用方程解决相遇问题

用方程解决相遇问题（精选13篇）

用方程解决相遇问题 篇1

教学内容：教材P79例5及练习十七第11、12、13题。教学目标：

知识与技能：结合具体事例，学生自主尝试列方程解决稍复杂的相遇问题。

过程与方法：根据相遇问题中的等量关系列方程并解答，感受解题方法的多样化。

情感、态度与价值观：体验用方程解决问题的优越性，获得自主解决问题的积极情感，增强学好数学的信心。教学重点：正确寻找数量间的等量关系式。

教学难点：创设情境提高学生的学习兴趣，并利用画线段图的方法帮助学生分析理解等量关系。

教学方法：创设情境、知识迁移、自主探究、合作交流。教学准备：多媒体。教学过程

一、复习导入

1．复习：我们学过有关路程的问题，谁来说一说路程、速度、时间之间的关系？

学生回答：路程＝速度×时间。

2．引导：一般情况下，咱们算的路程问题都是向同一个方向走的。那么，想一想，如果两个人同时从一段路的两端出发，相对而行，会怎样？（相遇）

3．揭题：今天我们就利用方程来研究相遇问题。

二、互动新授

1．出示教材第79页例5。

引导学生观察，并思考题中的已知条件和要求的问题是什么？ 学生自主回答：已知：小林和小云家相距4.5千米，小林的骑车速度是每分钟250m，小云的骑车速度是每分钟200m。问题：两人何时相遇？

2．质疑：求相遇的时间是什么意思？

引导学生明白：这里的路程已经不是一个人行驶了，而是两个人行驶的路程之和。相遇的时间就是两个人共同行使全程用的时间。

3．活动：让学生上台走一走演示相遇，并用画线段图的方法分析数量关系。

出示线段图，教师讲解线段图：

先用一条线段表示全程，小林与小云分别从相对的方向出发，经过一段时间后相遇，也就是行完了全程。

追问：从线段图中，你知道了什么？

学生交流，汇报：小林骑的路程＋小云骑的路程＝总路程。4．质疑：现在能不能求出小林骑的路程和小云的路程呢？ 引导学生汇报：都不能求出，因为他们行驶的时间不知道。再思考：他们两个行驶的时间一样吗？为什么？

学生交流后会发现：他们是同时出发，所以相遇时行驶的时间应该是一样的，可以把他们行驶的时间都设为x。

5．让学生根据分析，尝试列方程解答问题。

小组交流，汇报，教师根据学生的汇报板书（见板书设计）： 引导学生对这两种方法进行比较：通过比较可以知道这两种方法是运用了乘法分配律。

引导小结：在相遇问题中有哪些等量关系？ 板书：甲速×相遇时间＋乙速×相遇时间＝路程

（甲速+乙速）×相遇时间=路程

三、巩固拓展

书上第82页第12题：两地间的路程是455千米.甲、乙两辆汽车同时从两地开出,相向而行,经过3.5小时相遇。甲车每小时行68千米,乙车每小时行多少千米？

学生读题，找出已知所求，引导学生根据例题的线段图画出线段图，并解答。

解：设乙车平均每小时行x 千米。

3.5x+ 68×3.5 =455

x =135 答：甲车平均每小时行135千米。

四、课堂小结

师：这节课你学会了什么知识？有哪些收获？ 引导总结：

1．通过画线段图可以清楚地分析数量之间的相等关系。2．解决相遇问题要用数量关系：甲速×相遇时间＋乙速×相遇时间＝路程；（甲速＋乙速）×相遇时间＝路程。

3．列方程解求速度、相遇时间等问题时，首先要根据以前学习的相遇问题中数量间的相等关系，设未知数列方程，再正确地解答。

五、作业：教材第82页练习十七第11、13题。

板书设计：

用方程解决相遇问题

小林骑的路程＋小云骑的路程＝总路程 解：设两人x 分钟后相遇。

方法一：0.25x +0.2x =4.5

方法二：(0.25+0.2)x =4.5

0.45x =4.5

0.45x =4.5

0.45x ÷0.45=4.5÷0.45

0.45x ÷0.45=4.5÷0.45

x =10

x =1O 答：两人10分钟后相遇。

用方程解决相遇问题 篇2

王忠明

(四川省资中县重龙镇西街小学, 四川资中641200)

摘要:学生从用数字符号表示生活中的数量关系, 到利用字母符号表示生活中的等量关系, 是算术思维方式向代数的思维方式发展的一个飞跃, 这一飞跃对学生思维层次的提高有十分重要的意义。而小学生长期习惯于算术方法解决实际问题, 进入中学后受算术思维定势的影响, 很长一段时间不适应代数的思维方式, 因此, 在小学阶段需加强代数思维方式的训练, 加强方程教学。

关键词:算术方法;等量关系;方程;解决问题

方程是代数的初步知识, 也是学生从算术思维飞跃到代数思维分析现实生活中的数量关系的重要载体。学好方程的知识, 可以使学生不但在数的概念上有所扩展, 而且能简明地表达日常生活中数量关系的一般规律。这对学生进一步认识数的本质, 开拓解题思路, 发展他们抽象的思维能力具有极大的促进作用, 而且有利于中小学数学教学的衔接。因此, 在小学阶段教学好方程的知识, 并用之解决简单的实际问题就显得尤为重要。用方程解决实际问题应注意以下几点:

一、善于寻找题中的等量关系

找等量关系式是根据题意列方程的关键。有些数学问题数量关系复杂, 学生一时不易找出隐含的等量关系, 以致列不出方程, 因此找题中的等量关系应在教学中引起高度重视。训练找等量关系的能力, 可以从数量关系比较明显的问题开始, 再过渡到数量关系较复杂的问题, 可以组织找等量关系的专项练习。例如: (1) 一桶油, 用去30千克, 还剩下20千克。等量关系:一桶油的重量-用去的重量=剩下的重量。 (2) 六年级一班和二班共有学生90人。等量关系:六年级一班的人数+六年级二班的人数=两个班的总人数。 (3) 三年级学生开展兴趣小组活动, 书法组人数是音乐组的3倍。等量关系可以选择用除法的, 也可用乘法的。一般来说, 含有除法的等量关系式, 较之含有乘法的等量关系式, 无论在列方程、解方程等方面都要麻烦些, 这点应向学生说明。所以其等量关系我们选择乘法的。即书法组的人数=音乐组的人数×3。总之, 通过教学, 要达到使学生熟练掌握找题中等量关系式的常见方法。

二、善于从不同角度布列方程

列方程的实质是把题中的“生活语言”转化为“代数语言”, 即把文字等量关系式用已知数与未知数代入即得方程。教学时, 要鼓励学生根据不同的等量关系式列出不同的方程, 然后加以比较, 找出较好解法, 以提高学生灵活运用方程解决实际问题的能力。

小学中的实际问题并不十分复杂, 一般直接设未知数, 即求什么设什么。有时也需间接设未知数, 即设与要求的问题紧密相关的中间问题为X。设好未知数后, 有时要根据等量关系写出某些代数式, 这也是列方程中的重要一环, 值得注意的是:根据某一等量关系建立起代数式, 就不能再根据这一等量关系布列方程, 否则会出现恒等式, 而不是我们要求的方程。

比如:小红的故事书的本数是科技书的4倍, 故事书和科技书共200本。她的故事书和科技书各有多少本?首先设未知数可以选择故事书, 也可以选择科技书。设好未知数后, 要根据其中一个等量关系表示出另一个未知数的代数式。如果设科技书有X本, 用第一个等量关系表示故事书为4X。那么列方程就只能根据第二个等量关系来列即X+4X=200。还可列出200-X=4X和200-4X=X的方程, 从中选出最方便解的方程。

三、加强求未知数 (解方程) 的训练

解方程是列方程解决实际问题的重要步骤。方程会列了, 还必须具备一定的解方程的能力, 现实教学中不少学生能把方程列出来, 却没有办法求出解来。一方面是学生所列的方程太复杂, 对所布列的方程没有进行优化, 另一方面由于解方程的能力有限, 人教版新课标教材在编排时回避了形如:20÷X=2.5和120-X=50这样的方程, 未知数处于除数和减数的位置如何解。尽管教材回避了, 但对于提高学生解方程的能力来说, 教学生对这类方程如何解是必要的。

四、灵活地运用算术解法与方程解法

解决数学实际问题的算术解法与方程解法既有联系, 又有区别。两者最明显的区别在于:方程解法中未知数可以参加列式与运算;而算术解法中则不能。正因为如此, 方程解法就可降低分析推理的难度。

教学列方程解决问题以后, 有些问题可以让学生分别用算术方法和方程方法来解, 通过比较逐步分清两种解法的思路有什么不同, 并能根据题目不同特点, 灵活选择解法。一般来说, 顺向思维的题宜用算术解法;逆向思维的题宜用方程解法。

列方程解决实际问题时, 还应注意一些问题。如:要重视检验, 它既能保证解答的正确性, 又能培养学生认真负责的态度;而且由于中学里方程的解不一定是唯一的, 有时有几个根, 有时不一定有合理的根, 所以解的根必须检验。小学里养成了检验答案的习惯, 对以后的学习大有好处。

摘要：学生从用数字符号表示生活中的数量关系, 到利用字母符号表示生活中的等量关系, 是算术思维方式向代数的思维方式发展的一个飞跃, 这一飞跃对学生思维层次的提高有十分重要的意义。而小学生长期习惯于算术方法解决实际问题, 进入中学后受算术思维定势的影响, 很长一段时间不适应代数的思维方式, 因此, 在小学阶段需加强代数思维方式的训练, 加强方程教学。

用一元一次方程解决问题 篇3

这是一个环形跑道上的追及问题，今天我们就从这个问题出发研究一下行程问题中的追及问题.

拓展一 运动场环形跑道长400 m，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5 min后小红第一次追上爷爷，如果小红追上爷爷后立即转身沿相反方向跑，那么几分钟后小红与爷爷再次相遇？

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

小红跑的路程+爷爷跑的路程=400 m.

解：设x分钟后，小红和爷爷再次相遇.

由教材解题过程可知道，爷爷的速度是120 m/min，小红的速度是200 m/min.

根据题意，得120x+200x=400.

解这个方程，得x=1.25.

答：1.25分钟后，小红和爷爷再次相遇.

【点评】 该问题是相遇问题，蕴涵的主要相等关系是：小红和爷爷所跑的路程和等于环形跑道的周长.

拓展二 运动场环形跑道长400 m，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5 min后小红第一次追上爷爷，假设爷爷与小红第一次相遇后继续跑，则第______分钟第二次相遇，第______分钟第三次相遇，假想一下，若他们一直这样循环下去，第______分钟后第n次相遇.

【分析】 由题意可知道，小红和爷爷第一次相遇时，小红比爷爷多跑了400 m，第二次相遇时，小红比爷爷多跑了800 m，那么依次类推，第n次相遇时，小红比爷爷多跑了400n m.

可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

爷爷跑的路程+400n m=小红跑的路程.

解：设第x分钟后第n次相遇.

由教材中解题过程可知道，爷爷的速度是120 m/min，小红的速度是200 m/min.

根据题意，得120x+400n=200x.

解这个方程，得x=5n.

答案：第10分钟爷爷和小红第二次相遇，第15分钟爷爷和小红第三次相遇，第5n分钟爷爷和小红第n次相遇.

【点评】 这几个问题都是追及问题，每增加一次相遇，小红跑的路程都相应地增加一圈.

变式一 甲、乙两人在400 m的环形跑道上练习跑步，甲每秒跑5.5 m，乙每秒跑4.5 m.

（1） 甲与乙同地、同向出发，乙先跑10 m，甲出发后需要多长时间两人首次相遇？

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

乙跑的路程+10 m=甲跑的路程.

解：设甲出发x秒后两人首次相遇.

根据题意，得4.5x+10=5.5x.

解这个方程，得x=10.

答：甲出发10秒后两人首次相遇.

（2） 甲与乙同地、同向出发，乙先跑4 s，甲出发后需要多长时间两人首次相遇？

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

乙前4秒跑的路程+乙4秒后跑的路程=甲跑的路程.

解：设甲出发x秒后两人首次相遇.

根据题意，得4.5x+4.5×4=5.5x.

解这个方程，得x=18.

答：甲出发18秒后两人首次相遇.

（3） 甲与乙同地、同向出发，甲先跑100 m，乙出发后需要多长时间两人首次相遇？

【分析】 由教材中108页问题4解题过程可知道，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发时，如果他们第一次相遇，小红比爷爷多跑一圈. 本题中，甲与乙同地、同向出发，甲先跑100 m，如果他们第一次相遇，可以看作甲比乙多跑300 m.

可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

乙跑的路程+300 m=甲跑的路程.

解：设乙出发x秒后两人首次相遇.

根据题意，得4.5x+300=5.5x.

解这个方程，得x=300.

答：乙出发300秒后两人首次相遇.

变式二 甲、乙两人在同一条路上前进，甲每小时行3 km，乙每小时行5 km，甲在中午12点时经过A地，乙在下午2点经过A地，问乙下午几点能追上甲？

【分析】 “甲在中午12点时经过A地，乙在下午2点经过A地”说明当乙到A地时，甲在乙前面3×2=6（km）处.

可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

甲在12点到下午2点走的路程+甲在下午2点后走的路程=乙在下午2点后走的路程.

解：设乙出发x小时后，乙追上甲.

根据题意，得3x+3×2=5x.

解这个方程，得x=3.

2+3=5.

答：乙下午5点能追上甲.

【变式训练1】 汽车以每小时72 km的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷. 驾驶员按一声喇叭，4秒后听到喇叭声，此时汽车距离山谷多少米？（声音的速度是340 m/s）

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

汽车4秒走的路程+汽车4秒后离山谷的距离=声音走的路程-汽车4秒后离山谷的距离.

解：设4秒后汽车距离山谷x米.

每小时72 km=每秒20米.

根据题意，得x+20×4=340×4-x.

解这个方程，得x=640.

答：此时汽车距离山谷640米.

【变式训练2】 甲、乙两人同时以每小时4 km的速度从A地出发到B地办事，走了2.5 km时，甲要回去取一份文件，他以每小时6 km的速度往回走，取了文件后以同样的速度追赶乙，结果他们同时到达B地，已知甲取文件时在办公室耽误了15 min，求A、B两地的距离.

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

甲往回走后乙走的路程+2.5 km=甲往回走到追上乙的路程-2.5 km.

本题如果直接设A、B两地的距离相对较难处理，我们可以采用间接法设未知数.

解：设甲从往回走到追上乙共用了x小时.

15 min=0.25 h.

根据题意，得

2.5+4x=6（x-0.25）-2.5.

解这个方程，得x=3.25.

2.5+4x=15.5.

答：A、B两地的距离是15.5 km.

把实际问题转化为方程，有助于帮助学生感受方程是刻画现实世界的有效的数学模型. 方程的出现源于实际问题，追及问题是实际问题中的一个很重要的部分，用一元一次方程可以很有效地解决追及问题.

《用分式方程解决实际问题》教案 篇4

1、教学设计中，对于例1、例2引导学生依据题意，找到等量关系，并引导学生依据等量关系列出方程。这样安排，意在启发学生思考问题，激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯。这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供不广阔的空间。

2、教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用。例1是工程问题，其中工作总量为已知量，求完成工作量的时间(或工作效率)。这些都是运用列分式方程求解的典型问题。教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系，以及列方程求解的思路，以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答，求解的思路是什么。学生完成课堂练习和作业，则是识别问题类型，能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系，探求解题思路。

3、通过列分式方程解应用题教学，渗透了方程的思想方法，从中使学生认识到了方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器。通过找等量关系列方程，把已知量与假设的未知量平等看待，这就能“以假当真”。通过解方程求得问题的解，被假设的未知量x就变成了确定的量，从而“弄假成真”，使实际问题迎刃而解。

用方程解决相遇问题 篇5

课    题：4.3  用方程解决问题（2）教学目标：1、能利用表格作为建模策略，分析实际问题中的数量关系列方程解决问题.2、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力.3、综合运用已有知识，在探索和解决问题的过程中获得体验，发展自己的思维能力.教学重点：利用表格作为建模策略，分析实际问题中的数量关系教学难点：建立表格的方法教学过程：一、        情境创设： 问题：用方程解决问题的一般步骤有哪些？二、自主探索：某班学生39人到公园划船，共租用9艘船，每艘大船可坐5人，每艘小船可坐3人，每艘船都坐满。问大船小船各租了多少艘？问题1、题中涉及哪几个量？问题2、题中相等关系是什么？教师提示，师生建构表格，学生填写.根据表格和相等关系设出未知数列出方程：解后反思：如果设小船只数为x呢？你能写出对应的方程吗？说明：学生在问题情景中初步体验用表格建模策略分析问题各量间的相互关系，列表格是解决问题的一个重要手段.三、自学例题：例题：小丽水果店花了18元买了苹果和橘子共6kg，已知苹果每千克3.2元，橘子每千克2.6元。小丽买了苹果和橘子各多少？思考：（1）指出问题中的数、数量、已知数量和未知数量；（2）表格可以怎样设计？（3）设小丽买x kg苹果，如何用表格分析问题中的数量关系？列出方程是什么？（4）解：解后反思：本题还有没有其它解法？说明：让学生体会用方程解决问题时，设未知数的方法不同，方程的复杂程度也常常不同，因此要有所选择.四、课堂练习：1、某班学生分两组参加植树活动，甲组有17人，乙组有25人，后来由于需要，又从甲组调了部分学生去乙组，结果乙组的人数是甲组的2倍。问从甲组调了多少学生去乙组？2、小颖用140元钱买了两种书，共10本，单价分别为10元和18元，每种书各买了多少本？五、教学小结：本课你有什么收获？

板书设计

教后感

用方程解决相遇问题 篇6

1.使学生读完题后会说题，找出等量关系.2.鼓励学生主动探索,有了答案后，引导学生合作交流，择优.学习重点：理解题意，找出数量关系.学习难点：找出等量关系.教学过程

一、情境引入：

国庆长假期间，某旅行社接待一日游和三日游的游客共2200人，收旅行费200万元，其中一日游每人收费200元，三日游每人收费1500元.该旅行社接待的一日游和三日游旅客个多少人？

二、探究学习： 1．尝试：

（1）有几个未知数？几个已知量？

（2）已知量和未知量之间的数量关系你能找到吗？（3）相等的关系是否明显？你找找.2．概括总结．

你能告诉我等量关系或方程吗？ ① 人数等量关系 ② 钱数相等关系 3.板书：

解：设接待一日游旅客x人，三日游旅客y人

那么一日游共收费200x元，三日游共收费1500y元.由题意得xy2200

200x1500y2000000x1000

y1200 解这个方程组得 答：该旅行社接待一日游旅客1000人，三日游旅客1200人.4.典型例题：

例

1、为了保护环境，某学校环保小组成员收集废旧电池，第一天收集5节1号电池，6节5号电池，总质量为500g；第二天收集3节一号电池，4节5号电池，总质量为310g.一节一号电池和一节五号电池的质量分别是多少？

解：设一节一号电池的质量为xg,一节五号电池的质量是yg.由题意得5x6y500

3x4y310x70

y25 解这个方程得 答：一节一号电池的质量为70g,一节五号电池的质量是25g.5.想一想：今有鸡兔同笼 ,上有三十五头,下有九十四足 ,问鸡兔各几何? 设鸡x只,兔y只,根据题意得

6.巩固练习：

(1).七年一班共44人，现分成甲、乙两组参加学校活动.由于需要，现从乙组调了6人到甲组后，甲乙两组人数相等.问原来甲乙各多少人？

(2)．小亮买了5本练习本和2支圆珠笔共花了5.5元.已知圆珠笔比练习本贵1元，问练习本和圆珠笔各多少元？

三、归纳总结：

解决实际问题，关键是理解题意，找出相等关系，建立方程.教学反思：本节课进行很顺利同学们积极性很高，通过谈论大部分同学能自行解决。

【课后作业】

班级 姓名 学号

1.现有邮票一打，已知面值为一元和两元的，总面值为50元，2元的邮票比1元的邮票多10张，问面值为一元和两元的邮票各多少张？

2.一长方形周长为24，现把长增加3，宽不变，周长变为30.问原来的长、宽为多少？

3.若甲数比乙数的2倍小3，且甲、乙两数的和是9，求甲、乙两数.x+y = 3①

2x+4y = 94

②

B组题：

用方程解决相遇问题 篇7

一、转化思想

转化也称化归,它是指将未知的、陌生的、复杂的问题,根据知识间内在的联系,从一种形式转化为另一种形式,问题就可能比较顺利地得到解决,这就是转化的思想方法. 它能够帮助我们打开思路, 把一个较复杂或陌生的问题转化成一个已经解决过的比较简单或熟悉的问题.

例1 (2013·山东菏泽)解方程:(x+1)·(x-1)+2(x+3)=8.

【解析】观察本题的特点,可以看出解方程的几种方法均不能处理此题,因而应利用整式的乘法及加、减把一元二次方程化成一般形式,然后再利用因式分解法.

解:原方程可化为x2+2x-3=0,即(x-1)·(x+3)=0, 解之,得x1=1,x2=-3.

【点评】在解一元二次方程时,一般情况下先观察其特点,判断是否能直接应用开平方法、因式分解法,当二次项系数为“+1”且一次项系数为偶数时 , 利用配方法, 最后才考虑公式法. 这四种方法都不能直接应用时, 注意把方程变为一般形式去求解.

二、整体思想

整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征. 对本章的学习来说,就是要善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理.采用整体处理的方法,不仅可避免复杂的计算,而且还达到了解决问题的目的.

例2 (1)(2013·黑龙江绥化)设a,b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根,则a2+2a+b的值______.

(2)(2013·荆州)设x1,x2是方程x2-x2013=0的两个实数根,则x31+2014x2-2013的值______.

【解析】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2, 由根的定义得再利用这些结论中的某些结论,进行整体代入,往往可使所求问题变得简单.

解:(1) 因为a,b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根,所以,由根的定义,得a2+a-2013=0,即a2+a=2013,由根与系数的关系可知:a+b=-1,所以,a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2013+(-1)=2012.

(2) x1,x2是方程x2-x-2013=0的两个实数根,所以,x21-x1-2013=0, 即x21=x1+2013,x1+x2=1, 所以x31+2014x2-2013 =x21·x1+2014x2-2013 =(x1+2013)·x1+2014x2-2013 =x21+2013x1+2014x2-2013 =x1+2013 +2013x1+2014x2-2013=2014(x1+x2)=2014.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系以及整体思想,解决此类题型的关键是熟悉相关的知识点. 如第(1)小题,将a2+a=2013及a+b=-1作为整体进行代入计算. 第(2)小题利用x21=x1+2013进行降幂,再利用x1+x2=1求出代数式的值.

三、分类讨论思想

所谓分类讨论思想,就是在研究解决数学问题时,若问题所给对象不能进行统一研究,我们就要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为能用不同形式来解决的小问题,将这些小问题逐一解决,从而使整个问题得到解决,这种处理问题的思想方法称为分类思想. 它既是一种数学思想方法,又是一种重要的解题策略.

例3 (2013·四川内江)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-p ,x1·x2=q. 请根据以上结论,解决下列问题:

(1)已知关于x的方程x2+mx+n=0(n≠0),求出一个一元二次方程,使它的两根分别是已知方程两根的倒数;

(2)已知a、b满足a2-15a-5=0,b2-15b5=0,求a/b+b/a的值;

(3)已知a、b、c均为实数,且a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.

【解析】可综合应用上面的三种解题方法求解本题. (1) 抓住两方程的根互为倒数利用转化思想构造方程即可. (2) 应考虑a,b相等与a、b不相等两种情况分类讨论 .当它们相等时,ab,ba的值都等于1;当它们不相等时,a,b可以理解为是关于x的方程x2-15x-5=0的两个不相等的实根, 然后对ab+ba通分,利用完全平方公式变形,再整体代入求解. (3) 由a+b+c=0,abc=16,得a+b=-c,ab=16c,构造以a,b为根的一元二次方程,然后利用根的判别式b2-4ac≥0构造不等关系求解.

【点评】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系,根的判别式,难度较大. 数学新课程标准对一元二次方程的根与系数的关系并不作高的要求,此题在这种情况下以阅读题的形式命制,为大家铺设好解决问题所需要的知识和方法,可以有效考查同学们的自学能力, 灵活应用能力,具有一定的区分度.

四、建模思想

建模思想其实质是从实际问题中提取出关键性的基本量,将其转化为数学问题来表达.

例4市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格. 某种药品经过连续2次降价后,由每盒200元下调至128元,求这种药品平均每次降价的百分率是多少?

【解析】对于降价问题, 一般是降价后的量=降价前的量×(1-下调的百分率),设出平均每次下调的百分率, 根据从200元下调到128元, 列出一元二次方程求解即可;

解:设平均每次下调的百分率为x,由题意,得200×(1-x)2=128.

解这个方程,得x1=0.2,x2=1.8.

因为降价的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合题意,故舍去.

符合题目要求的是x1=0.2=20%.

答:平均每次下调的百分率是20%.

【点评】关于两次增长(或降低)率问题, 要注意其固定的等量关系. 一般形式为:a(1+x)2=b,a(1-x)2=b. 其中x为增长(或降低)百分率,a表示为增长(或降低)前的数据,b表示经过两次增长(或降低)后得到的数据,“+”表示增长,“-”表示降低.

小试身手

A. a≥1 B. a>1且a≠5 C. a>1 D. a≠5

4. 已知关于x的方程x2=(2m+2)x-(m2+4m-3)中的m为不小于0的整数,并且它的两实根的符号相反,求m的值,并解方程.

5. 长沙市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过两次下调后,决定以每平方米4 050元的均价开盘销售.

(1)求平均每次下调的百分率;

用方程解决相遇问题 篇8

“鸡兔同笼”问题是我国古代数学著作《孙子算经》中的名题，暗示着我国古代数学的杰出成就.它不仅趣味性强，而且“鸡兔同笼”问题可以用算术方法、一元一次方程等方法求解，但用二元一次方程组求解是最为直接的方法.原题：今有鸡兔同笼上有35头，下有94足.问鸡兔各几何？（题意为：笼里有鸡和兔，共有35只头，94只足.问鸡和兔各几只？）用方程组表达实际问题的意义时要突出解决问题的过程，即设未知数，找出两个相等关系，列出方程组.现将分析的思维方法展示如下：设鸡有x只，兔有y只，得相等关系两个，鸡头+兔头=35，鸡足+兔足=94.将鸡头、兔头、鸡足、兔足分别用x、y代数式表示则得到一个二元一次方程组x+y=35，

2x+4y=94.解之得x=23，

y=12.则问题得到解决.像这样的问题不胜枚举，现再举一例：我国明朝程大位所著《算法统宗》中有一道“百僧问题”. 原题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？（题意为：有100个馒头和100个和尚，大和尚每人吃三个，三个小和尚分一个.问大小和尚各有几人）思维方法：设大和尚x人，小和尚y人，得相等关系两个，大和尚+小和尚=100，大和尚所吃馒头+小和尚所吃馒头=100.将大和尚、小和尚、大和尚所吃馒头、小和尚所吃馒头分别用x、y代数式表示则得到一个二元一次方程组x+y=100，

3x+13y=100.解之则问题得到解决.当然这个问题也可以用一元一次方程的相关知识加以解决（解法：设大和尚x人，则小和尚有（100-x）人，根据题意列方程：3x+13（100-x）=100，解得x=25，即大小和尚分别为25人和75人.）通过对比同学们可以体会用二元一次方程组解决实际问题比用一元一次方程解决问题思路更加直接，方法也较简单.

既然如此，那么从实际问题到方程组，问题的探究经历了那些过程呢？答案就是从实际问题开始首先是到数学问题，再从数学问题到列出方程组，正确列出方程组的关键在于弄清题意，恰当地设未知数，找出问题中的两个相等关系.方法就是化实际问题到数学中的二元一次方程组问题来解决.通过对上面2个例子的学习，你是否觉得自己还有很多潜力没有挖掘出来呢？这里再举几个题目供大家思考并解决.

（1） 小明买了80分与1元的邮票共10枚，花了9元.80分与1元的邮票各买了多少枚？

（2） “百钱百货”古算题：柑三梨四，一钱枣子买14. 百钱买百货，问柑、梨、枣各买几何？

（3） 著名数学家欧拉的著作中的百蛋问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋到市场去卖.两个人的蛋数不同，但卖得的钱数一样.第一个农妇对第二个说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜币.”第二个回答道：“如果你的鸡蛋换给我，我就只能卖得20/3个铜币.”问她们各有鸡蛋多少个？

其实，探究实际问题的分析和解决，除了解题，自编问题交流解答更能挑战思维，同时锻炼我们的独创和探索精神，建立对数学的自信，让自己的思维能力产生一轮又一轮的飞跃.

用方程解决相遇问题 篇9

列方程解应用题是初中数学的中点内容。在各类考试中，出现了一类通过列方程求解的分配型应用题，这类试题与生活密切相关，考查大家分析问题能力的同时，也考查了同学们的日常生活知识。现撷取几例加以剖析，希望能对同学们的学习有所帮助.例1：儿童三轮车厂有95名工人，每人每天能生产车身9个或车轮30个。要使每天生产的车身和车轮恰好配套（一个车身配三个车轮），应安排生产车身和车轮各所少人？

分析：“一个车身配三个车轮”是解决本题的关键。抓住这个关键进一步分 析可知，当每天生产的车轮数是车身数的3倍时，可使每天生产的车身和车轮恰 好配套，由此可得到等量关系，进而列出方程.解：设每天应安排x人生产车身，则生产车轮的人数是(95x)人，由题意 可得9x330(95x)，27x285030x，57x2850，解得x50，故每天 应安排50人生产车身，45人生产车轮，可使每天生产的车身和车轮恰好配套.例2：一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，用1m木材可制作50个方桌

桌面或300条桌腿。现有5m木材，若做成的桌腿和桌面恰好配套，能做成方桌多少张？

分析：由题意可知，制作的桌腿数应是桌面数的4倍，才可使桌腿和桌面恰好配套，因此本题可依次列方程求解.解：设用xm的木材制作桌面，则制作桌腿的木材是(1x)m，依题意可得方程3

333450x300(1x)，200x300300x，500x300，解得x0.6，故制作桌面的木材是0.6 m，制作桌腿的是0.4 m.于是能做成方桌0.650150张.例3：北京和上海都有某种仪器可供外地使用.其中北京可提供10台，上海可提供4台.已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如表所示：

33终点起点北京

武汉400300重庆800500 上海 有关部门计划用7600元运送这些仪器，请你设计一种分配方案，使重庆、武汉能得到所需的仪器，而且运费正好够用.1 分析：可设北京提供x台给武汉，则余下的(10x)台提供给重庆；武汉从北京得到了x台，那么从上海应该得到(6x)台.因此上海提供给重庆的应是4(6x)台，按照以上的设想分配，总运费应等于7600元，由此可列方程求解.解：设北京供给武汉x台，则给重庆(10x)台；上海供给武汉(6x)台，则给重庆4(6x)台，依题意可列方程

400x800(10x)300(6x)5004(6x)7600 整理得200x88007600 解得x6

《列方程解决问题》 教学反思 篇10

本节课学生初次利用列方程解决实际问题，对学生来说有一定的难度，上完后，感觉有不少问题存在。

教学例3时，我首先从例题上引导学生读题观察，理解题意，然后指导学生分析题中的数量关系。交流汇报时，学生说出了如下数量关系：

警戒水位+超出部分=今日水位

今日水位—警戒水位=超出部分

今日水位—超出部分=警戒水位

然后让学生依据数量关系列出相应的方程，这时学生发现例题与之前所学的方程有所不同，之前列方程时题目中未知数已经有了，直接看出x表示那个量，而例题中并没有x，从而引导学生了解到：要列方程必须把其中的未知量假设为x，从实际中让学生发现列方程解决问题时有“设„„为x”的必要性，不至于出现在列方程时不写“解：设„„”的情况。

用方程解决相遇问题 篇11

一般指针式钟表中的时针、分针与秒针都可视为匀速转动，分针与秒针从第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为

A.1 min B. 59/60 min C. 60/59 min D.61/60 min

解析 本题是一道经典的圆周运动的追及问题.常规思路是秒针再次和分针重合，必定秒针比分针多转了一周即2π弧度，设秒针的角速度为ω1 分针的角速度为ω2，ω1=2π1min-1 ，ω2=2π60min-1 . 由圆周运动的追及条件，列方程得：（ω1-ω2）t=2π，则得

t=6059min. 故答案为：C.

这种解法比较常规，在有的物理类期刊中，也有介绍圆周运动的追逐和相遇问题，这里就不再赘述.

而上述习题在该资料中所给的答案是这样分析：秒针转动一周回到原出发位置的时间是1分钟，但此时分针也向前转动了一分钟（160圈），秒针要跟分针再次重合，需要继续前进一格（160圈），故D正确.

显然第一种解法是没有问题的.为什么两种解法的结果不同呢？那么第二种解法的错误原因何在？这里我们对本题辅导资料中所给的答案重新分析，来探究其中的问题.

本题可以运用数学归纳的方法来分析.我们先来进行逻辑推理，分针转一周要60分钟，秒针转一周需要时间1分钟.也就是说从重合处出发再经过1分钟秒针回到原位置，而分针已经从原位置前进了160周，秒针再用160分钟前进160周，而分针又前进了1602周，秒针再用1602分钟前进1602周，依次递推，当分针前进160n周时，秒针再往前追160n周用时间160n分钟，直到重合为止.由此可知，秒针追上分针所用的总时间为：

t=1+160+1602 +1603+…+160n（单位：min）这里n→∞. 观察此表达式可知，此表达式为等比数列求和，联系等比数列求和的通项公式Sn=a11-qn1-q；这里a1=1， 公比q=160，即得：t=a11-qn1-q ，代入数据：t=1×1-160n1-160 ；当趋近于无穷大， t=6059min.

总结：该辅导资料上所给的答案，只考虑到秒针转动一周，分针跟进六十分之一圈的情况，而没有继续向下考虑，秒针跟进，分针继续转动的情况，从而导致错误结论.在本题中根据实际情况，结合数学知识，进行递推、分析、归纳得出规律，然后，利用等比数列，列出方程，得到结论.在物理习题教学中抓住问题的生成，择机渗透数学知识，促进物理与数学知识的融合，对于培养学生的综合思维能力，不同学科的整合能力，为学生的能力发展提供思维的空间.可以把上述问题继续拓展，发展学生的思维.

拓展1 若上述问题中，秒针与分针从重合时计算，到秒针与分针夹角成π弧度时，需多长时间呢？

分析 若仍用第一种解法，结合圆周运动的追及相遇问题的思想，则有（ω1-ω2）t=π，则得

t=12×6059min=3059min.

那么，运用第二种方法如何分析呢？可以这样来思考，秒针和分针都是均匀的匀速转动，从重合时开始，转到夹角为π时，应该为从重合时开始到再次重合（即夹角为π时）所用的时间的一半.仍然由前面的等比数列公式求得时间，乘以1/2即可.

下面我们把前面的问题拓展到任意的情况.

拓展2 若上述问题中，秒针与分针从重合时计算，到秒针与分针夹角成θ弧度时，需多长时间呢？

分析 若仍用第一种解法，结合圆周运动的追及相遇问题的思想，则有（ω1-ω2）t′=θ，

则得：

夹角）的匀速直线运动，所以x=v真实 cosθt.

竖直方向为竖直上抛或竖直下抛运动，仍是匀变速直线运动，所以yBC -yAB =gT2.两式联立得

v实际 =xcosθByBC -yAB .

由此可见无论是斜上抛还是斜下抛测量值均偏小.

2 完整轨迹

2.1 斜下抛时

在轨迹上任取一点，其横、纵坐标分别为x，y（图2）.

理论上：水平方向为v0的匀速直线运动，所以

x=v测量 t.

竖直方向为自由落体运动，所以y=12gt2.两式联立得

v测量 =xB2y.

实际上：水平方向为v0cosθ （θ是v0与水平方向夹角）的匀速直线运动，所以

x=v真实 cosθt.

竖直方向为竖直下抛运动，所以

y=v实际 sinθt+12gt2.

两式联立得

v实际 =xg2ycos2θ-xsin2θ，

比较上述两个结果可得测量值偏小.

2.2 斜上抛时

理论上：水平方向为v0的匀速直线运动，所以

x=v测量 t.

竖直方向为自由落体运动，所以y=12gt2.

两式联立得v测量 =xg2y.

实际上：水平方向为v0cosθ（θ是v0与水平方向夹角）的匀速直线运动，所以x=v真实 cosθt.

竖直方向为竖直上抛运动，所以

-y=v实际 sinθt-12gt2.

两式联立得

v实际 =xg2ycos2θ+xsin2θ，

当2ycos2θ+xsin2θ>y即xy>tanθ时测量值偏大，当2ycos2θ+xsin2θ

由于我们初速度的测量是通过v0=xt进行计算的，其中x是水平位移，t是通过竖直运动的测量计算得出.在利用不完整轨迹求时间时无论是平抛、斜上抛还是斜下抛，由于竖直运动都是匀变速直线运动所以都可以用yBC -yAB =gT2求，水平位移x除以时间得到的是水平速度，所以和初速度比一定偏小；在利用完整轨迹求时间时理论上是用自由落体运动求，但实际上在斜下抛运动中由于具有向下的分速度所以由自由落体运动求出的时间偏大，这样求出的速度小于水平分速度，更小于初速度，所以也是一定偏小；在斜上抛运动中由于具有向上的分速度所以用自由落体求出的时间偏小，这样求出的速度大于水平分速度，但不一定大于初速度，

当xy>tanθ时测量值偏大，此条件下由于运动的时间短时间测的误差大，使结果偏大，当xy

综上可以发现三种情况有三种不同的结论：第一种情况下测的就是水平速度，第二种情况下测的不是水平速度但一定比水平速度小，第三章情况下测的不是水平速度但比水平速度大，而对应的结论是前两种情况下一定偏小，第三种情况下可能偏大也可能偏小.由此可见殊途未必同归.例如在探究弹簧弹力与弹簧伸长量的关系时，如果忘记减弹簧原长了，在利用F=kx计算k值时结果会偏小，而利用F-x图象的斜率求就不受影响，同样在利用单摆测定当地重力加速度的实验中忘记测小球半径，不同的数据处理方法会有不同的结果.所以我们一定要明确实验原理，明确理论上如何计算，实际上应该如何计算，然后进行对比，做到实事求是.殊途不能同归，但同样能做到加深学生对所学知识的深刻理解、锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性.

用物理方程研究图象问题 篇12

例1一定质量理想气体的状态经历了如图1所示的ab、bc、cd、da四个过程,其中bc的延长线通过原点,cd垂直于ab且与水平轴平行,cda与bc平行,则气体体积在()

(A) ab过程中不断增加

(B) bc过程中保持不变

(C) cd过程中不断增加

(D) da过程中保持不变

解析:由图1可知,对ab过程,特点是T不变,P减少,应用,故V增加;对bc过程,特点是过原点的直线,将变形,有,故V不变;对cd过程,特点是p不变,T减少,应用,故V减小;对da过程,连od,oa,如图2所示,od的斜率大于oa的斜率,由的变形知,Vd

例2如图3所示,一有界区域内,存在着磁感应强度大小均为B,方向分别垂直于光滑水平桌面向下和向上的匀强磁场,磁场宽度均为L,边长为L的正方形框abcd的bc边紧靠磁场边缘置于桌面上.使线框从静止开始沿x轴正方向匀加速通过磁场区域,若以逆时针方向为电流的正方向,能反映线框中感应电流变化规律的是图4中的()

解析:在0～t1,bc边进入左磁场区域,切割磁感线,产生的感应电流为,由于线框是从静止开始沿x轴正方向做的是匀加速运动,以含t的表达式表示,则,以含x的表达式表示,则,i-t图象为过原点的倾斜的直线,i-x图象是曲线.在t1～t2,ad边进入左磁场区域,两边都切割磁感线,两边感应电流方向相同,大小相加,故电流大,由右手定则,电流方向变为相反.在t2～t3,正方.形框abcd进入右磁场区域,只有一边产生感应电流,故电流变为所以,0～t1和t2-t3段表达式知图象斜率都为,即斜率相同,且都过原点,所以对i-t图象,(A)正确,(B)错误.同理,对i-x图象,(C)正确,(D)错误.本题选(A)、(C).

例3小球自由落下,在与地面发生碰撞的瞬间,假设反弹速度与落地速度大小相等.若从释放时开始计时,不计小球与地面发生碰撞的时间及空气阻力.则图5中能正确描述小球各物理量与时间关系的是()

解析:物体做自由落体运动时,设物体开始下落的高度为H,有,可见,Ek、Ep是时间t的二次函数,选项(A)、(C)错误.由于位移是对抛出点的位移x,也是时间t的二次函数,而速度v=gt是一次函数,故选项(B)错误,正确的选项为(D).

练习:

1.太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道.图6中的4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象.图中坐标系的横轴是lg(T/T0).纵轴是lg(R/R0);这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径,T0和R0分别是水星绕太阳的周期和相应的圆轨道半径.下列4幅图中正确的是()

提示:根据开普勒第三定律:两式相除后取对数,得:,整理得:,选项(B)正确.

列方程解决问题教学反思 篇13

一、复习等量关系，做好铺垫。

学生已学习了一人行走的行程问题解答方法，我上课开始，举例一步问题，让学生解答，并说出等量关系。同时改变问题，问等量关系。使学生进一步熟悉行程问题的解答依据。

二、学生上台展示，变抽象为直观。

相遇问题比较抽象，我让两名学生上台走路，现场照题目要求直观演示。为了让学生观察清楚，也为了更好地贴合问题，直观展示，我特地喊口令，让两学生依口令一秒一秒走，并掌握步幅大小，保证三秒相遇：第一秒，你两步，我三步；第二秒，第三秒相遇。

理解了题意，问题来了，两学生同时走，到相遇，时间有什么关系？（相等），这段路程几人走完的？总路程怎么计算？通过提问，发现有学生模糊，刚才关注点和问题脱钩，于是刚才演示的两名同学再次演示，这次学生带着问题观察，问题逐一解答。

三、画线段图，帮助学生建构模型思想

对走路演示，学生铭刻在心，脑中有相遇问题的全过程和细节，如两人的时间啦，哪一段路程谁走的？相遇点会靠近谁？等等。首先要求：已知条件要全部表明，连同单位，问题也要标注。师生一步一步，共同完成线段图画法，把心中的理解都画出来。再次直观展示，使学生对相遇问题有了更清楚的认识，帮助学生建构相遇问题的模型思想，两人共同走完，即甲的路程+乙的路程=总路程。同时两人时间相等，即：速度和×相遇时间=总路程。学生很快列出方程解答。