一次函数与一元一次不等式练习题

一次函数与一元一次不等式练习题（精选20篇）

一次函数与一元一次不等式练习题 篇1

一、选择题

1．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（）

A．x>1B．x≥1C．x<1D．x≤1

2．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0•的解集是（）

A．x>-2B．x≥-2C．x<-2D．x≤-2

3．已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x轴的交点是（）

A．（0，1）B．（-1，0）C．（0，-1）D．（1，0）

二、填空题

4．当自变量x的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x轴下方．

5．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2•的解集是________．

6．直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9>12•的解集是________．

7．已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x•轴的交点是__________．

8．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3•的交点坐标是_________．

三、解答题

9．某单位需要用车，•准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y元，付给出租车公司的月租费是y元，y，y分别与x之间的函数关系图象是如图11-3-4所示的两条直线，•观察图象，回答下列问题：

（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？

（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？

（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，•那么这个单位租哪家的车合算？

10．在同一坐标系中画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-2的图象，并根据图象回答下列问题：

（1）写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点P的坐标．

（2）直接写出：当x取何值时y1>y2；y1

211．已知函数y1=kx-2和y2=-3x+b相交于点A（2，-1）

（1）求k、b的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象．

（2）利用图象求出：当x取何值时有：①y1

一次函数与一元一次不等式练习题 篇2

教学目标

1.进一步掌握解一元一次不等式的步骤, 领悟不等式中的化归思想.

2.结合分析和解决实际问题, 使学生初步掌握建立不等式模型的思想和方法, 并能用一元一次不等式解决实际问题.

情感、态度与价值观

1.通过研究解决实际问题的过程, 培养学生合作交流意识、分类思想和探究精神.

2.体会数学在实际生活中的作用, 激发学生爱数学热情.

重点、难点

1.重点:用一元一次不等式分析解决实际问题.

2.难点:分析实际问题中的相关信息, 将其转化为一元一次不等式.

教学过程

复习巩固

1.解一元一次不等式有哪些步骤?

2.a取什么值时, 式子undefined表示下列数?

(1) 正数.

(2) 小于-2的数.

3.求不等式undefined的正整数解.

新 课

引入课题 实际问题与一元一次不等式.

问题 甲、乙两商店以同样的价格出售同样的商品, 并且又各自推出不同的优惠方案, 在甲商店累计购买100元商品后, 再购买的商品按原价的90%收费;在乙商店累计购买50元商品后, 再购买的商品按原价的95%收费, 顾客怎样选择商店购物能获得更大的优惠?

思 考

甲商店优惠方案的起点为购物款达100元之后;

乙商店优惠方案的起点为购物款达50元之后.

根据甲乙两商店优惠条件的起点, 怎样分情况考虑?

(1) 如果累计购物不超过50元, 则在两商店购物花费有区别吗? (在两个商店购买同样商品消费一样)

(2) 如果累计超过50元, 而不超过100元, 则在哪家商店购物花费小? (购买同样的商品在乙商店购物省钱)

(3) 如果累计购物超过100元, 那么在甲店购物花费小吗?

现讨论情况 (3) .

解 设累计购物x元 (x>100) , 如果在甲店购物花费小, 则50+0.95 (x-50) >100+0.9 (x-100) .

去括号, 得50+0.95x-47.5>100+0.9x-90.

移项、合并同类项, 得0.05x>7.5.

系数化为1, 得x>150.

即累计购物超过150元时在甲店购物花费小.

思考 累计购物超过100元而不到150元时, 在哪家店购物花费小? (乙店购物花费小) 累计购物恰好150元, 在哪家商店购物花费小? (消费一样)

综合 (3) , 本题完整的答案:

①如果累计购物不超过50元 (或正好购物150元) , 则在两店购买同样的商品花费一样.

②如果累计购物超过50元而不超过150元, 则购买同样的商品在乙店购物花费小.

③如果累计购物超过150元, 在两店购买同样的商品在甲店购物花费小.

这就是一个用一元一次不等式解决实际问题的实例.

例 2002年北京空气质量良好 (二级以上) 的天数与全年天数之比达55%, 如果到2008年这样的比值要超过70%, 那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少?

思 考

①2002年北京空气质量良好的天数是 (365×0.55) 天.

②用x表示2008年增加的空气质量良好的天数, 则2008年北京空气质量良好的天数是 (x+365×0.55) 天.

③如何列不等式?

解 设2008年比2002年空气质量良好的天数增加了x, 则undefined

去分母, 得x+200.75>256.2.

移项合并同类项, 得x>55.45.

由x应为正整数, 得x≥56.

答:2008年要比2002年空气质量良好的天数至少增加56天, 才能使这一年空气质量良好的天数超过全年的70% (奥运会) .

从上面的问题可以看出:一元一次不等式的解法与一元一次方程类似, 只是不等式两边同乘 (或除以) 一个数时, 要注意不等号的方向.

练 习

1.当x, y满足什么条件时, 下列关系式成立?

(1) 4x与7的和不小于6; (2) 3y与7的和的undefined小于-2.

2.某工程队计划在10天内修路6 km, 施工前两天修完1.2 km后, 计划发生变化, 准备提前2天完成修路任务, 以后几天内平均每天至少修路为多少千米?

3.采石场爆破时, 点燃导火线后工人要在爆破前转移到400 m外的安全区域, 导火线燃烧速度是1 cm/s, 工人转移的速度是5 m/s, 导火线要大于多少米?

4.学校计划购买40支钢笔和若干笔记本 (笔记本数超过钢笔数) , 甲乙两家文具店的标价都是钢笔10元/支, 笔记本2元/本.甲店的优惠方式是钢笔打九折, 笔记本打八折;乙店的优惠方式是每买5支钢笔送一本笔记本, 钢笔不打折, 购买的笔记本打七五折.那么购买的笔记本数在什么范围内到甲店更合算?

思考题

为响应“家电下乡”的惠农政策, 某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台, 其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍, 购买三种电冰箱的总金额不超过13200元, 已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为:1200元/台、1600元/台、2000元/台.

①至少购进乙种冰箱多少台?

②若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数, 则有哪些购买方案?

小结 本节我们学习实际问题与一元一次不等式, 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似, 不等式两边同乘 (或除以) 一个数时, 要注意不等号的方向.用一元一次不等式解实际问题, 首先要找出实际问题中的不等关系, 设出未知数, 列出相应的代数式, 并列出一元一次不等式.

一元一次方程和不等式巩固练习 篇3

8.如图4，一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的图象相交于A（3，2），则不等式（k2-k1）x +b2-b1>0的解集为__________. 图4

9.如果x，y满足不等式组x≤3x+y≥0x-y+5≥0，那么你能画出点（x，y）所在的平面区域吗？

10.我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元则六折优惠.且甲乙两厂都规定一次印刷的数量至少是500份.

（1）分别求两个印刷厂收费y（元）与印刷数量x（份）的函数关系，并指出自变量x的取值范围.

一次函数与一元一次不等式 篇4

课型：新授设计人:审核：时间;2010.8.21 学习目标：１、认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系

２．学会用图象法求解不等式 ３．进一步理解数形结合思想．

学习重点：１．理解一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系

２．掌握用图象求解不等式的方法．

学习难点：图象法求解不等式中自变量取值范围的确定． 学习过程：一．前置自学

１．解不等式5x+6>3x+10．

２．当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0？

思考:上面两个问题有什么关系？

二．展示交流:（各小组积极展示上面的问题）三．合作探究

1.“解不等式ax+b>0”与“求自变量x•在什么范围内，一次函数y=ax+b的值大于0”之间有什么关系？把你的想法与同学交流。

2.用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10．（大胆尝试，看能用几种方法求解）

四．课堂小结：是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢？它在函数图象上的表现是什么？如何通过函数图象来求解一元一次不等式？

五．课堂检测

１．当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=3x+8的值满足下列条件？

①y＞-7．②y<2．

一次函数与一元一次不等式练习题 篇5

学习目标：

（1）通过具体问题进一步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解

集的联系。

（2）综合运用一次函数、方程、不等式解决实际问题。一．复习回顾：

1、已知函数y=-x+8，当x___________时，函数值y小于零；当x___________时，函数值y等于零；当x___________时，函数值y大于零。

2、已知一次函数y13x12与y2x3的图象的交点坐标是_________，当x _________时，y1＜y2，当x___________时，y1＞y2。

二．自主学习：

例1某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠。甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%.乙商场的优惠条件是：每台优惠20%。（1）分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式.（2）什么情况下到甲商场购买更优惠？

（3）什么情况下到乙商场购买更优惠？

（4）什么情况下两家商场的收费相同？

例2某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计

为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？

三．当堂检测：

1.某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费。（1）什么情况下选择甲公司比较合算？（2）什么情况下选择乙公司比较合算?（3）什么情况下两公司的收费相同?

2．某电信公司有甲乙两种手机收费业务。甲种业务规定月租费是25元，每分钟的通话费用是0.4元；乙种业务不收月租费，每分钟的通话费用是0.6元。（1）分别写出甲乙两种收费标准下每月应交费用y

元和通话时间x分钟

之间的关系式。

随笔

一次函数与一元一次不等式练习题 篇6

本节课内容基本完成，但内容于学生来说有些简单，个别学生可能会出现“吃不饱”的现象。主要原因是对学生的了解不够到位。

2、教学环节处理

首先，对于例1后的练习题处理时间较长，基本是每个人都能顾及到，所以在讲课时，忽略了这一点。其次，例2的处理不好。对于例2我认为学生接触起来肯定有一定的难度，在设计课时，我特别设计了很多问题，引导学生进行分类。但是，当我问到“什么是更实惠?”时，学生立刻回答“要分情况。”这样就很自然的出现了分类讨论，可见学生对这种类型的题，已经是了解了，我想主要就是解题了，所以把更多的时间放在了分组解题上，并没有进行太多的分析，只是让学生自己完成，但是我在巡视的时候发现学生不知道如何写，所以我又重新分析带领学生完成三种情况的列式，然后再由学生完成，这样后面总结有些着急，练习题也就没能完成。

3、课件的辅助作用

一元一次不等式测试卷 篇7

1.不等式组的解集是 () .

A.x≥-1 B.x<5 C.-1≤x<5 D.无解

2.若m>n, 则下列不等式中成立的有 () .

(1) m+a<n+b; (2) ma<mb; (3) ma2>na2; (4) a-m<a-n.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.若不等式2x<4的解都能使关于x的一次不等式 (a-1) x<a+5成立, 则a的取值范围是 () .

A.1<a≤7 B.a≤7 C.a<1或a≥7 D.a=7

4.如果a>b, c<0, 那么下列不等式成立的是 () .

5.下列不等式变形正确的是 () .

A.由a>b, 得ac>bc B.由a>b, 得-2a>-2b

C.由a>b, 得-a>-b D.由a>b, 得a-2>b-2

6.若不等式组的解集是x>a, 则a的取值范围是 () .

A.a<3 B.a=3 C.a>3 D.a≥3

7.已知方程组的解x、y, 且2<k<4, 则x-y的取值范围为 () .

8.如果不等式的解集是x<2, 那么m的取值范围是 () .

A.m=2 B.m>2 C.m<2 D.m≥2

9.若不等式组有实数解, 则实数m的取值范围是 () .

10.已知m, n为有理数, 则解集可以是-3<x<2的不等式组是 () .

二、填空题

11.x的1/2与5的差不小于3, 用不等式表示为______.

12.设a>b, 用“<”或“>”填空:

(1) 2a-5______2b-5; (2) -3.5b+1______-3.5a+1.

13.不等式的整数解为______.

14.关于x的不等式2x<a+5的解集是x<2, 则a______.

15.若|a-3|=3-a, 则a的取值范围是_______.

16.若关于x, y的二元一次方程组的解满足x+y<2, 则a的取值范围为________.

17.已知 (3x+18) 2+|4x-y-2k|=0, 当k为何值时, y为负数.

18.如果那么x与y之间的关系式是______, 若y>9, 则x的范围是______.

19.关于x的不等式组的整数解共有5个, 则m的取值范围是______.

20.若不等式组的解集为-1<x<1, 则 (a+1) (b+1) =_______.

三、解答题

21.解下列不等式, 并把它们的解集在数轴上表示出来.

22.解下列不等式组

23.y为何值时, 代数式与的差是非负数?

24.求同时满足7x+1<5x+2及的偶数.

25.已知方程组的解中, x为非正数, y为负数.求:

(1) a的取值范围.

(2) 化简a-3+a+2.

(3) 在a的范围内, 当a为何整数时, 不等式2ax+x>2a+1的解为x<1?

26.已知关于x的不等式组的所有整数解的和为-5, 求m的取值范围.

27.为了举行班级晚会, 孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具, 并买一些乒乓球拍做奖品, 已知乒乓球每个1.5元, 球拍每个22元, 如果购买金额不超过200元, 且买的球拍尽可能多, 那么孔明应该买多少个球拍?

28.某工厂生产A、B两种产品共50件, 其生产成本与利润如下表:

一次函数与一元一次不等式练习题 篇8

例1 已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨； 用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨. 某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物. 根据以上信息，解答下列问题：

（1） 1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

（2） 请你帮该物流公司设计租车方案；

（3） 若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次. 请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.

【分析】（1） 根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；”“用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可.

（2） 由题意理解出：3a+4b=31，解其整数解的个数，即就有几种方案.

（3） 根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，分别求出租车费用即可.

【答案】（1） 设1辆A型车和1辆车B型车一次分别可以运货x吨，y吨，根据题意得出，2x+y=10，

x+2y=11.解得：x=3，

y=4.

答：1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货3吨，4吨.

（2） ∵某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，∴3a+4b=31. 则a≥0，

b=31-3a4≥0.解得：0≤a≤1013. ∵a为整数，∴a=1，2，…，10. 又∵b=31-3a4=7-a+3+a4为整数，∴a=1，5，9. ∴当a=1，b=7；当a=5，b=4；当a=9，b=1. ∴满足条件的租车方案一共有3种，a=1，b=7；a=5，b=4；a=9，b=1.

（3） ∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，∴当a=1，b=7，租车费用为：W=100×1+7×120=940元；当a=5，b=4，租车费用为：W=100×5+4×120=980元；当a=9，b=1，租车费用为：W=100×9+1×120=1 020元. ∴当租用A型车1辆，B型车7辆时，租车费最少. 答：最少租车费为940元.

例2 某校为了奖励在数学竞赛中获胜的学生，买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本. 设该校买了m本课外读物，有x名学生获奖.请回答下列问题：

（1） 用含x的代数式表示m；

（2） 求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.

【分析】不等字眼“不足3本”即是说全部课外读物减去5（x-1）本后所余课外读物应在大于等于0而小于3这个范围内.

解：（1） m=3x+8，

（2） 由题意，得3x+8-5（x-1）≥0，

3x+8-5（x-1）<3.

∴不等式组的解集是：5

∵x为正整数，∴x=6.把x=6代入m=3x+8，得m=26.答：略

例3 某城市的出租汽车起步价为10元（即行驶距离在5千米以内都需付10元车费），达到或超过5千米后，每行驶1千米加1.2元（不足1千米也按1千米计）.现某人乘车从甲地到乙地，支付车费17.2元，问从甲地到乙地的路程大约是多少？

【分析】本题采用的是“进一法”，对于不等关系的字眼“不足1千米也按1千米计”，许多同学在解题时都视而不见，最终都列成了方程类的应用题，事实上，顾客所支付的17.2元车费是以上限11公里来计算的，即顾客乘车的范围在10公里至11公里之间. 理论上收费是按式子10+1.2（x-5）来进行的，而实际收费是取上限值来进行的.

解：设从甲地到乙地的路程大约是x公里，依题意，得

10+5×1.2<10+1.2（x-5）≤17.2，

解得10

答：从甲地到乙地的路程大于10公里，小于或等于11公里.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）

一次函数与一元一次不等式练习题 篇9

教学目标：

1。会解一元一次不等式。

2。会用不等式来表示实际问题中的不等关系。

教学过程：

新课：

例 甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费;在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠?

这个问题较复杂，从何处入后考虑它呢?

甲商店优惠方案的`起点为购物款达___元后;

乙商店优惠方案的起点为购物款过___元后。

我们是否应分情况考虑?可以怎样分情况呢?

(1)如果累计购物不超过50元，则在两店购物花费有区别吗?

(2)如果累计购物超过50元而不超过100元，则在哪家商店购物花费小?为什么?

(3)如果累计购物超过100元，那么在甲店购物花费小吗?

练习：

1。某校校长暑假将带领该校市级优秀学生乘旅行社的车去A市参加科技夏令营，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”。乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票的6折优惠”，若全票价为240元。

(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙。分别计算两家旅行社的收费(建立表达式);

(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样?

(3)就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。

2。某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，该商店有两种优惠办法：

(1)买一只茶壶送一只茶杯;

(2)按总价的92%付款。现有一顾客需购买4只茶壶，茶杯若干只(不少于4只)。

请问：顾客买同样多的茶杯时，用哪一种优惠办法购买省钱?

3。某人的移动电话(手机)可选择两种收费办法中的一种，甲种收费办法是，先交月租费50元，每通一次电话再收费0。40元;乙种收费办法是，不交月租费，每通一次电话收费0。60元。问每月通话次数在什么范围内选择甲种收费办法合适?在什么范围内时选择乙种收费办法合适?

补充练习：

1。有一批货物，如月初售出，可获利1000元，并可将本利之和再去投资，到月末获1。5%的利息;如月末售出这批货，可获利1200元，但要付50元保管费。问这批货在月初还是月末售出好。

一元一次不等式教案 篇10

2、通过例题教学，学生能够学会从数学的角度认识问题，理解问题，提出问题，?? 学会从实际问题中抽象出数学模型．

3、能够认识数学与人类生活的密切联系，培养学生应用所学数学知识解决实际问题的意识．

教学重点?? 能够根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组）解决 实际问题

教学难点?? 审题，根据实际问题列出不等式．

例题?? 甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费。顾客到哪家商场购物花费少？?

解：设累计购物x元，根据题意得

（1）当0 ＜ x≤50时，到甲、乙两商场购物花费一样；

（2）当50＜ x≤100时，到乙商场购物花费少；

（3）当x ＞ 100时，到甲商场的花费为100+0.9（x-100），到乙商场的花费为50+0.95（x-50）则

50+0.95（x-50）＞ 100+0.9（x-100），解之得x ＞150

50+0.95（x-50）＜ 100+0.9（x-100），解之得x ＜ 150

50+0.95（x-50）= 100+0.9（x-100），?? 解之得x = 150

答：当0 ＜ x≤50时，到甲、乙两商场购物花费一样；

当50＜ x≤100时，到乙商场购物花费少；当x＞150时，到甲商场购物花费少；当100 ＜ x ＜150时，到乙商场购物花费少；当x=150时，到甲、乙两商场购物花费一样。

变式练习? 学校为解决部分学生的午餐问题，联系了两家快餐公司，两家公司的报价、质量和服务承诺都相同，且都表示对学生优惠：甲公司表示每份按报价的90%收费，乙公司表示购买100份以上的部分按报价的80%收费。问：选择哪家公司较好？

解：设购买午餐x份，每份报价为“1”，根据题意得

0.9x ＞ 100+0.8（x-100），解之得x ＞200

0.9x ＜ 100+0.8（x-100），解之得x ＜ 200

0.9x = 100+0.8（x-100），解之得x = 200

答：当x＞200时，选乙公司较好；当0 ＜ x ＜200时，选甲公司较好；当x=200时，两公司实际收费相同。

作业

1、某商店5月1号举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠。已知小敏5月1日前不是该商店的会员。请帮小敏算一算，采用哪种方案更合算？

一元一次不等式的“自述” 篇11

大家好！我是不等式家族中的一员，首先来作一下自我介绍吧！不等式，是等式的“死对头”，何出此言呢？因为它是表示不等关系的式子，而等式是表示相等关系的式子，即刚好与等式相对.可别小看这细小的差别，表示的符号可不尽相同，等号就一个，显得很“呆板”，而表示不等关系的符号可算是丰富多彩呢，如＞、＜、≥、≤、≠等都是表示不等关系的符号.我是一元一次不等式，顾名思义，不等式中只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，同时不等式两边必须是有关未知数的整式.如果有两个或两个以上的一元一次不等式组合在一起，那么便组成一元一次不等式组.

对实际生活中的数量关系，人们常利用列等式或不等式表示.用等式表示等量关系更直接、更简单，可用不等式表示不等关系时，可有许多“陷阱”在里面哦.一要当心不等号的不同别名，如“≥”，既可以说是“大于或等于”，同时也可说成“不小于”、“至少”；而“≤”，既可以说是“小于或等于”，也可以说是“不大于”，还可以说成“至多”呢.二要注意某些数学术语的含义，如正数，就是表示大于零的数；非正数，就是表示小于或等于零的数.读者朋友，你知道负数、非负数的含义吗？

我与一元一次方程是“孪生兄弟”，因为，我们仅仅是符号不同，一个是用等号连接式子的左右两边，另一个是用不等号连接式子的左右两边.同时，一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法有着惊人的相似，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等解一元一次不等式的步骤都与解一元一次方程的步骤相同.

虽然我与一元一次方程是”孪生兄弟”，但我们的关系并不好.一是因为一元一次不等式与一元一次方程虽仅一个符号的差别，但我们的解的情况却不同.一般情况下，一元一次方程只有一个解，而一元一次不等式有多个解，一元一次不等式的多个解组成一个集合，那便是一元一次不等式的解集.为了形象地说明不等式的解集是由无数个解组成，常常将不等式的解集在数轴上表示出来.你能很快、很准确地在数轴上画出不等式的解集吗？现在让我来告诉你一个小窍门：大于向右画，小于向左画，等于画黑点，不等于画圆圈.二是因为我们常因求解的根据闹个“不欢而散”，那是因为解一元一次方程的根据就两条（即等式的两条基本性质），很简单，就分加（减）运算和乘（除以）运算（乘或除以的这个数不为零）.由于一元一次方程排在我之前，大家对一元一次方程的解法习以为常了，而解一元一次不等式的根据有三条（即不等式的三条基本性质），其实就多了一条，而你们却嫌麻烦，真是太没耐心了！解一元一次不等式主要就是考查你们的耐心，除了要区分加（减）运算和乘（除以）运算（乘或除以的这个数不为零）外，关键是还要注意区分所乘（除以）的“那个数”是正数还是负数，当乘（除以）负数时不等号还得变方向呢！我和一元一次方程不和的原因主要是我的肚量不够大.其实我也想放开点，但是同学们做题进行到“系数化为1”这一步时，常常不分“青红皂白”，总是用等式的根据去做，造成不必要的错误，作为题目不难的我感到很痛心！

其实，我还有一元一次方程“不能及”的地方.多个一元一次不等式在一起可组成一元一次不等式组，可别看式子很多，实际解起来并不难，先分别求出各个不等式的解集，再利用数轴或口诀（同大取大，同小取小，大小小大取中，大大小小取空）即可确定出一元一次不等式组的解集.另外，人们还求我的特殊解呢，如整数解、非负整数解等.

虽然有关不等式的题目并不难，但我在中考试题中的分量并不少，而且经过老师们的辛勤努力，我在中考试题中的“化身”还经常推陈出新呢.下面请同学们来领略一下我在中考试题中的靓丽风采吧！

如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是.

（答案：21）

例析一元一次不等式的概念 篇12

一、不等式的概念

用不等号 (>, ≥, <, ≤, ≠) 表示不等关系的式子, 叫作不等式.在判断不等式时, 需要严格按照不等式的定义.

例1下列数学表达式:①-3x<0, ②3x+5>0, ③x2-6, ④x=-2, ⑤y≠0, ⑥x+2≥x.其中是不等式的个数是 () .

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】对照不等式的定义即可解决, 其中x+2≥x是绝对不等式, 也属于不等式的一种.故选C.

二、不等式的性质

不等式的性质与等式的性质有相同之处, 也有不同之处, 所以我们在学习时要注意联系与区分.不等式的性质1:不等式两边都加上 (或减去) 同一个数或同一个整式, 不等号的方向不变, 即如果a>b, 那么a±c>b±c.不等式的性质2:不等式的两边都乘 (或除以) 同一个正数, 不等号的方向不变, 即如果a>b, c>0, 那么ac>bc (或a/ c>b/ c) ;不等式的两边都乘 (或除以) 同一个负数, 不等号的方向改变, 即如果a>b, c<0, 那么ac<bc (或a /c<b/ c) .特别要注意性质2, 遇到负数时, 不等号的方向要改变.

例2如果a>b, 那么下列结论中, 错误的是 () .

【解析】不等式的性质是解不等式的依据, 只有理解了不等式的性质才能正确求出不等式 (组) 的解集和解决与不等式有关的一些问题.利用“不等式的性质1”可知A正确;利用“不等式的性质2”可知B、C正确.故选D.

例3学习了不等式的性质后, 小明和小亮对3a>2a是否成立进行了争论.小明说:“给3a>2a的两边同时除以a, 得3>2, 因为3>2成立, 所以3a>2a也一定成立.”小亮说:“这是不正确的.”你认为谁说得对?为什么?

【解析】当a>0时, 在不等式3>2的两边同乘a, 根据“不等式的性质2”, 不等号方向不改变, 此时3a>2a;当a=0时, 3a=2a=0;当a<0时, 在不等式3>2的两边同乘a, 根据“不等式的性质2”, 不等号方向改变, 此时3a<2a.

【点评】本题考查不等式的性质, 解决这类问题首先要分清不等式两边同时乘的是正数还是负数, 若是负数, 不等号的方向一定要改变, 其次就是掌握分类讨论的数学思想, 对a进行正确的分类.

三、一元一次不等式的概念

类似于一元一次方程, 含有一个未知数, 并且未知数的次数是1、系数不等于0的不等式叫作一元一次不等式.从概念中我们不难发现, 一元一次不等式必须满足三个条件: (1) 一个未知数; (2) 未知数的次数是1; (3) 左右两边均是整式.

例4下列不等式中不是一元一次不等式的是 () .

A.x>3 B.-y+1>y

C.1/x>2 D.2x>1

【解析】对照一元一次不等式的定义可知选C.

四、一元一次不等式的解和解集

能使一元一次不等式成立的未知数的值叫作一元一次不等式的解;它的所有的解的全体叫作这个不等式的解集.一元一次不等式的解集可以用最简单的不等式表示, 也可以用数轴来表示.用数轴表示不等式的解集, 应记住下面的规律:大于向右画, 小于向左画, 有等号 (≥, ≤) 画实心点, 无等号 (>, <) 画空心圈.

例5下列说法中, 错误的是 () .

A.不等式x<2的正整数解只有一个

B.-2是不等式2x-1<0的一个解

C.不等式-3x>9的解集是x>-3

D.不等式x<10的整数解有无数个

【解析】本题考查的是如何解不等式和求不等式整数解.不等式x<2的正整数解为x=1;2x-1<0的解集为x<1/2, -2在这个解集中;x<10的整数解有无数个, 包括无数个负整数解、0和1到9这9个正整数解.故选C.

例6不等式2x+1≥3的解集在数轴上表示正确的是 () .

【解析】先解不等式, 再在数轴上表示解集.移项, 合并, 得2x≥2, 将x的系数化为1, 得x≥1, 故选D.

五、解一元一次不等式

一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似, 但要特别注意不等式的两边都乘 (或除以) 同一个负数时, 不等号的方向要改变.解一元一次不等式的一般步骤:①去分母, ②去括号, ③移项, ④合并同类项, ⑤系数化为1.当然我们在解不等式时, 上面的五个步骤不一定都用到, 并且不一定按照顺序解, 要根据不等式的形式灵活安排求解步骤.

例7解不等式并把它的解集在数轴上表示出来.

【解析】一元一次不等式解法的一般步骤与一元一次方程相同, 不等式中含有分母, 应先在不等式两边都乘各分母的最小公倍数去掉分母, 在去分母时不要漏乘没有分母的项, 再作其他变形.所以去分母, 得4 (2x-1) -2 (10x+1) ≥15x-60;去括号, 得8x-4-20x-2≥15x-60;移项, 合并同类项, 得-27x≥-54;系数化为1, 得x≤2.在数轴上表示解集如图1所示.

六、一元一次不等式的应用

列一元一次不等式解实际应用问题, 可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧, 不同的是, 列不等式解应用题, 寻求的是不等关系, 因此, 根据问题情境, 抓住应用问题中“不等”关系的关键词语, 如“大于”“小于”“不小于”“不大于”, 或从题意中体会, 感悟出不等关系十分重要.

例8甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格相同, 每张办公桌800元, 每张椅子80元.甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案.甲厂家:买一张桌子送三张椅子;乙厂家:桌子和椅子全部按原价8折优惠.现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子, 若购买的椅子数为x张 (x≥9) .

(1) 分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额;

(2) 购买的椅子至少多少张时, 到乙厂家购买更划算?

【解析】 (1) 根据甲、乙两厂家的优惠方案可知, 甲厂家所需金额为800×3+80 (x-9) =1 680+80x;乙厂家所需金额为 (800×3+80x) ×0.8=1 920+64x;

(2) 令甲厂家的花费大于乙厂家的花费得:1 680+80x>1 920+64x, 解得:x>15.

答:购买的椅子至少16张时, 到乙厂家购买更划算.

七、一元一次不等式组的概念及解法

由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组就叫作一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分, 叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集.我们把求一元一次不等式组的解集的过程, 叫作解一元一次不等式组.当任何数都不能使不等式同时成立时, 我们就说这个不等式组无解或其解为空集.那如何解一元一次不等式组呢?通常是先分别求出不等式组中各个不等式的解集, 然后利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分, 即这个不等式组的解集.有时我们也可以用不等式组公共解的一般规律来确定解集.这个规律就是:同大取大, 同小取小, 大小小大中间找, 大大小小无处找.

例9解不等式组并将解集在数轴上表示出来.

【解析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集, 根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.

解不等式①得:x<-1;解不等式②得:x≤2.

所以不等式组的解集是:x<-1.在数轴上表示不等式组的解集, 如图2所示.

《一元一次不等式》教学反思 篇13

2、加强对实际问题中抽象出数量关系的数学建模思想教学，体现课程标准中：对重要的概念和数学思想呈螺旋上升的原则。要注意对一元一次方程相关知识的复习，让学生进行比较、归纳，理解它与一元一次不等式的的联系与区别（特别强调“不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变”），教学中，一方面加强训练，锻炼学生的自我解题能力。另一方面，通过“纠错”题型的练习和学生的相互学习、剖析逐步提高解题的正确性。

3、把握教学目标,防止在利用一元一次不等式(组)解决实际问题时提出过高的要求,陷入旧教材“繁、难、偏、旧”的模式，重点加强文字与符号的联系，利用题目中含有不等语言的语句找出不等关系，列出一元一次不等式（组）解答问题，注意与利用方程解实际问题的方法的区别（不等语言），防止学生应用方程解答不等关系的实际问题。

一元一次不等式教学设计 篇14

主备课人：辛高鹏 审核：初二数学组 时间：2011.4 教学目标: 掌握一元一次不等式的解法,能熟练的解一元一次不等式 教学重点:是掌握解一元一次不等式的步骤．

教学难点:是必须切实注意遇到要在不等式两边都乘以(或除以)同一负数时，必须改变不等号的方向.教学过程:

一、问题导入，提出目标

1导入:请同学们思考两个问题：一是不等式的基本性质有哪些？二是什么是一元一次方程？并举出两个例子。解一元一次方程：1－2x =x + 3，2、学习目标

（1）能说出一元一次不等式的定义。

（2）会解答一元一次不等式，并能把解集在数轴上表示出来。

二、指导自学，小组合作

请同学们根据导学提纲进行自学，先个人思考，后小组合作学习。（导学提纲内容如下）

1、观察下列不等式，说一说这些不等式有哪些共同特点？

（1）3x-2.5≥12（2）x≤6.75（3）x＜4（4）5-3x＞14

什么叫做一元一次不等式？

2、自己举出2或3个一元一次不等式的例子，小组交流。

3、通过自学例1：

解一元一次不等式，并将解集在数轴上表示出来：3－x ＜ 2x + 6

4、思考：一元一次不等式与一元一次方程的解法有哪些类似之处？有什么不同？

5、解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。

例2：4（x－1）+2> 3(x+2)－x

例3：（x－2）/ 2≥（7－x）/ 3

6、总结：解一元一次不等式的步骤。

三、互动交流，教师点拨

1、交流导学提纲中的1—6题。

学生易出错的问题和注意的事项：

（1）确定一个不等式是不是一元一次不等式，要抓住三个要点：左右两边都是整式，只有一个未知数，未知数的次数是1。

（2）对于例1，让学生说明不等式3－x ＜ 2x + 6的每一步变形的依据是什么，特别注意的是：解不等式的移项和解方程的移项一样。即移项要变号（培养学生运用类比的数学思想）。

（3）不等式两边同时除以（－3）时，不等号的方向改变。

2、重点点拨例2和例3，学生到黑板上板演。

（1）例2易出错的地方是：去括号时漏乘，移动的项没有变号。

（2）例3易出错的地方是：去分母时漏乘无分母（或分母为1）的项。

3、归纳解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程的步骤类比）：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。

四、当堂训练，达标检测

1、判断下列不等式是不是一元一次不等式。

（1）1/x+3<5x–1(2)5x+3<0（3）3x+2>x–1(4)x（x–1）<2x

2、解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来

（1）3x+8<7x–12

（2）2(x+2)≥x–4

（3）x/5≥3+（x–3）/ 2

五、作业

解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来

（1）2（1+3x）>20–3x（2）(x–3)/7≥x–6

一次函数与一元一次不等式练习题 篇15

一、概念不清

例1 若a>b,则ac2_____bc2.

【错解】因为c2>0且a>b,所以ac2>bc2,故填>.

【剖析】上面的解法错在忽视了c=0. 当c=0时,ac2=bc2.

【正解】因为c2≥0,且a>b,所以ac2≥bc2,故应填≥.

例2若(m+1)x|m| +2>0是关于x的一元一次不等式,则m的取值是______.

【错解】由题意,得|m| =1,∴m=±1. 故填±1.

【剖析】当m=-1时,m+1=0,此时得到不等式2>0. 一元一次不等式应满足的条件是:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是1;③是不等式. 一元一次不等式的一般形式是:ax+b>0或ax+b<0(a≠0),在解题时切不可忽视a≠0的条件.

【正解】由题意,得|m| =1,且m+1≠0,即m=±1且m≠-1,∴m=1.故应填1.

二、运算错误

例3解不等式:6x+14>3x-1.

【错解】移项,得6x+3x>-1+14,

合并同类项,得9x>13,

系数化为1,得x>(13)/9.

【剖析】移项是解不等式时的常见步骤,可以说它是不等式性质1的直接推论.但要注意移项必须变号,而上面的解法就错在移项时忘记了变号.

【正解】移项,得6x-3x>-1-14,

合并同类项,得3x>-15,

系数化为1,得x>-5.

例4解不等式5x-3(2x-1)>-6.

【错解】去括号,得5x-6x-3>-6,解得x<3.

【剖析】错解在去括号时,忽视了括号前的负号,没有将括号内的项全改变符号.去括号时,当括号前面是“-”时,去掉括号和前面的“-”,括号内的各项都要改变符号.

【正解】去括号,得5x-6x+3>-6,解得x<9.

例5解不等式

【错解】去分母,得2x+2-6x-15≥12,

移项,得2x-6x≥12-2+15,

合并同类项,得-4x≥25,

系数化为1,得x≤-(25)/4.

【剖析】分数线具有“括号”的作用,故在去分母时,分数线上面的多项式应作为一个整体. 上面的解法就错在忽视分数线的括号作用.

【正解】去分母,得2(x+1)-3(2x-5)≥12,

去括号,得2x+2-6x+15≥12,

移项,得2x-6x≥12-2-15,

合并同类项,得-4x≥-5,

系数化为1,得x≤5/4.

三、条件分析不清

例6代数式x-1与x-2的值符号相同,则x的取值范围________.

【错解】由题意,得解之,得x>2,故填x>2.

【剖析】上面的解法错在忽视了对符号相同的分类讨论.由题意知,符号相同,两代数式可以均是正数,也可以均是负数,应分大于0和小于0进行探究.

【错解】由①得x>8,由②得x<2-4a,因不等式组有四个整数解,故8<x<2-4a中的整数解有4个,即9、10、11、12,故2-4a≤13,解得a≥-(11)/4.

【剖析】上面的解法错在忽视隐含条件2-4a>12. 当有多个限制条件时,对不等式关系的发掘不全面,会导致未知数范围扩大,因此解决这方面的问题时一定要细心留意隐含条件.

【正解】由①得x>8,由②得x<2-4a,因不等式组有四个整数解,故8<x<2-4a中的整数解有4个,即9、10、11、12,故12<2-4a≤13,解得-(11)/4≤a<-5/2.

四、用数轴表示解集时,忽视虚、实点

例8解不等式组并把它的解集在数轴表示出来.

【错解】解不等式①,得x>5,解不等2式②,得x≤4.

在同一条数轴上表示不等式①、②的解集,原不等式组的解集如图1.

【剖析】本题的解集没有错,错在用数轴表示解集时,忽视了虚、实点.不等式的解集在数轴上表示时,没有等号的要画虚点,有等号的要画实点.

【正解】解不等式①,得x>5/2,解不等式②,得x≤4,在同一条数轴上表示不等式①、②的解集,如图2,原不等式组的解集是5/2<x≤4.

五、应用问题的条件与结论分析不清

例9一次环保知识竞赛共有25道题,规定答对一道题得4分,答错或不答一道题扣1分,在这次竞赛中小明成绩为优秀(85分或85分以上),问小明至少答对了几道题?

【错解】设小明至少答对x道题,根据题意,得

4x-1×(25-x)≥85,

解这个不等式,得

x≥22.

答:小明至少答对了22道题.

【剖析】如果设他至少答对x道题,则应列方程,因为“至少”表示的是一个确切的值,而不是一个范围,本题应设“小明答对了x道题”.

【正解】设小明答对了x道题,根据题意,得

4x-1×(25-x)≥85,

解这个不等式,得

x≥22.

答:小明至少答对了22道题.

例10一堆玩具分给若干个小朋友,若每人分3件,则剩余4件;若前面每人分4件,则最后一人得到的玩具不足3件. 求小朋友的人数与玩具数.

【错解】设有x个小朋友,则玩具的个数是(3x+4),根据题意,得

3x+4-4(x-1)<3,

解这个不等式,得

x>5,

取x=6、7、8……即可求出相应的玩具个数.

【剖析】错解忽略了问题的实际意义,最后一个小朋友得到的玩具数最少是0个.

【正解】设有x个小朋友,则玩具的个数是(3x+4),根据题意,得

0≤3x+4-4(x-1)<3,

解这个不等式,得

5<x≤8.

所以,小朋友的人数是x=6、7、8,

相应的玩具数是3x+4=22、25、28.

例11有学生若干人,住若干间宿舍,若每间住4人,则有20人无法安排住宿;若每间住8人,则有一间宿舍不满也不空. 问宿舍间数是多少?

【错解】设宿舍间数为x,学生人数为4x+20,由题意,得4x+20-8(x-1)<8,解得x>5,∵x是正整数,∴x=6,7,8……

答:至少有6间宿舍.

【剖析】错解的原因在于对题意不够理解,忽视题中的“一间宿舍不满也不空”这一条件.审清题意是解决这类问题的关键.

【正解】设宿舍间数为x,学生人数为4x+20,由题意,0<4x+20-8(x-1)<8,解得5<x<7,∵x是正整数,∴x=6.

解一元一次不等式五注意 篇16

一、 注意去分母时，各项都要乘以分母的最小公倍数

例1解不等式：－＞1．

分析：本题有分母，根据解不等式的步骤，先去分母，不等式两边各项同乘以分母的最小公倍数6.

解：去分母得：3x－2x＞6．

合并同类项，得：x＞6.

注意点：去分母时，要注意1作为单独一项不要忘记乘6.这是很多同学发生错误较多的地方.

二、 注意变号

例2解不等式：－3x＋1≥－4x．

分析：本题没有分母也没有括号，根据解不等式的步骤，先移项．移项时，各项要改变符号.－4x移到不等式左边要变成＋4x，＋1移到不等式右边要变成－1.

解：移项得：4x－3x≥－1．

合并同类项，得：x≥－1．

注意点：很多同学往往忘记改变符号或者只改变其中一项的符号.要注意，移到不等式另一边的各项都要改变符号.

三、 注意不等号的方向

例3解不等式：－＞1．

分析：本题有分母，根据解不等式的步骤，先去分母，不等式两边同乘以6.

解：去分母得：2x－3（x－1）＞6．去括号，得：2x－3x＋3＞6．移项，得：2x－3x＞6－3．合并同类项，得：－x＞3．系数化成1，得：x＜－3.

注意点：系数化成1时，如果不等式两边同除以（或同乘以）的是负数，不等号要改变方向.许多同学往往只记住改变3的符号，忘记改变不等号的方向.要注意符号和不等号方向的改变.

例4 解不等式：3＜3（x＋2）－2（x＋3）．

分析：本题有括号，根据解不等式的步骤，先去括号，括号前的数要与括号里的各项相乘.

解：去括号得：3＜3x＋6－2x－6．合并同类项得3＜x，即x＞3．

注意点：当合并同类项出现3＜x时，实质上已经得出答案了.但是很多同学却在这儿犯了错误.要注意把x写在不等号左边，3写在不等号右边.

四、 注意用数轴正确表示不等式的解集

例5 在数轴上表示下列不等式的解集：

①x＜2； ②x≥2．

分析：用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向.有等号用实心点，没有等号用空心圈，大于向右，小于向左.

解：①②

注意点：确定边界和方向，这是很多同学容易犯错误的地方．一定要记牢上面的那句话.

五、注意出现字母系数时要分情况讨论

例6 关于x的不等式a（x＋3）≤－2ax的解集是.

分析：本题含有字母系数.解题时前4个步骤与解不含字母系数的不等式的步骤是一样的.第5步时要对系数的取值进行讨论.

解：去括号得：ax＋3a≤－2ax．移项得：ax＋2ax≤－3a ．合并同类项得3ax≤－3a，即ax≤－a．系数化成1得：当a＞0时，x≤－1；当a＝0时，x为一切实数；当a＜0时，x≥－1．

注意点：解含有字母系数的不等式时，要注意不等式两边同乘以（或同除以）含字母的式子时，要对式子的取值进行讨论.

同学们，上面解一元一次不等式的方法和注意点你掌握了吗？不妨用下面的练习题测试一下自己.如果全做对了，说明你已经掌握了.如果还有错误，说明你没有掌握好，还需要继续努力.

<\192.168.0.129本地磁盘 (d)王玲霞数据八年级数学北师大08年1-2期版式+图jjgg.TIF>[练习]

1． 解不等式：y－1＞7－y．

2． 解不等式≤＋4，并把它的解集在数轴上表示出来.

3． 解关于x的不等式：＋3＞x＋a．

参考答案

1． y＞4．

2． x≥－3.图略.

3． 去分母得：ax＋9＞3（x＋a）．去括号得：ax＋9＞3x＋3a．移项得：ax－3x ＞3a－9．合并同类项得：（a－3）x ＞3（a－3）．系数化成1得：当a－3＞0时，即a＞3时，x＞3；当a－3＝0时，即a＝3时，无解；当a－3＜0时，即a＜3时，x＜3．

研究发现：人类进化速度正在加快

一项最新的研究称，世界也许变得越来越像地球村，但地球村居民在遗传方面却越来越不同，这是因为人类进化的速度在加快.

遗传学家们说，自智人从非洲迁移到其他大陆的4万年来，人口数量猛增，人类进化速度与在此之前的进化速度相比要快得多.

现代人类的进化速度比在1万年前的冰川期快100倍.这使得不同种族之间的差异越来越大.

参与这项研究的专家指出：“在遗传方面，我们与生活在5 000年前的人的差异比他们与尼安德特人（约10万年前的一种早期智人）的差异要大.”这个研究结果建立在一项国际基因组计划所进行的数据分析的基础上.科学家小组对来自四个不同种族的270个人的DNA进行研究.研究人员的分析显示，自然选择的进程加快了.这与传统观点相反.传统观点是，人类进化已经变得很慢，甚至在现代人身上停滞了.

研究人员在论文中写道：“人口迅速增多与文化和生态环境的巨大变化相结合，为人类提供了新的适应机会.”这篇论文刊登在美国《国家科学院学报》上.

“1万年来，人类的骨骼和牙齿迅速进化，并出现对饮食和疾病新的遗传反应.”（摘自2007年12月12日早报网）

一元一次不等式说课稿 篇17

大家好，今天，我说课的内容是一元一次不等式。

对于本节课，我将从教什么、怎么教、为什么这么教来阐述本次说课。

新课标指出：数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上都能得到不同的发展。今天我将贯彻这一理念从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。

一、说教材

教材是连接教师和学生的纽带，在整个教学过程中起着至关重要的作用，所以，先谈谈我对教材的理解。

本节课主要讲述的是一元一次不等式的概念及其解法。

在本节课之前学生已经掌握了一元一次方程的相关知识和不等式的性质，所以，本节课类比一元一次方程的解法，利用不等式的性质解一元一次不等式。另外，本节课为后续学习解一元一次不等式组奠定基础。

不等式在日常生产生活中的应用很广泛，它与数、式、方程、函数甚至几何图形有着密切的联系，它几乎渗透到初中数学的每一部分。所以，本节课在数学领域中起着非常重要的地位。

二、说学情

合理把握学情是上好一堂课的基础，本次课所面对的学生群体具有以下特点。

本学段的学生逐渐掌握抽象概念和复杂的概念系统，能作科学定义，抽象逻辑思维逐步占优势。

本阶段的学生类比推理能力都有了一定的发展，并且在生活中已经遇到过很多关于一元一次方程的具体的事例，所以在生活上面有了很多的经验基础。为本节课的顺利开展做好了充分准备。

三、说教学目标

根据以上对教材的.分析以及对学情的把握，我制定了如下三维目标：

(一)知识与技能

认识一元一次不等式，会解简单的一元一次不等式，类比一元一次方程的步骤，总结归纳解一元一次不等式的基本步骤。

(二)过程与方法

通过对比解一元一次方程的步骤，学生自己总结归纳一元一次不等式步骤的过程，提高归纳能力，并学会类比的学习方法。

(三)情感态度价值观

通过数学建模，提高对数学的学习兴趣。

四、说教学重难点

本着新课程标准，吃透教材，了解学生特点的基础上我确定了以下重难点：

(一)教学重点

掌握一元一次不等式的概念，会解一元一次不等式并能够在数轴上表示出来。

《一元一次不等式》的教学反思 篇18

一、由于录课在外校，自己对学生不了解，课上的不是很好，匆忙的复习不等式的性质后就让学生进入下一个环节，以至于先学环节不连贯，大约有2分钟后还是能充分调动学生的积极性，并注重了学生回答：在两边同时乘以或者除以负数时，不等号改变方向，这个环节能想方设法鼓励孩子，这时课堂气氛也开始活跃起来。

二、在学习新知的教学中，我采用了先学后教，当堂训练的教学模式。我先引导学生通过看教材思考，运用举例子等学习活动，将主动权交给学生，这样不仅培养了学生小组合作学习的能力，同时也提高了其参与尝试的兴趣。其次，我在后教环节，除让三个孩子上黑板练习外，其余学生分组练习，同时，我在课堂巡堂时，检查每个学生的练习，发挥学生的力量，开展“生帮生”的活动，放手给孩子改正的权利，发现问题及时纠正。

三、我采用引导发现法培养学生类比推理能力，通过类比一元一次方程的解法归纳一元一次不等式的解法，并在小结环节充分发挥学生的主体作用，让学生自己发表见解，使学生在轻松愉快的气氛中掌握知识。

一次函数与一元一次不等式练习题 篇19

一、换元法

例1 斜率为k的直线与曲线f ( x) = lnx交于A ( x1, y1) , B ( x2, y2) ( x1< x2) 两点, 求证: x1<< x2.

所以原不等式x1<1/k<x2成立.

注通过常见的比值代换 ( 令t =) , 就可以把复杂的二元不等式证明问题转化为一元不等式的证明, 使问题变得简单、常规.

例2 已知函数f ( x) = ex, x∈R的图像与g ( x) 的图像关于直线y = x对称.

( Ⅰ) 若直线y = kx + 1 与g ( x) 的图像相切, 求实数k的值;

( Ⅱ) 判断曲线y = f ( x) 与曲线y =x2+ x + 1 公共点的个数.

( Ⅲ) 设a < b, 比较的大小, 并说明理由.

分析 (Ⅰ) 、 (Ⅱ) 略.

(Ⅲ) 解法一:

设b - a = x ( x > 0) ,

令g ( x) = x + 2 + ( x - 2) ·ex, x > 0,

则g' ( x) = 1 + ( 1 + x - 2) ·ex= 1 + ( x - 1) ·ex.

g' (x) 的导函数g″ (x) = (1+x-1) ·ex=x·ex>0,

所以g' (x) 在 (0, +∞) 上单调递增, 则

g' ( x) > g' ( 0) = 0,

从而g ( x) 在 ( 0, + ∞ ) 上单调递增, 又g ( 0) = 0, 则在 ( 0, + ∞ ) 上g ( x) > 0,

注对于第 ( Ⅲ) 小题, 绝大部分的学生会望而生畏. 本题要比较两数的大小, 而大小关系又与函数的单调性密切相关, 由此可过渡到先作差, 再根据差式的结构, 构造恰当的函数, 利用导数研究函数的单调性, 借助单调性比较函数值的大小. 难点在于如何对差式变形出相同的式子“b - a”, 才能利用换元法构造函数.

二、主元法构造函数

以b为主元, 并将其视为x, 构造函数h ( x) = ( x - a) · ( ex+ ea) - 2· ( ex- ea) ( x > a) , 则

h' (x) = (x-a-1) ·ex+ea, 且h' (a) =0.

∵h″ (x) = (x-a) ·ex且x-a>0,

∴h' (x) 在 (a, +∞) 上单调递增,

∴当x>a时h' (x) >h' (a) =0,

∴h (x) 在 (a, +∞) 上单调递增,

∴当x>a时, h (x) >h (a) =0,

注: 例2 ( Ⅲ) 的解法一中作差后式子结构复杂, 虽然通过变形, 运用换元法后式子变得相对简单, 但该方法对式子的变形能力要求较高, 很多学生不易想到. 在本题中同时出现了a、b两个未知数, 解法二将其中b看作变量当主元x, a看成常数, 利用主元法构造一元函数, 再借助导数研究函数的单调性, 则可化难为易.

三、利用“相同结构”构造函数

例3 f ( x) 是定义在 ( 0, + ∞ ) 上的非负可导函数, 且满足xf' ( x) - f ( x) ≤0, 对任意正数a、b, 若a < b, 则必有 () .

A. af ( b) ≤bf ( a) B. bf ( a) ≤af ( b)

C.af (a) ≤f (b) D.bf (b) ≤f (a)

上是减函数. 由a < b, 得, 即af ( b) ≤bf ( a) .故选A.

注本例构造辅助函数关键在于将选项中的不等式转化为左右两边是相同结构的式子. 如选项A: 转化后的不等式的两边都有“”的相同结构, 所以考虑构造辅助函数F ( x) =.

例4已知函数f ( x) = ln ( x + m) + 2x2在点P ( 0, f ( 0) ) 处的切线与直线x + y = 0 垂直.

( Ⅰ) x1> x2> - m, f ( x1) - f ( x2) > a ( x1- x2) 恒成立, 求实数a的取值范围;

(Ⅱ) 当x>0时, 求证ln (x+1) +2x2 (9x-5) .

分析由条件先求得m=1.

构造g ( x) = f ( x) - ax, 则g ( x1) > g ( x2) .

由x1> x2> - 1, 得g ( x) 在 ( - 1, + ∞ ) 上单调递增, 故只需g' ( x) =+ 4x - a > 0 在 ( - 1, + ∞ ) 上恒成立, 解得a≤0.

( Ⅱ) 略.

注本题 ( Ⅰ) 中的不等式含有x1, x2两个变量, 观察不等式的两边, 通过移项, 使其左右两边具有相同的结构“f ( x) - ax”, 再利用这一结构特征构造函数g ( x) = f ( x) - ax.

四、对数法构造函数

例5已知m, n都是正整数, 且1 < m < n, 证明: (1+m) n> (1+n) m.

证明要证 ( 1 + m) n> ( 1 + n) m, 只需证ln ( 1 + m) n>ln ( 1 + n) m, 即证:

∴f' (x) <0, 即f (x) 在[2, +∞) 上单调递减.

又m<n, ∴f (m) >f (n) .

注对指数型不等式, 通过两边同时取同底的对数 ( 常取以e为底的对数) , 将其转化为对数型不等式, 再根据具体情况 ( 如本例中利用“相同结构”) 构造辅助函数.

五、利用图像的对称性构造函数

例6 已知函数f ( x) = xe- x ( x∈R) .

(Ⅰ) 求函数f (x) 的单调区间和极值;

( Ⅱ) 如果x1≠x2, 且f ( x1) = f ( x2) , 证明x1+ x2> 2.

分析 ( Ⅰ) 函数f ( x) 在 ( - ∞ , 1) 上单调递增, 在 ( 1, + ∞ ) 上单调递减. 所以函数f ( x) 在x = 1 处取得极大值, 无极小值.

可知 (x1-1) (x2-1) <0, 不妨设x1<1<x2.

函数y = f ( x) 与y = f ( 2 - x) 的图像关于直线x = 1 对称, 在同一直角坐标系中, 作出y = f ( x) 与y = f ( 2 - x) 的大致图像 ( 如上) .

构造g ( x) = f ( x) - f ( 2 - x) = xe- x- ( 2 - x) ex - 2,

则只需证x > 1 时, g ( x) > 0.

由g' ( x) = ( x - 1) ( e2x - 2- 1) e- x, 得g ( x) 在 ( 1, + ∞ ) 上是增函数,

所以g ( x) > g ( 1) = 0.

注第 ( Ⅱ) 小题虽是不等式的证明, 但通过对x1+x2> 2 变形为x1> 2 - x2, 又转化为两个数比大小的问题, 因而考虑构造函数, 利用函数的单调性比大小. 本小题的突破口在于由不等x1> 2 - x2, 联想到f ( 2 - x2) 与f ( x2) 关于直线x = 1 对称, 因而构造函数g ( x) = f ( x) - f ( 2 - x) .

“一元一次不等式组”教法探索 篇20

我尝试这种方法的教学过程如下：开始向同学们抛出一个生活中的问题：现有两根木条a和b，a长10cm，b长为3cm. 如果要再找一根木条c，用这三根木条钉成一个三角形木框，那么对木条c的长度有什么要求？

同学们经过互相讨论，根据“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得出了结果：假设木条c为xcm，可知x必须同时满足不等式x<10+3和x>10-3

把这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组，记作：

x<10+3

x>10-3

利用数轴体会：x可取值的范围，是两个不等式解集的公共部分

■

即7< x <13

可知x在数轴上没有公共部分，即不等式组无解。

讲完了这几组不等式组，看到有些同学对于这些不等式组解集的公共部分还不是很清楚，于是可以再用口诀的方法帮助同学们更好地理解本节课的内容。

针对学情，于是我又向全班学生抛出了个探讨性的问题：“同学们，你们知道解由两个一元一次不等式组成的不等式组，在取各个不等式的解公共部分时，有几种不同的情况吗？”

同学们有的说3种，有的说4种，甚至还有的同学说只有两种。这时候笔者没有马上为他们给出正确答案，而是让他们说出当a<b时，由x与a、b的大小不同关系可以组成几种不同的不等式组。

于是根据几位同学的发言列出了下面几组不等式组：

（1）  x>a     （2）  x<a     （3）  x>a      （4）  x<a

x>b   x<b     x<b   x>b

于是由两个一元一次不等式组成的不等式组，在取各个不等式的解公共部分时，有几种不同的情况的疑问也就迎刃而解。

这时看到同学们已经懂了七八成，笔者也灵感一现，用手势语结合口诀来帮助同学们更加形象理解不是更好吗？于是便把桌子当成数轴，而将桌子的右边视为正方向，同学们的左右两肘表示数轴的两个取值，两手掌的方向就表示两个取值的方向。下面就说一下笔者为同学们创造的手势语（略）。

看到教师为同学们创造的手势语，大家都觉得很有意思，就是连平时基础很差的学生都非常乐意地用起手势语来，教师只要一说口诀，同学们就会比划，刚开始有少数几个同学比划错了，通过同学们的多次比划，后来没有一个同学出错，笔者为同学们高兴，也为自己想到这么好的方法感到高兴，毕竟他们每个同学都掌握其中的要领了，并且掌握得很轻松。

课后小结的时候让同学们谈学到了什么，有什么体会，同学们都谈到了这节课的手势语令大家很难忘，对于后来的作业，学生都表示出了极高的兴趣，结果也证明了这一点，这次课后的作业的正确率达到了95%。

通过这节课的教学，笔者深刻地体会到通过手势语结合口诀来理解一元一次不等式组的解集是本节课的一大亮点。以前通过画数轴让学生理解一元一次不等式组的解集，学生只是停留在观看的层面上，学习的积极性不高，有些学生并没有掌握本次课的内容，教师也不能立即发现。而教师通过手势语结合口诀的方法，让每位学生都能参与其中，充分调动了学生的积极性，从而更好地掌握了本节课的教学内容。即使有个别学生没有掌握，教师也可通过他比画的手势语对不对就能马上发觉。总之，这节课学生的学习积极性很高，课堂气氛很活跃，就连一些平时基础很差的学生都能投入其中，并轻松掌握了本次课的内容。◆（作者单位：江西省铅山县教研室）