抽屉原理行测

抽屉原理行测（共10篇）

抽屉原理行测 篇1

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题干中含有诸如“至少„„才能保证„„”、“要保证„„至少„„”这类叙述的题目，一般可以用抽屉原理来解决，称为抽屉问题。对于这类问题，常应用到以下两个抽屉原理，中公教育政法干警考试专家通过以下两个例子为您详细解析。

抽屉原理1

将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于2件。抽屉原理2

将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于(m+1)件。

除此之外，抽屉问题也可以用最差原则来考虑。所谓最差原则，就是考虑问题发生的最差情况，然后就最差情况进行分析。最差原则是极端法的一种应用，一般情况下，我们优先考虑用最差原则来解决抽屉问题。

【例题1】抽屉里有黑白袜子各10只，如果你在黑暗中伸手到抽屉里，最少要取出几只，才一定会有一双颜色相同?

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：此题答案为B。应用最差原则，最差的情况是先取出两只不同的袜子，此时再取一只必然出现一双颜色相同的，故最少取出3只可保证题干条件。

【例题2】把154本书分给某班的同学，如果不管怎样分，都至少有一位同学会分得4本或4本以上的书，那么这个班最多有多少名学生?

A.77 B.54 C.51 D.50

解析：此题答案为C。此题首先考虑使用最差原则，发现不容易得出答案。看到“至少有一位同学会分得4本或4本以上”这种抽屉问题的标准表述，因此可以考虑使用抽屉原理。每位同学看成一个抽屉，每个抽屉内的物品不少于4件，逆用抽屉原理2，则有m+1=4，m=3。154=3×n+1，n=51，所以这个班最多有51名学生。

抽屉原理行测 篇2

定理:如果将n+1个物体放进n个抽屉, 那么至少有一个抽屉中包含两个或更多的物体.

证明:如果这n个盒子中的每一个至多包含有一个物体, 那么物体的总数最多是n, 既然我们有n+1个物体, 于是某个盒子中就必然包含至少两个物体.

2.抽屉原理应用举例

例1:给定m个整数a1, a2, …, am, 存在0≤k

解:为了深入这个问题, 考虑m个和

a1, a1+a2, a1+a2+a3, …, a1+a2+a3+…+am

如果这些和当中的任意一个可被m整除, 那么结论就成立.因此, 我们可以设这些和中的每一个除以m都有一个非零余数, 余数等于1, 2, …, m-1.由于存在m个和而只有m-1个余数, 则必然有两个和数除以m有相同的余数.因此, 存在整数k和l, k

a1+a2+…+ak=bm+r, a1+a2+…+al=cm+r

二式相减, 我们发现ak+1+…+al= (c-b) m, 从而ak+1+…+al能够被m整除.

为了解释上面的论断, 令m=7, 并令整数为2, 4, 6, 3, 5, 5, 6.计算上面的和得到2, 6, 12, 15, 20, 25, 31, 其中当被7除时余数分别为2, 6, 5, 1, 6, 4, 3.有两个等于6的余数, 这意味着结论:6+3+5=14可被7整除.

例2:一位国际象棋大师有11周的时间备战一场锦标赛, 他决定每天至少下一盘棋, 但为了不使自己过于疲劳他还决定在每周不能下棋超过12盘.证明:存在连续若干天, 期间这位大师恰好下了21盘棋.

解:令a1是在第一天所下的盘数, a2是在第一天和第二天所下的总盘数, 而a3是在第一天、第二天和第三天所下的总盘数, 等等.由于每天至少要下一盘棋, 故数值序列a1, a2, …, a77是一个严格递增序列.此外, a1≥1, 而且由于每周下棋最多是12盘, a77≤12×11=132.

因此, 我们有

1≤a1

序列a1+21, a2+21, …, a77+21也是一个严格递增序列:

22≤a1+21

于是, 这154个数

a1, a2, …, a77, a1+21, a2+21, …, a77+21

中的每一个都是1到153之间的一个整数.由此可知, 它们中间有两个是相等的.既然a1, a2, …, a77中没有相等的数, 并且a1+21, a2+21, …, a77+21中也没有相等的数, 因此必然存在一个i和一个j使得ai=aj+21.从而, 这位国际象棋大师在第j+1, j+2, …, j+i天总共下了21盘棋.

例3:从整数1, 2, …, 200中, 我们选择101个整数.证明:在所选的这些整数之间存在两个这样的整数, 其中的一个可被另一个整除.

通过分解出尽可能多的2因子, 我们看到, 任一整数都可以写成2^k×a的形式, 其中k≥0并且a是奇数.对于1到200之间的一个整数, a是100个数1, 3, 5, …, 199中的一个.因此, 在所选的101个整数中存在两个整数, 当写成上述形式时这两个数具有相同的a值.令这两个数是2^r×a和2^s×a.如果rs, 那么第一个数就能被第二个数整除.

注意, 例3在这种意义下是最好的可能:从1, 2, …, 200中可以选择这样的100个数, 其中没有一个能被另一个整除, 比如, 101, 102, …, 199, 200就是这样的整数.

我们以另外的, 来自数论中的应用来结束本段.首先我们回忆, 如果两个正整数m和n的最大公约数为1, 我们就称它们为互数.

于是, 12和35互数, 而12和15则否, 因为3是12和15的公因子.

3.问题的总结

通过上述三个例题, 我们看到, 利用抽屉原理能够解决看起来很复杂的问题, 而得出解决问题的关键是为后面巧妙地构造抽屉.

参考文献

[1]Richard.Brualdi著.罗平等译.组合数学.北京:机械工业出版社, 2005.2.

趣谈“抽屉原理” 篇3

例1 储蓄筒里有五分硬币50枚,二分硬币60枚。如果倒出硬币,一次必须倒出几枚,才能保证至少有1枚五分硬币?

分析与解 如果一次倒出硬币1~60枚,有可能至少有一枚五分硬币,但不能确保有1枚五分硬币。因为二分硬币就有60枚,一次倒60枚有可能都是二分硬币,所以必须一次倒出61枚硬币,才能保证至少有一枚五分硬币。

(想一想:如果倒出硬币,一次必须倒出几枚,才能保证至少有1枚二分硬币?)

例2六年级(1)班共有学生42人,开展学雷锋活动,他们共做好事212件,是否有人至少能做6件或6件以上的好事?

分析与解 如果没有一个同学能做6件或6件以上的好事(与原题结果相反的结论),也就是说每位同学只能做5件或一件都不做。那么42个同学最多只能做52=210(件),而不是212件。这就推出了与已知条件相矛盾的现象,说明我们原先的假设是不对的。从而推出必定有人至少能做6件或6件以上的好事。

此题还可以这样解答:把42位同学看作42个抽屉,把212件好事看成212个苹果,如果每个抽屉放5个苹果,那么共放52=210(个)。因为210个少于212个,所以至少有一个抽屉放6个或6个以上苹果。从而得出42位同学做212件好事,肯定有的同学能做6件或6件以上的好事。

练一练 回答下列问题。

1.把5枝铅笔放进4个文具盒,总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔,为什么?如果把6枝铅笔放进5个文具盒,结果是否一样呢?

2.把5本书放进2个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉至少放进3本书,这是为什么?

3.任意13人中,至少有两人的出生月份是相同的,这是为什么?

4.任意367名学生中,一定存在两名学生在同一天过生日,对吗?

《抽屉原理》教案 篇4

《抽屉原理》教案

一、教学内容

人教版小学数学六年级下册教材第68~69页。

二、教材分析

“数学广角”是人教版六年级下册第五单元的内容。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题，如任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。本节课教材借助把4枝铅笔放进3个文具盒中的操作情境，介绍了一类较简单的“抽屉原理”，即把n+1个物体任意分放进n个空抽屉里（m>n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。关于这类问题，学生在现实生活中已积累了一定的感性经验。教学时可以充分利用学生的生活经验，放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再交流，在交流中引导学生对“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽象思维能力。让学生通过本内容的学习，帮助学生加深理解，学会利用“抽屉问题”解决简单的实际问题。在此过程中，让学生初步经历“数学证明”的过程。实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。还

要注意培养学生的“模型”思想，这个过程是将具体问题“数学化”的过程，能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现学生数学思维和能力的重要方面。

三、学情分析

抽屉原理是学生从未接触过的新知识，难以理解抽屉原理的真正含义，发现有相当多的学生他们自己提前先学了，在具体分的过程中，都在运用平均分的方法，也能就一个具体的问题得出结论。但是这些学生中大多数只“知其然，不知其所以然”，为什么平均分能保证“至少”的情况，他们并不理解。有时要找到实际问题与“抽屉原理”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“抽屉”，要用几个“抽屉”。

1．年龄特点：六年级学生既好动又内敛，教师一方面要适当引导，引发学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主体性。

2．思维特点：知识掌握上，六年级的学生对于总结规律的方法接触比较少，尤其对于“数学证明”。因此，教师要耐心细致的引导，重在让学生经历知识的发生、发展和过程，而不是生搬硬套，只求结论，要让学生不知其然，更要知其所以然。

四、教学目标

1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。3．通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。

五、教学方法

1.适时引导学生对枚举法和假设法进行比较，并通过逐步类推，使学生逐步理解“抽屉问题”的“一般化模型”。

2.引导学生构建解决抽屉原理类问题的模式：明确“待分的物体”→哪是“抽屉”→平均分 →商+1

六、教学重难点

重点：经历抽屉原理的探究过程，初步了解抽屉原理。难点：理解抽屉原理，并对一些简单的实际问题加以模型化。

七、教学准备 课件、学习单

八、教学过程

（一）创设情境 提出问题； 1.游戏导入

师：我们先来玩一个小游戏，有3本书放进2个抽屉里，怎样放？有几种放法？想想看。

生：有两种，一种是3本放在一个抽屉里。师：3本放在一个抽屉里，那么另外一个抽屉？

生：另外一个抽屉是空的。还有一种是一个抽屉放1本，另外一个抽屉放2本。

课件演示。

师：假设我们没有书，也没有课件，那我们应该怎么来思考这个问题呢？

生：画图„„

师画示意图，一起观察分析，得出3本书放进2个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有2本书。

抽屉原理是一种很神奇规律，因为它能够帮助我们解决很多生活中的问题，大家想了解它吗？

师：谁能解释一下总有和至少这两个词的意思？ 生：总有就是肯定有，至少就是不少于的意思。„„ 2.揭示课题

师：刚才这个小游戏展示了抽屉原理中最简单的一种问题。抽屉原理很神奇，我们用它可以解决很多有趣的的问题，想弄明白这个原理吗？这节课我们就一起来探究这种神秘的原理。板书课题《抽屉原理》

（二）探究原理 建立模型 1.出示学习目标，全班齐读。

2.出示探究任务，先独立思考，再小组合作交流谈论。

用实物或画图的方法列举出，把4枝铅笔放进3个笔筒中，一共有（）种情况，从中发现不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进去（）枝铅笔。

利用假设法把4枝铅笔平均放进3个笔筒里，每个笔筒里只能放（）枝铅笔，剩下的（）枝铅笔还要放进其中一支笔筒里，所以至少有（）枝铅笔放入同一个笔筒。用一个有余数的除法算式表示。3.汇报展示

4.师生一起探究交流。

课件演示，利用列举法和假设法进行验证。6.学以致用（问题二）

1)7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？

2)把5本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。这是为什么？

3)把7本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进多少本书？为什么？

4)把9本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进多少本书？为什么？

5)8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有（）只鸽子要飞进同一个鸽舍。为什么？ 7.归纳小结

“抽屉原理”类问题解决模式：明确“待分物体”—确定“抽屉”—平均分—商＋1 8.抽屉原理简介

（三）有效训练

一副扑克牌(除去大小王)52张中有四种花色，从中随意抽5张牌，无论怎么抽,为什么总有两张牌是同一花色的？

（四）总结提升

这节课你有哪些收获？可以从知识上、学习方法上、数学小知识上进行总结。

1.自我检测 1)把13本书分给4名学生，不管怎么分，总有一个学生至少分得（）本书。

2)四（1）班有学生38人，同一个月份出生的学生至少有（）人。

3)在某班学生中，有8个人都订阅了《小朋友》、《少年报》、《少年报》三种报刊中的一种或者几种，这8个人中至少有（）个人所订的报刊种类相同。

4)给正方体的6个面涂上红色或蓝色，不管怎么涂，至少有（）个面的颜色相同。

2.课后延伸

1）给6名学生分书，肯定有一个学生至少分到5本书，这些书至少有（）本。

2）请你任意写出4个自然数，在这4个自然数中，必定有这样的两个数，它们的差是3的倍数，试一试，想一想，为什么？

九、板书设计

抽屉原理

列举法 假设法 至少

3（3,0）4÷3=1„„1

明确“待分物体” 3（2,1）7÷5=1„„2

确定“抽屉” 4（4,0,0）5÷2=2„„1

平均分 4（3,1,0）7÷2=3„„1

商+1 4（2,2,0）8÷3=2„„2

抽屉原理 篇5

我们在四年级已经学过抽屉原理，并能够解答一些简单的 抽屉原理问题。这两讲先复习一下抽屉原理的概念，然后结合一些较复杂的抽屉原理问题，讨论如何构造抽屉。

抽屉原理1将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

抽屉原理2将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。

理解抽屉原理要注意几点：(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。

（2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。

（3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。

（4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。

例1 五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？

分析与解：关键是构造合适的抽屉。既然是问“至少有几名学生的成绩相同”，说明应以成绩为抽屉，学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外，其余成绩均在75～95分之间，75～95共有21个不同分数，将这21个分数作为21个抽屉，把47-3=44（个）学生作为物品。

44÷21= 2……2，根据抽屉原理2，至少有1个抽屉至少有3件物品，即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。

例2 夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。规定每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？

分析与解：本题的抽屉不是那么明显，因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”，所以应该把活动项目当成抽屉，营员当成物品。营员数已经有了，现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。

因为“每人必须参加一项或两项活动”，共有3项活动，所以只参加一项活动的有3种情况，参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况，所以共有3+3=6（个）抽屉。

2000÷6=333……2，根据抽屉原理2，至少有一个抽屉中有333+1=334（件）物品，即至少有334名营员参加的活动项目是相同的。

例3把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？

分析与解：这道题一下子不容易理解，我们将它变变形式。因为是把书分给学生，所以学生是抽屉，书是物品。本题可以变为：125件物品放入若干个抽屉，无论怎样放，至少有一个抽屉中放有4件物品，求最多有几个抽屉。这个问题的条件与结论与抽屉原理2正好相反，所以反着用抽屉原理2即可。由

1255÷（4-1）＝41……2知，125件物品放入41个抽屉，至少有一个抽屉有不少于4件物品。也就是说这个班最多有41人。

同学们想一想，如果有42个人，还能保证至少有一人分到至少4本书吗？

例4五（1）班张老师在一次数学课上出了两道题，规定每道题做对得2分，没做得1分，做错得0分。张老师说：可以肯定全班同学中至少有6名学生各题的得分都相同。那么，这个班最少有多少人？

分析与解：由“至少有6名学生各题的得分都相同”看出，应该以各题得分情况为抽屉，学生为物品。

如果用（a，b）表示各题的得分情况，其中a，b分别表示第一、二题的得分，那么有

（2，2），（2，1），（2，0），（1，2），（1，1），（1，0），（0，2），（0，1），（0，0）

9种情况，即有9个抽屉。

本题变为：已知9个抽屉中至少有一个抽屉至少有6件物品，求至少有多少件物品。反着用抽屉原理2，得到至少有9×（6－1）+1=46(人)。

例3与例4尽管都是求学生人数，但因为问题不同，所以构造的抽屉也不同，例3中将学生作为抽屉，例4中则将学生作为物品。可见利用抽屉原理解题，应根据问题灵活构造抽屉。一般地，当问“最少有多少××”时，应将××作为物品，如例1，2，4；当问“最多有多少××时，应将××作为抽屉，如例3。

例5任意将若干个小朋友分为五组。证明：一定有这样的两组，两组中的男孩总数与女孩总数都是偶数。

分析与解：因为一组中的男孩人数与女孩人数的奇偶性只有下面四种情况：

（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）。

将这四种情况作为4个抽屉，五组作为5件物品，由抽屉原理1知，至少有一个抽屉中有两件物品。即这五组中至少有两组的情况相同，将这两组人数相加，男孩人数与女孩人数都是偶数。

1．一个篮球运动员在15分钟内将球投进篮圈20次，证明总有某一分钟他至少投进两次.2．有黑、白、黄筷子各8只，不用眼睛看，任意地取出筷子来，使得至少有两双筷子不同色，那么至少要取出多少只筷子才能做到？

3．证明：在1，2，3，…，10这十个数中任取六个数，那么这六个数中总可以找到两个数，其中一个是另一个的倍数.4．证明：任意502个整数中，必有两个整数的和或差是998的倍数.5．任意写一个由数字1，2，3组成的30位数，从这30位数任意截取相邻三位，可得一个三位数，证明：在从各个不同位置上截得的三位数中至少有两个相等.6．证明：把任意10个自然数用适当的运算符号连接起来，运算的结果总能被1890整除.7．七条直线两两相交，所得的角中至少有一个角小于26°.8．用2种颜色涂3行9列共27个小方格，证明：不论如何涂色，其中必至少有两列，它们的涂色方式相同.9．用2种颜色涂5×5共25个小方格，证明：必有一个四角同色的矩形出现.10．求证存在形如11…11的一个数，此数是1987的倍数.抽屉原理习题答案

（苹果数总是比抽屉数少）

1、平均分假设，每分钟投进一个，那么还有5个球没时间投，无论在哪个一分钟内投都能够使得这一分钟投进至少两球。2、11只，最倒霉原则，先取出8只黄筷子，然后一黑一白，在任意取一只必能满足结果！

3、首先找到5个数，任意数都不是其他数的倍数！可能是4、5、6、7、9或者5、6、7、8、9，这能是这两种组合，然后任意再挑一个，都会出现倍数关系。

3、另解：把1到10分成5个组{5，10}、{3，9}、{1，2，4，8}、{6}、{7} 咱要从5个组里取6个数出来，必须从1个组里取2个数出来，而任意组拿出来的2个数都是倍数关系。4、998=499*2=500+498，0-499这500个数，不能满足条件，任意拿到一个数加上或者减这500个数中的一个数，必然是998的倍数

4、另解：每个整数被９９８除，余数必是０，１，２，…，９９７中的一个．把这９９８个余数制造为（０），（１，９９７），（２，９９６），…，（４９７，５０１），（４９８），（４９９），（５００）共５０１个抽屉，把５０２个整数按被９９８除的余数大小分别放入上述抽屉，必有两数进入同一抽屉．若余数相同，那么它们的差是９９８的倍数，否则和为９９８的倍数．

5、从30位数中截出个3位数来，这个三位数共有多少中情况呢？111，112，113。。。用乘法原理可知共3*3*3=27种情况，而如果从一个30位数上往下截，应该有28中截法，可见截法比种类还多，这说明，至少有两种截法截出来数要相同。

6、由于1890=9*7*5*3*2，也就是说1890同时是9，7，5，3，2的倍数，由于除以9的余数只有0到8共9中情况，所以任意取10个自然数，则至少有2个数被9除同余，同理，除去这两个被9除同余的数外，剩下的8个数中至少有两个数被7除同余 再除去这两个数，剩下6个数中至少有两个数被5除同余 再除去这两个数，剩下4个数中至少有两个数被3除同余 最后剩下2个数，要么有一个2的倍数，要么差是2的倍数。

把刚才所有同余的一对数求差，生成的5个数或者6个数中，一定会同时拥有9，7，5，3，2的倍数，因此，全部乘起来后一定能被1890整除

7．平面中的任意七条线，我们都可以把他们平移到一个交点上这样并不会改变原先角的度数。这样就能得到14个较小的角，如图所示，且对顶角相等。而又知，这14个角围成了一圈，也就是360度，那么14个角的平均度数就是360/14=25.7度<26度，所以必然有角度数小于26度。

8．总共有9列，每列有3个格子，而用两种颜色对3个格子进行涂色只有如下集中情况 000，001，010，011，100，101，110，111共8种情况，其实用乘法原理2*2*2=8也可得。但现在有9列需要涂色，可见列数大于涂色种类，因此必然存在至少2列的涂色方法一致。

9．先看第一行，有5个方格，用两种颜色去染色，根据抽屉原理必有3个方格同色。不妨设有3个方格为白色（设黑色也一样）（见图一），设在第1，3，5列。我们把第2，4列抛弃不看。如果不是1，3，5列是白色，我们不管是哪三个是白色的，只要留下第一行为白色的三列就OK！剩下的就5*3的阵列了（见图二）。有两种情况：

（1）在5*3的方格中，2-5行的某一行的3个方格中出现两个白格，则它们与第一行相应的两个白格可组成四个同为白色的长方形。

（2）在5*3的方格中，2-5行如果没有两个白格。那么只有白黑黒（记为1），黒白黑（记为2），黑黑白（记为3），黑黑黑（记为4）四种可能。（图三）如果4出现在后四行中，不管其他三行为1，2，3，4的哪种，必有一个四角为黑色小方格的长方形。如果4没有出现，则在这四行中只能出现1，2，3这三种情况。由抽屉原理，必有两行染色方式相同，显然这两行中的4个黑色的小方格可以构成四角同黑的长方形。

10、用1987去除任意自然数，其余数只有0-1986共1987个数，这就意味着：任意取1988个不相同的数，必存在2个数除1987同余。

抽屉原理 篇6

1、求抽屉中物品至多数

例：17 名同学参加一次考试，考试题是三道判断题（答案只有对错之分），每名同学都在答题纸上依次写下三道题的答案。请问至少有几名同学的答案是一样的？

分析：从问题出发找抽屉，相同的是答案，这就是抽屉。求抽屉数时可用乘法原理：每一道题都有2种答案，所以三道题的答案有2×2×2=8种，即有8个抽屉。物品为17名同学。17÷8=2……1，由抽屉原理2，至少有2+1=3名同学的答案是一样的。

例：人的头发平均有12万根。假设最多不超过20万根。13亿人中至少有多少人的头发根数相同？

分析：从问题出发，抽屉就是头发根数。头发根数最多不超20万，那么抽屉数为20万。物品为13亿人。1300000000÷200000=6500，由抽屉原理2，至少有6500人的头发根数相同。

2、抽屉原理的逆应用

例：新年晚会上，老师让每个同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给人的手感相同。只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时看不到颜色），结果发现总有两个人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有多少人？

分析：取两个球，颜色搭配有15 种可能。15个抽屉，本题中物品即为取球的人。物品数至少为15+1=16个。

拓展 有三种图书：科技书、文艺书、故事书，每位同学可任借两本，问至少多少位同学借书，才能保证其中必有4人借的书类型相同？

分析：抽屉就是借的两本书的组合，共有6种（两本书种类可相同）。为保证必有4人借的书类型相同，物品数（也就是本题中的人数）至少为3×6+1=19人。

总结：结论为“总有a 个物品在一个抽屉里”时（a 不少于2），物品数至少=（a-1）×抽屉数+1。

这是因为将m个物品放入n个抽屉中时，当总有a个物品在一个抽屉中时，最不利情形就是平均分，抽屉中的物品数最多为a，其它抽屉中均有（a-1）个物品。此时就是满足结论的物品数最少的情形：物品数=（a-1）×抽屉数+1。

例：幼儿园小朋友分200块饼干，无论怎么分都有人至少分到8块饼干，这群小朋友至多有多少名？

分析：200为物品数，小朋友为抽屉。结论为“无论怎么分都有人至少分到8块饼干”。根据抽屉原理2，把小朋友的人数设为n，那么200=(8－1)×n+k，k≥1。要求n的最大值。当k最小时，n最大。取k=1，n=199÷7，整数部分为28，所以这群小朋友至多有28名。

总结：当结论为“总有a个物品在同一个抽屉中”时（a不少于2），抽屉数至多=（物品总数-1）÷（a-1）的整数部分。

四、最不利原则

例：口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：

（1）至少取多少根才能保证三种颜色都能取到？

（2）至少取多少根才能保证有2 双颜色不同的筷子？（3）至少取多少根才能保证有2 双颜色相同的筷子？

分析：（1）最糟糕的情形就是两种颜色的都取完了，还没有取到第三种颜色的。这时只要再取一根就能凑足三种颜色，所以至少取10+10+1=21根。

（2）最糟糕的情形就是其中一种颜色的筷子取出来一甩，其它两种颜色筷子各取了1根，这时只要再取一根就能凑出两双颜色不同的，所以至少取10+2+1=13根。

（3）要取出2 双颜色相同的，也就是取出4 根颜色相同的。最糟糕的情形就是三种颜色每种都取了三根，这时只要再取一根就能凑出四根颜色相同的。所以至少要取3+3+1=10根。

运用抽屉原理妙解竞赛题 篇7

例1在坐标平面上任取五个整点(该点的横纵坐标都取整数)，证明:其中一定存在两个整点，它们的连线中点仍是整点．

分析与解答由中点坐标公式，点(x1,y1)、(x2,y2)连线中点坐标为要使其为整点，只须x1与x2,y1与y2的奇偶性相同．由此我们能将坐标系中所有点分为4类:(奇数、奇数)，(偶数，偶数)，(奇数，偶数)，(偶数，奇数)，得到四个“抽屉”，而依题有5个点，将其抽象为5个物体，放入4个“抽屉”，则必有一个“抽屉”至少有2个物体(点)的横、纵坐标相等，故其中点为整点．

反思与推广:由此题可以看出，运用抽屉原理解题的关键在于进行合理分类构造“抽屉”，这要求我们理解题中所给条件，抓住题中“至少”、“至多”等关键词．同时，此题还可推广为:如果(x1,x2，…，xn)是n维(元)有序数组，且x1,x2，…，xn中的每一个数都是整数，则称(x1,x2，…，xn)是一个n维整点(整点又称格点)．如果对所有的n维整点按每一个xi的奇偶性来分类，由于每一个位置上有奇、偶两种可能性，因此共可分为2×2×…×2=2n个类．这是对n维整点的一种分类方法．当n=3时，23=8，此时可以构造命题:“任意给定空间中九个整点，求证它们之中必有两点存在，使连接这两点的直线段的内部含有整点”．在n=2的情形，也可以构造如下的命题:“平面上任意给定5个整点”，对“它们连线段中点为整点”的4个命题中，为真命题的是:(A)最少可为0个，最多只能是5个，(B)最少可为0个，最多可取10个，(C)最少为1个，最多为5个，(D)最少为1个，最多为10个(正确答案(D)).

例2 17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时，只讨论三个题目，而且任意两名科学家通信时只讨论一个题目，证明:其中至少有三名科学家，他们相互通信时讨论的是同一个题目．

证明此题属于组合范畴，故想到运用图论知识，结合分类讨论及抽屉原理解决此题．视17个科学家为17个点，每两个点之间连一条线表示这两个科学家在讨论同一个问题，若讨论第一个问题则在相应两点连红线，若讨论第2个问题则在相应两点连条黄线，若讨论第3个问题则在相应两点连条蓝线．三名科学家研究同一个问题就转化为找到一个三边同颜色的三角形．先考虑科学家A，他要与另外的16位科学家每人通信讨论一个问题，相应于从A出发引出16条线段，将它们染成3种颜色，而16=3×5+1，因而必有6=5+1条同色，不妨记为AB1,AB2,AB3,AB4,AB5,AB6同红色，若Bi(i=1,2，…，6)之间有红线，则出现红色三角线，命题已成立;否则B1,B2,B3,B4,B5,B6之间的连线只染有黄蓝两色．再考虑从B1引出的5条线，B1B2,B1B3,B1B4,B1B5,B1B6，用两种颜色染色，因为5=2×2+1，故必有3=2+1条线段同色，假设为黄色，并记它们为B1B2,B1B3,B1B4．这时若B2,B3,B4之间有黄线，则有黄色三角形，命题也成立，若B2,B3,B4，之间无黄线，则△B2B3B4，必为蓝色三角形，命题仍然成立．

反思与推广:本题源于一个古典问题———世界上任意6个人中必有3人互相认识，或互相不认识．(美国普特南数学竞赛题)．

提示:将互相认识用红色表示，将互相不认识用蓝色表示，(1)将化为一个染色问题，成为一个图论问题:空间六个点，任何三点不共线，四点不共面，每两点之间连线都涂上红色或蓝色．之后的证明参照例2.

Ramsey定理:可以往两个方向推广:其一是颜色的种数，其二是点的数目．

本例便是方向一的进展，其证明已知上述．如果继续沿此方向前进，可有下题:

在66个科学家中，每个科学家都和其他科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论四个题目，而任何两个科学家之间仅仅讨论一个题目．证明至少有三个科学家，他们互相之间讨论同一个题目．

回顾上面证明过程，对于17点染3色问题可归结为6点染2色问题，又可归结为3点染一色问题．反过来，我们可以继续推广．从以上(3,1)→(6,2)→(17,3)的过程，易发现

同理可得(66-1)×5+2=327,(327-1)×6+2=1958…记为r1=3,r2=6,r3=17,r4=66,r5=327,r6=1958，…

我们可以得到递推关系式:rn=n(rn-1-1)+2,n=2,3,4…这样就可以构造出327点染5色问题，1958点染6色问题，都必出现一个同色三角形．

例3已知在边长为1的等边三角形内(包括边界)有任意五个点．证明:至少有两个点之间的距离不大于

分析与解答本题看上去像平面几何，但仔细思考会发现本题有浓厚组合色彩，我们称这种题为“组合几何”．题中5个点的分布是任意的，说明我们应构造4个“抽屉”，并且同一个抽屉中的点距离不大于而我们熟知，三角形内(包括边界)任两点距离不大于最长边边长，故我们取三角形边中点并顺次连接，得到4个边长为的等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中(包括边界)，其距离便不大于

以上结论要由定理“三角形内(包括边界)任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证．

反思与推广:(1)这里是用等分三角形的方法来构造“抽屉”．类似地，还可以利用等分线段、等分正方形的方法来构造“抽屉”．例如“任取n+1个正数ai，满足0<ai≤1(i=1,2，…，n+1)，试证明:这n+1个数中必存在两个数，其差的绝对值小于．又如“在边长为1的正方形内任意放置五个点，求证:其中必有两点，这两点之间的距离不大于

(2)例3中，如果把条件(包括边界)去掉，则结论可以修改为:至少有两个点之间的距离小于请读者试证之，并比较证明的差别．

(3)用同样的方法可证明以下结论:

ⅰ)在边长为1的等边三角形中有n2+1个点，这n2+1个点中一定有距离不大于的两点．

ⅱ)在边长为1的等边三角形内有n2+1个点，这n2+1个点中一定有距离小于的两点．

(4)将(3)中两个命题中的等边三角形换成正方形，相应的结论中的命题仍然成立．

(5)读者还可以考虑相反的问题:一般地，“至少需要多少个点，才能够使得边长为1的正三角形内(包括边界)有两点其距离不超过

分析与解答抽屉原理不仅能用于组合问题，在某些不等式证明中，也有意想不到的效果．观察不等式，知△ABC为正三角形时取等号，故以角度与60°的大小关系分类．

抽屉原理 篇8

【知识要点】

抽屉原理一般有两种形式，通常称为原理1和原理2。

原理1将（n+1）个苹果放入n个抽屉中，则必有一个抽屉中至少有2个苹。原理2 将(m×n+1)个苹果放入n个抽屉中，则必有一个抽屉中至少有（m+1）个苹果。

抽屉原理是一种特殊的思维方法，我们可以根据它来作出许多有趣的推理和判断，在利用抽屉原理进行判断时，要注意把握“苹果”和“抽屉”的个数，往往从“最不利原则”出发来考虑，思考问题的角度较为独特。

使用抽屉原理解决有关的数学问题，关键是构造抽屉。

常见的构造抽屉的方法有：“数的分组”、“图形的分割”、“染色分类”、“余数分类”等等。

【典型例题】

例1

在某校内，任选13人，其中至少有2人的属相是相同的，为什么？

例有三个自然数，至少有两个数的和是偶数，为什么？

例一个盒子里装有四种不同图案的画片，其中小兔、小狗、小猫、小熊各20张，问一次要取出多少张画片，才能使得其中至少有8张画片的图案相同？

例4 四个朋友聚会，每个人各带两件礼品，分别赠送给其余三个人中的两个人，试证明，至少有两对人，每对人是互相赠送过礼品的。

例5 将全体正整数按其个位数字分为10类：个位数字是1的为第一类，个位数字是2的

为第二类„„个位数字是9的为第九类，个位数字是0的为第十类。

（1）任意取出6个互不同类的正整数，其中一定有两个数的和是10的倍数吗？

（2）任意取出7个互不同类的正整数，其中一定有两个数的和是10的倍数吗？

例6 布袋中有60块大小、形状都相同的木块，每15块涂上相同的颜色，一次至少取出多少块才能保证其中至少有3块颜色相同？

例7 2012名冬令营营员去游览长城、颐和园、天坛，规定每人至少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同？

例8 从1，2，3，„,2011这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？

【小试锋芒】

成绩：

1、在40米长的一条公路旁种5棵树，说明至少有2棵树之间的距离不超过10米。

2、学校组织200名学生去游览东方明珠电视塔、外滩和豫园，规定每个学生至少去一处游览，最多去两处游览。那么，至少有多少人游览的地方完全相同？

3、五年级（2）班共有40名学生，年龄最大的16岁，最小的14岁，请说明，其中必定有两名同学是同年同月出生的。

4、把14只香蕉分给6只猴子，说明不论如何分配，至少有两只猴子分到了同样多的香蕉。

【大显身手】

用时： 时分 ～

时分

成绩：

1、有35人参加的羽毛球比赛，如果每人比赛3场，可能吗？

2、某幼儿园小班共有35名小朋友，现有各种玩具144件，如果把这些玩具全部分给这些小朋友，那么，一定会有人分得5件或5件以上的玩具。

3、一个口袋里装有黑色和白色的玻璃球各20个，让5个小朋友每人从口袋里任意摸出3个球，请你证明，不管如何摸法，至少有两个小朋友摸出的玻璃球的颜色是一样的。

4、从4、8、12、„、36、40这10个数中任意取出7个数，说明至少有两个数的和是48，有两个数的和是52.【欢迎你来解】

1.某班37名同学，至少有几个同学在同一个月过生日？

2.42只鸽子飞进5个笼子里，可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子？

3.口袋中有红、黑、白、黄球各10个，它们的外型与重量都一样，至少要摸出几个球，才能保证有4个颜色相同的球？

4.饲养员给10只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子得到7个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？

5.从13个自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是12的倍数。

6.一个班有40名同学，现在有课外书125本。把这些书分给同学，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？

7、某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有一个图形能借到两本或两本以上的书？

8、有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子之中取出颜色不同的两双筷子，至少要取出多少根才能保证达到要求？

9、一副扑克牌（大王、小王除外）有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽几张，才能保证有四张牌是同一张花色的？

10、在从1开始的10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。

11、在任意的10人中，至少有两个人，他们在这10个人中认识的人数相等？

12、一副扑克牌有54张，至少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数?

13、某班有49个学生，最大的12岁，最小的9岁，是否一定有两个学生，他们是同年同月出生的？

14、某校五年级学生共有380人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这380个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？

15、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起，让你闭上眼睛去摸，（1）你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子是同色的？（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子？为什么？

16、任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数，这是为什么？

17、从任意3个整数中，一定可以找到两个。使得它们的和是一个偶数，这是为什么？

18、从任意的5个整数中，一定可以找到3个数，使这3个数的和是3的倍数，这是为什么？

19、从1到50的自然数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于52，这是为什么？

20、在100米的路段上栽树，至少要栽多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？（两端各栽一棵）

21、从1~10这10个数中，任取多少个数，才能保证这些数中一定能找到两个数，使其中的一个数是另一个数的倍数？

22、任意取多少自然数，才能保证至少有两个自然数的差是7的倍数？

复杂抽屉原理 篇9

1．证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数．

2．从1，2，3，„，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数?

3．有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?

4．某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?

5．上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例．

奥数周周练——复杂抽屉原理

6．8个学生解8道题目．

(1)若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出．(2)如果每道题只有4个学生解出，那么(1)的结论一般不成立．试构造一个例子说明这点.7．试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案．一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同．问参加考试的学生最多有多少人?

8.求从1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数.【例20】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1分，不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？

【例20巩固】（第十届《小数报》数学竞赛决赛）一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分．至少____人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分相同．

奥数周周练——复杂抽屉原理

【例24巩固】（小学数学奥林匹克决赛）从1，2，3，4，„，1988，1989这些自然数中，最多可以取____个数，其中每两个数的差不等于4．

【例25】（北京市第十一届“迎春杯”刊赛）从1，2，3，4，„，1994这些自然数中，最多可以取 个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．

【例27】从1，3，5，7，„，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?

【例29】从1，2，3，„„49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？

【例34】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？

奥数周周练——复杂抽屉原理

【例36】在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。

【例37】在一个直径为2厘米的圆内放入七个点，请证明一定有两个点的距离不大于1厘米

【例37巩固】平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1，证明：在这17个点中必有9个点可以落在同一半径为1的圆内。

【例38】9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。证明：这9 条直线中至少有3 条通过同一个点。

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奥数周周练——复杂抽屉原理

【例39】如图，能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1，2，3这三个数，使得各行各列及对角线上8个数的和互不相同？并说明理由．

【例39巩固】在88的方格纸中，每个方格纸内可以填上14四个自然数中的任意一个，填满后对每个22“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？

【例39巩固】用数字1，2，3，4，5，6填满一个66的方格表，如右图所示，每个小方格只填其中一个数字，将每个22正方格内的四个数字的和称为这个22正方格的“标示数”．问：能否给出一种填法，使得任意两个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由．

【例39巩固】能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上1，2，3这三个数之一，使得大正方形的每行、每列及对角线上的10个数字之和互不相同？对你的结论加以说明．

奥数周周练——复杂抽屉原理

【例40巩固】(南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛D卷第12题)如右图A、B、C、D四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果.每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果.这样取出的糖果数最多有几种？请说明理由.ABDC

【例41巩固】8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友的名字．开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字．

【例42巩固】(2009年清华附中入学测试题)如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立．

***

奥数周周练——复杂抽屉原理

【例43】（2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛决赛）“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级都不同．如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次．本届活动至少要准备 道决赛试题．

【例44巩固】（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛）有红、黄、白三种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出 个，才能保证有5个小球是同色的？

【例45】（第六届《小数报》数学竞赛初赛）有形状、长短都完全一样的红筷子、黑筷子、白筷子、黄筷子、紫筷子和花筷子各25根。在黑暗中至少应摸出_____根筷子，才能保证摸出的筷子至少有8双（每两根花筷子或两根同色的筷子为一双）。

【例47】两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。从第一袋中拿出尽可能少的球，但至少有两种颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每种颜色的球不少于3个。这时，两袋中各有多少个球？

奥数周周练——复杂抽屉原理

【例48巩固】一个口袋里分别有4个红球，7个黄球，8个黑球，为保证取出的球中有6个球颜色相同，则至少要取多少个小球？

【例49】（2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛）在100张卡片上不重复地编写上1~100，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被4整除？

抽屉原理教学反思 篇10

“抽屉原理”是开发智力，开阔视野的数学思维训练资料，对于一部分想象潜力较弱的学生来说学起来存在必须的困难。透过本次课堂实践，有几点体会：

1、创设情境，调动学生的学习用心性。课前让几个学生表演“抢椅子”的游戏：如3个人抢坐2把椅子、4个人抢坐3把椅子。让学生在活动中初步感知抽象的“抽屉原理”，理解“至少”的意思。

2、合作交流，建立模型。根据课前的表演及老师的分苹果演示，交流、讨论理解：“待分物体数”、“抽屉数”、“至少数”分别指什么?“至少数”为什么是商加1，而不是商加余数?透过老师的提示、引领，学生对“抽屉原理”基本上能理解，但是要让学生用简练的语言表达出来还有必须的困难。

3、培养学生的“模型”思想，提高解题潜力。“抽屉原理”的问题变式很多，应用更具灵活性。能否将一个具体问题和“抽屉原理”联系起来，能否找出题中什么是“待分物体数”，什么是“抽屉”，是解题的关键。有时候找到实际问题与“抽屉原理”之间的联系并不容易，即使找到了也很难确定用什么作“抽屉”。教学时，我但是于强调说理的严密性，只要学生能把大致意思说出来就行，有些题目能借助实物或用枚举法举例猜测、验证也能够。