几何概型例题
授课教师：卓剑
教材：苏教版数学（必修3）第3章3.3节
[教学目标] 知识与技能
(1)了解几何概型的基本概念、特点和含义，测度的含义；
(2)能运用概率计算公式解决一些简单的几何概型的概率计算问题． 过程与方法
(1)经历由直观感知探讨未知领域的过程，培养数学类比能力和概括能力．(2)通过情感体验，使已有的知识和技能得到内化，同时转化为解决新问题的能力． 情感态度与价值观
(1)通过对几何概型的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度．(2)在探求过程中，通过交流、发现、思维体验、情感体验等激发学生的学习兴趣． [教学重点、难点] 教学重点是：理解几何概型的概念，并能进行简单的几何概型的概率的计算． 教学难点是：通过实例让学生体会测度的合理选取． [教学方法与教学手段] 问题教学法、合作学习法，多媒体课件．
[教学过程] 1．创设情境
周杰伦的《青花瓷》歌曲全长4分钟，高潮部分从第50秒末开始，到第1分30秒末结束．小明最爱听这首歌．
暑假中的一天，他正戴着耳机以单曲循环的播放模式听《青花瓷》．这时，妈妈喊他有事．回来后，他又立刻戴上耳机．
请问：小明刚好听到《青花瓷》高潮部分的概率是多少？
2．提出问题，组织讨论
问题探究1 取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，剪得两段的长都不小于1m的概率是多少？
问题1 有多少种剪法？
问题2 怎样剪断绳子，能使得剪得两段的长都不小于1m？ 问题3 剪得两段的长都不小于1m的概率是多少？
记“剪得两段绳子的长都不小于1m”为事件A，由于剪断绳子上的每一个位置都可视为一个基本事件；将绳子三等分，当剪断位置在中间一段时，事件A发生，所以事件A发生的概率为
P(A)中间一段绳子的长度1。
绳子的总长度3问题探究2 取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，那么豆子落入圆内的概率为多少？
记“豆子落入圆内”为事件A，由于豆子落入正方形中的每一个位置都可视为一个基本事件；豆子落入圆内时，事件A发生。则豆子落入圆内的概率为 圆的面积a2P(A)。
正方形的面积4a24
3．建构概念
(1)归纳上述两个随机试验有什么共同特征.(2)归纳、概括几何概型的概念.设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）．每个基本事件可以视为从区域D内随机取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．
在几何概型中，事件A的概率计算公式为
P(A)d 的测度
D 的测度(3)几何概型与古典概型有何异同点？(学生归纳)
4．数学运用
在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子。如果从中随机取出10mL，那么含有带麦锈病种子的概率是多少？ 分析 “在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子”可以理解为带麦锈病的种子在这1L种子中的分布是随机的。“随机取出10mL”可以理解为该10mL的种子所在的区域形状和位置不影响事件发生的概率。
解 记“取出10mL麦种，含麦锈病的种子在内”为事件A，因为带麦锈病的种子在这1L种子中的分布是随机的．所以 事件A的概率为P(A)取出种子的体积101．
所有种子的体积10001001． 100我之所以选取它作为本节课的惟一例题，在于本题具有丰富的生活背景和体验，同时最能反映几何概型的特征，有助于加深学生对于概念的理解。5．情境再现
学生运用几何概型的概念解决课开始时的疑惑，做到首尾呼应。
歌曲全长为4分钟，用线段MN表示；高潮部分为40秒，用线段CD表示。由于小明戴上耳机时可以听到整首歌曲中的任意一个时刻，于是小明听到高潮部分的答 含有麦锈病种子的概率为概率为P高潮的时长401。
总时长2406单曲循环的播放模式可以这样理解，不论小明再次戴上耳机时，歌曲已经循环播放了多少遍，他听到的时刻一定在该歌曲中，那么可以视一首完整的歌曲为研究的区域D。这与课本上的“地铁问题”是一致的。6．反馈练习在平面直角坐标系xOy中，若D表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E表示到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D内随机地投一点，则落在E中的概率为
．（2008年江苏省高考第6题）7．课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获呢？
一、常见的几种几何概型
1.与长度有关的几何概型
【例1】 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过, 乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的, 求乘客候车时间不超过3分钟的概率.
解:记A为“候车时间不超过3分钟”, 以x表示乘客来到车站的时刻, 那么每一个试验结果可以表示为x, 假定乘客到车站后第一辆汽车来到的时刻为t, 依据题意, 乘客必在 (t-5, t) 内来到车站, 故D={x|t-5<x≤t}, 欲使乘客候车时间不超过3分钟必须t-3≤x≤t,
所以
点评:对于一个实际问题能否用几何概型的概率公式求解的关键是能否将问题几何化.本例设参数x表示时间, 转化为用数轴上的线段 (几何图形) 来表示, 从而求出其概率.
2.与角度有关的几何概型
【例2】 在直角坐标系内, 射线OT落在60°角的终边上, 任作一条射线OA, 求射线OA落在∠xOT内的概率.
分析:以O为端点作射线OA是随机的, 因而射线OA落在任何位置都是等可能的.落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关, 符合几何概型的条件.
解:记B={射线OA落在∠xOT内},
3.与面积有关的几何概型
【例3】 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另人一刻钟, 过时即可离去, 求两人能会面的概率.
分析:甲、乙两人中每人到达会面地点的时刻都是6时到7时之间的任一时刻, 如果在平面坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间, y轴表示乙到达约会地点的时间, 用0分到60分表示6时到7时的时间段, 则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标 (x, y) 就表示甲、乙两人分别在6时到7时间段内到达的时间, 而能会面的时间由x-y≤15所对应的图中阴影部分表示.由于每人到达时间都是随机的, 所以正方形内每个点都是等可能被取到的 (即基本事件等可能发生) .所以两人能会面的概率只与阴影部分的面积有关, 这就转化为面积型几何概率问题.
解:以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间, 则两人能够会面的充要条件是x-y≤15.在如图3所示平面直角坐标系下, (x, y) 的所有可能结果是边长为60的正方形, 而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概率公式得:
即两人能会面的概率是
4.与体积有关的几何概型
【例4】在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 棱长为1, 在正方体内随机取点M, 求使四棱锥M-ABCD的体积小于的概率.
解:设M到面ABCD的距离为h, 则:
所有满足点M到面ABCD的距离小于的点组成以ABCD为底面, 高为的长方体, 其体积为, 又正方形体积为1, 所以使四棱锥M-ABCD的体积小于的概率P=
二、几何概型中当背景相似的问题, 而等可能的视角不同时, 结果也不尽相同
【例5】已知等腰RtABC中, ∠C=90°.
(1) 在直角边BC上任取一点M, 求∠CAM<30°的概率.
(2) 在∠CAB内作射线AM求∠CAM<30°的概率.
解: (1) 在BC上任取一点M0, 使∠CAM0<30°, 设BC=a, 则.
于是有P (∠CAM<30°) =.
(2) 如图4, 在∠CAB内作射线AM0, 使∠CAM0=30°,
于是有P (∠CAM<30°) =
点评:这两题的区别在于点M产生的方式不同, 前一题中, 点M可以是从C运动到B而均匀产生的, 第二题中则是AM从AC逆时针均匀运动到AB而产生的, 背景相同, 考虑的角度不同, 而产生了不同的概率.
【例6】在半径为1的圆的内随机地取一条弦, 则其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率是多少?
思路一:因任一条弦一定与圆有两个交点, 不失一般性, 可先固定其中一点于圆周上, 以此点为顶点作一等边三角形, 显然只有落入此三角形内的弦才满足要求, 这种弦的另一端经过的弧长为整个圆周的 (如图5-1) , 故所求的概率为.
思路二:弦长只与弦心距有关, 而与方向无关, 因此可以假定它垂直于某一直径, 当且仅当它与圆心的距离小于时, 其长才大于3 (如图5-2) , 因此所求概率为.
思路三:弦长被其中点唯一确定, 当且仅当其中点属于半径为的同心圆内时, 弦长大于3.此小圆面积为大圆面积的, 故所求概率为.
一、求和法
如果所求事件较为复杂，我们可以将事件分为几个彼此互斥的事件分别求解，利用互斥事件的概率加法公式求解.（当事件A与B互斥时，P（A∪B）=P（A）+P（B））
例1某商场举行抽奖活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3的四个小球的抽奖箱中每次抽出一个小球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖.（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率.
分析：列出取球的所有结果，中三等奖包括两个互斥事件，分别求解，然后求和，中奖包括三个互斥事件，分别求解，然后求和.
解析：设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B.
从四个小球中有放回地取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），共16种不同的结果.
（1）记两个小球的号码之和为x，则由题意可知，事件A包括两个互斥事件：x=4，x=3.
事件x=4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1），故P（x=4）=316；
事件x=3的取法有4种：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），故P（x=3）=416.
由互斥事件的加法公式，得P（A）=P（x=3）+P（x=4）=416+316=716.
（2）由题知事件B包括三个互斥事件：中一等奖（x=6），中二等奖（x=5），中三等奖（事件A）.
事件x=5的取法有2种：（2，3），（3，2），故P（x=5）=216；
事件x=6的取法有1种：（3，3），故P（x=6）=116，
由（1）可知，P（A）=716，
由互斥事件的加法公式，得P（B）=P（x=5）+P（x=6）+P（A）=216+116+716=58.
点评：将复杂事件的概率转化为彼此互斥事件的概率进行求解，其关键在于确定事件划分的标准，要保证不重不漏，即依据此标准划分后，任意两个事件不同时发生，并且这些互斥事件的并集就是所求事件.
二、正难则反法
对于较复杂的古典概型问题，如果直接求解有困难时，可利用正难则反的思维策略，将其转化为其对立事件的概率求解.此类试题的典型条件是“至少”、“至多”、“否定”或“肯定”等.
例2一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n 分析：利用列举法求解编号之和大于4的概率，列举出又放回抽取两球编号的所有结果，满足n 解析：（1）从袋中随机抽取两个球，其一切可能结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个. 因此所求事件的概率为13. （2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）（3，2），（3，3）（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个. 所有满足条件n≥m+2的事件为（1，3）（1，4）（2，4），共3个. 所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=316， 故满足条件n 点评：在数学解题中，若从正面或顺向难以解决，则不妨进行反面或逆向思考，这就是正难则反策略.这种策略提醒我们，从正面解决困难时可考虑反面求解，直接解决困难时可考虑间接解决，顺推困难时可考虑逆推.这种思维实际上是逆向思维，体现了思维的灵活. 三、数形结合法 根据已知条件作出大致的几何图形.从而确定运用何种测度公式. 例3已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1. （1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率； （2）设点（a，b）是区域x+y-8≤0 x>0 y>0内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率. 分析：根据原函数是增函数确定a，b的范围，枚举基本事件总数与事件A的个数，可求第（1）问，作出可行域，计算测度（面积），计算第（2）问. 解析：（1）∵函数f（x）=ax2-4bx+1图象的对称轴为x=2ba，要使f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a>0且2ba≤1，即2b≤a. 若a=1，则b=-1；若a=2，则b=-1，1；若a=3，则b=-1，1.
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为515=13.
（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，
函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|a+b-8≤0
a>0
b>0}.
构成所求事件的区域为三角形部分，由a+b-8=0
b=a2得交点坐标为（163，83）.
∴所求事件的概率为P=12×8×8312×8×8=13.
点评：几何概型问题难度不大，但需要准确理解题意.解决此类问题首先要确定所求事件中对应的图形的形状，该图形的确定往往取决于元素的个数，一个元素多与线段的长度或角度相关，两个元素多与平面图形的面积相关，三个元素多与几何体的体积有关，然后确定该事件的度量依据，最后确定度量方法.
四、构造模型法
当一些代数问题的概率不能直接计算时，可通过建立函数关系，确定约束条件，构造几何模型来求之.
例4在区间[0，1]上任取三个实数x、y、z，事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}.
（1）构造出此随机事件对应的几何图形；
（2）利用该图形求事件A的概率.
分析：由于事件A对应的结果是由三维数构成的，所以试验的所有结果都是由三维数构成，转化成与体积有关的几何概型问题.
解析：（1）如图，由区间[0，1]上的三个实数组成的基本事件总体构成以1为边长的正方体，对应的集合Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，而随机事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}对应的几何图形为在正方体内以O为球心，以1为半径的球的18部分.
（2）由于x，y，z属于区间[0，1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分.
∴P（A）=18×43π×1313=π6.
点评：基本事件的对应结果用有序实数组表示，要注意概率的取值范围，若数的取值是离散的，则为古典概型；若数的取值是连续的，则可转化为几何概型.由于x、y、z的取值是[0，1]上的任意实数，其构成三维空间，转化为与体积有关的几何概型.构造几何图形时要注意变量的取值范围对图形的限制.在将概率问题进行转化时，要注意表示事件结果的数值的个数，一个数的转化为与长度有关的几何概型，两个数的转化为与面积有关的几何概型.三个数的转化为与体积有关的几何概型.endprint
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为515=13.
（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，
函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|a+b-8≤0
a>0
b>0}.
构成所求事件的区域为三角形部分，由a+b-8=0
b=a2得交点坐标为（163，83）.
∴所求事件的概率为P=12×8×8312×8×8=13.
点评：几何概型问题难度不大，但需要准确理解题意.解决此类问题首先要确定所求事件中对应的图形的形状，该图形的确定往往取决于元素的个数，一个元素多与线段的长度或角度相关，两个元素多与平面图形的面积相关，三个元素多与几何体的体积有关，然后确定该事件的度量依据，最后确定度量方法.
四、构造模型法
当一些代数问题的概率不能直接计算时，可通过建立函数关系，确定约束条件，构造几何模型来求之.
例4在区间[0，1]上任取三个实数x、y、z，事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}.
（1）构造出此随机事件对应的几何图形；
（2）利用该图形求事件A的概率.
分析：由于事件A对应的结果是由三维数构成的，所以试验的所有结果都是由三维数构成，转化成与体积有关的几何概型问题.
解析：（1）如图，由区间[0，1]上的三个实数组成的基本事件总体构成以1为边长的正方体，对应的集合Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，而随机事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}对应的几何图形为在正方体内以O为球心，以1为半径的球的18部分.
（2）由于x，y，z属于区间[0，1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分.
∴P（A）=18×43π×1313=π6.
点评：基本事件的对应结果用有序实数组表示，要注意概率的取值范围，若数的取值是离散的，则为古典概型；若数的取值是连续的，则可转化为几何概型.由于x、y、z的取值是[0，1]上的任意实数，其构成三维空间，转化为与体积有关的几何概型.构造几何图形时要注意变量的取值范围对图形的限制.在将概率问题进行转化时，要注意表示事件结果的数值的个数，一个数的转化为与长度有关的几何概型，两个数的转化为与面积有关的几何概型.三个数的转化为与体积有关的几何概型.endprint
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为515=13.
（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，
函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|a+b-8≤0
a>0
b>0}.
构成所求事件的区域为三角形部分，由a+b-8=0
b=a2得交点坐标为（163，83）.
∴所求事件的概率为P=12×8×8312×8×8=13.
点评：几何概型问题难度不大，但需要准确理解题意.解决此类问题首先要确定所求事件中对应的图形的形状，该图形的确定往往取决于元素的个数，一个元素多与线段的长度或角度相关，两个元素多与平面图形的面积相关，三个元素多与几何体的体积有关，然后确定该事件的度量依据，最后确定度量方法.
四、构造模型法
当一些代数问题的概率不能直接计算时，可通过建立函数关系，确定约束条件，构造几何模型来求之.
例4在区间[0，1]上任取三个实数x、y、z，事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}.
（1）构造出此随机事件对应的几何图形；
（2）利用该图形求事件A的概率.
分析：由于事件A对应的结果是由三维数构成的，所以试验的所有结果都是由三维数构成，转化成与体积有关的几何概型问题.
解析：（1）如图，由区间[0，1]上的三个实数组成的基本事件总体构成以1为边长的正方体，对应的集合Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，而随机事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}对应的几何图形为在正方体内以O为球心，以1为半径的球的18部分.
（2）由于x，y，z属于区间[0，1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分.
∴P（A）=18×43π×1313=π6.
纳雍县第一中学 罗万能 教学目标
1．知识目标
①通过探究，让学生理解几何概型试验的基本特征，并与古典概型相区别； ②理解并掌握几何概型的定义； ③会求简单的几何概型试验的概率.2．情感目标
①让学生了解几何概型的意义，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象；
②通过学习，让学生体会生活和学习中与几何概型有关的实例，增强学生解决实际问题的能力；同时，适当地增加学生合作学习交流的机会，培养学生的合作能力.重点难点
重点：几何概型概念的理解和公式的运用； 难点：几何概型的应用.只有掌握了几何概型的概念及特点，才能够判断一个问题是否是几何概型，才能够用几何概型的概率公式去解决这个问题.而在应用公式的过程中，几何度量的正确选取是难点之一，要好好把握.学情分析及教学内容分析
本节课是新教材人教B版必修3第三章第三节的第一课，它在课本中的位置排在古典概型之后，在概率的应用之前.我认为教材这样安排的目的，一是为了体现和古典概型的区别和联系，在比较中巩固这两种概型；二是为解决实际问题提供一种简单可行的概率求法，在教材中起承上启下的作用.通过最近几年的实际授课发现，学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，把几何概型的“无限性”误认为古典概型的“有限性”.究其原因是思维不严谨，研究问题时过于“想当然”，对几何概型的概念理解不清.因此我认为要在几何概型的特征和概念的理解上下功夫，不要浮于表面.另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也是需要特别重视的，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题.为了更好地突出重点，突破难点，我将整个教学过程分为“问题引入——概念形成——探索归纳——巩固深化”四个环节.教学过程
1．问题引入
引例1 北京奥运会圆满闭幕，某玩具厂商为推销其生产的福娃玩具，扩大知名度，特举办了一次有奖活动：顾客随意掷两颗骰子，如果点数之和大于10，则可获得一套福娃玩具，问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？
设计意图：复习巩固古典概型的特点及其概率公式，为几何概型的引入做好铺垫.引例2 厂商为了增强活动的趣味性，改变了活动方式，设立了一个可以自由转动的转盘（如图1）转盘被等分成8个扇形区域.顾客随意转动转盘，如果转盘停止转动时，指针正好指向阴影区域，顾客则可获得一套福娃玩具.问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？
设计意图：
1．以实际问题引发学生的学习兴趣和求知欲望； 2．以此为铺垫，通过具体问题情境引入课题； 3．简单直观，符合学生的思维习惯和认知规律.问题提出后，学生根据日常生活经验很容易回答：“由面积比计算出概率为1/4.” 提问：为什么会想到用面积之比来解决问题的呢？这样做有什么理论依据吗？
学生思考，回答：“上一节刚学习的古典概型的概率就是由事件
所包含的基本事件数占试验的基本事件总数的比例来解决的，所以联想到用面积的比例来解决.”
教师继续提问：这个问题是古典概型吗？
通过提问，引导学生回顾古典概型的特点：有限性和等可能性.发现这个问题虽然貌似古典概型，但是由于这个问题中的基本事件应该是“指针指向的位置”，而不是“指针指向的区域”，所以有无限多种可能，不满足有限性这个特点，因此不是古典概型.也就是说，我们不能用古典概型的概率公式去解决这个问题，刚才我们的解答只是猜测.到这里，我们自然而然地需要一个理论依据去支持这个猜测，从而引入几何概型的概念.2．概念形成 记引例2中的事件
为“指针指向阴影区域”，通过刚才的分析，我们发现事件
包含的基本事件有无数个，而试验的基本事件总数也是无数个.如果我们仿照古典概型的概率公式，用事件包含的基本事件个数与试验的基本事件总数的比例来解决这个问题，那样就会出现“无数比无数”的情况，没有办法求解.因此，我们需要一个量，来度量事件
和，使这个比例式可以操作，这个量就称为“几何度量”.这就得到了几何概型的概率公式量，表示子区域的几何度量.，其中表示区域的几何度引例2就可以选取面积做几何度量来解决.通过上面的分析，引导学生发现：几何概型与古典概型的区别在于它的试验结果不是有限个，但是它的试验结果在一个区域内均匀地分布，因此它满足无限性和等可能性的特征.其求解思路与古典概型相似，都属于“比例解法”.3.探索归纳
问题1 在500ml水中有一个草履虫，现从中随机抽取2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.问题2 取一根长为4米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于1米的概率是多少？
设计意图：
1．让学生分别体会用体积、长度之比来度量概率，加深学生对几何概型概念的理解； 2．强化解决几何概型问题的关键是抓住问题的实质，找出临界状态。这是解决几何概型问题的第一个关键.问题3 如图2, 设超过半径的概率？
为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与
连结，求弦长
由学生讨论解答.预期思路1：(见图3)
根据题意，在圆周上随机取一点，有无限种可能，而每一点被取到的机会都一样，满足几何概型的特点，可以考虑用几何概型求解.先找临界状态，即弦长等于半径时所取的点的位置.找到和是两个全等的正三角形.即在两个位置，使得
和
取点时弦长刚好等于半径；而在两段劣弧上取点时弦长小于半径；在化
为弧长之比.这段优弧上取点时，弦长超过半径。因此问题转
.预期思路2：（见图4）也可以转化为角度之比..预期思路3：（见图5）也可以转化为面积之比..提出问题：为什么这道题可以用弧长、角度、面积等不同的几何度量去求解？ 由学生分组讨论,给出回答：因为在半径一致的情况下，弧长之比等于角度之比，也等于面积之比..设计意图：加深学生对几何概型的理解，从而抓住解决几何概型问题的实质.问题4 如图6,将一个长与宽不等的长方形水平放置，长方形对角线将其分成四个区域.在四个区域内涂上红、蓝、黄、白四种颜色，并在中间装个指针，使其可以自由转动.对于指针停留的可能性，下列说法正确的是（）
A．一样大 B.黄、红区域大 C.蓝、白区域大 D.由指针转动圈数确定
设计意图：通过与引例2对比，使学生发现这两个问题选择的正确几何度量应该是“角度”，而不是“面积”.而引例2之所以用面积比也能解决问题，是因为其面积比恰好等于角度比.提出问题：如何才能找到最恰当的几何度量呢？
引导学生找问题中的“提示”.如问题3中在圆周上任意取点，因此选取弧长作为几何度量是最恰当的方法.几何度量的正确选择是解决几何概型问题的第二个关键.4。巩固深化
练习1 如图7,在面积为的的边上任取一点，求的面积小于的概率.练习2 如图8,向面积为练习3 如图9,向体积为的的三棱锥
内任投一点，求的面积小于，求三棱锥的概率.的内任投一点体积小于的概率.设计意图：通过这3个问题的对比，加深学生对几何度量选取的理解，关键是判断在何处取点.问题5 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形(如图10)，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.问题6平面上画了一些彼此相距的平行线，把一枚半径为的硬币任意掷在这平面上(如图11)，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．
设计意图：
1．开拓学生的思路，进一步提高学生分析、解决问题的能力； 2．引导学生归纳总结解决几何概型问题的第三个关键：物化为点.如问题5 中，我们选择了海豚的嘴尖为研究对象，问题6中，我们则选择硬币的中心为研究对象.物化为点之后，研究起来会更加便捷.在处理问题6时，先由学生自主思考，而后合作交流，发表自己的看法，培养学生概括归纳的能力。
5．课堂小结
这个工作我准备交给学生去做。让学生自己总结：这节课你学到了什么？通过这节课你掌握了哪些方法？应该注意些什么问题？有哪些思想是在以后的学习中可以借鉴的等等，引导学生对这节课的内容加以巩固深化.3.3.1 几何概型教学课后反思
纳雍县第一中学 罗万能
x2y2［例1］已知双曲线22=1(a＞0，b＞0)的焦点坐标是F1(－c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）
ab是双曲线上的任一点，求证｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜，其中e是双曲线的离心率.x2y2【证明】 双曲线22=1的两焦点F1(－c,0)、F2(c,0)，aba2a2相应的准线方程分别是x=－和x=.cc∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率.∴PF1x0ac2e,PF2x0ac2e.化简得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜.【点评】 ｜PF1｜、｜PF2｜都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜称作焦半径公式.［例2］双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=程.1,求双曲线的方2ca21【解】 ∵=4,=, c2a∴a=2,c=8,∴b2=82－22=60.x2y2∴双曲线的方程是=1.460【点评】 双曲线的准线总与实轴垂直.x2y2［例3］在双曲线=1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两169倍.【解】 设P点的坐标为(x,y)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.∵双曲线的准线方程为x=±
16.5∴PF116x5PF216x5.∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在双曲线的右支上，2PF2PF248∴，∴x=.16165xx5548x2y2把x=代入方程=1得： 1695y=±3119.5483，±119)
一、正确区分古典概型与几何概型
【例1】 (1) 在区间[0, 10]上任意取一个整数x, 则x不大于3的概率为______.
(2) 在区间[0, 10]上任意取一个实数x, 则x不大于3的概率为______.
分析: (1) 因为总的基本事件是[0, 10]内的全部整数, 所以基本事件总数为有限个11, 而不大于3的基本事件有4个, 此问题属于古典概型, 所以所求概率为
(2) 因为总的基本事件是[0, 10]内的全部实数, 所以基本事件总数为无限个, 此问题属于几何概型, 事件对应的测度为区间的长度, 总的基本事件对应区间[0, 10]长度为10, 而事件“不大于3”对应区间[0, 3]长度为3, 所以所求概率为
点评:此例中的两个问题, 每个基本事件都是等可能发生的, 但是问题 (1) 中的总基本事件是有限个, 属于古典概型;而问题 (2) 中的总基本事件是无限个, 属于几何概型.可见古典概型与几何概型既有区别也有联系, 在实际问题解决中, 关键在于正确区分古典概型和几何概型.
二、准确分清几何概型中的测度
【例2】 (1) 在等腰Rt△ABC中, ∠C=90°, 在直角边BC上任取一点M, 求∠CAM<30°的概率.
(2) 在等腰Rt△ABC中, ∠C=90°, 在∠CAB内作射线交线段BC于点M, 求∠CAM<30°的概率.
分析:此例中的两个问题, 很显然都是几何概型的问题, 但是考察的测度不一样.
问题 (1) 的测度应定为线段长度, 当∠CAM=30°时,
问题 (2) 的测度应定为角度, 过点A作射线与线段CB相交, 这样的射线有无数条, 均匀分布在∠CAB内, ∠CAB=45°, 所以所求概率等于
点评:本例中的两个问题都是几何概型的问题, 但选取的测度不一样, 在解决时考察的基本事件对象和计算的结果也不一样.可见在解决几何概型问题时, 要认真审题, 分清问题考察的测度, 从而正确解决问题.
三、科学设计变量, 数形结合解决问题
【例3】 (1) 某人午觉醒来, 发现手表停了, 他打开收音机, 想听电台整点报时, 求他等待的时间不多于10分钟的概率.
(2) 某人午觉醒来, 发现手表停了, 则表停的分钟数和实际分钟数差异不超过5分钟的概率为多少?
分析: (1) 某人醒来在整点间即60分钟内是随机的, 等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域, 整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域, 因此本题考查的测度可看作是时间的长度, 于是可以通过长度比公式计算其概率.
设“等待的时间不多于10分钟”这一事件记作事件A, 则
显然这是一个与长度有关的几何概型问题, 问题比较简单, 学生也易于理解.
(2) 该问题的特点在于学生易犯固定思维的错误, 习惯性的用问题 (1) 中的时间长度之比来解决, 得到错误的答案.学生错误的原因在于没有透彻地认识题中的变量, 本题中包含了两个变量, 一个是手表停的分钟数, 可以在[0, 60]内的任意时刻, 另一个变量是实际分钟数, 也可以在[0, 60]内的任意时刻.所以本问题的解决应以x轴和y轴分别表示手表停的分钟数和实际分钟数, 那么差异不超过5分钟的充要条件是x-y≤5, 从而绘制直角坐标系, 数形结合, 用面积之比, 得到结果.
由于 (x, y) 的所有可能结果是边长为60的正方形, 差异不超过5分钟由图2中阴影部分所表示, 记“差异不超过5分钟”为事件B.
因此, 差异不超过5分钟的概率P (B)
点评:本例中问题 (2) 的解决, 科学地设计变量很关键, 但设计的前提是要提高学生自己对几何概型实质的把握, 提高自己的审题能力, 能够发现问题中隐含的变量因素, 从而将一个包含两个变量的实际问题引进到直角坐标系, 通过数形结合顺利解决问题.
扑朔迷离之一:同一事件,研究的角度不同,发生的概率便不同.
例1 设⊙O是一个单位圆,在⊙O内任作一条弦,求其长度超过⊙O内接正三角形边长的概率.
解 显然⊙O的内接正三角形的边长为3,取⊙O的任一条弦AB,记“AB>3”为事件C.
方法一 如图1,连结AO,在AO的两侧作∠M
AO=∠NAO=30°,分别交⊙O于点M,N,当点B落在∠MAN所对的MN上时,AB>3,否则AB<3.
由于MN的长是⊙O周长的13,故P(C)=13.
图1图2
方法二 如图2,在⊙O内任取一点M,以M为中点作⊙O的弦AB,当OM<12时,AB>3,否则AB<3.
由于以O为圆心,12为半径的圆的面积是⊙O面积的14,故P(C)=14.
点评 上面两种解法都能自圆其说,但结果却不一样.由此可见,背景相似的问题,当等可能的角度不同时,其概率是不一样的.实际上,这两种解法中的“任作一条弦”是不同的试验(即不同的理解方式).由此,你能理解2008年北京奥运会上,中国、美国、欧盟都宣称自己是第一名吗?
扑朔迷离之二: 概率为0的事件仍会发生.
例2 已知矩形ABCD中,AB=2,BC=3,在其内任取一点P,求:
(1) ∠APB>90°的概率;
(2) ∠APB<90°的概率;
(3) ∠APB=90°的概率.
解 设“∠APB>90°”为事件C,“∠APB<90°”为事件D,“∠APB=90°”为事件E.
(1) 如图3,当且仅当点P位于以AB为直径的半圆内时,事件A发生.
又该半圆的面积为π2,矩形ABCD的面积为6,故P(C)=π12.
(2) 如图4,同(1)理,P(D)=6-π26=12-π12.
(3) 因为P(C)+P(D)+ P(E)=1,所以 P(E)=0.
图3
图4
图5
点评 ∠APB=90°的概率为0,但如图5,我们发现只要点P落在半圆AB上,就有∠APB=90°.按常规思维,某事件的概率为0,那它就是不可能事件,也就不会发生;但在这儿,非但可能发生,而且包含的基本事件有无数个.这就告诉我们,有限和无限有本质的区别.
扑朔迷离之三: 解题方法别具一格.
例3 在半径为R的圆周上任取三点A,B,C,求△ABC为锐角三角形的概率.
解 如图6,设AB的长为x,BC的长为y,则AC的长为2π-x-y,
显然0 当且仅当x+y>2π-x-y,x+2π-x-y>y,y+2π-x-y>x, 即x+y>π,0 时,△ABC为锐角三角形. 图6 图7 设事件M:△ABC为锐角三角形.如图7,可知P(M)=14. 点评 解几何概型问题关键是准确定位总体事件(试验的全部结果)与有关事件的测度. 扑朔迷离之四:几何概型与古典概型的统一. 图8 例4 如图8,将1 000颗豆子随机地撒入一个边长为1的正方形内,有787颗落在它的内切圆内,请由此试估计圆周率的值. 解 豆子落在圆内的频率接近于豆子落入圆中的概率,即圆的面积正方形的面积=πa2(2a)2=π4≈7871 000, 所以π≈3.148. 点评 由此可见,几何概型与古典概型虽然有着很大的区别,但也有着某种必然的联系,通过适当的途径,我们可以让它们达到有机的统一. 巩 固 练 习 1. 如图9,在等腰△ABC中,∠BAC=120°. (1) 在底边BC上任取一点M,求BM (2) 过顶点A在∠BAC内任作一条射线AM,交BC于M,求BM 图9 图10 2. 如图10,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,求: (1) △AOC为锐角三角形的概率; (2) △AOC为钝角三角形的概率; (3) △AOC为直角三角形的概率. 3. 在线段AD上任取两点B,C,求AB,BC,CD能构成三角形的三条边的概率. 关键词：点分布；找测度；几何概型；转化；平面区域 中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）09-172-03 几何概型是高中新课程人教A版《必修3》第三章概率部分的一个新增内容，也是概率这一部分的一个难点，高考中选择、填空题会有所涉及。学生对明显是点分布的几何概型问题较容易理解，然而，有些几何概型的问题，既不容易分辩出属于几何概率模型，也难发现随机事件的构成区域，但仔细研究此类问题后，我们可以发现一些解题的规律。本文就笔者在教学中遇到的一些问题和经验进行了归纳和整理以期和大家一起探讨和帮助学生理解并灵活应用几何概型去解决相关问题，主要还是得从以下几个方面去把握。 一、教学的背景 “几何概型”这一节内容是安排在“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。此节内容是为更广泛地满足随机模拟的需要而在新课本中增加的，这是与以往教材安排上的最大的不同之处。这充分体现了数学与实际生活的紧密关系，来源生活，而又高于生活。同时也暗示了它在概率论中的重要作用，在高考中的题型的转变。笔者根据所教学生的状况及新课程标准和学科指导意见的要求，对教材作了一些处理并尽可能选用与日常生活息息相关的例子。对于概念，主要让学生学会几何概型与古典概型的比较；立足基础知识和基本技能，掌握好典型例题；注意数形结合思想的运用，把抽象的问题转化为熟悉的几何概型。具体有以下一些整理。 二、概念的理解 1、高中新课程人教A版《必修3》中P136对几何概型是这样定义的：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型，计算公式如下： 而在实际教学中笔者发现，这一概念不如索性这样去定义更为合适与明了： 一般地，在几何区域 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域 内”为事件 ，则事件 发生的概率 . 说明：（1） 的测度不为 ； （2）其中"测度"的意义依 确定，当 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的"测度"分别是长度，面积和体积；同时还有可能是角度，在后面的例题中笔者会进一步举例说明这一点。 （3）在区域 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关. 2、与古典概型相比较： （1）不同点：在一次试验中，几何概型中所有可能的结果有无限个； （2）相同点：每一种结果发生的可能性相等。 三、典题的分析 1、测度为长度的几何概型 例1：某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠3分钟（已知停靠的3分钟包含在15分钟之内）。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后能立即上车的概率？ 解析：此题可把时间等价成刻度为[0，15]的线段上的点，则几何区域 的测度为15， 乘客到达车站后能立即上车的区域为线段[12，15]上的点，则区域 的测度为3，故p= 变式1：求乘客到站候车时间大于10分钟的概率. 解析：设上辆车于时刻A离开，而下一辆车于时刻B到达，时刻C出发。线段AC的长度为15即D的测度；设P是线段AB上的点，且BC=3，PB=10，如图1所示， 记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段AP（AP=2即d的测度）上时，事件A发生，所 以 = A P B C 答：乘客到站候车时间大于10 分钟的概率是2/15。 变式2：求乘客到站候车时间不超过10分钟的概率. 解析：此题即为变式1的对立事件，故乘客到站候车时间不超过10分钟的概率P=1- 例2：在等腰直角三角形 中，在斜边 上任取一点 ，求 小于 的概率. 解析：点 随机地落在线段 上，故线段 为区域 .当点 位于图2中线段 内时， ，故线段 即为区域 . 在 上截取 .于是 . 变式1：在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM 解析：本题把射线等价于圆弧AB（以C为圆心）上的点，符合几何概型，因为这时射线CM可看作在 内是等可能分布的。如图3，在AB上截取 ，则 ，则区域D为弧AB，区域d为弧AD，则p= 变式2： 变式3： （参考答案： 提示：变式2中区域D为线段BC；变式3中区域D为角度CAB） 评注：例1中的一个时刻是一元问题，相当于坐标中的一维，基本上都可等价到特定线段上的点，使问题转化为几何中的线段长度之比；例2中的一条射线，也是一元，但我们为什么不等价到线段上的点，而是等价到了弧上的点，那是因为等价到线段上的点破坏了等可能性（因为同等线段长射线扫过的区域不同，但同等弧长射线扫过的区域相同），而变式1和3中更是进一步转化成了角度之比。故我们在等价的过程中不仅要注意要一一对应，而且还需考虑符合几何概型的等可能性，这样就易理解易解决了。 2、测度为面积的几何概型 例3：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家，你父亲 离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？ 解析：以横坐标X表示报纸送到时间，以纵坐标Y表示父亲离家时间，建立平面直角坐标系，假设随机试验落在方形区域内（D）任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.根据题意，只要点落到阴影部分（d）， 就表示父亲在离开家前能得到报纸，即时间A发生，所以 变式1：甲、乙两人相约7点到8点在某地会面，先到者等另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率. 解析：把两人到达的时间等价于平面直角坐标平面内的点，符合几何概型。以x，y表示两人到达时刻，则会面的充要条件为 如图3，区域D为正方形，区域d为阴影部分，则两人能会面的概率 变式2：上例其他不变，但甲等乙20分钟，乙等甲只等15分钟，则概率如何？ 解析：实质是 改为 变式3：上例其他不变，但不巧甲那天的手表慢了15分钟，则概率如何？ 解析：实质是 改为 例4：如图6，假设你在这个图形上随机撒一粒黄豆，计算它落到阴影部分的概率. P=阴影部分三角形的面积/圆的面积= 评注：在例3中涉及到两个时间，一般情况下都可等价转化为直角坐标内的二维点集即转化为相应区域的面积之比；也就是线性规划问题。题目的意思简单明了，但如何转化为数学模型来求解却比较困难. 需要我们先从实际问题中分析得到存在的两个变量，如此题中两人到达的时间都是随机的，设为两个变量. 然后把这两个变量所满足的条件写成集合形式，并把所研究事件A的集合也分析得出. 把两个集合用平面区域表示，特别注意不等式所表示区域. 我们发现，要表示二元一次不等式 的平面区域，按两步解决： （1）作出直线 ；（2）取一特殊点验证，直线的哪侧符合不等式，则哪侧就是所表示区域. 准确得到随机事件的构成区域后，根据几何概型的概率公式，易求得概率. 根据以上的解法和分析，我们把此类疑难问题的解决总结为以下四步： （1）构设变量. 从问题情景中，发现哪两个量是随机的，从而构设为变量x、y. （2）集合表示. 用 表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出试验全部结果Ω和事件A所包含试验结果. 一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集. （3）作出区域. 把以上集合所表示的平面区域作出，先作不等式对应的直线，然后取一特殊点验证哪侧是符合条件的区域. （4）计算求解. 根据几何概型的公式，易从平面图形中两个面积的比求得. 在以上四步中，第二步和第三步是解答的关键，通过这两步，可以发现随机事件所对应的几何图形. 第三步的作图需理解其原理. 而例4中将问题转化为了平面图形内的点的分布问题，也就是阴影部分三角形的面积/圆的面积。 3.测度为体积的几何概型 例5：在正方体 内随机取一点E，则点E落在四棱锥O-ABCD（O是正方体对角线的交点）内的概率是多少？ 解析：P（E落在四棱锥O-ABCD内）= 例6：在单位长度为1的线段AB上任取三点C，D，E，求AC，AD，AE能构成三角形的概率. 解析：本题可转化为在[0，1]上分别取三个数，求使得任意两数之和大于第三个数的概率。 而在[0，1]上分别取三个数等价于空间直角坐标系的一点（x，y，z）， 使得任意两数之和大于第三个数即 ，分析可得，如图7，区域D为边长为1的正方体AG，区域d为六面体DBEGF，故p= 评注：例6涉及三数，即三元（三维）问题， 可与空间坐标一一对，一般情况下三元可 以向空间坐标转化进而转化为体积之比问题。 4、几何概型的拓展应用 例7： 。 解析：这里D的测度即区间 的长度，d的测度即区间 的长度，所以P=1/2 例8：一枚半径为1的硬币随机落在边长为3的正方形所在的平面内，且硬币一定落在正方形内或与正方形有交点，求硬币与正方形没有公共点的概率。 解析：如图8，ABCD为已知正方形外且与已知正方形四边距离均为1的正方形， 是在已知正方形内部且与已知正方形四边距离均为1的正方形。当硬币的圆心落在正方形ABCD内（除A、B、C、D这四个顶点）时，就能保证硬币一定落在已知正方形四边内或与已知正方形有公共点 而当硬币的圆心落在正方形 内时， 硬币与已知正方形没有公共点，所以： d的测度= ，故所求的概率 。 变式：设有一个由许多个小正三角形构成的正三角形网格，其中每个小正三角形的边长都等于6cm，现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率。 解析：此题即将正方形转化成了正三角形，解法不变；参考答案： 例9：（2007宁夏高考）设关于x的一元二次方程 （I） 若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数， b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； （Ⅱ）若a是从区间[0，3]上任取的一个数， b是从区间[0，2] 任取的一个数，求上述方程有实根的概率； 解析：（1）是古典概率，故 （2）是几何概型：见（图9）设事件A：“方程 有实根”.当a>0，b>0时，方程有实根的等价条件为 ； 试验的全部结果所构成的区域为 构成事件A的区域为 所以所求的概率为 评注：对于复杂的实际问题，解题的关键是要建立模型，找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域，把问题转化为几何概型问题，利用几何概型的概率公式求解. 四、教学的反思 《浙江省普通高中新课程实验数学学科教学指导意见》中对于几何概型是这样要求的：1.通过实例，初步体会几何概型的意义；2.了解随机均匀数的产生过程；3.通过实例，初步体会运用模拟方法估计概率；4.结合实例和阅读材料，了解人类认识随机现象的过程，并且说明本节学习重在了解，不必补充复杂的问题，鉴于此说明笔者对教学中遇到的几何概型问题做了如上这些整理，大致可以把高中数学中的几何概率问题解法归纳为： 1、适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；2.把基本事件转化为与之对应的区域D；3.把随机事件A转化为与之对应的区域d；4.利用几何概型概率公式计算。其中最关键的就是适当选择观察角度，长度，面积和体积有时甚至是角度，而抓住题中关键的语句就是找到正确角度的突破口。同时鉴于学科指导意见，我们在教学中也要注意不必补充复杂的问题，以免走入教学的误区，增加学生的负担，毕竟高中阶段对于几何概型的要求并不高。 在教学的过程中注重体现以学生发展为本的理念，注意学生的逻辑思维要从经验型向理论型转化，进而从感性认识能动地跃进到理性认识又要从理性认识能动地指导实践，使得学生在更高的层次理解问题。在理解数学的内涵和外延的同时，让学生在知识技能，过程和方法，情感、态度与价值观等多方面得到进步和发展。 参考文献： [1] 钱卫娣.隐性几何概型三招致胜.实验中学教育集团.西南师范大学出版社.2008.11.数学教学通讯.高中数学中的几何概型 篇8
