一元二次函数应用教案

一元二次函数应用教案（通用13篇）

一元二次函数应用教案篇1

课题：一元二次函数性质.教学目标：1．掌握一元二次函数的图象和性质.2．掌握研究一元二次函数性质的方法.3．培养学生的观察分析能力、逻辑思维能力、运算能力和作图能力.培养学生用配方法解题的能力.渗透数形结合的思想方法.4．使学生掌握从特殊到一般的认识规律和认真仔细的态度，培养学生用对立统一的观点、全面的观点、联系的观点、运动变化的观点和具体问题具体分析的观点处理问题.教学重点：研究二次函数性质的方法.教学难点：探索二次函数的性质.教学方法：讲练结合法、演示法.教学手段：三角板、投影仪、胶片、计算机.课时安排：1课时.课堂类型：授新课.教学过程：课件1 课件

2一、复习导入

1．复习提问：(学生回答，启发学生通过配方得出结论.)函数函数？图象如何？如何化为

＝(＋)＋的形式？

叫什么

2．导入新课：(老师口述；板书课题.)在初中学习的基础上今天我们继续学习和研究二次函数的图象和性质.二、讲授新知

1．引例分析：

例1(板书)求作函数的图象.解：(启发学生思考，分析讲解，归纳结论.)

.由于对任意实数，都有≥0，所以≥－2.当且仅当＝－4时取等号，即作＝－2.(－4)＝－2，该函数在＝－4时取最小值－2，记

当＝0时，＝－6或＝－2，函数的图象与轴相交于两点(－6，0)、(－2，0).＝－6或＝－2也叫做这个二次函数的根.以＝－4为中间值，取的一些值，列出这个函数的对应值表：

在直角坐标系内描点画图(图3－8):

结论：(投影，说明)该函数的图象关于直线＝－4对称，开口向上，有最低点(－4，－2)，最小值为－2；函数在区间(－∞，－4]上是减函数，在区间[－4，＋∞)上是增函数.例2(板书)求作函数＝－－4＋3的图象.解：(启发学生思考，分析讲解，归纳结论.)＝－[(＋2)－7]＝

＝－－4＋3＝－(＋4－3)－(＋2)＋7

由－(＋2)≤0得，该函数对任意实数都有号，即＝7，该函数在＝－2时取最大值7，记作

≤7，当且仅当＝－2时取等＝7.以＝－2为中间值，取的一些值，列出这个函数的对应值表：

在直角坐标系内描点画图(图3－9)：

结论：(投影，说明)该函数关于直线＝－2对称，开口向下，有最高点(－2，7)，最大值为7；在区间

(－∞，－2]上是增函数，在区间[－2，＋∞)上是减函数.2．一元二次函数的性质(启发学生归纳性质，板书.微机显示，说明.)

一般地，对任何二次函数(≠0)，都可通过配方，化为，其中，到二次函数的一般性质：，由此可得

(1)函数的图形是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是(－，)，抛物线的对称轴是直线＝－；

(2)当＞0时，函数在＝－处取最小值＝减函数，在[－，＋∞)上是增函数.(－)；在区间(－∞，－]上是

(3)当＜0时，函数在＝－处取最大值＝增函数，在[－，＋∞)上是减函数.(－)；在区间(－∞，－]上是

三、课堂练习(投影.启发学生思考、练习.老师总结订正.)

求作函数＝－＋4－3的图象，并回答下列问题：

(1)指出曲线的开口方向；

(2)当为何值时，＝0；

(3)求函数图象顶点的坐标和对称轴.四、课堂小结(口述)

本节课主要掌握研究二次函数性质的方法，熟记二次函数的图象和性质.五、布置作业(投影、说明)

1．复习本节课所学内容.2．书面作业：第93页习题3－2第3题.3．预习作业：预习第89页，例

一元二次函数应用教案篇2

(一) 数学模型:数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括, 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时, 所得出的关于实际问题的数学描述, 数学模型的形式是多样的, 它们可以是几何图形, 也可以是方程式, 函数解析式等等.

(二) 数学模型方法:数学模型方法, 是把实际问题加以抽象概括, 建立相应的数学模型, 利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.

(三) 求解实际问题的基本步骤:以函数为数学模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面, 主要研究它的定义域、值域、单调性、最值等问题。

(四) 使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下

1、审题:通过阅读, 理解关键词的意义, 明确变量和常量, 理顺数量关系, 弄清题意, 明白问题讲的是什么。

2、建模:将文字语言转换成数学语言, 用数学式子表达。

数量关系, 利用数学知识建立相应的数学模型。

3、求模:求解数学模型, 得到数学结论。

4、还原:将用数学方法得到的结论, 回归实际, 还原为实际问题的意义。

下面是几个一元二次函数实际应用的典型例题的详解

例1、.某学校先准备了可以建24米长的墙的建筑材料, 想利用一面墙设计修建如图所示的两矩形花台ABEF, FECD (其中墙EF共用) 。设矩形ABCD的宽AB为x米, 面积为S平方米:

(1) 写出S与x的函数关系式及x的取值范围;

(2) 若矩形ABCD的面积为45平方米, 求AB的长度;

(3) 能修建比面积为45平方米更大的矩形花台吗?如果能, 求出此最大

面积;如果不能, 请说明理由。

分析:根据矩形的面积公式建立起函数关系式。

例2、某旅行社准备在某地组织旅游团到北京观看奥运会, 每人往返机票食宿和门票等费共需3000元, 如果把每人收费标准定为4000元, 则只有20人参加旅游团;高于4000元时, 没有人参加。如果每人收费标准从4000元每降低100元, 则参加旅游团人数就增加10人, 试问:每人收费标准定为多少时, 该旅行社所获利润最大?此时参加旅游团人数是多少?

分析:关健词有利润、每人收费标准、参团人数。每人收费标准在4000元的基础上下降, 参团人数在20人的基础上增加。

通常:利润=销售总额-成本

该题中:利润=每人收费标准×参团人数-3000×参团人数

答:每人收费标准定为3600元时, 该旅行社获利最大, 此时参团人数为60人。

例3、某地区有一种可食用的野生菌, 上市时, 某商家按市场价格每千克30元收购了1000千克存放入冷库中。据预测, 该种野生菌的市场价格每天每千克上涨0.5元;但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计230元, 而且这类野生菌在冷库中最多保存160天, 同时, 平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售。

(1) 设X天后每千克该野生菌的市场价格为Y元, 写出Y与X之间的函数关系式, 并写出X的取值范围;

(2) 若存放X天后, 将这批野生菌一次性出售, 设这批野生菌的销售总额为P元, 写出P与X之间的函数关系式;

(3) 该商家将这批野生菌存放多少天后出售可获得最大利润W元?

(利润=销售总额—收购成本—各种费用)

所以该商家将这批野生菌存放60天后出售可获得最大利润5400元。

例4、有一种螃蟹, 从海上捕获后放养最多只能活两天, 如果放养在塘内, 可以延长存活时间, 但每天也有一定数量的蟹死去, 假设放养期内蟹的个体重量保持不变, 现有一经销商, 按市场价格收购了这种活蟹1000千克放养在塘内, 此时市场价格为每千克30元, 据测算, 以后每千克活蟹的市场价格每天可上升1元, 但是放养一天需各种费用支出400元, 且平均每天还有10千克蟹死去, 假定死蟹均于当天全部售出, 售价为每千克20元。

(1) 设天x后每千克活蟹的市场价格为P元, 写出p关于x的函数解析式。

(2) 如果放养x天后将活蟹一次性出售, 并记1000千克蟹的销售额为Q元, 写出Q关于x的函数解析式。

(3) 该经销商将这批蟹放养多少天后出售, 可获得最大利润是多少?

解: (1) 由题意得P=30+x

(2) 由题意得x天后, 活蟹有1000-10x (千克) , 活蟹的单价为, 死蟹有10x千克, 死蟹的单价为20元,

则1000千克蟹的销售额为Q= (1000-10x) (30+x) +20×10x

(4) 由题意得:利润=销售总额-收购成本-费用

所以放养25天后出售, 可获得最大利润是6250元。

例5、一场足球比赛中, 一球员从球门正前方17m处将球踢起正射向球门, 球飞行路线为抛物线, 当球飞行水平距离为10m时, 球到达最高点, 此时球高4m。在球门正前方1m处只有一名身高1.85m的后卫, 他的最大弹跳高度为0.8m, 若此时该后卫起跳及时, 他能否拦住球?为什么?若没有这名后卫, 球能否射进球门 (在不考虑守门员等情况下) ? (球门高2.44m)

解:建立如图所示的直角坐标系,

后卫拦球的最高高度为1.85+0.8=2.65>2.56

所以该后卫起跳及时, 能拦住球。

例6、国家收购某农副产品的单价为1.2元/公斤, 预计可收购50吨, 其所得税征收标准为8%, 为了减轻农民负担, 国家决定将所得税税率下浮x个百分点 (即降低x%) , 这样, 实际收购量可比预计收购量增长2x个百分点。

(1) 求出在实际收购量比收购量增长2x个百分点的条件下, 国家应征收的所得税税额y (单元:元) 与x的函数关系式。

(2) 若要使实际收购时的所得税不低于预计收购时收取的所得税的78%, 那么, 税率降低值x应控制在怎样的范围内?

一元二次函数应用教案篇3

关键词：二次函数；二次不等式；一元二次方程；关系

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）08-117-01

二次函数是初等函数中的重要函数，历来是中考的重点知识，是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式等结合在一起综合考查。下面，我们谈谈二次函数与二次不等式、一元二次方程的关系。

一、二次函数与二次不等式有如下的关系：

①、使得二次函数的函数值的自变量的取值范围，即求的解集；反之，求的解集，即求二次函数的函数值的自变量的取值范围。（此处常用图解法求一元二次不等式的解集）

②用图像法求一元二次不等式

的解集步骤：

、设：设，则求，即求二次函数的函数值的自变量的取值范围。

、作：根据五点作图法，作出一次函数的图像。

、解：根据直角坐标系特点，轴上方，恒成立；反之，轴下方，恒成立，故求，即看图像在轴下方部分时，的取值范围即可。

例1：已知y=x2-2x-3，当y<0时，自变量x的取值范围是______________.

分析：因为二次函数与x轴两个交点坐标分别是，，有图像可知，当时，自变量x的取值范围是

解：根据五点作图法，作出二次函数y=x2-2x-3的图像

根据直角坐标系特点，轴下方，恒成立，故求，即看图像在轴下方部分时，的取值范围即可。所以自变量x的取值范围是

二、二次函数与一元二次方程的关系

因为抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1， x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。所以

抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0

>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；

=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；

<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。

例2.若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=

分析：本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式。

解：抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，

当时，y=0，且，即，

又点A（m，n），B（m+6，n），点A、B关于直线对称；

，

将A点坐标代入抛物线解析式，得：

二次函数与一元二次方程教学设计篇4

留格初中

黄美娜

一、教材分析

1、教材所处的地位和作用：

《二次函数与一元二次方程》是初中数学（山东教育出版社）九年级上册《二次函数》的一节内容。本节内容体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力;通过这节的学习，学生将掌握二次函数与一元二次方程的关系，本节是初中阶段所学的有关函数知识的重要内容之一。2.教学目标

知识与技能目标：理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．

过程与方法目标：体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；情感态度与价值观：培养学生热爱数学、主动探究的能力

教学重点：把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．教学难点：应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一

步的理解．

二、教学策略：

1、教学手段：启发式讲解互动式讨论研究式探索

本节课以学生的自主探索为主，老师主要通过演示引导启发学生得出结论，这样有利于学生提高学习兴趣，获得成就感。在教学中可以放手让学生自己去画图象，讨论研究出函数与一元二次方程的关系，以提问的形式与学生互动，通过练习加深学生对函数性质的理解和应用。

2、教学方法及学法：自主探索观察发现合作交流对比归纳

三、学情分析：

学生的知识技能基础：学生在上学期已经学习过一元二次方程的知识，之前学习了二次函数的图象和代数表达式的三种表示方法，其中主要对一般式和顶点式做了大量的训练，因而从“数”的方面对二次函数有了比较全面的认识，但对交点式仍然停留在感性认识层面，特别是对于从数形结合的这一数学思想来认识二次函数，他们对整章各节知识的关系还没有真正完整的形成，通过从本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系开始，学生将会对二次函数的“数”和“形”真正开始进行全面、深刻的接触。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了认识二次函数图象、求二次函数解析式、利用建立二次函数的数学模型，通过转化为顶点式求出最值，解决了一些简单的实际问题，感受到了二次函数与生活的紧密联系，他们已经有了探索本节课的数学基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了一次函数图象应用的学习，对于一次函数和一元一次方程的关系有了较多的认识，因此教学中多采取联想、类比的启发式教学，相信他们会有能力完成好本节新课的学习任务。

【学习过程】

环节一：学生预习,教师导学：

我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1)h和t的关系式是什么？

(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.【设计意图】：通过设置问题，帮助学生体会二次函数与实际生活密不可分的关系；初步感受二次函数与一元二次方承的联系。

环节二：学生合作，教师参与：

1.在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：(1).每个图象与x轴有几个交点？

(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 例题讲解

1、在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm?你是如何知道的?

2、二次函数y=ax+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?

【设计意图】：这是本节的重点，比较抽象，因此通过画图让学生能够清楚形象的解决问题，并且能够培养学生总结问题的能力。环节三：学生展示，教师点拨：若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是

.2 抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（）

A 两个交点

B 一个交点

C 没有交点

D 画出图象后才能说明 3 不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标.【设计意图】：本环节是对本节知识的巩固应用，是对新知识点生华，培养学生数学思维的严谨性

环节四：学生探究，教师引领：（给同学充分的时间考虑，1号同学发言交流，教师引导补充）

2如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+3(x﹥0).柱子OA的高度是多少米？若不计其它因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？

【设计意图】：本环节目的是为了培养优生，锻炼学生的发散思维能力。环节五：学生达标，教师测评：

1．这节课我们主要学习了哪些知识？（提示：鼓励学生交流收获，视情况给小组加分）2．检测：

（1）抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点个数是

（2）抛物线y=mx2-3x+3m+m2经过原点，则其顶点坐标为

【设计意图】：本环节是为了检测学生一节课的收获，使教师能够全面了解学生的接收受情况，以备个别辅导。

教学反思：

本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。教材结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系，然后介绍了用图象法求一元二次方程近似解的过程。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

一元二次不等式教案篇5

【授课班级】10级微机化工班【授课人】相福香

【授课时间】2011年1月11日

一、教学目标 1.知识目标：

（1）使学生了解一元二次不等式的概念；（2）使学生掌握用配方法解一元二次不等式。2.能力目标：

培养学生动手、观察分析、抽象概括、归纳总结等系统的逻辑思维能力，以及良好的思维方法和思维品质。3.情感目标：

渗透抽象与具体、特殊与一般等辩证唯物主义的观点和方法，培养学生的自信心理。

二、教学分析 1.知识结构

本节课主要内容是用配方法解一元二次不等式。首先介绍了一元二次不等式的概念，然后由对特殊形式的讨论推广到一般的情形，从而总结出用配方法解不等式的一般步骤。2.重点、难点分析

本节课的重点是掌握一元二次不等式的解法；难点是将一元二次不等

（1）(x2)24

（2）(x1)29 例9 解下列不等式：

（1）x22x30（2）2x25x30 4.反馈演练，巩固新知练习1 解下列不等式：

（1）(x1)264

（2）(x2)2100 练习2 解下列不等式：

（1）x23x20

（2）3x2x20 5.课堂小结

（1）使学生了解一元二次不等式的概念；（2）使学生掌握用配方法解一元二次不等式。6.作业布置

一元二次函数应用教案篇6

三维目标: 1.知识与技能

掌握一元二次不等式的解法，在此基础上理解含有字母参数的一元二次不等式的解法.2.过程与方法

通过体验解题的过程，提高学生的逻辑分析能力.3.情感态度价值观

通过分类讨论的过程培养学生思维的严密性.教学重点: 含有参数一元二次不等式的解法.教学难点: 分类讨论标准的划分.教学过程: 一.知识回顾

1．完成一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式间的关系表 2．检测学生一元二次不等式的解法掌握情况。

二、探索研究例1

解关于x的不等式ax25ax6a0(aR)分析：对于含有参数的不等式，教师引导学生从以下几个方面探究，教给学生探究的方法和方向。

探究1：这个不等式是一元二次不等式吗？

探究2：当a取何值时为二次不等式；a取何值时为非二次不等式？探究3：是二次不等式时，它所对应的二次函数的开口方向是？探究4：由上可知，我们应该分哪几类去解这个不等式？探究5：a<0时，该不等式的解集是？探究6：a=0时，该不等式的解集是？探究7：a>0时该不等式的解集是？

223例2 解关于x的不等式x(aa)xa0(aR)解析：先让学生自主探索，写出解决这种问题的常规方法。若不等式对应方程的根x1,x2中含有参数，则须按x1,x2的大小来分类，即分x1x2三种情况。然后老师引导学生从a的取值范围进行分类，并与题型一归纳总结出解含参不等式的一般步骤。

例3 已知aR，解关于x的不等式ax2（a1)x10引导学生用通法解含参数的不等式，把总结的规律推广到一般情形。

三、探究总结（板书内容）解含有参数的二次不等式 1.数学思想：分类讨论 2.解题步骤

（1）分类（二次项系数a=0、判别式△=0（x1=x2）（2）画图，写解集（3）整合解集

四、成果验收

1．解关于x的不等式x2 (a1)x10 a

五、作业布置

树形图在一元函数求导中的应用篇7

关键词：树形图,函数,求导

在高等数学的教学中, 一元函数求导数相对于多元函数求偏导数要简单得多, 然而很多学生在学习一元函数求导, 特别是复合函数等的求导时遇到一些困难, 因而影响后继内容的学习.作者受求多元函数偏导数树形图的启发, 将树形图应用于一元函数求导的教学中.实践表明, 树形图有助于学生对一元函数求导公式的理解和掌握.

在[1]中, 二元复合函数z=f (u (x, y) , v (x, y) ) 的偏导数为链式法则

为了更好地掌握该链式法则, [1]采用如下的树形图 (图1) 帮助理解:

为和链式法则对应起来, 我们将上述树形图变成以下形式 (图2)

根据以上这种树形图 (图2) 的思想, 以下分别对乘积函数的导数、商函数的导数、复合函数的导数以及反函数的导数等采用树形图加以阐述.

1 复合函数的导数

熟知复合函数y=f (φ (x) ) 关于x的导数公式为

为帮助学生理解记忆, 我们将其用如下形式表示

例1:求函数的导数.

解:设, 则由

得函数的导数为

2 乘积函数的导数

乘积函数y=f (x, y) =u (x) v (x) 的导数公式为:y'=u (x) v (x) +u (x) v' (x) =u'v+uv'.

我们采用

帮助记忆.

例2:求函数y=sinxlnx的导数.

解:由

可得函数的导数为

3 商函数的导数

我们采用

来帮助理解记忆.

例3:求函数的导数.

解:由

得函数的导数为

4 反函数的导数

在一定条件下, 假设函数y=f (x) 为函数x=φ (y) 的反函数, 则函数f (x) 的导数可以表示为

为了得到此公式, 我们对x=φ (y) 等式两边关于x求导数, 并时刻记住y是x的函数, 等式右边为

即为φ' (y) y'.这样就得到等式1=φ' (y) y', 从而得到反函数的导数公式

例4:求函数y=arcsinx的导数 ([2]) .

解:由于函数y=arcsinx, x∈ (-1, 1) 是x=siny, y∈ (-) 的反函数, 对x=siny两边同时关于x求导数得1=cosy·y', 从而.

结束语:

在高等数学的教学中, 对理工科数学基础不好的学生, 特别是对文科学生来说, 有时采用数形结合的方式教学, 不失为一种有效的教学方法.对一元函数的导数这部分内容来说, 作者的实践经验说明上述方法是有效的.

参考文献

[1]谢季坚, 李启文.大学数学[M].第3版.北京:高等教育出版社, 2009:2, 6.

二次函数复习教案篇8

18课时二次函数(二)

1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系；

2.结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况； 3.会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。4.会利用二次函数的图象及性质解决有关几何问题。教学重点二次函数性质的综合运用教学难点二次函数性质的综合运用教法讲练结合教学过程

一、知识梳理: 1．二次函数与一元二次方程的关系：

（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y为0时的情况．

（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．（3）①当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，△>0；

②当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，△=0；

③当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，△<0.2.二次函数的应用：

（1）二次函数常用来解决优化问题，这类问题实际上就是求函数最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；

二、经典考题剖析: 例题1.已知二次函数y=x2－6x+8，求：（1）抛物线与x轴和y轴相交的交点坐标；（2）抛物线的顶点坐标；

（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：

①方程x2-6x＋8=0的解是什么？

②x取什么值时，函数值大于0？

③x取什么值时，函数值小于0？

解：（1）由题意，得x2－6x+8=0．则（x－2）(x－4）= 0，x1=2，x2=4．∴与x轴交点为（2,0）和（4，0）；当x=0时，y=8．∴抛物线与y轴交点为（0，8）；（2）抛物线解析式可化为y=x2－6x+8=(x-3)2-1；

∴抛物线的顶点坐标为（3，－1）

（3）如图所示．①由图象知，x2－6x+8=0的解为x1=2，x2=4．

②当x＜2或x＞4时，函数值大于0；③当2＜x＜4时，函数值小于0．例题

2、已知二次函数yx2(m2)xm1，(1)试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；(2)m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？

分析：(1)要说明不论m取任何实数，二次函数yx2(m2)xm1的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程x2(m2)xm10有两个不相等的实数根，即△＞0．

(2)两个交点都在原点的左侧，也就是方程x2(m2)xm10有两个负实数根，因而必须符合条件①△＞0，②x1x20，③x1x20．综合以上条件，可求得m的值的范围．

三、合作交流：

1、若二次函数y=-x+2x+k的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程-x+2x+k=0的一个解x1 = 3,则另一个解x2 = _____。

2、抛物线y=kx-7x-7的图象与x轴有交点，则k的取值范围是。

四、中考压轴题赏析：（分组合作）

已知：二次函数yx2(m1)xm的图象交x轴于A(x1,0)、B(x2,0)两点，2交y轴正半轴于点C，且x12x210。2（1）求此二次函数的解析式；

5)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，2使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，说明理由。（2）是否存在过点D(0，-解：（1）∵x1+x2=10，∴（x1+x2）-2x1x2=10，根据根与系数的关系得：x1+x2=m+1, x1x2=m 222∴（m+1）2-2m=10，∴m=3，m=-3，又∵点C在y轴的正半轴上，∴m = 3，∴所求抛物线的解析式为：y=x-4x+3；（2）假设过点D（0，-5）的直线与抛物线交于M（xM，yM）、N（xN，yN）两22点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称．

5设直线MN的解析式：y=kx-，2则有：yM+yN=0，（6分）由得x-4x+3=kx-，并同类项得x2-（k+4）x+11=0，2移项后

合52∴xM+xN=k+4．

∴52yM+yN=kxM-+kxN-=k（xM+xN）-5=0，即k（k+4）-5=0，∴k=1或k=-5．

当k=-5时，方程x-（k+4）x+11=0的判别式△＜0，直线MN与抛物线无交点，2522∴k = 1，3

∴直线MN的解析式为y=x-5，2∴此时直线过一、三、四象限，与抛物线有交点；

∴存在过点D（0，-5）的直线与抛物线交于M，N两点，与x轴交于点E．使得

2M、N两点关于点E对称．

点评：此题巧妙利用了一元二次方程根与系数的关系．在（2）中，将直线与抛物线的交点问题转化为根与系数的关系来解答，考查了同学们的整体思维能力．

五、反思与提高：

1、本节课主要复习了哪些知识，你印象最深的是什么？

2、通过本节课的函数学习，你认为自己还有哪些地方是需要提高的？

六、备考训练：

二次函数数学教案篇9

一、重视每一堂复习课数学复习课不比新课，讲的都是已经学过的东西，我想许多老师都和我有相同的体会，那就是复习课比新课难上。

二、重视每一个学生学生是课堂的主体，离开学生谈课堂效率肯定是行不通的。而我校的学生数学基础大多不太好，上课的积极性普遍不高，对学习的热情也不是很高，这些都是十分现实的事情，既然现状无法更改，那么我们只能去适应它，这就对我们老师提出了更高的要求

三、做好课外与学生的沟通，学生对你教学理念认同和教学常规配合与否，功夫往往在课外，只有在课外与学生多进行交流和沟通，和学生建立起比较深厚的师生情谊，那么最顽皮的学生也能在他喜欢的老师的课堂上听进一点

二次函数教案(第一课时) 篇10

第1课时二次函数的应用（1）教学目标：

【知识与技能】

经历探究图形的最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验.【过程与方法】

经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型和数学应用的价值，通过观察、比较、推理、交流等过程，发展获得一些研究问题与合作交流的方法与经验.【情感态度】

通过动手做及同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发展学习动力.【教学重点】

会根据不同的情况，利用二次函数解决生活中的实际问题.【教学难点】

从几何背景及实际情景中抽象出函数模型.教学过程：

一、情景导入，初步认知

问题：某开发商计划开发一块三角形土地，它的底边长100米，高80米.开发商要沿着底边修一座底面是矩形的大楼，这座大楼地基的最大面积是多少？

二、思考探究，获取新知

探究：在第21.1节的问题中，要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米？

根据题意，可得，S=x(20-x)问题：①这是一个什么函数？

②要求最大面积，就是求的最大值.③你会求S的最大值吗？将这个函数的表达式配方，得 S=-(x-10)2+100(0＜x＜20)这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，如图，它的顶点坐标是（10,100），所以，当x=10时，函数取最大值，即 S最大值=100（m2)此时，另一边长=20-10=10（m)答：当围成的矩形水面边长都为10m时,它的面积是最大为100m2.你能总结此类题目的解题步骤吗？

【归纳结论】在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.其步骤为：

第一步设自变量；第二步建立函数的解析式；第三步确定自变量的取值范围；

第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）.三、运用新知，深化理解

1.教材P37例2.2.求下列函数的最大值或最小值.（1）y=2x2-3x-5；（2）y=-x2-3x+4.【分析】由于函数y=2x2-3x-5和y=-x2-3x+4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.（让学生自主完成）

3.要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?

【分析】先写出函数关系式，再求出函数的最大值.解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞0，所以0＜x＜10.围成的花圃面积y与x的函数关系式是y＝x(20－2x)，即y＝－2x2＋20x.配方得y＝-2(x－5)＋50 所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50.因为x＝5时，满足0＜x＜10，这时20－2x＝10.所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大.四、师生互动、课堂小结

数学《二次函数》优秀教案篇11

二、立足课堂，提高效率：做到教师入题海，学生出题海.教师应多做题、多研究近几年的中考试题，并根据本班学生的实际情况，从众多复习资料中，选择适合本班学生的最佳练习，也可通过对题目的重组。

三、教师在设计教学目标时，要做到胸中有书，目中有人，让每一节课都给学生留有时间，让他们有独立思考、合作探究交流的过程，最大限度的调动学生的参与度，激发他们的学习兴趣，达到最佳的复习效果.

九年级数学下二次函数教案篇12

教案背景

这节课是在学完正、反比例、一次函数，认识了一元二次方程之后的二次函数的第一节课。本章内容，既是对之前所学函数知识的一个补充，对函数知识系统的一个完善，也是以后学习高等函数知识的一个基础。因此，本章的内容在学生的知识系统中起着一个承上启下的作用。而本节课又是本章的第一节课，是本章内容的一个开端，对整章内容的学习起着非常重要的作用。从课本的体系来看，这节课明显是要让学生明白什么是二次函数，能区别二次函数与其他函数的不同，能深刻理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对定义域的限制。

教材分析

二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型。许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究.在本节课之前，学生已经系统的学习过了正比例函数、反比例函数和一次函数等几例特殊函数。学生对两个变量之间的函数关系已经有一个基础的认识。本节课通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域.在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.这节课又是学生初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、以后学习的一元二次不等式有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要意义。

教学目标

1、在实际问题情境中让学生经历、分析和探索建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2、理解二次函数的概念掌握二次函数的形式。

3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。

4、会用待定系数法求二次函数的解析式。

教学重难点

1、本节教学的重点是二次函数的概念及解析式。

2、本节“合作学习”涉及的实际问题情境比较复杂，要求学生有较强的概括能力，是本节教学的难点。

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗?

[生]学过正比例函数，一次函数，反比例函数．

[师]那函数的定义是什么，大家还记得吗?

[生]记得，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．

[师]能把学过的函数回忆一下吗?

[生]可以，一次函数y=kx+b．(其中k、b是常数，且k≠0)

正比例函数y＝kx(k是不为0的常数)．

反比例函数y=k(A是不为0的常数)． x

[师]很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?本节课我们将揭开它神秘的面纱．

Ⅱ．合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个y与x之间的关系。

(1)圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)；

(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元；

(3)拟建中的一个温室的平面图如图1，如果温室外围是一个矩形，周长为120m,室内通道的尺寸如图，设一条边长为x(m)，种植面积为y(m2)

（一）教师组织合作学习活动

1、先个体探求，尝试写出与之间的函数解析式。

2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨第（2）特别是第（3）题的函数解析式，老师巡回指导，并参与到小组活动中去。

3、请小组代表上黑板写出三个问题的函数解析式样并进行化简。

（二）老师问：上述三个函数解析式具有哪些共同的特征？

让学生充分发表意见，提出各自看法。

2教师归纳总结：上述三个函数解析式样并进行化简后都具有y＝ax+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式。

2（板书）一般地，形如y＝ax+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic

function)．

师：请同学依次说出上述三个解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项。

（三）学生完成“做一做”

P27：

1、2

在评价学生作业时，对于第1小题，老师强调二次函数解析式中（1）是整式，（2）二次项

2系数a≠0，对于第2题（3）老师提醒：先化简，写成y＝ax+bx+c形式后，再判断各项系

数和常数项。

三、例题示范，了解规律

例1：如图2，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），设AE=BF=CG=DH=x(cm),四边形EFGH的面积为y(cm2),求：

1、y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；

2、当x分别为0.25,0.5,1,1.5,1.75时，对误码的四边形EFGH的面积，并列表表示。

（一）学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教学巡回辅导，适

时点拨。

（二）引导学生加以分析总结：

1、求差法

2、直接法

3、自变量的取值范围。

2例2：已知二次函数y＝ax+px+q,当x=1时，函数值是4，当x=2时，函数值是-5，求这个

二次函数的解析式。

此例题难度较小，但却反映求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，老师一边板书示范，强调书写格式和思考方法，结束后让学生完成强化。

练习：“课内练习”第2题。

Ⅳ．课时小结

本节课我们学习了如下内容：

1.经历探索和表示二次函数关系的过程．猜想并归纳二次函数的定义及一般形式．

2．二次函数系数、一次项系数和常数项的概念。

3、如何求二次函数的解析式。

Ⅴ．课后作业

课本“作业题”

Ⅵ．活动与探究

2m2-m若y＝(m+m)x是二次函数，求m的值．

教学反思

整节课的流程可以这样概括：学生感兴趣的简单实际问题——引出学过的一次函数——复习学过的所有函数形式——设问：有没有新的函数形式呢？——探索新的问题——形成关系式——是函数吗？——是学过的函数吗？——探索出新的函数形式——概括新函数形式的特点——将特点公式化——形成二次函数定义——有练习巩固定义特点——返回实际问题讨论实际问题对自变量的限制——提出新的问题，深入讨论——课堂的小结，这样设计一气呵成，感觉上无拖沓生硬之处，最关键的是我认为这符合学生的基本认知规律，是容易让

学生理解和接受的。

对于练习的设计，仍然采取了不重复的原则性，尽量做到每题针对一个问题，并进行及时的小结，也遵循了从开放到封闭的原则，达到了良好的效果。

一元二次函数应用教案篇13

学习目标：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，培养学生的数形结合意识，并能解决实际问题的能力.重难点：根据题意列函数关系式，会把函数关系式与一元一次方程，一元一次不等式联系起来解决问题

【温故知新】回忆一次函数的一般形式，即y=kx+b(b≠0)

.如y=2x－5为一次函数,在一次函数y=2x－5中，当y=0时，有方程

当y＞0时，有不等式

;

当y＜0时，有不等式

由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式.【新知探究】

一元一次不等式与一次函数的图象之间有什么关系？

1．作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.（1）x取哪些值时，2x－5=0?

（2）x取哪些值时，2x－5＞0?

（3）x取哪些值时，2x－5＜0?

（2）从图象上可知，时，图象在x轴上方，因此当x＞

时，2x－5＞0

（3）同理可知，当x＜

时，有2x－5＜0;

2．如果y=－2x－5,那么当x取何值时。

（1）y＞0?

（2）y=0

（3）y＜0

从图象上可知，（1）当x

时，有y＞0

（2）当x=－时，有y=

（3）当x＞

时，有y＜0

（4）观察并思考：一元一次不等式，一元一次方程，一次函数之间的联系？并与同学交流。

【归纳】

从上面我们可以看出：当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量取值的范围时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量取值的范围，【应用巩固】

1．兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9

m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3

m，哥哥每秒跑4

m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：

（1）

何时弟弟跑在哥哥前面？

（2）

何时哥哥跑在弟弟前面？

（3）

谁先跑过20

m？谁先跑过100

m？

（4）

你是怎样求解的？与同伴交流.2．（1）已知y1=－x+3,y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流.（2）已知y1=3x－3，y2=－x+2，试确定x取何值时，y1＞y2.（3）某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？

教学检测

一．请你选一选

1．如果一次函数y=－x+b的图象经过y轴的正半轴，那么b应取值为（）

A.b＞0

B.b＜0

C.b=0

D.b不确定

2．已知函数y=8x－11，要使y＞0，那么x应取（）

A.x＞

B.x＜

C.x＞0

D.x＜0