高中数学数列基础题

高中数学数列基础题（共10篇）

高中数学数列基础题 篇1

数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案

例1.当n1时，a1S11,当n≥2时，an2n2n2(n1)2(n1)4n

3,经检

验 n1时 a11 也适合an4n3,∴an4n3(nN)例2.解：∵aSn1nSnSn1,∴ Sn2Sn1

2n,∴

Sn2

n



n

11

设bn

Sn是公差为1的等差数列,∴bS112

n

则bnn

b1n1又∵b1

2a232,∴

Sn2

n

n

12,∴Sn

(2n1)2

n1,∴当n≥2时

anSnSn1(2n3)2

n2

∴a3

n1)n

(n≥2),Sn

(2n1)2

n1

(2n3)2

n2

(例3 解：a2

an1nSnSn1nan(n1)an1从而有n

n1an1 ∵a11,∴a1223,a3





13,a

4

5



13,a5





2143,∴a2n



(n1)(n2)321n(n1)

(n1).43

n(n1),∴Sn

na2nn

n1

例4.解：a

n



123n(n1)2(1n11111112n n



n1)∴Sn2(1)()()

223nn12(1)

n1n1例5.A

例6.解:S3

n1n12x3x24xnx

①xS2

n

n

x2x3xn1x

n1

nx

②

①②1xSn1

n1xx2

x

nx

n，xn

nxn

nx

n1

1nxn

nx

n1

11nx

n

nx

n1

当x1时,1xS

1x

n

n1x

nxn



11x



11x

∴Sn



1x

;

当x1时，Sn

1234n

n1n2

例7.C例8.192例9.C例10.解：a3

a58

a5q

a5

a54

542

2

1458

另解：∵a5是a2与a8的等比中项，∴542a82∴a81458

例11.D例12.C例13.解：a1S1321,当n≥2时,a2nSnSn13n2n[3(n1)22(n1)]6n5,n1时亦满足 ∴

an6n5,∴首项a11且 anan16n5[6(n1)5]6(常数)

∴an成等差数列且公差为

6、首项a

1

1、通项公式为an6n5





12a12111d354例14.解一：设首项为a2

1，公差为d则

)656(a1d2d d5

232

6a65

d17

122S奇S偶354

解二：

S偶32

S偶192



由

S偶S奇6dd5

SS奇162

奇

27例15.解：∵a101001a18

a9aa9a10，∴a18



a

20

例16.解题思路分析： 法一：利用基本元素分析法 

S7a7671设{aan}首项为a1，公差为

d，则d7

∴

12

d1

S1515a115142d75∴

Sn2

n(n1)

∴

Sn2n1n

2

n52



此式为n的一次函数

∴ {

Sn12

9n

}为等差数列∴

Tn

n

4n

S2

法二：{a+Bn∴

7A77B7n}为等差数列，设Sn=An2

S215A1515B75



1解之得：A

∴

S12

5n

B52

n

n，下略2

注：法二利用了等差数列前n项和的性质 例17.解：设原来三个数为a,aq,aq2 则必有 2aqa(aq2

32)①,(aq4)2

a(aq232)

② 由①：

q

4a2a

代入②得：a2或a



从而q5或13

∴原来三个数为2,10,50或2263389,9,9

例18.70

例19.解题思路分析：

∵ {an}为等差数列∴ {bn}为等比数列 

∴ b1b3=b22,∴ b23=1,∴ b2=1

b171b3

8,∴



8b12,∴

b1或



1

b1b214



b13

8b2

2∴ b2(1 或

b1n1

4)n12

32n

nn

42

2n5

∵

b1a

n

n(2),∴ anlog1bn,∴ an=2n-3 或 an=-2n+5

高中数学数列基础题 篇2

一、基础题的界定

高中数学基础题是高中数学题的基本构成部分, 是数学知识运用与能力发展的承载基础, 具体来说, 它是运用基础知识, 使用基本技能和思想方法可以解决的题型, 也是解决数学能力提升题、创新题的门槛, 其主要包括简单题和中档题, 也是数学学习中的常规题.

二、基础题的特征

1.从题目的难度系数层面上讲

教育部《普通高中数学课程标准 (实验) 》中明确指出, 数学试卷要突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查, 所以基础题难度系数应在0.6以上, 也是80%的学生能解决的80%的问题.

2.从题目涉及的知识点个数层面上讲

基础题包含的知识点较少, 一般来说不会超过3个, 是对单一知识点的考查或两个知识点的组合 (从江苏高考数学试卷来看一般1至8题) , 或者是两个、三个知识点的结合 (一般9至12题) .

如复数部分:若, i是虚数单位) , 则乘积ab的值是_____.

【点评】本题主要考查复数的基本运算, 是单一知识点的考查.

又如, 导数部分:设直线y=1/2x+b是曲线y=lnx (x>0) 的一条切线, 则实数b的值是____.

【点评】本题主要考查导数的几何意义和切线的求法, 是两个知识点的结合.此类题属基础题的范畴.

3.从题目涉及的思想方法层面上讲

高中数学的基础题一般涉及的基本数学思想方法不超过两种.

【点评】本题考查了三角函数换元与化归的思想方法, 是典型的基础题.

4.从题目涉及的技能层面上讲

从基础知识所产生的过程以及相关定义、符号、表达式和图形的认识和理解入手, 以基本方法展开思考, 经过计算和简单推理, 就可完成的问题.

【点评】本题主要考查导数的几何意义、导数的运算以及直线方程等基础知识, 考查运算求解的能力及推理论证能力.

高中数学数列基础题 篇3

【关键词】数学史 高中数学 数列教学

一、引言

任何一门学科的形成都有一个完整的过程，而这个过程所携带的信息就是它的历史。数学也不例外，但是长期以来，数学史的价值都没有引起人们的注意，直到19世纪，西方的一些数学家开始意识到数学史之于数学的重要性，并且提出在数学教育中强调数学史。比如英国的数学家德摩根就认为数学教学应该按照数学史的发展来进行。到了20世纪，关于数学史价值的讨论更加激烈，但是这时候的西方数学界逐渐达成一个共识，那就是数学史对于数学教学的确有着重大的意义。而我国在数学史的研究起步较晚，但是国内的一些教育专家和学者已经认识到数学史的重要价值，并开始进行相关领域的尝试研究。

二、数学史对高中数学数列教学意义

1.帮助学生全面认识数学

在我国高中教学阶段，有一个文理分科的过程，而数学就是理科的龙头代表。由于高考的限制，许多人将文理科割裂开来，走向两个教学极端。表现在数学教学上，就是只重视逻辑推理、解题方法，而忽略数学的文化学习。比如对于数列，很多学生只知道它的一般表现形式为a1，a2，a3…an，an+1…（简记为an），但对于数列的基本概念基本是模糊的，更不用说数列的由来和历史。这样的教学，使得教师和学生，在机械的解题训练上花费了大部分精力，以致于许多学生认为数学就是“单调”“枯燥”，并且从内心开始排斥数学。在新的数学课程标准中，就这样指出：数学课程应该适当的反映数学历史，培养学生的数学文化观。数学文化观强调数学不但具有科学技术的教育功能，也有文化教育功能。因此在数学数列教学中加入数学史的内容，能够帮助学生走出数学认识误区。

2.激发学生的学习兴趣

为什么学习数学？恐怕许多学生对这个问题的答案都是模糊的，或者说是功利的。但可以肯定的是，许多人对于学习数学的目的是茫然的。这样的学习动机之下，又何谈学好呢？要改变这一现状，最根本的途径就是培养学生对于数学的兴趣。那么如何培养？怎样培养？这是摆在许多老师面前的难题。而在数学教学中引入数学史，这无疑是一条行之有效地方法。比如最经典的案例就是数学家高斯小时候解答的那道算数题，从1一直加到100最后的结果是多少？这一例子被许多教师广泛运用，在数列教学之前，同样以这道题为引子，鼓励学生进行多方法的解答，最后再给出高斯的解答方法，从而引出数列的概念。

3.加深对数学知识点的理解

在实际的数学教学中，许多教师在进行知识点的讲解之后，总会向学生强调“理解性记忆”。这一说法肯定是没有错的，但是其实施的点却是虚无缥缈的。因为整个教学中，老师讲的是方法，学生学的是技巧，却唯独没有讲到“为什么会有方法技巧”。于是在这种情况下，强调所谓的“理解性记忆”未免有点强人所难了。而数学史记录了数学概念产生和发展的历史，对于知识点的讲述是有迹可循的。

三、数学史在高中数列教学中的应用

1.引入经典例题，激发学生的求胜心

为了加深学生对数列知识点的理解，在教学过程中，可以引入历史上的经典例题作为学生的讨论案例。这些例题之所以经典，要么是因为题法巧妙难解，要么是某个大人物的智慧手笔。因此用这样的例题，能够激发起学生的求胜心态，更加积极的去思考。比如意大利著名科学家裴波那契的著作《算盘书》中，曾提出过许多著名的问题，其中“兔子繁殖问题”一直为后人津津乐道：兔子出生后两个月就能进行繁殖，而且每个月月初，每对成熟的兔子又生下一对兔子，那么一年之后一共有多少对兔子？这样的例题经典且通俗，非常适合用来当作学生的练笔思考之用。

2.利用数列故事，激发学生的好奇心

在学习数列时，有老师首先为学生讲述了“阿基里斯永远追不上龟”的故事，在希腊神话中阿基里斯是一位跑步健将，有一次他要和乌龟赛跑。他的速度是乌龟的10倍，但乌龟比他先走100米。按照一般的数学行程问题思维，阿基里斯肯定是能追上乌龟的。那么为什么又说永远追不上呢？这引起了学生的注意。于是老师继续说道：“虽然在比赛中，阿基里斯的速度是乌龟的10倍，但当他首先要到达乌龟的出发点，也就是100米的距离，而这时乌龟已经向前跑了10米。等阿基里斯跑完10米之后，乌龟又跑了1米。当阿基里斯再跑完1米之后，乌龟又向前跑了0.1米。所以如此逻辑循环，跑步健将阿基里斯也是永远追不上乌龟。”这一个看上去荒谬的问题，在逻辑上却完美无缺，这足以激发学生的好奇心。

3.列举一题多解，发散学生的思维

一题多解是锻炼学生思维能力的有效方法，因此在解决数列问题时，老师同样可以列举类似的案例。比如前面提到的高斯问题，解题方法就有很多种，但高斯的方法无疑是最便捷的。因此，教师要以此类案例为引子，鼓励学生勤于思考，进行一题多解，既锻炼自身思维能力，也加深对知识点的理解。

四、结语

数学史应用于高中数列教学只是现代数学教育改革的缩影，作为数学教育的重要部分，它是阐释数学内涵的重要依据。因此在数学教学中引入数学史，能够帮助学生建立完整的数学文化观，这对于改革整个数学教育具有深远的意义。

高中数学等差数列教案 篇4

一、教学内容分析

等差数列是《普通高中课程标准实验教科书?数学5》(人教版)第二章数列第二节等差数列第一课时。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，?数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

二、教学目标

1、通过本节课的学习使学生理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列。

2、引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用;并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。

3、在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

三、教学重难点

重点：

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

②理解等差数列是一种函数模型。

四、学习者分析

普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

五、教学策略选择与设计

结合本节课的特点，我设计了从教法、学法两种方法对等差数列的通项公式进行推导，让学生更好的理解。通过引入实例来启发学生，挺高学生的学习兴趣，是学生更加形象、愉快的去学习这堂课。下面是我教学设计：

1.教法

⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

2.学法

引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。

六、教学资源与工具设计

(一)学习环境：多媒体教室

(二)用到的资源：

1 查找有关等差数列的实例

2 写出上课要提到的问题

3 制作相关PPT课件

七、教学过程

教学环境 教学内容与

教师活动 学生活动 设计意图或依据 情境导入

在南北朝时期《张邱建算经》中，有一道题“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金 四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更 给，问各得金几何，及未到三人复应得金几何“。 这个问题该怎样解决呢?

由学生观察分析并得出答案： 在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，___，___，___，___，?

水库的管理人员为了保证优质鱼 类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位 为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m)：18，15.5，13，10.5，8，5.5

思考：同学们观察一下上面的这两个数列： 0，5，10，15，20， ① 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ② 看这些数列有什么共同特点呢?

倾听和观察分析，发表各自的意见。

课堂引入，引向课题 探索与归纳

对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上两组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5。

提问：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件?

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b

的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列：1，3，5，7，9，11，13?中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。看来，

高中数学数列求通项公式习题 篇5

（四）的一个通项公式是（），A、anB、anC、anD、an2．已知等差数列an的通项公式为an32n , 则它的公差为（）

A、2B、3C、2D、

33．在等比数列{an}中, a116,a48,则a7（）

A、4B、4C、2D、

24．若等比数列an的前项和为Sn，且S1010，S2030，则S30

5．已知数列an通项公式ann210n3，则该数列的最小的一个数是

6．在数列{an}中，a1于．

7．已知{an}是等差数列，其中a131，公差d8。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{an}从哪一项开始小于0？

（3）求数列{an}前n项和的最大值，并求出对应n的值． 11nan且an1，则数列nN的前99项和等2n1anan

8．已知数列an的前项和为Snn23n1，（1）求a1、a2、a3的值；

（2）求通项公式an。

9．等差数列an中，前三项分别为x,2x,5x4，前n项和为Sn，且Sk2550。

（1）、求x和k的值；

（2）、求Tn=1111;S1S2S3Sn

(3)、证明: Tn

1考点：

1.观察法求数列通项公式;2.等差数列通项公式;3.等比公式性质;4.等比公式前n项和公式应用;5.数列与函数结合;6.求通项公式;7.基本的等差数列求通项公式及其应用;8.求通项公式;9.等差数列性质应用及求和与简单的应用

答案：

1.B;2.C;3.A;4.70;5.-22;6.5049.7.（1）an398n（2）n=5(3)sn76、n=4;

8.（1）a1

5、a2

6、a38（2）an5;n1)2n2;n2)

9.（1）由4xx5x4得x2,an2n,.Snn(n1),k(k1)2550得k50

(2).Snn(n1),Sn111 n(n1)nn1

T1111111111n12334n1nnn1n1n1

11且0（3）Tn1n1n1

高中数学《数列的极限》教学设计 篇6

一、教学目标

1.知识与能力目标

①使学生理解数列极限的概念和描述性定义。

②使学生会判断一些简单数列的极限，了解数列极限的“e-N"定义，能利用逐步分析的方法证明一些数列的极限。

③通过观察运动和变化的过程，归纳总结数列与其极限的特定关系，提高学生的数学概括能力和抽象思维能力。

2.过程与方法目标

培养学生的极限的思想方法和独立学习的能力。

3.情感、态度、价值观目标

使学生初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。

二、教学重点和难点

教学重点：数列极限的概念和定义。

教学难点：数列极限的“ε―N”定义的理解。

三、教学对象分析

这节课是数列极限的第一节课，足学生学习极限的入门课，对于学生来说是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡阶段，在《立体几何》内容求球的表面积和体积时对极限思想已有接触，而学生在以往的数学学习中主要接触的是关于“有限”的问题，很少涉及“无限”的问题。极限这一抽象概念能够使他们做基于直观的理解，并引导他们作出描述性定义“当n无限增大时，数列｛an｝中的项an无限趋近于常数A，也就是an与A的差的绝对值无限趋近于0”，并能用这个定义判断一些简单数列的极限。但要使他们在一节课内掌握“ε-N”语言求极限要求过高。因此不宜讲得太难，能够通过具体的几个例子，归纳研究一些简单的数列的极限。使学生理解极限的基本概念，认识什么叫做数列的极限以及数列极限的定义即可。

四、教学策略及教法设计

本课是采用启发式讲授教学法，通过多媒体课件演示及学生讨论的方法进行教学。通过学生比较熟悉的一个实际问题入手，引起学生的注意，激发学生的学习兴趣。然后通过具体的两个比较简单的数列，运用多媒体课件演示向学生展示了数列中的各项随着项数的增大，无限地趋向于某个常数的过程，让学生在观察的基础上讨论总结出这两个数列的特征，从而得出数列极限的一个描述性定义。再在教师的引导下分析数列极限的各种不同情况。从而对数列极限有了直观上的认识，接着让学生根据数列中各项的情况判断一些简单的数列的极限。从而达到深化定义的效果。最后进行练习巩固，通过这样的一个完整的教学过程，由观察到分析、由定量到定性，由直观到抽象，并借助于多媒体课件的演示，使得学生逐步地了解极限这个新的概念，为下节课的极限的运算及应用做准备，为以后学习高等数学知识打下基础。在整个教学过程中注意突出重点，突破难点，达到教学目标的要求。

五、教学过程

1.创设情境

课件展示创设情境动画。

今天我们将要学习一个很重要的新的知识。

情境

1、我国古代数学家刘徽于公元263年创立“割圆术”，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

情境

2、我国古代哲学家庄周所著的《庄子?天下篇》引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭。也就是说拿一根木棒，将它切成一半，拿其中一半来再切成一半，得到四分之一，再切成一半，就得到了八分之„„?如此下去，无限次地切，每次都切一半，问是否会切完?

大家都知道，这是不可能切完的，但是每次切了以后，木棒都比原来的少了一半，也就是说木棒的长度越来越短，但永远不会变成零。从而引出极限的概念。

2.定义探究

展示定义探索(一)动画演示。

问题1：请观察以下无穷数列，当n无限增大时，a，I的变化趋势有什么特点?

(1)1/2,2/3,3/4,„n/n-1(2)0.9，0.99，0.999，0.9999，1-1/10n„„

问题2：观察课件演示，请分析以上两个数列随项数n的增大项有那些特点?

师生一起归纳总结出以下结论：数列(1)项数n无限增大时，项无限趋近于1；数列(2)项数n无限增大时，项无限趋近于1。

那么就把1叫数列(1)的极限，1叫数列(2)的极限。这两个数列只是形式不同，它们都是随项数n的无限增大，项无限趋近于某一确定常数，这个常数叫做这个数列的极限。

那么，什么叫数列的极限呢?对于无穷数列an，如果当n无限增大时，an无限趋向于某一个常数A，则称A是数列an的极限。

提出问题3：怎样用数学语言来定量描述呢?怎样用数学语言来描述上述数列的变化趋势?

展示定义探索(二)动画演示，师生共同总结发现在数轴上两点间距离越小，项与1越趋近，因此可以借助两点间距离无限小的方式来描述项无限趋近常数。无论预先指定多么小的正数e，如取e=O-1，总能在数列中找到一项am，使得an项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε，若取￡=0。0001，则第6项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε，即1是数列(1)的极限。最后，师生共同总结出数列的极限定义中应包含哪量(用这些量来描述数列1的极限)。

数列的极限为：对于任意的ε>0，如果总存在自然数N，当n>N时，不等式｜an-A｜n的极限。

定义探索动画(一)：

课件可以实现任意输入一个n值，可以计算出相应的数列第n项的值，并且动画演示数列的变化过程。如图1所示是课件运行时的一个画面。

定义探索动画(二)课件可以实现任意输入一个n值，可以计算出相应的数列第n项的值和I an一1I的值，并且动画演示出第an项和1之间的距离。如图2所示是课件运行时的一个画面。

3.知识应用

这里举了3道例题，与学生一块思考，一起分析作答。

例1.已知数列：

1,-1/2,1/3,-1/4,1/5„„,(-1)n+11/n，„„

(1)计算|an-0|(2)第几项后面的所有项与0的差的绝对值都小于0.017都小于任意指定的正数。

(3)确定这个数列的极限。

例2.已知数列：

已知数列：3/2,9/4,15/8„„，2+(-1/2)n，„„。

猜测这个数列有无极限，如果有，应该是什么数?并求出从第几项开始，各项与这个极限的差都小于0.1，从第几项开始，各项与这个极限的差都小于0.017

例3.求常数数列一7，一7，一7，一7，„„的极限。

5.知识小结

这节课我们研究了数列极限的概念，对数列极限有了初步的认识。数列极限研究的是无限变化的趋势，而通过对数列极限定义的探讨，我们看到这一过程又是通过有限来把握的，有限与无限、近似与精确、量变与质变之间的辩证关系在这里得到了充分的体现。

课后练习：

(1)判断下列数列是否有极限，如果有的话请求出它的极限值。①an=4n+l/n；②an=4-(1/3)m；③an=(-1)n/3n；④aan=-2；⑤an=n；⑥an=(-1)n。

(2)课本练习1，2。

6.探究性问题

设计研究性学习的思考题。

提出问题：

芝诺悖论：阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟，因为当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经走在前面一小段路了，阿基里斯又必须赶过这一小段路，而乌龟又向前走了。这样，阿基里斯可无限接近它，但不能追到它。假定阿基里斯跑步的速度是乌龟速度的10倍，阿基里斯与乌龟赛跑的路程是1公里。如果让乌龟先跑0.1公里，当阿基里斯追到O.1公里的地方，乌龟又向前跑了0.01公里。当阿基里斯追到0.01公里的地方，乌龟又向前跑了0.001公里„„这样一直追下去，阿基里斯能追上乌龟吗?

对高中数学数列教学的研究 篇7

一、教师要科学教授数列章节的理论知识

1. 打牢基础, 熟记基本知识点

对于任何学科来说基础知识的掌握都是不可缺少的, 没有掌握好基础知识就妄图进行提高性练习就相当于建造空中楼阁, 是不可能的事.高中数学中数列的学习主要是根据出题类型来进行有针对性的学习, 而一般的题目都是直接考查基本的知识点, 针对于此教师就要重点引导学生打牢基础、熟记基本知识点, 最为典型的就是各个通项公式的记忆和运用.如果是等差数列, 常用到的通项公式就是an=a1+ (n-1) d, (n∈N*) , 求和公式为 (n∈N*) ;如果是等比数列, 常用到的通项公式就是an=a1qn-1求和公式为Sn=na1, (q=1) , (q≠1) .诸如此类的数列公式都需要教师在教学中都需要格外强调, 帮助学生加深记忆并熟练应用, 只有打好基础才能够在更深层次的数列知识学习中得心应手、灵活转化.以“已知等差数列{an}, Sn表示前n项和, n∈N*, 当a3=6, S10=25时, 求S5的值是多少”为例, 这个题目中就涉及到了等差数列通项公式转化应用和求和公式的应用, 根据an=a1+ (n-1) d表示出a1=a3-2d再代入到中表示为S10=60+35d=25, 即可求出d=-1, a1=8, 然后求出S5=30, 由此可以看出, 掌握基础知识的重要性.

2. 适当延伸, 灵活分析题目

教师进行数列章节的教学时, 应当注意在讲解基本的概念和公式之后还应当进行适当的延伸, 在高中数学数列的题目考察中, 除了基本知识的考察, 还会涉及到一些延伸性的内容, 这些内容的考察难度要高于基础知识点的考察, 诸如对数列基本性质掌握与运用的考察就属于延伸性内容, 较为典型的一个题目类型就是对等差数列对称性这一特性的考察, 例题有“已知等差数列{ an} , 且a1+ a7= 18, 求a2+ a3+ a5+ a6的值”, 在该例题中, 只给了一个公式a1+a7= 18 和{ an} 为等差数列这一条件, 因而要解答这个题目, 就需要从这两点出发, 考虑到等差数列的对称性, a1+ a7=18 就可以转化为a2- d + a6+ d, 或者是a3- 2d + a5+ 2d, 因此就可以得出题目中要求的a2+ a3+ a5+ a6= 36, 这种类型的题目考察的就是等差数列相关性质的内容, 因此教师要注意在进行数列教学时, 除了讲解基础的公式与概念之外, 还应当引导学生对数列中的一些相关性质进行推导, 从而使学生全方位的了解数列知识, 并且做题时能够灵活运用.

二、教师在教学中应当注重解题技巧的教学

不同的数列题目有不同的解题技巧教师在教学中就应当认识到这一点, 从而在教学中渗透不同题型的技巧性解题方法的讲解. 只有在教学中渗透技巧观念, 学生才会对数列的相关知识点有更加深层次的认识, 而不是只停留在盲目套用理论知识进行解题的层面.

1. 观察前n项和的表现形式, 在观察、分析基础上选择解题方法

在数列题目中最为常见也极为重要的内容就是前n项求和, 在这种题型中最为典型的就是技巧性解题方法就是错位相减法和合并求和法, 这两种技巧性解题方法的应用需要有效的观察分析前n项和的表现形式, 教师需要做的就是要在教学中引导学生有效的分析表现形式, 一般来说当前n项和的表现形式为等差数列的项乘以等比数列的项然后相加, 那么就可以采用错位相减法, 而当前n项和的表现形式为加、减交叉出现, 学生就可以运用合并求和的方法. 教师只传授学生理论知识而不教授学生解题技巧, 学生即使掌握丰富的理论知识在真正面对题目时也无从着手.当题目要求为“{ an} 为等差数列, an= 2n - 1, n∈N*, { bn}为等比数列, bn= 3n, n∈N*, 求cn= a1b1+ a2b2+ a3b3+ … +an - 1bn - 1+ anbn, n∈N*”, 面对这种题型就可先将cn的表达式用数字表达出来, 利用错位相间的解题技巧将列出的两个式子进行相减的处理, 最终得出答案, 总之教师在进行数列教学时, 不能够笼统的进行课堂知识的讲授, 而是应当针对不同的表达形式、立足于题目的解答方式来对解题技巧进行分析与讲解, 使学生能够在不同的题目中采用不同的方法应对.

2. 有效分析不等式, 运用归纳解题技巧证明不等式成立

在数列题目中还有一个常用的应用题型就是不等式的证明, 不等式在数列题中的主要表现形式就是与正整数n相关的题型, 一般来说, 教师在教授了基本的数列知识之后, 学生对于一些基本的数列题目的解决都是较为轻松的, 但是很多不等式的证明却仍旧是部分学生无法解决的难题, 为此教师就要在讲解数列中的不等式时引入数学归纳法进行思路的引导, 例如题目要求证明 (n≥2, n∈N*) 成立, 那么就要分为当n=2和n>2时两种情况进行归纳性的证明, 当n=2时, 然后再对n>2时的情况进行分析, 最后将n=2和n>2进行综合归纳得出最终的结论.

三、教师要在数列教学中引导学生更好地学习数列知识

1. 重点培养学生的创新思维, 引导学生进行思维推理

高中数学的学习重点在于培养学生的数学思维, 教师在进行数列教学中就要认识到这一点, 通过引导学生对数列的推导进行合理的猜测和归纳性的判断, 也就是说, 猜想在很多数列题型中发挥着重要的作用, 因而使学生的思维能够拥有充足的思维空间是极为重要的. 例如在一道找规律求答案的数列题中, 题目为“157, 65, 27, 11, 5, () ”这种类型的数列题目在难度上属于中上难度, 很多学生会单纯的局限在对两个数字进行计算最终得出规律也就是说在157 与65 或65 与27 或27 与11 等之间进行计算来找规律, 但是很多时候通过这种方法得出的“规律”是一种错误的规律, 因为它可能只在这几个数字中法符合规律, 而在其他数字中却不是正确的, 同时也增加了解题的难度, 在这时候, 教师就可以引导学生从另一个角度来进行推理“既然这一组数据之间彼此存在一定的关系, 那么其中三个相邻的数字之间必然也存在着一定的关系”, 在此基础上学生就会提取出其中的三个相邻数字进行计算, 并通过数字的表达明确的表示规律, 同时注意到容易出错的地方, 在这个问题中, 因为多了一个数字的参与, 学生就能够更加容易地找出真实的规律, 65 × 2 + 27 = 157, 27 × 2 + 11 = 65, 从而得出5 ×2 + () = 11. 所以括号中应当填1, 用这种方式来引导学生发现规律, 能够在加深学生印象的同时, 激发学生的创新思维, 能够在面对不同情况时, 转换一种思路、一个角度进行规律的总结.

2. 鼓励学生自主进行推理, 得出数列的通项公式

高中数学的学习从知识的掌握逐渐朝着学生自主推理解答问题的方向发展, 强调在所学知识的基础上进行思维的拓展, 在数学教学中, 除了要提高学生的创新意识, 还应当帮助学生形成严谨的数学逻辑思维能力. 另外教师在培养学生自主推理能力的过程中, 还要充分结合学生的差异性, 特殊情况特殊对待, 采用不同的教学方法来全面提升学生的自主推理能力.

高中数学教学中的数列教学是重点内容, 教师应当注重教学方法的运用, 一定要结合知识点的实际考察方向, 对数列的课堂教学内容进行调整, 教师要以学生为课堂主体, 不断探索新的教学方式, 建立起更加完善科学的教学模式, 从理论知识、解题技巧和思维的拓展方面对学生进行全方位的提升, 提高课堂效率.

参考文献

[1]杨欢涛.高中数学数列教学的特点分析[J].华夏教师.2014 (06) .

[2]华峰.例谈高中数学课程教学中的思想方法求解数列问题[J].语数外学习 (数学教育) .2012 (05) .

浅谈高中数学数列的有效教学 篇8

关键词：高中数学；数列；有效教学

【中图分类号】G633.6

引言

数列是高中阶段数学学习的基本内容，而等差数列和等比数列是数列教学的重点。两类数列的学习主要包括对数列的定义、基本特点、通项公式、分类方法、具体应用等知識点的学习。然而在当前数列知识的教学中还存在一定程度的缺陷，例如教学设计模式化、教学方法单一、教学效率低效等问题，因此加强对数列教学的探究成为了数学教育领域的重要研究课题。

1 数列教学的重要性

数列知识不仅是高中数学教学中的重要内容，而且还蕴含了丰富的数学逻辑思维和方法，是高中生在高中阶段需要掌握的一种极为重要的数学模型。数列与函数、不等式、解析几何等知识点的综合问题，以及数列的应用问题，例如人口增长、产品规格设计、细胞分裂、房屋货款、工资选择等，成为高考数学中的常见考题类型。

学生学习数列知识有助于培养其逻辑推理能力和提高运算能力，因此高中数学教师必须对数列教学有足够的重视。只有教师首先对数列教学引起了足够的重视，学生才会在数列的课堂学习过程中产生紧迫感，意识到数列知识的重要性，才会更加认真地学习数列知识。

2 高考试题中数列问题综合分析

2.1 考纲解读

（1）理解等差、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的通项公式和前n项和公式。

（2）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能运用相关知识解决相应问题，了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。

2.2考情分析

纵观近几年的高考试题，一般情况下都是一个客观题加一个解答题，分值占整个试卷的10%+，客观题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求较高。解答题考查内容大多以数列为主，结合函数、方程、不等式等知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，属于中高档难度的题目。

2.3 数列问题命题特点

（1）注重对概念、公式和计算的考查

1）明确数列的基本概念和数列通项公式的定义。掌握运用递推公式解答数列问题的方法，最终根据公式解出数列某项。等差数列：， d为公差。等比数列：，q为公比。

2）考核学生对等差数列和等比数列递推公式的掌握和应用。等差数列：。等比数列：）。

（2）注重对学生解题规范的考核

一方面，高考试题要求学生形成严谨的答题习惯，有“步骤分”和“卷面分”。另一方面，要求具体计算过程在草稿纸上进行，以免卷面信息过于复杂、排版凌乱。另外，高考试题的解法也不是限定在一种思路上，而是对学生的创新能力、发散性思维进行考核，解题方案呈多样化。因此，包括对题目解答的入手、开展方向、适用公式、个别细节的先后顺序等，都允许学生多元化操作。

（3）注重命题形式的创新

数列的新颖命题通常是概念上的创新，或者是与向量、函数、不等式、算法，解析几何等知识结合，以情境新颖的选择题、填空题甚至是解答题的形式出现。

3 结合考点分析进行有效教学

3.1 加强基本运算方法的强化教学——抓概念与公式

从首项和公差（比）入手，是解决等差、等比数列问题的基本途径和方法。 在数列的训练题中，随堂引导学生根据a1，d（q），n，an，sn几个量进行知三求一或知三求二的运算，是非常重要的双基训练。

例：等比数列{中，，求

解：设首相和公比分别为，由题设可得

据此可以得到该等比数列。

可见，抓首项与公差（比），就能落实熟练基本运算方法，培养学生正确、合理运算的基本功，就能为运算能力的培养奠定坚实的基础。

3.2 锻炼学生通解通法的运用能力——抓观点与性质

运算能力是一种综合能力，与观察力、注意力、记忆力、理解力、推理能力、表达能力等互相渗透、互相影响。优化运算思维过程，以培养学生正确、简捷和富有创造性的运算能力与品质，逐步形成解决实际问题的能力。

数列课程内容，包含了很多数学的思想方法，比如转化与化归思想、函数思想、方程思想等等，这部分内容的教学一定要重点突出解题思想方法的教学，让学生真实体会和理解一些重要的数学研究思想方法，侧重于通解通法的领悟，然后以此为基础，再熟悉和掌握一些解题技巧，从而提高数列解题效率和质量，切不可本末倒置，盲目追求技巧在解题过程中的作用。

（1）用函数的观点审视数列问题

例：设等差数列{的前n项和为。已知a3=12，S12>0，S13<0，指出S1，S2，S3，……，S12中哪一个值最大，并说明理由。

解：由题设易得公差d<0，=d/2*n2+（a1-d/2）*n

故二次函数的图形开口向下，设顶点坐标为n.

又f（0）=0，且f（x）=0在（12，13）内有一实根。

由对称性知12<2n0<13，即接近n0的自然数为6，S6最大

2）抓等差（比）数列的基本性质

性质：设数列{是等差（比）数列，n、m、l、sN.若n+m=l+s则an+am=al+as （an*am=al*as）

3.3培养综合运算能力——抓联系与渗透

运算能力的层次性，就是要求教学中要培养学生由单一的运算到复合运算，再到综合运算。这是一种解题的技巧，这种技巧的建立必须以深刻认识和理解等差（比）数列知识和内在联系为基础，这样才能保证学生牢固记忆和熟练运用。所以，要培养学生的运算和联系能力，掌握题设中个相关条件之间的联系，下面提到的联系是数列部分需要引导学生牢固掌握的重要知识。

1）抓通项{与前n项和的联系。

2）抓等差数列与等比数列的组合。

3）抓等差（比）数列与其他数学知识（如函数、方程、不等式等）的组合。

4 小结

高中数学中的数列问题是一个重点知识点，对于很多学生而言数列与其他的知识点有形式上的不同，于是就成为了一个难点在掌握基础知识和数学思想的同时，通过练习来积累解题的经验，通过对这些经验的思考来感悟其中的数学思想，两者相辅相成，必然能够学好这部分的知识。

参考文献

[1]史立霞，袭振.数列中的分类讨论问题[J].高中数学教与学.2012（19）.

高中数学三角函数及数列练习题 篇9

A．第一、二象限

C．第一、四象限

B．第一、三象限 D．第二、四象限

2、已知函数f(x)(1cos2x)sin2x,xR，则f(x)是（）A、奇函数 B、非奇非偶函数 C、偶函数 D、不能确定

3.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于（）A．13

B．35

C．49

D． 63

4.函数f(x)(13tanx)cosx的最小正周期为（）A．2 B．

3 C． D． 225.已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝（）A.－2 B.－C.D.2 226.函数f(x)cos2x2sinx的最小值和最大值分别为（）A.－3，1

B.－2，2

C.－3，32 D.－2，7．把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有点向左平行移动象上所有点的横坐标缩短到原来的 A．y＝sin2x － ，x∈R

C．y＝sin2x ＋ ，x∈R π3π3π个单位，再把所得图332

1倍(纵坐标不变)，得到函数图象是（）． 2

262πD．y＝sin2x ＋ ，x∈R

3xπB．y＝sin ＋ ，x∈R

二、填空题（每题5分，共10分）

8.在等差数列{an}中,a37,a5a26,则a6____________ 9.已知函数f(x)sin(x)(0)的图象如图所示, 则 ＝

三、计算题（共55分）10．求函数f(x)＝lgsin x＋

11.已知函数f(x)sinxsin(x),xR.（10分）

2（5分）2cosx1的定义域．(I)求f(x)的最小正周期；(II)求f(x)的的最大值和最小值；

12．求函数y＝sin2x － 的图象的对称中心和对称轴方程．（5分）

13．已知等差数列{an}中，a2＝8，前10项和S10＝185.，求通项；（10分）

14.在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.（10分）

(1)求通项an；(2)求此数列前30项的绝对值的和.15.设数列an满足a12,an1an322n1（15分）

（1）求数列an的通项公式；（2）令bnnan，求数列的前n项和Sn

高中数学数列基础题 篇10

【三维目标】：

一、知识与技能

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，掌握等差数列的特殊性质及应用；掌握证明等差数列的方法；

2.明确等差中项的概念和性质；会求两个数的等差中项；

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；

4.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，体会等差数列与一次函数的关系；能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

二、过程与方法

通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。

三、情感、态度与价值观

通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。

【教学重点与难点】：

重点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。难点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。【学法与教学用具】：

1.学法：

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题 1．复习等差数列的定义、通项公式 ；（1）等差数列定义

（2）等差数列的通项公式：ana1(n1)d(anam(nm)d或andnp(p是常数))

ana1n

1anamnm

（3）公差d的求法：① dan-an1②d2．等差数列的性质：

③d

（1）在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是AP如：a1，a3，a5，a7，……；a3，a8，a13，a18，……；

（3）在等差数列an中，对任意m，nN，anam(nm)d，d

anamnm

(mn)；

（4）在等差数列an中，若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq

用心爱心专心

3．问题：（1）已知a1,a2,a3,an,an1,,a2n是公差为d的等差数列。①an,an1,,a2,a1也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ ②a2,a4,a6,a2n也成等差数列吗？如果是，公差是多少？（2）已知等差数列an的首项为a1，公差为d。

①将数列an中的每一项都乘以常数a，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？ ②由数列an中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列cn是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

（3）已知数列an是等差数列，当mnpq时，是否一定有amanapaq？

（4）如果在a与b中间插入一个数A，使得a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？

二、研探新知

1.等差中项的概念：

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中Aa，A，b成等差数列A

2.一个有用的公式：

（1）已知数列{an}是等差数列

①2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？ ②2anan1an1(n1)是否成立？据此你能得到什么结论？ ③2anankank(nk0)是否成立？？你又能得到什么结论？（2）在等差数列an中，d为公差，若m,n,p,qN且mnpq 求证：①amanapaq②apaq(pq)d

amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)dapaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d

ab

2ab2

．

证明：①设首项为a1，则

∵ mnpq∴amanapaq

② ∵apa1(p1)daq(pq)da1(q1)d(pq)da1(p1)d ∴ apaq(pq)d

探究：等差数列与一次函数的关系

注意：（1）由此可以证明一个结论：设{an}成AP，则与首末两项距离相等的两项和相等，即：

a1ana2an1a3an2，同样：若mn2p 则 aman2ap

（2）表示等差数列的各个点在一条直线上，这条直线的斜率是公差d

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（教材P37例3）已知等差数列an的通项公式是an2n1，求首项 a1和公差d。

解：a12111,a22213，∴da2a12或dan1an2(n1)1(2n

1)2，等差数列an的通项公式是an2n1，是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的各

点(n,an)均在直线y2x1上（如图）

例2 ①在等差数列an中，a2a7a8a136，求a6a9．②在等差数列an中，a1a4a8a12a152，求a3a13的值。解：①由条件：a6a9a7a8a2a133；

②由条件：∵2a8a1a15a4a12∴a82∴a3a132a84． 例3若 a1a2a530a6a7a1080 求a11a12a15解：∵ 6+6=11+1, 7+7=12+2……∴ 2a6a1a11,2a7a2a12……从而

(a11a12a15)+(a1a2a5)2(a6a7a10)

∴a11a12a15=2(a6a7a10)(a1a2a5)=2×8030=130一般的：若{an}成等差数列那么Sn、S2nSn、S3nS2n、…也成等差数列

例4 如图，三个正方形的边AB,BC,CD的长组成等差数列，且AD21cm，这三个正方形的面积之和是179cm。（1）求AB,BC,CD的长；（2）以AB,BC,CD的长为等差

数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？

解：（1）设公差为d(d0)，BCx则ABxd,CDxd

A

B

C

D

(xd)x(xd)21x7x7

由题意得：解得： 或（舍去）22

2d4d4(xd)x(xd)179

∴AB3(cm),BC7(cm),CD11(cm)

（2）正方形的边长组成已3为首项，公差为4的等差数列an，∴a103(101)439，∴a103921521(cm)2所求正方形的面积是1521(cm)2。

四、巩固深化，反馈矫正1.教材P37练习

2.在等差数列an中, 若 a56a815 求a1

4解：a8a5(85)d即 1563d ∴ d3从而 a14a5(145)d69333 变题：在等差数列an中，（1）若a5a，a10b 求a15；（2）若a3a8m 求 a5a6 解：（1）2a10a5a15 即2baa15∴ a152ba；（2）a5a6=a3a8m

五、归纳整理，整体认识本节课学习了以下内容： 1．A

ab

2a,A,b,成等差数列，等差中项的有关性质意义

2．在等差数列中，mnpqamanapaq（m，n，p，qN）3．等差数列性质的应用；掌握证明等差数列的方法。

六、承上启下，留下悬念

1.在等差数列{an}中, 已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 求a2＋a8及前9项和S9.解：由等差中项公式：a3＋a7＝2a5，a4＋a6＝2a5由条件a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 得5a5＝450, a5＝90,∴a2＋a8＝2a5＝180.S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9

＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝9a5＝810.七、板书设计（略）

八、课后记：

判断一个数列是否成等差数列的常用方法

1．定义法：即证明 anan1d(常数)

例：已知数列an的前n项和Sn3n22n，求证数列an成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。

解：a1S1321当n2时anSnSn13n22n[3(n1)22(n1)]6n5

n1时 亦满足∴ an6n5首项a11anan16n5[6(n1)5]6(常数)

∴an成AP且公差为6

2．中项法： 即利用中项公式，若2bac 则a,b,c成AP。例：已知1caba，1b，1c成AP，求证

ba，cb，ac

也成AP。

证明： ∵

111成AP∴

21a，b，c

b

1a

c

化简得：2acb(ac)

bc2

a2

c

aca2c

a



abaab

b(ac)c



bccac



ac



2ac

=

(ac)c)



acbcabac



(ab(ac)

2b

∴a，cab，c

也成AP

3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。

例：设数列a2

n其前n项和Snn2n3，问这个数列成AP吗？

解：n1时 a1S12n2时 anSnSn12n3,a1不满足an2n3∴ a21n

a2n3

nn2