一题多解不等式的证明

一题多解不等式的证明（精选8篇）

一题多解不等式的证明 篇1

如图：已知青AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。求证：FD=DE。

分析：本题有好多种证明方法，由于新课标主

要用对称、旋转方法证明，但平行四边形的性

质、平行线性质等都是证题的好方法，我在这

里向初中三年级同学面对中考需对平面几何

证明题的证明方法有一个系统的复习和提高。

下边我将自己证明这道题的方法给各位爱好

者作以介绍，希望各位有所收获，仔细体会每中方法的异同和要点，从中能得到提高。我是

一位数学业余爱好者，不是学生，也不是老师，如有错误，请批评指证。信箱：.证法一∧≌∠⊥∥△□°

证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B ∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF从而EM=BF，∠BFD=∠DEM 则△DBF≌△DME，故FD=DE；

证法二A

证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M，则∠1=∠2 = ∠B所以BF=FM，又∠4=∠3∠5=∠E

所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。

F

C

证法三 E

以BC为对称轴作△BDF的对称△BDN，连

接NE，则△DBF≌△DBN，DF=DN，BN=BF，NF⊥BD，∠FBD=∠NBD，又因为∠C=∠FBD

所以∠NBD=∠C。BN∥CE，CE=BF=BN，所以四边形BNCE为平行四边形。故NF∥BC，所以NF⊥NE，因FN衩BD垂直平分，故D

EN是FE的中点，所以FD=DE。（也可证明D是直角△NEF斜边的中点）。

证法四：

证明：在CA上取CG=CE，则CG=BF，AF=AG，所以FG∥DC，又因为∠1=∠2，所以FBCG为等腰梯形，所以

FG∥DC，故DC是△EGF的中位线。所以 FD=DE。

E

证法五

证明：把△EDC绕C点旋转180°，得△GMC，则△EDC≌△GMC

M

CE=GC=BF

连接FG，由于GC=BF，从而AF=AG，∠1=∠AFG FG∥BC，所以FBMG为等腰梯形，所以 FG∥DC，故DC是△EGF的中位线。所以 FD=DE。证法六

证明：以BC为对称轴作△DCE的对称△DCN，则和△DCE≌△DCN；CN=CE=BF ∠2=∠3；又∠1=∠3，∠B=∠1所以

∠2=∠B，BF∥CN，所以四边形BCNF为平

行四边形，DC ∥FG，∠1=∠4，所以 ∠2=∠4=∠CNG，所以 CG=CN=CE； 故DC是DC是△EGF的中位线。所以 FD=DE。

证法七

证明：延长AB至G，使BG=CE，又因AB=AC，BF=CE则AG=AE

ABAG

ACAE

所以BC∥GE，则BD是△FGE

G

一题多解不等式的证明 篇2

题目已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α

分析表面上看这是一道不等式题, 但要是从已知不等式的解集得到待求不等式的解集, 中间需要一个复杂的转化过程, 要完成这一过程, 不妨从函数、方程的角度对条件和结论进行分析.

对条件进行分析:一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集实质是函数y=ax2+bx+c的图像在x轴上方的所有点的横坐标的范围, 依题意不难发现, 二次项系数a<0且方程ax2+bx+c=0的两根是α, β, 从而找到α, β和系数a, b, c的关系

, 思路初步具备.

对结论进行想象:要想得到不等式cx2+bx+a<0的解集, 只需得到c的正负以及cx2+bx+a=0的两根即可.思路明朗, 目标已经确定, 这时怎么实现这一目标就成了解决此题的关键.我们不妨试着从两方面进行推算:

(1) 根据对条件分析的结果, 将a, b, c用α, β表示出来, 将各项的系数都求出来然后再解.

(2) 根据对条件分析的结果, 结合韦达定理直接得到c的正负以及cx2+bx+a=0的两根.

问题分析到此处, 解决它已不再困难, 现将解答过程展示如下:

解法1由题意可得

∴不等式cx2+bx+a<0可化为

aαβx2-a (α+β) x+a<0.

又∵a<0,

∴上式可化为αβx2- (α+β) x+1>0,

即 (ax-1) (βx-1) >0.

又∵0<α<β,

∴不等式的解集为

很显然, 第一种想法被验证成功.下面来验证第二种想法:

解法2由题意可得

设cx2+bx+a=0的两根为x1, x2, 结合上式有

∴ 是方程cx2+bx+a=0的根且c<0, 又∵0<α<β,

∴不等式的解集为

除了以上两种方法还有没有其他方法呢?再继续探索, 发现方程ax2+bx+c=0和方程cx2+bx+a=0的区别只是系数的位置不同, 并且很有规律, 抓住这一特点又可以得到第三种解法.

解法3由题意, α, β是ax2+bx+c=0的两个根.

∴ 是方程cx2+bx+a=0的根.

∴不等式的解集为 .

一题多解“四要” 篇3

一题多解是手段,不是目的,目的是开拓学生的解题思路,发展学生的智力,培养学生的创新能力。在同课异构的观摩教学中,听了两位教师执教“按比例分配”一课,他们不同的教学,引发了我对一题多解的思考。

A教师在引导学生理解题意后,放手让学生用多种方法解决例题1,然后汇报解法。在教师不断“还有哪些解法”的追问下,师生绞尽脑汁罗列了6种解法。此时的解法汇报演变成了教师与尖子生的对话,大多数学生成了陪衬,且听得是云里雾里的。随后的例题2教学也如出一辙。当下课的铃声响了,课堂练习还没开始。

B教师在学生理解题意后,提出两个问题让学生思考:“这道题分配什么?按什么比例分配?”指导学生按比例分配法的解题步骤与书写格式,再放手让学生完成“做一做”。在此基础上观察例题1、“做一做”,引导学生总结按比例分配法的解题步骤。随后的例题2教学,教师放手让学生独立解决,并完成了大量的课堂练习,包括一些变式题,教学效率高,教学效果好。

课后访谈:A教师说,我是根据解决问题策略多样化的理念设计这节课的,没想到大部分学生却不领情,教学效果这么不理想。B教师说,我是这样思考的,学生第一次接触按比例分配的问题,这节起始课我不考虑让学生进行一题多解训练,而是重点让学生掌握好按比例分配解题的思路,夯实基础后,第二节练习课再进行一题多解训练。

比较两位教师的设计意图与教学实施情况,启示我们一题多解不能盲目进行训练,尤其是知识的起始课。那么,进行一题多解教学时要注意什么呢?

一、要针对学生实际

一题多解要因材施教。学生基础好,思维活跃,放手探究;学生基础差,思维水平一般,引导点拨。案例中的A教师忽视学生的实际,又不善于引领,课堂出现冷场也在情理之中。任凭教师“还有哪些解法”的呼唤,绝大多数的学生仍是无动于衷,课堂理所当然就演变成了教师与尖子生的对话,而大多数陪衬生对这些解法也是外行看热闹,更不用说是学困生了。那么,追求这样的一题多解有什么意义呢?

二、要夯实主要解法

笔者很赞成B教师的观点,学生第一次学习按比例分配问题,应让学生先掌握好按比例分配解题的思路及书写格式,在夯实主要解法后,再发散其他解法。也就是先让每个学生都掌握这一主要解法,再在理解主要解法的基础上触类旁通、举一反三,这才是进行一题多解的前提。

三、要梳理解题思路

一题多解不是罗列各种解法。因此,对于一道可以多解的题,教师不能只是简单地提出“这题还可以怎样解”,坐等学生的多种解法自然而然地“爆”出来,而应积极启发学生从不同角度看问题,从不同地方入手,通过不同途径找到题目的多种解法。当学生杂乱地提出多种解法后,教师不能就此止步,而应引导学生将这些解法进行整理归纳,从中进一步明确这些解法是通过哪些思路得到的,这样就可不断拓宽学生的解题思路。如,按比例分配问题的解题思路不外乎有归一思路、分数乘法思路(即按比例分配思路)、分数除法思路与分数除法相对应的方程思路。而案例中的A教师只是把一题多解理解成罗列出各种解法,忽视了引导学生梳理解题思路,纯粹是为一题多解而一题多解。

四、要比较多种解法

一题多解典型案例张 篇4

张国胜

通过几年初中数学的教学，在解一些数学题时往往一道数学题用几种不同的方法都能解决。有的简单有的稍微要复杂一些，而在解题时复杂的方法浪费时间、简单的方法节省时间。下面我就在初中阶段的一题多解的典型例题分析谈谈我的看法。

在比较大小的数学题中，经常会遇到一题多解的数学题。【比较大小问题】

【例1】 当0

解：∵0x>x2

方法2 作差法：

∵两数相减可以取正数、负数、0，那么用a、b表示两数，能得到三种情况： 当a－b>0时，a>b 当a－b=0时，a=b 当a－b<0时，a

∴此题的解法为x2－x=x（x－1）∵0

1x211同理 x－=<0 综上所述∴>x>x2

xxx

一题多解不等式的证明 篇5

【摘要】随着现代技术的发展，多媒体在物理教育中的应用越来越广泛，但是在应用过程中也存在着一些问题。本文针对物理课堂教学中多媒体应用存在的负面效应提出一些看法，供广大同仁参考。

【关键词】多媒体物理教学负面效应对策

随着教育事业的发展，多媒体在物理教学中的运用越来越广泛。利用多媒体进行课堂辅助教学，能把难以用实验演示的内容展示出来，把一些抽象的物理知识变成直观的“模拟实验”，它最大的优点是以声情并茂、生动形象的视频效果，激发学生的情绪，有利于调动学生的学习兴趣。然而我们在教学实践中发现，多媒体的运用也会带来一些问题。由于有的教师对多媒体在教学中的使用经验不足和认识上存在的误区，课堂教学一味追求使用多媒体，不可避免地也带来一些负面效应。本文主要从课堂教学的角度来探讨多媒体对教与学的负面影响，以引发大家的关注和思考，使多媒体能够得到更恰当、更有效的应用。下面结合本人课堂教学的实际，谈谈自己对这方面的一些粗浅的看法。

一用多媒体代替实验

物理学是由实验和理论两部分组成。而实验是人们认识世界的一种活动，是进行科学探究的基础。学生通过科学探究过程的亲身体验，可以形成尊重事实、探索真理的科学态度，发展学生的想象力和分析概括能力，使学生养成良好的思维习惯，敢于质疑，敢于创新。然而在物理教学活动中，有的教师上课时不仅不做学生分组实验，连演示实验也不做，直接用多媒体来展示实验的过程。他们认为，准备实验太麻烦，课前花的时间太多，实验时的数据又不那么准确，课堂上不如投影一下既快又方便，省时省力。有的教师甚至连很简单的实验也不做，如刻度尺的使用、平面镜对光的反射等。长此以往，学生就会认为，物理知识不是来源于生活，是脱离实际的、空洞的。我们知道，这不符合探索科学的客观规律。只有通过实验操作，并分析和处理各种可能和不可能预见的情况，才能培养学生的动手动脑、分析问题、解决问题的能力，提高学生的综合素质，这也是当前新课程标准中应特别注重的。在实验的探究过程中还可以培养学生团体合作的精神。所以我们在平时的教学过程中，能够做的实验，尽量不用多媒体课件去模拟，放手让学生去做。不仅演示实验、分组实验要做好，而且还要指导学生做好课后的小实验。让学生手、脑、眼并用，使学生真正体会知识的发生、发展的过程，养成尊重科学、尊重事实的优良品质。

二对思维的限制

科学探究是研究物理问题的一种重要方法，它可以使学生从过去的被动接受知识向主动地获取知识转化，从而培养学生的科学探究能力、实事求是的科学态度和敢于创新的探索精神。可是有的教师在指导学生进行物理科学探究时，早已把猜想和假设的内容设计在课件上了，实验的器材、步骤也全有。如果学生猜想和假设与课件上的不同，就想方设法引导到课件上来。实验的数据和结论是固定好的，如果用这种方法让学生来进行科学探究，不仅束缚了学生的思维，谈不上培养学生的科学探究能力，更不能培养学生的创新精神。它过分地强调了学生直观形象思维能力的培养，却忽视了学生抽象逻辑思维能力的培养，而在一个人的思维发展中，后者要比前者重要得多。因此，我们在进行科学探究教学时，要努力克服以上的不足，教师要少一点主观臆断，让学生在科学探究中放飞思想，培养学生的发散式思维，使学生养成良好的思维习惯，敢于质疑，敢于创新。

三过大的课堂容量

使用多媒体，增加了课堂的容量，加快了课堂的节奏。由于信息量大、速度过快，学生只能是走马观花地观看一个个画面，没有消化和理解的机会，这样反而会影响学生的接受效果。课堂教学的最终目的是把书本知识转化为学生的知识，而学生学习每一个知识，都有一个认识、思考、消化吸收的过程，学习的内容过多，学生就会接受不了，昏头昏脑，这和传统的填鸭式教学并没有什么两样。课件上的内容是课前设计好了的程序，而在课上运用课件时往往会由于种种原因耽误了时间，不能按时完成准备好了的任务，于是下面的内容就加快了速度，非要一堂课教完全部设定好的内容。因此在教学过程中不能只顾对学生的灌输，不考虑学生的接受能力，纯粹的为了完成教学计划，根本不能突出学生的主体地位。我们知道，多媒体是教学的.辅助工具，在教学活动中，要注意多媒体辅助教学的针对性和有效性，呈现的内容必须为教学目标服务，要避免出现过分使用多媒体，防止学生由于视觉疲劳、精神高度集中而引起的身心疲惫，从而导致学习效率的下降。运用多媒体要做到择机呈现、适度运用，还要注意内容呈现的速度和节奏，要考虑到不同水平的学生接受知识能力的不同，这样才能充分体现多媒体在教学中的真正意义。

四用多媒体代替板书

多媒体在课堂上的运用，减轻了教师的课堂负担，尤其是板书。有的教师课堂使用了多媒体，一堂课下来，黑板上什么痕迹都没有。老师板书逐渐的被多媒体的投影所代替。这样也会带来一系列的负面影响。不少的老师总是把一些物理规律、定理、公式、结论都事先设计在电脑里，上课时用课件呈现，投影的内容变化的很快，学生根本来不及记，即使记的快的学生也不够完全，甚至还会记错。如果老师在黑板上板书事先设计好了的内容，便可以减少学生整理知识的时间，学生容易记下来。通过板书，课堂的内容脉络清晰，有条有理，一目了然，易于记忆。一个老师优美的板书，不仅可以陶冶学生的情操，还可以对学生书写能力的提高起到一个潜移默化的作用。所以在使用多媒体进行课堂教学时，一定要在黑板上设计好板书。

总之，多媒体技术应用到物理课堂教学中，可以把难以用实验进行的内容模拟出来，用一些生动的画面把一些难以用语言表达的内容呈现给学生，有效促进了学生对知识的理解和消化，激发了学生的学习兴趣，为学生掌握知识创造了有利的条件。

一题多解不等式的证明 篇6

(2)修一条长千米的水渠，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩多少千米没有修？

(3)修路队修一条公路,完成了全长的后,离中点还有16.5千米,这条公路长多少千米?

(4)两辆汽车同时从两地相对开出, 小时相遇,甲车每小时行138千米,乙车的速度比甲车慢6千米,两地相距多少千米?

(5)两个工人加工机器零件, 甲每小时加工48个,乙每小时加工的个数只有甲的, 两人一起工作4小时可以加工零件多少个?

六年级数学(一题多解)练习成绩____________(1)师徒二人加工机器零件, 徒弟每小时加工24个, 师傅每小时加工的比徒弟多,两人一小时共加工零件多少个?

(2)自行车厂有工人1312个,其中是女工,女工比男工少多少人?

(3四年级学生植树329棵,比五年级少,五年级学生比四年级多植树多少棵?

(4)甲乙两个商店出售电视机,甲商店售出980台,比乙商店多售出,甲商店比乙商店多售出多少台?

(5)食堂去年计划烧煤240吨,实际只烧了180吨,节约了百分之几?

六年级数学(一题多解)练习成绩____________(1)机床厂计划五月份生产32台机床,改革后,实际生产机床44台,超产了百分之几?

(2)制鞋厂六月份计划生产鞋25000双,实际比原计划多生产5000双,增产百分之几?

(3)300千克蓖麻子榨出蓖麻油135千克,蓖麻的出油率是多少?

(4)红星村前年水稻每公顷产量是51200千克,去年亩产量比前年增产15%,去年水稻每公顷产量是多少千克?

(5)胜利小学五年级学生有84人,四年级学生比五年级多25%,这个学校四.五年级共有学生多少人?

六年级数学(一题多解)练习成绩____________（1）胜利小学五年级学生有84人，四年级学生有比五年级多25%这个学校四无年级共有学生多少人？

（2）修 一条长1400米的.水渠，第一天修了全长的25%，第二天修了全长的60%，第二天比第一天多修了多少米？

（3）有一份稿件单独一个人抄，甲要15小时抄完，乙要18小时抄完，两人合抄3小时后，没抄的部分占这份稿件的几分之几？

（4）一块地，用第一台拖拉机6小时可以耕完，如果用第二台拖拉机小时可以耕完，两台拖拉机一起耕了1小时30分，这块地还剩几分之几没有耕？

（5）修一段路，单独修，甲队需10天完成，乙队需8天完成，两队合修几天修完？

?? ?? ?? ??

______________________班

班

数理结合 一题多解 篇7

例:如图所示, 电源电压U=12V不变, 滑动变阻器的最大阻值为36Ω, 小灯泡上标有“12V12W”字样, 求当滑动变阻器接入电路中的电阻为何值时, 滑动变阻器消耗的功率为最大?此功率是多少瓦?

解析:由题意可知, 滑片P在a端时, R消耗的功率为0, 当滑片P在b端时, R变大, 变小, Ux=U总-I RL变大, 无论是根据Px=UxI或Px=I2 Rx都无法确定Px是增大还是减小。若巧用数学知识可迅速求解。 (本文中计算过程没带单位)

解法1:用不等式求解。

灯泡的阻值为

当Rx=RL=12Ω时, 滑动变阻器消耗的功率为最大,

解法2:用判别式求解。 (Δ=b2-4ac≥0时, 一元二次方程有解)

因为Rx有实数解且为正数, 故Δ=b2-4ac≥0,

即 (2PxRL-U2总) 2-4 Px2R2L≥0,

所以滑动变阻器消耗的最大功率Px=3W。

把Rx=3W带入①式, 可求出此时滑动变阻器的电阻Rx=12Ω。

解法3:用二次函数极大值求解

显然Px是关于I的二次函数, 当时, Px有最大值, 即此时

解法4:用配方法求解。

显然要使Px最大, 只有Ux=6V,

即滑动变阻器消耗的最大功率Px=3W, 此时

一题多解 快乐无限 篇8

一进课堂，学生们一个个睁大眼睛盯着你，企盼马上从你身上得到一些新奇的东西，可想而知，你一出口的旧问题会使他们的眼神一下子黯淡无光。我们常说：兴趣是最好的老师。学生如果对学习不感兴趣，多棒的老师施教，也是徒劳的。所谓好老师，总是善于激发学习兴趣，学生听他上课如浴春风，不知不觉地在愉悦中获得了知识。同时兴趣也是成功的基础。如果学生对数学产生了浓厚的兴趣，就会主动积极去思考、钻研、学习。只有学生对所学科目有了兴趣，他才愿学、乐学，才可望收到理想的教学效果。因此，在教学过程中，潜意识地激发学生的学习兴趣，尤为重要。

怎样激发学生学习数学的兴趣呢？笔者以为关键在于老师。在教学中，老师的教学方法要新颖、灵活，内容要丰富、多彩，才能激发学生的兴趣，培养其创新意识。在数学教学中，切忌解题方法的唯一，这样教出来的学生既“呆板”又“机械”。只有鼓励学生从多角度多方位去思考，才能培养出有创新能力的学生。

例：如图所示，在△ABC中，D为BC的中点，延长AD至E，延长AB交CE于点P，若AD=2DE，求证：AP=3AB。

本题可用以下四种方法证明：

方法一：过点B做BK∥PC交AE于K

∵BD=DC

∠BDK=∠CDE

∠KBD=∠ECD

∴△BDK≌△CDE

∴KD=ED

∵AD=2DE

∴AK=KD=DE

∵BK∥PE

∴AP/AB=AE/AK=3

∴AP=3AB

方法二：过D做DG∥PC交BP于G

在△BPC中

∵BD=DC

∴BG=GP

在△APE中

∵AD=2DE

∴AG=2GP

∴AG=2BP

∴AB=BG=GP

∴AP=3AB

方法三：取CP的中点M，连接DM

∵D为BC的中点

∴DM∥AP，PB=2DM

在△AEP中

∵DM∥AP

∴AP/DM=AE/DE

又∵AD=2DE

∴AE/DE=3即AP=3DM

∵AB=AP-PB=DM

∴AP=3AB

方法四：延长DE至F，使EF=DE，连接CF，则DF=2DE=AD

又∵BD=CD，∠ADB=∠EDC

∴△ADB≌△FDC

∴AB=FC，∠BAD=∠F

从而AP∥FC

∴△AEP∽△FEC

∴AP/FC=AE/EF=3

∴AP=3FC

∴AP=3AB

对于这道题，首先我明确告诉学生是多解题，要求学生在二十分钟内通过分组讨论，共同探讨，寻求方法。然后由本组的“汇报员”记录、汇报给老师（二十分钟内完成），并且评选出最多解法的小组给予奖励（五分钟，老师综合评价）。这时学生们都跃跃欲试，学习兴趣高涨，课堂气氛活跃。在这种开放式的学习空间里，学生体会到了自主探索和合作交流带来的学习乐趣，感受到成功的喜悦，充分发挥了学生的学习主体性、合作探究能力和语言表达能力。在这里，老师的作用只是时间的掌控者、评选的裁判员。通过这种方式能很好地收到事半功倍的效果：经过一段时间的实践教学，我惊喜地发现学生在课堂内外经常采用这种合作方式，三五成群地做着数学题。

总之，在数学教学中，应鼓励学生多实践，多探索，多思索，遇到问题能大胆的想象，适时激发学习兴趣，要让学生有充分从事数学探究活动的机会，以发挥学生学习的自主性、主动性、选择性和创造性；老師要及时了解学生学习中可能随时发现的教学意外，以适时适当地给予引导，有效地调控教学；同时新课改对老师的素质要求就更高了：如何做到“活而不乱”、“活而有序”、“活而有效”，还有待于老师们进一步探讨，加以完善。相信每个学生都有了表现自己的机会，都能体验到成功的欢喜，我们的课堂教学必将越来越精彩！