初二几何证明（推荐13篇）
（2）如图（2）,Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AMBC,BMCN，连接AN、CM相交于点P.请你猜想∠APM=°，并写出你的推理过程.24．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G.（1）求证：EFEG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若ABa，BCb，求
EF的值． EG
24.问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=1∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；
21∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出2问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=
你的猜想，并给予证明.5.（丰台区）在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．
（1）当点O为AC中点时，①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；
②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若AO1，AC
4求OE的值．
OF
E
B F C 图1 图2 图3 F B F CA A
24． 已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF＝DE．
（1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；
（2）如图2，对角线AC与BD交于点O． BD，AC分别与AE，BF交于点G，点H．
①求证：OG＝OH；
②连接OP，若AP＝4，OP
AB的长．
图
1（1）答：
证明：
9.（房山区）（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE=CF，联结AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；
（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD.求证：①FG+BE
②∠HGF=∠HDF.图2 B AGDG
B
第24题图1 FB
E第24题图2 F
B
一、当被证明的两条线段是交于它们的端点时, 我们可以利用“等角对等边”和“中垂线的性质定理”等知识点来证明, 下面我们来看两个例题.
例1:在△ABC中, AD⊥BC于点D, 且AD平分∠BAC, 求证:AB=AC.
证明:∵ AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
又 ∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴∠B=∠C (三角形的内角和为180°)
∴AB=AC
例2:在正方形ABCD中, E为BD上任意一点, 连接EA、EC,
求证:EA=EC.
证明:连接AC交BD于点O
∵ 正方形ABCD中
∴ AC⊥BD, OA=OC
∴ BD为AC的中垂线
又 ∵点E在BD上
∴EA=EC
二、当被证明的两条线段相交时 (端点不重合) 或位置关系明显不平行时, 可以利用证明两个三角形全等的方法来证明线段相等.
例3:在平行四边形ABCD中, E为BC上一点, 且AB=AE,
求证:AC=ED.
证明:∵ 平行四边形ABCD中
∴ AD//BC, AD=CB
∴ ∠DAE=∠AEB
又 ∵ AB=AE
∴∠CBA=∠AEB
∴∠CBA=∠DAE
∴△ABC≌△EAD (SAS)
∴ AC=ED
三、当被证明的两条线段不相交时, 但是从图中可以估计位置关系为平行时, 可以考虑用证明特殊的四边形的方法来证明线段相等.
例4:如图:DB//AC, 且
求证:BC=DE.
证明:∵ E是AC的中点, DB//AC
∴四边形BCED为平行四边形
∴BC=DE
以上我们介绍了三种情况, 并不是都只能利用其中的某一种方法, 我们可以根据题目的条件利用其中的几种方法, 下面我们来看一个利用方法一和方法三解决的题目.
例5:如图:在正方形ABCD中, E为BD上一点, 过点E分别作EF⊥BC、 EH⊥DC垂足为F、H, 连接EA、HF, 求证:AE=HF.
分析:本题要证AE=HF, 如果按上述方法, 我们要证包含线段AE、HF的两个三角形全等, 显然图中没有这样的三角形, 但是根据例1的思路我们可以想到EA=EC, 从而思考是否可以利用EC作中间的转换量, 那需要证EC=HF, 从而可以发现, 只需要证明四边形EFCH为矩形即可.
证明:连接EC、AC交BD于点O
∵ 正方形ABCD中
∴ AC⊥BD, OA=OC, ∠BCD=90°
∴ BD为AC的中垂线
又 ∵点E在BD上
∴EA=EC
又 ∵ EF⊥BC、 EH⊥DC
∴∠EFC=∠EHC=90°
∴ 四边形EFCH为矩形
∴ EC=HF
一、熟记文字语言、符号语言、图形语言间的相互关系
几何证明题，体现的是文字语言、符号语言、图形语言三种语言之间的相互转化与应用。在学习几何图形的有关概念、公理、定理、性质、判定等时，不仅要理解命题中文字语言所蕴含的本质，还要熟记命题对应的符号语言和图形语言。只有将三者紧密结合，才能对几何图形的有关概念、公理、定理、性质、判定等灵活运用，进而比较顺利地写出几何证明题的推理过程。
例1：学习平行线的判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（简单说成：同位角相等，两直线平行。）我们要明确其三种语言及其本质和作用：
二、关注图形已知
有一类知识点，依托图形出现，只要有图就有其身影存在，这类知识我们可以理解为图形已知，在几何证明的推理过程中可以直接应用。例2：
三、学会“走一走，看一看”
在几何证明中常用的方法是演绎推理，演绎推理指的是从已知条件出发，根据已经学过的数学概念、公理、定理、性质等知识，顺着推理，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论的方法。在具体的证明推理中，我们要学会“走一走，看一看”。所谓“走一走”，就是从“已知”条件出发“走一走”，得“推知”；而“看一看”，则是结合“推知”看“结论”，结合“推知”“结论”看图形。这样，“边走边看”就可以顺利写出推理过程，进而推出求证的结论。
例3：如图，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于M、N。
■
求证：∠1+∠2=180°。
分析一：从“已知”条件出发“走一走”
由已知AB∥CD，可推知∠1=∠3①；
结合“推知”看“结论”：推知引出∠3，结论含有∠2；
结合“推知”“结论”看图形：图中有∠2+∠3=180°②；
由①②即可推出求证的结论∠1+∠2=180°。
分析二：从“已知”条件出发“走一走”
由已知AB∥CD，可推知∠1=∠4③；
结合“推知”看“结论”：推知引出∠4，结论含有∠2；
结合“推知”“结论”看图形：图中有∠2+∠4=180°④；
由③④即可推出求证的结论∠1+∠2=180°。
分析三：从“已知”条件出发“走一走”
由已知AB∥CD，可推知∠1+∠5=180°⑤；
结合“推知”看“结论”：推知引出∠5，结论含有∠2；
结合“推知”“结论”看图形：图中有∠2=∠5⑥；
由⑤⑥即可推出求证的结论∠1+∠2=180°。
总之，我们在做几何证明推理题时，要做到“心中有已知，眼中有图形，证明有结论”，这样就可以比较顺利地写出几何证明题的推理过程。
参考文献：
1．C如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，试说明：
(1)∠ECD＝60°；(2)CE＝AC+DC．
E
BCD
2．C如图所示，在等边三角形ABC的边BC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，连结AD、BE．求∠BAD+∠CBE的度数（要有说理的过程）． A
DCB
E3．如图，C为AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交DC于点M，BD交EC于点N． 求证：⑴AE＝BD；⑵CM＝CN．D E
M ABC
4．C如图，已知C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，AE交CD于点G，BD交CE于点H．求证：GH∥AB．
E
D
CB A
5．C如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD边上的一点，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC． 求证：DE＝EC． AD
E
BC
6．C如上图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AD＋BC＝AB．
1．C如图，在△ABC中，BF、CE相交于点O，AE＝AF，AO平分∠BAC．求证：AB＝AC．
A
E
B
2．C如图，AD＝AE，∠D＝∠E，∠1＝∠2，BE、CD相交于点O．求证：OB＝OC．
A
D
B
3．C如图，AC、BD相交于点O，AB = CD，∠BAD =∠ADC，求证：△ABO≌△DCO．D
B
4．C如图，B、C是线段AD上的两点，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF．
求证：⑴∠E＝∠F；⑵OB＝OC．
EF
CDB A
5．C如图：已知AD = BC，AC = BD，求证：∠1 =∠2．
DC
AB
6．C如图：已知AC、BD的交点O平分AC、BD，过点O引直线EF交AB、DC于点E、F，求证：OE = OF．
AD
EF
一、几何证明：
二、如上图所示为一圆锥的侧面展开平面图，有L`=
22ll①
ι`=2πr=αι
s=πι2
2②
因为αι=2πr,带入中②，得s=πrι
二、积分证明：
如上图，y=kx绕x轴旋转成为圆锥，在距离原点x的地方取微量dx，设在x处圆锥底面半径为r,且有r=kx侧有圆锥底周长l=2πkx,以此处周长近似表达x处所切得的微量的面积的底边长，则其高度h=dxkdx=kdx
ds=2πkxkdx
x
2s= 2πkxkdx=πkx222222k③ 2
22因为ι=xr=kx带入③中得： 2
S=π
四色问题的几何逻辑证明一直是诸多业内专家和数学爱好者所热衷的命题, 本文尝试用反证法, 以对图形的分类分析为切入点, 绕开具体的图形形状、大小的局限, 而考虑其相邻边的数量特征、公共交点分布、与存在内含区域可能性的必然联系.经过层层枚举, 排除所有情况, 得出四相邻的特征 (内包含) .由于内含区域的存在, 五个就不可能, 问题成立.所以本文大部分一直在探讨构筑无内含区域存在的区域之间的相邻特征.当区域数为四时, 内含区域必然出现.四色问题即成立.
一、引理部分
引理1 一个区域边界上的任何两点间均有连续不间断的两条有效边线相连.区域:即能够形成有效面积 (面积大于0) 的闭合的连通的曲线结构.任何区域必然是由连通的、不间断曲线 (包括直线) 所围成的有效面积结构.该区域上任何确定的两点A, B, 都存在唯一边线
图1:区域上任何确定的两点A, B, 都存在唯一边线
引理2 平面上的一条直线L可分平面为以直线L为界的两部分, 且只为两部分.
引理3 两个区域的公共边不能成为第三个区域的边线.或者说三个相邻的区域之间不存在共同的相邻边.或者也可以说两个区域的公共边上任何两点之间的边线不再构成其他区域的边线 (排他性) .
此引理由引理2导出, 为下文论证的主要依据.证明如下:假设两个区域的公共边可以成为第三个区域的边线, 首先将这条不规则的边线无限细分, 这样曲线就可看成由无限多个直线段组成.取其中一段, 端点为A, B.延长AB两端作直线将平面分为两部分, 记为S1, S2.S1, S2以AB为界 (引理二) .则同一平面上的区域3或在S1上, 或S2上.或两者各占其部分.取区域1边线上一点C (该点不在AB的延伸线上) 与AB构成一个三角形, 其高为h1.同理取区域2上一点D与AB构成△ABD, 其高为h2, △ABC与△ABD以AB为邻, 取区域3上一点E构成△ABE (点E不在直线AB上) , 其高为h3.则△ABE非S1即S2 (引理2) .设在S1上, △ABE和△ABC与△ABD共邻于AB, 则△ABE与△ABC为同底共面三角形.△ABE面积为
引理4 被包含区域同构成包含区域外的其他区域不相邻.
二、为证明不存在两两相邻的五个区域, 首先讨论任意两个相邻区域1, 2的相邻结构情况
(一) 包 含
图2:区域1包含区域2.
(二) 不包含相邻, 有且只有一条公共边
图3:不包含相邻, 有且只有一条公共边.
(三) 不包含相邻, 有两条以上公共边
图4:不包含相邻, 有两条以上公共边.
分析 (一) 区域1被包含于区域2中, 则区域1与区域2之外的任何其他区域不构成相邻关系.不满足五个区域两两相邻.此类型排除.
(三) 不包含相邻, 有两条以上公共边.
为便利起见, 讨论两条公共边的情况:区域1与区域2相邻于
假设存在五个互相邻区域, 那么其中的任意两个区域之间, 只有两种可能:1.无内含区域 (有, 且只一条公共边) .2.有内含区域, 且只为三个.因为假如为两个或一个, 这两个或一个为内包含区域, 根据引理4被包含区域同构成包含区域外的其他区域不相邻, 就构不成五个相邻区域.3.这两个区域之间无完整的闭合区域, 但能够与五相邻区域中其他一个或两个相邻区域共同包含另外两个或一个区域.就此本文分为两个部分探讨:1和2合为一个部分分析;3的这种可能性另述.下面先探讨三个无内含互相邻区域的特征, 完成1和2的分析.
三、三区域相邻的分析论证
(一) 一区域包含其他两个相邻区域
如图5, 或者相反, 一区域被其他两个相邻区域包含.
图5:一区域包含其他两个相邻区域.
(二) 三相邻区域中每两个区域的公共边只有一条, 且交于一点
图6:三个两两相邻区域, 各公共边为一且交于一点.
(三) (3-1) 三相邻区域中每两个区域的公共边多于一条, 且公共边不交于一点 (为几段不连通的边线) . (3-2) 三相邻区域中每两个区域的公共边多于一条, 公共边交点为一 (此种类型为不可能, 因为两个区域的公共边多于一条, 各公共边之间必然断开, 即不可能出现公共交点为一的可能, 直接排除) .
(四) 三相邻区域中每两个区域的公共边只有一条, 但不交于一点 (公共边为三段或两段不连通的边线) , 如图7.
(一) 条件下一区域包含其他两个相邻区域, 或被其他两区域包含.有内含区域, 排除.
(三) (3-1) 、 (3-2) 条件下三相邻区域中每两个区域的公共边多于一条, 根据两个区域相邻公共边多于一条, 必然存在内包含区域, 排除 (3-1) 及 (3-2) .
下面分析 (四) :公共边数量为一, 交点多于一的情况.为方便讨论, 以公共边为不连通的三段为例.如图7.
图7:公共边数量为一, 交点多于一的情况.
区域1相邻区域2为
对于这种无内含区域的三区域相邻结构, 另外两个相邻区域与其相邻, 会有什么情况呢?三个相邻区域与两个相邻区域两两相邻, 那么这三个区域必与两个中的一个两两相邻, 下面就来讨论这三个与其中一个的情况.如图8:
图8:四个两两相邻区域中必有被包含区域存在论证辅助图例.
区域1邻区域2为
四
、两个区域之间无完整的闭合区域, 但能够与五相邻区域中其他一个或两个相邻区域共同包含另外两个或一个区域
这个问题可分解为: (1) 三区域内含两区域. (2) 四区域内含一区域.四区域包含一区域的情况可将四个互相邻再分解为三个和一个.因已证明四个互相邻区域中必存在内包含区域, 所以排除这种可能性.三区域内含两区域可转化为内含之两区域同其外围三区域中任意一个区域相邻的问题.依前文分析可得这三个区域必无内含区域, 否则与其外两个必不相邻, 这样就又转化为三个互相邻的无内含区域再与第四个区域相邻的问题.返上文所述, 不再赘笔了.
综上所述, 根据引理4:被包含区域同构成包含区域的其他区域不相邻.得:不存在五个两两相邻的区域.
本文实际上一直是根据设定的已知条件反复运用区域必闭合的性质和引理3的排他性.区域必闭合, 揭示隐含的边线.引理3排除不存在的边线 (区域) , 逐步将命题引向不可能性.利用文中的四条引理, 实际上根据引理1, 3可以有更好的、更直观严密的、不同的逻辑表达方式, 因为时间关系, 不能再将它构筑得更好, 请各位同仁指正.
参考文献
[1]苏步青.拓扑学初步.上海:复旦大学出版社, 1986.
证明几何题一般需添加辅助线,所以我们在分析思考一道几何题的证明方法时,也就要考虑添加什么样的辅助线的问题(辅助线的类型分为直线型和圆型两种)。我们知道,添加有用的辅助线,能使命题的条件与结论有机联系起来,便于由此及彼。或改造原题图形,以应用某一定理;或造成新的等量,借以得到欲证的等量。那么怎样添加有用的辅助线呢?这是一个很难回答的问题。因为几何题目繁多,辅助线的添加法也多种多样,没有一定成规。为了探求添加辅助线的方法,我们不妨把常见的几何题按所需证明的结论分为若干类,一旦你决定用哪种方法来证,你就按照这种方法的要求添加辅助线。比如你要用全等三角形来证两线段(或两角)相等,你就添加辅助线构造全等三角形。你要用“两平行线被第三线所截,同位角相等内错角相等”来证两角相等,你就要添加平行线。
常常有这样的情形,对某一几何题,我们一时还不知道该用哪种方法来证,或者也知道需用某种方法,但走了几步后,走不下去了,该怎么办呢?这时你仔细检查一下题设条件,或许能从中得到某种启发,因为题设条件常常暗示了添加辅助线的方法,比如有以下几种情况:1.题设条件有线段的中点,常作中位线中线或弦心距;2.题设条件中有三角形的中线,常作平行四边形(只需将中线延长一倍或三分之一);3.题设条件中有直径,常作出直径上的圆周角(是直角);4.两圆相交,常作公共弦(此公共线把两圆联系起来,便于找到等量关系,比如说,在两圆内可找到这弦所对的圆周角);5.两圆相切,常作连心线(它通过切点)和公切线(可在两圆内找到等于弦切角的圆周角);6.给了线段的垂直平分线,常利用“线段垂直平分线上的点,到线段两端的距离相等”;7.给了角平分线,常利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”;8.给了切线,常作过切点的半径(它垂直于切线);9.多边形常用的辅助线是对角线,把多边形分成若干三角形,然后应用三角形有关的定理去解决;10.有关梯形问题,常用的辅助线是由小底两端作大底的垂线,或由小底一端作一腰的平行线;或作另一对角线的平行线等。
只要我们熟练地掌握了所学过的定义、公理和定理,做过一定数量的练习题,并注意不断总结经验,就可以从中体会到添加“辅助线”的规律性。当然这种规律性是无法用三言两语概括起来的。是不是添加辅助线就可以万事大吉?其实,也不是这样,添加辅助线只是打开了我们的解题思路。只要我们大家多多交流各自的点滴体会,就可使点滴之水汇成江河,突破中学数学中平面几何这个薄弱的环节。
1、已知ΔABC，AD是BC边上的中线。E在AB边上，ED平分∠ADB。F在AC边上，FD平分∠ADC。求证：BE+CF＞EF。
1、已知ΔABC，BD是AC边上的高，CE是AB边上的高。F在BD上，BF=AC。G在CE延长线上，CG=AB。求证：AG=AF，AG⊥AF。
3、已知ΔABC，AD是BC边上的高，AD=BD，CE是AB边上的高。AD交CE于H，连接BH。求证：BH=AC，BH⊥AC。
4、已知ΔABC，AD是BC边上的中线，AB=2，AC=4，求AD的取值范围。
5、已知ΔABC，AB＞AC，AD是角平分线，P是AD上任意一点。求证：AB-AC＞PB-PC。
6、已知ΔABC，AB＞AC，AE是外角平分线，P是AE上任意一点。求证：PB+PC＞AB+AC。
7、已知ΔABC，AB＞AC，AD是角平分线。求证：BD＞DC。
8、已知ΔABD是直角三角形，AB=AD。ΔACE是直角三角形，AC=AE。连接CD，BE。求证：CD=BE，CD⊥BE。
9、已知ΔABC，D是AB中点，E是AC中点，连接DE。求证：DE‖BC，2DE=BC。
10、已知ΔABC是直角三角形，AB=AC。过A作直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E。求证：DE=BD-CE。
四边形
1、已知四边形ABCD，AB=BC，AB⊥BC，DC⊥BC。E在BC边上，BE=CD。AE交BD于F。求证：AE⊥BD。
2、已知ΔABC，AB＞AC，BD是AC边上的中线，CE⊥BD于E，AF⊥BD延长线于F。求证：BE+BF=2BD。
3、已知四边形ABCD，AB‖CD，E在BC上，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，若AB=2，CD=3，求AD。
4、已知ΔABC是直角三角形，AC=BC，BE是角平分线，AF⊥BE延长线于F。求证：BE=2AF。
5、已知ΔABC，∠ACB=90°，AD是角平分线，CE是AB边上的高，CE交AD于F，FG‖AB交BC于G。求证：CD=BG。
6、已知ΔABC，∠ACB=90°，AD是角平分线，CE是AB边上的高，CE交AD于F，FG‖BC交AB于G。求证：AC=AG。
7、已知四边形ABCD，AB‖CD，∠D=2∠B，若AD=m，DC=n，求AB。
8、已知ΔABC，AC=BC，CD是角平分线，M为CD上一点，AM交BC于E，BM交AC于F。求证：ΔCME≌ΔCMF，AE=BF。
9、已知ΔABC，AC=2AB，∠A=2∠C，求证：AB⊥BC。
10、已知ΔABC，∠B=60°。AD，CE是角平分线，求证：AE+CD=AC
全等形
1、知ΔABC是直角三角形，AB=AC，ΔADE是直角三角形，AD=AE，连接CD，BE，M是BE中点，求证：AM⊥CD。
2、已知ΔABC，AD，BE是高，AD交BE于H，且BH=AC，求∠ABC。
3、已知∠AOB，P为角平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，求证：AO+BO=2CO。
4、已知ΔABC是直角三角形，AB=AC，M是AC中点，AD⊥BM于D，延长AD交BC于E，连接EM，求证：∠AMB=∠EMC。
5、已知ΔABC，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD⊥EF。
6、已知ΔABC，∠B=90°，AD是角平分线，DE⊥AC于E，F在AB上，BF=CE，求证：DF=DC。
7、已知ΔABC，∠A与∠C的外角平分线交于P，连接PB，求证：PB平分∠B。
8、已知ΔABC，到三边AB，BC，CA的距离相等的点有几个？
9、已知四边形ABCD，AD‖BC，AD⊥DC，E为CD中点，连接AE，AE平分∠BAD，求证：AD+BC=AB。
1、△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数为（）
A35°B40°C70°D110°
2、三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（）
A1 个B2 个C3个D不确定
3、适合条件∠A =∠B =1∠C的三角形一定是（）
3A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D任意三角形
4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）
A①②④B②④C①④D②③
5、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）
AAD＝AEB∠AEB＝∠ADC CBE＝CDDAB＝AC
E
A(第5题图)(第6题图)
6、如图，⊿ABC⊿FED，那么下列结论正确的是（）
AEC = BDBEF∥AB
CDE = BDDAC∥ED7、等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（）
A17B22C13D17或228、有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形（）
A必定全等B必定不全等C不一定全等D以上答案都不对
9、以下命题中，真命题的是（）
A两条直线相交只有一个交点B同位角相等
C两边和一角对应相等的两个三角形全等D等腰三角形底边中点到两腰相等
10、面积相等的两个三角形（）
A必定全等B必定不全等C不一定全等D以上答案都不对
二、耐心填一填：
11、如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是.12、⊿ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A + ∠
B还大12，那么∠B =度
13、在方格纸上有一三角形ABC，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是三角形
.(第12题图)(第13题图)
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14、如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB。
15、等腰直角三角形一条直角边的长为1cm，那么它斜边长上的高是cm.16、在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：
17、在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是.18、已知⊿ABC中，∠A = 90，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC =
三、细心做一做：（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
19、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，求∠ABC的度数是
20、如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD
∶
DC=
2∶1，BC=7.8cm，求D到AB的距离
21、已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC
第 20页 022、已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.23、已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E为梯形外一点，且AE=DE.求证：BE=CE．
四、勇敢闯一闯：（本大题共 2小题，每小题
8分，共
16分）
24、已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.求证：D在∠BAC的平分线上.第 21页
25、已知：如图，D是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF。当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明.26、如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点F。
(1)求证：AN=BM；
(2)求证： △CEF
为等边三角形；
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转900，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）
关键词 思维 几何证明 逻辑语言 理解记忆
中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）19-0027-02
数学是思维的体操，数学教育离不开思维。战斗在教学一线的数学教师都知道初中阶段的学生刚接触几何证明大多数学生就算背得定理也不会用，或解决问题时找不到思路，或找到思路不会书写，要学好几何证明题，关键是顺利闯过几何证明题入门这一关。如果能把握好了这一步，就可以顺利地进行几何这门学科的学习。
一、几何定理的理解、记忆、应用
多数学生记忆几何定理都是死记硬背，就算背下来了也很容易混淆、容易遗忘，而且不会使用，如：平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形的性质、判定，就非常容易混淆，所以光凭死记硬背是不行的，针对这种情况本人在几何定理教学时坚持每一个定理都讲清由来，解释意思，配合图形并转化为逻辑语言。理解是记忆、应用的基础，只有理解了才能记得清、不混淆、记得牢，没有理解的定理更是谈不上应用的，当然记忆当中没有的定理也不可能会想到去用它。为帮助学生理解、记忆、应用定理，在教学中本人坚持每个定理都做到定理、图、逻辑语言配套教学，学生配套记忆。
下面本人以“线段的垂直平分线性质定理”的教学为例说明具体做法
1.帮助学生理解并记住定理。
（1）突破文字语言的理解记忆：
“线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。”
①将定理分解出条件与结论，条件是：线段垂直平分线线上的点、点到这条线段两端点的距离。结论是：距离相等。
②将定理分层次理解，分层方式如下：
如此理解学生记忆时就可以将定理记作“点到点的距离相等”再联系记忆其中的“点”“点”“距离”分别是什么。这样学生就能理解并记住定理的文字叙述。
（2）将定理由文字语言转化为图形语言理解记忆：根据定理作图如下：①作线段AB；②作线段AB的垂直平分线MN交AB于点O；③在直线MN上任取一点P，连接PA、PB。在这步教学时就要强调几何语言的规范使用，养成规范使用几何语言的好习惯，那么以后准确理解几何语言的意思就不难了。
（3）将定理由文字语言转化为符号语言理解记忆：结合上图，角平分线的性质定理可转化为如下符号语言：
∵MN是线段AB的垂直平分线
∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
如此将定理的文字语言、图形语言、符号语言三者结合起来记忆，就可以理解并牢牢的记住定理了。图形直观，看到类似的图形就能联想到这条定理；文字叙述方便记忆，逻辑语言片段为书写证明过程提供“好词好句”。
2.应用定理解决问题难关有2个：①找不到解题的思路；②有思路但不能正确完整的用逻辑语言呈现。
（1）对第①个难关的解决办法：首先要读懂题目，读题目要分粗读和细读，至少读两遍，刚开始或复杂的问题需要读三遍。第一步：先粗读一遍题目了解题目的大致意思，初步了解题目中已知告诉了什么，要求或求证什么；第二步：第二遍细读题目，细读时要对照图形做到读题目时每一句话都要理解意思并联系所有有关定义、性质、定理，利用综合法将所有能得到的结论呈现出来，简洁的标注在图上或写在草稿上，读到结论时同样简洁的标注在图上或写在草稿上；第三步：再细读题目，结合第二遍细读时将所得到的结论互相联系、结合，看是否又能联系什么定理，推理进一步得到结论（即用“综合法”分析问题寻找思路）。再读到结论时利用“分析法”逆向思维，根据哪些定理可以得到这样的结论，一步一步逆向推理，寻找已知中能得到的条件与结论之间的关联。通常我们都需要“综合法”“分析法”两种方法结合使用“两头凑"来将思路贯通。第三步细读题目的主要目的是将前面得到的条件与结论进行联系融会贯通思路。是一个整理思路的过程，也是解决问题的关键，前面的两遍都是为第三遍打基础。遇到将前面得到的条件与结论进行联系还是不能融会贯通思路时就需要再读题目看是否有隐含的条件被遗漏导致找不到思路。在问题简单或运用熟练的情况下第二步与第三步可以合并为一步完成，第二步与第三步并不是严格分开的。
本人以下题为例详细说明具体做法：
如图：已知P是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D，求证：①∠PCD=∠PDC；②OP是CD的垂直平分线。 （注七年级练习）
第一遍粗读题目 ，初步了解题目中已知两个条件①OP平分∠AOB，OP是角平分线；②PC⊥OA，PD⊥OB，有两个直角；要求证两个结论①∠PCD=∠PDC，两角相等；②OP是CD的垂直平分线，即垂直又平分线，也即有直角同时交点也是中点。
第二遍细读题目：对照图形读题目，读到点P是∠PDC平分线上的一点，要想到角平分线定义与角平分线性质定理，可以得到
∵点P是∠AOB平分线上一点
∴∠AOP=∠BOP=∠AOB
并将可得结论标注在图上
读到PC⊥OA、PD⊥OB，垂足为C、D，想到垂直定义及与角平分线结合又有角平分线性质定理，于是有：
①∵PC⊥OA、PD⊥OB
∴∠PCA=∠PDB=90O（垂直定义）
②∵点P是∠AOB平分线上一点
又∵ PC⊥OA，PD⊥OB
∴PC=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）
再读到求证∠PCD=∠PDC，想到可以推得两角相等的定理有等腰三角形的两底角相等和全等三角形对应角相等，与已知可得的条件结合发现PC=PD，⊿PDC是等腰三角形于是第①问的已知与求证取得了联系思路完成。
继续读题目，②OP是CD的垂直平分线，想到证明垂直平分线的根据目前只有定义（垂直一条线段并平分这条线段的直线就是这条线段的垂直平分线）根据定义，需要证明OP⊥CD或PE是⊿PCD中CD边上的高，即∠PEC=90埃暗鉋是CD的中点或CE=DE或PE是⊿PCD中CD边上的中线，想到PE是⊿PCD中CD边上的中线、PE是⊿PCD中CD边上的高再与前面得到的⊿PCD是等腰三角形就想到了等腰三角形三线合一，于是需要证明PO平分∠CPD即∠CPO=∠DPO，可通过证明三角形全等得到对应角相等，那么包含∠DPE与∠CPE的三角形有⊿CPO与⊿DPO或⊿CPE与⊿DPE，结合图形中标注的条件发现⊿CPO与⊿DPO是直角三角形有PC=PD、PO=PO，满足 “HL" 即可得到三角形全等到这思路就全部畅通。
（2）解决难关②，第一步：整理思路拟出大纲，第二步：根据大纲细化逻辑语言。
第一步：整理思路拟出大纲：第①问：
二、书写问题
关键词：思路剖析,一题多解,思维突破,通性通法
对试题的研究是教师在教学和复习中经常做的一件事,通过研究把蕴含其中的数学思想方法揭露出来,挖掘出问题的本质属性.这样可以提高学生的空间想象、逻辑思维能力,分析和解决问题的思维技能,优化数学的思维品质,而且还可以培养学生探索创新的能力.下面,笔者通过实例进行探讨.
一、试题呈现
题目:如图1,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC绕顶点B旋转至△A′BC′,设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D.
(1)求证:AD=A′D;
(2)若AC=4,BC=3,AD∥BC,求∠CBC′的正切值.
这是某地区几所联盟学校初三模拟考试的一道试题.经了解,只有极少数学生能证明,有的学校甚至全军覆没.是什么原因导致这样的结局呢?这可从命题者提供的参考解答里找到原因.以下是命题者提供的解答过程.
(1)证明:连结BD,如图2,由旋转可得:BC=BC′,BA=BA′,∠CBC′=∠ABA′,所以,所以△BCC′∽△BAA′,所以∠BCC′=∠BAA′.因为∠BOC=∠DOA,所以△BOC∽△DOA.所以∠ADO=∠OBC,.因为∠BOD=∠COA,所以△BOD∽△COA,所以∠BDO=∠CAO.因为∠ACB=90°,所以∠CAB+∠ABC=90°,所以∠BDO+∠ADO=90°,即∠ADB=90°.又因为BA=BA′,∠ADB=90°,所以AD=A′D.
(2)略.
二、解法探究
从命题者提供的解答过程来看,是由条件BA=BA′联想到等腰三角形,进而想到证明BD为底边AA′的高.思路是顺畅的,也无可厚非,但证明用了3次三角形相似,显然超过了课程标准要求.这促使笔者深思、细研,思索着有没有其他解法.
结合本题,结论是证明D为AA′的中点,那么,遇到中点问题(已知中点或证明中点),我们还可以想到什么呢?从另一角度考虑,是否可以构造“8”字型或“A”字型或其他思路,这难道不是通性通法呢?沿着这样的思路试探.
思路1:构造“8”字型,证三角形全等.
因为点D不是已知的中点,而是要证明的中点,加倍CD不能奏效,故考虑过点A作AG∥AC′与C′D的延长线交于点G(如图3).只要在△AGD与△A′C′D中,证明AG=A′C′或GD=C′D即可.因为A′C′=AC,只要证明AG=AC,即证明∠G=∠ACG.显然∠G=∠A′C′D,而∠DC′A′+∠CC′B=90°,∠ACG+∠C′CB=90°,又∠BCC′=∠BC′C,所以∠G=∠ACG,进而可证△ADG≌△A′C′D(AAS),所以AD=A′D成立.
思路2:构造等腰三角形,证三角形全等.
因为点D不是已知的中点,而是要证明的中点,加倍CD不能奏效,故考虑以点A′为圆心,A′C′长为半径画弧,交CD的延长线于点G(如图4).显然△A′C′G是等腰三角形,即A′C′=AG,∠G=∠A′C′G.由思路1分析可知,∠A′C′G=∠ACD,又A′C′=AC,所以易证△ACD≌△A′GD(AAS),所以AD=A′D成立.
思路3:构造三角形全等,证等腰三角形.
因为点D不是已知的中点,而是要证明的中点,加倍CD不能奏效,故考虑在CC′上找一点G,使CG=C′D(如图5).由思路1分析可知,∠A′C′D=∠ACG,所以△ACG≌△A′C′D(SAS),所以AG=A′D,∠AGC=∠A′DC′.进而可知∠AGD=∠ADG,所以△AGD是等腰三角形,所以AG=AD,所以AD=A′D成立.
思路4:添两条垂线,构造三角形全等.
因为点D不是已知的中点,而是要证明的中点,加倍CD不能奏效,故考虑过点A,A′分别作CD的垂线,交CD(或延长线)于点M,N(如图6).由思路1分析可知,∠ACM=∠A′C′N,所以Rt△ACM≌Rt△A′C′N(AAS),所以AM=A′N,进而证得Rt△AMD≌Rt△AND(AAS),所以AD=A′D成立.
思路5:构造“四点共圆”,利用对角互补证垂直.
由旋转可知CB=C′B,AB=A′B,∠CBC′=∠ABA′,所以易知∠C′CB=∠A′AB,进而可知点A,C,B,D四点共圆(如图7).所以∠ADB+∠ACB=180°,而∠ACB=90°,所以∠ADB=90°,即BD为等腰△BAA′底边上的高,所以AD=A′D成立.
三、解题反思
(一)关注解题通法增强学生的解题能力
优秀的几何题一般存在多种解法,而辅助线通常是解决问题的桥梁.巧妙的辅助线常能“柳暗花明又一村”,与标准答案不同的上述几种解法,其巧妙之处在于添加了辅助线,辅助线使未知与已知有了更紧密的联系,无须通过证明3次相似,证明过程大为简洁,体现了数学方法的多样性.同时也从侧面说明这是一道难得的好题,是训练学生数学思维的好素材.由此可见,通过一题多解,可以加深和巩固学生所学知识,充分运用学过的知识,从不同的角度思考问题,采用多种方法解决问题,这有利于学生加深理解各部分知识横向和纵向的内在联系,掌握各部分知识的转化关系,从而达到培养思维广阔性的目的.
(二)重视学会解题拓展学生的思维空间
在解题教学中,题目是载体,解题是过程,方法和规律的揭示、策略和思想的形成是目的,因此,解题教学切忌就题论题,片面追求容量,忽视教学功能的发掘与开发.引导学生学会解题层面的回顾与反思:如解题中用到了哪些知识?解题中用到了哪些方法?这些知识和方法是怎样联系起来的?自己是怎么想到它们的?困难在哪里?关键是什么?遇到什么障碍?后来是怎么解决的?是否还有别的解决方法、更一般的方法或更特殊的方法、沟通其他学科的方法、更简单的方法?这些方法体现了什么样的数学思想?调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略?
(三)关注模型思想强化学生的识模能力
1．如图，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE∥AC，EF∥AB，下面写出了说明“∠A+∠B+∠C＝180°”的过程，请填空：
因为DE∥AC，AB∥EF,所以∠1＝∠，∠3＝∠．（）
因为AB∥EF，所以∠2＝∠___．（）
因为DE∥AC，所以∠4＝∠___．（）
所以∠2＝∠A（等量代换）． BD12ECAF
因为∠1+∠2+∠3＝180°，所以∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换）．
2．如图，长方形ABCD，E为AB上一点，把三角形CEB沿CE对折，设GE交DC于
点F，若∠EFD＝80，求∠BCE的度数． 0AEB
D G
3如图12，AB∥CD，需增加什么条件才能使∠1=∠2成立？（至少举出两种）
4．（本题12分）如图14，AB∥CD，BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，试问∠M与∠N之间的数量关系如何？请说明理由．
图
4C
5．（本题13分）如图15，已知∠B=∠C．
（1）若AD∥BC，则AD平分∠EAC吗？请说明理由．
（2）若∠B+∠C+∠BAC=180°，AD平分∠EAC，则AD∥BC吗？请说明理由．
图
56.如图(18),ABA⊥BD,CD⊥MN,垂足分别是B、D点,∠FDC=∠EBA.(1)判断CD与AB的位置关系;
(2)BE与DE平行吗?为什么?
F
E
A
M
7.如图(19),∠1+∠2=180°,∠DAE=∠BCF,DA平分∠BDF.(1)AE与FC会平行吗?说明理由.(2)AD与BC的位置关系如何?为什么?
(3)BC平分∠DBE吗?为什么.F
B
N
A
B
E例4（2006年山东省中考题）如图，已知12，34，5C，求证：AB∥DE．
D3B
E
F2
C
9（2006年北京市海淀区中考题）如图所示，已知DE∥BC，12，试说明CD是ECB的平分线．
A
D
EB
10如图，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，请说明AB∥CD的理由.D
C
A
B
11如图，EF∥AD，∠1 =∠2，∠BAC = 70°。将求∠AGD的过程填写完整。
12已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，∠A=∠F相等吗？试说明理由（10分）
FED
H
G 1
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