多销售5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元?作业:
1.必做题:
某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张。商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
2.选做题:
一、“导学案”中“四基”的导学策略
初中数学新课标在基本理念中, 将原来的基础知识和基本技能的“双基”目标发展为“四基目标”, 四基目标不仅强调为学生打下坚实的知识基础, 同时强调关注学生的思维活动, 关注学生的学习方式, 把学生在教学中进行数学探究和数学发现当作教学的重要目标。导学案正是基于这样的理念, 根据落实四基目标的要求, 针对教学的重难点, 设计学案以引导学生自主学习, 实现课堂教学的高效化。
(一) 导学案设计要以旧知引出新知, 落实基础知识
初中数学知识是一个体系, 教学知识不是凭空出现的, 新知与旧知之间存在着必然的联系。因此, 在落实基础知识时, 教师要从宏观上把握教材的知识, 有效地处理教材, 从新旧知识的联系上设计数学问题, 让学生通过问题探究, 获得对知识形成过程的有效体验, 跳一跳发现新知, 构建系统的知识体系。
例如, 在上《一元二次方程》这一课内容时, 在导出新知一块, 我根据教学需要设计了下面的几个问题: (1) 列一个一元一次方程和一个二元一次方程, 并进行求解。 (2) 同桌互动分析, 什么是“一元”, “元”是指什么?什么是“二次”, “次”又是指什么? (3) 根据自己的理解, 尝试写出一个一元二次方程, 并根据自己所给这个方程, 归纳“一元”与“二次”的含义, 并指出相应的未知数的系数和常数项, 并思考二次项的系数要满足什么条件。在本课内容中, 要求掌握的认知目标是能判断一个方程是不是一元二次方程, 知道一元二次方程的一般形式, 并能指出二次项系数、一次项系数和常数项。我在学案中根据前后知识间的联系, 根据学生已有的认知水平 (既一元一次方程和二元一次方程) , 让学生通过旧知的回顾, 实现知识的迁移。这样的学案, 对于学生学习新知起到了很好的帮助作用, 也实现了对学生数学思维的培养。
(二) 导学案设计要以教材为本, 落实基本技能的培养
数学基本技能是运用数学知识解决数学问题的基本能力, 是教学中要达成的一项基本目标。导学案在设计过程中, 要根据教材的基本知识设计问题, 作为学生思考和探究的载体, 提高学生解决数学问题的能力。通过导学案, 能有效克服传统课堂中学生看看懂、做做又不会的状况。
为了使学生掌握一元二次方程的解法, 我在导学案中, 列出一个简单的一元二次方程后, 让学生根据教材例题以及同伴之间的互助合作, 探究方程式的解法: (1) 要解上述方程, 你可以有几种解题方法, 请你尝试用不同的方法进行解题。 (2) 请比较一元二次方程的基本解题法, 因式分解法、配方法和公式法, 各有什么特点?最常用的方法是什么方法, 基本的方法是什么方法?通过让学生对不同解题方法的探究, 不仅能锻炼学生各种解题方法, 提高解题的技能, 而且有利于培养学生的开放性思想和创新意识。
(三) 以导学案引导学生进行数学探究, 落实基本思想的培养
通过数学基本思想方法的学习, 能使学生更好地学习新知, 构建知识体系, 也有利于学生在学习中形成知识的迁移, 扩大知识的容量和加深对知识的认识。数学基本思想方法的获得途径应该是“操作——领悟———应用”, 教师要通过导学案, 设计学生自主探究的问题情境, 在学生进行问题探究的操作过程中, 领悟数学的基本思想, 从而提高数学学习的能力。
例如, 在一元二次方程这一课中, 设计题目:6x2-x-12=0, 要求学生能够认识一元二次方程, 指出其中的二次项、一次项、常数项, 并能解一元二次方程的根, 在这一解题过程中, 就包含着转化的方法, 把需要解决的问题转化为能够解决的问题, 把未知转化为已知。这样的数学思想, 不是通过教师口述能让学生掌握的, 在导学案中, 教师通过有意识地设置问题, 让学生在探究基础知识的过程中, 领悟蕴含在其中的数学思想方法, 并自觉地应用到解决实际问题的过程中。
(四) 通过导学案增加学生的活动, 实现基本活动经验的积累
在教学活动中要重视通过活动, 使学生养成反思的习惯, 不断积累数学基本活动经验。导学案的设计要提高可操作性, 以增加学生应用数学知识解决数学问题的实践活动, 积累学生的基本活动经验。
例如, 在一元二次方程这一课的导学案中, 为了让学生领会方程的几种常用解题方法, 我根据教材设计例题, 并以例题示范解题方法启发学生的思维, 然后再辅以几道相似的练习, 可以是对例题的简单模仿, 也可以使用对例题的变式进行训练, 让学生通过动手操作, 巩固例题中的解法。通过这样的方法, 学生从对例题的模仿以及辅助练习中, 将教材的解题方法积累为自己的知识经验, 并在练习中进行反思, 实现思维的发展。
二、“导学案”的简约化设计
导学案在落实“四基”教学目标时, 还要注意简约化的要求。所谓简约化, 并不意味着是降低难度的简单, 以导学案作为初中数学课堂有效学习的载体, 在设计上要注意突出教学的重点, 围绕四基目标的落实, 创设有利于学生落实知识, 提高能力的活动, 为学生学习新知、构建新知搭建有效的平台。
(一) 导学案的形式要简洁化
教师在给学生设计的导学案上, 不要太过花俏, 把学生搞得云里雾里的。要使用简洁的形式, 精炼的语言, 整齐的版面和节约的纸张, 使学生便于理解。简洁化的导学案要立足于教学的重点, 为落实新知构建有效的探究活动, 体现活动的目的性。导学案在练习的设计上要防止低效、乏味的练习, 以提高学生探究学习的兴趣。这样, 通过简洁的导学案形式实现学习的高效化。
(二) 导学案的内容要精炼化
导学案不能搞题海战术, 堆砌练习题, 盲目增加学生的负担, 使学生疲于应付。教师要从服务于教学内容出发, 分析学生的特点, 提高练习设计的质量, 要体现以少胜多, 一题多练, 触类旁通的原则。
例如, 在学习《一元二次方程》这课内容时, 我就以一张16K的打印纸, 其中包括知识准备、新知探究、例题演示、知识梳理和能力提升几个环节, 围绕教学重点, 设计简单清晰的导学案, 在能力应用提升环节, 设计两个层次性的问题: (1) 已知矩形水箱的一个侧面中, 长比宽多1米, 这个面的面积是12平方米, 求这个水箱的长与宽。 (2) 若x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根, 求代数式2012 (a+b+c) 的值。通过这样的两个问题, 让学生既巩固所学新知, 又能提高学生解决问题的能力, 实现一题多练, 提高练习的效率。
(三) 导学案的问题不能过多
问题是引起学生思考的“导火线”, 是培养学生探究能力和创新精神的开始。导学案就是要通过问题的设置, 引起学生的数学思考, 培养学生的数学思维, 提高学生自主探究的兴趣。然而, 过多的问题即不利于集中精力突出重点, 在教学中迷失方向, 又容易让学生患上问题恐惧症, 降低学生探究的积极性, 导致学习效率的下降。
例如, 《一元二次方程》一课的设计学案中, 我设计了由旧知探究新知的3个前后联系的问题, 让学生从旧知中迁移出新知;又比如在探究一元二次方程的解法这一环节中, 根据例题, 设计一个问题, 让学生采用不同的解题方法进行解题, 体会解题的方法, 实现一题多解, 一练多能。再比如, 在巩固练习阶段, 设计如上所述的两个问题, 让学生通过自主探究, 掌握方法, 提高能力。
一、 名题欣赏：李白买酒
诗仙李白嗜酒、豪放、旷达，斗酒诗百篇，是唐代“饮中八仙”之一.民间流传李白买酒的歌谣：
李白街上走，提壶去打酒；
遇店加一倍，见花喝一斗；
三遇店和花，喝光壶中酒.
试问酒壶中，原有多少酒？
【分析】设壶中原有x斗酒.
一遇店和花后，壶中酒为：2x-1；
二遇店和花后，壶中酒为：2（2x-1）-1；
三遇店和花后，壶中酒为：2[2（2x-1）-1]-1.
因此，有关系式：2[2（2x-1）-1]-1=0；
解得：x=8/7.
二、 名题欣赏：九章算术·共买鸡
今有共买鸡，人出九，盈十一，人出六，不足十六，问人数、物价各几何？
【分析】设有x人共同买鸡，则共用钱可用二个式子表示，一个是9x-11，另一个是6x+16，则得方程9x-11=6x+16，解得x=9，9x-11=70，答：人数9，鸡价70钱.
三、 名题欣赏：四元玉鉴·及时梨果
九百九十九文钱，及时梨果买一千，
一十一文梨九个，七枚果子四文钱.
问：梨果多少价几何？
此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1 000个，梨11文买9个，果4文买7个.问买梨、果各几个，各付多少钱？
答：买梨付款总价803文，买果付款总价196文.
许多数学问题，像陈年老酒，历久弥香，背后展现的是丰富的数学文化.
（作者单位：江苏省如皋市实验初级中学）
一元二次方程
单元复习
学习目标：
1、进一步理解一元二次方程的意义。
2、熟练掌握一元二次方程的解法，会根据一元二次方程的特点灵活地选择解法。
3、理解并掌握一元二次方程知识在数学中和生活中的应用，养成建立数学模型解决实际问题的思想方法。
4、培养和提高分析问题、解决问题的能力。体会数学的价值。学习过程：
一、阅读教材试编写知识结构图，并与教材知识点作比较。
二、梳理本章知识：
1、一元二次方程的定义及一般形式： 理解一元二次方程的定义须抓住哪三个要素？
一元二次方程的一般形式是什么？应注意什么？要确认一元二次方程的各项系数须注意些什么？
2、一元二次方程有哪四种解法？其中哪几种解法属特殊解法？哪属一般解法？
（1）直接开平方法：什么形式的方程可用直接开平方法求解？（2）因式分解法：
如果一元二次方程经过因式分解能化成（x＋a）（x＋b）＝０的形式，它就可以化为哪两个一元一次方程来求解？这种方法体现了怎样的数学思想？你能小结因式分解法的步骤吗？（3）配方法：
2通过配方把一元二次方程ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０变形为（ｘ+）＝的形式，再利用直接开平方法解之，这就是配方法。
请你小结配方法解一元二次方程的一般步骤：
① 移
②化
③ 配
④ 用直接开平方法解变形后的方程。（注 “将二项系数化为１”是配方的前提条件，配方是关键）
（4）公式法：（注意根的判别式与根的数量的关系）
你会写出求根公式吗？注意的条件是什么？你会推导这个“万能公式”吗？用公式法解一元二次方程的一般步骤：
/ 3
①化方程为一般形式，即
（ａ≠０）； ②确定ａ、ｂ、ｃ的值，并计算
的值（注意符号）； ③当ｂ2－4ａｃ≥０时，将ａ、ｂ、ｃ及ｂ2－4ａｃ的值代入求根公式，得出方程根：ｘ＝
；当ｂ2－4ａｃ
０时，原方程
实数解。
3、解一元二次方程的应用题基本步骤有：
（1）审
。（2）设
（3）列
（4）解方程。（5）检验，结果是否符合实际意义。
4、用适当的方法解下列一元二次方程。
1.x22x503.x216x406.0.09x20.21x0.102.(x4)2(2x1)204.2x23x60
5.x23a24ax（a为常数）7.(x4)2(x5)2(x3)2244x5、自我提高
（一）填空题：
（1）x2x
（2）4x2(x1()21)2)2
（3）x24x3(x
将多项式3x212x写成配方的形式：________________
（二）解下列方程：
（1－x）2=1
49x2－144=0
x2＋6x＋9=0
x（7－3x）=4x（40－2x）（28－2x）=448
2x2－3（x－3）2=6
（三）解答题：
1、已知：x24xy5y24y40，求yx；
/ 3
22、已知关于x的方程(m3)xm12(m1)x10
（1）m为何值时，它是一元一次方程。
（2）m为何值时，它是一元二次方程，并求出此方程的解；
（四）将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
利用配方法法解一元二次方程
学习目标：
1、会用配方法解一元二次方程。
2、能利用配方法证明代数式的值恒大于0。
3、进一步培养学生独立、自主、合作探究的能力。
学习重点：配方法的推理
学习过程
一、回顾旧知
ab
x12 40122x90 2
2小结：两个方程都可以用求解。
二、课前预习
请将下列多项式变形为完全平方式与单项式相加的形式，并说一说你的思路
x22xx24x
3三、合作探究
A、讨论：x2x5能否经过适当变形，将它转化为22a的形式，用直接开平方法求解？
小结：我的方法是。
小练笔：
1、解方程x4x3022、x6x2x 2x8x2x
22x23x2x 2B、如果二次项系数不为1，应该如何解决？2x7x40
由此我们得出用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
1、二次项系数化为；
2、移项：把常数项移到方程的；
3、配方：方程的两边同时加上的平方，从而化成xkm的形式（k、m均为常数）；
4、当方程的左边是数或完全平方式时，利用直接开平方法求解。
C、用配方法证明代数式3x6x10的值恒大于0.四、达标检测
1、把下列各式配成完全平方式 2
21x28x=(x)2x2x=(x)2
x2=(x)2 2x2x=(x)2
变式训练：A、用配方法将下列各式化为xmn的形式
2x22x3(x)2()
x21(x)2()
B、若xkx9是一个完全平方式，则k的值是
2、用配方法解方程
2x2+4x3=0x2+3x+1=02x2-5x+3=0
0.4x2-0.8x=
1x2=
4221yy203
3x32x1
5x22x2x12、已知二次方程3x2a5x3a10有一个根为x2，求另一个根并确定a的值。
23、若一元二次方程x2x35990的两根分别为a、b，且a＞b,求2a-b的值。
学习目标：了解什么是一元一次不等式；通过类比一元一次方程的解法和一般步骤，掌握一元一次不等式的解法和一般步骤，培养学生合情推理能力。
学习重点：一元一次不等式和解一元一次不等式的一般步骤。
难点 ：一元一次不等式的解法，应突出抓住与方程解法不同的地方，加强“去分母”和“系数化一”这两个步骤
一、自主学习：
1、(1)什么不等式的解？什么叫解不等式？不等式的基本性质？
(2)什么叫一元一次方程？解一元一次方程的一般步骤是什么?
(3)什么叫一元一次不等式？
2、已知(m－1)(x－1)＋3＝0是一元一次方程，则m＝()。
3、解方程
4、将下列不等式化成或的形式
（2）3x+3≥5x－9
二、合作探究：
探究一：1.观察下列不等式回答问题
（1）3x+3≤5x－9
（2）3x≥－9
上述不等式有哪些共同特点（结合一元一次方程的定义回答）？
＊一元一次不等式：不等式的左右两边都是
只含有
并且未知数的像这样的不等式，称为一元一次不等式
2．请同学们自己列出几个不等式同桌检查
探究二：
1、请结合解一元一次方程的步骤试解不等式并把解集表示在数轴上。
2.议一议：观察上述不等式的解法，你能总结出解不等式的步骤吗？
3.做一做：解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来.三、当堂检测：
1、下列不等式是一元一次不等式的有几个？
（6）5＞22、当时，3、代数式的值小于，则的取值范围是
4、.当时，的值为非负数
5、若为一元一次不等式，则
6、解不等式
（1）
（2）
（3）3（x+1）≥5x－9
（4）
四、延伸拓展：
1、解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、已知不等式的解集是，那么应满足什么条件？
一、名题欣赏：李白买酒
诗仙李白嗜酒、豪放、旷达，斗酒诗百篇，是唐代“饮中八仙”之一.民间流传李白买酒的歌谣:
李白街上走，提壶去打酒；
遇店加一倍，见花喝一斗；
三遇店和花，喝光壶中酒.
试问酒壶中，原有多少酒？
【分析】设壶中原有x斗酒.
一遇店和花后，壶中酒为：2x-1;
二遇店和花后，壶中酒为：2(2x-1)-1;
三遇店和花后，壶中酒为：2[2(2x-1)-1]-1.
因此，有关系式：2[2(2x-1)-1]-1=0;
二、名题欣赏：九章算术·共买鸡
今有共买鸡，人出九，盈十一，人出六，不足十六，问人数、物价各几何？
【分析】设有x人共同买鸡，则共用钱可用二个式子表示，一个是9x-11，另一个是6x+16，则得方程9x-11=6x+16，解得x=9,9x-11=70，答：人数9，鸡价70钱.
三、名题欣赏：四元玉鉴·及时梨果
九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱.
问：梨果多少价几何？
此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1 000个，梨11文买9个，果4文买7个.问买梨、果各几个，各付多少钱？
【分析】设买梨x个，则买果（1 000-x）个，由题意有
即77x+36 000-36x=62 937,41x=26 937,41x÷41=26 937÷41,x=657，买梨付款总价：（文），买果付款总价：999-803=196（文）.
答：买梨付款总价803文，买果付款总价196文.
一、特殊设元型
1.求整体，设部分。
例1 有一个八位的电话号码，前四位数字完全相同，从第四位到第八位是依次减小的连续自然数，全部数字之和恰好等于号码的最后两位数字组成的两位数（两位数字的前后顺序不变），请写出这个电话号码。
分析：前四位数字完全相同，且它们与后四位数字有联系，因此可将前四位数字设出来，这样便于列方程求解。
解：设前四位数字均为x，则后四位数字依次为x-l，x-2，x-3。x-4。
由题意得
4x+x-1+x-2+x-3+x-4=10（x-3）+x-4。
解得x=8。
故x-1=7，x-2=6，x-3=5，x-4=4。
所以这个电话号码是88887654。
2.求部分，设整体。
例2 有四名同学，他们每人手中都有一些钱，其中每三名同学手中的钱加起来分别为22元、19元、27元、25元，这四名同学手中的钱分别有多少元？
分析：按常规解法，需设四个未知数，列出多个方程，但目前大家还不会求解。由于目前大家只学了一元一次方程，所以考虑把整体设为未知数。
解：设这四名同学手中的钱共有x元。则每人手中的钱分别有（x-22）元、（x-19）元、（x-27）元、（x-25）元。
由题意得
（x-22）+（x-19）+（x-27）+（x-25）=x。
解得x=31。
故x-22=9，x-19=12，x-27=4。x-25=6。
所以这四名同学手中的钱分别有9元、12元、4元、6元。
3.未知数多，增设辅助未知数。
例3 某人乘坐小船沿河逆流而上，途中不慎将手机保护壳丢失，手机保护壳在河中顺流而下。15min后，此人发现这一情况，并立即掉转方向去寻找手机保护壳。假设小船在静水中的行驶速度不变，水流速度也不变，则此人掉转方向后需要多长时间可追上手机保护壳？
分析：题中未知数较多，已知数只有一个，问题不易解决。此时可考虑增设辅助未知数，并通过运算将辅助未知数消去，从而解决问题。
解：设此人掉转方向后需要xmin可追上手机保护壳，小船在静水中的行驶速度为am/min，水流速度为bm/min，则小船逆流行驶15min的行程为15（a-b）m，顺流行驶xmin的行程为（a+b）xm，手机保护壳的行程为b（15+x）m。
由题意得（a+b）x=15（a-b）+b（15+x）。
化简，得ax=150a
因为a≠0，所以x=15。
所以此人掉转方向后需要15min可追上手机保护壳。
二、巧买型
例4 王老师带领甲、乙两位同学到文具店买笔记本，文具店给出了以下优惠措施：笔记本售价为2.3元/本，如果买100本以上（不含100本），售价调整为2.2元/本。王老师手中有222.2元钱，准备买100本笔记本。甲同学算了一下说买不到，而乙同学算了一下说能买到。这到底是怎么回事？请通过计算说明。
分析：两位同学肯定是根据不同的售价进行计算的。当1≤n≤100时，买n本笔记本需2.3n元；当n>100时，买n本笔记本需2.2n元。
解：甲同学的算法是：按售价为2.3元/本计算，设222.2元能买x本，由题意得2.3x=222.2，解得x≈96.6，不够100本。
乙同学的算法是：按100本以上（不含100本）售价为2.2元/本计算，设222.2元能买y本，由题意得2.2y=222.2，解得y=101，这样能买101本。
三、简解型
例5 国庆期间，刘同学决定从家门口搭乘公共汽车赶往火车站，再乘火车回老家看望爷爷。在搭乘公共汽车行驶了三分之一的路程后，他估算了一下，继续乘公共汽车将会在火车开出后半小时到达火车站，于是随即下车改乘出租车，车速提高1倍，结果赶在火车开出前15min到达火车站。假设公共汽车的速度始终为40km/h，求刘同学家到火车站的距离。
分析：只要明白节省的时间是因为在剩下的三分之二的路程中由公共汽车换了出租车，就能快速求解问题。
解：设刘同学乘公共汽车行驶xkm，则刘同学家到火车站的距离为3xkm，刘同学乘出租车行驶2xkm。
由题意得2x/40-2x/80=45。
解得x=30。
故3x=90。
所以刘同学家到火车站的距离为90km。
四、节省型
例6 某超市国庆期间举行促销活动。给出了以下优惠措施：一次性购物少于200元的，不给予优惠：一次性购物不少于200元但不超过500元的，给予九折优惠；一次性购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠。某人两次购物分别花了134元、466元。
（1）此人两次购物节省了多少钱？
（2）若此人将两次购买的商品合起来一次性购买，是否更省钱？请通过计算说明。
分析：解决问题的关键在于确定一次性购物的原价所在的范围（少于200元、不少于200元但不超过500元、超过500元）。
解：（1）因为200×90%=180>134，所以此人第一次花费134元购买的商品没有优惠。
因为500×90%=450<466，所以此人第二次花费466元购买的商品的原价超过500元。
设他第二次购买了原价为x元的商品，由题意得500×90%+（x-500）×80%=466。解得x=520。
所以此人两次购买的商品的原价分别为134元、520元，节省了520-466=54（元）。
（2）若将两次购买的商品合起来一次性购买，则商品的原价为134+520=654（元），他实际需要付500×90%+（654-500）×80%=573.2（元），能节省654-573。2=80.8（元）。
所以此人将两次购买的商品合起来一次性购买更省钱。
（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。
解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。
算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。
加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。
数量关系式（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。
差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。
数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数
最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数
最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。
例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。
分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1”，则汽车行驶的总路程为“ 2”，从甲地到乙地的速度为 100，所用的时间为，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米，所用的时间是，汽车共行的时间为 + = ,汽车的平均速度为 2÷ =75（千米）
（2）归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。
根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。
根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。
一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。”
两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。”
正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。
反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。
数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一）
总数量÷单一量=份数（反归一）
例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米，照这样计算，织布 6930 米，需要多少天？
分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。693 0÷（477 4÷ 31）=45（天）
（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。
特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。
数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量 =另一个单位数量
单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量。
例 修一条水渠，原计划每天修 800 米，6天修完。实际 4天修完，每天修了多少米？
分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。80 0× 6÷ 4=1200（米）
（4）和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。
解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。
解题规律：（和＋差）÷2 =大数
大数－差=小数
（和－差）÷2=小数
和－小数=大数
例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94人，因工作需要临时从乙班调 46人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12人，求原来甲班和乙班各有多少人？
分析：从乙班调 46人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2个乙班，即 9 4－ 12，由此得到现在的乙班是（9 4－ 12）÷ 2=41（人），乙班在调出 46人之前应该为 41+46=87（人），甲班为 9 4－ 87=7（人）
（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。
解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。
解题规律：和÷倍数和=标准数
标准数×倍数=另一个数
例:汽车运输场有大小货车 115辆，大货车比小货车的 5倍多 7辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？
分析：大货车比小货车的 5倍还多 7辆，这 7辆也在总数 115辆内，为了使总数与（5+1）倍对应，总车辆数应（115-7）辆。
列式为（115-7）÷（5+1）=18（辆），18× 5+7=97（辆）
（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。
解题规律：两个数的差÷（倍数－1）=标准数 标准数×倍数=另一个数。
例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米，乙绳长 29 米，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？
分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3倍，实比乙绳多（3-1）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（63-29）÷（3-1）=17（米）„乙绳剩下的长度，17× 3=51（米）„甲绳剩下的长度，29-17=12（米）„剪去的长度。
（7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程=速度和×时间。
同时相向而行：相遇时间=速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。
例 甲在乙的后面 28 千米，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米，乙每小时行 9 千米，甲几小时追上乙？
分析：甲每小时比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小时可以追近乙（16-9）千米，这是速度差。已知甲在乙的后面 28 千米（追击路程），28 千米 里包含着几个（16-9）千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8÷（16-9）=4（小时）
（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。
船速：船在静水中航行的速度。
水速：水流动的速度。
顺水速度：船顺流航行的速度。
逆水速度：船逆流航行的速度。
顺速=船速＋水速
逆速=船速－水速
解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索。
解题规律：船行速度=（顺水速度+逆流速度）÷2 流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2 路程=顺流速度× 顺流航行所需时间
路程=逆流速度×逆流航行所需时间
例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？
分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流 速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 284× 2=20（千米）2 0× 2 =40（千米）40÷（4× 2）=5（小时）28× 5=140（千米）。
（9）还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。
解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。
解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。
根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。
解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。
例 某小学三年级四个班共有学生 168人，如果四班调 3人到三班，三班调 6人到二班，二班调 6人到一班，一班调 2人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？
分析：当四个班人数相等时，应为 168÷ 4，以四班为例，它调给三班 3人，又从一班调入 2人，所以四班原有的人数减去 3再加上 2等于平均数。四班原有人数列式为 168÷ 4-2+3=43（人）
一班原有人数列式为 168÷ 4-6+2=38（人）；二班原有人数列式为 168÷ 4-6+6=42（人）三班原有人数列式为 168÷ 4-3+6=45（人）。
（10）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。
解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。
解题规律：沿线段植树 棵树=段数+1
棵树=总路程÷株距+1 株距=总路程÷（棵树-1）
总路程=株距×（棵树-1）
沿周长植树
棵树=总路程÷株距
株距=总路程÷棵树
总路程=株距×棵树
例 沿公路一旁埋电线杆 301根，每相邻的两根的间距是 50 米。后来全部改装，只埋了201根。求改装后每相邻两根的间距。
分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为 50×（301-1）÷（201-1）=75（米）
（11）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。
解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。
解题规律：总差额÷每人差额=人数
总差额的求法可以分为以下四种情况：
第一次多余，第二次不足，总差额=多余+不足
第一次正好，第二次多余或不足，总差额=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足，总差额=大不足-小不足
例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10人，则多 25支，如果小组有 12人，色笔多余 5支。求每人 分得几支？共有多少支色铅笔？
分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12人，比 10人多 2人，而色笔多出了（25-5）=20支，2个人多出 20支，一个人分得 10支。列式为（25-5）÷（12-10）=10（支）10× 12+5=125（支）。
（12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。
解题关键：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。
例 父亲 48岁，儿子 21岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4倍？
分析：父子的年龄差为 48-21=27（岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的 4倍，可知父子年龄的倍数差是（4-1）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4倍。列式为： 21（48-21）÷（4-1）=12（年）
（13）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题
解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。
解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数 兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2 如果假设全是兔子，可以有下面的式子：
鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2 兔的头数=总头数-鸡的只数
例 鸡兔同笼共 50个头，170条腿。问鸡兔各有多少只？
兔子只数（170-2× 50）÷ 2 =35（只）
2、在解答应用题中，学生对分析问题、寻找数量关系的能力较差。在这节课中，我把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法。特别是用列表格的方法帮助学生理清题目中的数量关系，找到等量关系。
3、但学生在学习的过程中，却不能很好地掌握这一要领，会经常出现一些意想不到的错误。诸如，数量之间的相等关系找得不清;列方程忽视了解设的步骤等。我在上课的过程中忽视了学生能力的培养，没有培养学生良好的思维表达习惯。对于我来说，如何让学生改变这种不良的学习习惯，能够正确的理解和掌握解题的方法是我应该不断研究的思路和改进教学方法的.关键。
解一元一次方程的应用---工作问题教学建议：
例1 洞庭实验学校准备在五一黄金周组织部分教师到张家界旅游，现联系了甲、乙两家旅行社．两家旅行社报价均为400元 ／ 人，同时两家旅行社都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位游客七五折优惠；乙旅行社是免去1位带队老师的费用，其余的八折优惠．
（1） 人数为多少时，两家旅行社的收费相同？
（2） 请你通过计算说明，旅游人数在什么范围时选择甲旅行社费用较少，旅游人数在什么范围时选择乙旅行社费用较少．
分析：本题是2005年湖南省益阳市中考题．本题主要考查分类讨论的思想以及运用方程、不等式解决实际问题的能力．
解：（1） 设参加旅游的教师为x人时，两家旅行社收费相同．
根据题意，得400×75％x＝400×80％（x－1）．
解得x＝16．
故当人数为16时，两家旅行社收费相同．
（2） 设参加旅游的教师为x1人时，甲旅行社收费较少．
根据题意，得400×75％x1＜400×80％（x1－1）．
解得x1＞16．
设参加旅游的教师为x2人时，乙旅行社收费较少．
根据题意，得400×75％x2＞400×80％（x2－1）．
解得x2＜16．
故当人数大于16时，甲旅行社收费较少；当人数小于16时，乙旅行社收费较少．
例2 某学校为加强信息技术课的教学，拟投资兴建一个初级计算机房和一个高级计算机房．每个机房配置1台教师用机和若干台学生用机．现有厂方提供的产品推介单一份，如下表．
现知教师配置CZXM系列机型，学生配置CZXN系列机型．所有机型均按八折优惠销售．若两个机房购买计算机的钱数相等，并且每个机房购买计算机的钱数不少于20万元也不超过21万元．问：拟建的两个机房各能配置多少台学生用机？
分析：本题主要考查数形结合的思想以及运用方程、不等式组解决实际问题的能力．
解：设初级、高级机房分别配置学生用机x台、y台．由题意，得
（10 000＋4 375x）×0．8＝（14 375＋8 750y）×0．8，
200 000≤（10 000＋4 375x）×0．8≤210 000．
化简，得x－2y＝1，
≤x≤
．
∵x、y只能取正整数，∴x＝55或x＝57．从而y＝27或y＝28．
∴初级、高级机房各能配置学生用机55台、27台，或配置57台、28台．
一、敬老院的老人有多少
例1 (2012山东日照) 某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶, 那么剩下28盒牛奶;如果分给每位老人5盒牛奶, 那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒, 但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有 () 。
A.29人B.30人C.31人D.32人
解析:设有x位老人, 则牛奶有 (4x+28) 盒, 故1≤ (4x+28) -5 (x-1) <4, 得29
点评:本题主要考查一元一次不等式组的应用, 难点是设未知数列不等式组, 易错点是求解错误。
二、知识竞赛答对了几道题
例2 (2012福州) 某次知识竞赛共有20道题, 每一题答对得5分, 答错或不答都扣3分。
(1) 小明考了68分, 那么小明答对了多少道题?
(2) 小亮获得二等奖 (70分~90分) , 请你算算小亮答对了几道题?
解析:对于 (1) , 设小明答对了x道题, 则可列出一元一次方程进行求解;对于 (2) , 由于小亮得分在70分~90分之间, 如果设其答对了y道题, 那么他最少得70分, 最多得90分, 因此可列出不等式组进行求解。
答案:解: (1) 设小明答对了x道题, 依题意得
5x-3 (20-x) =68, 解得x=16
答:小明答对了16道题。
(2) 解:设小亮答对了y道题, 依题意得
答:小亮答对了17道题或18道题。
点评:本题通过两个问题, 考查学生列方程 (组) 、不等式组解决实际问题的能力, 体现数学问题源自现实生活, 而又为更好地解决现实问题的辩证规律。
三、有几种运输方案
例7 (2012年浙江省温州市中考) 温州享有“中国笔都”之称, 其产品畅销全球, 某制笔企业欲将n件产品运往A, B, C三地销售, 要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍, 各地的运费如图所示。设安排x件产品运往A地。
(1) 当n时, (1) 根据信息填表:
(2) 若运往B地的件数不多于运往C地的件数, 总运费不超过4000元, 则有哪几种运输方案?
(2) 若总运费为5800元, 求n的最小值。
分析:数量关系: (1) 运往C地的件数是运往A地件数的2倍;件数和为200; (2) 运往B地的件数不多于运往C地的件数; (3) 总运费不超过4000元
解: (1) (1) 根据信息填表:
∵x为整数, ∴x=40或41或42,
∴有三种方案, 分别为:
(i) A地40件, B地80件, C地80件;
(ii) A地41件, B地77件, C地82件;
(iii) A地42件, B地74件, C地84件.
(2) 由题意得30x+8 (n-3x) +50x=5800, 整理得n=725-7x。
∵n-3x≥0∴x≤72.5。
又∵x≥0, ∴0≤x≤72.5且x为整数。
∵n随x的增大而减少, ∴当x=72时, n有最小值为221。
点评:列不等式组解实际问题与列方程组解实际问题的方法、步骤类似, 关键是要认真审题, 仔细分析数量之间的关系, 运用数学思维方式抓住表示不等的关键词句, 如:“超过”、“多于”、“不足”、“至少”、“大于”、“不超过”、“不小于”等列出不等式组.
四、用电量属于第几档
例4 (2012江苏省淮安市) 某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下:
例若某户月用电量400度, 则需缴电费为
210×0.52+ (350-210) × (0.52+0.05) + (400-350) × (0.52+0.30) =230 (元)
(1) 如果按此方案计算, 小华家5月份的电费为138.84元, 请你求出小华家5月份的用电量;
(2) 依此方案请你回答:若小华家某月的电费为a元, 则小华家该月用电量属于第几档?
分析: (1) 计算出第二档最低用电量的费用进行比较即可; (2) 分别计算出第一档最低用电费和第二档最低电费对a值进行讨论。
解: (1) 因为属于第二档最低用电量的费用为:210×0.52+ (350-210) × (0.52+0.05) =189 (元) >138.84元, 所以小华家5月份的用电量属于第二档。
设小华家5月份的用电量为x度, 由题意, 得210×0.52+ (x-210) × (0.52+0.05) =138.84.解得x=262。
答:小华家5月份的用电量262度。
(2) 对于a的取值, 应分三类讨论:
(1) 当0
(2) 当109.2
(3) 当a>189时, 小华家用电量属于第三档。
点评:本题考查了一元一次方程的应用, 解题关键是要读懂题目的意思, 根据题目给出的条件, 找出合适的等量关系列出方程, 再求解。
五、哪家宾馆更实惠
例5 (2012黔东南州) 我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习, 预订宾馆住宿时, 有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择, 其收费标准均为每人每天120元, 并且各自推出不同的优惠方案。甲家是35人 (含35人) 以内的按标准收费, 超过35人的, 超出部分按九折收费;乙家是45人 (含45人) 以内的按标准收费, 超过45人的, 超出部分按八折收费。如果你是这个部门的负责人, 你应选哪家宾馆更实惠些?
解析:设教师人数为x。
(1) 当0
(2) 当35
(3) 时x>45, 35×120+120 (x-35) ×90%<45×120+120 (x-45) ×80%, 即45
(4) 当x>45时, 35×120+120 (x-35) ×90%=45×120+120 (x-45) ×80%, 即x=55 (人) 时, 两家宾馆一样优惠;
(5) 当x>55时, 35×120+120 (x-35) ×90%>45×120+120 (x-45) ×80%, 即x>55, 乙宾馆更优惠;
答:总之, 当x≤35或x=55时, 选择两个宾馆是一样的;当35
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