《一元一次方程》教学设计与反思
广宗县葫芦中学
刘春娜
教学目标：
1、了解方程和方程的解以及一元一次方程的概念；
2、使学生从简单的实际问题中建立一元一次方程的模型；
3、经历把具体问题转化成一元一次方程的过程。教学重点和难点：
重点难点：理解和掌握一元一次方程。教学过程：
一、创设情境，引入新课： 猜一猜老师的年龄。
我的年龄乘2减20得32。请同学们讲出自己的想法。
学生有用算术方法解的有用方程解的。这时提出方法的概念：
含有未知数的等式叫方程
二、探究新知：
（一）练一练：
判断下列各式是不是方程,并讲明理由。
（1）-2+5=3(2)3X-1=7(3)x+y=8(4)2a+b 分析“我的年龄乘2减20得40.设我的年龄为X岁。（设未知数）
年龄X2-20=40（找出等量关系）2x-20=40（列出方程）
（二）建立一元一次方程模型：
根据下列问题,设未知数并列出方程: ①、用一根长24cm的铁丝围成一个长方形，使它的长是
宽的1.5倍，长方形的长，宽各是多少？
解：（1）设宽为xcm,那么长为1.5xcm。
（2）等量关系:（长+宽）×2=24(3)1.5x+x=24 ②国庆节商场进行打折活动的时候，晨晨同学看中一件
运动衣，按8折销售为80元，这件衣服的原价是多少元？
解：设这件衣服的原价为x元,则： 0.8x=80 ③因校园搞绿化，有一棵树刚移栽到我们学校时，树高
为2米，假设以后平均每年长0.3米，几年后树高为5米？
解：设x年后树高为5米,则： 2+0.3x=5
（三）一元一次方程的认识：
请同学们比较一下刚才你们列的三个方程，有什么样的特点？ 1.5x+x=24 0.8x=80 2+0.3x=5 注意：方程两边都是整式；
只含有一个未知数；
未知数的指数是一次。
问题①：一元一次方程中元指的是什么？次指的是什么？
②判断下列成员是否是一元一次方程家庭成员,能否进入家庭聚会之门?若不行,请说明理由。
第一组: 1)、5x=0 2)、1+3x 3)、y2=4+y 4)、3m+2=1-n 第二组: 若2xb+1=5,(a-1)x2+x=3也想参加聚会,a,b应满足什么条件? ③估算2+0.3x=5中x的值。根据学生的回答，当x=8或者x=10时，怎样来验证？引导学生用左边等于右边进行检验： 把x=10代入方程左、右两边，右边=5 左边右边=5 左边=右边，所以x=10是方程2+0.3x=5的解 a、学生自己练习当x=8时，是不是方程的解
b、学生总结出方程的解的概念：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解。c、什么叫解方程：
求方程的解的过程叫做解方程。
三、巩固练习：
(1)－1=4是方程吗？
(2)列式表示a与3的差等于－2。(3)上题列出的式子是方程吗？如果是，未知数是什么？方程的解是什么？并说明自己的理由。
(4)综合题：天平的两个盘A、B分别盛有51g，45g盐，设应该从盘A内拿出多少g盐到盘B内，才能使两者所盛盐的质量相等？ 1x《一元一次方程》教学反思
这节课是湘教版七年级上册《一元一次方程》的第一节课，内容比较简单。本课的重点是让学生根据多种实际问题中的数量关系,找出等量关系,感受方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型，列出方程,并归纳出一元一次方程的概念。
学生在小学已经学过了等式、等式的基本性质、方程、方程的解等知识，对方程已有初步认识.但这个过程没有给“一元一次方程”这样准确的理性的概念。本节课是基于学生在小学已经学习的基础上来进行的。继续对有关方程的一些初步知识，并能通过对多个熟悉的实际问题的分析，由学生结合已有知识，得出一元一次方程，并能给出一元一次方程的简单概念及一些相关概念。
上完本节课。我的反思有以下几点：
1、本课利用“猜年龄”的游戏导入新课极大地调动了学生的积极性。
2、通过以练带学发现学生对方程以及方程解的定义掌握的比较好。
3、通过探究新知这部分的学习，发现学生参与课堂活动特别积极，能主动的进行交流，而不是流于形式。每位学生都有所收获，体现了学生的主体地位。
4、巩固练习这部分恰到好处，掌握的也很好。由于时间关系，没来得及让学生自己课堂小结
5、在一元一次方程概念上讲解的不是特别清楚，另外练习题讲解的有点快，部分学生掌握效果不好。
方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型, 应用比较广泛, 而从实际问题中抽象出方程, 并求出方程的解是解决问题的关键。配方法既是解一元二次方程的一种重要方法, 同时也是推导公式法的基础。配方法又是初中数学的重要内容, 在二次根式、代数式变形及二次函数中都有广泛应用。
学情分析
我教的是一个平行班, 学生的基础层次不齐。
教学目标
1.理解配方法解一元二次方程的基本步骤, 掌握X2+pX+q=0等价转化为 (x+m) 2=n的过程与方法;让学生学会怎样将方程X2+pX+q=0等价转化成 (x+m) 2=n的形式。
2.会用配方法解一元二次方程, 能够处理各种不同的情形。
3.学生在独立思考和自主探究中感受成功的喜悦, 并体验数学的价值, 增强学生学习数学的兴趣。
教学重难点
重点:用配方法解一元二次方程
难点:配方, 把方程化成 (x+m) 2=n的形式
教学问题诊断
1.学生已经会解一元一次方程, 了解平方根的概念、平方根的性质以及完全平方公式, 并刚刚学习了一元二次方程的概念和直接开平方法解一元二次方程;
2.学生在之前的学习中已经学习过“转化”“化归”等数学思想方法, 具备了学习本课时内容的较好基础;
3.本节课中研究的方程不具备直接开平方法的结构特点, 需要合理添加条件进行转化, 即“配方”, 而学生在以前的学习中没有类似经验, 理解起来会有一定的困难, 同时完全平方公式的理解对学生来说也是一个难点, 所以在教学过程中要注意难点的突破。
教学过程
(一) 复习旧知起航新知
前面学过形如x2=p或 (mx+n) 2=p (p≥0) 的方程, 可用直接开平方法来解, 可得。用到的思想方法是通过降次, 把二次方程转化为我们能解的一次方程。
复习完全平方公式:a2±2ab+b2= (a±b) 2
开心练一练:1.用直接开平方法解下列方程: (x+3) 2=25
(二) 合作交流探究新知
问题:使一块矩形场地的长比宽多6m, 并且面积为16m2, 场地的长和宽应各是多少?
解:设场地宽为x米, 则长为 (x+6) 米,
根据题意得:x (x+6) 2=16
整理得:x2+6x-16=0
思考:怎样解方程x2+6x-16=0?能用直接开平方法来解吗?
学生自主探究课本P32, 思考下列问题:
1.方程x2+6x-16=0可化 (x+m) 2=n的形式吗?
2.讨论:在框图中第二步为什么方程两边加9?其目的是什么?
框图:
交流与点拨:
重点在第2个问题, 可以互相交流框图中的每一步, 实际上也是第3个问题的讨论, 教师这时对框图中重点步骤作讲解, 特别是两边加9是配方的关键, 使之配成完全平方式。利用x2+px+[p2]2=[x+p2]2, 注意9= (62) 2, 而6是方程一次项系数。所以得出配方是方程两边加上一次项系数一半的平方, 从而配成完全平方式。
像上面那样, 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法, 叫做配方法。
(三) 典型例题边做边讲
例1 (教材P33) 解下列方程:
解:
移项, 得x2-8x=-1
配方x2-8x+42=-1+42
(x-4) 2=15
(2) 2x2+1=3x
解:移项, 得2x2-3x=-1
(3) 3x2-6x+4=0
解:移项, 得3x2-6x=-4
二次项系数化1, 得
(第1题让学生独立完成, 老师点评纠正;第2题师生一起分析, 教师板书示范演练, 第3题让学生试着做, 教师点拨纠正, 通过例题的学习让学生仔细体会用配方法解方程的一般步骤, 第3题让学生试着做, 教师点拨纠正, 同时还牵引出方程的根的另一种情况, 无实数根的情况。)
(四) 反馈练习巩固新知
1.教材P34练习2 (根据时间可以分组完成, 学生扮演, 教师点评。)
(1) x2+10x+9=0 (2) x2-2x+2=0 (3) 3x2+6x-4=0
(五) 梳理知识系统小结
1.通过这节课的学习, 我们学到了哪些知识? (用配方法解一元二次方程)
2.配方法解方程的一般步骤是什么?
(1) 移项 (使方程左边只含有二次项和一次项, 右边为常数项) ;
(2) 化二次项系数为1 (方程两边都除以二次项系数) ;
(3) 配方 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) ;
(4) 变形为 (x+m) 2=n的形式, 若n≥0, 则求出方程的解;若n<0, 则原方程无实数根。
(六) 课后作业拓展提高
教材P42习题22.2第3题、第9题。 (必做题)
试用配方法证明:不论a取任何实数, a2-a+1的值总是一个正数。 (思考题)
证明:∵a2-a+1
∴a2-a+1的值总是一个正数。
二、教学反思
数学教学是数学活动的教学, 听过一句话“让学生从做中学。”这种教学理念反映在数学教学上就是“做数学”, 就是要用一种亲身体验的数学学习方式来有效地回避那种“灌输式”的数学学习。强调学生学习数学是一个现实的体验、理解、领悟和反思的过程, 强调以学生为主体的学习活动。
在我的《降次——解一元二次方程配方法 (2) 》这节课中充分体现了让学生经历“做数学”的过程。
在复习了完全平方公式和直接开平方法解一元二次方程后, 以矩形面积为背景引出方程x2+6x-16=0。接着提出问题:“这个方程可以用直接开平方法来解吗?”为后面学生的自主探究作了心理上的铺垫, 也为将方程x2+6x-16=0的一边配成完全平方形式做了导引, 于是产生后面的“移项”、“方程两边同时加上一次项系数一半的平方”、“方程一边写成完全平方形式”等具体做法;教学中, 引导学生认识到这些做法是依据解方程的方法和步骤产生的, 并在理解的基础上记忆这些做法。强调当二次项系数是1时, “方程两边同时加上一次项系数一半的平方”是配方的关键;让学生带着问题“ (1) 方程x2+6x-16=0可化 (x+m) 2=n的形式吗? (2) 讨论:在框图中第二步为什么方程两边加9?其目的是什么?”结合具体方程x2+6x-16=0, 自主探究以框图形式表示的用配方法解方程的全过程, 使学生对配方法的基本步骤有了具体的初步认识。我挑重点和难点细讲、点拨, 尽量使每一位学生都理解掌握框图, 并且通过先提出“配方”一词再提出“配方法”一词, 以及适时适当的设置几个配方小练习, 逐步地揭开配方法解一元二次方程的面纱, 帮助学生突破难点;安排解解看的目的是让学生进一步探究巩固用配方法解二次项系数是1的类型的一元二次方程。安排典型例题, 可以说明如何用配方法解二次项系数不是1的类型的一元二次方程。在第一类型方程解法的基础上认识第二类型方程的解法, 由简单到复杂, 步步深入, 对配方法形成全面的理解, 从而掌握本节课的重点。
在练习中设计“分组分层练习”和“口答习作”两类, 满足不同层次学生的需要, 也使整个课堂有动有静, 张弛有度, 充分发挥学生的能力和潜力。
授课后, 得到了很好的教学效果, 但也有不足的地方, 比如:没有照顾到相对基础较弱的学生, 就是说如果学生对以前学的完全平方公式不熟练的话, 学生的计算能力较差的话, 学生自学能力落后的话, 就这种教学方式, 他是学不好这堂课的, 所以我还是要不断地努力、探索, 以至于班上的每一位学生都得到不同的教育, 学到更多的知识。
案例背景
近年来，笔者所在学校对以往教学模式进行了改变，让学生对自己做错的习题进行归纳总结，再积累到错题本上。这样，初步建立了整理错题和错题反思的习惯培养机制，把学生对错题的反思当成重要课题来进行研究。通过一个阶段的实践，已初显成效；然而，在实施过程中还有一些问题值得继续思考和探索。
比如，教师在安排学生对解一元一次方程的应用题的一些错题进行反思时，学生往往认为自己的错误只是应用题列法上，而不会将已经学过的一元一次方程在计算上的错误与其他同学进行交流，这样就造成了学生在解应用题的过程中主要问题解决了，而一些细枝末节却错误不断。也正说明学生在反思错题的过程中，容易忽略对已学知识的回顾与梳理。在今后的研究过程中，教师们要不断地进行深入实践、反思和改进，充分发挥小组合作的作用，调动学生在错题反思中，积极主动地对已学知识串联，使学生们在反思错题中养成温故知新、相互补充、共同完善的良好习惯。
案例描述
以笔者所教的一个班级第五小组的学生为例。在一次一元一次方程应用题的习题课上，学生已经将如何列储蓄问题的一元一次方程进行了相互讲解，于是，笔者要求每个小组都要对错题进行反思。同学们列举了自己在做储蓄问题时容易犯的错误：对利率的不理解；对计算利息时公式的遗忘；对利息税与利息之间关系的模糊。每位同学就自己错题的原因及教训进行了组内反思交流，然后把一元一次方程应用题中的储蓄问题进行了归纳和订正，最后整理到错题本上。笔者再从学生做错的题中抽取两道题进行小测，反馈后发现各小组的反思效果并不好，第五小组6人中竟有2人出现了列方程正确、而计算错误的现象。那么，学生经过整理、反思，为何反馈效果还是如此不尽如人意呢？
案例分析
从以上案例可以看出，学生已经意识到：错题反思是对自己数学学习活动过程的再思考、再审视。学生由以往的不注重对反馈结果的巩固发展到小组成员都把自己在解一元一次方程应用题中的做错原因与其他同学进行交流。这样，在组内就形成了相互提醒、相互督促的良好习惯，有效地杜绝了今后在这类应用题上的错误，因此，小组合作对错题进行反思的作用就变得尤为重要。
当习题课临近结束时，笔者通过第五组的小测所反馈回来的情况看出来：学生在反思错题时忽略了对一元一次方程计算的反思。原因是之前学生已经学习了如何解一元一次方程，并且做了很多的练习，而在进一步学习一元一次方程应用题的时候，学生就要根据应用题的题意先列出方程，然后再把方程解出来。学生出现错误的原因，大多是对应用题题意的不理解而造成他们无法正确列出应用题的方程，所以，学生在反思错误时，自然把着重点落在分析应用题的题意上，而忽略了对已学知识解方程的错误情况的反思。这些问题，表现了学生们在小组合作进行错题反思的时候常常就题论题，没有养成“根据已经学过的知识构建知识体系进行反思从而解决新问题”的习惯，导致了后来检测的错误。
案例对策与反思
通过本节课所出现的问题分析，笔者体会到利用小组合作来反思错题的重要性，也认识到反思错题中学生易忽略的问题。因此，笔者对习题课又进行了重新设计：课程的前半部分，笔者通过适时运用小组合作组织了积极的师生互动和生生互动。比如在小组进行反思时，通过“这个组反思的问题非常全面”等鼓励性评价语言和学校建立的课堂评价机制，对反思全面准确的小组进行鼓励性星级评价，以调动他们参与小组合作反思的积极性，鼓励他们采用把习题分类处理、运用小组合作等形式多样的办法参与合作。学生在笔者的引导下，学习兴趣大增。把解一元一次方程应用题的错误形式分成简单错误和复杂错误两类。学生在反思这两种错误类型的同时，相互合作的形式也变成一对一解决简单的错题，一对二、二对二解决复杂的错题，让小组成员真正知道：简单问题和复杂问题分别错在哪里，为什么错，以后该注意什么。在让学生反思的过程中，教师要根据学生的认知特点，合理选择和设计例题与练习，告诉学生要把列方程与解方程都当作错题反思的重点，在错题反思的学习中有意识地培养学生一起回顾、主动梳理、反思学过知识的习惯。经过对错题反思的习惯的培养，本课笔者留出5分钟时间，抽两道题测试学生已订正过的题，第五小组反思效果明显提升，抽测的试题全部做对。
本节课属于数与代数领域，是学生在学习了有理数及其运算，整式的加减，一元一次方程的解法及应用之后的一节复习课。通过复习巩固一元一次方程求解问题的各类计算，引导学生关注方程，感受数学的魅力。同时本节课的复习也为后续的二元一次方程及方程组，分式方程，一元二次方程等相关知识的学习打下基础。
本节课具有一定的特点和难度，要引导学生掌握利用一元一次方程解决问题的技巧：(1)、辨别方程与一元一次方程的区别。(2)、一元一次方程求解时要注意避免易错点。(3)构造一元一次方程解决问题。(4)用方程的解求字母参数。
重点：1.能辨析方程与一元一次方程。
2.能熟练且准确得求出一元一次方程的解。
难点： 1.会用一元一次方程的模型解决问题。
2.能讲出问题的关键点，且表达有条理有逻辑。
【教学前设想】从数学家笛卡尔的名言引入：任何问题都可以转化为数学问题，任何数学问题都可以转化为代数问题，任何代数问题都可以转化为方程问题。
从这句名言向学生说明方程在数学学习中的重要性。再自然过渡到一元一次方程是一切方程的基础与根本，点出了本节课的内容核心。数学家名言的的引入既增长了学生的人文知识，又切合本课主题。培养了学生的数学情商。
第一：从一元一次方程与方程的辨别题型入手，回顾方程与一元一次方程的不同条件再做出正确选择，强化了一元一次方程的三个主要条件。然后对一元一次方程的求解易错点的寻找与归纳，直指学生求解盲点，简明扼要的把求解要害呈现出来。让学生在问题中表达观点，并回顾基本知识点。其他学生补充、纠正、或评价。教师适时对问题进行变式，拓展学生思维。让学生寻找一元一次方程求解中的易错点，并讲出错误原因。比教师单调的强调要有实效。
第二:从构造一元一次方程解决问题到利用方程的解求字母参数再到新运算中的一元一次方程三个层次不同的问题，大阶梯形类型设置，小阶梯问题铺垫，让学生头脑中的零散片段，有条理的形成知识串，本章节知识结构得以建立。
第三：用数学家毕达哥拉斯的小故事引出问题能最大程度调动学生的积极性。
既与课前导入的数学家名言呼应，同时又为下节课列一元一次方程解应用题做了铺垫。在素材题目中培养学生的阅读能力。
第四：通过丢番图的墓志铭这个材料的阅读，开阔学生的视野，增强了课堂趣味性。让学生感受方程的作用与数学的魅力。
最后：通过让学生思考你有什么收获?体会?让学生自由发言。引导学生从知识点，数学能力，解题经验等几个方面进行小结，增进师生，生生之间的交流合作，培养学生的有条理的表达能力，养成及时归纳总结的好习惯。
【教学后情况】
主要表现在以下几个方面：
成功之处：
第一：教学活动井然有序，学生掌握得很扎实。
第二：教学内容从数学家名言到数学家的故事贯穿始终，让学生体会数学独特的魅力，不再是枯燥的讲述繁琐的计算。课堂气氛轻松有趣。
第三：照顾到学生的个体差异，注意因材施教。在教学中设计了“合作交流”的教学环节调动学生的参与，为每一位学生创设施展才能的空间，让学生学得轻松、愉快，培养学生的成就感，使学生都能获得不同程度的成功。
第四：作业分层次处理，尊重了学生的个别差异，满足了学生多样化的学习需要，让“不同的人在数学上得到不同的发展”，渗透了人文教育的思想。
不足之处：
1、 课堂时间控制不够精细，没有让学生充分的表述自己的观点。
2、课堂中对少部分学生的关注不够。
这节课主要讲了一道实际应用题，是关于足球比赛的。这道题都是来源于生活，又作用于生活，提供学生生活中熟悉的材料作背景，学生学习兴趣很高。并且本节课采用活动—探索—合作—交流的形式，培养了学生的团结协作能力、勇于探索的精神。使学生在轻松熟悉的环境中完成了学习任务。自我感觉设计比较合理，题目适当，时间恰当，并注重知识的前后衔接，照顾更多的中差生。
不足之处：
过高估计学生，导致对学生在课堂上出现了很多小问题，今后应加强细节的设计和全面考虑。学生的讨论与合作学习还需加强，讨论问题还不够深入，多数时间还是以个别回答为主，虽然许多个别回答非常精彩，但仍需注意讨论形式的变化，让学生从合作学习中有所提高。另外，还需加强的是学生发现问题能力的培养，多数问题的发现还是在教师的指导下完成的。如果能达到学生提出问题，小组讨论，全班解决，那效果更佳。
《实际问题与一元一次不等式》是一节有难度的重量级实际应用课。在本节课的教学中，我先以购票问题送学生一个惊喜，让学生感受了数学魅力，激发了探究兴趣;同时又复习了不等式的性质，为解不等式要变号埋下伏笔。在较复杂的超市购物获得优惠的问题中，设计试购活动精彩纷呈，前二件商品的试购既让学生深入理解题意，体验优惠这一基本事实，又使分类讨论呼之欲出;后二件商品的试购既让学生的猜测不断清晰，又引发第二次分类，同时呈现方程与不等式，为类比提供了平台。通过修改关系符号类比方程解不等式，并进一步挑战带有中括号的不等式的解法，实现跨越发展。而最后购车问题内化前面的知识与技能，同时又探究不等式的`解如何转化为实际问题的解。三个问题层次分明，一线串珠，让数学的魅力在学生心中不断加深，数学源于生活又服务于生活的感悟不断积淀。而秘籍的总结形式增加趣味的同时，加深学生建模印象。
改进之处：因在演播室录课，面对镜头与灯光，学生有些拘谨。由于时间关系，在表达本课感受时没有让更多的学生参入，结尾有些仓促。在以后的教学中，我将关注学生的学习动态，随时注意学生专注性及学习习惯的培养。
论文中,笔者以二次函数与一元二次方程为例,将课前预习、引导学生仔细观察、大胆联想、给学生思考的空间和拓展延伸等各种教学手段融合在课堂教学中,激发和培养中学生对学习数理化的兴趣,提高学生的自学能力。
1 教学模式与手段
1.1 课前预习
(1)二次函数y=ax2+bx+c的图像为抛物线,在__________条件下抛物线与x轴有两个交点;在__________条件下抛物线与x轴只有一个交点;在_______________条件下抛物线与x轴没有交点。
(2)若a>0,b>0,c>0,△>0,那么抛物线y=ax2+bx+c经过_______________象限。
(3)用手沿斜上方抛出一个重物,物体抛出的高度y(m)与物体运动的时间t(s)的关系为y=-t2+5t+3。(1)经过_____时间,物体达到它的最高点?最高点的高度是_____?(2)经过_____秒,物体落在地面上?落地点与抛出位置的水平距离为____________。
(4)一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c图像之间的关系为_______________。
(5)一元二次方程ax2+bx+c=h的根与二次函数y=ax2+bx+c图像之间的关系为_______________。
1.2 引导学生仔细观察、大胆联想
问题:函数y=ax2+bx+c的图像以x=1/3为对称轴,与x轴相交于-1和1两点,图像顶点坐标为(1/3,-1)根据信息你能得到关于系数a,b,c的一些什么结论?
分析点拨:
(1)a>0;(2)-1<c<0;(3)b2-4ac>0;(4)∵x=1/3,∴2a=-3b;(5)由(1)(4)得b<0;(6)由(1)(2)(5)得abc>0;(7)考虑x=1时y<0,所以有a+b+c<0;(8)又x=-1时y>0,所以有a-b+c>0;(9)考虑顶点的纵坐标,有
1.3 给学生思考的空间
你能利用二次函数的图像估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗?
分析解答:
(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图像。
(2)观察估计二次函数y=x2+2x-10的图像与x轴的交点的横坐标;由图像可知:图像与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.3和2.3。
(3)确定方程x2+2x-10=0的解,由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3。
1.4 拓展延伸
利用二次函数的图像求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根。
(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图像。
(2)作直线y=3。
(3)观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标;由图像可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7。
(4)确定方程x2+2x-10=3的解,由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7。
在小组成果对比中,同学们发现有个小组的图像和别人的不同,起初有些议论,笔者就请了这个小组的成员上了讲台发言。原来他们把方程x2+2x-10=3转化成了x2+2x-13=0,这样问题就转化成前面已经解决了问题了。
附创新解法2:
(1)原方程可变形为x2+2x-13=0;(2)用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图像;(3)观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标。由图像可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7。(4)确定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7。
同学们明白了这种解法的简洁原因,笔者也不失时机地向全班同学强调了数学学习中“化陌生为熟悉、化繁为简”的化归思想的重要性。
2 结语
总之,必须改变传统的“黑板+粉笔”的教学模式,让学生也参与到老师的教学过程中,这样才能全面提高学生的自学能力。此论文中,笔者以二次函数与一元二次方程为例,将课前预习、引导学生仔细观察、大胆联想、给学生思考的空间和拓展延伸等教学手段相结合,利用现代教育技术手段实施中的趣味性等多种可行的措施来激发和培养中学生对学习数理化的兴趣,提高学生的自学能力。在浓烈的兴趣下培养他们的思辨,表达,探索各方面的综合能力,让不同层次的学生得到发展。
参考文献
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[2]王大顺.教育心理学[M].兰州大学出版社,2002.
[3]廖伯琴.中学数学课程改革的目标与实施[M].高等教育出版社,2003.
1. 掌握把实际问题转化为数学问题，建立数学模型的解题方法，同时能够对所求出的方程的解进行分析判断；
2. 通过探究球赛积分表问题，渗透数学建模思想；
3. 经历数学建模的过程，提高处理图表信息、分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识，认识到数学的科学价值和应用价值.
二、 探究过程设计
问题1 通过观察你能在这张表中获取到什么信息（能否利用表格信息得知积分规则）？
由表中最后一行可以看出，负一场积1分，再利用第一行的数据可以算出胜一场积2分. （如果不能顺利算出积分规则，应注意最后一行的信息能传递给我们什么信息，怎样利用其他行所给数据，根据等量关系可以最终算出积分规则吗？）
【意图】引导学生运用表格信息帮助自己解决问题，合理梳理表格中所隐含的信息，从而找到对自己有价值的信息，进而使问题得解.
用不同行的数据计算，所得结果相同吗？（相同）. 那么这个结果是可以通过验证符合事实的.
小结：通过钢铁队的积分情况，很明显地看出负一场的积分，又通过其他任意一队的积分情况可以算出胜一场的积分，由此看出，我们要善于发现表格的特殊之处所传达的特殊的或重要的信息.
问题2 我们通过观察得出了积分规则，请同学们继续观察，能否写出总积分与胜负场数之间的关系？
一个队的总积分=胜1场得分×胜场数+负1场得分×负场数（得到需要的重要等量关系，它是后续问题的研究基础）.
小结：由这个等量关系我们看出，总积分与胜、负场数有着紧密的联系，同时只要胜场数确定了，那么负场数通过（14-m）的关系也确定了，所以也可以说总积分与胜场数有着紧密的关系.
【意图】由生活中的常识性问题抽象出等量关系，避免学生感到数学建模的抽象性，同时渗透应用数学的意识，提高应用能力，这种处理方法也符合7年级学生的认知，使学生更易于接受，降低了数学抽象性的难度.
问题3 若一个队胜了m场，能否用含m的式子表示总积分？
解：一个队胜了m场，则负（14-m）场，那么，总积分=2m+（14-m）=m+14.
【意图】完成课本第一问，也是本节课的关键一问，实现了第一个难点的突破，同时第一问的思考内容与第二问紧密相关，顺利解决第一问是完成第二问的保障.
问题4 如果一个队的总积分是19分，你能算出它胜了多少场吗？（5场）
小结：到此我们已经可以根据胜场数算出一个队的总积分了，当然我们也可以通过一个队的总积分算出它的胜场数，在这个等量关系中有两个量（总积分、胜场数）是不确定的，但是当我们给定其中一个量的值时，比如总积分为19，那么等式就变为19=m+14，那么m作为我们要求的未知量，这个等式就是我们所学的一元一次方程，m有唯一解. 反过来，当我们胜场数是确定的，那么总积分也是唯一解.
问题5 某队的胜场积分能等于它的负场积分吗？请列式说明. （如果学生有困难，引导学生思考题目中是否隐含了等量关系？利用这个等量关系可以列出方程吗？）
（小组讨论，代表发言，使用学案，展示学案）
解：不能，设一个队胜了x场，则负了（14-x）场.
列方程得2x=（14-x），解得x=14/3 .
因为x（所胜场数）的值必须是整数，所以所得解不符合实际意义，由此判定没有某队的胜场积分能等于它的负场积分.
小结：用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.
【意图】要用反证法检验方程的结果是否符合实际，这是一种常用数学方法
小结：1. 生活中数据信息的传递形式是多样的.
2. 解决有关表格问题，首先根据表格中给出的有关信息，找出数量间的关系，再运用数学知识解决有关问题.
3. 利用方程不仅可以求得实际问题的具体数值，还可以进行推理判断.
4. 运用方程解决实际问题，要检验方程的解是否符合实际意义.
三、 拓展与提高
问题6 请大家思考如果表格中钢铁队的积分情况没有给出（即，没有最后一行信息），你还能求出积分规则吗？（积分规则涉及两个未知量，考虑设两个未知数. ）
【分析】可以设胜一场积x分，负一场积y分. 设两个未知数时我们需要列几个方程？（两个）你能根据表格数据列出两个方程吗？
这是个方程组，是几元几次的呢？（二元一次方程组）解法我们以后再讲.
练习：足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分.一支足球队在某个赛季中共比赛14场，现已比赛了8场，输了一场，得17分.请问：
（1） 前8场比赛，这支足球队共胜了多少场？
（2） 这支球队踢满14场比赛最高能得多少分？
（3） 通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期的目标.那么，在后面的6场比赛中，这支球队至少还要胜几场，才能达到预期目标？
（2） 35分.
后面6场全胜得分最高，所以：17+6×3=35.
（3） 3场.
小结：这样我们就知道了在解决实际问题时不但可以用一元一次方程的知识，还可以用方程组，甚至还有其他的方法，让我们拭目以待吧！
（作者单位：江苏省如皋市实验初级中学）
庐江县黄道中学 陈良俊
本节课通过情景设置（同学们，老师这里有一手绝活，你只要给出两个数，我立即就能说出以这两个数为根的一元二次方程，同学们若不信，咱就试一试！）调起学生的胃口，激发起学生的好奇心和求知欲，在此推动下，引领学生展开探究活动，并将探究根与系数的关系分为初探、再探两个层次，即将二次项系数为1和非1的一元二次方程分两次出现，这样处理基于如下的原因，一元二次方程根与系数的关系的教学反思。
第一，使得每一位学生都能参与探究，学生的认知能力总是有所差异的，如果将这两类方程同时加以研究的话，有一部分同学很难参与，事实上，研究事物往往从简单到复杂，当a=1时，容易发现根与系数的关系，当a≠1时，猜想不正确，造成认知上的冲突，更能激发学生去完善第一次的猜想，培养学生勇于探究、积极思维的精神，教学反思《一元二次方程根与系数的关系的教学反思》。
第二，给予学生一个适度的梯度探究空间，在循序渐进的教学原则下，通过“特例探究——一般猜证——深化理解”的教学设计，由“实验——猜想——再实验——再猜想”的探究过程，使学生感悟认识事物的规律是由特殊到一般，由具体到抽象的思维过程，学生在这样的氛围下，会感到新知是旧知的自然延伸和自然流露，对于学生而言，既经历了一次探究性学习，又得到了一次思想方法的涵育和能力提升的机会。
这一次的备课作了一些新的尝试，在认真看完教参之后，花了一天的时间重新思考：这一课要讲的是什么内容？要解决什么问题？用什么样的方法？有了一个大致的框架之后，才开始动笔写教案，把教学目标定位《七年级数学上册《解一元一次方程——移项》教学反思（2篇）》/p><
为：会运用移项把方程转化成x=a的形式；理解移项的依据；能尝试利用“表示同一个量的两个式子相等”来建立适当的方程。
课后，有这样几点感想：
1、对课中的问题（应用题）讲解比较粗浅，学生并没有达到理解、掌握相应的方法的程度。
2、对移项的讲解不够深入，应该用不同的颜色来突出某一项移动前后的变化，而且，以后可以尝试用以下的方法帮助学生分辨是否进行了移项，是否需要变号，即，以等号（=）为界线，移项则相当于“越界”，凡是“越界”的都需要变号，没有“越界”的则不需要变号。
3x+20=4x-25
3x-4x=-25-20
界线
我觉得应该能找到一种效果更好的方法帮助学生理解移项。
3、课上展示学生作业的机会太少了。这一点，毫无疑问是我课前准备不周到，原来是想请学生写在黑板上的，上课时才发现，黑板根本不够用。在以后的课前准备中，要把展示学生作业作为重要的一个内容来加以考虑。
4、关于板书，课前一直在想，板书是突出解方程的过程还是突出运用一元一次方程解应用题的过程，最终在上课的时候选择了前者，理由是，运用一元一次方程解应用题的过程不应该作为本节课教学的中点来加以强调，在之前的教学中已经强调过了。但是后来还是觉得有些不妥，毕竟，在学生的作业过程中，完整的解题过程是相当重要的，而对于聋生来说，不断的重复有助于学生更好地记住这些细节。
5、在后来的交流中，发现自己准备的练习没有形成层层递进的梯度，没有为学生设计一些有关移项的专项练习，这在以后的备课中要引起重视，即在教学过程中，应该设计一些帮助学生突破难点的专项练习。使课堂练习更有层次感，能满足更多学生的需求。
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）06A-0089-01
一元一次方程是人教版七年级数学中一个重要的代数教学的开始，其重难点主要是找出题目中的相等关系，从而快速列出方程式，解出答案，并且知识点的掌握程度关系着以后代数方程的学习。因此，教师要做好一元一次方程的基础性教学，让学生在学习一元一次方程知识的过程中增长知识，提高学生的学习能力，发展学生的智力。
一、巧妙设置问题，激发探索兴趣
初中生的好奇心更具理性化，想要抓住学生的兴趣焦点，必须要深入了解学生感兴趣的事物，并以此类事物为教学题材，巧妙设置问题情境来引入新课。在具体的教学中，笔者通过多方面的调查和了解，最终决定以其他课程为载体，找准一元一次方程和其他学科知识的有效连结点，巧妙运用其他学科知识，准确刻画方程中的等量关系，引导学生探究情境中包含的数量关系，激发学生的兴趣以及对问题的探索欲，接着再及时引入新概念，顺利导入新课。
笔者先是运用了古诗“巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。三百六十四只碗，看看用尽不差争。三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹”进行导入，再利用多媒体技术展示了诗中的情景，其后让学生们算算“寺内几多僧”。大家众说纷纭，有的说“三个人用一个碗吃饭，用364除以4就可以得出”；有的说“四个人用一个碗喝羹，用364除以3也可以得出”。学生们的意见各不相同，此时笔者引导学生找出诗中的等量关系，最后列出一元一次方程的等式，解决了“几多僧”的问题，顺利引入了一元一次方程的概念。
在以上过程中，笔者通过引入诗句，创设了诗中的情境，激发了学生的探索兴趣，学生积极地参与到课堂中来，纷纷发表了对问题的看法，活跃了课堂氛围，为教学内容的有效导入提供了良好的条件，最后成功导入了新知识点。
二、教学贴近生活，提高生活技能
数学教学的最终目的是服务于生活。因此，在具体的教学设计中，教师应贴近生活，选取一个实用性强、学生较为熟悉的生活情境为例来展开教学。如人们在一些商场、超市门前经常会见到“打折”“降价”“甩卖”等促销标语，教师可以将此融入到一元一次方程的教学中，让学生能够理性对待商场的打折促销，以生活为载体，用数学来增强学生认识数学的重要性，掌握销售的盈亏奥秘，培养学生的生活技巧，提高学生的生活技能。
笔者根据“一元一次方程”的教学内容，设计了这样一个情境问题：百货商店在周末某一时间以每件60元的价格卖出两双运动鞋，其中一双盈利25%，另一双鞋亏损25%。卖这两双鞋总体上是盈利还是亏损或是不盈不亏？有的学生说不盈不亏，有的学生说盈利了，有的学生说亏损了。在学生出现思维冲突时，笔者引导学生以小组为单位展开合作交流，找出题目中的等量关系，用一元一次方程来求出进价，从而确定商家的盈亏。在一元一次方程教学中，生活题材的情境问题设置能够引发学生共鸣，有助于学生理解和记忆知识，进一步培养学生的生活技能，达到学以致用的教学目的。
三、练习举一反三，拓展思维能力
练习是课堂上不可缺少的教学环节。如何设计课堂练习，让其起到活跃学生思维，让学生熟练掌握知识点，是教师要着重考虑的问题，也是难点。首先教师要深入了解学生对一元一次方程知识点的掌握情况，以便于更好地设计针对性的练习。其次，根据学生的情况，分层次、逐级性地设计练习题目，由易到难，力争做到一题多解、一题多变。最后，让学生对题目的解法进行自由地交流与讨论，使学生充分融入课堂，在互相讨论中学会对知识点举一反三，达到真正掌握知识点的目的。
笔者在教学概念、找相等关系等内容后，设置了如下练习：甲、乙两人都以不变的速度在400米的环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为100米/分，乙的速度是甲速度的3/2倍。他们什么时候相遇？在学生顺利解决这一个问题后，笔者展开了变式训练。
变式一：经过多久两人第二次相遇？
变式二：若两人在同一地点同时出发相向而行，他们什么时候第一次相遇？
以上课堂练习，笔者在了解学生对知识的掌握程度后，对练习进行了阶梯式的设计，由易到难，循序渐进地启发学生的思维能力，让学生积极地融入到练习讨论中，踊跃地发表自己的看法，在解决变式练习中学会举一反三，真正得到思维上的拓展。
总之，教师要注意学生在掌握概念的准确性，同时还要结合实际生活的知识点并积极结合各自例子，让学生从各方面、多角度理解知识，引导学生在生活中挖掘数学知识，完善数学方法。
一元二次方程的根与系数的关系 (以前的教科书叫韦达定理) :如果方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两个根是x1、x2, 那么x1+x2=-b/a, x1x2=c/a。也就是说, 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数, 两根的积等于常数与二次项系数的比。
一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式演变过来的, 下面是证明的过程:
对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) , 当判别式△=b2-4ac≥0时, 方程有两个实数根, , 故有x1+x2=-b/a, x1x2=c/a2。a该知识点的使用方法:先把一元二次方程化成一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) , 然后确定二次项系数、一次项系数及常数项 (特别是要注意这些系数的符号) , 最后再根据根与系数的关系, 求出相关值。
一、根与系数的关系的直接应用
例1:不解方程, 求出2x2+4x=1的两根的和与两根的积。
解:将原方程化为一般形式得:2x2+4x-1=0
确定a, b, c的值为a=2, b=4, c=-1
于是x1+x2=-c/a=-2, x1x2=c/a=-1/2。
二、根与系数的关系的几种变形
例2:x1、x2是方程2x2-3x-5=0的两个根, 不解方程, 求下列代数式的值:
解:由根与系数关系可知x1+x2=3/2, x1x2=-5/2
(3) 由2x2-3x-5=0可得:2x2-3x=5
故:原式= (x12+x22) + (2x22-3x2)
三、由根与系数的关系求字母的值
例3:已知关于x的方程x2+2 (m+2) x+m2-5=0有两个实数根, 并且这两个根的平方和比这两个根的积大16, 求m的值。
分析:方程有实数根, 则△≥0, 且x12+x22=x1x2+16, 联立解得m的值。
解上面方程组可得:m=-1或m=-15,
又由△≥0可知m≥-9/4
∴m=-15舍去, 故m=-1
四、根与系数的关系与反证法联系
例4:证明:方程x2-1997x+1997=0无整数根。
反证法:假设原方程有整数根
可得, x1、x2均为整数根,
∵x1x2=1997
∴x1、x2均为奇数
（1）方程－3x＋12＝0的解（2）不等式－3x＋12＞0的解集．
（3）如果y的值在－6≤y≤6的范围内，那么相应的x的值在什么范围内？
城北中学
来柏林
本节课是人教版数学七年级上册第三章复习课第一节的内容，主要的教学目标是使学生了解什么是方程？什么是一元一次方程？什么是一元一次方程的解？体会字母表示数的好处，体会从算式到方程是数学的一大进步；会将实际问题抽象为数学问题，通过找相等关系列方程解决问题。方程的概念在小学阶段已经出现过，如何让学生在已有的知识基础上更高一个层次认识方程、运用方程呢？我的教学策略是：第一步，通过“设疑引读”提出问题；第二步，通过几个生活实例让学生进行思考、分析、总结归纳出结论。第三步，介绍一元一次方程解实际问题在生活中的广泛应用；第四步，通过讲练结合的方式突破本节课的难点——找相等关系列方程。现对本节课的教学过程进行反思：
一、成功之处
成功之一：能创设一个有趣的问题情境。引发学生的兴趣，调动学生的积极性，向学生渗透一元一次方程在生活中的应用。
成功之二：能进行一题多变，引发学生的认知失衡。如我将第10题设计成路程问题中相遇问题、追及问题。先向学生展现比较简单的同时同向出发；并及时进行变形，把相遇问题转化成追及问题，强调路程问题的多变性，这一道题让他们体会到用方程解决应用题的好处，使他们认识到有进一步学习方程的必要性。
成功之三：对学生进行了数学文化的渗透。方程的概念在小学已
经出现过，初一再次学习方程应该让学生们更高一个层次认识方程，因此通过介绍字母表示未知数的文化背景，在文化层面上让学生进一步理解数学、喜爱数学，展示数学的文化魅力。
成功之四：分层次设置练习题，逐步突破难点。营造了宽松、和谐的课堂氛围。本节课的教学从始至终，教师都是面带笑容地与学生进行互动，让学生充分发表自己的看法，及时给学生鼓励与肯定，消除学生由小学升入初中因环境变化而引起的心里障碍，激活学生的思维，保持学生参与课堂学习的积极性。
二、不足之处
不足之一：第10题设置的难度过高。因为这一问题属于变式题，课前我考虑到这一题虽然有一点难度，但是这题的解法有很多种，既可以用算术解法，也可以用方程解法，还可以依据不同的等量关系列出不同的方程，这是一道很好的引题。在教学过程中，大部分学生只能想到一种解法，这表明初一学生的数学理解能力和想象能力还不强。
2013年11月6日, 我有幸讲授了一堂校本研训的全校示范课。本节课内容是苏科版教材七年级第四章《一元一次方程》的第二节《解一元一次方程》。因为我所带的班级是学校的特色班“砚农班”, 班上学生的整体数学基础较好, 有很高的学习积极性和一定的自主探索能力;并且, 在此之前, 学生已经具备了代数的初步知识, 系统学习了整式加减法、等式的性质等, 为本节课的学习做了良好的铺垫, 所以, 备课组决定把解一元一次方程的内容做一些整合, 把移项、去括号放在一节课去学习。本节示范课受到了大家的一致好评, 这对我来说是一次很好的经历, 下面就这些经历与大家分享一下。
【情景再现】
一、课前检测
在上课前几天, 为了了解学生是否适合这样的课程整合, 给学生做了一组测试:
1.计算: (1) -2x+6x-7x=_____; (2) (2x-7) - (4x-5) _____; (3) 4 (2x+1) -5 (x-3) =_____.
2.请写出一个方程, 并在括号里写出它的解_____, () .
3.解下列方程:
(1) 2x=6; (2) 4x=2x+6; (3) 4x-1=2x+5; (4) 2x+1=4x+9
第1题主要是考查学生已有的知识经验和基本计算能力, 这也是解一元一次方程的基础, 正确率依次为100%, 91.9%, 86.5%;第2题主要考查学生对方程及方程的解定义的理解, 以及有没有形成检验的意识, 正确率为91.9%, 其中写方程都能做对, 只是解写错了;第3题主要考查学生利用已有知识初步解简单一元一次方程的能力, 正确率依次为100%, 94.6%, 89.2%, 83.8%。根据上述测试数据分析, 大部分学生已经初步掌握解简单的一元一次方程所必需的基础知识和基本能力, 所以我觉得很有必要把这两课时进行整合。
二、自主学习
解下列一元一次方程。
(1) 3x=12; (2) 8x-20=5x-8; (3) 4 (2x-5) =5 (x-1) -3.
在学生解题的过程当中, 教师巡视, 并请三个同学上黑板板演。
师:请问这三个同学的答案对吗?他们的答案都是x=4。怎么判断?
生:他们的答案都对。只要把x=4代入方程当中, 看方程是否成立就行了。
师:观察解以上三个方程的过程, 你发现了什么?
生:这三个方程最后的解一样。
生:这三个方程最后都变形为x=4。
生:第三个方程可以变形为第二个方程, 第二个方程可以变形为第一个方程, 且三个方程最后都变形为x=a的形式。
师:大家说得都很好, 解一元一次方程就是要将方程变形为x=a的形式, 那么变形的依据是什么呢?
生:依据是等式的性质。
师:在由第二个方程变形为第一个方程时, 观察哪些项没有改变, 哪些项改变了, 怎么变化的, 依据是什么。
生:-20变成+20, 且位置由方程左边移到了方程右边, 5x变为-5x, 且位置由方程右边移到了方程左边。依据是等式的性质。
师:方程中的某些项改变符号后, 可以从方程的一边移到另一边, 这样的变形叫移项。那么, 解一元一次方程时, 同学们认为哪些项需要移呢?怎么移呢?
生:含未知数的项向左移, 常数项向右移。要记得改变符号。
生:不一定, 只要把未知项移到一边, 常数项移到另一边就行了。
师:两位同学回答得都非常好, 我们把第二个方程变形为8x-5x=-8+20就叫做移项, 那大家觉得由第三个方程变形为第二个方程叫什么比较好呢?
生: (齐答) 去括号。
师:方程3x=12变形为x=4的依据是什么?目的是什么?
生:依据是等式的性质2, 目的是把3x的系数变为1。
师:那么我们就把3x=12变形为x=4, 这一步骤叫做系数变为1。
【设计意图】在这一环节, 三个方程是经过设计的, 由 (3) 到 (2) 再到 (1) , 最后变形为x=4, 正是解一元一次方程的一般步骤, 其中的移项、去括号, 我没有直接告诉学生, 而是不厌其烦地用一个一个问题一步一步地引导他们自己得出结论, 并总结移项、去括号的目的、依据、注意事项及解一元一次方程的一般步骤 (不包括去分母) , 让学生自己完成对知识的建构。
三、合作探究
师:请同学们尝试解下面这个方程, 先独立完成, 然后与本组同学交流。
解方程:4 (3x-1) -3 (2x+1) =3 (2x+1) -2 (3x-1)
在学生解题的过程中, 我不断地巡视, 并请两名学生上黑板板演, 很凑巧的是, 我随机点的两名学生的解题步骤不一样, 一个是按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤完成解题。另一个是把3x-1、2x+1看作一个整体先移项、合并同类项, 再完成解题。经过比较, 大多数同学们都觉得第二种方法比较好。
【设计意图】渗透整体思想, 解一元一次方程时, 有时把一个代数式看作一个整体来处理, 可使方程的解题过程更简捷, 同时, 也使同学们知道, 解方程也需要审题, 不要看到括号就去括号。另外, 只要学生的解法正确就给予表扬, 不强求一定用哪种方法。
四、拓展延伸
下面三个方程 (1) 3x=12; (2) 8x-20=5x-8; (3) 4 (2x-5) =5 (x-1) -3的解相同, 解方程的步骤却依次增加。你能在下面的空格处类似地写出其余2个方程, 使得三个方程的解相同, 解方程的步骤却依次增加吗?
(1) 2x=6, (2) _____, (3) _____.
【设计意图】加深了学生就利用等式的性质对方程进行变形的进一步理解。
五、小结与思考
在这一环节中, 我设计了“我的疑惑是什么?”“我的收获是什么?”两个问题, 我鼓励学生大胆说出自己的收获、疑惑、获得的经验等。学生大多能畅所欲言, 对本节课做出总结、归纳、反思。
六、课堂检测
为了检查学生这节课教学目标的完成情况, 进行了课堂检测, 设计题目为:解下列几个方程: (1) 5x+2=-8; (2) 3x=5x-14; (3) 7-2x=3-4x; (4) 2 (x-1) =6; (5) 4-x=3 (2-x) ; (6) 5 (x+1) =3 (3x+1) .上述6题的正确率分别为100%, 97.3%, 94.6%, 97.3%, 91.9%, 94.5%。达到了预期目标。
七、课后反思
【关键词】方程；常见问题；方法；思考
一、方程的重要性
方程是七年级到九年级中数与代数内容，在整个初中阶段数学教学中占有很重要的位置，方程的意义就是可以将未知变量（未知数）暂时作为一个已知变量（已知数）使用，建立等式（相等）关系。确立了等式关系后，可以根据这种等式关系进行未知变量的求解。从而联系了已知和未知的关系。方程在中学阶段需要学习一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组，还有分式方程，所以方程在整个初中阶段内容相当的多，对于运用方程来解决生活生产中的实际问题，也有很多实际意义。作为方程中的最基本的方程一元一次方程的学习就显的尤为重要，因为别的方程最终都要转化为一元一次方程，所以一元一次方程的学习必须放在很重要的位置，学生必须掌握。
二、学生情况分析
作为一个在西藏工作十余年的乡村教师来说，我面对的学生大部分都是少数民族藏族学生，他们对于汉语的学习就很困难，相当于第二门语言，大部分学生汉语水平很差，理解能力分析问题能力都很差，对于数学的学习就显得困难重重，对于内地的孩子一目了然的题目，大部分学生是没有办法完成的。
三、学生出现常见问题
（1）在一元一次方程的解法中，共分为五步，第一步：有分母去分母，如方程中学生经常出现这样的错误解法。
（2）第二步：有括号去括号，在去括号的时候如果前面是正的学生不会出现问题，如果括号前面是负号或者前面有数字学生就很容易出现这样问题如。
（3）第三步移项中容易出现符号问题，该变符号的不变符号。
（4）第四步合并同类项中出现计算问题如。
（5）第五步系数化为1出现这样问题。
四、教学方法
上面的问题非常具有普遍性，很多学生都会犯上面问题中的全部或者是部分，针对如上问题在教学过程中我是这样处理的，在第一步问题中主要是学生对于等式的基本性质2的掌握不到位，我通过具体的数字讲解，比如，，通过具体数字举例让学生感受到他们的问题，从而知道了正确的处理方式应为。在第二步错误解法中针对型如这样的化解我要求学生分为两步处理，处理方式如下，通过这样处理每一步只需要解决一个问题，降低了处理问题的难度。在第三步中我编成了一句话让学生在做题中用这句话来检验“移项要变号，不移不变号”。在第四步中学生主要是有理数的运算和合并同类项的方法没有很好的掌握，很多学生对于出现了负数的运算总是很难解决，我在处理这个问题的时候，先把正数放在前面，负数放在后面，转化成大减小或者是小减大，这样很容易区分最后结果的正负。比如。在第五步中是学生对于等式性质2掌握不到位，在把系数化为1的处理中，只能通过乘除实现，对同类项的理解也不到位。不是同类项，无法合并成一项。处理方法为。
五、几点思考
通过这样和学生共同合作学习，大部分学生对于一元一次方程的解法都有了很深刻的了解，也能熟练的解决一些比较简单的问题，但对于一些相对复杂的题目在具体的问题中仍然有很多问题出现，通过这个教学过程，在教学过程中老师一定要做到如下几点教学效果才能更好：
首先作为教师自己要对于教材的掌握非常到位，认真钻研教材、精心备课，能够预见到学生的收获，问题和困惑并针对可能出现的问题和困惑想好解决方法新课改对于老师的要求应该是更高了，只要这样才能共同进步。
其次注重培养学生的学习数学兴趣和良好行为习惯。兴趣是最好的老师，在数学教学过程中可以通过游戏，介绍有趣的数学知识，数学家的故事，解决生活中简单的实际的数学问题增强学生兴趣，注重培养学生课前预习课后复习的良好行为习惯等。
最后教师教学应该以学生的认知水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式，做好学生的分层教学工作，因材施教。
六、结束语
这节课的内容比较多，要在会用一元一次方程解实际问题的基础上找出解决最优问题的方法，所以课前我做了充分准备，尽量选择具有代表性的典型例题，反复斟酌设置问题的难度，预设学生可能会遇到的问题，设定提问的时间点和提问的方式，为了保证能够顺利完成课堂教学内容，课前安排学生自行预习。
课堂的引入是一个具体的生活问题，小红一家三口外出旅游，现有两家旅行社，收费标准分别为：甲旅行社：大人全价，小孩半价;乙旅行社：大人小孩，一律8折。两家旅行社的基本价一样。问：若两家旅行社的基本价都是100元，应选择哪家旅行社比较合算?因为题目中出现的都是具体的数字，所以学生稍做思考就能得出结论，然后将基本价是100元这个条件去掉，重新让学生思考，因为有了之前的问题作为铺垫，所以学生仍然能顺利解决该问题。通过这个问题让学生对最优方案问题有一种直观的认识，即从几种方案中按照利益最大化的原则选择最优方案。
在此基础上给出难度更大的例题，结合移动收费的背景理解在不同的前提条件下最优方案可能会变化，在这个例题中给出了三个小问题：一个月内本地通话200分钟，选哪种套餐划算?若小明一个月内本地通话x分钟，按两种套餐各需交费多少元呢?小明一个月内本地通话多少分钟时，按两种套餐交费一样多? 此时交费多少?问题层层递进，通过问题让学生掌握解决最优方案问题的方法，即找出两种方案一样时所对应的条件，以此分出三种情况进行分类讨论。
本节课的优点在于创设问题情境，联系生活实际，激发学生的学习动机，以最佳的状态投入到课堂中。所设置的问题难度逐层递进，让这些连续的阶段性问题持续的激发学生的学习热情和探究知识的兴趣，促使学习达到最佳境界。充分发挥学生的主体作用，让学生自觉参与到课堂中来。让学生口语表达或板书，创造机会，鼓励学生动手动口，以达到教学要求。并借助多媒体展示来指导学生，促进思维能力的发展，最后再指导学生用简练的语言概括教学问题。增强学生的自主学习能力，而且让学生从数学的角度去分析和总结生活中的问题学会能在不同的角度去探求生活经验，从而让学生掌握知识的同时使思想水平和情感态度价值观都得到提高。
从以上情况我认为在教学中，一定要注重学生积极性的调动。帮助学生装设计恰当的学习活动。让他们发现所学东西的个人意义，营造宽松和谐的学习氛围。使学生感到学习的必要性和趣味性，能更好调动学生投入到自主探究的学习活动中去。
当然本课还存在很多的不足，我认为在以下方面：
1、探究的时间和方式还需要考证，避免流于形式化，应合理分配。
2、对于学生临时提出的问题未能及时作出反应，课前准备不够。
3、在学生做练习时未能走下去掌握每个学生的掌握情况，忽视了学生学的过程。
4、多媒体的应用与板书的结合不够娴熟，造成不必要的时间浪费。
5、在讲解最佳方案的分类讨论时不够严密，忽略了细节的处理，导致后来要重新回过来讲解该知识点，影响了课堂的节奏。
6、板书还不够规范，教师基本功要勤练不懈。
针对以上的问题，在今后的教学中应该注意以下几个问题：
1、多结合生活实际，使学生能置身于问题当中，充分调动学习兴趣。
2、多给学生的语言表达的机会，即时表扬和鼓励。
模范学校 刘全霞
人教版七年级上册P93-94的《解一元一次方程----去括号》这一节课的内容是继续讨论如何列、解方程的问题，它包括两方面：①根据实际问题列方程，②重点讨论解方程中的“去括号”。它先从一个实际问题出发，引导学生用方程的思想去通过建立模型列方程解决问题。在解方程中遇到了有括号的新形式，从而引发思考，当方程中有括号时，如何变形使方程最终简化为x=a的形式。其重点在于用去括号等步骤化简方程使之最终转化为x=a和在解决实际问题时，弄清题目的已知量、未知量，找出相等关系列方程。难点是学生能自己看问题找相等关系列出方程，并能正确解出方程。
活动1：复习回顾。
（1）一元一次方程的解法我们学了哪几步？每步要注意什么？
（2）练习：解方程9-3x=-5x+5 此活动的目的温故旧知，为获取新知作铺垫。活动中我先用媒体展示回顾中的（1），学生回忆思考，然后回答。再展示练习（2），学生口述解此方程的步骤和过程，通过设问点明每一步的依据及注意事项。学生在此活动中积极思考，积极参与。但集体回答较多，我没能够充分深入全面了解学生原有知识水平及思维能力和分析解决问题能力了解学生的原有知识层次。是
反思：此题作为具有新承上接下的作用，也是教师的好契机。应该先让学生自主解答，然后请一两位同学板演或主讲，师生共同
评价，这样教师可及时深入了解学情，了解学生对用移项、合并同类项、系数化为1解一元一次方程的掌握情况和熟练成度等。
活动2：列一元一次方程来解实际问题。
问题：某校去年加强节能措施，提倡节约用电，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少1000度，全年用电9万度，该校去年上半年每月平均用电多少度？
过程：师通过提问助学生分析，列出方程：若设上半年每月平均用电x度，则下半年每月平均用电（x－1000）度，上半年共用电6x度，下半年共用电6（x-1000）度。本题的一个等量关系是：上半年用电量+下关年用电量=90000，所以,可列方程6x+6（x-1000）=90000。
反思：“找相等关系” 是本节学生认知上的一个难点，教师没能很好分散及突破。这块内容教师过于承办，得出结论有些急促，学生对题意的理解和方程的来源与各个量的意义并非人人皆透、个个都明。因为应用题能否顺利解决和学生的阅读理解能力、生活经历、社会阅历有很大关系，所以应先组织学生齐读或请一同学朗读，让学生在读书中理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，同时可感受数学就在身边的生活中，增强其爱数学的情感。然后放手让学生自己讨论交流，最后找出等量关系列出方程，接着再解一元一次方程并作答，教师只需加以强调解题的规范性和过程的注意事项。待学生解答完后让一两个学生进行讲解：从何理解题意、怎么分析、怎样解答，教师与其余学生共同评价主讲学生的思路，在学生暴露思维的过程中发展学生的思维品质。这样教师既能更进一步了解学
生，又能让师生、生生交流更充分，更能体现出把课堂还给学生，以学生为主体，教师为主导的新课程理念。
活动3：解方程
背景：在分析实际问题的题意，找到等量关系列出方程 6x+6(x-1000)=90000之后学生能想到用去括号把方程化简得
6x+6x-6000=90000。
过程：
师：接下来如何变形？ 生1：合并同类项 生2：移项
师按生2步骤板演。生1：（困惑）
反思：此处生1带着困惑被拽入生2的思维行列，教师忽略了生1的想法，也许会厄杀了生1思维的积极性。教师应尊重生1，可让生
1、生2按自己的思路解题。
生1方法： 合并同类项，得
12x-6000=90000 移项，得
12x=90000+6000 合并同类项，得
12x=96000 系数化为1，得
x=8000 生2方法： 移项，得
6x+6x=90000+6000 合并同类项，得
12x=96000 系数化为1，得
x=8000 完后组织学生进行观察、比较，学生自会发现生1过程中出现两次合并同类项。生2解法简捷省时少力，较生1解法有优越性，从而增强了择优意识，加强了算法程序化的思想。
活动4：巩固新知： 解下列方程
(1)4-x=3（2-x）；(2)
过程：考虑到学生的差异性，设计上两小题呈现了阶梯性。此题是作为巩固新知的习题，让学生自主完成，教师巡视、指导，两位学生上黑板板演，师生共同评价。
反思 ：这一片段中，学生对解题的步骤较熟悉，但在去括号解方程过程中出现了错误，主要有：括号外面的系数漏乘括号里面的项，去括号时该变号的没变号。再有移项不变号，合并计算比较差。教师针对这一问题，对各步的理论依据，注意事项虽然作了强调，但问题仍存，可见落实还不够，还需加强，还需多练。
总之，本节课后我认识到了要提高教育教学的有效值，教师备课时要深入教材，理解教材的编排意图，挖掘出本课的核心知识及思想方法，活用教材，据学科特点和实际学情精心设计出符合学生发展的教学内容。上课时要走出教材，注重教学的基本技能和技巧，引导、指导学生尝试自己学习新知识，再运用新知识解决问题。在实施的过程中还要随时关注全体学生的发展，真真正正做到以人为本，以学生的发展为本。
教学之路是每天每节课点点滴滴的积累，这条路的成功秘诀只有一个：踏实！对于我，任重而道远，我将悉心耕耘，积极进取，博采众长，提高自己，让我教的每一个孩子更加优秀。
A.4个B.5个C.10个D.12个
2. 服装店销售某款服装, 一件服装的标价为300元, 若按标价的八折销售, 仍可获利60元, 则这款服装每件的标价比进价多 () .
A.60元B.80元C.120元D.180元
3. 附表为服饰店贩卖的服饰与原价对照表.某日服饰店举办大拍卖, 外套依原价打六折出售, 衬衫和裤子依原价打八折出售, 服饰共卖出200件, 共得24 000元.若外套卖出x件, 则依题意可列出下列哪一个一元一次方程式? () .
4. 甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品, 甲超市先降价20%, 后又降价1 0%;乙超市连续两次降价15%;丙超市一次降价30%.那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算? () .
A.甲B.乙C.丙D.一样
5. 某商场将一款空调按标价的八折出售, 仍可获利10%, 若该空调的进价为2 000元, 则标价________元.
6.如图, 矩形ABCD中, AB=6, 第1次平移将矩形ABCD沿AB方向向右平移5个单位, 得到矩形A1B1C1D1, 第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1方向向右平移5个单位, 得到矩形A2B2C2D2, …, 第n次平移将矩形An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿An-1Bn-1方向向右平移5个单位, 得到矩形AnBnCnD (nn>2) .
(1) 求AB1和AB2的长.
(2) 若ABn的长为56, 求n.
7.某地为了打造风光带, 将一段长为360 m的河道整治任务交给甲、乙两个工程队先后接力完成, 共用时20天, 已知甲工程队每天整治24 m, 乙工程队每天整治16 m.求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.
8.剃须刀由刀片和刀架组成.某时期, 甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀 (刀片不可更换) 和新式剃须刀 (刀片可更换) , 有关销售策略与售价等信息如下表所示:
某段时间内, 甲厂家销售了8 400把剃须刀, 乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍, 乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍, 问这段时间内, 乙厂家销售了多少把刀架?多少片刀片?
参考答案
2.设这款服装的进价为x元, 由题意, 得300×0.8-x=60, 解得:x=180.
300-180=120, ∴这款服装每件的标价比进价多120元.故选C.
3.若外套卖出x件, 则衬衫和裤子卖出 (200-x) 件, 由题意得:
0.6×250x+0.8×125 (200-x) =24 000, 故选B.
4.设原价a元, 则降价后, 甲为:a (1-20%) (1-10%) =0.72a (元) , 乙为: (1-15%) 2a=0.722 5a (元) , 丙为: (1-30%) a=0.7a (元) , 所以, 丙最便宜.答案:C.
6. (1) ∵AB=6, 第1次平移将矩形ABCD沿AB方向向右平移5个单位, 得到矩形A1B1C1D1, 第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1方向向右平移5个单位, 得到矩形A2B2C2D2, …, ∴AA1=5, A1A2=5, A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1,
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11,
∴AB2的长为:5+5+6=16;
(2) ∵AB1=2×5+1=11, AB2=3×5+1=16, ∴ABn= (n+1) ×5+1=56, 解得:n=10.
7. 设甲队整治了x天, 则乙队整治了 (20-x) 天, 由题意, 得
∴甲队整治的河道长为24×5=120 (m) ;
乙队整治的河道长为16×15=240 (m) .
答:甲、乙两个工程队分别整治了120 m, 240 m.
24x+16 (20-x) =360, 解得:x=5, ∴乙队整治了20-5=15天,
8. 设这段时间内乙厂家销售了x把刀架.
依题意, 得 (0.55-0.05) ·50x+ (1-5) x=2× (2.5-2) ×8 400.
解得x=400.
销售出的刀片数=50×400=20 000 (片) .
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