《二次函数的图像与性质》教学反思

《二次函数的图像与性质》教学反思（共14篇）

《二次函数的图像与性质》教学反思 篇1

《二次函数的图像与性质》教学反思

本节课的学习内容是在前面学过一次函数、反比例函数的图像和性质的基础上运用已有的学习经验探索新知识。《二次函数的图像与性质

（一）》是二次函数性质研究的第一步，为后面研究较为复杂的函数类型作了必要的铺垫，具有承上启下的作用。

讲课中首先一起回顾一次函数与反比例函数的图像与性质，然后让学生动手在坐标系中作二次函数y=x2和y=-x2的图象，从感性上结识抛物线.再后又对两个特殊的二次函数的图象和性质进行了归纳和总结，从理性上再次结识抛物线.利用几何画板揭示了两个抛物线之间的联系，使本节课的知识得到了升华。

成功之处：

1.课前的引课很精彩，几句简短的语言使学生感受数学就在我们的身边，并激起学生学习数学的兴趣.2.对二次函数图象的作图，通过学生作品的展示、思考、讨论、讲评起到指导全体学生的作用.作图后让学生反思自己的作图过程，加深学生对作图的理解，规范作图，同时培养学生严谨治学的精神.3.二次函数的图象和性质掌握起来有一定的难度，因此我设计一系列问题串，让学生观察图象回答，以突出重点分散难点.同时借助课件的动态展示能帮助学生更形象地理解和掌握二次函数的图象和性质，也为今后探讨其他类函数的性质提供思路.4.在教学中注重多种学习信息的捕捉，引导学生从图与形，表达式、表格、图像等多角度地去分析理解数学知识，使学生对抛物线有一个丰满的认识。

5.几何画板很好的展示了两个函数之间的关系，动态的演示有助于理解难点，是这节课的亮点。

不足之处：

《二次函数的图像与性质》教学反思 篇2

1. 二次项系数a及其意义。

二次项系数a不但决定了二次函数图像的开口方向, (当a>0时, 抛物线开口向上;当a<0时, 其开口向下) , 它还决定开口的大小。也就是说, 当二次函数a的绝对值相同时, 这些抛物线的形状完全相同, 反之也成立。因此抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 可以由抛物线y=ax2 (a≠0) 平行移动得到。

2. 常数项c的意义。

对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 来说, 当x=0时, y=c, 即抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 总是经过 (0, c) 。当c>0时, 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴;当c<0时, 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴;当c=0时, 抛物线经过原点。反过来, 当抛物线与时, 抛物线经过原点。反过来, 当抛物线与y轴的交点坐标已知时, 其二次函数解析式中的常数项c的值也就决定了。

3. 一次项系数b的意义。

当二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 中的二次项系数a及一次项系数b一旦确定, 这个函数的对称轴:x=-b2a直线 (顶点的横坐标) 就唯一确定了。反之亦然。

例1已知二次函数y=-x2+3x, 则其图像大致位置是 ()

二、二次函数图像的顶点坐标与字母系数

对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) , 其图像顶点坐标是, 这是二次函数的一个重要性质, 也是同学们必须要知道的, 它不但决定了二次函数的顶点位置, 同时也确定了函数的最大值或最小值。

例2已知:抛物线y=x2-8x+c顶点在x轴上, 则c的值是 ()

简析:由于抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上, 则其顶点的纵坐标为0, 即, 故选D。

三、抛物线与轴交点与字母系数

求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 与x轴的交点, 即求函数y=ax2+bx+c (a≠0) 中当y=0时的自变量x的值, 得到横坐标x的值, 其纵坐标为0。当方程ax2+bx+c=0中的b2-4ac>0时, 说明抛物线与x轴有两个不同的交点;当b2-4ac=0时, 抛物线与x轴有唯一的交点;当b2-4ac<0时, 抛物线与x轴没有交点。

例3求当m取什么值时, 抛物线y= (m-1) x2-2mx+m-2与x轴有两个不同的交点。

简析:要使抛物线y= (m-1) 2-2mx+m-2与x轴有两个不同的交点, 方程 (m-1) 2-2mx+m-2=0应有两个不相等的实数, 故b2-4ac>0且m-1≠0解得且m≠1.

注意这里容易忽视m≠1≠0的条件。

例4抛物线y=x2-2 (m+1) x+m2+4m-3与x轴的两个交点A、B分别在原点的左、右两侧, 且m为不小于0的整数, 求这个函数的解析式。

简析:设抛物线与x轴的两个交点坐标为A (x1, 0) , B (x2, 0) , 故x1, x2应为方程x2-2 (m+1) x+m2+4m-3=0的两个根, 由题意可知得:b2-4ac>0, x1x2<0且m≥0的整数, 求得m=0, 所以函数的解析式为y=x2-2x-3。

四、二次函数的对称性与字母系数

由于关于某直线对称或关于某点对称的两个图形是全等形, 故关于两标轴对称或关于抛物线顶点对称的两个抛物线的形状大小也是一样的, 只是它们的开口方向或顶点坐标、对称轴或它们与两坐标轴的交点不同而已。因此, 当已知一条抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) , 我们可以求出它关于两坐标轴对称或关于其顶点对称的抛物线的解析式。

1. 关于两坐标轴对称。

(1) 关于x轴对称。

求与抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于x轴对称的抛物线解析式时, 由对称性可知, 它们的形状完全一致, 只是开口方向相反, 与y轴的交点坐标由原来的 (0, c) 变为它关于x轴的对称点 (0, -c) 。故其关于x轴对称的抛物线解析式为y=-ax2+bx+c (a≠0) 。这里的二次项系数a, 一次项系数b和常数项c) 正好与原来抛物线解析式的系数互为相反数。

(2) 关于y轴对称。

求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于y轴对称的抛物线的解析式, 这时它的形状、开口方向与y轴的交点坐标都一样, 也就是二次项系数和常数项不变, 只是对称轴由原来的直线变成了直线也就是一次项系数与原来抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 的一次项系数互为相反数, 故与抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于y轴对称的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c (a≠0) 。

2. 关于抛物线的顶点对称的抛物线。

求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于其顶点对称的抛物线的解析式, 这时两个抛物线的顶点、对称轴、形状完全一致, 只是开口方向相反, 故所求的抛物线解析式为:

例5求抛物线y=x2-2x-3关于其顶点为中心对称的抛物线的解析式。

简析:抛物线y=x2-2x-3= (x-1) 2-4, 其顶点坐标是 (1, -4) , 对称轴是直线x=1。所以所求抛物线的解析式为:y=- (x-1) 2-4=-x2+2x-5

五、二次函数图像的形状、位置与字母系数的范围

由二次函数图像的一些特殊形状、位置可以确定字母系数的数值或范围。

例6已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像与x轴交于点A (1, 0) 和点B (b, 0) , (点B在点A的右侧) 。与y轴交于点C (0, 2) , 请说明a、b、c的乘积是正还是负?

简析:由题意, 所以a、b异号, 又因为函数图像与y轴交于点 (0, 2) , 所以c=2>0, 所以a、b、c的乘积是负数。

综上, 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的字母系数a、b、c与它的图像性质之间的关系相当密切, 加强二次函数的字母系数的研究, 对探讨二次函数的图像性质大有裨益。

摘要：我们知道, 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的字母系数确定了 (可以用待定系数法确定a、b、c的值) , 它的图像和性质也就决定了;反过来当已知二次函数的图象或它的一些性质, 也可以求出它的字母系数的值或字母系数的范围。

《二次函数的图像与性质》教学反思 篇3

冀教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级下册第三十四章“二次函数”第三节“二次函数的图像和性质”（第一课时）。

本节课主要讲述y=ax²（a≠0）图像和性质。对于函数的图像学生已有了丰富的作图经验，所以本节课主要以学生自主画函数图像为主，在作图的过程中探究并发现y=ax²（a≠0）的性质，从而较好的展开知识发生和发展的过程。教师要引导学生通过画图提炼函数的基本性质，并对性质加深理解。

教材分析

1.教材所处的地位和作用

本节课是y=ax²（a≠0）的图像和性质，用最简单的二次函数的图像来说明二次函数的几个要素（图形形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、以及最大值和最小值）这一节课在整个二次函数图像这一节中起到承上启下的铺垫作用，直接影响到后面一般二次函数图像的画法及性质。

2.教学目标

知识与技能：通过画图认识二次函数y=ax²（a≠0）的图像是一条抛物线，掌握抛物线的对称轴，顶点坐标，最大值或最小值。

过程与方法：学生自己动手，画图，交流，讨论，主动探究总结二次函数y=ax²（a≠0）的性质。

情感态度价值观：学生动手，动脑，探究获得必需的数学知识，激发数学潜能，提高学生的学习兴趣，形成主动学习的态度。

3.教学重点、难点

教学重点 在这节课中通过自主画图发现二次函数y=ax²（a≠0）的图像和性质是重点。

教学难点 按要求画一条规范的二次函数的图像是这节课的难点。

4.教材处理

根据本节课的知识特点，基于“真正以学生为本”的教学理念，我将这节课的主动权完全交给了学生，让他们通过亲身感受、广泛交流，观察分析进行类比联想，从而形成画二次函数图像的基本方法。作图始终是这节课的主线。关于二次函数性质的总结，也是让学生从具体图像中观察，发现性质，进而抽象到一般二次函数上去。这节课始终贯穿从简单到复杂，从特殊到一般的过程。

教学方法与手段

教学方法

本节课在教法上采取探究式的教学法，体现教师的“启发引导”，帮助学生实现认识上和态度上的跨越;在学法上突出学生的“探究发现”，在教学过程中立足于让学生自己去动手，去动脑，去发现。利用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，实效性。

教学过程

1.复习旧知，引入新知，展示目标

提问学生们一次函数、反比例函数的图像，设置疑问：二次函数的图像是什么样的？激发学生的探究欲望。然后观察一组图片，让学生们自己找到抛物线的基本图案，先入为主，有一种感性的认识。同时出示本节课的学习目标，让学生做到心中有数。接着设置疑问：如何画二次函数y=ax²（a≠0）的图像？带着问题展开本节课的教学。

2. 问题牵引，画图探究，发展知识

带着前面提出的问题，进入下一环节。这一环节是这节课的重点部分，这节课的重难点的突破也在这一环节体现，大致分三个阶段进行。

第一阶段：由教师引导学生动手画y=x2的图像。教师可先复习提问画函数图象的一般步骤，使学生心中明了规范的画图过程。接下来学生重新经历列表、描点、连线的画函数图像的过程，这时教师可先不对学生的画图做任何评论，让学生根据自己的认识自行去画，同学们可能画出的图像各不相同，这时教师再在屏幕上投影出列表的内容，与同学们共同交流表格的特点，从而渗透画图像的方法，最后由学生自己统一作图方法：列表、对称取值、描点、连线。对二次函数的图像有了一些认识，然后教师适时引导学生逐步探索新知识。

第二阶段：在第一阶段画图的经验基础上，学生独立完成y=-x2的图像，通过列表、描点、连线再一次印证这节课的知识目标。教师此时要观察学生的作图是否有意识地渗透二次函数的性质。

第三阶段：学生迅速完成y=x2与y=﹣x2的画图，一方面有目的地强化学生的作图能力，突破本节课的难点；另一方面为全面系统总结二次函数的性质做准备。

在这一环节我遵循从兴趣入手，循序渐进，反复渗透，逐步提高的原则，让学生自主从事画图、观察、交流、归纳等“做数学”的活动，使学生在活动探索中感悟如何发现问题，解决问题。在学生有困难的时候，老师要加以引导。

3.课堂总结归纳，拓展新知识

在这一部分我精心设计了一组提纲式的问题串，尝试让学生通过讨论交流得到问题的答案。其实通过前面做几个函数的图像，学生独立得到问题的答案是不应该困难的，而且应该是顺理成章的。把设计的问题解决掉以后，就达到了全面系统总结二次函数性质这一主要目的。同时我还创造性的使用了教材，把二次函数的开口程度的大小和谁有关也设计进来，这个问题通过同学们观察做出的一系列的函数图像，答案应该是很容易得到的。同时我还把这几个二次函数的图像做在了一个幻灯片里边，通过比较进一步加深了理解。在这一阶段的探究中问题串的设计一定要全面、深刻、透彻。要引导学生通过观察具体的函数图象，自然而然地总结出性质，这样学生会有一种成功的愉悦感。

4.课堂小结，掌握知识

这节课主要通过画二次函数y=ax²（a≠0）的图像，总结y=ax²（a≠0）的性质。要求学生会快速画出规范的二次函数的图像，并通过自己的努力总结并掌握性质。

5. 课堂练习及课后作业

因为课本上的练习题和习题都比较简单直观，所以尽量争取在课堂上完成课本上的练习题和习题。这样做可以及时复习巩固新知识。

课后作业分为两部分：一部分是从生活中找出一些抛物线的实例，进一步强化基本图形。另一部分是复习和巩固函数的性质，进一步强化本节课的知识目标。如（教材第十页练习第二题和习题第一题）

6. 板书设计

二次函数y=ax²（a≠0）

①图像是一条抛物线，它关于y轴对称，对称轴为y轴。

②它的顶点坐标为（0，0）

③抛物线的开口方向由a的符号决定：当a＞0时，开口向上，此时抛物线有最低点；当a＜0时开口向下，此时抛物线有最高点。

④抛物线开口程度的大小由a的绝对值的大小来决定。

设计说明及课后反思

一次函数的图像与性质教学反思 篇4

周 炜

14.2.2一次函数这一节的重点是一次函数的概念、图象和性质，以及如何用待定系数法和函数的图像求一次函数解析式。一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。另一方面，在新课标规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。教学完后，对新教材有了一些更深的认识。

一：备课过程是一种艰苦的复杂的脑力劳动过程，知识的发展、教育对象的变化、教学效益要求的提高，使作为一种艺术创造和再创造的备课是没有止境的，一种最佳教学方案的设计和选择，往往是难以完全使人满意的。

二：教材课时安排过紧。这一小节共有三课时的内容，一次函数的概念，图像和性质，用待定系数法和函数的图像求一次函数。

三：教学内容不好处理。

在“ 一次函数的图象”中有平移的问题，1.(1)将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线_____________________;(2)将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线_________________.2.“一次函数的性质”中无b对函数的图象的影响，但题中有，要补讲：

概括一次函数图象的性质

一次函数y＝kx＋b有下列性质：

（1）当k＞0时，y随x的增大而______，这时函数的图象从左到右_____；（2）当k＜0时，y随x的增大而______，这时函数的图象从左到右_____.（3）当b＞0时，这时函数的图象与y轴的交点在：（4）当b＞0时，这时函数的图象与y轴的交点在：

四：难度不好处理：如我们在讲一次函数的定义时（第一课时）补充了一个例题：已知函数y=（m-1）x+m.当m取什么值时，y是x的一次函数？当m取什么值是，y是x的正比例函数。”

学生难以理解，我个人认为太难，超出了学生的理解能力。反而对一个具体的一次函数y=-2x+3中k，b是多少强调的不多。

满意之笔

一次函数有以下令自己较满意的地方：

一.结合生活实例，充分调动学生学习的激情，恰当的过渡，点燃其求知的欲望。

在本节课的引入部分采用班级里的真人真事（学生每天上学这一过程）“在过程中涉及到哪些量？”“假定每位同学各自都是匀速直线运动的，那速度、时间、路程之间有什么关系？”“路程是时间的一次函数吗？”等过渡性的问题既复习回顾了上节课的知识又为一次函数图像的概念引出作了铺垫。

二、大胆对教材作大幅度调整、修改 ①对知识内容的完整性作了补充。

一次函数的图象的知识要点：一次函数几何形状：一条直线；一次函数图象的画法；一次函数图象与坐标轴的交点坐标。教材对“一次函数图象的画法”阐释得不太完整、详尽。学习函数的图象需要培养学生数形结合的思想，一次函数图象又是所有函数图象中最简单的一种，是以后学习其他复杂函数的基础，所以整体全面地学习一次函数的图象能为学生以后学习其他复杂函数提供思路样本、节省学习时间。虽然在课后的习题与作业本中都有涉及到：当一次函数的自变量限制在某一范围时如何画此一次函数的图象，但在教材中似乎没有涉及到此类问题，对于B班的学生需要教师对此类问题做相关示范解决。(1)求 y1 关于 x 的函数关系式 及自变量x的取值范围；（2）画出上述函数的图像。图像还是一条直线吗？此题为拓展知识点：当一次函数的自变量限制在某一范围时一次函数的图象是一条射线或线段而特地设计的。至于如何快速地画出射线或线段呢，让学生讨论后给出总结：对于射线，取起点与另一个异于起点的任一点画出射线；对于线段，取线段的两个端点然后连接即可。

②对例题的处理:对例2作两处调整：一是对题目的设置，二是对题目的讲解次序。

为更好阐述当一次项的系数为分数或小数时，如何画一次函数的图象（自变量可取任何数），特在例2中添加了画（2）,问学生取怎样的两个点使作图方便简洁，让学生自由发挥充分讨论后总结：一般取整点。在讲解次序上，先解决作图，归纳方法；再解决如何求函数图象与坐标轴的交点坐标，归纳拓展为一般情况：与y轴交点坐标（0，b）与x轴的交点坐标（-b/k,0）

遗憾之处：

一、时间把握不准。由于我在原教材的基础上加宽了知识点的面，拓展了知识点的深度，个别环节还需要小组活动或学生个别上台动手操作，而我又想将这所有的内容在一节课内完成，似乎太高估了自己和学生的能力。所以我想这么多内容可以更宜分开两节课来上吧。

二次函数图象和性质的教学反思 篇5

本节课的复习目标是：①能根据已知条件确定二次函数的解析式、开口方向、顶点和对称轴。②理解并能运用二次函数的图象和性质解决有关问题。本节课的重、难点是：二次函数图象和性质的综合应用。我立足于学生自主复习，师生合作探究的形式完成本节课的教学任务。

首先我让学生课前完成二次函数图象和性质的基础训练，促使学生对二次函数图象和性质的知识点全面梳理和掌握。课上我用投影仪检查一名学生完成课前复习情况，其他学生交换批改，发现最后一小条有部分学生有问题，我及时评讲分析，帮助学生解决。

接着，师生合作探究本节课的例题。本例是用已知抛物线解决7个问题，这7个问题是我从全国2009年中考试题中整理出来的，它代表了中考的方面。问题1是用顶点式求出抛物线的解析式再通过解析式求与坐标轴的交点，通过观察图象我又提出了x为何值时，y>0，y<0？以及图中△AOC与△DCB有何关系，进一步培养学生发现问题解决问题的能力。问题

2、问题

3、问题4是抛物线的平移、轴对称和旋转的题目。主要是让学生抓住抛物线的顶点和开口方向来完成。这种类型的题目也有少数同学从坐标点的对称角度来解决也是可行的，并且方便记忆，对于这两种方法我让学生作了及时的归纳小结。问题5和问题6是关于抛物线的最值问题。问题5是利用抛物线的对称性解决三角形的周长最小的题目。学生通过作图能独立解决并求出点的坐标。问题6是本节课的重点，它通过建立目标函数解决四边形面积的极值。本题目关键是引导学生如何设点的坐标，将四边形的面积转化成我们熟悉的三角形（或直角梯形）来建立函数关系式。通过这条题进一步培养学生建立函数模型的思想。本题让学生充分合作交流，最后，让学生在自主探索中获取新的知识。通过观察图象求出了四边形的面积后，我又提出如何求△BCF的面积的最大值的问题，让本题得到进一步的升华，培养学生的创新思维。问题7是在抛物线上探求点存在性问题，引导学生先作出符合条件的平行四边形，再判断点是否在抛物线上，本题着重培养了学生数形结合的思想方法。

这7个问题由浅入深，循序渐进推出，符合学生的认知规律，使学生对二次函数图象和性质有了进一步的理解和提高。

一次函数图像性质教学反思 篇6

从这节课的准备来看，针对教学内容从课题的引入、知识的呈现方式、学生的学习活动安排、知识的巩固练习等多方面进行了多次的修改。通过课堂的实际实施感觉上也不是尽善尽美，还有许多令人不满意的地方。究其原因，教师不能就这节课的知识而教这点知识，教师应该通观教材，把握知识的脉络体系，又要站在高于教材的位置统筹安排。这样，教师才能灵活的把握课堂教学。而现在，教师缺乏的正是这一点，还是为了教而教。按部就班，设计的条条框框较多，多了一些稳重，少了一些灵活。而在课堂上，教师面对的是数十名学生，师生之间、生生之间考虑问题的角度、方式要灵活的多、开放的多，有可能教师固定的设计会影响到学生的思维发展。从这一角度讲，教师应在把握知识的基础上。结合学生的表现，灵活多样的处理知识。

学生是学习的主体，学生活动是新教材的一大特点。新教材在知识安排上，往往从实例引入，抽象出数学模型。通过学生的观察、分析、比较、归纳，探究知识的发生、发展、形成的过程，得出结论，并能运用解决实际问题。侧重于学生能力的培养，让学生知道学什么，如何学。因此，教学过程中，如何安排学生的学习活动至关重要，本节课，学生活动设计了三个方面。一是通过画函数图象理解一次函数图象的形状。二是两点法画一次函数的图象。三是探究一次函数的图象与 k、b 符号的关系。在学生活动中，如何调动学生的积极性、互动性，提高学生活动的实效性。值得老师们探讨。为了达到上述目的，我结合每个活动，都给学生明确的目的和要求，而且提供操作性很强的程序和题目。如在活动一中，要求学生观察图象的形状，两条直线的位置关系。在活动二中，强调两点法（直线与坐标轴的交点）画直线。在活动三中，探究 k、b 符号与直线经过的象限与增减性的关系。学生目标明确，操作性强，受到了较好的效果。

本节课的重点是由一次函数的解析式确定函数图象，研究函数性质。由函数图象的位置判断解析式中 k、b 符号。体现了数学中非常重要地数形结合的思想。这段内容的教学，还是从学生活动出发，从具体的实例研究起，观察图象的位置和性质，在按照 k、b 的符号分类讨论，使学生建立起数形之间的联系。还要找到数形间的结合点，明确 k 的符号决定直线的什么位置，b 的符号又决定了什么。为了加深学生对知识的理解，课上设计了由解析式画函数图象的草图，由草图的位置判断解析式中 k、b 的符号的练习，收到了一定的效果。

《二次函数的图像与性质》教学反思 篇7

一、对学生的学情分析

本授课班级的学生是五年制大专一年级学生, 数学基础比较薄弱, 学习习惯和能力上有一定的欠缺, 但他们思维活跃, 有强烈的好奇心、好胜心, 动手能力较强, 敢于接受新知识。大专一年级学生在初中已经有了一些相关函数的初步知识, 对学习本节课有一定的帮助。同时, 在学习本节课之前, 学生已经系统学习了《幂函数》, 学习了幂函数的概念, 画简单的幂函数的图像, 通过分析图像总结出幂函数的性质, 并利用性质比较了两个幂函数的大小。《指数函数》以同样的顺序给出了相应的内容, 先学习指数函数的概念, 再学习图像和性质, 最后是应用。对比着上《幂函数》来学习指数函数, 学生学习起来比较容易接受。

本节课采取的教学方法主要是启发诱导, 教学方式是组织学生通过自主探讨得出结论。教师通过引导学生分析生活中的两个问题, 类比得出指数函数的概念;引导学生画出不同的指数函数的图像, 引导学生自主探究指数函数的性质。

二、本节课的教学地位及作用

指数函数是重要的基本初等函数之一, 形式特殊, 在生活中有着重要的应用;指数函数又是对数函数的反函数, 是学习对数函数的基础, 有着承上启下的作用。学习中画出图像, 利用图像总结性质, 在利用性质比较两个函数值的大小, 体现了数形结合的重要的数学思想。

三、对教学内容的分析

本节课的重点内容是指数函数的图像及其性质, 难点是探讨底数的不同取值对函数的影响, 根据实际情况, 我将授课内容分为两次大课, 一次大课是两节课, 第一次课主要是初步了解指数函数的概念, 利用图像探究性质, 并进一步熟悉图像和性质;第二次课是指数函数的实际应用。

四、教学过程

1. 以实际问题为情景, 引入新课。

本节课以两个实际问题引入:

问题1:某种细胞分裂时, 由1个分裂成2个, 2个分裂成4个, ……显然一个这样的细胞分裂x次后, 所得到的细胞分裂的个数y与x之间, 构成一个函数关系, 能写出x与y之间的函数关系式吗?可以表示为y=2x。

问题2:一种放射性物质不断衰变为其他物质, 每经过一年剩留的质量约是原来的84%。求出这种物质的剩留量随时间 (单位:年) 变化的函数关系。设最初的质量为1, 时间变量用x表示, 剩留量用y表示。可以表示为y=0.84x。[2]

引导学生观察以上两个函数表达式:两个函数的表达式中都有如下的特点:是幂函数的形式, 底数都是常数, 指数是变量x。结合这些特点总结出指数函数的定义, 一般地, 函数y=ax (a>0, 且a≠1) 叫做指数函数, 其中x是自变量, 函数的定义域是R。底数有两种情况:0<a<1或a>1。判断是不是指数函数必须和定义的形式一模一样才行。在本节课的开始, 以生活中的两个实例引入, 让学生体会到数学虽然抽象, 但同样来源于我们熟悉的实际生活, 与现实生活密切联系, 是描述客观世界变化规律的基本数学模型, 是把现实生活中常见的问题加以抽象、提取, 用数学符号和数学语言表示出来。这样的引入自然而亲切, 消除数学的神秘和枯燥, 增加了学生对数学的学习兴趣。

2. 引导学生画图、利用图像总结性质。

为了准确的画出指数函数的图像, 教师引导学生通过列表、描点、连线等步骤, 在同一平面直角坐标系内画出下列指数函数的图像y=2x, 。画图时, 教师也在黑板上和学生一块画出图像, 一方面让学生把自己画的图像和教师画的图像加以对比, 起到模式的作用。另一方面对于画图有困难的同学起到了提示的作用。画出图像后, 和学生一同找出每个图像的特点, 得出这些特殊函数的图像的性质, 再引导学生得出一般的指数函数y=ax的图像性质。让学生自己画图像, 通过动脑、动手, 加深了印象, 培养了学生的动手能力, 充分调动了学生对学习的积极性和主动性, 体会到了学习的快乐[3]。对于指数函数的图像和性质, 由于底数a的不同取值所引起的函数变化是教学中的一个难点, 学生不好把握。为此, 教师要引导学生对比两种情况下的图像特点, 分析随着不同的底数a的取值对函数图像的影响, 找出规律, 继而得出不同情况下的图像特点。然后再给出不同的底数的特殊数值, 画出相应函数的图像, 以加深印象。

3. 引导学生在讨论中探索新知。

在指数函数定义中, 规定了“a>0, 且a≠1”, 这个规定是学生感到困惑的地方, 为什么作这样的规定, 如果不这样规定会出现什么情况?这是本节的一个难点。为突破这一难点, 采取学生自由讨论的形式, 学生通过互相讨论, 大胆发表自己的意见, 提出自己的不同看法, 在讨论中互相启发, 补充, 在一系列生疑、质疑和解疑中达成共识。为了节约学生讨论的时间, 防止学生漫无边际的想象, 教师可将问题设计为这样的形式, 对于底数的分类, 可将问题分解为: (1) 若a<0会出现什么问题? (2) 若a=0会出现什么问题? (3) 若a=1又会怎么样?并让学生代入一些特殊的数值去一一验证。如果a<0, 当x取偶数时, 则ax在实数范围内无意义;当a=0时, 对于x≤0, ax都无意义, 当a=1时, 学生1x无论x取何值, 它总是1, 对它没有研究的必要, 所以规定a>0且a≠1。学生通过自己探讨, 彻底弄清了底数a的这一特殊规定, 并明确了指数函数的定义域是R, 无论x取任何数值, ax都有意义。通过一步步探讨下列问题, 学生在讨论中豁然开朗, 解除疑惑, 这样能够得出结论所取得的效果, 印象深刻, 比教师直接呈现结论要强一百倍、一千倍甚至一万倍。

五、对本节课的教学反思

1. 本节课的可取之处。

指数函数本身非常抽象, 不好理解, 本节课由同学们熟悉的两个实际问题引入, 一个细胞分裂问题, 一个是放射性问题, 把抽象的数学知识与熟悉的生活结合起来, 让学生觉得数学不突兀、不枯燥, 就在我们身边, 和我们息息相关, 体现了数学在实际生活中的应用, 强化了学生运用数学解决问题的意识, 提高了学生学习数学的兴趣, 加强了学生的数学能力。在教学过程中, 学生通过画一些特殊指数函数的图像, 分析总结出一般指数函数的图像, 遵循由特殊到一般的认知规律, 培养了学生的探索精神。本堂课从开始就组织学生有目的的进行观察、分析、总结得出指数函数的定义;在教师的引导下探讨了底数a的不同取值对函数的影响, 从而明确了底数的特殊规定;通过观察图像总结出性质, 一堂课在教师的指导下学生都在生疑、质疑、解疑, 学生在这样的氛围下学习, 真正体会到学习的快乐与收获, 比教师“满堂讲”效率高。在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法, 达到培养学生数学思维能力和数形结合能力的目的。

2. 教学中的不足。

教师在设计学生讨论的问题时, 由于事先设计好了题目, 虽节约了学生讨论的时间, 看似是教师在引导学生, 实际上还是在某种程度上把学生限定在小框框里, 教师的主导性还是太强, 没充分发挥学生的想象空间, 限制了学生的思维。讨论问题时, 有一部分同学在讨论, 另有一部分同学只是附和, 并没真正参与到教学中, 教师也没把全体学生调动起来, 没能体现课堂是全体学生的课堂。学生在画图时, 虽然教师和学生一块画, 但由于学生的基础不一样, 仍然有一部分学生画不出, 教师也没时间等, 分层教学体现不理想。因为我们现在的教学是班级教学, 一个班级大越45人左右, 而基础参差不行, 教师在设计过程中常常顾此失彼, 这也是我们在课堂教学中所面临的问题, 需要我们更进一步的改革和调整。反思作为建构主义学习的特征, 意味着教师必须对设计的教学活动进行自我监控、自我检测、自我反馈, 对学生对接受知识内容及了解知识产生的过程中的每一环节进行反思, 以便及时了解自己的教学效果, 对出现的问题和有知识欠缺的地方及时进行补救[4]。通过对自己的教学进行多方位、多角度的反思与总结, 进行深层次的剖析, 不断地提升和完善自己的教学水平, 以最大限度地提高自己的教学质量, 使尽可能多的学生在数学课堂上收获知识, 提高自己的数学能力, 增强自己的数学意识。

参考文献

[1]高超.让课堂更加生动有趣的10大技巧[M].长春:吉林出版集团, 2012.

[2]黄春华.多媒体在高中数学教学中的作用[J].读写算 (教育教学研究) , 2012, (71) .

[3]李锦三.初中数学教学中学生自主学习能力的培养[J].网络导报·在线教育, 2012, (41) .

指数函数的图像与性质教学设计 篇8

一、教材分析

（一）教材的地位和作用

本课时主要学习指数函数的概念，通过图像的研究归纳其性质。“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。

（二）教学目标

知识维度：初中已经学习了正比例函数、反比例函数和一次函数，并对一次函数、二次函数作了更深入研究，学生已经初步掌握了研究函数的一般方法，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。

能力维度：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究指数函数的性质做好准备。

素质维度：由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。

1、知识与技能目标：

（1）掌握指数函数的概念（能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围）；

（2）会做指数函数的图像；

(3)能归纳出指数函数的几个基本性质。

2、过程与方法目标：

通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。

3、情感态度与价值观目标：

（1）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题

(2)通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。

（三）教学重点和难点

教学重点：指数函数的图象和性质。

教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系。

教学关键：从实际出发，使学生在获得一定的感性认识和基础上，通过观察、比较、归纳提高到理性认识，以形成完整的概念；在理解概念的基础上充分结合图象，利用数形结合来扫清障碍。

课时安排：1课时

二、学情分析

学生已有一定的函数基本知识、可建立简单的函数关系，为以函数关系的建立作为本节知识的引入做了知识准备。此外，初中所学有理数范围内的指数相关知识，将已有知识推广至实数范围。在此基础上进入指数函数的学习，并将所学对函数的认识进一步推向系统化。

三、教法分析

（一）教学方式

直接讲授与启发探究相结合（二）教学手段

借助多媒体，展示学生的做图结果；演示指数函数的图像

四、教学基本思路：

(一)创设情境，揭示课题.1创设情境（如何建立一个关于指数函数的数学模型——后续解决）

2引入指数函数概念

（二）探究新知.1研究指数函数的图象

2归纳总结指数函数的性质

（三）巩固深化，发展思维

（四）归纳整理，提高认识

（五）巩固练习与作业

（六）教学设计说明

（七）教学后记与反思

五、教学过程

教学

环节

教学程序及设计

设计意图

创

设

情

境

，揭

示

课

题

在本节开头的问题2中，对于任意的，都是有意义的。即对每一个时间t,都有惟一确定的P它对应。因此，死亡生物体内碳14的含量P是时间t的函数。这个函数关系中，底数是一个常量，指数是一个变量，我们把这样的函数叫做指数函数，你能给出它的一般形式吗？

由两个较简单的建立函数对应关系的实际问题引出指数函数的一般模型——即指数函数的解析式。

探

究

新

知

巩

固深

化

，发

展

思

维

一、指数函数的概念

形如y=ax 的函数.这里a的取值范围如何呢？

主要有两个目的,使函数的定义域为R,且具有单调性.（1）假设a=0,那么当x>0时，ax=0，当x≤0时，ax无意义；

(2)假设a<0,那么ax对某些x值可能没有意义，如a=-1 时，（-1）x对于x=1/4,x=1/2,...无意义；

（3）假设a=1,那么y=1x=1对任意x 都是常数。为了避免出现上述情况，所以规定a>0且a≠1。

2指数函数的定义：

一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R。

了解了什么是指数函数，还需进一步研究其性质，从“数”的角度研究其解析式有难度，我们转而从“形”的角度研究其图象，然后从图象中看能否发现规律总结出指数函数的性质。

先研究几个具体的指数函数图象：

二、指数函数的图像与性质：

1、绘制图像

请同学们分成四组分别做出以下函数图像并讨论总结图象规律：

（1）y=2x

(2)y=2x 和y=

(3)y=2x 和y=3x

展示同学们的手作图，投影电脑已制作好的图象，2．探究性质：

请同学们尝试归纳出图象的变化规律与特性： 1）过点（0，1）2）y>0 3）底数a>1时，函数在 R上单调递增,“撇型”.底数01时，底数越大函数值增长越快越靠近y轴即底大图高，底数0

3、归纳性质

将指数函数y=ax(a>0且a≠1)的性质（对应图象）归纳如下表，进行课件演示： 指数函数y=ax的性质（由课件展示）

三、指数函数的应用

1．例：已知指数函数的图象经过点，求的值。解：因为的图象经过点，所以 即，解得，于是。所以。

由学生抽象出指数函数的一般形式，其中指数函数x的范围以及对a的限定不强加给学生，由学生自己进行讨论得出。

由具体的几个指数函数的图像发现规律总结这类函数性质 让学生自己动手做图，互相讨论发现规律。做图应多做几个如

图象，借助多媒体，在电脑中将几个图同时展示于一个坐标系，从而使学生较直观地认识到指数函数的图象。

通过引导学生分析图像特征，帮助学生总结函数性质，培养学生形数结合的能力。

以表格的形式归纳总结指数函数的性质，以展示研究函数的一般方法：研究定义域；值域；单调性等。

简单应用指数函数单调性判断大小不等式的解法及底互为倒数的指数函数的图像间的关系.归 纳 整 理，提 高 认 识

以上我们研究指数函数经历了一个由“具体”（研究几个具体的指数函数）到“一般”（归纳指数函数的一般性质），再由“一般”到“具体”（应用指数函数的一般性质研究解决指数函数的具体问题）的思维过程。1．指数函数的定义。（研究了对a的限定以及定义域）2．指数函数的图像 3．指数函数的性质：（1）定义域（-∞,+∞），值域（0,+∞）；（2）函数的特殊值（0，1）；

（3）函数的单调性：a>1,单调增； 0

概括、总结一堂课主要的思想方法与内容，便于学生系统性考虑所学知识。总结出性质后，再根据一般到特殊的思想，让学生做几个指数函数的草图应展示学生做图做错的，指出误区，暴露问题对于图像的剖析还欠缺，对于研究函数的一般方法——研究定义域、值域、单调性、奇偶性等，没有给出足够的强调与归纳。

巩

固

练

习

与

作

业

1课本：习题T2、T2预习下节课的内容

检验课堂掌握，巩固练习

六、教学设计说明

1、抛出生活中的实例，需要建立一个关于指数函数的数学模型，为学生提出问题；提高学生学习新知识的积极性以及体会数学与生活密切相关。

2、用简单易懂的实例引入指数函数概念，体会由特殊到一般的思想。

3、探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。通过研究几个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。让学生在研究出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质，从而对函数进行较为系统的研究。

4、进行一些巩固练习从而能对函数进行较为基本的应用。

《二次函数的图像与性质》教学反思 篇9

本案例源于浙教版九 (上) 《二次函数图象 (3) 》。本节课的目标是:会根据二次函数的一般形式y=ax2+bx+c确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标;能用配方法将一般形式y=ax2+bx+c化成顶点式;会用顶点式求二次函数的解析式。

学生根据预习提纲课前完成预习。课堂上, 在完成学生预习问题交流并进行一定量的变式练习后, 我们重点交流了预习提纲中的如下问题 (课本“课内练习”3改编) :

你能求如图所示的二次函数图象吗? (如果可以, 请尝试用不同方法)

[教学片段]

问题一展出, 学生纷纷举手。

我请一位成绩偏下的小A同学回答:

“老师, 我觉得这个二次函数可设成y=a (x-2) 2+4, 再把 (0, 1) 代进去, 就可以求出a的值。”

“你是怎么想到设成y=a (x-2) 2+4的呢?”我紧跟着问。

“从图形中, 我注意到 (2, 4) 是抛物线的顶点坐标, 知道了顶点坐标就可以写出二次函数的解析式。”

“非常好, 你能把你的解题过程给大家展示一下吗?”

“好。”小A同学在实物投影上展示了他非常清晰的解题过程。

“肯定没错, 我旁边几个同学答案跟我一样的。”临下讲台之前, 小A自信地说。

“老师, 我觉得还可以设成y=ax2+bx+c。”小B同学马上抢着站起来说。

“我觉得图形中虽然没有三个点, 但y=ax2+bx+c的顶点坐标是再把 (0, 1) 代入, 就得到三个方程, 可求出a, b, c的值。”

很多同学频频点头表示赞同。少部分只想到一种解法的组的同学在专注地整理自己的思路, 教室里很安静。大部分同学在准备进入下一个练习的交流。

“老师, 我还有不同的解法。”突然小C的声音打破了沉静。

“还有?好, 请讲。”我有些意外, 但更多的是惊喜。全班同学不由自主地将目光齐刷刷盯向了小C。

“我们还是设成y=ax2+bx+c, 我是这样想的:顶点坐标是 (2, 4) , 对称轴就是直线x=2, 在图象中可以写出点 (0, 1) 关于对称轴的对称点是 (4, 2) , 把这三个点分别代入y=ax2+bx+c, 就可以求出a, b, c。”

“是的, 我怎么就没想到。”教室里不由得掌声响起。这确实是一种非常有价值的发现, 对后续的学习意义非同一般。何况, 我一直认为学生不会有第三种解法了。

“简直太了不起了。你刚才用了‘我们’, 看来是小组讨论完成的。你能给大家讲讲你们是怎么想到的吗?”

小C很干脆地说:“好的。我们想把函数设成y=ax2+bx+c, 但题目中只有两个点, 肯定不够, 于是我们试着找第三个点, 刚开始也不知道找什么点, 后来小D提到了图形中的对称轴, 小E马上想起抛物线上的点关于对称轴对称, 于是我们就找到了 (4, 2) 这个点。”

“我们再次把掌声送给这组了不起的同学。”教室里的掌声更响了。

……

[教学反思]

1. 创造性地使用教材, 引领学生多角度思考

创造性地开发和利用教材资源是新教育理念和新课程目标的体现。教科书作为重要的课程资源, 在备课过程中, 教师要充分挖掘教材的内在教育因素, 结合学生实际, 精心设计, 组织引导学生富有个性地开展学习, 充分调动学生的学习兴趣。更可通过适当的变式而把问题的解决延伸到课堂以外, 拓展学生探究的空间, 引领学生触类旁通、举一反三, 培养学生的发散性思维。

2. 恰当的课前预习, 提供学生充足的思考时间

现在的教学采用多媒体教学, 课堂的知识密度比较大, 节奏快, 而且数学的逻辑性强, 再加上九年级时间紧任务重, 若一个环节出了问题, 将直接会导致整节课都无法理解, 甚至会影响到下一节的学习, 从而严重伤害学生学习数学的积极性。“凡事预则立, 不预则废”, 恰当的课前预习是非常必要的。

在具体的预习过程中, 教师应淡化学生的最终学习结果, 要重点关注学生学习的过程。因此, 教师可根据教材和学生实际, 预测学生可能存在的预习障碍, 设置一定量的预习问题, 引导学生通过阅读、独立思考、查资料、询问探讨等方式, 在有较充足时间保证的前提下, 先进行一系列的热身, 还有不能解决的或不够完善的问题留到课堂上集体讨论解决。这样, 不仅使学生的思维能力得到锻炼, 同时还把课本知识当工具去启迪学生的心智和“发现”的能力, 对培养学生创新精神、创造能力尤为重要。这是授人以渔, 将使学生终身受益。

3. 良好的课外合作学习, 能让学生碰撞出独特的思维火花

我们平时讲的合作学习, 一般都是在课内开展的, 但很多时候因局限于课堂的时间、任务, 往往草草了事, 不能深入地开展, 甚至有些时候纯粹是一种作秀, 起不到应有的作用。其实, 学习小组的课外作用更应引起教师的高度关注, 课外的合作学习较课堂环境更为宽松的, 时间相对更充足, 更适合同伴之间的深入交流探讨, 更易碰撞出思维的火花。

《二次函数的图像与性质》教学反思 篇10

例2 利用正切函数图像求满足条件的角的范围.

设计意图:强调学生要学会利用图像来做题，注意区间的开闭问题.

（四）课堂小结：学生自己先总结然后老师补充.

（五）思考问题：

1.正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？

2.正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？

五、作业布置

完成相应的课后作业.

六、设计说明

1.板书说明：侧黑板留给学生展示，前黑板用来展示多媒体.

2.时间分配:(一) 五分钟（二）六分钟1.十分钟2.十二分钟3.五分钟

二次函数的图像的教学设计 篇11

作者： 王方苹

日期：2008-01-08 21:14:07

教学目标 知识与技能目标 ：

1.了解二次函数图象的概念

2.学会用描点法画y=ax2图象。

3.学会观察、归纳、概括函数图像的特征

4.掌握y=ax2图象的位置关系及有关性质

程序性目标：1.经历描点法画函数图像的过程

2.经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理

情感与价值观目标：

进一步培养数形结合方法研究函数的性质

教学重点 ：函数 y=ax2型二次函数的描绘和图像特征的归纳

教学难点 ：选择适当的自变量和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂；还有提高题实际的应用难度较高 教学媒体准备 多媒体

教学设计过程

（①教学程序设计；②教法设计；③学法设计；④教材的处理与媒体。）

一、回顾知识

问题：1.正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么

2.一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么

3.反比例函数（k ≠ 0）其图象又是什么（学生思考后集体回答）

4.二次函数y=ax²+ bx+c（a ≠ 0）其图象又是什么呢？ 5.函数图像画法

（列表

描点

连线）

二、新课教学

1.研究函数 的图像

（师生共同列表，描点，连线，得到函数的图像）2.课内练习

画函数⑴ 的图像

［学生自己画，要求：第一组⑴⑶，第二组⑵⑶，第三组⑴⑶；同桌相互配合，共同完成］ 3.函数 的顶点坐标、对称轴有关概念（教师介绍顶点坐标、对称轴有关概念）4.课内练习

5.例1 已知二次函数

(a≠0)的图像经过点(-2,-3).(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.（师生共同完成）6.课内练习

练习一：若抛物线（a ≠ 0），过点（-1，3）。

（1）则a的值是；

（2）对称轴是

，开口

。（3）顶点坐标是，顶点是抛物线上的。

抛物线在x轴的 方（除顶点外）练习二：已知抛物线 经过点A（-2，-8）。

（1）求此抛物线的函数解析式；

（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上。

（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。

练习三：某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．

(1)以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线

（a ≠ 0）的解析式；

(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）

三.课堂小结

1.二次函数

《二次函数的图像与性质》教学反思 篇12

二次函数是最重要的初等函数之一, 中学数学的很多问题最后都要划归为二次函数处理。二次函数的图像和性质是解决二次函数问题的关键。静态的图像不便于揭示二次函数变化的规律, 信息技术的引入正好可以帮助学生解决这一问题。

●学生分析

学生在初中已学过二次函数的基本知识, 到高中要继续应用这些知识解决与二次函数有关的问题。含参数的二次函数问题, 尤其是含参数的二次函数在闭区间上的最值问题对学生来说是一个难点。利用操作简便的几何画板软件, 可以帮助学生找到参数变化引起函数图像变化的规律, 从而突破难点。

●教学目标

知识与能力目标:通过探究二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的参数a、b、c的变化对图像形状的改变, 掌握二次函数的图像和性质, 并能应用所学知识解决含参数的二次函数在给定范围内的最值问题。

过程与方法目标:利用几何画板软件搭建一个“数学实验室”, 利用计算机超强的计算功能和画图功能, 在短时间内完成大量运算和作图, 从中探究数学知识的内在规律。从而达到理解、掌握、运用知识的目的;渗透“数形结合”的思想。

情感态度与价值观目标:学生在自主学习的过程中, 激发学习数学的自信心和积极性, 培养不断发现、探索新知的精神, 提高观察问题、分析问题的能力, 增强勇于战胜困难的勇气。同时, 增强应用信息技术的能力和意识。

●教学重点

探究参数a、b、c的变化对函数y=ax2+bx+c的图像的影响。

●教学难点

含参数的二次函数在闭区间上的最值问题。

●工具资源

设计课件以网页形式呈现, 交互性强, 学生可以根据课件设计的步骤逐步深入学习, 制作了“几何画板课件Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ”供学生选用, 运用搭建的“数学实验室” (即提供的几何画板平台) , 自主探究, 突破难点, 提高分析问题、解决问题的能力, 培养自信心和实践能力。

●设施环境

网络教室环境, 学生人手一机。

●教学过程

1.复习引入

师:二次函数y=2x2的图像与y=-2x2, 以及与的图像之间的关系是怎样的?

生:开口方向、开口大小不同。

师:打开几何画板课件 (I) , 利用软件画出上述函数图像 (如图1) , 进行检验, 并归纳得出x2前面系数的变化对图像的影响。

生:x2前面系数的变化影响抛物线的开口方向和开口的大小。变化规律是:系数为正, 开口向上, 系数为负, 开口向下;系数的绝对值越大, 开口越小, 反之则越大。

设计意图:复习初中已学过x2前面系数的变化对图像的影响, 初步体会由特殊到一般的研究顺序。

2.新课讲解

(1) 体验二次函数图像研究二次函数的性质、一元二次方程、一元二次不等式的便利。

教师示范画y=x2-x-2的图像, 让学生观察其顶点、对称轴、开口方向、与y轴交点情况。由图观察出方程x2-x-2=0的两根, 并观察出x2-x-2>0的解集。

改变系数, 通过在几何画板上画出函数图像同样能解决以上的求解方程和不等式的解的问题。

设计意图:体会二次函数图像对研究与一元二次有关的问题的重要性, 从而激发学生对深入研究二次函数图像的求知欲。

(2) 探究二次函数的一次项系数的变化对图像的影响。

师:请同学们在几何画板上画出第一组二次函数

的图像 (如图2) 。探究一次项系数变化对图像的影响。

生:一次项系数的变化使得抛物线对称轴的位置发生变化, 继而使得顶点位置随之发生变化。图像与y轴的交点不变。

师:抛物线的开口方向和开口的大小如何变化?

生:抛物线的开口方向不变, 开口的大小发生变化。

师: (对学生在此处的错误要及时纠正) 抛物线的开口的大小实际上并未发生改变, 直观上的变化是因为顶点位置发生了上下移动引起的。

(3) 探究二次函数的常数项变化对图像的影响。

师:画第二组函数

的图像, 探究常数项c的变化对图像的影响。

生:常数项c的变化使得图像与y轴的交点及顶点的位置发生改变, 对图像的对称轴、开口方向及大小不会有影响。

(4) 探究二次函数各项的系数连续变化对图像的影响。

教师打开几何画板课件 (Ⅱ) 。演示a、b、c分别连续变化时y=ax2+bx+c图像的变化 (如图3) 。

师:请同学们以四人为一组在独立思考的基础上以小组为单位, 动手利用几何画板课件 (Ⅱ) 探究a、b、c分别连续变化时y=ax2+bx+c图像的变化规律, 并完成以下练习题。

学生操作, 并做练习题:

(用A、B、C、D、E填空) 二次函数y=ax2+bx+c的图像中, 仅变化a时, ______变;______不变。仅变化b时, ______变;______不变。仅变化c时, ______变;______不变。

A.开口方向B.开口大小C.对称轴的位置D.顶点坐标E.与轴交点

教师深入小组参与活动, 倾听学生的交流, 重点指导完成操作。力争让学生自己操作、思考、总结, 在不断的摸索中找到问题答案。

设计意图:此环节达到了一个小高潮, 此处充分体现了现代信息技术处理动态图形的优势, 给学生以强烈的震撼:那么复杂的参数问题在此竟是如此的直白。

(5) 分析图像变化的原理。

师:请同学们将二次函数配方:用系数表示出对称轴:, 顶点坐标, 与y轴交点 (0, c) , 不难发现对称轴与a、b有关, 顶点坐标与a、b、c都有关, 与y轴交点仅与c有关。

设计意图:此环节达到了“画龙点睛”的效果, 学生会恍然大悟, 不仅知其然, 还知其所以然。

(6) 应用举例。

例:已知函数

y=x2-bx+1 (0≤x≤1) , 试用b表示函数的最小值。

师:这是一个含参数的二次函数在闭区间上求最值的问题, 0≤x≤1内, 二次函数图像只有一部分 (如图4) , 随着b的变化, 这部分的图像形状也会发生改变, 从而使最小值对应的位置也会发生变化, 故需要讨论。如何分类讨论, 通过动手实验找出分类的标准。

生:画动态的二次函数图像, 通过连续改变参数b的取值找到函数取得最值的位置, 从而找到分类讨论的分类标准。

师:回答的很好!说明你已经具备动态图像的意识。下面请同学们以小组为单位动手在几何画板上画出这个动态的二次函数图像, 或者打开几何画板课件 (Ⅲ) , 通过操作改变参数b的取值进而找出分类的标准, 并完成此题。

教师深入学生指导, 让学生自己操作、思考, 在摸索中找到问题答案。

展示学生解答。

解:函数顶点横坐标为, 即对称轴方程:

设计意图:提高学生应用知识解决实际问题的能力。

3.课堂练习

师:有了几何画板作为工具, 可以帮助我们在短时间完成大量的变式练习, 迅速提高解题能力。请同学们通过修改系数、改变参数b的位置、改变区间的端点等方式对此题加以改编, 运用同样的方法, 进行变式训练。

设计意图:依靠变式提升演练水准, 不仅提高运用二次函数图像解决问题的能力, 也提高应用信息技术辅助学习的能力。

●教学反思

本节课利用数学软件搭建一个“数学实验室”, 利用计算机超强的计算功能和画图功能, 让学生在短时间内完成大量运算和作图, 达到了教师的预期目标。

课堂上注重教师的示范、引导与学生的自主探究相结合, 学生人手一机积极参与。在第一部分教学阶段, 从探究参数a、b、c的变化对函数y=ax2+bx+c的图像的影响, 到自我归纳其中的变化规律, 均由学生独立探究完成。最后再由教师分析所得到的这种“规律”的理论依据, 让学生的形象思维上升到理性思维。

在第二部分教学阶段, 应用举例, 分析:在0≤x≤1内, 二次函数图像只有一部分, 随着参数b的变化, 这部分的图像形状也会发生改变, 从而使最小值对应的位置也会发生变化, 故需要讨论。如何分类讨论, 通过动手实验找出分类的标准, 渗透“数形结合”的数学思想。

课堂练习部分, 通过改编例题, 让学生应用所学到知识解决问题, 活学活用, 强化本节知识。

二次函数是中学数学的热门话题, 很多问题最后都要划归为二次函数来解决, 熟练掌握、运用二次函数图像和性质始终是高中数学的一个重要内容。几何画板为数学搭建了一个“做数学实验”的平台, 有助于学生更好地掌握数学知识, 更深地理解数学思想。总之, 本节课选择了中学数学的一个既是重点又是难点的课题, 借助于现代教育技术突出了重点, 突破了难点。从课堂、课后学生的反馈来看, 取得了较理想的效果。

反思不足之处:学生的主体突出不够, 教师讲得太多;课堂练习部分设计开放得不够, 应放手学生自行改编例题, 而不是将改编好了的题让学生去做;课件制作有待进一步改进, 交互性、开放性需加强, 内容还可以更丰富一些。

二次函数是中学数学的重要章节, 是体现数形一一对应的数学思想的典型内容。数学中的许多二维问题均可划归为二次函数来解决。因此, 二次函数是中学数学的一个十分重要的教学内容。

教者充分利用几何画板的功能, 搭建了一个“数学实验室”。在网络环境下, 通过教师的示范, 引导学生观察二次函数的顶点、对称轴、开口方向与y轴交点的情况;在此基础上让学生亲自操作几何画板, 先后画出两条不同的二次函数曲线, 分别探究一次项系数和常数项的变化对图像的影响, 进而探究出曲线和最值变化的规律。是一次扬信息技术之优, 充分体现数学学科特征的好的实践。

教者在教学过程中坚持了数学思想的学习和实践。数形结合是数学学科的重要特征之一。教者利用几何画板软件的快速计算功能和超强画图功能, 在45分钟内多次完成二次函数的作图任务, 迅速地实现二次函数图形随着a、b、c参数的变化而变化的教学过程, 让学生身临其境地观察到参数与图形一一对应的变化关系。

《二次函数的图像与性质》教学反思 篇13

一、教材分析：

本节课是“中等职业教育课程改革国家规划新教材”数学基础模块上册第四章第二节的教学内容。第三章刚刚学习了函数的相关知识，第四章第一节学习了实数指数幂的知识，在此基础之上学习指数函数，过渡自然。同时指数函数的学习可以为后续对数函数的学习奠定基础，因此本节课在教材中起到了承上启下的作用。

二、学情分析：

我所授课的班级是汽车系数控11-1班，学生思维活跃，动手操作能力强。在学习本节课之前学生已具备一定的函数基础知识和实数指数幂的相关知识，掌握了作图的一般方法及步骤，这些知识储备是进一步学习指数函数的前提。但是学生在作图时缺乏规范性，而且解题的速度相对较慢，针对学生的这些特点，我设计了一份学习材料，利用打好的方格，来规范学生的作图。

三、教学目标以及重点、难点

通过对教材和学生的分析，我确立了本节课的教学目标以及重点、难点： 知识目标：

理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像与性质 能力目标：

1、能通过指数函数的定义判断什么样的函数是指数函数；

2、能利用作图软件画出指数函数的图像；

3、能通过指数函数的图像分析出指数函数的性质。情感、态度、价值观目标：

1、在学习过程中培养学生勇于思考、善于探索的思维品质

2、培养讲究卫生、爱护机器设备的思想意识 重点、难点：

重点：指数函数的定义及指数函数的图像与性质

难点：引导学生从指数函数的图像中抽象出其性质的过程

四、教法和学法：

依据本课的教学目标和重点、难点的分析，结合学生的特点，确定如下的教法与学法： 教法：启发引导法

通过设置一系列问题，逐步引导学生积极思考、主动解决问题，学习知识。学法：自主探究

学生在问题及任务的驱动下，自主探究，通过想、画、练、说，达到掌握知识的目的。

五、教学过程

我结合数学组的教学模式及对学生、教学内容等的分析，设计如下的教学过程： 1.情境设置，提出问题

结合数控专业学生的专业特点，我设置了两个情境问题：细菌分裂和数控机床的折旧率，其中一个和日常生活有关，一个和专业实践有关，学生比较容易接受，也有助于引起学生学习的兴趣。

通过这两个情境问题得出两个函数关系式，再通过问题引导，启发学生思考，从而引出本节课的课题。

2.师生互动，学习数学

这一环节里分为三个内容：指数函数的概念、图像和性质。（1）指数函数的概念

为了使学生对指数函数的形式概念更好的理解掌握，从“自变量x在函数中的位置、底数a的取值、ax前面的系数为1”3个方面引导学生分析其概念，并且通过练习使学生对其形式概念巩固掌握。（2）做出指数函数的图像

1y()x2、在作图时，先引导学生回忆作图的一般步骤，然后给学生布置做出y

2、x1xy()y3x、3这四个函数的图像的任务。为了降低难度，在学习材料上，教师已经列出表格，并确定了自变量x的取值，由学生完成函数值y的计算和填写。而且为了规范作图，教师在学习材料上已经打好方格，要求学生在方格中画出图像来。

为了增大课堂的容量，我发给每一名学生的学习材料，只要求做出上面四个函数中的一个图像即可。而且考虑到以前上课时分组的无效性，本次课我没有将学生分组，学生拿到哪个函数的学习材料，就画出哪个函数的图像，这样就能保证每一位同学都能思考、动手，而且一节课中四个函数的图像都能做出来。

教师在学生作图的过程中，适当指导，并从中挑选出做得比较好的四类图像用投影打出，1xy()xy22的具体作图过提醒学生们观察它们的图像特征。之后教师用多媒体给出函数、程，使学生对自己刚才的作图过程进行巩固改正。

（3）分析归纳指数函数的性质

带领学生观察、分析展示的四个底不同的指数函数的图像，由一系列问题启发学生思考，归纳出将函数分为底数a1和0a1这两类时相应的性质，通过表格的形式给出，这样比较形象直观。并结合图形给出口诀 “上无限、左右伸，大1增小1减，（0，1）是个特征点”，帮助学生记忆其图象和性质。

利用指数函数的性质，带领学生分析本节课开始的两个例子，细菌分裂是个增函数，数控机床的折旧是个减函数，根据增减函数的性质，教育学生要讲究卫生，抑制细菌的增长，并且在实习时要爱护机器，合理使用，降低机器的折旧率，提高其使用率。3.巩固落实

通过一个例题、一个练习，引导学生巩固指数函数的性质，达到学以致用的目的。4.领悟提升

通过问题引导学生复习总结本节课的主要内容，由学生自己归纳小结，使学生对本节课所学知识有个整体的把握，并加以提升。5.布置作业

作业是要求学生将课堂上没有完成的学习材料填完，并完成课后的相关习题，同时布置了预习任务，达到课后巩固预习的目的。

六、教学评价

本节课在课堂上没有安排评价这一环节，这一环节将在学生将学习材料上交以后再进行。

七、教学创新：

《二次函数的图像与性质》教学反思 篇14

教学设计说明：

本节课的设计力求体现使学生“学会学习，为学生终身学习做准备”的理念，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，并注意教师角色的转变，为学生创造一种宽松和谐、适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法。由此我采用“问题——猜想——探究——应用”的学科教学模式，把主动权充分的还给学生，让学生在自己已有经验的基础上提出问题，明确学习任务，教师引导学生观察、发现、猜想、操作、动手实践、自主探索、合作交流，寻找解决的办法并最终探求到真正的结果，从而体会到数学的奥妙与成功的快乐。整堂课以问题思维为主线，巧妙地把数学实验引进了数学课堂，让学生充分参与数学预习，获得广泛的数学经验，整堂课融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体。这样既注重知识的发生、发展、形成的过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，又使学习者积极主动地将知识融入已构建的结构，而不是被动的接受并积累知识，从而“构建自己的知识体系”。并通过探索过程，不断丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力，渗透数学的思想方法，发展数学思维。

教学目标：

知识技能：1.会用两点法画出正比例函数和一次函数的图像

2.能结合图像说出正比例函数和一次函数的性质

3.经历正比例函数与一次函数图象画法与性质的探索过程，体会“数”“形”结合的数学思想

情感态度1.在动手操作过程中,培养学生的合作意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。

2.体验“数”与“形”的转化过程，感受函数图象的简洁美。激发学生学数学的兴趣

教学重点：正比例函数和一次函数的图像和性质

教学难点：结合图像理解正比例函数和一次函数的性质的过程 教学方法：自主探究、合作交流

教学模式：问题——猜想——探究——应用 教学过程：

[活动1]（学生分组讨论，教师对存在的问题进行辅导）

教师活动：1.教师出示问题,引导学生动手操作, 动脑思考,总结规律.2．学生猜想出结论：一次函数的图像是一条直线.3.教师为了进一步验证学生猜想的结论的正确性.学生活动：

问题1：1.已知函数y(m2)x2m1.（设计意图：使学生联想直线的公理：两点确定一条直线.由此探究得出正比例函数的图像可以由两点法画出.）(1).当m取何值时，该函数是一次函数.(2).当m取何值时，该函数是正比例函数.2.正比例函数和一次函数有何区别与联系？（设计意图：巩固两点法画直线的方法.学生通过画图、观察、探究、总结，发现正比例函数的性质.）3．在同一坐标系中描出以下6个函数的图像

y=2x y=2x-1 y=-2x y=-2x+1 y6 yx2 x观察你所画的图像的形状

能否发现一些规律（或共同点）？

[活动2] 教师活动：1.教师引导学生分析:（1）一条直线最少可以有几个点确定？

（2）可以取直线上的哪两个最简单、易取的点？

（3）学生总结出选取（0，0），（1，k）两点.（其他的点也可以，但这两点最简单）2.教师巡视,适时点拨，演示

正比例函数的图像： k任取不同的数值，观察图像的位置，给出图像上任意一点测量出此点的坐标，拖动此点变换它的位置。观察此点的横纵坐标的变化情况.引导学生探究、讨论、归纳出正比例函数的性质：

（1）k>0时，图像在第一、三象限，y随x的增大而增大.(2)k<0时，图像在第二、四象限，y随x的增大而减小.问题1：

1.正比例函数的图像是一条直线，除了描点法外，你还有更简便的方法画出它的图像吗？（设计意图：使学生联想直线的公理：两点确定一条直线.由此探究得出正比例函数的图像可以由两点法画出.）

2.用两点法分别在同一坐标系中画出下列函数的图像（质.）

1yxyx y3x 2 ①②y3x y31x yx 22问题2：观察这两组图像：（设计意图；巩固两点法画直线的方法.学生通过画图、观察、探究、总结，发现正比例函数的性质.）

（1）指出它们分别有什么共同点，它们所在的象限，以及上升与下降的趋势.（2）分别在直线y3x和y3x上依次从左向右各取三个点(x1 ,y1),B(x2 ,y2),C(x3，y3).试比较y1.y2.y3的大小.[活动3]

教师活动：1.学生独立思考完成问题

1、问题

2、问题3.2.两点法画一次函数图像时，探讨选取哪两个点比较简单.（0，k）,(b,0).k 3.教师巡视,适时点播，一次函数的图像： k任取不同的数值，观察图像上升、下降的趋势和位置，给出b的不同值再观察。引导学生探究、讨论、合作交流，探究一次函数的性质：

（1）k>0时，y随x的增大而增大.(2)k<0时，y随x的增大而减小.[活动4] 教师活动：1.教师引导学生运用所学 知识解决实际问题.2.引导学生说出解题思路，运用了哪些知识点.3.引导学生观察、讨论、探究、得到当y=0，y>0，y<0时，x 的取值范围.4.教师引导学生运用所学 知识解决实际问题.5.引导学生说出解题思路，运用了哪些知识点.6.教师演示几何画板课件，利用几何画板中跟踪点的功能，引导学生观察、讨论、探究、得到当y=0，y>0，y<0时，x 的取值范围.学生活动：

1、（1）函数y=-x的图像经过点（0，＿），点（3，＿），y随x的增大而＿＿＿。

（2）、函数y= x的图像经过点（0,0）和点（1，＿），y随x的增大而＿＿＿＿。（设计意图：巩固所学知识，练习应用.）

2、函数y=mx的图像经过那些象限？若y随x的增大而减小，则m＿0。3.在同一坐标系中用两点法画出下列函数的图像.(1)y2x1(2)y2x1（3）y3x1（4）y3x1

观察这4条直线分别 所在象限，变化趋势。试说出一次函数的性质

（设计意图：两点法画一次函数的图像，“数”与 “形”转化，培养学生的画图能力.对图像的观察、归纳，“形”与“数”转化，培养他们的视图能力）(2)由图像观察，求当x 取何值时，y=0，y>0，y<0.课堂小结：

本节课你学到了那些知识，在知识的探究和运用过程中你有何体会？

预习检测：

1、下列四点，在函数y3x2的图象上的是（）A、0,2

B、2,0

C、3112,32D、,2

22

2、下列一次函数中，y的值随x值的增大而减小的是（）A、y=2x－8

B、y=－x+3

C、y=2x+5

D、y=7x－6

33、在一次函数ym1x5中，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（）A、m

1B、mC、mD、m1

4、若一次函数ykxb的图象经过一、二、三象限,则k,b应满足的条件是:（）A.k0,b0

B.k0,b0

C.k0,b0

D.k0,b0

5、将直线y=2x向上平移两个单位，所得的直线是

（）A、y=2x+2

B、y=2x－2

C、y=2（x－2）

D、y=2（x+2）

二、填空题

6、直线y1x5与x轴的交点坐标是_______，与y轴的交点坐标是_______.2

7、直线y2x3可以由直线y2x沿y轴_______而得到；直线y3x2可以由直线y3xy轴_______而得到.8、已知一次函数y2xb，当x3时，y1，则直线y2xb在y轴上的截距为________.三、解答题

9、在同一个直角坐标系中，画出函数y2x1与y3x4的图象，并判断点A（1，1）、B（－2，10）是否在所画的图象上？在哪一个图象上？

10、画出函数y3x6的图象，并回答下列问题：（1）当x2时，y的值是多少？（2）当y9时，x的值是多少？（3）当x为何值时，y0,y0,y0？

教学反思：

这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到一次函数的性质。花费了一番周折，说明去掉这个中介，直接让学生从单调性来接受一次函数性质是困难的。

真正的形成往往来源于真实的自主探究。只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。

首先，要设计适合学生探究的素材。教材对一次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。如果牵强的引出来，不一定是好事。

其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。探究教学是追求教学过程的探究和探究过程的自然和本真。只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。要表现过程的真实与自然，从建构主义的观点出发，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。结论是一致的，但过程可以是多元的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。追求自然，就要适当放开学生的手、口、脑，例如本文中的“走向”问题，“向上爬”、“向下走”等，如果是讲授注入式，我们就听不到学生真实的声音了。