构造函数解不等式

构造函数解不等式（精选15篇）

构造函数解不等式 篇1

不等式与函数是高中数学最重要的两部分内容。把作为高中数学重要工具的不等式与作为高中数学主线的函数联合起来，这样资源的优化配置将使学习内容在函数思想的指导下得到重组，优势互补必将提升学习效率.例1:已知a2+ab+ac<0证明b2-4ac>0

分析：有所证形式为二次函数的判别式（△）的格式。故试图构造二次函数使思路峰回路转。

证明：令f(x)=cx2+bx+a。由a2+ab+ac=a(a+b+c)<0得a与 a+b+c异号。

F(0)=a，f(1)= a+b+c。所以，f(x)图像与x轴有两个交点.。所以判别式（△）大于0。即b2-4ac>0。

x111< ln

本题与2005年全国卷Ⅱ中函数f(x)=ln(1+x)-x 没有什么区别，有着高等数学的背景，且是近几年高考命题不等式证明题中新的开挖点。构造函数和用求导数法来研究其单调性，进而再利用单调性可快捷证得，往往别开生面。

11证明：设1+= t ,由x∈(0,+∞)则t > 1 ,∴x =xt1

1原不等式

< lnt

1令f(t)=t-1-lnt 则 f ‘(t)=1-当 t∈(1,+∞)，有f‘(t)>0 t

从而 f(t)在t∈(1,+∞)单调递增，所以 f(t)>f(1)=0 即t-1>lnt

1t1同理 令g(t)=lnt-1+。则g’(t)= 2 当t∈(1,+∞)，有 g’(t)>0 tt

1所以 g(t)在t∈(1,+∞)单调递增，g(t)>g(1)=0即lnt>1-t

x111综上 < ln

有些不等式，利用函数的性质（如单调性，奇偶性等）来解证，往往要比常规的方法容易找到证题途径，下面看一个例题：

例3：设a，b，c∈R+，且a＋b＞c．

在课堂上可先让学生用常规方法思考试证后启发学生用构造函数法来证，最后比较证法。

（x∈R+），先证单调性。

∴f（x）在x∈R+上单调递增。

∵a+b＞c（已知）∴f（a+b）＞f（c），利用构造法也可解关于x的不等式

例4:已知关于x的不等式｜x-4｜＋｜x-3｜＜a的解集为非空集合，求实数a的取值范围。

对于讨论这类含参数的不等式，先让学生按常规方法解：用数轴法，分别在三个区间内讨论解集为非空集合时a的取值范围，然后求它的交集得a＜1。

后来又启发学生用构造函数方法来解，学生们思考很积极，有一个学生解道：

作出分段函数的图象（如上图所示）

构造函数解不等式 篇2

一、求参数范围

例1函数y=(x-1)a-6(log3a)x+x+1,其中x∈[0,1]时,函数值恒为正,求a的取值范围.

解:选x为主元,构造一次函数有该一次函数恒为正的充要条件为:,解得,所以

例2若f(x)=asinx+bcosx+c的图象过点(0,1)及(,1),且当x∈[0,]时恒有{f(x)|≤2,求c的取值范围.

构造函数g(u)=(1-c)u+c,因g(u)在区间[1,]表示线段,可知:

解得

评注:上述两例若不变换主元,则需要进行分类讨论,造成运算过程非常冗长,不利于构造参数不等式求范围.

二、解不等式

例3设不等式x2+px+1>3x+p对一切满足|log2pl<2的p值均成立,解此不等式.

解:由|log2p|<2得.转换视角,将不等式中p视为主元,则可变形为:f(p)=(x-1)p+(x2-3x+1),p∈(,4),问题转化为关于p的一次函数为正数时系数的讨论.显然x≠1,因此f(p是p的单调函数,使f(p>0,p∈(,4)成立的充要条件为:,即

三、证明不等式

例4若x、y、z∈(0,1),则有x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

证明:构造一次函数f(x)=(1-y-z)x+y(1-z)+z,x∈(0,1),

从而f(0)=y(1-z)+z=(y-1)(1-z)+1<1,f(1)=1-y-z+y(1-z)+z=1-yz<1.

于是对0

从而有(1-y-z)x+y(1-z)+z<1,即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

例5已知,β≠kπ(k∈Z),求证:sinαcosβ+cosβsinγ+sinγsinα>-1.

证明:因为sinαcosβ+cosβsinγ+sinβsinα+1=(cosβ+sinγ)sinα+cosβsinγ+1,故可构造函数f(x)=(cosβ+sinγ)x+cosβsinγ+1.

由已知条件|sinα|<1,|cosβ|<1,|sinγ|<1,易知f(-1)=(1-cosβ)(1-sinγ)>0,f(1)=(1+cosβ)(1+siny)>0.

从而无论一次函数f(x)是增函数还是减函数,当x∈(-1,1)时恒有f(x)>0.

所以f(sinα)>0,则问题获证.

例6已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时|f(x)|≤1,求证:当x∈[-1,1]时|g(x)|≤2成立.

证明:由题设有|f(0)|=|c|≤1,|f(1)|=|a+b+c|≤1,|f(-1)|=|a-b+c|≤1.

因为|a±b|=|a土b+c-c|≤|a±b+c|+|c|≤2,所以-2≤a±b≤2.

所以对于函数g(x)=ax+b,x∈[-1,1],有g(x)≤max{g(1),g(-1)}=max{a+b,a-b}≤2;g(x)≥min{g(1),g(-1)}=min{a+b,a-b}≥-2.

所以-2≤g(x)≤2,即|g(x)|≤2.

构造法解函数不等式 篇3

例1 已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导函数f'（x）>x1，则不等式f（x）<1/2x? -x+1的解集为_______________.

我们并不知道问题中的函数f（x）的解析式，只知道它满足两个条件：①f（2）=1，②导函数.f'（x）>x-l，求解不等式f（x）<1/2x?-x+1.这样的问题称为“求解函数不等式”.注意到（1/2x?-x+1）'=x-1，构造函数g（x）=f（x）-（1/2x?-x+1），本质就是解不等式g（x）<0.

g'（x）=f'（x） -x+1.由条件②知，g'（x）>o，所以g（x）在（-∞，+∞）上为增函数.又由条件①，知g（2）=f（2）-1/2×4+2-1=0，故由g（x）

由此可见，解此类函数不等式的步骤是：

Sl结合题设中的导数条件和所要求解的函数不等式，构造一个新函数；

S2确定新函数的导数符号，以确定新函数的单调性；

S3利用新函数的单调性及图象中的特殊点，得到函数不等式的解集.

例2 函数f（x）的定义域是R，f（o）=2，对任意x∈R，f（x）+f'（x）>1，则不等式ex·f（x）>ex+1的解集为__________.

解析记函数g（x）=ex·f（x）-ex1，则g'（x）=ex（f（x）+f'（x）-1）.

因为对任意x∈R，f（x）+'（x）>1，所以g '（x）>0恒成立，所以g（x）在（-∞，+∞）上为增函数，因为g（0）=f（o）-11=0，所以不等式ex·f（x）>ex+1，即g（x）>g（0）的解集是x>o，所以不等式e·f（x）>ex+1的解集为（o，+∞）.

评析最简单的构造函数方法是“g（x）一左边-右边”，这样目标就是解不等式g（x）>o.

例3 已知f（x），g（x）（g，（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'（x）g（x）

解析

当x<0时，由题设得h'（x）

由f（-3） =0，得h（-3）=-h（3）=0.

由h（x）3.

不等式的解集为（-3，0）∪（3，+∞）.

评析对照导数条件f'（x）g（x）

例4 己知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）

解析因为f（x+2）为偶函数，所以f（x+2）的图象关于直线x=o对称，所以f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（0）=f（4）=1.

因为f'（x）

因为

不等式f（x）

评析导数条件“f'（x）

例5 已知函数y=f（x）对于任意的x满足f'（x）cosx+f（x）sinx>0（其中'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不一定成立的是

（）

解析 设故B正确.A，C同理.故选D.

评析导数条件中的“+”未必是两个函数的积的导数，本题中，（cosx）'=-slnx，所以，我们仍然是构造商函数.

例6 已知函数f（x）满足x>o时，有则下列结论一定成立的是

（）

解析 由f'（x）=2X?，得f（x）=2/3x?+C.

当x>o时，由f'（x）=2x?>得

评析关键是确定常数C的取值范围.导数条件f'（x）>变形为xf'（x）-f（x）>o，这样就能联想到构造什么样的新函数了.

小结联系已知导数条件和要求解的函数不等式，构造辅助函数是求解这类问题的常用方法.构造方法无非是两个函数的和、差、积和商，通过研究辅助函数的单调性、奇偶性等性质得到函数不等式的解.特别注意函数ex、Inx，前者的导数永远不变，后者的导数变成多项式，弄清楚它们的结构特点，有助于我们联想得更快、更准.

构造函数法证特殊数列不等式 篇4

题目1：求证1111111+1++…+ln(1n)1++++…+

题目2：求证

题目3：求证234n1234n2n(n1)ln2ln3ln4lnn ln2ln3ln4lnn

234n1

n

构造函数法证特殊数列不等式

题目1：求证12111111+1++…+ln(1n)1++++…+ 34n1234n

(一)构造函数①f(x)ln(1x)

分析：f(x)x(x0)1x1(1x)xx=>0,函数f(x)在(0,+)上单调递增。221x(1x)(1x)

x(x0)1x

1111111,ln(1),ln(1)，…… 因而有ln(1)13141112231123ln(1)1nn11n

11111111故：ln(1)+ln(1)+ln(1)+……+ln(1)>+++……+ 123n234n11111即ln(1n)+++……+ 234n1所以当x0时，有f(x)>f(0)=0，即有ln(1x)

（二）构造函数②f(x)ln(1x)x(x0)分析：f(x)x11=<0,函数f(x)在(0,+)上单调递减。1x1x

所以当x0时，有f(x)

233nn

11111111故：ln(1)+ln(1)+ln(1)+……+ln(1)<1++++……+ 123n234n1111即ln(1n)1++++……+ 234n因而有ln(1)1,ln(1),ln(1),……, ln(1) 1112

综上有：12111111ln(1n)1++++…+ +1++…+34n1234n小结：记住函数不等关系㈠

题目2：求证x

(三)构造函数③f(x)lnxx1(x0)x1

1(x1)(x1)x21分析：f(x)=>0,函数f(x)在(0,+)上单调递增。22x(x1)x(x1)

x1(x1)x1

211312413,ln3,ln4，…… 因而有ln2213314415

n1lnn n1所以当x1时，有f(x)>f(1)=0，即有lnx

故：ln2ln3ln4lnn>

综上有1234n2n12xxxx……xx= 3456nn1n(n1)2ln2ln3ln4lnnn(n1)

x1lnx(x1)x1

ln2ln3ln4lnn1题目3：求证234nn小结：记住函数不等关系㈡)构造函数④f(x)lnx(x1)(x1（注：此函数实质和构造函数二一样）分析：f(x)1=1

x1x<0,函数f(x)在(1,+)上单调递减。x

所以当x1时，有f(x)

因而有ln21,ln32,ln43，……，lnnn1

ln2ln3ln4lnn1234（n2)(n1)n

n（n2)(n1)即有ln2ln3ln4lnn234 故有：ln2ln3ln4lnn1234nn

小结：记住函数不等关系㈢lnxx1(x1)

识记重要不等式关系

ln(1x)x(x0)1x

ln(1x)x(x0)

x

x1lnx(x1)x1

lnxx1(x1)

资料由谢老师收集：

构造法证明不等式5 篇5

（以下的构造方法要求过高，即使不会也可以，如果没有时

间就不用看了）

在学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，多种常用证法一一尝试，均难以凑效。这时不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。

一、构造向量证明不等式（不会也可以）

例1：证明x2(9x2)9，并指出等号成立的条件。

证明：不等式左边可看成坐标表示，将左边看成向量a=(与 x 和与x2两两乘积的和，从而联想到数量积的,)与b=(x, 9x2)的数量积，7x2(9x2)()2(2)2x2(9x2)9又ab|a||b|，所以

x9x

2当且仅当ba,(0)时等号成立，故由 解得：x=,λ=1，即 x =时，等号成立。

2（1－y)例2：求证：1(xy3)2(2xy6)2 6

证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成a(1y,xy3,2xy6)模的平方，又ab|a||b|，为使ab 为常数，根据待定系数法又可构造b(1,2,1)。于是|a|·|b|=(1y)2(xy3)2(2xy6)26

a·b＝（1－y)·1＋(xy3)·2(2xy6（）·1）1 所以(1y)2(xy3)2(2xy6)21 2（1－y)即1(xy3)2(2xy6)2 6

x2(1y)2(1x)2y21x)2(1y)22

二、构造复数证明不等式（这种方法不作要求，如果有兴趣了解一下就可以了）22例

3、求证：xy

证明：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数Z1=x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x + y i，Z4 = 1－ x +（1－

y）i 模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由 z1＋z2＋z3＋z4≥z1z2z3z4可得：

x2y2x2(1y)2(1x)2y2(1x)2(1y)22222

2注：此题也可构造向量来证明。

三、构造几何图形证明不等式

例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：

a2abb2b2bcc2a2acc2，当且仅当

111时取等号。bac

证明：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造如

下图形，使OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60° 如图（1），则∠AOC＝120°，AB=图（1）a2abb2，BC=b2bcc2,AC=a2acc

2由几何知识可知：AB＋BC≥AC，∴a2abb2+b2bcc2≥a2acc2 当且仅当A、B、C三点共线时等号成立，此时有

111absin60bcsin60acsin12022

2ab+bc=ac 故当且仅当，即111时取等号。bac

四、构造椭圆证明不等式

例5：求证：

证明：42 49x22x3349x2的结构特点，使我们联想到椭圆方程及数形结合思想。

x2y212于是令 y49x(y0)，则其图象是椭圆的上半部分，49设y-2x=m，于是只需证42,m3

3因 m为直线y=2x＋m在y轴上的截距，由图（2）可知：

当直线 y = 2 x＋m 过点（24，0）时，m有最小值为m=； 33

当直线y =2x＋m与椭圆上半部分相切时，m有最大值。

由 y2xm2 2得：13x+ 4mx + m– 4 = 0 229xy4

令△= 4（52－9m2）=0 得：m22或m（去）33

即m的最大值为424，故m，即49x22x 33333

五、构造方程证明不等式

例6：设 a1、a2、…an 为任意正数，证明对任意正整数n不等式(a1 + a2 + … + an)2≤ n(a12+a22+ …+ an2)均成立

证明：原不等式即为 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：

(a12+ a22+ … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）

因方程左边＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0

当a1、a2、…an不全相等时，a1 x+

1、a2 x+

1、…an x+1至少有一个不为0，方程（＊）左边恒为正数，方程（＊）显然无解。

当a1＝a2＝…＝an 时，方程（＊）有唯一解 x＝1 a

1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)对任意正整数n均成立

六、构造数列证明不等式

例7：求证：Cn1+Cn2+…+Cnn >n

2n n-12图（2）12n证明：不等式左边为 2－1=从而联想到等比数列的求和公式，12

n-111n1n-1n-2n-12=n于是左边=1+2+2+…+ 2 =[(1+2)+(2+2)+ …(2+1)≥·n·22 222n－1例8：设任意实数a、b均满足| a | < 1，| b | < 1，求证：112 1a21b21ab

证明：不等式中各分式的结构特点与题设联想到无穷等比数列（| q | < 1）各项和公式S＝

a1，1q

则：11=（1 + a2 + a4 + …）+（1 + b2 + b4 + …）221a1b

=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ …

≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … = 2 1ab

七、构造函数证明不等式

例9：已知 | a | < 1，| b | < 1，| c | < 1，求证：ab＋bc＋ca＞－

1证明：原不等式即为：（b＋c）a＋bc＋1>0 ……①

将a看作自变量，于是问题转化为只须证：当－1＜a＜1时，（b＋c）a＋bc＋1恒为正数。

因而可构造函数 f(a)=(b + c)a + bc +1(－1＜a＜1)

若b + c = 0原不等式显然成立。

若b + c ≠0，则f(a)是a的一次函数，f(a)在（－1,1）上为单调函数 而 f(-1)=－b－c + bc +1＝（1－b）（1－c）＞0

f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0

∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1

此题还可由题设构造不等式：（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0

（1－a）（1－b）（1－c）＞0

两式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1

八、构造对偶式证明不等式

例10：对任意自然数n，求证：(1+1)(1+11)…(1+)>43n2

证明：设an =(1+1)(1+112583n43n1)…(1+)= … 43n21473n53n2

3693n33n47103n23n1…，cn = … 2583n43n13693n33n构造对偶式：bn =

1

巧解一类不等式 篇6

先看下面的题目：

已知定义在R上的函数yf(x)其导函数为f(x)，且满足f(x)f(x)，则不

等式f(2x3)e

2x4

f(1)的解集为

2x4

f(2x3)e

2x3

解析：注意到f(2x3)ef(1)可写为：



f(1)e，令g(x)

f(x)e

x，则该

不等式即为g(2x3)g(1)，为此只要考虑g(x)的单调性即可，由

f(x)e

x

g(x)

f(x)e

2x

x

e



f(x)f(x)

e

x

0，从而g(x)在R上为增函数，所以

2x31,x2。

从上面的解题过程，可以发现：由条件f(x)f(x)可考虑构造函数g(x)

g(x)

f(x)f(x)

e

x

f(x)e

x，则，于是条件f(x)f(x)便用上了。

当然作为填空题下面的方法也很好：

另解：特取符合条件的函数f(x)e1，则由f(2x3)e

e

2x3

x

2x4

f(1)得

1e

2x4

(e1)，整理得e

2x4

1，2x40,x2.下面一题和这个题是完全一样的完全一样：

题目：f(x)是定义在R上的函数，导数为f(x)，且对一切实数x都有对正实数，比较f(a)与ef(0)的大小。（姜堰二中11届暑假作业）

x

a

f(x)f(x，解析：特殊值法：取f(x)2，或f(x)e1.构造函数法：令g(x)

f(x)e

x，则g(x)

f(x)f(x)

e

x

0，所以g(x)在R上是增函数，a

利用“构造函数”方法证明不等式 篇7

一、构造分式函数证

二、构造指数函数证

三、构造一次函数证

例4设x, y, z∈ ( 0, 1) . 求证: x ( 1 - y) + y ( 1 - z) + z ( 1 x) < 1.

解析: 多字母问题, 可选定一字母为变量, 其余为常数, 变成函数问题.

证明: 设f ( x) = ( 1 - y) x + y ( 1 - z) + z ( 1 - x) -1是x的一次函数且0 < x <1.

因为f ( 0) = y ( 1 - z) + z -1 = ( 1 - z) ( y -1) <0.

f ( 1) = 1 - y + y ( 1 - z) - 1 = - yz < 0.

而x∈ ( 0, 1) , 由一次函数的性质得f ( x) <0.

即 x ( 1 - y) + y ( 1 - z) + z ( 1 - x) -1 <0.

故x ( 1 - y) + y ( 1 - z) + z ( 1 - x) <1得证.

四、构造二次函数

这几种函数都是高中知识里熟悉与重点的函数, 学生易掌握, 它给我们不等式证明开启了另外一扇窗.

构造函数解不等式 篇8

一、直接作差，构造函数

如果要证明对于?坌x∈D都有f（x）≥g（x）的不等式，可以直接作差构造新函数h（x）≥f（x）－g（x），x∈D．那么，问题就转化为证明h（x）在D内的最小值大于或等于0．

例1．（2012年高考辽宁理科12）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（ 　 ）

A． ex≤1+ x+x2 　B． ■＜1－■x+■x2

C． cosx≥1－■x2 　D． 1n（1+x）≥x－■x2

解析：设f（x）＝cosx－（1－■x2）＝cosx－1+■x2，则g（x）＝f ′（x）＝－sinx+x，所以g ′（x）=-cosx+1≥0，所以当x∈[0，+∞）时，g（x）是增函数，f ′（x）=g（x）≥g（0）＝0，同理f（x）≥f（0）＝0，即cosx－（1－■x2）≥0，因此，cosx≥1－■x2，故选C．

评注：本题采用直接作差构造函数，通过利用导数分析所构造函数的单调性与最值来证明不等式，需要说明的是，为了证明f（x）是增函数，构造函数g（x）＝f ′（x）=－sinx+x，运用导数工具证明函数g（x）≥0来证明f（x）是增函数．

二、合理转化，构造函数

有些不等式的证明问题，针对待证不等式直接构造函数非常困难，可以对待证不等式合理变形转化，由待证不等式出发不断寻找使得结论成立的充分条件，直到找到容易证明的不等式为止，再根据最后找到的不等式构造函数．

例2．（2012年高考湖北文科22）设函数f（x）＝axn（1－x）+b（x＞0），n为正整数，a,b为常数，曲线y＝f（x）在（1，

f(1)）处的切线方程为x+y=1．（1）求a,b的值；（2）求函数f（x）的最大值；（3）证明：f（x）＜■．

分析：由（Ⅱ）可知f（x）的最大值为f（■）=■，因此，要证明f（x）＜■，只需证明■＜■，即证（■）n+1＞e，即证ln（■）＞■，即证ln（1+■）＞■，令t=1+■，则ln（1+■）＞■可化为1nt＞■，从而只需要证明1nt＞■（t＞1）．

解析：（1）a=1，b=0；（2）f（■）＝■（3）构造函数g（t）＝1nt－1+■，t≥1．g′（t）＝■－■，t≥1．当t＞1时，g′（t）＞0，g （t）在[1，+∞）上递增．因此，当t≥1时，g（t）＞g（1）＝0，即1nt＞■（t＞1）．令t=1+■，则ln（1+■）＞■＝■，即ln（■）n+1＞1ne，所以（■）n+1＞e，即■＜■，所以f（x）＜■．

评注：本题直接证明是非常困难，将待证不等式转化不断逆推寻找，最终将问题转化为证明ln（1+■）＞■，然后通过构造函数g（t）＝1nt－1+■（t＞1）解决问题．

三、适当放缩，构造函数

如果直接构造函数证明不等式比较困难，可以对待证不等式进行适当的放缩，再去构造合适的函数，通过分析函数的性质来解决问题，从而解决比较复杂的问题．当然，放缩要适度，恰到好处．

例3．（2012年高考浙江文科21）已知a∈R，函数f（x）＝4x3-2ax+a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+2－a＞0．

解析：（1）略；（2）由于0≤x≤1，当a≤2时，f（x）+a－2＝4x3－2ax+2≥4x3－4x+2．当a＞2时，f（x）+a－2＝4x3+2a（1－x）－2≥4x3+4（1－x）－2＝4x3－4x+2．设g（x）＝2x3－2x+1，0≤x≤1，则g′（x）＝6（x－■）（x+■），则有：

所以g（x）min=g（■）=1-■＞0．当0≤x≤1时，2x3－2x+1＞0．故f（x）+a－2≥4x3-4x+2＞0．

评注：本题去掉绝对值符号并进行放缩之后构造函数．首先通过放缩，把含有两个变量的不等式f（x）+2－a＞0转化为证明只含一个变量的不等式4x3-4x+2＞0．然后利用导数分析所构造函数的单调性与最值来证明不等式．

四、观察结构，构造函数

对于有些多变量的不等式，可以从观察对待证不等式的结构特点入手，对其进行适当变形，并分析变量的结构特点，构造适当的函数，将多变量问题转化为单变量的函数问题．

例4． （2012年山东省聊城市高三统考题）函数f（x）=x2+b1n（x+1）－2x，b∈R（1）当b＝■时，求函数f（x）的极值；（2）设g（x）＝f（x）+2x，若b≥2，求证：对任意两个不相等实数x1，x2∈（－1，+∞），都有■≥2.

解析：（1）略；（2）因为f（x）＝x2+b1n（x+1）－2x，所以f ′（x）＝■（x＞－1），因为b≥2，所以f ′（x）≥0（当且仅当b＝2，x＝0时等号成立），所以f（x）在区间（－1，+∞）上是增函数．不妨设x1＞x2，则对任意x1，x2∈（－1，+∞），当x1＞x2时，f（x1）＞f（x2），即g（x1）-2x1＞g（x2）-2x2，所以g（x1）-g（x2）＞2（x1-x2），因此，■≥2.

评注：本题解题关键在于将待证不等式适当变形为g（x1）-2x1＞g（x2）-2x2之后，观察结构发现，构造函数f（x）=g（x）-2x，问题转化为证明函数f（x）是减函数即可．

五、消元换元，构造函数

有些不等式含有多个变量，可以对多变量的不等式进行转化变形，通过换元转化成只含一个变量的不等式，然后构造只含一个变量的函数，通过分析函数的单调性极值或最值来解决问题．

例5． （2012年浙江省名校新高考研究联盟联考）已知函数f（x）＝alnx-（x－1）2-ax（常数a∈R）.（1）求f（x）的单调区间；（2）设a＞0，如果对于f（x）的图像上两点P1（x1，f（x1））,P2（x2，f（x2））（x1＜x2），存在x0∈（x1，x2）使得f（x）的图像在x＝x0处的切线m∥P1P2，求证：x0＜■．

解析：（1）略；（2）易知f ′（x0）＝kP■P■=■=■-（x2+x1－2）－a，又f ′（■）＝■－（x1+x2－2）－a．∵f ′（x）＝■－2（x－1）－a（a＞0）在（0，+∞）上为减函数．要证x0＜■,只要证f′（x0）＞f ′（■），即■＞■, 即证ln■＞■ ……①

令t＝■＞1，g（t）=lnt-■，则g′（t）=■－■＝■＞0，g（t）在（1，+∞）为增函数，因此g（t）＞g（1）=0，也就是lnt＞■，即■＞■，即ln■＞■，∴x0＜■得证．

评注：本题利用f ′（x）在（0，+∞）上为减函数，将待证不等式转化为证明含有两个变量不等式①，通过用t=x2/x1换元，可以构造函数g（t），分析出函数g（t）是单调增函数，进而求函数的最小值来证明不等式．

六、确定主元，构造函数

有些多变量的不等式可以在多个变量中选择某个变量为主元，将其他变量视为参数，将问题转化为以主元变量为自变量的函数，通过分析函数的单调性极值或最值来解决问题．

例5中的待证不等式ln■＞■，（x1＜x2），也可确定主元构造函数．构造函数h（t）＝ln■－■，t＞x1＞0，则h′（t）＝■＞0即h（t）在（x1，+∞）是增函数，因此，h（t）＝ln■－■＞h（x1）＝0，即ln■＞■（x1＜x2）．

评注：本题要证明的不等式①含有两个变量，将变量x2作为自变量，而将x1作为参数，构造函数h（t），通过分析出函数h（t）是单调减函数，并求函数的最小值来证明不等式．

【链接练习】

1． 已知函数f（x）＝ln（1+x）－■，（1）求函数f（x）的最小值；（2）求证：对任意的正数a、b，恒有lna-lnb≥1-■．

2． 设f（x）＝lnx+■-1，证明：(1)当x＞1时，f（x）＜1.5（x-1）；(2)当时1＜x＜3时，f（x）＜■．

【温馨提示】

1．（1）最小值是0；（2）对f（x）＝ln（1+x）－■≥0，令1+x=■，可得ln■≥1-■．

2． 构造函数g（x）=f（x）-1.5（x-1），x＞1和h（x）=f（x）-■，1＜x＜3分别求最值即可证明不等式．

（作者单位：谢伟，湖北省襄阳市第五中学；王丹，湖北省襄阳市第四中学）

《不等式及其解集》教学设计 篇9

[教学目标] 1.了解不等式概念，理解不等式的解集，能正确表示不等式的解集 2.培养学生的数感，渗透数形结合的思想.[教学重点与难点] 重点:不等式的解集的表示.难点:不等式解集的确定.[教学设计] [设计说明] 一.问题探知

某班同学去植树，原计划每位同学植树4棵，但由于某组的10名同学另有任务，未能参加植树，其余同学每位植树6棵，结果仍未能完成计划任务，若以该班同学的人数为x,此时的x应满足怎样的关系式？

依题意得4x>6(x-10)1.不等式：用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫不等式.解析:(1)用≠表示不等关系的式子也叫不等式(2)不等式中含有未知数,也可以不含有未知数;(3)注意不大于和不小于的说法 例1 用不等式表示(1)a与1的和是正数;(2)y的2倍与1的和大于3;(3)x的一半与x的2倍的和是非正数;(4)c与4的和的30%不大于-2;(5)x除以2的商加上2,至多为5;(6)a与b两数的和的平方不可能大于3.二.不等式的解

不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解.解析:不等式的解可能不止一个.例2 下列各数中,哪些是不等是x+1<3的解?哪些不是?-3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5 解:略.练习:1.判断数:-3,-2,-1,0,1,2,3,是不是不等式2x+3<5 的解?再找出另外的小于0的解两个.2.下列各数:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 三.不等式的解集

1.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集.含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式.分析不等关系,渗透不等式的列法 学生列出不等式,教师注意纠正错误

明确验证解的方法,引入不等式的解集概念 解析:解集是个范围

例3 下列说法中正确的是()A.x=3是不是不等式2x>1的解

B.x=3是不是不等式2x>1的唯一解;C.x=3不是不等式2x>1的解;D.x=3是不等式2x>1的解集 2.不等式解集的表示方法

例4 在数轴上表示下列不等式的解集(1)x>-1;(2)x≥-1;(3)x<-1;(4)x≤-1 分析:按画数轴,定界点,走方向的步骤答 解:

注意:1.实心点表示包括这个点,空心点表示不包括这个点 2.大于向右走,小于向左走.练习:如图,表示的是不等式的解集,其中错误的是()

练习: 1.在数轴上表示下列不等式的解集

(1)x>3(2)x<2(3)y≥-1(4)y≤0(5)x≠4 2.教材128:1,2,3 第3题:要求试着在数轴上表示 [小结] 1.不等式的解和解集;2.不等式解集的表示方法.[作业] 必做题:教科书134页习题:2题 指导辨析

带绝对值的不等式怎么解 篇10

解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值符号。而去掉绝对值符号的基本方法有二。其一为平方，所谓平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了；其二为讨论，所谓讨论，即x≥0时，|x|=x；x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了。说到讨论，就是令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的.x值，取交集，综上所述即可。

在运用上述方法求绝对值不等式的解集时，如能根据已知条件灵活地运用绝对值不等式的常见形式，不仅可以简化运算、简便地求出它的解集，而且有利于培养学生思维灵活性。

构造函数解不等式 篇11

一、构造辅助函数的原则

辅助函数的构造是有一定规律的。当某些数学问题使用通常的方法按定势思维去考虑很难奏效时,可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想,进而构造出解决问题的特殊模式,这就是构造辅助函数解题的一般思路。

二、构造辅助函数方法探讨

1. 仅告知被积函数连续的命题的证法

一般来说,这类命题的证明要做辅助函数(或者说用辅助函数法更简便)。

在定积分不等式中,辅助函数Φ(x)的构造方法是将定积分不等式中,积分上限(或下限)及相同字母换成x,移项使不等式一端为0,则另一端即为所设的辅助函数Φ(x)。

这类命题的证明思路:

(1)做辅助函数Φ(x);

(2)求Φ(x)的导数Φ'(x),并叛别Φ(x)的单调性;

(3)求Φ(x)在积分区间[a,b]的端点值Φ(a),Φ(b),其中必有一个值为“0”,由第2条思路可推出Φ(b)>Φ(a)(或Φ(b)<Φ(a)),从而得出命题的证明。

2. 已知被积函数f(x)一阶可导,又至少一个端点的函数值为0或f(b)=0)的命题的证法

(1)证题思路之一。①写出含这个端点的拉格朗日中值定理:f(x)=f(x)-f(a)=(x-a) f'(ζ),(f(a)=0)或f(x)=f(x)-f(b)=(x-b)f'(ζ),(f(b)=0)。②再根据题意进行不等式的放缩。③用定积分的比较定理、估值定理或函数的绝对值不等式等定积分性质作分析处理。

例1,设f(x)在[a,b]上可导,且

证明:由题设对任意的x∈[a,b],可知f(x)在[a,b]上满足拉氏微分中值定理,于是有:

由定积分比较定理,得出:

(2)证明思路之二。①写出如下等式:

②利用定积分比较定理、估值定理或绝对值不等式进行分析处理。

3. 已知被积函数f(x)二阶或二阶以上可导,且又知最高阶导数的符号的命题的证法

证明思路:直接写出f(x)的泰勒展开式(证明定积分等式是将辅助函数F(x)=f(t)dt展成泰勒公式),然后根据题意对展开式进行放缩。

三、结束语

辅助函数的构造在高等数学中一直占有重要地位,尤其是在微积分学中。辅助函数的构造是我们解决问题的重要工具,对它的研究从没有中断过,很多数学工作者对微积分学中辅助函数的构造做了很多研究,也取得了很多学术成果。本文从构造辅助函数的基本原则入手,总结了几种辅助函数的构造方法,同时也体现了构造辅助函数解决问题对培养学生创新思维的重要作用。

参考文献

[1]华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2]陈静,王来生,周志坚.浅析一元微积分学中的构造辅助函数方法[J].高等数学研究,2006(09):16-18.

[3]丁凯.微分中值定理在辅助函数构造中的应用初探[J].魅力中国,2010(10).

[4]同济大学应用数学系主编.高等数学(上册)[M].北京:高等教育出版社,2002.

不等式及其解集教学计划 篇12

师生行为

设计意图

[活动2]

问题1.(幻灯片展示)

①判断下列数中哪些满足不等式2x/3>50:

76、73、79、80、74.9、75.1、90、60

②满足不等式的未知数的值还有吗?若有,还有多少?请举出2—3例。

③.上问中的不等式的解有什么共同特点?若有,怎么表示?

④.②中答案在数轴上怎么表示?

⑤.通过前面的学习,你对求不等式解集有什么方法?

问题2:(幻灯片展示)直接想出不等式的解集,并在数轴上表示出来:⑴x+3>6⑵2x<8⑶x-2>0

教师出示问题,学生独立思考并解答。

教师引导学生共同评价,得出答案。教师在①②问完成后,类比方程,给出不等式的解的概念:

使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

在②问完成后,强调不等式与方程的区别:不等式的解不止一个。

本次活动教师应重点关注:学生是否积极尝试探究?在探究②问时,是否按“观察特点——猜想结论——验证猜想”的思路展开,避免盲目性。

③问教师根据学生思考情况,作适当地引导、讲解,找出特点并表示,教学时可先用举例法,再用性质描述法,最后再给出不等式解集定义:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。

④问教师引导学生完成。

⑤问可先让学生先行讨论,教师深入小组,仔细倾听学生意见,参与学生讨论,最后师生共同探究。

本次活动教师应重点关注:

⑴学生讨论是否有时效性、针对性。

⑵学生是否积极展示自己想法,叙述是否有条理,语言是否准确。

⑶学生是否能熟练用数轴表示解集。

通过简单代值运算,使每名学生都动起来,边代、边算、边答、边交流,调动学生的学习兴趣,为每位学生都创造在数学活动中获取成功的体验机会,并培养学生观察能力和数感。

本环节主要任务是突出重点和突破难点。通过对学生已有的数学知识进行拓展延伸,解释不等式的解,然后递进到不等式的解集,最后发展到解集的两种表述方法,这样设计活动,符合知识发生发展形成过程。

虽然解不等式不是本节课教学目标,但问题1的第⑤问设计意图是想在一元一次方程的解与同它对应的一元一次不等式的解之间建立一种联系,这样设计充分发挥学习心理学中正向迁移的作用,借助已有的方程知识,可以为学习不等式提供一条学习之路。

[活动3]

1、让学生找出下列不等式的特点:

x<1.1x>1.4

2x>150x+3>6

2x<8x-2>0

辨析:

下列哪些不等式是一元一次不等式

①x+2y>1②x2+2>3

③2/x>1④x/2+1

学生总结不等式特点,教师再让学生类比一元一次方程命名,得到一元一次不等式概念。

含有一个未知数、未知数次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

通过探索一元一次不等式的概念,让学生体会类比思想。

问题与情境

师生行为

设计意图

[活动4]

1、让学生找出易拉罐中不等式关系,并表示出来。

2、某班同学经调查发现,1个易拉罐瓶可卖0.1元,1名山区贫困生一年生活费用大约是500元。该班同学今年计划资助两名山区贫困生一年生活费用,他们已集资了450元,不足部分准备靠回收易拉罐所得。那么他们一年至少要回收多少个易拉罐?

学生独立探索,互动交流。

教师对问题2可采取灵活处理的方式,可让学生合作完成、分段完成。

通过对学生熟悉的生活背景进行处理,让学生体会数学生活化,能将实际问题转化为数学问题加以解决,培养学生应用意识。

[活动5]

问题:你对本节知识内容有何认识?

布置作业:P140.T2

学生独立思考、自我反思与小组合作交流、互相提问相结合,教师适时点拔总结。

本次活动中教师应重点关注:⑴不同学生总结知识程度;⑵小组合作情况;⑶学生梳理知识能力。

学生课后完成,教师批改总结。

教师应关注:

⑴不同层次的学生对知识的理解掌握程度并系统分析。

构造函数解不等式 篇13

构造函数 析构函数与赋值函数是每个类最基本的函数。它们太普通以致让人容易麻痹大意，其实这些貌似简单的函数就象没有顶盖的下水道那样危险。

每个类只有一个析构函数和一个赋值函数，但可以有多个构造函数（包含一个拷贝构造函数，其它的称为普通构造函数）。对于任意一个类A，如果不想编写上述函数，C++编译器将自动为A产生四个缺省的函数，如

A(void);// 缺省的无参数构造函数

A(const A &a);// 缺省的拷贝构造函数

~A(void);// 缺省的析构函数

A & operate =(const A &a);// 缺省的赋值函数

这不禁让人疑惑，既然能自动生成函数，为什么还要程序员编写？

原因如下：

（1）如果使用“缺省的无参数构造函数”和“缺省的析构函数”，等于放弃了自主“初始化”和“清除”的机会，C++发明人Stroustrup的好心好意白费了。

（2）“缺省的拷贝构造函数”和“缺省的赋值函数”均采用“位拷贝”而非“值拷贝”的方式来实现，倘若类中含有指针变量，这两个函数注定将出错。

对于那些没有吃够苦头的C++程序员，如果他说编写构造函数 析构函数与赋值函数很容易，可以不用动脑筋，表明他的认识还比较肤浅，水平有待于提高。

本章以类String的设计与实现为例，深入阐述被很多教科书忽视了的道理。String的结构如下：

class String

{

public:

String(const char *str = NULL);// 普通构造函数

String(const String &other);// 拷贝构造函数

~ String(void);// 析构函数

String & operate =(const String &other);// 赋值函数private:

char*m_data;// 用于保存字符串

构造函数解不等式 篇14

解一元一次不等式的方法与解一元一次方程的方法类似，教学时应注重学生一有的经验，鼓励学生探索。归纳解一元一次不等式的方法和步骤，对教材中所设计的供学生讨论和交流的问题。要注意让不同水平的学生能发表意见，并给予肯定和补充。同时适当渗透类比的方法和转化数学思想。

教材中举例说明一元一次不等式的解法，没有给出解法的一般步骤，教学中要注意让学生经历将所给不等式转化为简单的不等式的过程。从中自然引申出不等式中去分母、去括号、移项、系数化为1等步骤及其注意事项，体会数学学习中比较和转化的作用。

继续重视学生在不等是解集在数轴上的表示，以巩固对不等式解集的认识，也为下一节一元一次不等式组的学习作准备。

构造函数解不等式 篇15

使学生正确理解不等式的解、不等式的解集、解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法。教学重难点

重点：正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。难点：正确理解不等式解集的意义。课时安排 2课时

教学互动设计 第1课时

（一）创设情景，导入新课

多媒体演示：（也可以借助天平演示导入）①两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏。现在换了一个小胖子上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续进行下去了，着是什么原因？

②一辆匀速行驶的汽车在11:20时距离A地50千米。要在12:00以前驶过A地，车速应该具备什么条件？若设车速为每小时x千米，能用一个式子表示吗？

③世纪公园的票价是：每人5元，一次购票满30张可少收1元，某班有27名少先队员去世纪公园进行活动，当领队王小华准备好了零钱到售票处买了27张票时，爱动脑的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票，但有的同学不明白，明明只有27个人，买30张票，岂不浪费吗？

那么，究竟李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费呢？

（二）合作交流，解读探究 1.不等式、一元一次不等式的概念

在学生充分发表自己的意见的基础上，师生共同归纳得出：用“<”或“>”表示大小关系的式子叫做不等式；用“≠”表示不等式关系的式子也是不等式。[练一练]下列式子中哪些是不等式？

（1）+b=b+(2)-3＞-5(3)≠1(4)x+3＞6(5)2m＜n(6)2x-3 上述不等式中，有些不含未知数，有些含有未知数。我们把那些类似于一元一次方程，含有一个未知数且未知数的次数是１的不等式，叫做一元一次不等式。小组交流 说说生活中的不等关系／

分组活动 先独立思考，然后小组内互相交流并做记录，最后各组选派代表发言，在此基础上引出不等号“≥”和“≤”。补充说明：“≥”和“≤”表示不等式关系的式子也是不等式。

［练一练］下列不等式中，哪些是一元一次不等式？

（１）３+５＞７；（２）x+y≤９（３）-２＞３；（４）-２x＞５ ２.不等式的解

多媒体演示 创设情景中的第②题

问题１ 要使汽车在12:00以前驶过A地，你认为车速应该为多少呢？

问题２ 车速可以是每小时85千米吗？每小时82千米呢？每小时75.1千米呢？每小时74千米呢？

问题３ 我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，我们也可以把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。刚才同学们所说的这些数，哪些是不等式 ＞５的解呢？（由此导出不等式的解集）

（三）应用迁移，巩固提高 例１用不等式表示：

（１）x的３倍大于１；（２）y与５的差大于零；（３）x与３的和大于６；（４）x的 小于２.例2用不等式表示：

（1）a与1的和是正数；（2）x的2倍与y的3倍的差是非负数；（3）x的2倍与1的和大于-1；

（4）a的一半与4的差的绝对值不小于a；（5）x的 与２的和至多为５.[练习]1.下列数值哪些是不等式x+3＞6的解?哪些不是?-4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12 ２.用不等式表示:（１）a是正数；（２）a是负数；（３）a与５的和小于７；

（４）a与２的差大于-１；（５）a的４倍大于８；（６）a的一半小于３.例３ 当x-2时,不等式x-1＜2成立吗?当x=3呢?当x=4呢? [练习]直接想出不等式的解集:（１）x＝３＞６；（２）２x＜８；（３）x－２＞０.［备选例题］

１.方程３x＝６的解有

个，不等式３x＜６的解有

个。

２.燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 cm以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为0.02m／s，人离开的速度为4m/s，导火线的长x（m）应满足什么样的关系式？

（四）总结反思，拓展升华

通过本节课的学习，你有哪些体会？

针对本节课所学内容，请学生回答以下问题：

如何区别不等式的解，不等式的解集及解不等式这几个概念？

找出一元一次方程与不等式在“解”，“求解”等概念上的异同点.记号“≥”、“≤”各表示什么含义？

拓展 适合不等式x-3＜0的非负整数是哪几个数？适合不等式x+3＞0的非正整数有哪几个?分别求出来.（五）课堂跟踪反馈

下列各数：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5中，同时适合x+5＜７和2x+2＞0的有哪几个数？

教学目标

使学生正确理解不等式的解、不等式的解集、解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法。教学重难点

重点：正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。难点：正确理解不等式解集的意义。课时安排 2课时

教学互动设计 第1课时

（一）创设情景，导入新课

多媒体演示：（也可以借助天平演示导入）①两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏。现在换了一个小胖子上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续进行下去了，着是什么原因？

②一辆匀速行驶的汽车在11:20时距离A地50千米。要在12:00以前驶过A地，车速应该具备什么条件？若设车速为每小时x千米，能用一个式子表示吗？

③世纪公园的票价是：每人5元，一次购票满30张可少收1元，某班有27名少先队员去世纪公园进行活动，当领队王小华准备好了零钱到售票处买了27张票时，爱动脑的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票，但有的同学不明白，明明只有27个人，买30张票，岂不浪费吗？

那么，究竟李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费呢？

（二）合作交流，解读探究 1.不等式、一元一次不等式的概念

在学生充分发表自己的意见的基础上，师生共同归纳得出：用“<”或“>”表示大小关系的式子叫做不等式；用“≠”表示不等式关系的式子也是不等式。[练一练]下列式子中哪些是不等式？

（1）+b=b+(2)-3＞-5(3)≠1(4)x+3＞6(5)2m＜n(6)2x-3 上述不等式中，有些不含未知数，有些含有未知数。我们把那些类似于一元一次方程，含有一个未知数且未知数的次数是１的不等式，叫做一元一次不等式。小组交流 说说生活中的不等关系／

分组活动 先独立思考，然后小组内互相交流并做记录，最后各组选派代表发言，在此基础上引出不等号“≥”和“≤”。补充说明：“≥”和“≤”表示不等式关系的式子也是不等式。

［练一练］下列不等式中，哪些是一元一次不等式？

（１）３+５＞７；（２）x+y≤９（３）-２＞３；（４）-２x＞５ ２.不等式的解

多媒体演示 创设情景中的第②题

问题１ 要使汽车在12:00以前驶过A地，你认为车速应该为多少呢？

问题２ 车速可以是每小时85千米吗？每小时82千米呢？每小时75.1千米呢？每小时74千米呢？

问题３ 我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，我们也可以把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。刚才同学们所说的这些数，哪些是不等式 ＞５的解呢？（由此导出不等式的解集）

（三）应用迁移，巩固提高 例１用不等式表示：

（１）x的３倍大于１；（２）y与５的差大于零；（３）x与３的和大于６；（４）x的 小于２.例2用不等式表示：

（1）a与1的和是正数；（2）x的2倍与y的3倍的差是非负数；（3）x的2倍与1的和大于-1；

（4）a的一半与4的差的绝对值不小于a；（5）x的 与２的和至多为５.[练习]1.下列数值哪些是不等式x+3＞6的解?哪些不是?-4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12 ２.用不等式表示:（１）a是正数；（２）a是负数；（３）a与５的和小于７；

（４）a与２的差大于-１；（５）a的４倍大于８；（６）a的一半小于３.例３ 当x-2时,不等式x-1＜2成立吗?当x=3呢?当x=4呢? [练习]直接想出不等式的解集:（１）x＝３＞６；（２）２x＜８；（３）x－２＞０.［备选例题］

１.方程３x＝６的解有

个，不等式３x＜６的解有

个。

２.燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 cm以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为0.02m／s，人离开的速度为4m/s，导火线的长x（m）应满足什么样的关系式？

（四）总结反思，拓展升华

通过本节课的学习，你有哪些体会？

针对本节课所学内容，请学生回答以下问题：

如何区别不等式的解，不等式的解集及解不等式这几个概念？

找出一元一次方程与不等式在“解”，“求解”等概念上的异同点.记号“≥”、“≤”各表示什么含义？

拓展 适合不等式x-3＜0的非负整数是哪几个数？适合不等式x+3＞0的非正整数有哪几个?分别求出来.（五）课堂跟踪反馈