向量空间总结

向量空间总结（共8篇）

向量空间总结篇1

一、知识结构图

二、结构说明

⑴本章主要包括向量代数和空间解析几何的基本内容.向量代数是研究空间解析几何的基础，解析几何中，直线、平面方程的建立都是由向量的共线或垂直关系得到的.⑵理解和灵活运用向量的各种运算，是学好本章的基础.⑶空间直角坐标系的引入是联系本章两部分的纽带，有了坐标系，向量的表示和运算均化为向量坐标之间的代数运算，使向量的运算广泛应用于解决几何问题.⑷直线和平面方程是本章的重点.三、知识拓展

向量代数在初等几何中的应用

研究几何的代数方法除了常用的坐标方法外还有向量方法，有些几何概念用向量表示比较简单，下面举例说明向量方法在解决初等几何问题中的应用.1、三线共点问题

例1 证明三角形三条高线交于一点证明：设的两条高线，交于M点，连AM.则有由于因为

所以有所以有

即

所以有即

即

从而三角形ABC的三条高线交于一点M.所以

2、垂直关系的证明

例2 空间四边形ABCD的对角线互相垂直的充分必要条件是对边的平方和相等.证：在空间四边形ABCD中设则有a+b+c+d=0.必要性：设则

即，则，即有

两式相加得所以

充分性：设

由于所以

所以

用向量的方法还可以证明许多几何定理，例如：三角形的余弦定理；平行四边形成为菱形的充分必要条件是对角线互相垂直；三角形的三条角平分线交于一点等等.三点共线问题也可用向量方法来研究.四、综合测试

1、填空题：

⑴设向量角为

时，m=________.当时，m=______，当时，m=______.当a与b夹

⑵设⑶点⑷与向量⑸过点

且与关于，则

______.面的对称点坐标为________；关于z轴对称点的坐标为_______.同时垂直的向量是_________.垂直的直线方程是_____________.⑹过一点

___________.且与直线

和直线都平行的平面方程为

⑺直线与平面的交点为__________,夹角为________.⑻曲线在平面上的投影方程为_____________.2、求通过直线且与

平行的平面方程.3、判断两直线与

和的位置关系？

是否可确定一个平面，若能，求出平面方程.4、设平面

与L垂直的直线方程.，直线试求在平面内过L和的交点且

5、直线间的最短距离..求与，与之

五、综合测试答案

1、⑴ ⑵4.⑶ ⑷

；；

.；；

.⑸ ⑹

⑺；夹角

向量空间总结篇2

一、用空间向量解决立体几何中空间角的问题

空间角是指两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的总称, 融向量于空间角中有时会起到意想不到的效果。

1. 已知M, N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点, 求MN与CD1所成的角。

解:不妨设正方体的边长为1, 建立如图空间直角坐标系D—xyz, 则C (0, 1, 0) , D1 (0, 0, 1) , 。

2. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E为棱CC1的中点, 求截面A1BD与截面EBD所成二面角度数。

分析:先以二面角的概念为指导, 作出二面角的平面角来 (如图示) , 联结AC交BD于O, 联结OE, OA1, 即∠A1OE就是二面角A1—BD—E的平面角。再按1题的方法去解, 即可求得二面角的度数为90°。

3. 如图:已知二面角α-l-β为120°, A、B∈l, AC奂鄣, AC⊥l, BD奂β, BD⊥l, AB=6, AC=2, BD=4, 求直线CD与β所成的角。

解:建立如图坐标系A—xyz, 则, D (4, 6, 0) , , 设平面β的一个法向量a軋= (0, 0, 1) 。

∴CD与平面β所成角的大小为。

通过上例可以知道用空间向量求空间角时, 用到公式去解决, 在立体几何直观图中合理构建空间坐标系是关键, 它是完成从几何问题向代数问题转化的基础。

二、用空间向量解决立体几何中有关距离的问题

空间的距离共有7种:两点间距离, 点到直线距离、两平行直线距离、点到平面距离、直线到与它平行平面的距离、两个平行平面的距离、两异面直线的距离。下就空间向量在立体几何中距离的应用举几个例。

1. 已知线段AB奂鄣, BD奂鄣, BD⊥AB, AC⊥鄣, AB=a, BD=b,

AC=c, 求C, D间的距离。

解:由向量多边形法则可得:

2. 已知一空间四边形OABC各边及对角线长都是1, 求点O到平面ABC的距离。

分析:先以点到平面的距离概念为指导, 作出表示有关距离的线段, 再构造向量去解决它的长度。

∴O在面ABC的射影H是△ABC的中心, OH的长度是点O到平面ABC的距离, 而到平面ABC的距离为。

3. 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a, M是棱AA1的中点, O是对角线BD1的中点, 求异面直线AA1和BD1的距离。

分析:先证OM是异面直线AA1和BD1的公垂线, 再去求OM的长度, 前后整过程都可构造空间直角坐标系去解决。

解:建立如图直角坐标系D—xyz, 则B (a, a, 0) , D1 (0, 0, a) ,

∴BD1⊥OM, AA1⊥OM。

因此OM是异面直线AA1和BD1的距离, 且。

以向量为工具, 解决空间距离问题, 避开了立体几何中的相关知识体系。对于距离问题主要用到公式, 把其转化成向量间的运算, 从而达到解题目的。

三、用空间向量去解决立体几何中有关垂直问题

空间垂直包括:线线垂直、线面垂直、面面垂直, 这三种垂直关系可化归为线线垂直去解决, 有关垂直问题一旦引入向量相关知识, 会变得十分简单。

1. 已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中, 底面是正方形, 且∠A1AD=∠A1AB, 求证:AA1⊥BD。

证明:

∴AA1⊥BD。

2. 已知如图正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2, 底面边长为1, M是BC中点, 在直线CC1上求一点N, 使MN⊥AB1。

分析:这是一道执果索因的类型题目, 可根据给出空间直观图, 构造空间直角坐标系, 把有关问题转化为坐标, 由, 从而可求出N点位置。

解:沿AB, AC, AA1射线方向分别取单位向量i軆, j軆, k軋,

从上例可以看到, 用空间向量解决立体几何中有关垂直问题主要用到公式, 空间向量可使立体几何中的证明垂直问题有规律可循, 有法可用, 化难为易。

通过空间向量的知识性和工具性的教学, 可提高学生解决立体几何间的灵活性, 增强学生分析问题的能力, 开阔了学生解决立体几何问题的视野, 作为运算工具, 引入空间向量, 它为立体几何代数带来了极大的方便。由上可看出空间向量的应用价值, 激发了学生学习向量的兴趣, 从而达到提高探索和创新能力的目的。

参考文献

[1]陈江辉.三角函数与平面向量千题巧解[M].长春:长春出版社, 2007.

[2]周子君.空间向量在角和距离求解中的运用[J].数学通报, 2003.

[3]魏廷祥.空间向量在求角与距离中的应用[J].青海教育, 2005.

[4]钟山.空间向量与立体几何[M].北京:现代教育出版社, 2008.

空间向量及其应用篇3



题型一空间向量的线性运算

【例１】如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,

设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量：

(1) AP；

(2) A1N；

(3) MP+NC1．

分析根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可。

解 (1) ∵P是C1D1的中点,

∴AP=AA1+A1D1+D1P

=a+AD+12D1C1

=a+c+12AB

=a+c+12b．

(2) ∵N是BC的中点,

∴A1N=A1A+AB+BN

=-a+b+12BC

=-a+b+12AD

=-a+b+12c．

(3) ∵M是AA1的中点,

∴MP=MA+AP=12A1A+AP

=-12a+a+c+12b=12a+12b+c,

又NC1=NC+CC1=12BC+AA1

=12AD+AA1=12c+a,

∴MP+NC1=12a+12b+c+a+12c

=32a+12b+32c．

点拨用已知向量来表示未知向量,以图形为指导是解题的关键。要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义。首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则,在立体几何中要灵活应用三角形法则四边形法则。

题型二用空间向量证明平行问题

【例2】如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点．



(1) 求证：E,F,G,H四点共面；

(2) 求证：BD∥平面EFGH.

分析 (1) 要证E,F,G,H四点共面,可寻求x,y使EG=xEF+yEH；

(2) 由向量共线得到线线平行,进而得到线面平行。

证明 (1) 如图,连接BG,则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH,

由共面向量定理的推论知：E,F,G,H四点共面．

(2) 因为EH=AH-12AB=12(AD-AB)=12BD,所以EH∥BD.

又EH 平面EFGH,BD 平面EFGH,所以BD∥平面EFGH．

点拨 (1) 证明共线问题的方法：若A,B,C共线,则存在唯一实数x使AB=λBC；(2) 证明共面问题的方法：若P,A,B,C共面,则存在实数x,y,使AP=xAB+yAC；(3) 证明线∥面时,可证明线所在向量a能用面内不共线向量b,c表示,即a=xb+yc,或a与面内向量d满足a∥d。

题型一数量积及其应用

【例1】如图,

在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,G为△BC1D的重心．

(1) 试证A1,G,C三点共线；

(2) 试证A1C⊥平面BC1D;

(3) 求点C到平面BC1D的距离．

分析 (1) 即证CG∥CA1；(2) 可证CA1•BC1=0,CA1•BD=0；

(3) 利用CG=13CA1可求。

证明 (1) CA1=CB+BA+AA1

=CB+CD+CC1,

CG=CC1+23×12(C1B+C1D)

=13(CB+CD+CC1)=13CA1,

∴CG∥CA1,即A1,G,C三点共线．

(2) CB=a,CD=b,CC1=c,

则|a|=|b|=|c|=a,且a•b=b•c=c•a=0,∵CA1=a+b+c,BC1=c-a,

∴CA1•BC1=(a+b+c)•(c-a)=c2-a2=0,∴CA1⊥BC1,

同理可证,CA1⊥BD.

又BD∩BC1=B,因此A1C⊥平面BC1D．

(3) 由(2)知,A1C⊥平面BC1D,则C到平面BC1D的距离为|CG|,

由(1)知CG=13CA1,∵CA1=a+b+c,

∴CA12=a2+b2+c2=3a2,即|CA1|=3a,因此|CG|=33a．

点拨用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角,求两点距离或线段长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题。

(1) 求向量m和n所成的角,首先应选择合适的基底,将目标向量m和n用该组基底表示出来,再求其自身的数量积及长度,最后利用公式cos〈m,n〉=m•n|m||n|。

(2) 由于线段的长度是实数,实数与向量之间如何转化,是思维中的常见障碍,在向量性质中|a|2=a•a提供了向量与实数相互转化的工具,运用此公式,可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题。

题型二空间向量的线性运算

【例2】如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点．

(1) 求BN的长；

(2) 求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．

分析正确利用两向量的夹角公式及模长公式。

解如图所示,以C为坐标原点建立空间直角坐标系．

(1) 依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),

∴|BN|=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3,∴BN的长为3．

(2) 依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),

∴BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),BA1•CB1=3,|BA1|=6,|CB1|=5．

∴cos〈BA1,CB1〉=BA1•CB1|BA1||CB1|=3010．

∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为3010．

§1空间向量的坐标运算篇4

§1空间向量的坐标表示及基本定理

二、教学目标

1.了解空间向量的基本概念；

2.掌握空间向量的运算及性质.三、重点：空间向量的运算

难点：利用向量证明有关问题

四、知识导学 1.共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数

2.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个x,y使唯一的有序实数组x,y,z，使pxaybzc{a,b,c}叫做空间的一个基

底，a,b,c叫做基向量，可以知道，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使.3.空间向量的坐标表示概念

4.设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),若a、b为两非零向量，则ab

五、课前自学 1．在下列命题中：①若、共线，则、所在的直线平行；②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；④已知三向量、、，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为xyz．其中正确命题的个数为

2．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，

BE＝3ED，以｛AB，AC，AD｝为基底，则GE＝．



3．向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，则a与b位置关系是． 4.m＝（8，3，a），n＝（2b,6,5），若m∥n，则a+b的值为． 

5．a＝(2，-2，-3)，b＝(2,0,4)，则a与b的夹角为．

六、合作、探究、展示

例题OABC，其对角线OB,AC，M,N分别是对边OA,BC的中点，

点G在线段MN上，且MG2GN，用基底向量OA,OB,OC表示向量

例题2．已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点。

（1）求证：MNAB,MNCD;（2）求MN的长；

（3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值。

例题3.如图所示，平行六面体ABCDA1BC11D1的底面ABCD是菱形，且

C1CBC1CDBCD60

（1）求证：C1CBD；（2）当



CD的值为多少时，能使AC面C1BD？

1CC1

请给出说明。

七、当堂检测

1．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于



2.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y２，z2｝,则

向的条件

xyz

是a与b同向或反x2y2z

2



3.a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若a⊥b，则m的值为

4．.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，则以a、b为邻边的平行四边形的面积

用空间向量处理立体几何的问题篇5

一、用向量处理角的问题

例1在直三棱柱ABOA1B1O1中，OO14，OA4，OB3，AOB90，P是侧棱

BB1上的一点，D为A1B1的中点，若OPBD，求OP与底面AOB所成角的正切值。

1A1 P

平面OAB，OOB例2如图，三棱柱OABO1A1B1，平面OBBO60，AOB90，111

且OBOO1

2，OA 求：（1）二面角O1ABO的余弦值；（2）异面直线A与AO1所成角的余弦值。1B

例3如图，已知ABCD是连长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。

AB4，AD3，AA12，M、N分别为DC、BB1例4在长方体ABCDA1BC11D1，的中点，求异面直线MN与A1B的距离。

三、用向量处理平行问题例5如图，已知四边形ABCD，ABEF为两个正方形，MN分别在其对角线BF、AC上，且FM=AN。

求证：MN//平面EBC。

B A

例6 在正方体ABCDA1BC11D1中，求证：平面A1BD//平面CB1D1。

EFBD的中点，例7在正方体ABCDA求证： A1F平面BDE。1BC11D1中，、分别是CC1、例8如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2，E为B1C的中点。BB12，D为AC11的中点，（1）求直线BE与DC所成的角；

（2）在线段AA1上是否存在点F，使CF平面B1DF，若存在，求出AF的长；若不存在，请说明理由；

（3）若F为AA1的中点，求C到平面B1DF的距离。

1A1

五、高考题回顾

1.(2003年全国高考题)如图在直三棱柱ABCA1B1C1,底面是等腰直角三角形,ACB900,侧棱AA12,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.()求A1B与平面ABD所成角的余弦值;()求点A1到平面AED的距离.A2.(2004年高考题)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB900,AA11,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D,B1C1的中点为M.()求证CD平面BDM;

()求面B1BD与面CBD所成二面角的余弦值.B

六、方法小结

1、求点到平面的距离



如图，已知点P（x0，y0，z0），A（x1，y1，z1），平面一个法向量n。

1C1

nAP由nAP|n||AP|cos，其中n,AP，可知|AP|cos

|n|



而|AP|cos的绝对值就是点P到平面的距离。

2、求异面直线的距离、夹角

ab|EFn|d；cosa,b

|n||a||b|

3、求二面角



如图:二面角l,平面的法向量为n1,平面的法向量为n2,若n1,n2,则二面角l为或.4、用空间向量证明“平行”，包括线面平行和面面平行。

nm0

向量空间总结篇6

教师

科目

数

学

时间

2013

年

月

X日

学生

年级

高二

学校

XX校区

授课内容

空间法向量求法及其应用

立体几何知识点与例题讲解

难度星级

★★★★

教学内容

上堂课知识回顾（教师安排）：

1.平面向量的基本性质及计算方法

2.空间向量的基本性质及计算方法

本堂课教学重点：

1.掌握空间法向量的求法及其应用

2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距

3.熟练灵活运用空间向量解决问题

得分：

平面法向量的求法及其应用

一、平面的法向量

1、定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

2、平面法向量的求法

方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。

二、平面法向量的应用

1、求空间角

(1)、求线面角：如图2-1，设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则AB与平面所成的角为：

图2-1-1:

图2-1-2:

图2-1-1

图2-1-2

图2-3

图2-2

(2)、求面面角:设向量，分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为：

（图2-2）;

(图2-3)

两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，的方向对平面而言向外，的方向对平面而言向内；在图2-3中，的方向对平面而言向内，的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。

2、求空间距离

图2-4

（1）、异面直线之间距离:

方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量、，求a、b的法向量，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；

②在直线a、b上各取一点A、B，作向量；

图2-5

③求向量在上的射影d，则异面直线a、b间的距离为,其中

图2-6

（2）、点到平面的距离:

方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A

为平面α内任一点，平面的法向量为，则点P到

平面α的距离公式为

图2-7

（3）、直线与平面间的距离:

方法指导：如图2-6,直线与平面之间的距离：，其中。是平面的法向量

（4）、平面与平面间的距离:

方法指导：如图2-7,两平行平面之间的距离：

图2-8

a，其中。是平面、的法向量。

3、证明

图2-9

（1）、证明线面垂直：在图2-8中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（）。

（2）、证明线面平行：在图2-9中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（）。

图2-10

（3）、证明面面垂直：在图2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（）

图2-11

（4）、证明面面平行：在图2-11中,向是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（）。

图3-1

三、高考真题新解

1、（2005全国I，18）（本大题满分12分）

已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小

解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.，设平面PAD的法向量为，设平面PCD的法向量为，即平面PAD平面PCD。，，设平在AMC的法向量为.又,设平面PCD的法向量为..面AMC与面BMC所成二面角的大小为.2、(2006年云南省第一次统测19题)

(本题满分12分)

图3-2

如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC＝a，M是AD的中点。

(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；

(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；

(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。

解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.，设平面A1BC的法向量为

又，,即AD//平面A1BC.，设平面A1MC的法向量为:,又，设平面A1BD1的法向量为:，,即平面A1MC平面A1BD1.设点A到平面A1MC的距离为d,是平面A1MC的法向量,又,A点到平面A1MC的距离为:.四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”

(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）

立体几何知识点和例题讲解

一、知识点

<一>常用结论

1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.7.夹角公式

：设a＝，b＝，则cos〈a，b〉=.8．异面直线所成角：=

（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）

9.直线与平面所成角：(为平面的法向量).10、空间四点A、B、C、P共面，且

11.二面角的平面角

或（，为平面，的法向量）.12.三余弦定理：设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为．则.13.空间两点间的距离公式

若A，B，则=.14.异面直线间的距离：

(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).15.点到平面的距离：（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.16.三个向量和的平方公式：

17.长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.18.面积射影定理

.(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的).19.球的组合体(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)

球与正四面体的组合体:

棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.20.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）

21.求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）

〈二〉温馨提示：

1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义？

①

异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.②

直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．

③

反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．

二、题型与方法

【例题解析】

考点1

点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维

能力和运算能力．

解答过程：解法二：（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，平面．

取中点，以为原点，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，．，，．

平面．

（Ⅱ）设平面的法向量为．，．，令得为平面的一个法向量．

由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．，．

二面角的大小为．

（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，．

点到平面的距离．

小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.考点2

异面直线的距离

此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.例2已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求CD与SE间的距离.思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.解答过程：

如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，为的中位线，∥∥面,到平面的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面的距离，设其为h，由题意知，,D、E、F分别是

AB、BC、BD的中点，在Rt中，在Rt中，又

由于，即，解得

故CD与SE间的距离为.小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.考点3

直线到平面的距离

此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.例3．

如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.B

思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程：

解析一

∥平面，上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求

点O平面的距离,，平面,又平面

平面，两个平面的交线是,作于H，则有平面，即OH是O点到平面的距离.在中，.又.即BD到平面的距离等于.解析二

∥平面，上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点B平面的距离.设点B到平面的距离为h，将它视为三棱锥的高，则,即BD到平面的距离等于.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点4

异面直线所成的角

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.例

4、如图，在中，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．

（I）求证：平面平面；

（II）求异面直线与所成角的大小．

思路启迪：（II）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.解答过程：解法1：（I）由题意，，是二面角是直二面角，又，平面，又平面．

平面平面．

（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角．

在中，，．

又．

在中，．

异面直线与所成角的大小为．

解法2：（I）同解法1．

（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，．

异面直线与所成角的大小为．

小结：

求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：.考点5

直线和平面所成的角

此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容.例5.四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．

考查目的：本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．

解答过程：

解法二：

（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．

因为，所以．

又，为等腰直角三角形，．

如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，，，D

S，所以．

（Ⅱ）取中点，连结，取中点，连结，．，．，与平面内两条相交直线，垂直．

所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．，．，所以，直线与平面所成的角为．

小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.考点6

二面角

此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视.例6．如图，已知直二面角，，，直线和平面所成的角为．

（I）证明；

（II）求二面角的大小．

命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.A

过程指引：（I）在平面内过点作于点，连结．

因为，所以，又因为，所以．

而，所以，从而，又，所以平面．因为平面，故．

（II）解法一：由（I）知，又，，所以．

过点作于点，连结，由三垂线定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，所以是和平面所成的角，则，不妨设，则，．

在中，所以，于是在中，．

故二面角的大小为．

解法二：由（I）知，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．

因为，所以是和平面所成的角，则．

不妨设，则，．

在中，所以．

则相关各点的坐标分别是，，．

所以，．

设是平面的一个法向量，由得

取，得．

易知是平面的一个法向量．

设二面角的平面角为，由图可知，．

所以．

故二面角的大小为．

小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.考点7

利用空间向量求空间距离和角

众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性.例7．如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且．

（1）求证：四点共面；

（2）若点在上，点在上，垂足为，求证：平面；

（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．

命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．

过程指引：

解法二：

（1）

建立如图所示的坐标系，则，，所以，故，共面．

又它们有公共点，所以四点共面．

（2）如图，设，则，而，由题设得，得．

因为，有，又，所以，从而，．

故平面．

（3）设向量截面，于是，．

而，得，解得，所以．

又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）．

于是．

故．

小结：向量法求二面角的大小关键是确定两个平面的法向量的坐标，再用公式求夹角；点面距离一般转化为在面BDF的法向量上的投影的绝对值.考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算

棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积.直棱柱体积V等于底面积与高的乘积.棱锥体积V等于Sh其中S是底面积，h是棱锥的高.课后练习题

15.【2012高考四川文14】如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是____________。

28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分)

如图，在三棱锥中，，点在平面内的射影在上。

（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小；

（Ⅱ）求二面角的大小。

29.【2012高考重庆文20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

已知直三棱柱中，，为的中点。

（Ⅰ）求异面直线和的距离；

（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。

43．【2012高考上海文19】本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分

如图，在三棱锥中，⊥底面，是的中点，已知∠＝，，求：（1）三棱锥的体积

巧用法向量解决空间几何问题篇7

1.斜线与平面所成的角

先将斜线和平面所成的角转化为两直线所成的角, 再转化为向量的夹角.设直线a的方向向量和平面α的法向量分别为m軖和n軋, 若m軖与n軋的夹角不大于90°时, 直线a与平面α所成的角等于m軖与n軋的夹角的余角;若m軖与n軋的夹角大于90°时, 直线a与平面α所成的角等于m軖与n軋的夹角的补角的余角, 所以直线a与平面α所成的角

例1如图1所示, 四边形ABCD是直角梯形, AD//BC, ∠ABC=90°, SA⊥平面ABCD, SA=AB=BC=1, , 求SC与平面ABCD所成的角.

解:是平面ABCD的法向量, 设的夹角为φ, 选作为空间向量的一组基底.

2.二面角

将二面角的问题转化为求法向量的夹角的问题.设平面α与平面β的法向量分别为m軖和n軋, 则所求的二面角θ与的夹角相等或互补.

当二面α-l-β大于90°时, 则二面角当二面角a-l-β小于90°时, 则二面角

例2在例1中已知条件不变的情况下, 求平面SCD与平面SBA所成的二面角的大小.

解:以A点为坐标原点, BA, AD, AS所在直线分别为x, y, z轴建立如图2所示的空间直角坐标系, 则S (0, 0, 1) , C (-1, 1, 0) , D (0, , 0) ,

设平面SCD的法向量为= (x, y, z) ,

二、求空间距离

1.点到平面的距离

先确定平面的法向量, 再求点与平面上任意一点的连线段在平面的法向量上的射影长.设= (A, B, C) 是平面α的法向量, p0 (x0, y0, z0) 为平面α外的任意一点, p (x, y, z) 是平面α内任意一点, 则p0到平面α的距离为

例3如图3所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的, 其中AB=4, BC=2, CC1=3, BE=1, 求点C到平面AEC1F的距离.

解:建立如图所示的空间直角坐标系, 则D (0, 0, 0) , B (2, 4, 0) , A (2, 0, 0) , C (0, 4, 0) , E (2, 4, 1) , C1 (0, 4, 3) , 设F (0, 0, k) , ∵AEC1F为平行四边形,

2.直线到与它平行的平面的距离

先确定平面的法向量, 再求直线上一点到平面上一点的连线段在法向量上的射影长.设n軋为平面α的法向量, A、B分别为直线和平面上的任意两点, 则直线AB到平面α的距离为

例4如图4所示, 已知边长为4姨2的正三角形ABC中, E、F分别为BC和AC的中点, PA⊥平面ABC, 且PA=2, 设平面α过PF且与AE平行, 求AE与平面α间的距离.

解:设的单位向量分别为作为空间向量的一组基底.易知, ,

3.两平行平面间的距离

类似于直线与它平行的平面间的距离, 设n軋为两平行平面的一个法向量, A、B分别为平行平面上的任意两点, 则两平行平面间的距离为

例5正方体ABCD-A1B1C1D1中, M, N, E, F分别是棱A1B1, A1D1, B1C1, C1D1的中点.

(1) 求证:平面AMN//平面EFDB;

(2) 求平面AMN与平面EFDB的距离.

证明: (1) 建立如图5所示的以D点为坐标原点的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为1, 则D (0, 0, 0) , A (1, 0, 0) , A1 (1, 0, 1) , B (1, 1, 0) , B1 (1, 1, 1) , C (0, 1, 0) , C1 (0, 1, 1) , D1 (0, 0, 1) ,

∴MN//EF//BD, AN//EB,

∴平面AMN//平面EFDB.

(2) 略.

专题立体几何与空间向量篇8

（2）当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小.图1图2

（作者：卢杰江苏省丹阳高级中学）

立体几何在高考中占有重要的地位，近几年对立体几何考查的重点与难点趋于稳定（也是考生的基本得分点）：高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行的判断与性质、垂直的判断与性质作为考查的重点。新课标教材对立体几何要求虽有所降低，但考查的重点一直没有变，常常考查线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系和选修中的空间角与距离的计算。

在现有的必修教材中，虽淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，但在理科选修教材中加大了向量的应用。学习空间向量后，立体几何问题大多可以用向量的知识来做，从而使解题更简捷有效。对空间向量的考查主要集中于向量概念与运算，要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用，尤其是求夹角、求距离。

一、考纲要求

1. 空间几何体：该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体直观图，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法；

2. 空间点、直线、平面的位置关系：该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的判定和性质.在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法；

3. 空间向量与立体几何：由于有平面向量的基础，空间向量部分重点掌握好空间向量基本定理和共面向量定理，在此基础上把复习的重心放在如何把立体几何问题转化为空间向量问题的方法，并注重运算能力的训练。

二、难点疑点

1. 空间几何体的表面积和体积的计算方法；

2. 平行关系和垂直关系的判定和性质，掌握好平行和垂直关系的证明方法；

3. 空间向量的应用，将立体几何问题转化为空间向量问题的方法。

三、经典练习回顾

1. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为.

2. 一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：

①AB⊥EF；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.

其中正确的是.

3. 下列命题中，正确命题的序号是.

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.

4. 已知O是△ABC的外心，P是平面ABC外的一点，且PA=PB=PC，α是经过PO的任意一个平面，则α与平面ABC的关系是.

5. 如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足.设AK=t，则t的取值范围是.

6. 如下图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为.

四、例题精析

题型一空间几何体的表面积和体积

【例1】如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1.

（1）求四面体ABCD的体积；

（2）求二面角CABD的平面角的正切值.

【解法一】（1）如图1，过D作DF⊥AC垂足为F，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，则由AC=AD，知AG⊥CD，从而

AG=AC2-CG2=22-122=152.

由12AC·DF=12CD·AG得DF=AG·CDAC=

154.

（图1）

由Rt△ABC中AB=AC2-BC2=3，S△ABC=12AB·BC=32.

故四面体ABCD的体积V=13·S△ABC·DF=58.

（2）如图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE.由（1）知DF⊥平面ABC，

所以DE⊥AB，故∠DEF为二面角CABD的平面角.

在Rt△AFD中，AF=AD2-DF2=22-1542=74，

在Rt△ABC中，EF∥BC，从而EF∶BC=AF∶AC，所以EF=AF·BCAC=78.

在Rt△DEF中，tan ∠DEF=DFEF=2157.

【解法二】（1）如图2，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，过O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM.因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系Oxyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，-1，0），C（0，1，0）.设点B的坐标为B（x1，y1，0）由AB⊥BC，|BC|=1，有

x21+y21=1，

x21+（y1-1）2=1，

解得x1=32，

y1=12，

x1=-32，

y1=12（舍去）.

（图2）

即点B的坐标为B32，12，0. 又设点D的坐标为D（0，y2，z2），由|CD|=-1，|AD|=2，有

nlc202309010559

（y2-1）2+z22=1，

（y2+1）2+z22=4，

解得y2=34，

z2=154，y2=34，

z2=-154（舍去）.

即点D的坐标为D0，34，154.从而△ACD边AC上的高为h=|z2|=154.

又|AB|=322+12+12=3，|BC|=1.

故四面体ABCD的体积V=13×12·|AB|·|BC|h=58.

（2）由（1）知AB=32，32，0，AD=0，74，154.

设非零向量n=（l，m，n）是平面ABD的法向量，则由n⊥AB有 32l+32m=0. ①

由n⊥AD，有74m+154n=0.②

取m=-1，由①，②，可得l=3，n=71515，即n=3，-1，71515.

显然向量k=（0，0，1）是平面ABC的法向量，从而

cos〈n，k〉=715153+1+4915=7109109，

故tan〈n，k〉=1-491097109=2157，

即二面角CABD的平面角的正切值为2157.

点拨理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方法。把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问题。

题型二点、线、面的位置关系

【例2】如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB=CGCD=23，则（）

（A） EF与GH互相平行

（B） EF与GH异面

（C） EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上

（D） EF与GH的交点M一定在直线AC上

解依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因为EH=12BD，FGBD=23，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知，点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上.选（D）.

点拨理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。

题型二直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

【例2】如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点.

（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；

（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.

证明：（1）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4，CD=2，且AB∥CD，所以CD

瘙綊 A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1∥A1D，又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1∥A1D，所以CF1∥EE1，又因为EE1平面FCC1，CF1平面FCC1，

所以直线EE1∥平面FCC1.

（2）连接AC，在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以CC1⊥AC，因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4，BC=2，F是棱AB的中点，所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，∠BCF=60°，△ACF为等腰三角形，且∠ACF=30°，所以AC⊥BC，又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC平面D1AC，所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.

点拨掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。

题型三直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【例3】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，

求证：（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.

解（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，

∴EF∥PD，又∵P、D∈面PCD，E、F面PCD∴直线EF∥平面PCD.

（2） ∵AB=AD，∠BAD=60°，F是AD的中点，∴BF⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，∴BF⊥面PAD，所以平面BEF⊥平面PAD.

点拨掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。

题型四运用空间向量解决空间中的夹角与距离

【例4】如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C.（1）求CE的长；（2）求证：A1C⊥平面BED；（3）求A1B与平面BDE所成角的正弦值.

（1）解如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.

∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.

nlc202309010559

设E点坐标为（0，2，t），

则BE=（-2，0，t），B1C=（-2，0，-4）.

∵BE⊥B1C，

∴BE·B1C=4+0-4t=0.

∴t=1，故CE=1.

（2）由（1）得，E（0，2，1），BE=（-2，0，1），

又A1C=（-2，2，-4），DB=（2，2，0），

∴A1C·BE=4+0-4=0，且A1C·DB=-4+4+0=0.

∴A1C⊥DB且A1C⊥BE，

即A1C⊥DB，A1C⊥BE，

又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE.

即A1C⊥平面BED.

（3）解由（2）知A1C=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又A1B=（0，2，-4），

∴cos〈A1C，A1B〉=A1C·A1B|A1C||A1B|=306.

∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为306.

点拨利用向量求角：（1）异面直线所成角：向量a和b的夹角〈a，b〉（或者说其补角）等于异面直线a和b的夹角.cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|；（2）直线和平面所成的角：与平面的斜线共线的向量a和这个平面的一个法向量n的夹角〈a，n〉（或者说其补角）是这条斜线与该平面夹角的余角；（3）求二面角的大小。（法向量法）m、n分别是平面α和平面β的法向量，那么〈m，n〉（或者其补角）与二面角αlβ的大小相等。

牛刀小试

1.江苏金陵中学一模如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=.

2.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；

（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.

上面命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）.

3.（2012年高考（湖南））如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.

（1）证明：BD⊥PC；

（2）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥PABCD的体积.

4.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上；