“幸福”公式（精选11篇）
幸福＝当下的快乐＋未来的快乐
人生多变，你既不能只顾自己及时快乐，而忘了未来的未雨绸缪，也不能为了实现未来的目标，而从现在就开始做苦行僧，应该让两者适当相加，使自己更容易幸福。
幸福＝正面情绪－负面情绪
我们需要不断培养自己正面的情绪，尽量减少负面的情绪，虽然人生不可能尽是如意之事，但仍需努力平衡，使自己更积极地对待生活。
幸福＝个人快乐×分享人群
人生的乘法就是要学会将自己的快乐与亲人和朋友分享，使这个幸福感扩散，带给更多的人快乐和积极的态度。
幸福＝个人能力÷参考预期
运用除法运算则是我们需将自己的能力作出评估，对未来的预期目标进行平衡，莫要强求自己，适当地降低标准，才会使自己更加快乐。
为什么要创建1119学习型团队？
学习型团队不是传统的书香门第式的读书，而是现代型的文明团队，是以日益发展的学习型社会为依托，利用现代科技知识和文化资源为团队提供全员学习、终身学习的条件和机会，使团队成员综合素质不断提高，团队成为健康向上和具有生命活力的社会细胞。学习是团队幸福之源。
一、学习团队的主要特征：
1、团队成员之间建立良性互动、具成长性的和谐关系；
2、团队成员关系处理的原则是坦诚、尊重、民主和平等；
3、具备计划、定期的、高效能的共同学习型团队会议。
二、1119学习型家庭团队的六大作用：
1、学会传递爱，互相欣赏，分享观点与价值观（高雅的灰色）；
2、学习清晰表达，观察聆听，情感支持，学会化危为机（红色）；
3、培养综合能力，包括组织决策力，领导力，沟通学习力（紫色+深蓝色）；
4、建立家庭共同愿景，培养意志力（黑色和绿色）；
5、提高动手能力和变通创新能力（橙色和黄色）；
“我们拥有的一切都在增多，唯独幸福除外。”
在《幸福为什么越来越少》一书中，美国学者格雷戈·伊斯特布鲁克有一个经典的比较：用铅笔和方格纸绘制一张第二次世界大战以来欧美民众生活变化的曲线图，你会发现，几乎每一项体现社会福利的客观指数。如人均收入、人均寿命、住磨面积、汽车人均拥有量、每年旅行次数、智商分数等都在提高。然而，体现人们内心感受的幸福指数，近50年来几乎没有增长，认为自己“非常幸福”的人口比例，20世纪40年代以来一直在下降——几乎所有的一切都越来越好，人们却没有觉得更幸福。这一现象与时下的中国颇为相似：30年来高速发展的中国，一切似乎都在越来越好。但对许多中国人来说，内心的幸福与安宁仿佛成了奢求。
显然。这是一个走向富足的时代，却不是一个幸福的时代。为什么，经济发展了，生活变好了，人们心灵深处的幸福感，却越来越少?
关乎财富更关乎欲望
说到幸福，100个人有100种理解。同样的境遇，不同的人或许有不同的感受。按词典上的解释：“幸福是一种持续时间较长的对生活的满足和感到生活有巨大乐趣，并自然而然地希望持续久远的愉快心情。”
西方心理学家马斯洛把人的需求分为五个层次。从低到高依次是：生理需求、安全需求、归属需求、尊重需求、自我实现需求。这些需求的满足。一般总是从低到高一层层实现的。缺乏基本生活条件的人，幸福感的体验往往较低。所以丰衣足食曾是贫困年代人们的最大需求。在如今的商品社会中，生活的每一方面都需要钱来支付。所以，没有财富，很难谈及幸福。
这么看来，财富和幸福感。似乎是正相关关系。尤其是在一贫如洗到拥有稳定收入的这一上升阶段，人们的幸福感十分明显。然而，在金钱膨胀到一定程度以后，财富增长对于幸福感的影响越来越低，一旦步入中产阶级，就开始与幸福脱节了。
为什么金钱增长到一定时期，便不再给人们带来相应的幸福?
美国经济学家萨缪尔森曾提出一个幸福方程式：幸福指数=满足程度/欲望(也即满足欲望的条件/欲望)判断一个人的幸福与否，从这个公式中就可以得到答案：以得数1为分界岭，等于1或者大于1大就会感觉到幸福，比1小就会不幸福。借此我们可以理解为什么上一代人比我们幸福、农民的幸福感高于城里人。因为，他们的欲望更容易满足。
人的一生中，能够满足欲望的客观条件，尽管不断变动，却是相对有限的，而人的欲望常常是无止境的，欲望愈大，幸福感就愈小。所以，尽管绝大多数人的物质条件更充裕了，但欲望也增加了，反而常常感觉失落。
关乎个体更源于制度
近30年来，中国经济一直保持高速增长，但隐藏在一路上涨的GDP(国内生产总值)数字背后，诸多问题渐渐浮出水面：2003年环境污染和生态破坏造成的经济损失占当年GDP的15％。反映收入分配公平性的基尼系数超过0.4的社会失衡临界点……越来越多的人开始思考，盲目冒进追求财富和经济成长是否真能为多数人带来幸福，更有专家提议用GNH取代GDP。
GNH即国民幸福总值，也称国民幸福指数。早在上世纪70年代，不丹国王辛格就认为，“政策应该关注幸祸，并应以实现幸福为目标”。因此，他创造了由政府善治、经济增长、文化发展和环境保护四级组成的GNH，取代了当时世界流行的GDP。从此，追求国民幸福总值成为不丹的最大目标。当时不丹国弱民穷，连条像样的公路都没有。30年后的今天。不丹人均收入超过相邻的印度，在全国范围内普及了免费教育与医疗，人均寿命提高了16岁。2007年英国莱斯特大学公布的“世界幸福地图”中，“穷国”不丹排名第八，远远超过了一些经济发达国家。一时震惊了世界。受此影响，英国和日本等国也开始了幸福指数研究。
从历史的角度看，GDP诞生的背景，是当时的多数发达国家生产力水平不高。产品供给不足。对国力而言，加快经济总量增长是主要矛盾。到上世纪60年代以后，各国经济总量大幅上升，单一关注经济增长的GDP开始显示出严重的缺陷。“GDP原本只是用来衡量整体经济活动市场价格的一项指针，不代表真正的生活水准。但在长年的误用下，各国常陷入‘唯GDP是问’的拜物迷思。”2001年诺贝尔经济学奖得主斯蒂格利茨说，“当今世界GDP愈来愈成为衡量，社会福祉与经济结构变革的唯一标准。但对人类生活品质而言。GDP是一个糟糕的衡量标准。”
以中国为例，撑起中国GDP数据的几大产业是房地产、汽车和贸易等，但看看房地产给如今的中国带来的“繁荣”，就知道这种模式，不仅无法给多数家庭带来幸福感，反而让普通民众沦为“房奴”，幸福指数自然降低。
当然，中国人缺乏幸福感的原因还不仅如此。上世纪五六十年代的人们为什么感觉幸福，因为他们没有太大的贫富差距，也不存在严重的攀比心理。而现时的中国。人与人之间日益扩大的贫富差距，以及由此带来的畸形的幸福观和畸形的成功标准，使得即使是所谓的“中产阶层”，都不可避免地面临着多重的压力，很难让人感受到真正的幸福。
(1)一般公式：
工效×工时=工作总量;
工作总量÷工时=工效;
工作总量÷工效=工时。
(2)用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：
1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几;
1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。
(注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。)
正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边
余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边
正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边
余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边
面积公式
长方形，正方形以及圆的面积公式
面积公式包括 扇形面积共式，圆形面积公式，弓形面积公式，菱形面积公式，三角形面积公式，梯形面积公式等多种图形的面积公式。
扇形面积公式
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：
S＝nπR^2÷360
比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：
C＝2R＋nπR÷180
＝2×1＋135×3.14×1÷180
＝2＋2.355
＝4.355(cm)＝43.55(mm)
扇形的面积：
S＝nπR^2÷360
＝135×3.14×1×1÷360
＝1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)
扇形还有另一个面积公式
S=1/2lR
其中l为弧长，R为半径 三角形面积公式
任意三角形的面积公式（海伦公式）：S=√p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2,a.b.c,为三角形三边。
证明： 证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。
证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z)= xyz ④ 如图可知：a＋b－c =(x+z)＋(x+y)－(z+y)= 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 两边同乘以，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz
圆面积公式
设圆半径为 ：r 面积为 ：S
则 面积 S= π·r ² π 表示圆周率
既 圆面积 等于 圆周率 乘 圆半径的平方
弓形面积公式
设弓形AB所对的弧为弧AB，那么：
当弧AB是劣弧时，那么S弓形＝S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。
当弧AB是半圆时，那么S弓形＝S扇形＝1/2S圆＝1/2×πr^2。
当弧AB是优弧时，那么S弓形＝S扇形＋S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）
计算公式分别是：
S＝nπR^2÷360－ah÷2
S＝πR^2/2
S＝nπR^2÷360+ah÷2
椭圆面积计算公式
椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
菱形面积公式
定理简述及证明
菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
菱形的面积也可=底乘高
抛物线弓形面积公式
抛物线弦长公式及应用
本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来判断直线与抛物线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参考.抛物线弓形面积公式等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4，即：
抛物线弓形面积=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S
定理 直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y2=2Px截得的弦AB的长度为
∣AB∣= ①
证明 由y=kx+b得x=代入y2=2Px得y2－+=0
∴ y1+y2=,y1y2=.∣y1－y2∣==2，∴∣AB∣=∣y1－y2|=
当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=－,代入①得∣AB∣=P(1+k2)，于是得出下面推论:
推论1 过焦点的直线y=kx－（k ≠0）被抛物线y2=2Px截得的弦
AB的长度为
∣AB∣=P(1+k2)②
在①中,由容易得出下面推论:
推论2 己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y2=2Px
Ⅰ)当P＞2bk时,l与C交于两点(相交);
Ⅱ)当P=2bk时,l与C交于一点(相切);
Ⅲ)当P＜2bk时,l与C无交点(相离).定理应用
下面介绍定理及推论的一些应用:
例1(课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x2截得的线段的长?
分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.解 曲线方程可变形为x2=2y则P=1,直线方程可变形为x=y－，即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.例2 求直线2x+y+1=0到曲线y2－2x－2y+3=0的最短距离.分析:可求与已知直线平行并和曲
线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.解 曲线可变形为(y－1)2=2(x－1)则P=1,由2x+y+1=0知k=－2.由推论2,令2bk=P,解得b=－.∴所求直线方
程为y－1=－2(x－1)－,即2x+y－=0.∴.故所求最短距离为.例3 当直线y=kx+1与曲线y=－1有交点时,求k的范围.解 曲线可变形为(y+1)2=x+1
(x≥－1,y≥－1),则P=1/2.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)－k+2,∴b=2-k.由推论2,令2bk≤P,即2k(2－k)≤,解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+时直线与曲线有交点.注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误.例4 抛物线y2=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=－.由①, |OA|=，|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y2=x.例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ
解 以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y2=4ax(P=2a),设PQ的斜率为k,由②|PQ|=，已知|PQ|=b,k2=.∵k2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=，∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π－θ)=ab sinθ=.常见的面积定理
1． 一个图形的面积等于它的各部分面积的和；
2． 两个全等图形的面积相等；
3． 等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；
4． 等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；
5． 相似三角形的面积比等于相似比的平方；
教学目标：
1． 知识与能力：
会推导公式：（a±b）2=a2±2ab+b2(a+b)(a-b)=a2-b2；了解公式的几何背景，会用公式计算。2． 过程与方法：
经历探索完全平方公式与平方差公式的过程，发展学生观察交流归纳猜测验证等能力。3． 情感态度与价值观：
进一步体会数形结合的数学思想和方法。
教学重点：乘法公式的应用 教学难点：公式的结构特征
对公式中字母所表示的广泛含义的理解和正确运用。
教学过程：
一、引入：计算：（a+b）2=(a-b)2=(a+b)(a-b)=
二、新授：例1：利用乘法公式计算：
（1）（2x+y）2（2）(3a-2b)2 ※字母a、b可以是数字，也可以是整式。
5．课堂练习：计算：（1）（3x+1）2(2)(a-3b)2
(3)(2x+y/2)2(4)(-2x+3y)2
6.例2：利用乘法公式计算：
(1)(1-3m)(1+3m)（2）1999×2001（3）（x+3）（x-3）（x2+9）
7.课堂练习：计算：
(1)(2a+5b)(2a-5b)(2)(1/2x-3)(1/2x+3))(3)(y-2x)(-2x-y)(4)(xy+1)(xy-1)（5）（3x+2）（3x-2）（6）（b+2a）（2a-b）（7）（-x+2y）（-x-2y）
1． 简便计算
例：（1）102×98（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
三、练习：
(x2y)(2yx)
(2x5)(52x)
(0.5x)(x0.5)(x20.25)
(x6)2(x6)
2100.5×99.5 99×101×10001
四、小结：这节课你学到了什么？ 乘法公式的特征是什么？
1． 字母a、b可以表示数，也可以表示单项式多项式。2． 要符合特征才能用公式。
3． 有些题目需要变形后才能用公式。
总幸福指数＝先天的遗传素质＋后天的环境＋你能主动控制的心理力量。
当代心理学告诉我们，幸福也是有指数的，总幸福指数是指你的较为稳定的幸福感，而不是暂时的快乐和幸福。看了一部喜剧电影，或者吃了一顿美食，这是暂时的快感，而幸福感是指让你感到持续幸福的、稳定的感觉，它包括你对自己现实生活的总体满意度和对自己生命质量的评价，是对自己生存状态的全面肯定。这个总体幸福取决于三个因素：一是一个人先天的遗传素质，二是环境事件，三是你能主动控制的心理力量。
◆ 先天遗传影响幸福感
科学家对一对双生子的研究证明，一个人的心情可能受到父母的遗传影响，如天生具有抑郁倾向，整日闷闷不乐，其实没有什么坏事情来烦他们，可他们就是不快乐，对生活中消极性和阴暗面十分敏感，易被不好的事情所感染，甚至遇到好事也不能使他们快乐。
赛利格曼的研究表明，10％最幸福的人虽然形形色色，但是他们的一个共同特点是具有丰富的社交生活，他们区别于一般人和不幸福的人的一个标志是愿意与他人分享生活，而不是一个人独处。这一点与婚姻有点关联，一个喜欢与他人在一起的人，愿意结婚，而一个愿意独处的人不倾向于结婚，可以说一个幸福的人是一个爱交往的人，具有丰富的社交生活。
◆ 环境怎样影响幸福？
好的消息会令人更加愉快和幸福，而坏消息则令人不高兴。美国学者威尔逊是研究幸福的专家，他在40年前曾经指出幸福者应当具备下列条件：收入高；已婚；年轻；身体健康；受过良好教育；任何性别；任何智力水平；宗教信仰。40年后赛利格曼重新审视了这些构成幸福人生的条件，发现有近一半是不正确的。
如果你希望自己更加幸福，你需要：
1、 生活富有一些；2、拥有美满婚姻；3、丰富你的社交生活，多与朋友在一起；4、具有信仰。
关于幸福公式中最后一个部分，也是最为重要的是你能掌握的力量，即如何控制自己的心理力量。
（摘自《羊城晚报》）
操作方法
1、单击”插入“—”“公式”，下拉列表中列出了各种常用公式，单击“二次公式”即可加入Word文档。
2、若要创建自定义公式，可单击“插入”—“公式”—“插入新公式”，
3、显示“在此处键入公式”控件。
4、利用公式工具的“设计”选项卡，即可自定义设计各种复杂公式。
5、完成公式创建。
单击公式控件右侧的下拉箭头，可“另存为新公式”。
教学目标
1．了解数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系．
2．能通过前n项和公式Sn求出数列的通项公式an．
3．培养学生辩证统一的观点．
教学重点与难点
重点：认清两者之间的关系．
难点：通过Sn求出an的基本方法．
教学过程设计
(一)课题引入
师：回忆一下什么是数列的通项公式？什么是数列的前n项和？
生：如果数列{an}的第n项an 与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的通项公式．即an=f(n)，数列的前n项和Sn=a1＋a2＋„＋an．
师：那么Sn是否也可以表示成关于项数n的函数式？
(由前两个概念，学生不难得出正确答案，教师进一步指出这个函数式称为数列的前n项和公式)
生：Sn可以表示成关于项数n的函数式．
师：现在研究一下an与Sn两者之间的关系，(板书)．需要考虑哪几种关系？
(培养学生的辩证统一的观点，对今后的数学学习是有益的，掌握此观点，学生就可以主动地探讨其他数学问题)
生：应考虑已知an是否可以求出Sn；反之，已知Sn是否可以求出an．
师：回答正确．两者之间的关系，应该是辩证统一的．这节课我们主要研究后一种，即已知Sn是否可以求出an．
(二)提示Sn与an的关系
师：(板书)
例1 已知数列的前n项和Sn=n＋n．求：(1)a1，a2，a3，a4；(2)通项公式an ．
(由形象思维到抽象思维，由特殊到一般，是研究数学问题的一般规律，在教学中可以起到突出重点，突破难点的作用．给学生一个台阶，使学生在自己发现结论的过程中体现知识形成过程的教学)
师：(板书)
因为Sn=a1＋a2＋„＋an，则a1=S1=2，a2＝S2－a1＝4，a3＝S3－a1－a2＝6
a4＝S4－a1－a2－a3＝8，„„
所以通项公式an=2n．
师：请问an=2n是依据什么得出的？
生：由前4项猜想得出的．
师：这样猜想得出的结果是否可靠？因为这是一种不完全归纳法，因此需要论证才能严谨，现阶段我们有没有什么数学方法可以验证结论的正确性？
生：没有．
师：那么我们不妨换一个角度来考虑问题．如果结果不是通过“归纳、猜想”得到的，而是通过演绎推理获得，那么无需证明．即是否能通过Sn推导出an？
(“归纳—猜想—证明”与演绎推理是研究数学问题的两大类方法，也是学生应熟练掌握的．而学生在运用“归纳—猜想—证明”时，往往容易忽视“证明”这个环节，而此环节恰恰是“归纳—猜想—证明”中最重要的部分，若缺少“证明”，此法即为不完全归纳法．)
师：引导学生观察板书，可发现：
a2=S2－a1中a1写成S1，即a2=S2－S1；
a3=S3－a1－a2中，a1＋a2可写成S2，即a3=S3－S2；
a4=S4－a1－a2－a3中，a1＋a2＋a3可写成S3，即a4=S4－S3，那么an是否与Sn也有以上关系？
生：因Sn=a1＋a2＋a3＋„＋an，则an=Sn－(a1＋a2＋„＋an-1)．又Sn-1=a1＋a2＋„＋an-1，则an=Sn－Sn-1．
师：现在大家一起来考虑这个关系式对于任意数列，任意自然数n都能立？
(设疑可以调动学生的思维，也为下一步教学作铺垫)
师：带着这个问题，我们来讨论一道题．
(板书)例2 已知数列的前n项和Sn=n2＋n＋2，求数列的通项公式an．
生：(板书)an=Sn－Sn-1=n2＋n＋2－[(n－1)2＋(n－1)＋2]=2n．
(做完之后，部分学生就会提出疑问，这时教师应及时因势利导，指导学生讨论，顺理成章地引出本节课的难点；若没有学生提出质疑，教师也可设问引出)
生：这个结果有问题．此题与例1得出的通项公式an是一致的，说明两个数列应是同一个数列，而它们的前n项和Sn又不相等，这不是矛盾吗？
师：问题提的很好，大家想一想，开动脑筋，讨论一下，这其中的道理究竟是什么？
(分组讨论，此时学生思维是非常活跃的，方法也很多，教师在巡视过程中，应注意发现积极有意义的成份)
生：我用前面归纳a1，a2，a3，„的方法计算了一下，得出：a1=S1=4，a2=S2－S1=4，a3=S3－S2=6，a4=S4－a1－a2－a3=8，那么所谓通项公式an=2n，是从第二项开始的，而不包括a1．
师：那么问题出在哪儿？
生：如果应用上述关系式an=Sn－Sn-1，求a1，应为a1=S1－S0，但是S0又表示什么含义呢？
师：这个问题提的在理，S0表示什么意义？
(教师在教学过程中，一定要抓住学生在回答问题时积极有意义的因素，这样可以激发学生学习的兴趣，有利于培养学生良好的思维品质)
师：我们在－开始已经指出前n项和公式Sn是关于n的函数解析式，自变量n的范围是大于0的自然数，因此S0是没有意义的，即a1=S1－S0此关系式是无任何意义的．
生：可见，an=Sn－Sn-1这个关系式的缺憾就是不能表示首项a1，它成立的条件应该是n≥2．
师：那么a1如何确定？
生：a1可以由a1=S1确定．
师：这样我们把an=Sn－Sn-1这个关系式就找完备了．即(板书)
那么例2的正确解法为：
(板书)解：n=1时，a1=S1=4．
n≥2时，an=Sn－Sn-1=n＋n＋2－[(n－1)＋(n－1)＋2]=2n．
生：我有一个想法，可以避免关系式中出现S0．
师：说出来大家一起研究．
(教师一定要保护学生思考的积极性，这样可以培养学生的发散性思维)
生：(板书)an+1=Sn+1－Sn=(n＋1)2＋(n＋1)＋2－n2－n－2=2n＋2．
由于通项公式是关于项数n的函数解析式，所以an+1=f(n＋1)=2n＋2．
应用换元法求函数解析式：f(n)=2n．这样得到通项公式：an =2n．
这种做法避免了S0，但为什么还是错误的．
师：这种想法有一定道理，但只要我们进一步探讨，就会发现其中的问题．
an+1=Sn+1－Sn=2n＋2，此式也只揭示了数列从第2项起，项与项数的函数关系，因此f(n＋1)与f(n)的定义域不同，这种做法，虽然表面上避免了S0的出现，但它与前一种方法本质上是同出一辙的．
师：由上述两例中不难看出，由前n项和Sn求通项公式an时，n=1的情况有时可以统一，如例1，有时只能分类得到，如例2，那么如何区别呢？这里只要验证n=1时，an(n≥2)的表达式是否可以表示a1即可．
(三)举例巩固
师：我们已经得到了前n项和Sn与通项公式an的关系，现在运用这一关系解决如下几个问题．
例3 已知数列{an}的前n项和Sn，满足：log2(Sn ＋1)=n＋1．求此数列的通项公式
an．
(例3的目的是巩固已学习过的知识，并且规范做题格式．学习数学其中一个很重要的目的是培养学生严谨的逻辑性，而这恰恰体现在学生做题的格式是否规范化上)
师：由例1，例2可知，要求出通项公式an，须求出Sn，即应由log2(Sn ＋1)=n＋1，求出Sn，再利用数列前n项和Sn与通项公式an之间的关系，得到数列的通项公式an．
生：(板书)
解：由log2(Sn＋1)=n＋1，得Sn=2n＋1－1
当n=1时，a1=S1=22－1=3；
当n≥2时，an=Sn－Sn-1=2n+1－1－(2n－1)=2n．
例4 在数列{an}中，a1=0，an+1＋Sn=n2＋2n(n∈N+)．求数列{an}的通项公式．
师：现在我们的任务是如何求出数列前n项和Sn．
生：由已知an+1＋Sn=n＋2n，得Sn=n＋2n－an＋1．
师：这样求出的Sn，是否能利用数列的前n项和与通项公式的关系，求出通项公式呢？显然是不行的，因为数列的前n项和公式Sn是关于项数n的函数关系式，而Sn
=n2＋2n－an+1并不是关于项数n的函数关系式．
生：不妨也利用数列前n项和Sn与通项公式an的关系，将an+1表示为an+1=Sn+1－Sn，那么an+1＋Sn=n2＋2n就转化为关于Sn+1，Sn的关系式，再求Sn．
师：(板书)由于an+1=Sn+1－Sn，则an+1＋Sn=Sn+1－Sn＋Sn=Sn+1，即Sn+1=n2＋2n．
师：再如何通过Sn+1求Sn？
生：可以利用函数知识，因为前n项和Sn是关于项数n项的函数解析式，即已知
Sn+1=f(n＋1)=n2＋2n，可以求出Sn=f(n)=Sn．
师：(板书)Sn+1=n＋2n=(n＋1)－1，则Sn=n－1．
(以下省略，得出结果)
(四)课堂练习
已知数列前n项和Sn，求数列的通项公式an．
1．Sn=n－2n＋2；
2．Sn=n＋222
－1；
答案：
(五)课堂小结
通过本节课，我们学习了已知数列前n项和Sn，如何求出数列通项公式an的方法．
在运用上述关系时，一定要注意an=Sn－Sn-1成立的条件：n≥2，a1应由S1确定．
(六)布置作业
已知数列{an}的前n项和Sn，求它的通项公式：
(1)Sn=an2＋bn(a，b为已知常数)；(2)Sn=an2＋bn＋c(a，b，c为已知常数)；
(3)Sn=n3＋n－1．
作业答案：
(1)an=2an－a＋b(n∈N+)．
课堂教学设计说明
1．本节课的内容教材中基本未涉及，但这类问题在各级各类考试中均有所涉及，因此在日常教学中，应适时补充，究其授课深度应视学生程度而定，因材施教．
2．数列中，有三个基本问题．即关于数列的通项问题；关于数列的前n项和问题；关于数列的极限问题．一般说来，数列中的其他问题都是围绕这三个问题展开的．可见，研究这三个问题是十分有意义，也是十分必要的．
数列{an}的前n项和公式，实际上就是数列{Sn}的通项公式，因此，Sn与an之间有着密切的联系．
{Sn}：S1，S2，S3，S4，„，Sn-1，Sn，„
{an}：a1，a2，a3，a4，„，an，„
不难看出：Sk＋ak+1=Sk+1(k∈N+)，3．从辩证统一的观点看问题，Sn与an之间的关系，应包含两层关系．一类为知
Sn求an；另一类为知an求Sn，本节课所授内容只是其中一类．至于另一类问题将是以后教学中的一个难点内容，即“数列求和”，辩证统一的观点在中学数学中处处可见，教师应注意对学生进行这方面的教育，有助于提高学生的数学素质，培养学生研究数学问题的能力．
（a+b）2= a2 +2ab+b2
（a-b）2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
你能根据图1中和图2的面积说明完全平方公式吗？
图1 图2
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式
（a+b）2= a2 +2ab+b2
差的完全平方公式：
（a-b）2= a2 - 2ab+b2
公式特征：（a+b）2= a2 +2ab+b2 （a-b）2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.首平方，尾平方，积的2倍放中央 .
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
想一想： 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（1）（x+y）2=x2 +y2 错 （x +y）2 =x2+2xy +y2
（2）（x -y）2 =x2 -y2 错 （x -y）2 =x2 -2xy +y2
（3） （-x +y）2 =x2+2xy +y2 错 （-x +y）2 =x2 -2xy +y2
（4） （2x+y）2 =4x2 +2xy +y2 错 （2x +y）2 =4x2+4xy +y2
例1、运用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2
解： （4m+n）2= （4m）2 +2·（4m） ·n +n2 =16m2 +8mn +n2
（2）（x-2y）2
解： （x-2y）2= x2 -2·x ·2y +（2y）2 =x2 -4xy +4y2
例2、运用完全平方公式计算：
（1）1022
解： 1022 = （100+2）2 =10000+400+4 =10404
（2） 992
解： 992 = （100 –1）2 =10000 -200+1 =9801
思考
（a+b）2与（-a-b）2相等吗？ （a-b）2与（b-a）2相等吗？ （a-b）2与a2-b2相等吗？ 为什么？
拓展练习：
1. =_______；
2.若 是一个完全平方公式， 则 _______；
3.若 是一个完全平方公式， 则 _______；
观察等式
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差
概括总结
公式中的字母的意义很广泛，可以代表常数，单项式或多项式
平方差公式的特征：
（1）等号左边是两个数（字母）的和乘以这两个数（字母）的差.
（2）等号右边是这两个数（字母）的平方差.
注：必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方差公式
练一练
（a+b）（a-b）= a2-b2
阅读算式，按要求填写下面的表格
能力提高
3勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c
4勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形
5定理
四边形的内角和等于360°
6多边形内角和定理: n边形的内角的和等于(n-2)×180°
7平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等
8平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等
9推论
夹在两条平行线间的平行线段相等
10平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分
11平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形
12平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形
13平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形
14平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形
15矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
16矩形性质定理2矩形的对角线相等
17矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形
18矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形
19菱形性质定理1菱形的四条边都相等
20菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 21菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2
22菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形
23菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
24正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等
25正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分 一组对角
26定理1关于中心对称的两个图形是全等的27定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 28逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个 图形关于这一点对称
29等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等
30等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
31平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 32 推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2
2、正方形的周长=边长×4 C=4a
3、长方形的面积=长×宽 S=ab
4、正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a
5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2
6、平行四边形的面积=底×高 S=ah
7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2
8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2
9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr
10、圆的面积=圆周率×半径×半径 ?=πr
11、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2
12、长方体的体积 =长×宽×高 V =abh
13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a
14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a.a.a= a
15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 S=ch
16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 S=2πr +2πrh=2π(d÷2)+2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π)+Ch
17、圆柱的体积=底面积×高 V=Sh V=πr h=π(d÷2)h=π(C÷2÷π)h
18、圆锥的体积=底面积×高÷3 V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2)h÷3=π(C÷2÷π)h÷3
19、长方体（正方体、圆柱体）的体
1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数
3、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度
4、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价
5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率
6、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数
7、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数
8、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数
9、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式、正方形 C周长 S面积 a边长 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2、正方体 V:体积 a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a、长方形
C周长 S面积 a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)面积=长×宽 S=ab 4、长方体
V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积 a底 h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2
三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高 6平行四边形 s面积 a底 h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形
s面积 a上底 b下底 h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形 S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径(1)周长=直径×∏=2×∏×半径 C=∏d=2∏r
(2)面积=半径×半径×∏ 9 圆柱体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长(1)侧面积=底面周长×高(2)表面积=侧面积+底面积×2(3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径 10 圆锥体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数 和差问题(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数 和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数(或者 和－小数＝大数)差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数(或 小数＋差＝大数)植树问题 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1)株距＝全长÷(株数－1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1)株距＝全长÷(株数＋1)封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 盈亏问题
(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 追及问题
追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间 流水问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 利润与折扣问题 利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)时间单位换算
1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012月 小月(30天)的有:46911月平年2月28天, 闰年2月29天平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时 1时=60分
1分=60秒 1时=3600秒积=底面积×高 V=Sh
第一部分： 概念
1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。
3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。
如：（2+4）×5＝2×5+4×5
6、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
O除以任何不是O的数都得O。
简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。
7、什么叫等式？等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。
8、什么叫方程式？答：含有未知数的等式叫方程式。
9、什么叫一元一次方程式？答：含有一个未知数，并且未知数的次
数是一次的等式叫做一元一次方程式。学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。
10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。
11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。
13、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
14、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
15、分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。
16、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。
17、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。
18、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。
19、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数
（0除外），分数的大小不变。
20、一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。
21、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。
22、什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比。如：2÷5或3:6或1/3
比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0除外），比值不变。
23、什么叫比例：表示两个比相等的式子叫做比例。如3:6＝9:18
24、比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积。
25、解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。如3:χ＝9:18
26、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。如：y/x=k(k一定)或kx=y
27、反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。
如：x×y = k(k一定)或k / x = y
28、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。
29、把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。其实，把小数化成百分数，只要把这个小数乘以100％就行了。
30、把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
31、把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。其实，把分数化成百分数，要先把分数化成小数后，再乘以100％就行了。
32、把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
33、要学会把小数化成分数和把分数化成小数的化发。
34、最大公约数：几个数都能被同一个数一次性整除，这个数就叫做这几个数的最大公约数。（或几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做最大公约数。）
35、互质数：
公约数只有1的两个数，叫做互质数。
36、最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
37、通分：把异分母分数的分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。（通分用最小公倍数）
38、约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。（约分用最大公约数）
39、最简分数：分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。40、分数计算到最后，得数必须化成最简分数。
41、个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，即能用2进行
42、约分。个位上是0或者5的数，都能被5整除，即能用5进行约分。在约分时应注意利用。
43、偶数和奇数：能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。
44、质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。
45、合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。1不是质数，也不是合数。
46、利息＝本金×利率×时间（时间一般以年或月为单位，应与利率的单位相对应）
47、利率：利息与本金的比值叫做利率。一年的利息与本金的比值叫做年利率。一月的利息与本金的比值叫做月利率。
48、自然数：用来表示物体个数的整数，叫做自然数。0也是自然数。
49、循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。如3.141414
50、不循环小数：一个小数，从小数部分起，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做不循环小数。如圆周率：3.141592654
51、无限不循环小数：一个小数，从小数部分起到无限位数，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做无限不循环小数。如3.141592654……
52、什么叫代数? 代数就是用字母代替数。
53、什么叫代数式?用字母表示的式子叫做代数式。如：3x =ab+c
第二部分：定义定理
一、算术方面
1．加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第
三个数相加，和不变。
3．乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
4．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
5．乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如：（2+4）×5＝2×5+4×5。
6．除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。0除以任何不是0的数都得0。
7．等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。
8．方程式：含有未知数的等式叫方程式。
9．一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次 数是一次的等式叫做一元一次方程式。
学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。
10．分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。
11．分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
12．分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。
13．分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
14．分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
15．分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。
16．真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。
17．假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。
18．带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。
19．分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。
20．一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。
21．甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
第三部分：几何体 1.正方形
正方形的周长=边长×4
公式：C=4a 正方形的面积＝边长×边长
公式：S=a×a 正方体的体积＝边长×边长×边长
公式：V=a×a×a 2.正方形
长方形的周长=（长+宽）×2 公式：C=(a+b)×2 长方形的面积=长×宽
公式：S=a×b 长方体的体积＝长×宽×高 公式：V=a×b×h 3.三角形
三角形的面积＝底×高÷2。
公式：S= a×h÷2 4.平行四边形
平行四边形的面积＝底×高
公式：S= a×h 5.梯形
梯形的面积＝(上底+下底)×高÷2 公式：S=(a+b)h÷2 6.圆
直径=半径×2 公式：d=2r 半径=直径÷2 公式：r= d÷2 圆的周长=圆周率×直径
公式：c=πd =2πr 圆的面积＝半径×半径×π
公式：S＝πrr 7.圆柱
圆柱的侧面积=底面的周长×高。公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积=底面的周长×高+两头的圆的面积。
公式：S=ch+2s=ch+2πr2 圆柱的总体积=底面积×高。公式：V=Sh 8.圆锥
圆锥的总体积＝底面积×高×1/3 公式：V=1/3Sh
三角形内角和＝180度。
平行线：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 垂直：两条直线相交成直角，像这样的两条直线，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
第四部分：计算公式
数量关系式:
1、每份数×份数＝总数
总数÷每份数＝份数
总数÷份数＝每份数2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数
几倍数÷倍数＝1倍数
3、速度×时间＝路程
路程÷速度＝时间
路程÷时间＝速度
4、单价×数量＝总价
总价÷单价＝数量
总价÷数量＝单价
5、工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
6、加数＋加数＝和
和－一个加数＝另一个加数
7、被减数－减数＝差
被减数－差＝减数
差＋减数＝被减数
8、因数×因数＝积
积÷一个因数＝另一个因数
9、被除数÷除数＝商
被除数÷商＝除数
商×除数＝被除数
****************************************************** 和差问题的公式(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数 和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数(或者 和－小数＝大数)差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数(或 小数＋差＝大数)****************************************************** 植树问题: 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1)株距＝全长÷(株数－1)⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1)株距＝全长÷(株数＋1)2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数
****************************************************** 盈亏问题
(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 ****************************************************** 相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 ****************************************************** 追及问题
追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间
****************************************************** 流水问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 ****************************************************** 浓度问题: 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
****************************************************** 利润与折扣问题: 利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)****************************************************** 面积，体积换算
(1)1公里＝1千米
1千米＝1000米
1米＝10分米
1分米＝10厘米
1厘米＝10毫米
(2)1平方米＝100平方分米
1平方分米＝100平方厘米
1平方厘米＝100平方毫米(3)1立方米＝1000立方分米
1立方分米＝1000立方厘米
1立方厘米＝1000立方毫米
(4)1公顷＝10000平方米
1亩＝666.666平方米(5)1升＝1立方分米＝1000毫升 1毫升＝1立方厘米 ****************************************************** 重量换算: 1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤
****************************************************** 人民币单位换算 1元=10角 1角=10分 1元=100分
