运筹学基础教学大纲（推荐8篇）
复习题
一、选择题1．下列叙述正确的是()A．线性规划问题，若有最优解，则必是一个基变量组的可行基解 B．线性规划问题一定有可行基解
C．线性规划问题的最优解只能在极点上达到
D．单纯形法求解线性规划问题时每换基迭代一次必使目标函数值下降一次
2．对于m个发点、n个收点的运输问题，叙述错误的是()A．该问题的系数矩阵有m×n列 B．该问题的系数矩阵有m+n行 C．该问题的系数矩阵的秩必为m+n-1 D．该问题的最优解必唯一
3．对于供需平衡的运输问题和供需不平衡的运输问题，其结构模型是()A．相同的 B．不同的
C．与线性规划的模型结构一样的 D．无法求解的
4．活动时差主要包括()A．总时差、专用时差、线段时差 B．总时差、专用时差、局部时差 C．专用时差、线路时差、局部时差 D．线路时差、结点时差、总时差
5．计算公式不正确的是()A．ESi,j=Esi B．EFi,j=ESi+Ti,j C．LFi,j=LFj D．EFi,j=LSi,j+Ti，j
6．设某商店根据统计资料，建立某商品的进价与售价的一元线性回归方程为y=1.471+1.2x，其中x、y分别表示进价与售价(单位：元)。已知下个月的预计进价为10元，则由此方程得下个月的预测售价为()A．13.471元 B．10.529元 C．9.649元 D．10.471元
7．如果在时间序列的数据中存在着梯级形变化时，为提高预测的精度，应采用的方法是()A．回归分析法 B．指数平滑法
C．加权移动平均法 D．多重滑动平均法
8．不适用在不确定条件下进行决策的方法是()A．最大最小决策标准 B．现实主义的决策标准 C．最小期望损失值标准 D．乐观主义决策标准
9．某公司计划录制一位新歌星的唱片，具体的收益值表如题4表。若用最大最小决策标准作决策时，在销路一般状态下，以较高价格出售时的年遗憾值为()销售状态 销路较好 销路一般 可行方案
较高价格出售年收益值（万元）9 3 较低价格出售年收益值（万元）7 5 A．3 B．2 C．6 D．4 10．若某类存货台套占全部存货台套数的60%，但其需用价值只占全部存货需用价值的10%，则称该类存货台套为()A．A类存货台套 B．B类存货台套 C．C类存货台套 D．ABC类存货台套
11．在求最大流量的问题中，已知与起点相邻的三节点单位时间的流量分别为10，12，15，则终点单位时间输出的最大流量应()A．等于27 B．大于或等于37 C．小于37 D．小于或等于37
12．下列矩阵中，不可能成为平衡概率矩阵的是()
13．计划成本()A．随销售量成比例变化 B．与销售量无关
C．随销售量成阶梯式变化 D．是预付成本的一部分
14．记V′为单件可变成本，V为总可变成本，F为固定成本，Q为产量，则()A．V=QV′ B．V′=QV C．V′=F/Q D．V′=(F+V)/Q
15．某工程的各道工序已确定，为使其达到“成本最低、工期合理”的要求，进行优化时应采用()A．网络计划技术 B．数学规划方法 C．决策树方法 D．模拟方法 答案: ADBBDADCBCDCCAA 16.下述选项中结果一般不为0的是（）
A.关键结点的结点时差 B.关键线路的线路时差
C.始点的最早开始时间 D.活动的专用时差
17.时间优化就是在人力、材料、设备、资金等资源基本上有保证的条件下，寻求最短的工程周期。下列方法中不能正确缩短工程周期的是（）
A.搞技术革新、缩短活动，特别是关键活动的作业时间
B.尽量采用标准件、通用件等
C.组织平行作业
D.改多班制为一班制
18.一般在应用线性规划建立模型时要经过四个步骤：
（1）明确问题，确定目标，列出约束因素
（2）收集资料，确定模型
（3）模型求解与检验
（4）优化后分析
以上四步的正确顺序是（）
A.（1）（2）（3）（4）B.（2）（1）（3）（4）
C.（1）（2）（4）（3）D.（2）（1）（4）（3）
19.求解需求量小于供应量的运输问题不需要做的是（）
A.虚设一个需求点
B.令供应点到虚设的需求点的单位运费为0 C.取虚设的需求点的需求量为恰当值
D.删去一个供应点
20.以下各项中不属于运输问题的求解程序的是（）
A.分析实际问题，绘制运输图
B.用单纯形法求得初始运输方案
C.计算空格的改进指数
D.根据改进指数判断是否已得最优解 21.下列向量中的概率向量是（）
A.（0.1，0.4，0，0.5）B.（0.1，0.4，0.1，0.5）
C.（0.6，0.4，0，0.5）D.（0.6，0.1，0.8，-0.5）22.当企业盈亏平衡时，利润为（）
A.正 B.负
C.零 D.不确定
23.记M为产品价格，V’为单件可变成本，则边际贡献等于（）
A.M+ V’ B.M-V’
C.M* V’ D.M/ V’
24.在不确定的条件下进行决策，下列哪个条件是不必须具备的（）
A.确定各种自然状态可能出现的概率值
B.具有一个明确的决策目标
C.可拟订出两个以上的可行方案
D.可以预测或估计出不同的可行方案在不同的自然状态下的收益值
25.下列说法正确的是（）
A.期望利润标准就是现实主义决策标准
B.最小最大决策标准是乐观主义者的决策标准
C.确定条件下的决策只存在一种自然状态
D.现实主义决策标准把每个可行方案在未来可能遇到最好的自然状态的概率定为1 26.若某类剧毒物品存货单元占总存货单元数的10%，其需用价值占全部存货需用价值的15%，则由ABC分析法应称该存货单元为（）存货单元。
A.A类 B.B类
C.C类 D.待定
27.模拟是能产生一种（）答案的方法。
A.估算 B.最优
C.精确 D.随机
28.最小二乘法是使（）达到最小。
A.误差和 B.误差平方
C.误差平方和 D.误差和的平方
29.相对而言，下列哪种商品销售量预测较少考虑季节变动趋势（）
A.大米 B.羊毛衫
C.冰淇淋 D.空调
30.以下叙述中，不正确的是（）
A.树的点数为线数加1 B.树的任意两点间只有一条路
C.图的点数大于线数 D.任何不连通图都不是树 答案: DDADBACBACAACAC
二、填空题 31．设R为线性回归方程y=a+bx所联系的因变量y与自变量x之间的相关系数，当R=_______________时，y与x之间完全相关。
32．若用图来表示某排球单循环赛中各队的胜负情况，则可用点表示运动队，用_______________表示它们间的比赛结果。
33．风险条件下的决策是指存在一个以上的自然状态，并且决策者具有提供将_______________值分配到每个可能状态的信息。34．模拟方法的缺点之一是一个良好的模拟模型可能是非常_______________的。
35．除图解法外，常用的求解线性规划问题的方法是_______________法。
36．某些运输问题会出现数字格的数目小于行数+列数-1的现象，这种现象称为_______________现象。
37．判断预测法一般有特尔斐法和_______________两种。
38．箭线式网络图是由活动、结点和_______________三部分组成。
39．设P为概率矩阵，则当n→∞时，Pn称作P的_______________。
40．生产能力百分率是指在盈亏平衡点的销售量与_______________之比。
答案: 31．1，-132．有向线33．概率34．昂贵35．单纯形36．退化37．专家小组法38．线路39．固定概率矩阵40．总生产能力
41.经多次研究试验后，马尔柯夫发现：第n次试验的结果，常常由第 次试验的结果所决定。
42.凡利用以往的时间序列数据来推算事物发展趋势的方法叫.43.普赖姆法是用于解决 问题的。
44.对某个存货台套而言，经济订货量就是使 达到最低的订货批量。
45.运用模拟方法的原因之一是因为不可能有足够的 来操作所要研究的系统。
46.线性规划问题的数学模型中目标函数和约束函数都是 函数。
47.用表上作业法求解总运输成本最小的运输问题时，当各个空格的改进指数都 0时，已得最优运输方案。
48.企业经营达到盈亏平衡点时，与总成本相等。
49.在风险条件下的决策中，与最大期望收益值标准相对应的一种标准是.50.在箭线式网络图中，不消耗资源，也不占用时间的活动称为.41．n-142．外推法43．最小枝叉树44．总存货费用45．时间46．线性47．大于或等于48．总销售额49．最小期望损失值标准50．虚活动
三、名词解释51．因果法 52．可行基解 53．关键结点 54．概率矩阵 55．均匀随机数
答案：51．是指利用事物内部因素发展的因果关系来预测事物发展趋势的方法。常用的因果法有回归分析法、经济计量法、投入产出分析法等。52．当基解满足非负要求时叫做可行基解。53．是指结点时差等于0的结点。54．是指一方阵P中，如果其各行都是概率向量，则称此方阵为概率矩阵。55．是指均匀分布随机变量的抽样序列数，是随机数中最基本的一种。
56.定性决策
57.专家小组法
58.线性规划的可行解
59.箭线式网络图的线路
60.模拟 答案：56．基本上根据决策人员的主观经验或感受到的感觉或知识而制定的决策。57．是在接受咨询的专家之间形成一个小组，面对面的进行讨论与磋商，最后对需要预测的问题得出比较一致的意见。58．凡满足约束条件的解。59．从网络的始点开始沿着箭线的方向，中间经过互相连接的结点与箭线，到网络终点的一条连线。60．模拟又称仿真，它的基本思想是构造一个试验的模型，这个模型与我们所研究系统的主要性能十分近似。通过对这个模型的运行，获得所研究系统的必要信息和结果。
四、计算题：(此处有一部分图形不能显示,完整题目见2004年上半年和2006年上半年国考题)61．设某商品第t期实际价格为500元，用指数平滑法得到第t期预测价格为480元，第t+1期预测价格为488元。(1)试确定平滑系数；
(2)若商品价格是看涨的，选取的平滑系数是否合理 应如何选取平滑系数
62．某厂年产推土机500台。每台推土机须配置外购的柴油发动机1台，单价为10000元。若已知柴油发动机的经济订货量为100台/次，每次的订货费用是3000元。试求其年保管费用率和年保管费用。
63．某厂用A(80)，B(60)两种资源生产甲、乙两种产品，设x1,x2分别为甲、乙的计划产量，为使该厂获得最大利润，建立了线性规划
答案：61．(1)α=(Ft+1-Ft)/xt-Ft)=(488-480)/(500-480)=0.4(2)不合理；应选α接近于1或大于1。62．(1)设柴油发动机的年保管费用为p，由经济订货量公式可知：1002=（2×500×1000×3000/（100002P）P=0.03，即柴油发动机的年保管费用率为3%。(2)柴油发动机年平均存货总额为：10000×（100+0）/2=500000柴油发动机年保管费用为： 500000×3%=15000元因所有检验数均已小于或等于0，故有最优方案：x1=16，x2=12（2）将最优方案值代入模型，两约束均为等式，故两种资源均用尽。
64.某地区前三个的茶叶销售量的实际值见下表。此外，根据专家估计，第一的销售量预测值为350千克。试用指数平滑法，取α=0.8，预测第四个的茶叶销售量。
1234实际销售量（千克）400345415 65.某汽车制造厂年产小汽车1000辆。每辆小汽车须配置外购发动机1台，单价为10000元。已知发动机的经济订货量为100台/次，订货费用是3000元 /次，年保管费用率为6%.供货商提出，该厂若能每次订200台发动机，则他们将给予优惠：发动机的单价由10000元/台降至9500元/台。假定不考虑发动机的保管损耗，试问该厂是否应接受此项数量折扣，将发动机的订货批量提高到200台/次？
传统教学模式与应用理论知识处理现实问题存在冲突。运筹学是一门实践性很强的学科, 然而目前运筹学课程的教学仍然停留在传统的模式上, 过于注重定义的解释、定理的推导、手工的演算等培训内容, 缺乏对运筹学应用和分析问题、解决问题的方法的讲授, 培养出的学生也普遍存在“眼高手低”的现象。学生对运筹学的基本理论、模型及其求解方法多有较为良好的掌握, 但当运用所学知识去分析和解决实际问题时, 却都显得茫然无措、无从下手, 甚至许多学生在学了运筹学之后, 感觉不到运筹学的实际应用价值。教学方式上, 也一直延用着传统单一的“传授式”教学方法。作者认为, 解决上述问题, 首先要改善教学方法:
1.鼓励和引导学生在探索中学习。改变过去传统单一的“传授式”教学方法, 将启发式、讨论式等多种灵活生动的教学方法应用到课堂教学之中, 通过具有启发性的运筹学建模例题, 对学生进行启迪, 引发其创意, 使学生在对示例的挖掘思考中进行学习, 探索其中带规律性的认识, 将感性认识升华到理论高度。
2.重点突出。该门课程是专业技术基础课, 授课原则是“抱西瓜”而不是“捡芝麻”, 重点放在运筹思路、建模、算法、解决实际问题的构思和系统上。利用高深的数学理论和花费大量的时间来推导运筹学的一个定理, 将运筹学变为“运筹数学”, 学生的收获甚微, 反而降低了他们学习的积极性。要求学生在课堂上积极思考, 尽量当堂学懂, 突出利用计算机进行运算, 使学生提高利用运筹学的思想分析问题, 利用计算机作为工具来解决问题。
3.强化实践。运筹学解决管理问题是高强度的脑力劳动, 不是听会的, 也不是看会的, 而是练会的。只有让学生到实践中去, 让自己动脑、自己动手, 才会有成就感, 所以在运筹学的教学中, 除理论课外, 还要安排学生到生产部门或管理部门中实践, 针对存在的运筹问题提出、建模、求出优解、实施对策分析、经济效益分析, 使学生亲身感受到学习本课程的实用价值。因此, 作者认为这种课程设计应得到进一步加强。
课堂内容真正做到以学生为本。目前, 大多数教师还是沿用传统的授课模式, 整堂课都在为学生灌输知识, 不仅难以保证课堂质量, 还会束缚学生思维的能动性。作者认为, 教学过程中, 更应该重视对学生积极性的培养, 做到课堂以学生为主, 教师的任务就是做好学生的引导工作。例如在线性规划的原问题与对偶问题的关系这一节我没有在课堂上直接向学生灌输基本知识, 而是通过以下方式组织教学的。用矩阵形式写出原问题以及对偶问题, 通过比较, 你可以发现什么规律?学生可以自己通过比较, 对两者的关系进行分析, 大都能通过比较分析从中发现它们之间异同点以及规律, 归纳出线性规划问题与其对偶问题之间的一般结论。然后让他们自己练习以下两个问题: (1) 根据上述对偶问题作为原问题, 按照上面总结的对应关系写出其对偶问题。 (2) 给出任意一个一般的线性规划问题, 请写出它的对偶问题。在此基础上, 结合书本关于对偶问题的基本性质进一步给出以下两个问题: (1) 对上述互为对偶的线性规划问题分别求解, 将两个问题的最终单纯形表进行比较, 观察两个问题变量之间的关系。 (2) 从对偶问题的基本性质出发, 试着讨论原问题及其对偶问题的可行解之间的关系。学生通过对比学习, 渐进地掌握了这种具有结构关联的知识, 更好地掌握了解决问题的过程。这种课堂教学使得学生始终处于积极探索的主动状态, 激发了学生的求知欲和创新意识, 从而全面提高了学生的数学素养, 使得一每位同学都能得到锻炼和提高。
运用现代信息技术辅助教学。以往教学实践中, 学生都是用手工进行计算, 工作量很大, 而且有一些重复计算。现在我们借助程序, 让学生用手工进行一部分计算, 这是为了让学生巩固计算过程, 再让学生掌握程序的运用, 用程序进行计算, 两方面相辅相成。通过这样的教学安排, 不仅改变了以往教学中满堂灌的弊端, 使学生在掌握已学算法的基础上试验软件程序的成果, 还提高了研究和解决问题的速度与效率, 增强学生运用理论知识进行实践应用的能力。整个运筹学的教学方法和手段设计是基于从实践→理论→再实践的循环过程展开的。
只有用先进的教学辅助设施作保证, 才能真正实现教学模式的转变。合理运用多媒体进行授课, 提高课堂效率, 节省理论推理与解题技巧的讲授时间, 才能有时间保证来培养学生的实践能力;合理运用有关运筹学方面的解题软件以节省老师与学生在解题技巧锻炼上、作业上耗费的大量精力与时间, 保证有时间让学生来熟悉案例, 分析讨论并进行总结。从而提高自身的实践能力。
参考文献
[1]韩伯棠.管理运筹学[M].北京:高等教育出版社, 2005年版.
[2]杨茂盛, 孔凡楼, 张炜.对运筹学课程教学改革的看法和建议[J].西安建筑科技大学学报, 2006. (04) .
[3]黎鹰.关于《管理运筹学》课程教学的几点思考[J].文教资料, 2006, 10.
[4]张福翔, 张天学.运筹学教学改革研究[J].建材高教理论与实践, 2001, (04) .
【摘要】运筹学是管理科学与工程专业的核心课程，是信息管理与信息系统专业发展的理论基础。根据多年的課程教学经验，我们对前期的教学工作进行了反思和总结，并对今后的教学提出了新的目标和方向。运筹学的教学改革探索是持续不断的，及时的学习、反思和总结，有利于课程教学的改革，专业学科的发展。
【关键词】运筹学 教学改革 微课 翻转课堂
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）08-0238-02
《运筹学》课程的教学一直围绕着学科的发展进行调整，紧跟信管学科的发展方向，及时追踪运筹学理论的研究热点。课程组教师多年来长期总结教学和实践经验，从教学内容、教学方法和手段、考核方式、课程体系等多方面进行教学改革的探索和尝试。
首先，课程教学内容的改革和更新。强化理论知识体系的相互联系，更加注重理论联系实际，引导学生主动学习，参与课堂教学；培养学生动手能力，训练学生的创新思维。具体表现如下：
（1）以专业发展方向为导向，完善教学内容
信息管理与信息系统专业在我院目前主要有两大研究方向：供应链管理，管理信息系统。多年的教学内容主要包括：线性规划、整数规划、目标规划、图论、计划评审、动态规划等。根据研究方向发展的需要，在原有教学内容基础上，补充理论知识：存储论、排队论和决策论，为专业学科的进一步发展奠定基础，提供理论支撑。
在基本理论和基本教学方法中，逐步强化案例教学内容，理论课堂上以实际案例分析来阐释基础理论，组织学生分析案例结合课堂讨论。案例教学内容使教学更加生动，贴合实际，又让学生主动参与课堂教学，启发学生的开拓性思维。
（2）根据专业特点，改进实验教学内容
我们在早期的运筹学教学中没有实验课时，后来考虑到运筹学的实用性，增设了实验课时16学时。依据理论教学内容，提供案例，让学生运用EXCEL或者WINQSB进行案例分析。在近两年的实验教学中，结合信管专业的特点，教学中引入更方便、高效的数学软件，如LINDO＼LIOGO＼ MATLAB等软件工具，借助这些软件及运筹学算法来解决一些管理中的实际问题。
（3）追踪热点，更新教学内容
追踪学科国内外研究热点和趋势，每个知识模块增加研究热点和趋势分析。近几年与学科相关的学科热点有随机最优化供应链管理问题，应急管理问题等等，在教学环节中，通过老师介绍，学生自主查阅资料学习等途径，增加专业知识发展的热点讨论。
其次，教学方法和教学手段的改革。本课程包括理论教学和实验教学，教学内容组织以实例启发式引导，提出问题、借助多种运筹学方法和计算机软件分析问题、解决问题。所采用的主要教学手段如下：
（1）多媒体结合板书进行讲授教学。每年的教学过程中都对多媒体课件进行更新，对抽象的算法和案例分析等进行动画处理，更新和完善课程多媒体课件。上课过程中尽量多用黑板，进行理论推导和演算，便于学生充分掌握基本理论，打好坚实的理论基础。
（2）案例分析教学在教学中广泛使用。理论教学过程中，主要是由老师选定一些有代表性的典型案例，进行有针对性的分析和讨论，引导学生学会提出问题、分析问题和解决问题，培养学生用所学知识去思考。实验教学中首先选取经典算法的典型案例，借助EXCEL、WINQSB、LINGO/LINDO软件进行分析。在实验的后半阶段，学生对基本算法和工具掌握了以后，给学生提供案例集，结合学生自主选择的其他案例，由学生分组进行案例分析，并撰写课程小论文。案例教学在课程中的应用，充分发挥了它的启发性、实践性，开发了学生思维能力，提高了学生的判断能力、决策能力和综合素质。
（3）小组讨论互助学习。在本课程的实验教学中多处采用讨论法，学生通过讨论，进行合作学习，让学生在小组或团队中展开学习，让所有的人都能参与到明确的集体任务中，强调以学生为主体的教学。合作学习的关键在于小组成员之间相互合作、相互沟通、共同负责，从而达到学习的目标。
第三，考核内容的改革。根据《运筹学》课程的特点以及教学的目标，逐步改革传统的考核方式，突出学生实践能力、创新意识作为课程学习效果的评价。首先增加了考核方式，在最初的试卷考试、考勤、作业三项考核内容上增加了期中测试、小组课程论文评价。考核逐步加强了过程考核，突出实践能力和团结协作能力的评价。
根据多年的教学积累，逐步完成本课程的题库建设，试卷命题内容覆盖面广、分布合理、题型多样，既有填空题、判断题和计算题，也有数学建模题和综合分析题。题目既有基本题、中等题、也有较难题，难易度合适。课程组采取集体阅卷，提高评卷效率和质量。
第四，教学条件的完善。教学条件是提高教学质量的重要保障。多年来，课程组一直非常重视改善教学条件，无论是软件（如师资队伍建设，课程建设等）还是硬件（如教学设备的配备，教学资源的建设等）均投入了大量的人力与物力。
（1）教材使用与建设。目前出版的运筹学教材较多，根据专业发展的需要，在众多的教材中经过对比分析和精选，确定课程教学使用的教材是胡运权主编的《运筹学基础及应用》。教材中基础理论扎实，应用实例较多，难易程度符合本科生的教学要求。主要参考教材是运筹学经典著作，在美国高校有很高的采用率的（美）希利尔 等编著的《运筹学导论》。
（2）促进学生自主学习的扩充性资料使用。通过参考文献等，收集和汇编了实际案例分析的资料库，提供教师和学生参考。习题资料汇编也基本完成，每轮教学过程中持续进行补充内容和完善，逐步完成试卷库。
（3）配套实验资料的完善，实验教材建设。逐年编写课程教学案例分析和实验设计指导资料，资料包括实验分析、实验步骤和实验练习题等，内容设计完整，便于学生和教师参考和使用。
（4）完善实践性教学环境和网络教学环境。依托学院实验室平台，目前有专门的实验室提供实践教学，常用运筹学软件都已安装，满足教学要求。构建《运筹学》网络教学平台，包括教学基本资料、教学讨论、资料共享等，并且在每一轮教学过程中进行补充和完善。
根据已有的课程建设基础，在今后的2-3年中，對本专业的《运筹学》课程的建设提出新的建设目标和具体内容。
1.《运筹学》课程的建设目标：本着与时俱进、与专业发展趋势俱进的原则，以精品课程建设为标准，完善教学，充实教学资源，使得《运筹学》成为信息管理与信息系统专业的特色示范性课程。
2.具体建设内容
（1）加强教师团队建设。吸收年轻教师加入课程组，帮助职称低的老师准备职称材料，督促学历低的老师进一步提高学历，每年至少1-2名课程组教师参加学科教学会议或学术论坛。优化师资队伍的学历结构、知识结构和年龄结构，提高师资队伍的学术水平和教学水平，努力打造出一流的课程教学队伍。
（2）课程体系建设。理顺课程体系，形成以运筹学为核心的课程群。运筹学前期基础课为高等数学、概率论与数理统计和线性代数等。从专业发展需要、课程之间的关联性考虑，初步以《运筹学》为核心，以预测与决策技术、数据挖掘等课程为后续课程构建课程群，配套实践课程有《统计分析软件》、Matalab工具使用等实践类课程。
（3）教材教辅建设。以学科发展和运筹学发展趋势为依据，选用先进的教学用书和参考书。积累教学资料和素材，不断完善课程相关材料，近2年内出版1-2本课程的实践指导类教材。
（4）改进和完善教学方法与教学手段。在现有教学方法和教学手段的基础上不断学习和探索，本轮教学已经在实验中增加案例分析内容，后续教学中完善案例分析，重点放在经典算法的编码实现；增加课程的微课程教学，借助“翻转课堂”等方法改革教学方法和手段，提高教学质量和水平。
（5）加强课外实践教学。帮助学生多参与课外实践环节（包括大学生研究训练计划、大学生创新计划、科研项目、各类程序设计竞赛等），以实践能力培养为核心，使课外实践环节成为稳定、长期的活动，真正达到增强学生的动手能力和创新能力。
（6）完善网络平台建设。在现有网络课件平台基础上，进行资料的更新和补充，对于关键知识点制作“微课”视频，放到教学网络平台，供学生自主学习；借助现有流行的网络通讯软件搭建网络交流平台，因势利导，引导学生学习，加强课下互动和交流。
参考文献：
[1]何丽红，陈士成.管理运筹学课程的教学改革与实践[J].教育教学论坛，2011（12）：21-23；
[2]郑冀，丁勇等.运筹学教学模式改革探讨[J].大学教育，2014（1）：73-74；
[3]胡发胜，刘桂真.国家精品课程运筹学的教学改革与实践[J].中国大学教学，2006（7）：9-10；
[4]王育晓.管理类专业运筹学教学中存在的问题及改革探索[J].科技信息，2009（29）：347；
2、具体要求
第一章～第八章 规划论(数学规划)[目的要求] 主要研究如何有效利用有限资源，合理分配生产任务，选择最佳生产布置以及合理安排物资调运方案，以求取得最好的经济效果。它包括：线性规划、整数规划和动态规划。其中线性规划是运筹学中发展较成熟、应用最广泛的一个重要分支，因此是这门课的中心内容。
[教学内容] 运筹学概述和线性规划基础；单纯形算法、单纯形法的进一步讨论和线性规划问题解的讨论；线性规划数学模型的建立；线性规划问题的对偶问题及对偶单纯形法；线性规划问题的灵敏度分析；运输问题；整数规划；动态规划。
[重点难点] 单纯形算法、单纯形法的进一步讨论和线性规划问题解的讨论；线性规划问题的对偶问题及对偶单纯形法；线性规划问题的灵敏度分析；0-1整数规划；动态规划；
[教学方法]讲授
[作 业]每种类型的作业一般布置2～4道,目的是加深理论知识的理解和掌握
[课 时]48 第九章～第十一章 图论
[目的要求] 通过把研究的问题构造成网络模型，然后再作数量的分析，以获得最优的决策效果；在交通运输当中可应用于解决物资运输中的最短路、最大流、最小费用最大流等问题。
[教学内容] 图与网络的基本概念；最短路径问题；运输网络流；统等方法。
[重点难点] 最短路径问题；运输网络流
[教学方法]讲授
[作 业]每种类型的作业一般布置2～4道,目的是加深理论知识的理解和掌握 [课 时]20 第十二章 排队模型
[目的要求] ] 用数学方法研究如何确定最适当的服务人员和服务设施数目，达到服务质量和服务费用两方面总体效果最理想的目的。
[教学内容]排队模型；排队论在决策中的应用
[重点难点]排队模型
[教学方法]讲授
[作 业]每种类型的作业一般布置2～4道,目的是加深理论知识的理解和掌握
[课 时] 8 第十三章 决策论
[目的要求]主要是通过对各种客观条件可能出现的概率进行调查分析和对各种方案的经济效益进行计算，研究方案的合理选择问题，从而获得最优的经济效果。
[教学内容] 决策的分类；确定型决策问题；风险型决策问题；非确定型决策问题[重点难点] 风险型决策问题
[教学方法]讲授
[作 业]每种类型的作业一般布置2～4道,目的是加深理论知识的理解和掌握
[课 时]4
三、大纲说明
1、考试要求与考试方式：一般要求闭卷考试，考试成绩按照期末考试(70%)+平时成绩(30%)构成
2、采用多媒体+黑板讲授方式
3、使用教材及主要参考书
(1)教材
焦永兰.管理运筹学.北京:中国铁道出版社.2003(2)教学参考书
郭耀煌.运筹学原理与方法.四川:西南交通大学出版社.1997 钱颂迪.运筹学.北京:清华大学出版社.2002 运筹学教材编写组.运筹学.北京：清华大学出版社，1990 许永仁.运筹学试题精选与答题技巧.哈尔滨工业大学出版社.2000.说明：√表示该内容要考，★表示该内容的重要程度（最高五星）。
本重点参照往年重点划定，仅供参考，每年重点有少许变化，详情请在考研前一个月咨询学院老师。
目录
第一章 线性规划基础（填空选择要一些考基本的概念）★★ 第一节 线性规划问题的一般模型——1√ 第二节 线性规划问题的标准型——3√ 第三节 线性规划问题的图解法——6√
习题——7第二章 单纯形法(考计算，熟练掌握)★★★ 第一节
线性规划问题的几何意义——10√ 第二节
线性规划问题的典式——13 第三节
单纯形法——16√
第四节
单纯形法的进一步讨论——20√ 第五节
线性规划问题解的讨论——23√ 第六节
改进单纯形法——27
习题——31第三章 线性规划模型的建立（几个例题看一下即可）★★习题——45第四章 对偶问题及对偶单纯形法（必考，熟练掌握）★★★★★ 第一节
对偶问题的提出——48√ 第二节
建立对偶问题的规则——49√ 第三节
对偶问题的基本性质——52√ 第四节
对偶单纯形法——55√
第五节
对偶变量的经济意义——影子价格——57√ 第六节
对偶单纯形法的一个运用——58√
习题——60第五章 线性规划问题的灵敏度分析（必考，熟练掌握）★★★★★ 第一节
边际值及其应用——63√ 第二节
对Cj值的灵敏度分析——65√ 第三节 对bj值的灵敏度分析——66√ 第三节
对aij值的灵敏度分析——68√ 第四节
灵敏度分析应用示例——70√
习题——73第六章 运输问题（大题考一个，建模考一个，必须熟练掌握）★★★★★ 第一节
运输问题的线性规划模型——76√ 第二节
初始基本可行解的求法——77√ 第三节
求检验数的方法——84√ 第四节
方案的调整——87√
第五节
不平衡的运输问题——89√（参考清华版的“不平衡运输问题”）第六节
表上作业法应用举例——91√
习题——95第七章 整数规划（考较简单的建模题）★★★ 第一节
整数规划问题的图解法——98 第二节
整数规划模型举例——99√
第三节
分枝定界法——104√（主要考简答）第四节
全整数规划算法——107 第五节
0-1规划算法——109√ 第六节
关于特殊0-1规划算法——112 第七节
指派问题及其算法——115√
习题——120第八章 动态规划（考大题，需掌握）★★★★ 第一节
两个引例——123√
第二节 动态规划的基本概念和基本原理——127√ 第二节
背包问题——130√ 第三节
生产计划问题——132√ 第四节
复合系统的可靠性问题——136√ 第五节
设备更新问题——138√
习题——141第九章 图与网络（考大题，需掌握）★★★★ 第一节
图与网络的基本概念——145√ 第二节
最短路问题——149√
第三节
最小生成树——158√（掌握Kruskal算法即可）第四节
中国邮路问题——162√
习题——167第十章 网络的流（考大题，重点掌握）★★★★★ 第一节
基本概念和定理——170√ 第二节
求网络最大流的标记算法——175√ 第三节
最大流最小割定理的推广——178√ 第四节
最小费用流问题——181√ 第五节
最小费用最大流问题——191√ 第六节
最小费用最大流的应用——191√
习题——197第十一章 统筹方法（出综合题，要求会绘制统筹图）★★★ 第一节
统筹图的基本概念和绘制规则——200√ 第二节
时间参数计算与关键路线——205√ 第三节
最少工程费方案的制定——209√ 第四节
非确定型统筹问题——214
习题——218第十二章 排队模型（考概念，各参数含义，及简单计算）★★ 第一节
概述——221√
第二节
（M/M/1）：（∞/∞/FCFS）模型——224√ 第三节
其他马氏过程排队模型——233 第四节 两个非马氏排队模型——243 第四节
排队论在决策中的应用——246
习题——255第十三章 存贮论（可能考计算）★★ 第一节
存贮论的基本概念——257√
第二节
确定型存贮模型——259√（只需看前四个模型）第三节
随机型存贮模型——267习题——275第十四章 决策论（不考）第一节
决策的程序、要素和分类——278 第二节
不确定型决策——279 第三节
风险型决策——283
第四节
灵敏度分析和风险分析——293 第五节
效用理论在决策中的应用——296
习题——301第十五章 系统模拟与人工神经网络（不考）第一节
概述——305 第二节
神经网络模型——305
第三节
神经网络及其在组合优化问题中的应用——311 中英文名词索引参考文献
运筹学教学软件的应用
实验名称：运筹学教学软件的应用
实验类型：综合性实验
学
时：4 适用对象：工业工程
一、实验目的学会使用运筹学软件，激发学生学习课程内容的兴趣，帮助掌握线性规划、运输问题、动态规划求解模型和方法，提高解决运筹问题的能力。
二、实验要求
1．掌握各模型的运算原理。2．熟悉运筹学软件。
3．使用运筹学软件，求解线性规划、运输问题、动态规划模型的解。4．写出实验报告。
三、实验原理
运筹学软件的模块有：线性规划、运输问题、整数规划（0-1整数规划、混合整数规划和纯整数规划）、目标规划、最短路径、最小生成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径、存贮论、排队论、决策分析、预测问题、对策论和层次分析法等子模块。
四、实验所需仪器、设备、材料（试剂）
1．PⅢ以上微机。
2．管理运筹学软件2.0版。
五、实验预习要求、实验条件、方法及步骤
1．实验预习要求：
① 复习线性规划、运输问题、动态规划相关知识。② 熟悉运筹学软件使用说明。2．实验条件：机房
3．实验方法及步骤：
用软件计算我们布置作业中的线性规划、运输问题、动态规划习题，上交电子实验结果汇总告。
1.1(1)
1.1(3)
1.6（1）
2.7
2.8
2.9
（1）
2.9（2）
2.9（3）
2.9（4）
2.9（5）
3.2（1）
3.3（1）
3.3（2）
3.5
3.6
七、思考题
一、线性规划算法的缺点何在?
答：线性规划是指从各种限制条件的组合中，选择出最为合理的计算方法，建立线性规划模型从而求得最佳结果。所以只能处理线性关系的情形
二、试分析运输问题数学模型的特征，并说明为什么（m+n）个约束中最多只
有（m+n-1）个是独立的？
答：在运输问题的模型里
这就是运输问题的数学模型。它包含m*n个变量，（m+n）个约束方程。其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。
该系数矩阵中对应于变量Xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和第m+j个为1以外，其余的都为零。即Pij=0...1...0...1...0=eiemj
T对于产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：
b(x)(x)a jijijij1i1j1j1i1i1nmnnmm所以模型最所有m+n-1个独立的约束方程。即系数矩阵的秩≤m+n-1。
三、表上作业法的特点及其系统步骤是什么?
（一）特点： 表上作业法是指用列表的方法求解线性规划问题中运输模型的计算方法。是线性规划一种求解方法，其实质是单纯形法，故也称运输问题单纯形法。当某些线性规划问题采用图上作业法难以进行直观求解时，就可以将各元素列成表格，作为初始方案，然后采用检验数来验证这个方案，否则就要采用闭合回路法、位势法等方法进行调整，直至得到满意的结果。
（二）系统步骤：
1、找出初始基本可行解（初始调运方案，一般m+n-1个数字格），用西北角法、最小元素法；
（1）西北角法：
从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。然后按行（列）标下一格的数。若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。如此进行下去，直至得到一个基可行解。
（2）最小元素法
从运价最小的格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。然后按运价从小到大顺序填数。方法同西北角法。
注:应用西北角法和最小元素法，每次填完数，都只划去一行或一列，只有最后一个元例外（同时划去一行和一列）。当填上一个数后行、列同时饱和时，也应任意划去一行（列），在保留的列（行）中没被划去的格内标一个0。
2、求出各非基变量的检验数，判别是否达到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步，用位势法计算；
运输问题的约束条件共有m+n个，其中：m是产地产量的限制；n是销地销量的限制。其对偶问题也应有m+n个变量，据此：
σij = cij −(ui + vj),其中前m个计为,前n个计为 由单纯形法可知，基变量的σij = 0 cij −(ui + vj)= 0因此ui,vj可以求出。
3、改进当前的基本可行解（确定换入、换出变量），用闭合回路法调整；（因为目标函数要求最小化）
表格中有调运量的地方为基变量，空格处为非基变量。基变量的检验数σij = 0，非基变量的检验数。σij < 0表示运费减少,σij > 0表示运费增加。
摘要：运筹学课程改革不能搞“一刀切”， 从内容选取、讲授深度和实践应用三个方面提出运筹学课程教学应根据学生的能力素质、专业需求以及人才培养目标做到因材施教。
关键词：运筹学; 教学改革; 因材施教;
运筹学课程是应用数学、经济管理、交通运输、军事指挥等多个专业的一门专业基础课， 对培养学生定量分析意识、系统优化意识和逻辑思维能力发挥着重要作用。近年来， 许多院校为了提高教学质量， 对运筹学课程进行了一定力度的改革， 也取得了一些成效， 但也出现了为改革而改革， 同一院校的多个专业采用同一种课程改革方案的现象。每个专业的培养目标都有着较大差异， 运筹学课程改革不能搞“一刀切”， 应根据学生的专业需求和人才培养目标做到因材施教。
1 运筹学课程特点
1。1 学时少， 内容多
运筹学课程学时较少， 一般本科专业的课时大概在30—60学时之间， 但是内容分支却很多。运筹学经过多年的发展， 各领域的实际问题归结为不同类型的数学模型， 构成了运筹学的各个分支， 包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划、图与网络、排队论、存储论、搜索论、决策论、对策论等经典模块[1]， 同时还包括后期兴起的一些智能优化算法。
1。2 多学科交叉
运筹学起源于二战期间的军事问题， 最早的运筹研究小组由生理学家、数学物理学家、天体物理学家和军事人员构成， 具有鲜明的多学科交叉特点。二战以后运筹学开始推广到经济管理领域， 综合应用了经济学、管理学、数学、物理学、计算机等学科的科学技术理论和方法， 着眼于解决实际问题， 为人们提供最优决策服务， 是多学科交叉的一门学科。
1。3 数学基础要求高
运筹学是以数学为主要工具对实际问题进行定量分析和优化的一门学科， 运筹学课程中的概念抽象、数学公式多、理论性强， 因此， 对学习者的数学功底要求较高， 涉及到的数学基础主要包括高等数学、线性代数及概率论等。
1。4 实践应用性强
运筹学是一门应用性非常强的学科， 它广泛应用于工业、农业、交通、经济、管理、军事等不同领域。运筹学的一些分支， 如规划论、排队论、存储论、图论等， 都来自于实践的总结和归纳， 相应地， 这些分支形成系统的理论后， 同样也在实践应用中发挥着作用。
以上运筹学课程特点导致了不同专业的运筹学课程在教学目的和教学内容上应有所区分。教师应在充分把握教学对象特点和人才培养目标的基础上， 重点在内容选取、讲授深度和实践应用上做到因材施教。
2 教学内容选取上因材施教
运筹学课时少， 内容分支多。教学时不可能做到面面俱到， 应根据专业需求和人才培养目标选取适当的内容模块。
2。1 结合专业需求选取教学内容
高校中有很多专业开设“运筹学”课程， 但所学内容并没有结合专业所需， 而是根据运筹学基本知识体系讲解的， 由于课时限制， 大部分内容没有办法讲解得面面俱到， 很多与本专业相关的内容无法讲解透彻。因此， 各个专业应结合专业需求合理选取教学内容， 使运筹学课程在有限的学时内发挥最大效用。例如， 管理专业的教学内容应选择线性规划、对偶理论、运输问题、整数规划、动态规划以及决策论等侧重于管理决策的模块。工业工程专业强调综合提高劳动生产率、降低生产成本、使生产系统处于最佳状态。因此， 在教学内容设置上应侧重于线性规划、动态规划、图论、存储论、排队论、决策论和对策论等在实际生产中对生产计划问题、库存问题等各个环节能起到重要支撑的理论。交通运输专业根据其专业需求应选取线性规划、图论、排队论、对策论等内容模块， 重点解决本专业的物资调运、车辆调度、高速公路收费站服务台设计与管理问题。军事运筹学教学内容选取则应侧重于统筹法、搜索论、战斗损耗分析、决策论、对策论等与军事领域相关的内容模块。运筹学教学内容选取应紧密结合所学专业， 从解决本领域的实际问题出发， 与专业主干课程紧密结合， 注重运用所学知识去解决实际问题， 为学生进一步从事该方向的学习和研究打下基础。
2。2 结合人才培养目标选取教学内容
每个专业的人才培养目标都不尽相同， 运筹学课程的教学内容还应结合各专业的人才培养目标进行设置。数学与应用数学等理科专业要求学生具备扎实的数学基础和一定的理论研究能力， 在强调基础理论的前提下， 注重理论与实践相结合， 培养学生运用运筹学模型解决实际问题的能力。因此， 在教学内容设置上应更偏向于理论研究， 内容设计应更加系统化、理论化。而对于非数学专业的学生则应突出运筹学的实践应用功能。例如， 管理专业的人才培养目标是培养掌握坚实专业基本理论和系统专业知识， 具有从事专业领域决策、管理和研究工作能力的人才， 学生毕业后主要在企业、政府管理、经济研究等部门工作， 而非优化理论的研究工作[2]。因此， 运筹学教学内容应更侧重于实践方面， 结合各专业人才培养目标多设置与专业密切相关的实验课程， 培养应用型人才。
3 讲授深度上做到因材施教
运筹学的每个分支内容都可独立成册， 把每个分支讲解透彻是不现实的， 教师应根据学生的能力素质和专业需求在理论讲授深度上做到因材施教。应用数学专业的学生数学基础较好， 逻辑思维能力较强， 而且以后从事理论研究的机会较大， 因此， 对于数学专业来说， 在教学过程中应系统讲授运筹学的基本知识， 注重理论推导的严谨性， 讲清运筹方法的基本原理及涉及的相关运筹思想， 同时， 也要加强实践练习， 培养学生在实践应用中发现问题， 解决问题的创新能力。而对于非数学专业学生来说， 由于这部分学生的数学基础较弱， 对运筹学课程的`学习易产生恐惧畏难心理， 在授课过程中可弱化公式、定理的推导， 突出概念的直观解释， 多从形象的几何角度出发， 降低学生的理解难度。教学效果应以达到会运用相应模型解决本专业实际问题为佳， 着重培养学生的工程化思维。
4 实践应用上因材施教
实践应用是运筹学课程的精髓， 实际教学中应发挥好实验课对理论课的辅助作用。运筹学课程的实践运用包括两方面：一是模型求解软件的使用， 二是相关专业的科研项目研究。同样， 运筹学课程教学在实践应用上也要做到因材施教。使用模型求解软件一方面能够解决复杂的模型求解问题， 使学生将更多的精力放在构建模型上;另一方面可以让学生体验到解决实际问题的成就感， 提高学习兴趣。用于运筹学模型求解的软件有很多， 例如， MATLAB， LINGO， EX—CEL， WINQSB等。在这些模型求解软件中， MATLAB和LINGO对学生的编程能力稍高些， WINQSB和EXCEL比前者更易上手。因此， 编程能力较差的学生可以通过学习WINQSB和EXCEL软件来求解模型， 编程能力较强的学生可以运用MATLAB和LINGO编写程序， 在此过程中还可进一步加深对运筹学相关算法的理解。
让学生参与到科研项目研究中不仅可以提前让学生了解本专业所要研究解决的问题， 而且能够锻炼学生的理论水平和实践能力。教师可从本专业的科研项目中筛选出与运筹学教学内容紧密相关的部分进行案例教学， 并根据学生所擅长的知识将学生分成多个小组， 通过小组合作的方式， 共同完成建立模型和模型求解的任务， 鼓励学生不要拘泥于传统的算法和思维， 主动开拓新方法， 培养学生学以致用的创新能力。
参考文献
[1]《运筹学》教材编写组。运筹学 (修订版) [M]。北京：清华大学出版社， 1990。
关键词：运筹学,单纯形法,标准形式,线性规划
0引言
运筹学是利用数学方法研究在环境约束条件下, 如何合理配置有限的资源。运筹学发展于二战时期, 1947年G.B.Danzig在研究美国空军资源的优化配置时提出了线性规划及其通用解法, 即单纯形法。
1运筹学中的单纯形法
根据教材[1]中已知条件建立线性规划模型。假设线性规划问题中有n个决策变量xj (j=1, 2, …, n) , cj为价值系数, bj为第i项资源的拥有量, aij为技术系数。线性规划数学模型的一般形式如下:
求解线性规划问题时需要将一般形式转化为标准形式。标准形式要求目标函数求极大值, 约束条件为等式约束且右端项大于零, 符号约束非负, 具体形式如下:
将一般形式转化为标准形式的方法:
1) 若目标函数为求极小值, 即minz, 则将求极小值问题转化为求极大值问题, 即
2) 若约束条件的右端项bi<0, 约束等式或不等式两端同时乘以 (-1) 。
3) 若约束条件为“≤”不等式, 则在约束不等式左端加入松弛变量, 把不等式约束转化为等式约束;若约束条件为“≥”不等式, 则在约束不等式左端减去松弛变量, 把不等式约束转化为等式约束。
4) 若xj≤0, 则令xj’=-xj≥0。若xj无符号约束, 则令xj=xj’-xj’’, 其中xj’, xj’’≥0。
用单纯形法求解上述标准形式的线性规划问题是通过对单纯形表的变换来实现的, 单纯形法具体步骤如下:
Step1求初始基可行解, 列出初始单纯形表。Step2最优性检验。设检验数
若σj≤0, 则当前基可行解为最优解, 停止;否则, 转Step3。
Step3从一个基可行解转换到相邻的目标函数值更大的基可行解, 列出新的单纯形表。
Step4重复Step2和Step3, 直到计算结束。
3对单纯形表结构的调整
为方便说明, 以教材[1]第29页中的例子来进行讨论。例1[1]用单纯形法求解线性规划问题
解加入松弛变量x3, x4, x5将线性规划问题化为标准形式:
教材中根据线性规划问题数学模型的标准形式建立的单纯形表如下:
根据第三张单纯形表左端b列可得, 线性规划问题的最优解x*= (7/2, 3/2, 15/2, 0, 0) T, 最优值z*=2×7/2+3/2=17/2。
对于现有的运筹学教材[1,2]都有与表1类似的结构, 表1是由三张单纯形表组成, 经过两次迭代后, 通过单纯形法得到最优解。对比例1中线性规划问题数学模型的标准形式与表1可知:
1) 标准形式中的b列位于等式右端, 而表1中的b列位于单纯形表的左端。
2) 标准形式中关于价值系数的目标函数位于整个式子顶部, 而表1中对应的检验数位于每一张单纯形表的底部。
3) 在表1中的单纯形表中并没有直接反应出目标函数值的变化。
由于以上几点问题使得学生在建立单纯形表与线性规划问题的联系时, 不能将单纯形表和标准形式很好的联系起来, 为帮助学生更好地将单纯形表与标准形式加深联系并一一对应, 最终能快速地建立单纯形表, 本文对教材中单纯形表结构作出如下调整和改进:
1) 将表1中的b列移至最右端。
2) 将表1中的检验数移至每一张单纯形表的顶部。
3) 将b列也带入计算, 最终可得到最优值的相反数, 同时能反映在每一张单纯形表中目标函数值的变化, 并且能对计算结果进行验证。
结构调整后的单纯形表如下:
根据结构调整后的第三张单纯形表的右端b列, 同样可得最优解x*= (7/2, 3/2, 15/2, 0, 0) T且由第三张单纯形表右上角的-17/2可知, 最优值z*=17/2。第一张单纯形表到第三张单纯形表的右上角分别为0, -8, -17/2, 这说明在计算的过程当中, 目标函数值逐渐增大, 符合单纯形法中经过变换的基可行解的目标函数值比上一个基可行解的目标函数值更大的规律。最后可将由表2中得到的最优解x*= (7/2, 3/2, 15/2, 0, 0) T带入目标函数z=2x1+x2计算出最优值与由表2中直接得到最优值作比较。如果两者一致, 说明计算正确。否则, 计算有误。因此利用结构改进后的单纯形表, 学生在计算结束后可验证计算过程的正确与否。
下面用改进后的单纯形表计算例2, 例2选自教材[2]中的第13页的例子。
例2[2]用单纯形法求下列线性规划问题
解加入松弛变量x3, x4, x5将上述线性规划问题的数学模型化为标准形式:
根据线性规划问题数学模型的标准形式建立的单纯形表如表3:
在第一张单纯形表中, 当前的基可行解x= (0, 0, 8, 16, 12) T目标函数值为0。改善基可行解, max{2, 3}=3, 选中元素3所在的列。min{8/2, 16/0, 12/4}=3, 选中元素4, 通过初等行变换将4所在列的其余非零元素化为零, 4所在的列乘以1/4。基变量由x3, x4, x5变为x3, x4, x2。
在第二张单纯形表中, 当前的基可行解x= (0, 3, 2, 16, 0) T目标函数值为9。改善基可行解, max{2}=2, 选中元素2所在的列。min{2/1, 16/4, 3/0}=2, 选中元素1, 通过初等行变换将1所在列的其余非零元素化为零。基变量由x3, x4, x2变为x1, x4, x2。
在第三张单纯形表中, 当前的基可行解x= (2, 3, 0, 8, 0) T目标函数值为13。改善基可行解, max{1/4}=1/4, 选中元素1/4所在的列。min{8/2, 3*4}=4, 选中元素2, 通过初等行变换将2所在列的其余非零元素化为零, 2所在的列乘以1/2。基变量由x1, x4, x2变为x1, x5, x2。
在第四张单纯形表中, 基可行解x*= (4, 2, 0, 0, 4) T即为最优解, 根据表中右上角的元素知, 最优值z*=14, 将最优解带入目标函数得z=2×4+3×2=14, 经验证, 计算无误。
4结束语
利用结构调整后的单纯形表, 可使学生更容易领悟到从线性规划问题的标准形式到单纯形表建立的过程, 使学生不仅能系统地掌握单纯形法的理论, 更能使学生掌握并建立单纯形表。经过教学实践, 证明结构改进后的单纯形表在形态上与线性规划问题的标准形式更加接近, 且增加了验证计算过程的功能。能够使学生更容易接受和掌握单纯形表, 从而求解线性规划问题, 极大地提高了教学质量。
参考文献
[1]胡运权.运筹学教程 (第四版) [M].北京, 清华大学出版社, 2012.
【关键词】运筹学 教学方法 实践式教学
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）36-0205-02
运筹学是为优化业务活动决策提供定量依据的应用科学，是大学许多专业开设的必修课，提高运筹学课程的教学质量，对培养高级应用型人才具有重要作用。但当前运筹学教学模式和方法还存在一定程度制约能力型高素质人才培养。为了改革运筹学教学，有必要梳理当前运筹学教学存在的突出问题，改进该课程的教学质量。
一、运筹学实践式教学的必要性
1.重理论，轻应用
运用运筹学最重要也是最困难的一步是将现实问题做出合适的定义。以往，无论是教材和教学均将教学重点集中在了运筹学模型、算法及其原理上。实际上仅有数学模型是不够的。忽略了培养运用运筹学解决实际问题的能力，使得学生深陷于复杂繁琐的计算而不善于对所用的模型有正确的认识和判断。
2.教学方式老化
目前运筹学最常见的教学方法还是传统的灌输式。一种教学方式是教师在黑板上板书，学生做笔记，这样往往导致教学过于繁琐，进度偏慢，使得本来应用性极强的课程变得枯燥乏味，直接影响了学生的学习积极性和创新能力的培养。另一种是多媒体教学，但大多数的课件还是照搬教材内容，加上多媒体上课节奏较快，如果还是按传统教学方法来进行，学生的学习效果反而会更差。因此，为了激发学生的学习热情，培养学生的实践能力，引入新的教学方式成为亟待解决的问题。
3.缺乏面向实际问题的教学与实践
运筹学最大的特点是实践性强，这就需要教学有的放矢。笔者曾经问卷调查过多名学生的学习运筹学的体会，最常见的回答是“会做一些习题，但是不知道有什么用”，甚至许多学生在学了运筹学之后，认为运筹学没有实用价值。这说明学生即使掌握了运筹学的基本理论、模型及其求解方法，可是还是没有运用运筹学解决实际问题的能力。原因在于，忽略了培养学生的运筹思维以及应用运筹学解决实际问题的实践能力。实际上，“讲授模型并不等价于讲授建模[1]”。一些教师简单地将运筹学视为数学，偏重于讲授数学理论与解题技巧，缺少足够的面向实际案例和项目的教学，导致学生分析与解决实际问题能力偏弱，特别是面向实际问题的建模能力相当不足。运筹学是许多专业的核心基础课，因此开展课程的教学改革具有相当的迫切性和重要性，这也成为运筹学的教学改革的动机。
二、运筹学课程的实践式教学理念
“实践”字面上具有实行、履行之意。《宋史·理宗纪》提到“…真见实践，深探圣域，千载绝学，始有指归”；实际上，没有实践就不会有认识，认识产生于实践的需要。而运筹学的发源和发展就是出于实践的需要[2-3]。可以说，实践既是运筹学发展的目的，也是运筹学教学的目的。
实践式教学是针对传统的“填鸭式”教学方法而提出的。传统“填鸭式”教学以教师为中心，以讲解、板书和其他媒体方式向学生灌输知识，其弊端广受诟病。实践式教学则以学生为中心，教师利用情境、协作、实际再现、会话等手段，充分发挥学生学习的主动性和创造性，让学生面向实践探索知识、应用知识，教师担任实践过程的组织者和促进者。学生和教师的角色及其作用与“填鸭式”教学截然不同，甚至发生了翻转。运筹学的实践式教学应做到以下几点：
1.改变“运筹学是数学”的教学观念，建立运筹学建模艺术理念。
由于运筹学模型时一种数学模型，因此许多人（包括许多运筹学专任教师）认为，运筹学的运用总是要根植于数学的分析计算。因此侧重于各种运筹学模型的求解方法授课。然而在建立运筹学数学建模过程中，认识被研究对象运行过程是建模的源头，只有通过恰当的数学定义才能由现实问题转换到数学问题，才有建立运筹学模型的可能。正如Morris指出的，除了模型求解，问题定义、模型构造、模型验证及解决方案实施等主要步骤，运筹学建模更多的是一种艺术，而不是一种理论[1]。因此，运筹学教学应将教学重心放在如何建立运筹学模型上，纵观国内外优秀的运筹学课程与教材[3-4]，无不如此。
2.改变“大量做题”的教学观念，构建问题探索式教学理念
许多学生甚至是教师认为，只要记住了运筹学中相关概念与算法，能够正确解出运筹学习题就算合格完成教学任务。适当的做题是有必要的，它有助于理解运筹学模型及求解方。但是，运筹学教学的最终目的是帮助学生建立运筹思维，提高应用运筹学解决实际问题的能力。虽然大量做题能提高运筹学解题技巧，但本质上属于对老问题的陈法套用，难以帮助学生应用运筹学解决问题的能力。因此，需要通过营造面向实际问题的探索式氛围，引导学生发现实际问题、分析实际问题、提出假设、解决实际问题以及检验结论的过程。
3.改变“满堂灌”式的单向授课方式，建立对话式的教学模式
创造以学生为主体的对话式教学氛围。要改变“满堂灌”式的单向授课过程，鼓励学生直接而主动地表达运筹学学习中的困惑，通过引导与启发形成学生主动提问题、主动交互式的对话教学模式。这需要鼓励学生提问、老师设置问题来不断增强学生的参与积极性。为此，作者准备了大量的产生运筹学各分支萌芽的各种现实需求的历史材料，通过幻灯片、视频等再现当初某些运筹学分支的提出背景，让学生身历其境地面对当时的困难，向学生提问解决这些问题的思路与方法，引导学生相互提问和交流，使学生自己得出教材上各种运筹学模型的思想和数学表达。在這一过程中，笔者将问题交给学生，邀请他们在课堂上积极地思考、参与并为了他们自己的观点辩论，并协助学生用数学语言写出运筹学模型。
三、运筹学实践式教学方法与效果分析
实践式的运筹学教学就是让学生体验运筹学知识诞生、应用的过程。作者在教学实践过程中，在以下5个步骤去备课与教学，起到了良好的学习效果。
1.面向实际问题创造实践教学环境
运筹学是一门应用学科，相关的模型和方法源自于实际问题。一般来讲，只要有亲身实践才能理解其中的奥妙，并牢固掌握。由此，为了帮助学生能够身历其境的经历和体验实际问题，笔者准备了各种类型的案例材料来加深学习。（1）多媒体案例，通过多种途径搜集合适的案例，采用视频、图片等形式向学生介绍案例背景。例如，作者搜集整理了相关冷战期间美国空军的纪录片，再现了战斗机机队规划问题，帮助学生了解线性/整数规划问题的背景。（2）实地踏勘调查体验，带领学生直接在现场介绍现实的生产与服务是如何运作的背景。例如，作者带领学生在课余时间参观港口货物装卸流程，采用现场向学生介绍船舶装货问题，帮助学生了解动态规划的背景及应用。（3）当事人现身说法，邀请企业界人事介绍企业中的成本核算、库存管理等问题，帮助学生了解对偶价格、企业资源分配以及库存模型等内容在现实中的应用背景。
2.面向实践引导学生的观察和思考
运筹学初学者面向实际的研究对象（例如企业仓储、医院就诊流程）时，往往被纷繁的表象所困扰，往往存在感性、片面或次要性的认识，难以把握实际研究对象的主要矛盾及运作规律。这就需要引导学生深入观察和理性思考，挖掘出实际问题的主要矛盾及主要影响因素。例如，笔者带领学生在考察本地的馒头铺，引导学生发现馒头生产与销售既包括运筹学的营养配方问题，又包括了单周期/多周期生产计划与库存控制问题，还包括了类似于原油精炼的问题，这些问题纠结在一起，使得学生不仅难以区分馒头生产与销售究竟属于什么问题，同时难以即刻确定应当考虑或忽略哪些因素。这些困难只有在实践运筹学时才能遇到，此时教师需要由表及里的，逐步引导学生完成提出问题、分析问题的过程。
3.面向实践的运筹学模型抽象
运筹学模型本质上是现实问题的理论抽象[4]。为了从现实问题抽象出运筹学的理论，有必要引导学生抽象与归纳现实问题。因此，教师有必要让学生面向各种现实案例，提问引导学生回答和讨论，让学生层层抽丝剥茧，挖掘出实际问题的主要矛盾及主要影响因素，尝试利用数学语言来描述各种现实案例，由学生归纳出运筹学模型。而讲解运筹学习题是无法替代上述的学习过程的。例如，企业中各个部门管理者真正面临的问题是什么，哪些是大问题，这需要进行深入调查、思考之后才有可能提出优化的目标。不接触实际工作及其从业者实际上是无法切身体会的。针对医院门诊分部，笔者引导学生从顾客-服务角度思考，便将其抽象为排队服务系统，而从顾客在各种医疗设备（CT、X光机、B超等）与收费台的移动角度，便将其抽象为最大流网络系统。通过引导学生对同一对象的观察与思考，让学生理解了不同的观察与思考角度，将形成不同的运筹学模型，从实际中使得学生真正理解运筹学建模是艺术。
4.面向實践的运筹学成果验证
运筹学的理论成果依赖于实践的检验。有必要让学生经历运筹学解决方案的验证过程，并理解解决方案的应用前提与限制条件。经过运筹学优化的数学结果不仅需要“翻译”成为可供实践的方案，还需要投入更大的精力推行优化的方案，其中后者更为困难。为了将运筹学模型及求解结果用于改善生产与服务环节，笔者在课程设计环节寻找了一些小型的项目，并让学生根据结果去游说相关部门去实施。例如，学生通过利用排队论模型，理论上改进学校食堂打饭流程将能减少顾客排队长度和等待时间。但是学生们花了很大的精力制作了专门便于食堂管理方与职工理解的图文材料，专门论证为什么优化打饭流程能够提高食堂的运行效率，并定量给出了前后的对比效果。通过面向实践的运筹学成果验证，打破了以往求得运筹学习题结果即可的状况，大大拓展了运筹学结果检验的工作外延，从而让学生深刻体会到学习运筹学不仅要掌握数学建模能力，还要掌握表达和推广解决方案的能力。
5.强化面向实践的课程设计
为了有效提高和检验学生的实践能力，开展“真刀真枪”的运筹学课程设计必不可少。为此，笔者通过日常的商业、生活、生产和科研、Interface等杂志挖掘了面向实际问题的课程设计课题，这些课题基本上都需要深入的实地调查，需要计算机编程处理数据或程序。由于课程设计工作量很大，笔者让学生组建课题小组，在学期一开始即将课程设计题目分发给各小组，使他们尽可能早的开展调研，各小组经过上述的2、3和4流程的研究分析来完成各自的课题，并按照要求撰写课题报告，公开汇报课题成果。另外，运筹学成绩的考核侧重于课程设计，其分值占课程成绩的60%。
四、结论与改革建议
初步的教学效果表明，在培养学生解决实际问题能力方面具有显著优势。实践式的运筹学教学法受到了学生的欢迎，最大程度发挥了学生学习的主观能动性，教师革新了运筹学的教学观念，增加了课堂教学的灵活性，强化了学生应用运筹学解决实际问题的能力。作者所在院校开展了2年的运筹学实践式教学，在很多方面还在“摸着石头过河”，还需要下大力气改进，结合教学成功经验和教训，以下方面还需要做进一步的努力：
1.改革教学方法，提高实践能力培养
教师在运筹学教学过程中，根据各个运筹学分支相关联的实际问题，设计运筹学模型提出的背景与应用条件，组织学生课外调研和课上讨论，启发学生的发散性思维和逻辑思考能力，定期开展课外运筹学实际问题专题调研和研究，以实际问题为背景，让学生自己分析问题，解决问题，并在任课老师的指导下建立运筹学模型，编制求解算法，撰写学习论文，充分挖掘学生的潜力，促进他们综合素质的提高。
2.多方面考核学生成绩，强化解决运筹学问题的综合能力
改革以往一次性的期末考试成绩为主的考核方式，采用多个考核内容的综合计分方法。为此将运筹学课程设计作为课程成绩考核的大头（比如60%），在课程设计中由包括了课程设计报告写作成绩、PPT宣讲表现、小组贡献、与业主沟通等方面，严格按照实际项目咨询来走完课程设计的流程。另外期终考试将被弱化，其成绩计40%，考试期间允许学生翻阅教材和参考书，考试内容强化运筹学建模，适当弱化模型的求解，但是适当加强运筹学定理的证明，引导学生从“题海”和背记转变为注重理解和创新。
3.丰富案例教学资源，建立实践教学基地
运筹学的实践式教学的基础在于各类可供实践教学的案例信息资源。为此，教师需要积极与企事业单位联系，使学生能有更多的机会参加丰富多彩的社会实践，到工厂、商业公司、医院等实地考察学习，让所学知识在实践中能接受考验。此外，还需要不断丰富课堂实践教学资源，包括收集种类齐全、难度适中的教学案例与相关的图形、视频等多媒体资源等。在此基础上，通过教师的精心设计，才能让运筹学课程教学有声有色。
参考文献：
[1] Morris W. On the art of modeling [M]. Management Science， 1967， 13（2）：707-717.
[2] Morse P.M. The beginnings Operations Research in the United States[J]. Operations Research， 1986， 34（1）： 10-17.
[3] Hillier F. S.， Lieberman G. J. Introduction to Operations Research （8th edition）[M]. 北京： 清华大学出版社， 2006.
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