数学三大学派

数学三大学派（精选6篇）

数学三大学派 篇1

论文题目：悖论与数理逻辑的三大学派

悖论与数理逻辑的三大学派

摘要：由于很多数学家和逻辑学家不愿因悖论的出现就轻易的放弃他们的研究成果，积极投身于悖论和数学基础的研究，为排除悖论，克服危机作了大量的工作。在数学基础的研究过程中，数学家和逻辑学家们对悖论的解决等一系列问题的分歧日渐加深，渐成营垒，形成了关于数理逻辑的三大学派。本文分别分析了这三大学派，以推进数理逻辑的进一步发展。

关键词：悖论；数理逻辑；学派

一 悖论与逻辑主义学派

集合论悖论的出现，造成数学基础的危机，受影响最大的首当其冲是逻辑主义者，因为他们企图以集合论作为数学的“永恒的，可靠的基础”，并企图把数学归结为逻辑。集合论悖论的发现表明逻辑主义者企图用以作为数学基础的逻辑本身就是不可靠的。这样，逻辑主义的代表人物罗素就亲手酿造了一个苦果，不仅把弗雷格置于对自己事业万分失望的尴尬境地，而且自己也不得不苦咽下去。所以从1902年开始，逻辑主义的研究进入一个新时期，他们不仅研究如何由逻辑出发去开展全部数学问题，而且必须防止悖论的出现。

首先，罗素对悖论进行了仔细的研究，寻求合适的解悖方案。最初，他在《数学的原理》(1903)中提出区别类和类的元素的类型，这也是类型论的最初构想，本质上是简单类型论，但没有进行深入的研究。简单类型论的基本思想是：区分个体、谓词或集合的不同类型。要直观的理解简单类型论对涉及集合的悖论的作用，需要用集合的语言阐述类型和级的概念。任何集合都可划分到特定的类型:：

类型0，这一层的元素为个体

类型1，个体的集合类型2，个体的集合的集合类型3，个体的集合的集合的集合„„„„„„„„„„„„„„„„

在定义中没有涉及某些集合的总体性质的集合是第0级的，在定义中涉及“第n级的所有集合”的总体性质的集合则属于n+l级。在这样的划分下，依照原则规定：类型n中的集合只能以类型n-1中的对象为元素，每一类型各级的集合的界定不能依赖该级的整体或更高的级中的集合。违反规定的表达式是无意义的，这样就避免了“元素”和“元素的集合”的混淆，排除了集合论悖论。但是对数和命题的处理遇到了困难，而且有一些悖论，尤其是语义悖论不能解决。对于这一点，罗素感到失望，没有再继续深入下去，而是是另辟蹊径。

1905年，罗素在另一篇论文《关十超穷数和超穷序型理论中的一些困难》中提出了另外三种解悖方法：量性限制理论、曲折论和无类论。同时，受彭加勒的悖论与非直谓定义有关的思想影响，他乐观的认为一切悖论都有一个共同的根源，就是它们都违反了一个原则：“恶性循环原则”。基于这一原则和无类论的思想，罗素又对类型论进行了扩充，引进命题函项的概念，做出严格的类和级的划分，沿着非集合的道路发展出了一个形式的悖论解决方案一一分支类型论。

分支类型论比简单类型论更加具体，它的基本思想不仅包括“任一性质，都要归属于一定的类型”而且“对任一性质，还要更具体的归属于确定类型论中的一定的级”。于是，罗素想以命题函数为出发点，建立一套以阶论为中心的类型论的形式化体系，对各种悖论作统一处理。首先，罗素要对命题函数进行分层处理：

第一层：零阶函数，函数是个体，a，b，c„„表示个体常元；x, y ,z„„表示个体变元；

第二层：一阶函数，比个体高一层次的函数，以个体为变元，例如（X）(X,Y)，(Y)(X)Y(x，y，z)

第三层：二阶函数，以一阶函数为变元，例如，（β）F(β!x, z),(Y)f(Y!z，β!z)„„

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一般地，如果一个函数中变元(或约束变兀)的最高阶是n（n≥0），则称这一函数是n+l阶的。其次，因为悖论的出现与“非直谓定义”有关，为了遵循恶性循环原则，避免悖论，罗素把命题函数分为直谓的和非直谓的，并对直谓函数作了严格的定义。他是这样定义的：“对一元命题而言，当函数的阶恰比它的自变元的阶高1时，称为直谓的；对于有K(K≥1)个自变元的K元命题函数，若K个子变元中最高的阶是n，而函数的阶是n+l，则称该K元函数是直谓的。由此可知，一阶函数都是直谓函数，而二阶和二阶以上的函数则分为直谓的和非直谓的两种。如果函数本身的阶不是比函数中自变元的阶高1，就是非直谓函数。这样，各个函数阶层径渭分明，互不交叉，每个函数都是有限阶的，并目在函数阶层中有唯一确定的位置，把涉及命题总体的命题(非直谓命题)和不涉及命题总体的命题(直谓命题)区分开来，从而避免了一些著名的悖论。罗素又引入了可归化公理，该公理断言：“对任何命题函数，必存在一个与它形式等价的直谓函数。”借助这一公理，就可以把一个命题函数决定的类，定义为与它形式等价的直谓函数所决定的类，从而一切类都可看作是由直谓函数决定的。因为直谓函数的阶比它的自变元的阶高1,所以个体的集合的阶总比个体的阶高1。这样，正如上面所表述的，在类的理论中，个体、个体的集合、个体的集合的集合„形成一个递增的层次，和这一层次相对应的事个体、个体的直谓函数、个体的直谓函数的直谓函数„这样一个递增的函数层次。这个以阶论为中心发展起来的逻辑体系便是罗素的分支类型论。后来罗素就是按照分支类型论的原则由集合论出发开展全部数学理论的研究。为实现这一目标，罗素和怀特海经过艰苦的劳动，完成了著名的《数学原理》。

罗素的类型论在数理逻辑发展史上有重要的地位，因为利用它可避免一些著名悖论(康托悖论，布拉里一一福蒂悖论，罗素悖论及一些语义悖论)，不能不说是一大成就。但是罗素的类型论也有严重的缺陷：首先，类型论要求过于严格，虽排除了一些悖论，但同时也排出了许多合理的东西，尤其是一些重要的定理不能证明，某些无害的数学概念宣布为非法，结果是得不偿失。但如果放宽原则的话，谁能保证不会出现别种类型的悖论呢?其次，罗素提出了可归化公理实质上降低了分支类型论将函数划分为不同阶层要求，遭到了强烈的批判，并且，罗素的类型论系统本身也过于繁琐，引起不少的麻烦。

从数理逻辑的发展历史看，虽然逻辑主义想把数学全部归结于逻辑的意图是不可能实现的，但逻辑主义还是有很大的贡献：首先，逻辑主义者以集合论为基础进行数学研究，为了避免悖论，他们必须做使逻辑严格化的工作，这就直接促进了逻辑的数学化。所以，《数学原理》是用数学方法研究逻辑取得的高度成就，正是在这个意义上，它常被说成是数理逻辑成熟的标志。其次，罗素的理论对后来研究者产生重大影响，公理化集合论就是沿着他的方向发展起来的。罗素的分层思想对后来的数理逻辑学家也有极大的启示:塔尔斯基就是沿着罗素开辟的道路对语言进行分层处理，对数理逻辑的发展做出重大贡献。

二 悖论与直觉主义学派

与此同时，在数学基础这一研究领域中，出现了一种与逻辑主义完全对立的数学思想：把直觉当作数学最根本的基础，全然否认数学构造中有逻辑的作用，认为所有的数学对象和定理都是从原始直觉出发能行地构造出来的，这就是数学基础问题上的另一主要流派一一直觉主义。直觉主义者倾向于欢迎悖论的到来，因为悖论似乎使他们乐于去证明非直觉主义数学的虚弱。

第一个对数学采取自觉的直觉主义的是德国数学家克隆尼克，但他并没有对此进行系统的阐述，所以没有得到其他人的支持。他曾经预言说：“假如我不做这件事，追随我的人也会去实行”，但追随者并没有很快出现。直到1901年罗素悖论的出现，使数学界出现了混乱，从而为直觉主义新的崛起创造了条件。1907年，直觉主义的代表人物布劳威尔在他的博士论文中初步制定了直觉主义纲领，他认为要解决集合论悖论问题，必须改变人们对一些逻辑基本法则，特别是排中律的绝对普适性认识。从“存在必须等于被构造”的要求出发，布劳威尔对逻辑法则的有效性进行直接的分析：由于逻辑法则的应用并不能保证相应构造的可实现性，因此逻辑法则在数学中的应用并不总是有效的。而且布劳威尔认为经典逻辑是从有限性对象中抽象出来的，不能无限制的推广到无限对象，而悖论恰恰就出现在无限问题上，而排中律只是在有限的领域内起作用的法则，一涉及无限的领域，排中律便不再有效。所以，直觉主义者认为实在无限观念是悖论产生的深刻根源。因此，直觉主义正是从“数学活动是一种心智构造”出发，导致了对排中律的拒绝。

其次，由于坚持构造性的立场，布劳威尔认为数学直觉具有无可争辩的可信性、可靠性，因而数学只要根基于其上，便可避免悖论的产生。所以直觉主义对已有的经典数学采取否定态度，使已有的数学知识支离破碎。为什么直觉主义采取如此极端的手段呢?因为直觉主义者认为：悖论在集合论中的出现不是偶然的事，实质上是整个数学所感染的疾病的一个症状，即数学的“不可靠性”，如果不从根本上清除传统数学，便不足以克服悖论。因此，直觉主义者不满足于对已有数学的某些部分作一些限制性的限制和修改，而是要依据“可靠性”标准对已有数学进行彻底的审查和改造。于是，直觉主义者对已有数学进行了强烈的批判：他们认为，已有的数学理论并不都是可靠的，因此必须按照某种更为严格的要求对此进行全面审查，而且毫不犹豫的舍弃“不可靠”的概念和方法并代之以“可靠”的概念和方法。由此可见，直觉主义是要革传统数学的命。

最后，直觉主义者虽然否定不符合构造性要求的古典数学命题的有效性，但他们仍然认为这些命题具有一定的启发作用。因此直觉主义者就是依据“构造性”标准来重建数学，即“直觉主义数学”。与逻辑主义不同的是布劳威尔是以自然数理论而不是以集合论为基础开展他的直觉主义数学理论的，并且直觉主义者也发展了自己的逻辑系统，直觉主义的命题演算系统和一阶谓词演算系统是由黑丁于1935和1956分别做出的。

所以，直觉主义者避免悖论的方法事实上依赖十他们关十心灵之“构造”这一含糊哲学，用“构造”的思想构建逻辑与数学系统。为了避免悖论，把“直觉上的可构造性”作为数学“可靠性”的唯一标准，对古典数学绝对否定，造成了数学的支离破碎，并目作为悖论的解决方案，这个要求已经相当弱了，但即使这个目标也没有完全达到。

但我们不能否认直觉主义者做出的贡献，因为他们第一次完整地建立了一个构造性的数学系统，而构造性数学已经成为现代数学理论的有机组成部分。而且由于人们和直觉主义的多次论战，逐渐了解直觉主义的说法在于注重能行性，因为构造的基本要求，即“能行性”。正是这种想法产生了能行性理论，从而促进了数理逻辑的另一分支递归论的形成和发展。

另外，形式主义学派的代表人物虽然对直觉主义者进行批判，但在一定程度上接受了他们的构造性思想，这对希尔伯特的形式化研究纲领起了至关重要的作用，而形式主义学派是我们将要讨论的内容。

三 悖论与形式主义学派

集合论中发现的悖论表明，甚至那些看上去简单并且自明的正确的基本原则也可能包含暗藏的矛盾。这使人们将注意力集中到一致性问题上来。所以，为解决数学基础中出现的悖论问题，形式主义采取了与逻辑主义和直觉主义不同的方法：他们企图构造一个无矛盾的，完备的，可判定的形式系统，数学的各个分支及所有证明全部形式化，使数学本身成为数学研究对象，以达到证明数学的一致性，从而避免了悖论，这就是著名的“希尔伯特规划”。

希尔伯特规划的提出有一个较长的历史过程：1899年，希尔伯特在《集合基础》这一著作中，不仅为数学提供了新的研究方法一一形式的公理化研究方法，同时还为数学开辟了新的研究领域“元数学”，为“希尔伯特规划”提出打下了基础。由十1901年罗素悖论的发现，使希尔伯特把注意力放到数学基础上来。经过认真研究，希尔伯特不同意直觉主义拒斥大部分古典数学的主张，他认为完全可以在保留现有数学成果的条件下解决悖论问题，无须牺牲古典数学中有价值的部分。那么，怎样解决悖论问题呢?希尔伯特曾经指出，如果要避免悖论，就必须在某种程度上同时进行逻辑定律和算术定律的研究。这种研究的目的即证明数学理论的相容性(无矛盾胜)，因为如果数学理论的相容性得到了证明，悖论就自然排除了，这也是所谓的“海德堡计划”。在该计划中，希尔伯特第一次提出应把数学证明本身作为数学研究对象的思想，创建了数理逻辑的第一个分支“证明论”的思想，开了把数学理论系统作为对象的“元数学”的先河。1922年作为对直觉主义向古典数学挑战的回应，希尔伯特提出了基础研究规划：首先将数学理论组织成形式系统，然后再用有限的方法证明这一系统的无矛盾性。这一规划可以看成是证明论思想的进一步发展和深化。尽管希尔伯特对直觉主义进行批判，但在一定程度上接受了他们的构造性思想，只不过这种构造性是对证明论(元数学)的要求。这种思想体现在1925年《论无限》中，希尔伯特与直觉主义者相仿，认为绝对可靠性只存在于有限的范畴，为保证数学的可靠性，避免悖论的出现，必须坚持“有限性”的立场。(但是，他认为可以把非有限的成分作为“理想元素”引入到数学中，不但使证明简化，还使排中律法则得以保存。)所以，希尔伯特把数学分成两个不同部分：“真实的数学”和“理想元素”。由于理想数学认为是不具有意义的，希尔伯特提出必须把理想数学组织成形式系统的思想。在形式系统中，把数学对象彻底的符号化和演算化，这样就可以保留古典数学的成果。但为保证理想元素不会导致错误，必须对这种工具的构造进行彻底研究，即证明形式系统的一致性，这也是证明论思想的进一步深化。这样，希尔伯特就站在有限性的立场上，企图通过将数学理论形式公理化并证明形式系统的一致性来避免悖论的产生，并保住现存数学的全部成果。

所以，希尔伯特的最终目标是构造一个无矛盾的、可判定的、完备的、范畴性的形式系统，其中可证命题集恰好与直觉上为真的数学命题集相对应，而上述证明又可以在一个仅仅包含一般递归函数，性质和关系的算术部分中得出，即可以用有限的方法实现，这就是希尔伯特规划的目地。希尔伯特对此计划充满信心，并目断言，要得出形式化算术系统无矛盾性证明为期不远了。后来几年形势确如他愿，1928年希尔伯特和他的学生阿克曼用有限性方法证明了一阶逻辑的相容性，迈出了重大一步。于是，希尔伯特说出了与直觉主义观点针锋相对的名言：“要想从数学家手中夺走排中律，就像夺去天文学家的望远镜或禁止拳击家用拳头一样。”

作为悖论的一种解决方案考虑，如果希尔伯特计划得以实现，应是非常令人满意的，然而，果真用有限的构造就可一劳永逸解决数学理论的相容性，并进而证明其完全性吗?事实并非如此。1930年哥德尔循着这个思路得出的一项重要成果却使希尔伯特陷入绝望的境地。哥德尔以无可辩驳的精密方法证明了形式算术系统是不完全的，它的相容性也不可能以希尔伯特方案即有限的方法加以证明，即哥德尔不完全性定理。所以，希尔伯特的形式系统没有坚固到可以背负起他想让它承受的重担。并且，希尔伯特在数学基础上基本观点也是错误的，因为有限性方法并不总是有效，完全否定无限的客观意义的观点也是错误的。而且形式的研究不能完全代替内容的分析，正如布劳威尔指出，用一致性的证明保证理论真理性的做法事实上也包含了一种恶性循环。希尔伯特规划提供了一个悲观的信息：没有任何基础可能用来绝对地证明数学的相容性。

但是我们不能因为希尔伯特规划的失败而完全否认他所做的贡献。首先，他提供了一种解决悖论的方案，并目使形式化研究达到高度的抽象程度。其次，元数学和证明论的思想有重要意义，不仅使数学研究达到新的高度，并目经过后人发展，证明论成为数理逻辑的一个主要分支。

综上所述，三大学派的数学基础研究的共同出发点是由于悖论的出现，对已有数学的可靠性的感到忧虑和不满。为了避免悖论，他们希望通过自己的努力为数学奠定一个永恒的，可靠的基础。

但由于三大学派在思想方法上都表现出一定的形而上学性，即思想中的片面性和绝对化，没有用辨证的思想去研究，所以他们的数学研究规划失败是必然的结局。

然而，对数学基础研究的必要性是没人怀疑的。正是他们对数学基础的研究，不仅对数学发展影响深远，而且对数理逻辑的形成和发展功不可没，因为20世纪数理逻辑的三大成就和数理逻辑的主要分支“四论”的形成和发展都与此密切相关。

参考文献：

[1] 黄华新.逻辑与自然语言理解.吉林人民出版社，2000年版，第260页.[2] 冯棉.从分支类刑论到简单类刑论.华东师范大学学报(哲社版), 1986,(06)，30-31

数学三大学派 篇2

一、陈述性知识、程序性知识和策略性知识在数学学科中的表征

1.陈述性知识及其在数学学科中的表征

所谓陈述性知识, 是指个人具有有意识地提取线索而能直接陈述的知识, 主要以命题和图式两种形式表征, 前者用于表征小的意义单元, 后者用于表征较大的有组织的信息组合.它是用来描述世界, 回答“世界是什么”的知识.数学学科的定义、定理、法则等都属于这类知识.比如:三边相等的三角形是等边三角形;平面内与两个定点F1, F2的距离之和等于常数 (大于F1F2) 的点的轨迹叫椭圆;如果对于函数f (x) 的定义域内任意一个x, 都有f (-x) =f (x) , 那么函数f (x) 叫偶函数等.

2.程序性知识及其在数学学科中的表征

所谓程序性知识, 是指个人没有有意识提取线索, 只能借助某种作业形式间接推论其存在的知识, 它是一种技能型知识, 是一套办事的操作步骤, 主要以产生式来表征, 是关于“怎么做”的知识.它是数学学科中的技能性知识, 比如:根据解一元一次方程的步骤解一元一次方程;根据“斜二则”画法规则画一个水平放置的平面图形的直观图;利用“向量法”求二面角等.

3.策略性知识及其在数学学科中的表征

所谓策略性知识, 是指学习者在学习情境中对任务的认识、对学习方法的选择和对学习过程的调控, 它是由学习方法、学习调控和元认知等要素构成的监控系统, 其实质是一套关于“如何学习、如何思维”的知识.让学生“学会学习、学会创造”的核心就是策略性知识.策略性知识是调节自己的注意、记忆、思维的知识, 是如何运用陈述性知识和程序性知识的技能.就数学学习而言, 根据题设信息和解题策略合理地调用相关知识解决数学问题就是策略性知识的一种体现.

二、陈述性知识、程序性知识、策略性知识的内在联系与区别

虽然陈述性知识、程序性知识、策略性知识是对知识的一个划分, 它们确实代表了三类不同的知识, 但从陈述性知识、程序性知识、策略性知识的概念, 不难发现它们之间并非完全独立、截然分开的, 而是相互联系、相互渗透的.

第一, 陈述性知识是“是什么”的知识, 以命题及命题网络来表征;程序性知识是“怎样做”的技能性知识, 以产生式来表征;策略性知识是一种知识运用的知识, 与技能相比, 它是在概念和规则掌握的基础上, 将概念和规则合理地运用于与原先的学习和练习相似或不同的情境中去的知识, 这种运用是一种对内调控的技能, 是个人调控自己的认识活动以提高认知操作水平的能力, 它也是以产生式来表征的.

第二, 陈述性知识是一种静态的知识, 它的激活是输入信息的再现;而程序性知识是一种动态的知识, 它的激活是信息的变形和操作;策略性知识也是一种动态的知识, 它的激活是信息的合理提取和科学应用.

第三, 陈述性知识激活的速度比较慢, 是一个有意的过程, 需要学习者对有关事实进行再认或再现;而程序性知识激活的速度很快, 是一种自动化了的信息变形的活动;策略性知识激活的速度介于以上两者之间, 它需要一个分析辨别的过程.

在很多认知活动中, 三类知识是结合在一起的.在学习过程中, 最初都以陈述性知识的形式来习得, 只是在大量练习之后程序性知识才具有了自动化的特点, 而策略性知识则是在熟练掌握陈述性知识、程序性知识的基础上形成的, 它涉及的概念和规则一般都带有很高的概括性, 在应用时有很大的灵活性, 必须随对象和目的的变化而变化.因此, 要使这样的规则支配自身的认知行为, 提高自身认知活动的效率, 不可能经过短时期的训练与教学就能收到广泛的迁移效果, 而必须经过一个长期的、反复练习与应用的过程.当然, 学习者所掌握的策略性知识、程序性知识也会促进新的陈述性知识的学习.

三、认知学派“知识划分”理论对数学教学的启示

1. 正确引导理解记忆, 牢固掌握陈述性知识

陈述性知识, 是用来描述世界, 回答“世界是什么”问题的知识, 主要以命题及其命题网络来表征.因此, 学习陈述性知识的心理过程主要是记忆, 其获得是指新知识进入原有的命题网络, 与原有知识形成联系.这就要求在进行定义、定理、法则等陈述性知识的教学时, 不但要根据学情合理创设问题情境让学生很好地理解新知产生的必要性及来龙去脉, 知道知识产生的背景, 准确理解知识的内涵和外延, 明白知识应用的条件, 还要帮助他们及时地把新知合理地纳入原有的认知结构, 让知识形成一个层次分明、分类清晰的网络结构, 使得某信息与其他相关信息之间建立起紧密的联系, 将信息保存于网络结构中, 以便在解决问题时进行知识互换并提供检索路线.

比如, 学生比较熟悉的判断函数单调性的方法有定义法、图象法、直接法、复合函数法, 但学了导数后, 因为所学内容比较丰富, 导数法判断单调性作为导数众多应用中的一种, 学生往往不能立即归到判断单调性的方法结构中去.教学时, 就应及时地引导学生将原认知结构激活, 把这种新方法纳入其中, 并明确其适用的一般情境.又如刚刚学过了立体几何, 判断“线线垂直的方法”结构中, 学生最熟悉的是以下知识:异面直线所成的角为90°、线面垂直、面面垂直的性质定理, 而平面几何的相关内容虽然重要, 却因学过的时间较长而逐渐淡忘, 作为线线垂直判定的完整的认知结构, 还需要引导学生将它们及时激活并补充进来, 以便在需要时毫不费力地提取使用, 如全等或相似三角形、等腰三角形底边上的中线、勾股定理的逆定理等.

2. 合理实施技能训练, 准确把握程序性知识

程序性知识是一种技能型知识, 它是一套办事的操作步骤.因此, 学习程序性知识的心理过程是先习得相关知识的陈述性形式, 新知识进入原有的命题网络, 与原有知识形成联系, 然后, 在这个基础上经过各种变式练习, 使贮存于命题网络中的陈述性知识转化为以产生式系统表征和贮存的程序性知识, 并在必要时依据线索被提取出来, 以解决“如何做”的问题.这告诉我们, 在数学教学中进行有关法则等策略性知识的教学, 不能单纯地停留在让学生准确理解法则的内容上, 要在学生掌握法则内容的基础上, 引导学生合理地利用法则进行解题实践, 训练、巩固应有的技能.

比如, 进行“有理数四则运算”教学, 仅仅让学生掌握有理数的四则运算法则是远远不够的, 重要的是让学生会根据法则进行有理数的运算, 培养运算技能.这种技能, 不经过适当的解题实践是无法形成的.又如, 利用三垂线定理画二面角的平面角, 从操作程序上看, 很简单, 不外乎三步:第一步, 从构成二面角的一个面内的一个点引棱的垂线;第二步, 从该点引对面的垂线;第三步, 该点与两个垂足连成一个直角三角形, 则顶点在棱上的角就是二面角的平面角.如果学生仅仅掌握这些, 没有进行必要的解题训练, 当这个二面角为常规位置时, 学生或许还能解决, 但当给出的二面角不是以常规位置出现时, 如图形以横的、斜的或倒的形式放置时, 学生就不知所措了.

3. 科学安排解题实践, 有效提高应用知识策略

策略性知识是一种知识运用的知识, 它是在概念和规则掌握的基础上, 将概念和规则合理地运用于与原先的学习和练习相似或不同的情境中去的知识, 这种运用是一种对内调控的过程, 是个人调控自己的认识活动以提高认知操作水平的能力, 它也是以产生式来表征的.策略性知识习得的过程与程序性知识习得的过程相似, 都是经过陈述性知识阶段、策略练习阶段和策略自觉运用阶段.这就告诉我们, 一方面, 学生精确地掌握好基本概念、基本原理, 并使之高度概括化、结构化, 是促进知识迁移和能力发展的最重要的条件;另一方面, 知识和方法的学习仅仅是能力和素质形成的一种条件, 而人的能力和素质只能在一定的实践活动中形成和发展, 为使学生透彻地理解和运用新概念、新方法去解决新问题, 形成相应的能力和素质, 必须通过一定的练习作业.因此, 教学中一定要根据教材内容适时地选编适量的具有思考价值、并能揭示教材内涵的练习题, 引导学生全方位、多角度地进行应用知识和策略解决问题的实践, 培养、训练学生应用知识分析、解决问题的能力.

【例】求证:

分析一从“化同”的角度, 根据“同型”策略, 有如下解决方法.

证法1 (局部化同———分子化同) :

由cosx≠0, 知sinx≠-1, 所以1+sinx≠0, 于是

证法2 (局部化同———分母化同) :

证法3 (整体化同———分子、分母同时化同) :

证法4 (整体化同———左右两边都化为的三角函数) :

分析二从“化简”的角度, 根据“就简”策略, 有如下解决方法:由于左右两边都比较简单, 不好化简, 所以对欲求证的式子进行变形, 化为求证:, 从新的求证式的左边入手化简.

证法5 (先等价变形, 再化简) :

分析三从“分析与综合”的角度, 根据“执果寻因”策略, 有如下解决方法:要证, 只要证 (1-sinx) (1+sinx) =cosxcosx, 即1-sin2x=cos2x, 这是显然成立的.从而有如下解法.

证法6 (分析与综合) , 证法略.

我们在教学中一定要根据教材内容适时地选编适量的具有思考价值的题目.从这里可以看出, 策略的不同, 解决方法就不一样.教学中, 根据学生实际适时地引导学生进行“一题多解”训练, 适时引导学生利用不同策略进行解题实践, 通过解题实践, 让学生发现不同策略对问题解决的影响, 以便养成自觉地选择最优策略解决问题的习惯, 不断提高应用知识的策略水平.

高考数学三大题型破解方略 篇3

选择题是高考数学中的一种重要题型,它由指令性语言、题干和选项三部分组成。选择题一般不拘泥于具体的知识点,而是将数学知识、方法、原理融于一体,突出数学思想方法的考查,体现出数学的思维价值。近年来,高考数学试题推出了一些思路开阔、情景新颖脱俗的选择题,解决这类问题要注意三个方面:一是提高阅读能力;二是要跳出传统推理的思维定式,学会数学的合情判断;三是要熟练地进行数学图形、符号、文字三种语言的相互转换。

解选择题的方法很多,为便于记忆、贮存、提取、应用,将其概括总结为“七字诀”——“直、排、试、赋、结、特、猜”。

直——直接法,即直接通过计算或推理得出正确结论。统计研究表明,大部分选择题的解答用的是此法,所以我们对此法要给予足够的重视。

排——排除法,即逐一否定错误的选项,达到“排三选一”的目的。

试——试值法,即将各选项中的数值一一代入题干,从而知正确答案。

赋——赋值法,即利用相关数值进行试验,得出正确结论。

结——数形结合法,即利用图形结合数式直观地进行判断。

特——特殊化法,在不影响结论的前提下,将题设条件特殊化,从而得出正确结论。

猜——合理猜测法,即由题设条件,结合个人的数学经验,运用非严格的逻辑推理合理地猜测出正确结论。

“七字诀”所代表的七种方法并不是孤立地使用,解题时常会应用其中的两三种或更多种,当然也可能对某种方法有所侧重。至于到底应用何种方法,并无固定的模式,只有将各种方法做到烂熟于心,加之思维活跃、应变能力强,就能在一定的问题情境下迅速作出合理的反应,很快地检索出最合适的解法。

选择题在高考中多属中、低档题,因此在答题时忌“小题大做”,应当“小题小做”。由于选择题的供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留神就会掉进“陷阱”。解题时,应该从正、反两个方面进行肯定、否定,进行筛选,既谨慎选择,又大胆跳跃。做选择题时,忌呆板、教条,思维一定要灵活,“不择手段”乃是解答选择题的明智之举。

二、填空题

填空题是一种客观性测试题,与选择题比较,它没有选项作为参考;与解答题比较,它不要求写出推理及运算过程,只要求给出准确结果即可。大部分填空题都属于中档难度的试题,但由于对、错分明,得分情况往往是要么得满分,要么得零分,所以填空题具有良好的区分和选拔功能。近年来,填空题成了高考改革题型的“试验田”,新的题型(完形填空、组合填空、多选填空、类比填空等)不断涌现,题目设计新颖别致,极富思考性、挑战性和趣味性,使高考数学题充满活力和魅力。

求解填空题的常用方法,可概括为“三字诀”——“直、特、结”。

直——直接法,即从题设条件出发,运用定义、性质、定理、公式、法则等知识,通过变形、推理、计算等,直接得到所求结论。运用直接法解答填空题,要善于透过现象抓住问题的本质,自觉地、有意识地采用灵活简捷的、直奔终点的解法。直接法是解答填空题最常用的基本方法,必须熟练掌握。

特——特值法,当题设条件中提供的信息暗示答案是一个“定值”时,可以取一些特殊值或一些特殊位置来确定这个“定值”,以节省推理论证的时间。

结——数形结合法,根据题设条件的几何意义,画出问题的辅助图形,然后通过图形的直观分析,得出正确的结论。

除了上述比较常见的方法外,当然还有其它求解填空题的方法。其实,做题时并不能一味的只用一种方法,往往是几种方法综合起来,才能有效迅速地得出正确结果。做填空题时,一定要注意合理、迅速、正确,即合理地选择做题方法和思路,这样,就要求同学们注意分析题目特点及数量关系,分析图形间的特征,以便迅速地切入题目中去,寻求最佳解题方法,从而得出正确结果。

鉴于填空题只注重结果,因此对正确性的要求更高、更严格。为保证答案的正确性,就要求必须认真审题,明确要求,弄清概念,明白算理,正确表达,才有可能达到比较完善的境界。在运算过程中,一定要细致、认真,避免因一些细节问题而造成结果错误。由于填空题的出题方式比较灵活,因此做题时要注意避免机械地套用公式、定理的习惯,思路要开阔。

三、解答题

在高考数学试题的三种题型中,解答题的题量虽比不上选择题的题量,但它所占分数的比例较大,在试卷中占有非常重要的地位。

那么如何才能准确、迅速地做好解答题呢?从总体上说有以下几个方面非常重要,应引起同学们的高度重视。

1.审清题意。这是做好解答题最关键的步骤,一定要准确、全面地审清题目中所给的条件,以利于从整体上把握题目的结构框架和特征,特别是关键的词语、数学语言和符号等,有时它们都能成为解题的重要提示信息。

2.寻求最佳解题思路。在走好第一步的同时,根据解答题的特点,探求不同的思路是做好解答题的又一关键性步骤。由于高考试题中的解答题设计思路比较灵活,因此,做解答题时应注意多方位、多角度地观察题目中的信息,不能机械地寻找做题模式。寻求解题思路时,必须遵循以下四项基本原则:①熟悉化原则;②具体化原则;③简单化原则;④和谐化原则。这四项基本原则是互相联系、相辅相成的,其中熟悉化原则是最基本的,同时应该注意的是,上述四项基本原则运用的基础是分析与综合,运用分析法与综合法解综合题就是不断地转化与化归,所以有人说,数学解题的核心就是“转化与化归”。

3.掌握破解解答题的常用思维策略。具体说来就是:①语言转换策略——理解题意的根基;②进退并举策略——学会分析的招式;③数形结合策略——观察推断的根据;④辩证思维策略——逻辑推理的纽带;⑤联想迁移策略——归纳猜想的桥梁;⑥分类讨论策略——化整化零的方式。

4.确定解题步骤,注意书写规范。在找到比较好的解题思路和制定出解题策略之后,就可以认真书写解题过程了。在书写的过程中,一定要结合已知和求解(证),确定书写顺序;要做到心中有数,切忌盲目落笔、顾此失彼、语句不畅、推理不严等;要注意语言的严谨,逻辑性要强。

5.注意运算准确,图形精确。运算能力是数学四大能力之一,2010年高考会加大这方面的考查力度。因此在运算过程中,一定要一丝不苟,千万不能因出错一点,造成整个解题过程失分较多。结合题目特点,有要求作图的,一定要精确,特别是要注意一些辅助线,图象的范围及位置要定位确切,该标明坐标的,一定要标上。

单招考试数学复习的“三大法宝” 篇4

一、抓基础

《考试大纲》规定的考试要求都是“在考查基础知识的基础上”实现的。每份试卷命制的题目基本都保持了基本题、一般题、较难题的比例4∶5∶1，即一份试卷中有130分以上的分数是基础题，例如：2009年单招数学试卷，基本题如第1、2、3、4、6、7、9、10、16、19、21题，约为59分，一般题如第5、8、11、12、13、14、15、17、18、20、22、23 (1) (2)、24 (1)、25 (1)，约为74分，较难题如第23 (3)、24 (2)、25 (2)，约为17分，基本保持了考纲要求。

抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程。我们运用时应注意条件和结论的限制范围，理解教材中的例题的典型作用，对教材中的练习题不但要会做，而且要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。

1. 研究教材

对教材研究的主要内容为：对主干知识的研究、典型例题、习题的研究、教材中知识之间内在联系、隐藏的数学规律数学思想与方法的研究和考试试题与教材联系的研究等，通过引导学生对教材的研究，可使学生吃透教材，做到过好三关：概念关、公式定理法则关和例、习题关，切实做到夯实双基，提高能力，为进一步提高学生灵活运用知识打下坚实的基础。在历年的考试试卷中均有一定数量的题目来源于教材，如2009年单招数学试卷第19、21、23题都能在课本中找到原型或相近点。

2. 培养能力

计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种基本能力。这两种基本能力，在数学试卷中的考查无处不在，并且在每年的阅卷中因为这两种能力不好而造成的失分占有相当的比例。所以在数学复习时，教师除抓好知识、题型、方法等方面的教学外，还应通过各种方式提高和规范学生的运算能力和逻辑推理能力。

3. 掌握思想方法

数学思想方法是数学精髓，是数学基本知识的重要组成部分，是一个人终身发展的基础，考查数学思想方法是考查学生能力的必由之路。因此，教师在平时复习中应重视对中学常见数学思想方法在各章节中的具体应用。如分类讨论思想在指数函数、对数函数中的应用，以及二次项系数是否为零，直线的斜率是否存在，数列中的公差、公比等问题均需要用到分类讨论思想。

二、抓重点

夯实基础是考试制胜的法宝之一，在夯实基础的前提下，我们还应将更多的时间和精力投入到重点内容的复习和重点能力的培养及主要思想方法的训练上。

1. 重点内容

据统计分析，近几年来数学单招考试考题重点内容仍是：立体几何、解析几何、函数、三角、数列、不等式、概率。其中立几、解几、函数(三角)、概率各占10%、20%、40%、15%，合计占85%，所以对这部分知识要反复强调反复练习。例如函数的复习应着重对函数的五大性质之间的关系进行相互渗透以及与图像之间相互关联，通过科学训练，使学生有机地掌握他们之间的关联和在立几、解几等其它知识点的应用。

2. 重点能力

学生参加单招考试应掌握的数学能力应包括以下几点。

(1）数学运算能力

要想提高数学运算能力，不仅要正确应用运算法则，以保证运算的正确、迅速，而且要理解运算法则，在理解算法的基础上，通过适度的训练，熟记并掌握运算法则、计算公式，以及一定的程序、步骤、技巧;能够在动笔运算之前，增强算法意识，仔细分析运算特点，根据题目要求，正确而迅速地寻求合理、简捷的运算途径;要掌握运算题的基本类型及解答各种类型题的一般规律。实际上在历次的考试中，因为运算失误而造成的失分现象非常严重，如2009年试卷中的第24题的第二问，许多学生方法基本掌握，但在运算过程中出现了各种失误，导致得分较低，因此在某种意义上讲提高中职学生的运算能力显得尤为重要。

(2）数学推理能力

数学推理能力包括合情推理(通过观察、联想、类比、归纳、猜想等方法得到的结论)能力与逻辑推理能力。重视与加强合情推理能力的培养，是数学课程改革的一个重要内容。

(3）数学应用能力

重视数学知识在实际中的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力，是课程改革的目标之一，也是近几年数学试卷的重点和热点。如2009年第22题水池的进出水问题就来源于日常生活。因此要加强联系实际的应用题的教学，培养学生用数学知识解决实际问题的能力，要关注生产实践和社会生活中的数学问题，关心身边的数学问题，不断提高数学的应用意识，学会从典型的实际问题中筛选有用的信息和数据，研究其数量关系或数形关系，建立数学模型，进而解决问题，从而提高数学实践和应用能力。

3. 主要思想方法

解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及知识，逐步缩小题设与结论间的差异的过程，也可以说是运用化归思想的过程，解题思想的寻求就自然是运用思想方法分析解决问题的过程。注意数学思想方法在解决典型问题中的运用。如解题中求二面角大小最常用的方法之一就是：根据已知条件，在二面角内寻找或作出过一个面内一点到另一个面上的垂线，过这点作二面角的棱的垂线，然后连接二垂足，这样平面角即为所得的直角三角形的一锐角。这个通法就是在化立体问题为平面问题的指导下求得的，其中三垂线定理在构图中的运用，也是分析、联想等数学思维方法运用之所得。

三、抓落实

抓基础、抓重点、抓落实，是高考致胜的三大法宝，而在这三大法宝中，关键还在“抓落实”。数学教育的实践经验告诉我们，学生数学成绩的提高主要不是靠教师讲出来的，而是靠学生做出来，并在做中悟出来的。只有做，才能落实，但做是需要时间的，仅靠课外的时间不行，而且做的质量也没有保障。因此，教师必须在课内减少讲的时间，增加学生做的时间，切实抓好课内的落实。

1. 精选内容

例、习题的选择要具有典型性和针对性，要覆盖课本的主要知识和方法，容量要恰当，要求要适度。每一组训练题都应形成阶梯结构，由易到难排列，要使得班上数学基础最差的学生也有一定量的题可做。

2. 科学训练

在每一组训练题开始做之前，教师要根据班上大部分学生的数学水平，确定完成的时间并明确告诉学生，目的是使学生形成一定时间观念，具有一定的紧迫感，使得每次做题都成为具有一定速度和一定难度的一次实战训练。

3. 及时反馈

每做完一组题，教师应立即组织学生进行讨论分析并得出答案。反馈越及时，效果越好。

4. 总结反思

教师应对解题中涉及的知识、方法进行归纳总结。反思时，教师应充分启发学生该题用到哪些概念、公式、定理、技巧、方法等，还要引导学生思考如何入手、怎么想、为什么这样想，促使学生对该题的本质有进一步的理解、延伸、拓展。

对于课外应落实以下两点：1.关注两头学生(尖子生和学困生)、对尖子生需要另外提供少量较难或较新的材料，对学困生需要给予更多的方法指导和关心。2.做好检查。对学生完成的课后作业要及时检查并与学生沟通。

参考文献

[1]江苏省普通高校对口单招数学考试大纲.

小学数学作业创新的三大走向 篇5

一、结合现实，使作业更具实用性

当今教学中，作业经常被视作课堂教学的延伸和补充，重点常常放在巩固课堂所学知识上，这会使小学生感觉所学知识完全没有用途，与生活渐行渐远，失去学习兴趣。数学作为基础学科，最重要的就是能把所学的知识运用到实际生活中。所以，我们应当培养学生的“应用意识”，强调学以致用。作为新型的学习模式，让数学紧贴生活，让学生感觉身临其境，消除数学问题与生活问题之间的隔阂，使学生明白其所学内容并不一无是处，而是生活中随处可以得到运用的工具，增加学生的兴趣和学习信心。

案例1：小李家电表今年2月初和3月初的读数分别为0186.5和0269.6，请你计算小李家2月份用电量为多少千瓦时（度）？当前电费按0.6元/千瓦时计算，小李家需要缴纳多少电费？

案例2：食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？

二、整合其他学科，形成统一的学习形式

将不同学科区分开来进行教学，虽然看似“术业有专攻”，便于教学，但是也不利于学生整体运用各个学科所学到的知识来解决问题，这也是目前作业创新中所存在的重要问题之一。针对小学生各科作业分开的传统模式，找出各个学科的内在联系，强调以整合的方式来巩固各科所学技能，发挥“团结力量大”的优点。

1.数学与美术作业的整合

其实，数学中包含着很多美学元素，当今许多艺术作品都可以在其中找到一定的数学规律，最著名的当属黄金分割模型等。将数学与美术相结合，有助于体现数学的艺术性。更重要的是由于小学生尚处在儿童阶段，对美术图形等形式更有亲切感，可以唤醒学习兴趣。

案例3：下面使用纽扣摆成的“T”字。

请问（1）摆成第一个“T”字需要用掉多少枚纽扣？第三个第四个呢？

（2）按照这种摆放形式，摆放第5个需要用掉多少枚纽扣？

2.数学与音乐作业的整合

相对于枯燥无味的数字，音乐的韵律感显然对学生更具吸引力。不光对于数学，许多儿歌也是儿童启蒙教育的重要工具，音乐凭借其简单易懂、引人入胜的特点，可以很轻松地融入其他学科当中。

案例4：1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，1声扑通跳下水；

2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，2声扑通跳下水；

3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，3声扑通跳下水；

4 ， ， ？

3. 数学与语文作业的整合

之所以将语文放在最后，是因为数学与语文在教学过程中有着一个最主要的共同点，即容易变得枯燥无味。但是，将数学与语文作业相结合，可以巧妙地将两个枯燥的内容变得活灵活现，调动学生学习兴趣。例如：收集与圆周率有关的故事并制作一份手抄报告。

三、结合网络，突破学习的局限性

随着科技的发展，互联网已经深入到各家各户，网络带给我们最大的便捷就是获取信息更加容易。网络环境为数学作业提供了广阔空间，使作业形式变得多姿多彩。学生可以自主、自助地从事作业活动，根据自身情况安排学习内容，通过交流、商议、集体参与等合作学习，获得自身所需的数学知识与能力。这既是新课程改革实施和发展的要求，也是信息技术应用的重要领域和立足点，是基础教育信息化的重要组成部分。因此，我们很有必要从网络环境着手，创新小学数学作业形式。通过让学生在网络上搜集一定的信息，进行分析整合，这不但会对数学的学习有帮助，还可以增强小学生的整体学习能力。例如上文数学与语文作业相结合中的案例，在学生完成作业的过程中可以锻炼其搜集信息、分析信息以及处理信息的能力。

学习数学的目的是为了培养学生的开放性思维和创新能力，而不是让他们成为考试的傀儡和写作业的机器。所以，教师应当正确认识作业的价值，在作业设计中不断探索、不断创新，避免“以量取胜”，最终让学生所学的知识能在作业中得到升华，在作业中掌握技能，发展思维。

数学三大学派 篇6

【关键词】 新课改；初中数学；三大困境

一、新课改时代背景

信息时代呼唤中学教育加大现代化进程，解决好“社会需求”、“知识体系”、“学生发展”面临的问题，努力实现“课程现代化”，使初中数学课程系统的各个要素在结构性的联系中体现出整体效应。新课改成为时代的呼唤。在初中数学课程新的观念上，面临着较为突出的社会学校缺乏“平稳、健康”实施的环境、对新课程改革下数学教育理念认识不到位、新课程改革流于形式是初中数学教育面临的三大困境，开放性课程观的建立迫在眉睫，其中原因除了课程的知识以外，还在世界文化与民族风俗，传统知识与现代观念，综合设置与分科安排等等上存在分歧，从这来看，以保证初中数学的新课程改革之路能够健康，教师将教学内容呈现给学生，平稳的前进，为初中数学教育的发展提供新的动力，注入新的活力。

二、初中数学教育三大困境

（一）社会学校缺乏“平稳、健康”实施的环境

影响和制约着初中数学新课程改革的进程的社会人士对初中数学新课程改革的支持程度有关。比如社会上的“数学”无用论思想是非常有害的，导致学生学习风气不浓，加上数学自身比较难学，“数学无用论”侵蚀着家长们的头脑，进而更会影响初中生对数学学习的认识，觉得数学学习只是为了应付考试，学习积极性、主动性下降，更谈不上为提高数学素养而努力，作为老师，受这种思想影响，如果也不能提高认识，为教书而教书，危害更是不可估量的，和学生一样应付考试，那样，就谈不上再进行新课程改革，整个民族的数学教育将走向瘫痪，这样长期下去，新课程改革在数学这一科上势必是要失败的。因为初中数学教学不能得到社会各界人士的支持，知识不能深入人心，所以新课程改革的实施也没有强大的支柱，在整个教育过程中没有强有力的力量来支撑，再加上初中数学新课改还处于初级摸索阶段，仅仅依靠专家来制定政策，改进教材不足以为新课程改革提供强大的动力。

（二）对新课程改革下数学教育理念认识不到位

在现实的初中数学教学中，老师的精力普遍集中在考试中能顺利的把平时练过得题目做出来，在让学生通过大量的练习习题，至于提高数学素质，对很多老师和学生来讲，是遥不可及的事情，没有时间，也没有精力去谈数学素质，每两周都要进行一次大型考试，只剩下忙忙碌碌地应付考试。所以每一位初中数学教师的必修课是让学生积极主动的体会知识获得的过程，从心理层面上讲，教师要帮助学生努力转化为个人内部知识网络的一部分，建立适当的认知结构，并要想达到这个要求，前提条件是对知识很好的“理解”。

（三）新课程改革难免流于形式

新课程改革缺乏初中数学教学的教师基础。新课程改革在初中数学教学中的成败关键在于初中数学教师，可是在如火如荼进行的新课程改革中，相当一部分数学教师却呈现漠不关心的态度。对于初中数学教师，各级教育主管部门在检查、督促、评比等方面比较注重，而疏于指导、帮助、交流、服务等。究其原因，首先体现在不良的社会机制上，虽然为了改变课程改革太过于集中的问题，新课程是由国家、地方、校本三级来进行课程管理的，这种分配主要由国家决定，地方与学校并没有什么权利自主选择自己的课程。再加上社会间的各种矛盾和人与人之间利益的矛盾，导致了新课程改革难免流于形式，过于理想化了。

三、新课改背景下初中数学有效教学开展的主要途径

（一）创意课堂案例

把案例教学放在初中数学课堂上，可以有效提高学生的听课积极性，促进教学效率。比如，学习科学计数法时，教师可以让学生自己去查找所在城市土地面积、人口的数量、用水数量、每年的用电数量等与生活较为贴近的数字，用科学计数法来表示，学生可以看到马上就方便了许多。

（二）培养学生学会学习

正所谓授人以鱼，不如授人以渔，只有学会了学习的方法，才能终身受益。初中“新课改”要求在初中数学教学过程的实践中，实现有效教学必须要以来培养学生的主观能动性，其他任何形式的教学方式最终的落脚点都在于学生学会如何学习，所以，教师在日常习题练习活教学中，不能仅停留在学生会做，要重点把解题思路的发现过程与思考过程作为给学生讲清楚，能模仿的程度上，要让学生知道为什么要这样做，是什么促使你这样做，这样想的。

（三）因材施教的开展分层教学

以人为本的实施开展数学教学。初中数学教学应该面向学生差异，实际操作中，初中数学可以从制订课堂教学分层、教学目标分层、练习与作业分层、考核与评价分层等几方面开展分层教学，一般要把班级内数学水平分成几个等级，比如 A、B、C 三级，或者把整个年级的若干个班按学生具体情况打乱重新分级组合。

（四）注重教学效益

教育主管部门要适当放宽学校办学自主范围，尤其对教师在课堂上教学过程与方法的把握。有效教学的核心就是教学的效益。每月一期，并将此做为最终数学成绩的一部分，以此来调动学生学习的积极性，并从中获得更多数学的信息与思维的方式，提高教学有效性；也可以把数学考试由传统的固定模式的闭卷考试，变为开放式的思考题，专门用来训练学生的思维发散能力，提高学生的综合素质，这对于提高学生的数学水平很有效果。比如利用第二课堂，举办数学月报，让学生们分担编辑、文字校对、撰稿员等工作，设置各种板块，把一些新颖的解题思路、数学思想方法、数学趣闻、生活中的数学等内容提炼总结。

【参考文献】

[1]李素梅.高一学生数学成绩下降的原因及对策[J].中学教学参考.2013（13）

[2]刘菊.高一数学教学浅探[J].考试周刊.2011（93）

[3]刘见乐，罗敏娜.用函数思想指导高中数学解题[J].中国数学教育.2011（10）

[4]赵士元，张国棣.从中学的视角看数学文化观念下的数学教学[J].数学通讯.2010（20）

[5]王永斌.让高一新生顺利完成初高中数学学习衔接[J].考试周刊.2009（33）