高等数学易错问题总结

高等数学易错问题总结（通用10篇）

高等数学易错问题总结篇1

1.在什么情况下导函数在x=a处的右极限等于函数在x=a处的右导数？

答：当函数在x=a处右连续的情况下结论成立，用洛必达罗比达法则，根据导数的定义分子分母分别求导，就可以得到正确的结论，在一个分段点（该点是函数的第一类间断点，右间断）两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例，如y=2x+1(x<=1)，y=2x+3(x>1),虽然导函数在x=1处的左右极限都存在且相等但函数在x=1处的右导数不存在。对于导函数在x=a处的左极限等于函数在x=a处的左导数也有类似结论。对于E(|X-Y|)与E(X-Y)在X-Y>0的情况下是否相同？

答：对于离散型随机变量成立，对于连续型随机变量最好不要下这样的结论，因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性，把区间分成y=x的上方与下方两部分进行积分运算，被积函数在y=x的上方为f(x,y)*(y-x),下方为f(x,y)*(x-y).同理根据方差公式D(X)=E(X的平方)-[E(X)]的平方，所以D(|X-Y|)与D(X-Y)在X-Y>0易知对于方差也是同样道理的。且对于方差在X-Y小于0的情况下也有类似结论。对于Z=max(X,Y)求E（Z）,也可用此方法显得简便，被积函数在y=x的上方为f(x,y)* x，下方为f(x,y)* y。对Z=min(X,Y)同理可推。避免了先求FZ(z)= Fx(z)* FY(z)和FZ(z)=1-(1-Fx(z))*(1-FY(z)),再对z求导的麻烦。为什么有第一类间断点的函数不存在原函数？并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。

答：用反证法，假设f(x)存在原函数F(x),因为F(x)处处连续,所以F(x)在x=a处的左极限=F(x)在x=a处的右极限= F(x)在间断点x=a处的函数值，又因为F(x)处处可导，所以F(x)在x=a处的左导数=F(x)在x=a处的右导数= F(x)的导函数在x=a处的函数值，换句话说就是f(x)在x=a处的左极限= f(x)在x=a的右极限= f(x)在间断点x=a处的函数值，（因为F(x)连续，所以F(x)在x=a处的左右导数等于它在x=a处导函数的左右极限），这样f(x)在x=a处连续，与题设条件矛盾，所以原命题正确。

考察分段函数f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)x不等于0, f(x)=0当x=0时，当x趋于0时f(x)的左右极限都不存在，所以x=0是f(x)的第二类间断点。但f(x)有原函数F(x)=x平方* sin(1/x)x不等于0，F(x)= 0当x=0时。对于被积函数或微分符号内有两个变量x与y的定积分该如何积分？

答：这是要把思路拓宽，想一想一张平面除四个象限，两根轴以外，还有什么。对于最典型的一次函数有斜率与截距两个要素，这时就可以设参数t=y-ax（截距式参数）t=y除x(斜率式参数)，根据题设的已知等式或方程组或y与x的函数关系确定y与x的取值范围，从而就可以算出t=y-ax或t=y除x的取值范围(a为一次函数的斜率)。从而确定了积分的上下限，再把前面两个式子带入到被积函数或微分符号内，就化为一个简单的关于t的定积分。

从本题当中可以看出定积分的表达形式有三种，一是我们书本里经常看到的直角坐标，二是极坐标即r与角度（逆时针方向增大）的关系，第三种就是参数方程。其中极坐标就是参数方程的特例。关于复合函数连续与可导的问题

答：对于y=g(f(x)),只要u=f(x)在x=a处极限存在，y=g(u)在u=b {b=f(a)}处连续，则极限符号可以提到括号里面去，如果y=g(u)在u=b {b=f(a)}处可导，u=f(x)在x=a处不可导，则y=g(f(x)))在x=a处可以可导也可以不可导。如果y=g(u)在u=b{b=f(a)}处不可导，u=f(x)在x=a处不可导，则y=g(f(x)))在x=a处可以可导。比如内函数为u=f(x)=x+（x的绝对值），外函数为y=g(u)=u+（u的绝对值），虽然u=f(x)在x=0处不可导，y=g(u)在u=0处不可导,但是y=g(f(x))在x=0处可导。可积一定有界，但反过来不一定成立，举个反例答：狄利克雷函数，因为此函数当x趋于有理数时极限等于1，趋于无理数时极限等于0.在一个闭区域内有无穷多个有理数和无理数，所以该函数有无穷多个第一类间断点，与可积的条件有界连续或有有限个第一类间断点矛盾。如果一个函数在一个点x0处可导，能不能推出它在x0的某一领域内可导? 答：不能，反例，f(x)=x平方，当x为无理数。f(x)=0，当x为有理数，先考察在x=0处的可导性。当函数从无理数趋于0时，导数为x平方除x，为x。又x=0，所以导数为0。当函数从有理数趋于0时，导数为0除x，为0。所以函数在0处可导。当x不为0处（设为x0处）的导数，分两种情况，一是在有理数处的导数，当函数从无理数趋于x0时，导数为x平方除x，为x，当函数从有理数趋于x0时，导数为0除x，为0，不相等所以不可导。二是在无理数处的导数，当函数从无理数趋于x0时，导数为0除x，为0，当函数从有理数趋于x0时，导数为负x平方除x，为负x，不相等所以不可导。如何求两条异面直线的公垂线？

答：思路一：根据给出的两条空间直线L1与L2的方程（可以是一般方程或是对称方程），求出它们的方向向量S1={m1,n1,p1}, S2={m2,n2,p2}.然后根据公式求出这两个向量的垂直向量S3={m3,n3,p3}，然后取包含S3的第一个平面上的一点（x,y,z）（任意一个未知的代数点）与L1上一已知点{a1,b1,c1},做向量S4={x-a1,y-b1,z-c1},根据S4, S1, S3三向量共面，混合积等于0，列出一个行列式，把它化为一个平面的一般方程。同理取包含S3第二个平面上的一点（x,y,z）（任意一个未知的代数点）与L2上一已知点{a2,b2,c2},做向量S5={x-a2,y-b2,z-c2},根据S5, S2, S3三向量共面，混合积等于0，列出一个行列式，把它化为一个平面的一般方程。联立这两个平面的一般方程，就得到了公垂线的一般方程。思路二：设两个参数t与m, t为起始点的参数，m为步长参数，把L1先化为对称式方程，并设它等于t，然后写出x=x(t)，y=y(t),z=z(t)，再在L1上取一起始点A{ x(t), y(t), z(t)} 然后根据公式求出这两个向量的垂直向量S3={a,b,c}，(a,b,c是三个具体的数)沿此向量取一步长m，,则A点沿公垂线平移的向量改变量为S={am,bm,cm},则终点为

B{ x(t)-am, y(t)-bm, z(t)-cm},把它带入到L2的方程里去，便可求出参数t与m的值，这样便可求出公垂线的方程。注意第一类广义积分与上限或下限为0的第二类广义积分审敛法的区别

分析：前者是无穷限积分，把函数与x分之一的p次方做比较，当p>1时，由审敛公式极限等于0或常数时，积分收敛。当p<=1时, 由审敛公式极限等于常数或无穷大时，积分发散。后者是在x=a处的被积函数为无界的积分，把函数与(x-a)分之一的p次方做比较，当p<1时, 由审敛公式极限等于常数或0时，积分收敛。当p>=1时，由审敛公式极限等于无穷大或常数时，积分发散。需要注意的是此时a=0，(x-a)分之一的p次方变成了x分之一的p次方，所以此处很容易出错，最重要的是要看一下被积函数在x=0处是否有界，有界属于前者，无界属于后者。审敛时p的取值范围正好相反。证明任何一个n阶排列都可以经过有限次对换变成自然排序，且变换次数与这个n阶排列具有相同的奇偶性。

证明：根据数学归纳法，设一个排列为k阶排列，先证明任何一个n阶排列都可以经过有限次对换变成自然排列。当k=1时，结论显然成立。假设当k=n-1时结论也成立，即j1j2到

Jn-1可以变成123到n-1。则对于k=n，当jn=n时，结论显然成立。当jn不等于n时，则第一步先把jk(k为1到n-1的任意一个整数)它的值为n,与jn做对换，接下来的对换方法如同jn=n时，因为一个n阶排列可变为自然排列，所以自然排列也可以变为这个n阶排列，且变换次数相同，又因为自然排列是偶排列。且一个偶排列经过奇数次对换变成奇排列，经过偶数次对换变成偶排列，所以命题得证。隐函数求导的三大法则一等式两边对x求导二利用隐函数求导公式三等式两边取全微分关于二重积分的保向性的理解

分析：因为积分区间相同，被积函数有大小比较关系，所以把两个积分相减，得到的式子大于零，就意味这两个曲顶柱体相减得到的一个上下面都是曲面的柱体，它在xoy面上方大于零，在xoy面下方小于零。保向性在定积分与三重积分也成立。对于不等式两边同时取极限也成立。如果lim(n趋于无穷大)Xn*Yn=0,能不能说lim(n趋于无穷大)Xn=0,或lim(n趋于无穷大)Yn=0？

答：不能，设数列{Xn}为0,1,0,2，0,3,0,4一直下去，其通项为1加上1的n次方的和除以二再乘以n。设数列{Yn}为1，0,2,0,3,0,4,0一直下去，其通项为1加上1的n-1次方的和除以二再乘以n。这就是一个反例。因为一个数列发散它可以有收敛的子数列。关于幂级数逐项求导与逐项积分收敛区间不变，但收敛域的变化有什么规律? 答：设幂级数逐项求导的收敛域为I1,原幂级数收敛域为I2，幂级数逐项积分的收敛域为I3，则I1< I2< I3,即幂级数逐项求导在端点（此处端点可分单侧和双侧两种，各针对这两种情况）处收敛，则原幂级数和幂级数逐项积分在端点处一定收敛，幂级数逐项积分在端点处发散，那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处一定发散。幂级数逐项积分在端点处收敛，那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处可能收敛也可能发散，幂级数逐项求导在端点处发散，那么原幂级数和幂级数逐项积分在端点处可能收敛也可能发散。“泰勒级数”与“泰勒展开式”是一个概念吗? 答：不是，前者是要满足三个条件的后者，一是级数在展开点x0的某个领域内的任意一点的和的函数值S(x)必须等于这个函数f(x)在该点处的函数值，二是余项的极限要为零，三是级数在展开点的某个领域内的任意一点必须收敛。

注意div rot grad 的对象与结果

分析：div是指散度，是把一个场A的分量P Q R分别对x,y,z求偏导，然后把三个结果相加。应用主要是高斯公式，即先对空间一个场A，求出divA对它在作用区域（注意该区域一定是体积封闭的）内的三重积分等于一个曲面微元点乘该点处的单位法向量，即把该点处的曲面微元向量化，变为(dydz, dxdz,dxdy),然后把场A的向量（P Q R）与(dydz, dxdz,dxdy)做点乘所得的结果再做第二类曲面积分,结果表示通量，是一个数。Div的对象是一个三维向量，divA的结果是一个三元函数，代入具体某一点时表一个数。

Rot表示旋度，对象是一个三维向量，把场A的向量（P Q R），rotA为向量（R对y求偏导-Q对z求偏导，P对z求偏导-R对x求偏导, Q对x求偏导-P对y求偏导）,结果是一个三维向量。应用主要是斯托克斯公式，即对于一个曲面（不封闭），用rotA点乘(dydz, dxdz,dxdy)再在这个曲面上取第二类曲面积分等于向量（P Q R）绕底部空间曲线（一定是封闭的）的曲线积分，注意曲线的绕向与所取曲面的侧的法向量必须满足右手定则，如不满足，在结果前加一个负号，结果是一个数，表示环流量。

要注意用高斯公式和斯托克斯公式，前者在封闭曲面，后者在封闭曲面内向量（P Q R）必须有连续一阶偏导数，即P Q R在积分区域内连续，且处处可偏导，无奇点。有奇点对于高斯公式要画一个包括奇点的单位球，要求曲面外侧，则结果为球面内侧通量，要求曲面内侧，则结果为球面外侧通量。注意球面外侧通量与球面内侧通量互为相反数。同理高斯公式对于二维的就是格林公式，逆时针封闭曲线积分与顺时针封闭曲线积分互为相反数。

高等数学易错问题总结篇2

我们先从以下的这一道例题开始吧!

一、引例

例1从一批有10个合格品与3个次品的产品中, 一件一件地抽取, 设各个产品被抽到的可能性相同, 若每次取出的产品都不放回该产品中, 试求取到合格品为止时所需抽取次数ξ的分布列.

错解设取到合格品为止时所需抽取的次数ξ, 则ξ是一个随机变量, ξ =1, 2, 3, 4.

分析这是初学者普遍的一种错误做法, 有两种错误的理解, 一是认为: 这是一个条件概率的问题, 而不是一个积事件的概率; 二是认为: 因这是不放回抽取, 而且13件产品中含有两种不同的事物, 那么任取ξ ( ξ > 1) 件产品时, 其中恰好有ξ -1件次品和1件正品, 所以具有超几何分布列的形式. 实际上, 他没有注意到在基本事件的总数的计算时, 要考虑按两次先后的顺序抽取完成.

二、问题分析

那么, 我们先找找这一解法错误的根本原因, 请思考以下这一问题:

( 1) 从5个不同元素选出3个元素有多少种选法?

( 2) 从5个不同元素选出2个元素, 再从剩下的3个元素选出1个元素有多少种选法?

以上两种选法有何不同? 为什么?

点评从表面上看, 该问题都是从5个不同元素选出3个元素, 但从排列与组合的角度认真分析下, 它们的实际结果确完全不一样: 问题 ( 1) 中只有C3 5 = 10种选法, 问题 ( 2) 中有C2 5 C1 3 = 30种选法. 两种选法不同的原因就是: 问题 ( 2) 中选出的3个不同元素要分两步才能完成, 而问题 ( 1) 中只需一步就可以完成.

那么, 今天要解决类似的问题, 只要我们先分析它们是属于以下四类问题中的哪一类, 就可以采取相应的策略了.

三、问题解决方案

( 一) 有放回且有序抽样概率

例2从一批有10个合格品与3个次品的产品中, 一件一件地抽取, 设各个产品被抽到的可能性相同, 若每次取出的产品都放回该产品中, 试求3次抽取中, 前2次取到次品, 第3次取到合格品的概率.

分析这是有放回且有序抽样, 它们的概率就是一个积事件的概率.

( 二) 有放回且无序抽样概率

例3从一批有10个合格品与3个次品的产品中, 一件一件地抽取, 设各个产品被抽到的可能性相同, 若每次取出的产品都放回该产品中, 试求3次抽取中, 有2次取到次品, 1次取到合格品的概率.

分析这是有放回且无序抽样, 它们的概率就是一个独立重复试验的概率, 而且可以用二项分布求其概率.

( 三) 不放回且无序抽样概率

例4从一批有10个合格品与3个次品的产品中, 一件一件地抽取, 设各个产品被抽到的可能性相同, 若每次取出的产品不放回该产品中, 试求3次抽取中, 有2次取到次品, 1次取到合格品的概率.

分析这是不放回且无序抽样, 它们的概率就是一个超几何分布类型的概率.

( 四) 不放回且有序抽样概率

下面我们再来分析例1的正确解法, 这是不放回且有序抽样, 它们的概率可以用以下方法来求.

方法一: 用组合计数法

设取到合格品为止时所需抽取的次数ξ, 则ξ是一个随机变量, ξ =1, 2, 3, 4.

方法二: 用分步计数法积事件概率

设取到合格品为止时所需抽取的次数ξ, 则ξ是一个随机变量, ξ =1, 2, 3, 4. 记选出的前ξ -1次产品都是次品的事件为A, 第ξ次选出的产品是正品的事件为B, 则:

点评有些学生会认为“直到取到合格品”的事件是事件A发生的条件下, 事件B发生的概率, 实际上, 这并不是条件概率问题, 而是积事件概率, 事件A与事件B同时发生的概率, 因为前ξ -1 ( ξ = 2, 3) 次取到次品的事件并不是已经发生.

方法三: 用排列计数法

设取到合格品为止时所需抽取的次数ξ, 则ξ是一个随机变量, ξ =1, 2, 3, 4.

最后, 我们来分析下人教版选修2 - 3课本上第53页的一道例题 ( 改编) :

例5一张储蓄卡的密码共有6位数字, 每位数字都可从0 ~9中任选一个, 某人在银行自动提款机上取钱时, 忘记了密码的最后一位数字, 试求任意按最后一位数字, 按对次数的分布列.

错解设第i次按对密码为事件Ai ( i = 1, 2, …, 10) , 则:

很显然, 这是一种错误的解法, 看看下面正确的解法, 因为它是不放回且有序抽样概率, 所以正确的解法应该如下.

点评将0 ~ 9中任意取出的ξ个数的排列看成是基本事件, 其排列中第一个数看成是第一次试的密码的最后一位数字, 第二个数看成是第二次试的密码的最后一位数字……这样, 基本事件全体Ω, 就有n ( Ω) = Ai10= 10×9×…× ( 11 - i) .

总之, 通过排列与组合的计数方法就可以比较好地理解各个基本事件所包含的个数, 这样也就可以更加准确地理解相应的事件的概率了, 甚至还可以区分出这一事件是一个积事件的概率还是条件概率, 否则会一直缠绕于某一事件到底是否发生而纠结于是不是条件概率的问题.

参考文献

[1]普通高中课程数学标准实验教科书 (人教版选修2-3) [M].人民教育出版社, 2006.

初中数学中一些易错问题的教与学篇3

一、数的概念中出现的问题

在帮助学生学习数的概念时,必须要帮助学生分析数学概念的本质特征及其含义,让学生对数的概念扩充到有理数,进而扩充到无理数,从而完成实数概念。要随时防止和纠正概念上和运算上发生的缺陷和错误。

高等数学易错问题总结篇4

91805640.doc

应纳增值税=35.3925/（1+17%）*17%-进口环节增值税

2、法定减免和特定减免问题。法定减免主要以定量为主，而特定减免中是对特定的货物或特定的进出口业务的减免。

例：以下属于关税法定减免项目的是：

A：行邮税额为35元的货物

B：残疾人专用器材的进口

C：外国政府捐赠的进口货物

D：无价值的随货物进口的样品

解答：AD B和C属于特定减免项目

3、离岸价格问题。离岸价格是指出口货物离境前的总价，其中包括关税，所以在计算关税时要换算成不含税价，关税=离岸价格/（1+关税税率），千万不要直接用离岸价格*关税税率，这里很容易忽视。

4、进口关税完税价格问题。需计入关税完税价格的特殊项目要注意。基本上包含了购买方进口前为货物支付的所有费用，包括特许权使用费，企业赠送或极低价格给予销售方的货物，但不包括境内的复制权费和支付给购货代理人的购货佣金。这里容易把两个特殊情况记漏。此外，还需要记住不允许计入关税完税价格的项目，比较容易出错的几个是：

1、进口设备涉及的境内修理费，安装费等

2、境内的运费等

5、买方佣金和卖方佣金问题。购货佣金又称买方佣金，是对购买方的购货代理人支付的佣金，属于对企业内的佣金，而支付给销售方的属于卖方佣金，是需要并入关税完税价格计算关税的。这里很可能搞混淆。

6、留购问题。暂时进口的货物，交纳相当于关税的保证金后6个月内免税，6个月内复运出境，退回保证金。如果企业留购了，按照留购价格计算关税；留购货样，也按留购价格计算关税。但要注意，如果企业愿意一次性交纳税款的，应按货物一般完税价格确定。

例：汽车展览暂时进口轿车10辆，2个月后展览结束，A企业愿意购买全部轿车，价格总计1000万元，试求A企业应纳的关税。关税税率20%

解答：关税额为1000*20%

7、暂时进口货物问题。暂时进口的货物在6个月内免税，但如果货物停留时间超过6个月，应该按照超过时间交纳关税。这里应和免税货物补税问题进行比较。（尚在讨论中）

例：A企业暂时进口设备一台，关税完税价格为100万，在境内停留8个月后出境，A企业交纳关税为多少？关税税率20%，该设备税务部门监管时间5年

解答：暂时进口货物6个月内免税，超过部分应该补税，应交纳关税=100*2/（5*12）*20%

8、免税进口货物补税问题。免税进口货物在内销时应该补税，关税完税价格为扣除使用年限的折旧后的价值。

例：A企业符合国家规定鼓励行业，进口用于技术改造设备一台，进口免税，价格100万元，使用2年后，欲将其销售，则企业销售时应补缴的关税是多少？（此设备税务部门确定监管时间为5年，关税税率20%）

解答：应补缴关税=100*（5-2）/5*20%=12万

9、进料加工，来料加工问题。税务部门按照实际出口量对进口的材料进行免税。但如果转为内销，应该补税。加工后涉及剩余的边角料的，这两种加工方式的规定有所不同。进料加工边角料内销，按加工货物的2%免税，但不能超过3000元；来料加工边角料按加工货物的2%，但不超过2000元免税。稍微注意一下。如果考偏题，可能要考到的。

10、运费确认问题。邮运的以邮费为运费。公路铁路运输的，无法确定运保费的，按照货物价格的1%确定运保费。保险费无法确定的，按照货物加运费的0.3%来确定保险费。这个地方不能忽视，以前可是考过计算的。

11、自驾进口运输工具问题。自驾进口的，其运费可以不计。牵涉到后面的关税计算，所以也要注意。

注会擂台

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12、关税征收问题。申报时间为运输工具报关当日的14日内。交纳时间为海关填发税款交纳书当天的15日内。

13、滞纳金问题。涉及到滞纳金的，按交纳时间最后期限的后一天开始算起，计算天数是个需要注意的地方，天数一错，答案就错了。所以应该引起注意。

14、关税强制执行问题。关税的强制执行不包括罚款的行为。只有两种，抵顶和强制交纳稍微注意一下。

15、边境地区贸易问题。边境互市贸易日交易额在3000元以内的，免税。边境贸易企业销售除烟酒外货物减半征收。注意是减半而不是免税

16、全部加工生产地和实质性加工生产地的问题。是确认关税税率的前提，其中实质性加工增值达到30%的，为实质性加工生产地。按照该地区的关税税率计算关税。

17、出口加工区和保税区问题。进入出口加工区或从出口加工区出来的货物视同进口与出口。已经把出口加工区作为境外了，这里要注意一下。

18、出口加工货物和出口修理货物的完税价格确定问题。不要管货物本身价值，按照加工费，辅助材料费，运费，保险，等费用合计确定，后者按照修理费，辅助材料费，运费，保险等费用确定，这里很容易忽视，一定要多看一下。

高等数学二要点总结篇5

（二） 考试信息：

考试序号67力行楼451046027月11日10:50——12:50  考试题型：

 填空题15’(5)

 单选题15’(5)

 解答题50’

 多元复合函数的求导法则p76

 三重积分P157

 第二类曲线积分——对坐标的曲线积分（两类曲线积分之间的联系）并结合格林公式的应用

 第二类曲面积分——对坐标的曲面积分p220高斯公式的应用（散度旋度）

 计算幂级数的和函数P269——逐次积分逐次求导的应用  综合题20’(2)

 格林公式及其应用——平面曲线积分与路径无关的条件（相关证明题） 绝对收敛于条件收敛的相关性质及证明

 考试范围

第九章多元函数微分法及其应用

第十章重积分

第十一章曲线积分与曲面积分

二年级下册数学易错篇6

1、先画一画，再填空。

（1）14个□，平均分成3份，每份（）个，还剩（）个。

列式：□○□=□……□

2、□里可以填哪些数？请写出六道不同的算式。

□÷□=5……3

□÷□=5……33、超市里买4袋饼干要付8元，买9袋饼干要付多少元？

4、在3月12日植树活动中，学校买来4捆树苗，每捆6棵，每行种8棵，可以种几行？

5、有车轮25个，最多可以装多少辆三轮车？

6、有3盒乒乓球，每盒8个，平均分给3个小朋友。每个小朋友分几个？还剩几个？

7、有53个玉米，小猴每次可以运8个，如果全部运完，至少要运多少次？

8、在□÷○=8……6中，○最小是（），此时□是（）。

在□÷8=6……○中，○最大是（），此时□是（）。

9、在□÷□=□……1中，除数最小是（）。

在□÷□=□……2中，被除数最小是（）。

10、○○□□□○○□□□○○□□□……，第30个图形是（）。

1,3,5,1,3,5,1,3,5……，第19个数是（）。

11、用2、5、8这三个数字，你能组成多少个不同的三位数？请写出来。

12、305里面有（）个百和5个（）。

985由（）个十、9个（）和（）个（）组成。

最小的三位数是（），它前面一个数是（），后面一个数是（）。

13、□里最小可以填什么数字？

695<69□

34□>344

735<7□9

63□>637

□37>64514、桃树485棵，梨树比桃树少一些，杏树比桃树少得多，苹果树比桃树多一些。

（1）苹果树有多少棵？哪个答案最合适？

□470棵

□490棵

□800棵

（2）四种果树中，最多的（）树，最少的是（）树。

15、一根电线长1000米，用去了700米，剩下的比用去的少几米？

16、用4个珠，能在计数器上拨出多少个不同的三位数？请写下来。

17、一根绳子用去80毫米后还剩50厘米，原来这根绳子长多少？

18、从4、0、7、9中选出三个数字组成的最大三位数是（），最小三位数是（）。

19、一根电线长1000米，用去了700米，剩下的比用去的少几米？

二、按规律填数： 100、90、81、73、（）1、3、7、13、（）、31、431、2、4、7、11、（）、22、（）1、2、5、10、17、（）、37、（）1、2、3、5、8、（）、21、（）1、4、9、16、（）、36120、140、160、（）、（）、（）。987、876、765、（）、（）、（）。

1、二年级一班有20名男生，22名女生，平均分成6个小组，每组有几名同学？

2、足球小组的同学分成6组练习带球动作，每组有3人。把这些同学分成两队进行足球比赛，平均每队有多少人？

3、1瓶药有54片，张英每天吃3次，每次吃2片。这瓶药够吃几天?

4、看一本书，每天看5页，9天后还剩56页，这本书一共多少页？

7、6的8倍比80少多少？

高等数学教学改革实践总结报告篇7

郑丽霞朝鲁

(内蒙古工业大学理学院数学系)众所周知,高等数学是工科院校最重要的课程之一.其重要的原因不仅在于可以学到一些数学概念,公式和结论,为其它数学课和专业课的学习打好基础,更重要的是通过学习数学可以培育人的理性思维品格和思辩能力;能启迪智慧,开发创造力.因而数学教学的好坏直接影响到21世纪人才的培养,进而影响到我国的科技发展水平与现代化进程.然而怎样实现数学教学的目的,改变数学教学效果低下的局面呢很多数学教育研究者在教学模式,教学方法,教学内容上都做了深入广泛的研究,教学内容的改革是其核心.因此,我们在理学院领导的支持下,根据我校的实

情况,在教学内容的改进上做了一些探讨.我们选用了面向21世纪课程教材,《微积分简明教程》(上,下册,内蒙古大学曹之江,刘元俊著),在学校部分院系展开试点工作.也作为我校承担的教育部世行贷款21世纪初高等教育教学改革项目“理工科少数民族本科教育的教学模式及主要基础课程体系及教学内容改革和实践(1282A05031)”的配套教学改革内容的一部分,与预科教学改革进行

了交流和借鉴.教学实践总结如下.教材的特点

1.起点高系统性强体系完整思想与应用兼顾

本教材和同济第四版相比内容有所增加,使其起点高系统性强体系完整.该教材第一章实数及其上的映射,其中第一节为无理数与微积分危机.在这一节,从自然数的产生,到有理数的出现, “无理”的数的存在,微积分的危机,一直讲到实数的构造成功.结合具体的历史事实,阐述了数学的发展过程.这段描述生动有趣,不仅使我们了解到我们将要研究的微积分,其立论的基础―实数的来之不易,更重要的是能使读者体会到数学的严密性与抽象性,体会到数学的思维方法.即数学不是直观经验的归纳和总结,而是一种理性的抽象理论.对于学生数学思想方法的形成有积极的作用.紧接着在第二节讲了一维连续统――实数,使学生知道实数的连续性是它与有理数本质的不同点,是全部微积分原理的出发点,从而使微积分的研究有了坚实的基础.而高等数学传统的做法是对数域的连续性避而不谈,只告诉学生在实数域上考虑.事实上是教学生怎样做,而没告诉为什么,以至于《高等数学》学完了,竟不能说出实数域是连续的这种本质特征.教材在内容上作了适当补充,如序列与上,下极限,n!与Euler常数,三角级数的均方逼近等概念的引入,不仅使该书有丰富的数学内容,同时实现了自身的完整性与严密性.另外,本教材增强了数学概念背景材料介绍,加强了数学知识与实际应用的结合.例如,在第五章“动力机制的数学模型――微分方程”中,除了我们熟悉的力学,电学问题外,还增加了人口增长,溶液淡化,二体运动(行星绕日运动)的模型.充分体现了各学科对数学的依赖程度,开阔了学生的认识领域,提升了学生的学习兴趣.有效地培养了学生综合运用知识分析问题,解决问题的能力.起到既教数学,又教思想的作用.该教材通过数学知识这个载体,反复不断的向学生传递着数学思想,数学方法,使这种思想方法

根植在我们的脑海中,终身受益.2.局部章节采用了一些新思路,新观点,新讲法.局部章节采用了一些新思路,新观点,新讲法.有效地化解了数学中的难点,使学生视数学为畏途的局面有所改变.我们知道极限是微积分实现其严密化的一种理论方法,是构筑微积分坚实理论体系的基石,是每种《高等数学》教材都要讲的内容.同时它也是课程的难点,每当讲到这部分时,学生如坠雾里云中,晕头转向,摸不着头脑.这部分内容传统的讲法是:数列的极限,函数的极限,无穷小与无穷大,极限四则运算法则,极限存在准则两个重要极限,无穷小的比较.其中在讲数列极限时,往往是先通过具体事例,建立极限思想,然后给出数列{}以A为极限的定义及几何解释,最后给出收敛数列的性质:极限的唯一性,收敛数列的有界性.该教材的讲法是:离散变量的极限[包括1).以正整数为定义的函数――序列,2).无穷小量,3).序列的极限,4).无穷大量5).夹逼定理,6).单调有界序列的收敛性, 7).超越数e,8).n!与Euler常数C,9).重要序列极限例举,10).无穷小与无穷大的比较与级,11).子序列与上,下极限],连续变量的极限.通过比较可以看出,本教材在这部分内容的处理上采用了一些新思路,新讲法.它强调无穷小分析是微积分的思想与方法的核心.所以首先给出无穷小量的定义,进一步对无穷小进行量级的比较,给出同级无穷小中的规范形式.无穷小分析方法在后面多次被使用,特别是在级数部分,定理的叙述及例题计算中.由于无穷小量比较直观,所以学生很快就掌握了无穷小量的含义,同时由于无穷小量的运算的引入,使得后面的一些定理证明得到简化,从而使这部分的学习变的较为容易.此外该教材在Fourier级数部分也做了较大改动,例如三角级数均方逼近概念的引入极大提高了学生对收敛的认识程度,拓展了“距离”的概念.教材统一处理了定积分和不定积分,从具体模型提出黎曼可积的概念,给出了定积分的定义.利用连续函数变上限(即变区间)在一点对区间的导数是被积函数这一结论给出了“牛顿――莱布尼兹”,至于不定积分的出现是为了计算定积分的需要.不定积分的计算及技巧,只不过是求导的逆运算,这种处理逻辑自然,还了定积

分不定积分的历史面目.3.语言精练,详略得当.该教材增加了许多内容,但篇幅并没有增加,其主要原因是详略得当.该教材注重数学思想与数学方法的学习,而只做必要的基本解题技能的训练.在微积分中,有两大运算――微分运算与积分运算.在这两部分往往要花大量的笔墨放到例题上,而该教材这方面却比较经济.例如定积分的换元积分法,同济第四版有27 个例题,本教材只有16个;函数的几何形态部分,同济第四版有18 个,该教材有8个.这样做可以把学生从学数学就是学会算题的误区中解放出来,而把主要精力放在数学方法的掌握上.在语言表达方面该教材也很有特点,可谓言简意赅,切中要害.这一点从一些章节的标题中可体现出来,例如,微分――函数局部平直化,函数的多项式局部拟合――泰勒公式等.这些通俗直观的语言,容易记忆,便于联想,使掌握的知识牢固可靠.二,教材的使用情况

《高等数学》授课时数为180 学时.所以我们没有时间把《微积分简明教材》的内容全部讲完.考虑到学生的实际情况,比如考研,及课业负担,我们把教改教材与同济第四版做了比较,授课原则是第四版要求讲的内容,不管《微积分简明教材》是否打*号都讲.对《微积分简明教材》的必讲内容,而在第四版为选讲的内容,根据不同情况而定.讲课版本以《微积分简明教材》为准,尽量保持该教材的体系与特色,这样也就增加了教学难度,内容多学时少的矛盾尤为突出.因此在这一年的教学中,教师的课外投入偏大,除了刻苦钻研教材外,还经常需兼顾方方面面的因素反复推敲,决定讲课内容,讲课方式.在讲课过程中做到尽力改变教学的低效性,克服教学中的认知难度,使学生最大限度地掌握必要的数学知识.从学生的学习过程来看,大多数学生能做到认真听课,认真复习,认真做作业,他们从中感到了数学的乐趣.抽象思维的能力得到培养和提高,数学的知识面得到拓宽.但是,书中的一些抽象概念及定里,也让同学们付出了较多的时间与精力.我们应该承认,该教材有一定难度,学生水平存在差异,有约四分之一的学生感到吃力,甚至跟不上.从作为检验教学效果的唯一手段――考试的情况来看,教改班的学生的成绩略好一些.2000年到2001年第一学期末,教改班的同学需参加两次高数考试.一次是由认课教师自己出题,要求有难度,有特色.另一次是参加全校统一考试,两次成绩取其高分作为其高等数学成绩(实际上对大多数同学来说,参加统考的分数高),我班的不及格率为29.8%(校平均不及格率为32.1%).第二学期只参加全校统一考试,我班的不及格率为16.7%(校平均不及格率为26.1%).考试成绩较为理想.显然使用该教改教材的同学,其整体数学成绩有了明显提高.因此该教改教材在教学中的优势是应该肯定的.三,总结

这一阶段教改实践工作,在老师与同学的共同努力下已圆满结束.通过这次教改活动,锻炼了老师,取得了经验,为进一步教学改革奠定了基础.我认为该教改教材既有深度也有广度,是一部好教材.它的诸多特点和风格,使学生的数学能力得到了培养,对提高学生的数学成绩有所裨益,它的作用是应该肯定的.该教材自始至终注重数学思想教育,数学方法教育.它能使优秀生得到很好的训练但也能使较差学生学习的比较吃力,所以我们建议,对预科学生和类似预科班基础较弱的班级不宜使用该类教材.其他班级可分层次使用该教材.所谓分层次指的是数学基础好,所学专业对数学要求高的学生可以使用,而其他学生暂缓使用.教学应该因人而易,只有受到与自身能力相适应的教育,才能取得好的效果.对于我校高数教学效果低下,不及格率偏高的局面,不但有好教材,还需要教师队伍的建设,提高学生的积极性等多方面的改革才能得到解决.工科数学教学改革是一个复杂的系统工程,要使数学教学改革有突破性的进展,必须做多方面的改进,它是几方面综合作用的产物.只有处理好教学手段与课堂教学形式等问题,理论与应用的问题,经典与现代的问题等,能让大多数同学变被动学习为主动学习,认为数学有趣,有用,那末我们的数学教学改革就可以说成功了.总之,数学教学改革任重而道远,还需继续探讨.只有千千万万第一线的工科数学任课教师广泛参与,才会走出数学教学改革的成功之路.这是我们进行教育教学改革的初步实践工作,还有很多艰巨的任务有待进行

参考文献

高等数学(第四版),同济大学数学教研主编,高等教育出版社

微积分简明教程,曹之江,刘元俊编,高等教育出版社.教育部世行贷款21世纪初高等教育教学改革项目(1282A05031)结题材料

高等数学教学改革实践总结报告

高等数学教学模式问题与创新篇8

二、高数教学模式的.问题

( 一) 仍较多沿用题海战术教学方式

从中学步入高职院校的学生都已经经历了题海战术的洗礼，然而在职业教育中，仍然要做大量的高等数学试题才能保证期末考试可以顺利通过。高数教师为了提高班级学生的期末考试通过率，为了使学生记住公式，也会要求学生做大量高数题，以巩固课上知识，这种情况在理工科类专业中尤为常见。但高职院校培养的是学生的学习能力和对知识的应用能力。教师应对题目有所取舍，在巩固学生基础知识的同时，应加强能力的培养，因此要采用新式的教学方法。

( 二) 高数课堂互动过少

高数课堂也存在着互动过少的问题[5].互动过少包括两个方面：首先，教师与学生互动过少。由于高等数学的教学任务较重，因此部分教师去除了提问和讨论环节，在课堂一直进行板书和讲解，造成部分学生未来得及理解公式和题目就直接跳到下一个知识点，最终导致课堂上所有知识都难以掌握。其次，学生与学生之间互动较少。由于教师讲解内容过多，学生之间基本无讨论和交流题目的机会。教师在整堂课中持续讲解，学生难以集中精神，在后半段的课堂上无法认真听讲，导致听课效率低下。

( 三) 数学教师应用先进教学设备的水平不高

在课堂中，多数课程会采用 PPT 进行讲解，通过图片、视频轮回播放，使学生深刻了解事例并进行思考。但是在高数课堂中，却很少能见到教师能够有效使用 PPT,多数教师采用板书的形式进行教学，只有较少一部分年轻教师将 PPT 作为板书的辅助，但内容不够生动，多将教材内容照搬至 PPT.实际上，高职教育课堂与中学课堂不同，在教室的大小和学生的数量上有较大的差别，对于一些文科专业来讲，高数课堂往往设立在大型教室，部分坐在后排的学生很难清晰看到教师的板书。同时，高等数学中公式、字母和符号较多，如果教师急于讲课，板书可能较为潦草，使后排学生更难以理解板书内容，而 PPT 教学可以有效缓解这种情况。但是，PPT 内容完全照搬教材这种情况导致 PPT 的设置形同鸡肋。

三、高数教学模式的创新和展望

( 一) 联系实际进行高数教学

高等数学的特点在于抽象化，但是抽象化并不意味着知识内容远离生活。实际上，几乎所有的高等数学知识都可以在生活中找到原型。教师可以将公式、定理或者题目具体化，以现实生活为例子进行讲解。例如，在高数课上讲解定积分理论时正巧校园内飘起雪花，教师则可以 “扫雪车扫雪的时间和降雪的时间”为例子为学生留下应用题，要求学生课后解答。这种方式可以提高学生兴趣，促使学生在课后也能思考数学问题。

此外，在讲解抽象数学理论的同时，教师也可以讲解一些数学文化内容。例如，《九章算术》中的现代高等数学知识，着名数学家的经典题目和几何的发展史等。适度讲解数学文化，可以活跃课堂气氛，使学生得到一定的休息放松时间。

( 二) 采用新式教学法

在职业教育的课堂中，不应采取传统的题海战术或者填鸭式教学方法。教师应该根据本专业学生的特点和层次，设定新型教学方法，充分利用学生的专业素养和课后时间。例如，教师可以要求学生在课前通读教材，选择教材中较为简单的题目进行练习。在课堂上，教师再详细讲解公式、定理和题目，并为同学答疑。这种教学模式可以使部分理解力较差的同学提前了解所讲内容，以便更好地利用课堂时间。课程结束后，为了使学生更好地理解所讲内容，可以要求学生组成小组，每个组员都编一道应用题或者从教辅书中寻找一道题目，组员之间互相解答，最终将成果上交教师，作为作业的一部分。教师则挑选一道较好的应用题，为全班同学讲解并表扬出题学生。这种练习题目的方式，可以提高学生的参与度，激励学生更好地参与到学习中来。

( 三) 教师应提高使用先进教学设备的水平

在高等数学课堂中，教师应充分利用 PPT,提高学生的注意力，减轻自己的板书负担。同时，采用 PPT 不仅可以减少板书的错误率，还可以自由放大字体，使后排学生清晰看到公式和题目，同时也能在一定程度上集中学生注意力[6],使用板书时不应照搬教材内容，应该充分利用互联网网络资源，选取内容生动的图片、动画和视频作为 PPT 内容。此外，教师应积极采用数学软件进行教学。在教师的指导下，学生建立合适的数学模型，再用数学软件去解决实际问题。数学的软件要合理完善，要将简单的数值计算以及微积分都编制进程序。不过面临特殊算法的时候，需要找出准确的运算法则，合理编译和程序运行之后，最终解决实际问题。在教学中，教师一定要学生清楚地了解软件的应用，学生要对软件慢慢熟悉起来[7].这种方式可能会引起学生极大的兴趣，提高学生的学习积极性。

总结

高等数学的知识结构和教学方法与初等数学存在较大的差异，教师不应沿用中学教学模式，而是应该充分发挥创新精神，根据学生的不同层次和特点，采取侧重点不同的教学模式。当前高职类院校存在着部分学生的数学基础薄弱和兴趣较低的情况。在教学过程中，教师应精讲精练，放弃题海战术，提高使用先进教学设备的水平。教师应首先提高自身素质，提高先进教学设备的使用水平，促使学生更好地融入课堂中。

参考文献：

[1] 解海峰。浅谈高数分层次教学模式的实践与思考 [J]. 科技创新导报，,11 ( 18) : 151.

[2] 秦迎霞。浅谈高数教学模式的创新与展望 [J]. 河南科技，,16 ( 27) : 273.

[3] 何玉华，汪洋。高职高数课与专业课相结合的教学模式初探 [J]. 中国校外教育，2014,36 ( 12) : 148.

[4] 王勤国。基于实用性原则的高等数学教学研究 [J]. 济南职业学院学报，2014,05 ( 09) : 59 -61.

[5] 邓薇。论有效教学视野下的独立学院高等数学教学改革[J]. 天津市教科院学报，,02 ( 22) : 27 -30.

[6] 张艳霞。对话理论视角下高职数学教学创新探究 [J]. 教育与职业，2015,13 ( 31) : 101 -103.

高等数学易错问题总结篇9

一、教学方法与教学手段的改革的目的

随着社会对人才的需求无论在数量还是在质量都有了更高的的要求，根据我院的学科定位和培养目标定位，结合我系实际与专业特点，我系改革了人才培养模式，我们更加重视学生综合素质的提高、创新精神与团队精神的培养，努力提高学生竞争能力。与此相适应我们进行了课程内容与课程体系改革。为更好的实现我们的培养目标，有效的提高教学质量，我系在2005-2006学年继续深化教学方法与教学手段的改革。

二、教学方法与教学手段的改革情况

1．在教学工作中，我们继续贯彻“启发式”教育的原则，改革“满堂灌”式的教学方法，积极实践启发、讨论、研究式等调动学生学习积极性的教学方法，在教学方法改革中，教师充分重视学生在教学活动中的主体地位充分发挥学生的积极性，主动性和创选性，提高教学效率。

为了保证这项工作的顺利实施，我们采取了如下具体措施

（1）系里组成了由系主任任组长，教学副主任任副组长，各教研室主任为成员的教学改革小组，督促并检查改革情况。

（2）以教研室为单位组织教师之间相互听课、评课，取长补短。（3）组织名师、教学能手进行示范教学。

（4）组织学生座谈会，征求学生的意见，并及时反馈教师本人。（5）积极组织并申报教改课题。2．具体改革情况

在启发式教学原则下，我们鼓励使用多种形式的教学方法。根据数学学科的特点以及各门课程教学内容的需要，我们大多数教师可以选择适当的教学方法与手段进行教学。

（1）在基础主干课程的教学中，我们的教师大多采用了探究式、发现式等教学方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程，关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式，更好地理解数学知识的意义。在一些专业课程的课堂教学中，我们的一些老师发挥发挥学生的主观能动性，积极参与课堂教学。比如在课堂留有一定的时间与学生共同讨论，鼓励学生积极参与回答课堂中的问题。

（2）在专业选修课的教学中，我们的教师大多采用了比如讨论式、探究式、发现式、创造式、自学式等教学方法，突出研究式和自学式，以培养学生的独立思考能力。在教学过程中教师在当好组织者和引导者，帮助学生积极主动地利用教材为自己的学习服务。有些课程采用了多媒体教学手段。

（3）让学生自己探索与合作交流。

在应用、实验类课程中，教师讲、练结合，引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。大都采用了计算机辅助教学。

在教育类课程中，有些教师采用了参与式、讨论式、研究式的教学方法。问题情境的设计，教学过程的展开，练习的安排等尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生在与他人的交流中，选择合适的步骤。大都采用了多媒体课件教学。

（4）在习题课中，有些教师让学生轮流走上讲台自己讲解完成的习题，这样既牢固掌了所学知识又锻炼了学生的讲课能力，比如高等代数、近似代数，实变函数、泛函分析、点集拓扑等。

（5）充分利用现代教育信息技术。

现代教育手段和技术的运用将有效地改进教学方式，提高教学效益，充分利用多媒体，计算机辅助教学，借助计算机进行实验，猜想、解释或证明数学绳索论的正确性，培养学生动手操作，分析，处理信息的能力，提高日后从教中运用教育技术的自觉性和意识。在2005-2006学年，我系共有十一门课程使用了多媒体教学。

（6）双语教学。为了在“更广的学科领域中、更丰富的语言层面上扩大外语实践时空，培养外语思维能力，拓宽外语学习环境。为此我系积极推广双语教学试验，现在我系共有两门课程进行双语教学，分别为：概率论、数理统计。

（7）为了深化改革，本学年我们我们积极组织老师申报课题，本省级立项教改课题三项，校级立项教改课题一项。

通过座谈、调查问卷学生对我们的课堂效果满意率在95%以上。专家和同行的评价中满意率在97以上%。这充分说明我们的改革得到了是有成效的。